Автор: admin

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

«Применение уравнение Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы»

Гомель 2006

Содержание

Введение

1 Механическая система. Связи. Классификация связей

2 Возможные перемещения. Число степеней свободы

3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости

4 Обобщенные силы

5 Уравнения Лагранжа второго рода

6 Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы

7 Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию механической системы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений входят обобщённые активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперёд неизвестные реакции связей.

Основная задача динамики в обобщённых координатах состоит в том, чтобы, зная обобщённые силы и начальные условия, найти закон движения системы, то есть определить обобщённые координаты как функции времени. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат и составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению к инерциальной системе отсчёта) или относительное движение механической системы. Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы. Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.

1 Механическая система. Связи. Классификация связей

Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, будем называть механической системой. Если между точками (телами) механической системы действуют силы взаимодействия, то она обладает тем свойством, что в ней положение или движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных. Классическим примером такой системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения.

Определение 1 [1, с. 357]: Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.

Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы – кинематическими или дифференциальными.

Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются голономными связями, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают.

2 Возможные перемещения. Число степеней свободы

Определение 2 [1.с. 358]: Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть через них выражено.

Определение 3 [1, с. 359]: Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение точки определяется тремя независимыми координатами х, у, z.

Этот результат оказывается общим, т.е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.

3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости

Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). У такой системы число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т.д.

Определение 4 [1, с. 369]: Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называются обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться s обобщенными координатами

Определение 5 [1, с. 370]: Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы.

4 Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему из n механических точек ,,…,, находящуюся под действием системы сил ,,…,.

Предположим, что система имеет s степеней свободы, т.е. положение определяется s обобщенными координатами .

При наличии нестационарных связей радиус-вектор является функцией обобщенных координат и времени:

,) (i = 1,2,…, n).

Сообщим элементарное приращение только одной координате , оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты.

Тогда радиус-вектор точки М получит приращение , обусловленное приращением этой координаты:

=.

Вычислим работу всех сил, действующих на механическую систему на перемещения точек , вызванных перемещением координаты :

= = ==

Разделив на элементарное приращение обобщенной координаты , получим величину , называемую обобщенной силой:

= (1)

Определение 6 [2, с. 320]: Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения.

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

= (j =1, 2, …, s).

5 Уравнения Лагранжа второго рода

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки М, этой системы является функцией обобщенных координат и времени t:

,). (2)

Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки , определяется по правилу дифференцирования сложной функции:

(3)

Из выражения (3) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате :

(4)

Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле:

(5)

Из выражения (3) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

(6)

Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (5) как сложную функцию:

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (4):

Продифференцируем это выражение по времени:

(7)

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (7), учитывая, что для несвободной материальной точки

1. С помощью равенства (1), определяющего обобщенную силу, находим:

2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

Частная производная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (2), зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени:

(8)

Найдем частную производную , дифференцируя по выражение (3):

(9)

Правые части выражений (8) и (9) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно,

.

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (7):

=

Подставляя найденные значения обеих сумм в равенство (7) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых :

+,

или

=(j = 1,2,…, s). (10)

Систему s дифференциальных уравнений (10) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы .Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

(j=1, 2,…, s).

6 Уравнения второго рода для консервативной системы

Предположим, что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал (консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала (неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу удобно представить в виде суммы обобщенной силы , соответствующей консервативным силам , и обобщенной силы , соответствующей неконсервативным силам :

=+.

Если на рассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщенная сила определяется формулой:

= = (j=1,2,…, s).

В этом случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:

= (j = 1,2,…, s). (11)

Уравнения (12) можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L = Т – П, называемой кинетическим потенциалом.

П = П (t).

Следовательно, кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:

Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а потому

(j=1,2,…, s).

Пользуясь этим условием, получим

,

Подставим эти частные производные в уравнения Лагранжа (11):

или

(j=1,2,…, s). (12)

Уравнения (12) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы.

7 Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы

Массы тел механической системы m= 2m; m= 6m; m=m. Начальные условия:,,,.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах ,.

Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II рода:

(13)

Здесь T – кинематическая энергия; – потенциальная энергия; и– обобщенные силы, соответствующие неконсервативным силам.

Для данной системы (14)

Введем переменную

Выразим скорости центров масс твердых тел системы через обобщенные скорости:

Угловая скорость тела 4

Момент инерции тела 4

Кинематическая энергия тел 1 – 4:

Подставляя эти величины в (14), получим

+++=

Тогда

(15)

Потенциальную энергию системы находим как работу сил тяжести твердых тел 1 и 3 при их перемещении из данного положения, характеризуемого координатами x и , в некоторое исходное нулевое, например то, от которого ведется отсчет обобщенных координат:

Тогда

(16)

Обобщенные силы = 0 и =0 (т. к. на механическую систему не действуют силы ).

Подставляя (15) и (16) в (13), получаем дифференциальные уравнения движения системы:

(17)

Выражая x из (18), получаем

(18)

Интегрируя (19), получаем

(19)

(20)

Для определения постоянных и , используя начальные условия: при t=0 x=0; x=0.

Из (19) и (20) следует =0 и =0.

Тогда

(21)

Уравнение (21) является уравнением движения системы, описывающим изменение первой обобщенной координаты.

Чтобы получить второе уравнение движения, находим из (17)

(22)

Интегрируя (23), получаем

(23)

(24)

Для определения постоянных и , используя начальные условия: при t=0 =0;=0.

Из (24) и (25) следует =0 и =0.

Тогда

(25)

Уравнение (25) является уравнением движения системы, описывающим изменение второй обобщенной координаты.

Заключение

Итак, уравнения Лагранжа II рода применяются для исследования движения механической системы с двумя степенями свободы. Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, необходимо установить число степеней свободы системы и выбрать обобщённые координаты; изобразить систему в произвольном положении и показать все действующие силы; вычислить обобщённые силы; определить кинетическую энергию системы в её абсолютном движении и выразить её через обобщённые скорости; составить уравнения Лагранжа.

Уравнения Лагранжа дают единый метод решения задач динамики, они не зависят от числа и количества точек, входящих в рассматриваемую систему, от движения самой системы. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат. Число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы.

Список использованной литературы

1. С.М. Тарг «Краткий курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1986 г., 416.

2. А.А. Яблонский «Курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1984 г., 436.

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

по курсу

Студент: Ференец Д.А.

Преподаватель: Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

Москва, 1995

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.

Тип резервироавния — ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) = (x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

— функционирование элементов

x(t) О {0, 1, 2} — число неисправных элементов;

— функционирование КПУ

d(t) О {0,1} — 1, если исправен, 0 — если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) — однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние n(t) = (0, d(t))

состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние n(t) = (1, 1)

состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) — поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов — события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Ю

Пусть

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

Ю

Ю

( — корни =0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :

Ю

Ю

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

,

где

,

Итак,

,
где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT

(T — время жизни системы):

Ю

Тетриметрия

Содержание:

1. Основные понятия тетриметрии:

1.1 Сущность титрования;

1.2 Стандартные растворы;

1.3 Кривые титрования;

1.4 Индикаторы.

2. Кислотно-основное титрование:

2.1 Расчеты рН;

2.2 Таблица;

2.3 Кривая титрования;

2.4 Погрешности титрования;

2.5 Выводы;

3. Используемая литература.

Основные понятия тетриметрии.

Сущность титрования.

Процесс приливания одного раствора, находящегося в бюретке, к другому раствору для определения концентрации одного из них при известной концентрации другого называется титрованием.

Взаимодействие между определенным веществом и реактивом должно идти в определенных стехиометрических отношениях. Отклонение от этого требования наблюдается в ряде случаев; чаще всего причиной этих ограничений являются следующие обстоятельства:

1. Особенности самого определяемого вещества, которое взаимодействует с реактивом не только по одному уравнению основной реакции, то есть наряду с основной реакцией идут побочные процессы.

2. Присутствие посторонних веществ, которые также реагируют с другим реактивом.

Реакция между определяемым веществом и реактивом должна идти с большей скоростью, что особенно важно в прямом титровании.

Одно из важных условий применения реакции – найти подходящий индикатор для определения конца титрования.

Стандартные растворы.

Стандартными растворами называются растворы с точно известной концентрацией. Существует два способа их приготовления:

1. Берут на аналитических весах точную навеску соответствующего вещества, растворяют ее в мерной колбе и доводят объем раствора водой до метки. Этим способом можно готовить титрованные растворы только тех веществ, которые удовлетворяют ряду требований:

1.1 Вещество должно быть химически чистым, т.е. не должно содержать посторонних примесей в таких количествах, которые могут повлиять на точность анализов (не более 0,05-0,1%).

1.2 Состав вещества должен строго соответствовать формуле. Например, кристаллогидраты должны содержать ровно столько воды, сколько соответствует их формулам.

1.3 Вещество должно быть устойчивым при хранении и в твердом виде и в растворе, т.к. иначе легко нарушилось бы соответствие состава формуле.

2. Если вещество не удовлетворяет перечисленным выше требованиям , то сначала готовят раствор его приблизительно нужной молярности. Параллельно с этим готовят также стандартный раствор какого-нибудь подходящего исходного вещества, как описано выше. Далее, оттитровав один из указанных растворов другим и зная концентрацию раствора  исходного вещества, вычисляют точную концентрацию раствора данного вещества.

Кривые титрования.

Кривые титрования являются графическим изображением изменений рН  раствора при постепенном прибавлении рабочего раствора к определенному количеству испытуемого раствора. На оси абсцисс записывают количество прибавленного рабочего раствора, а на оси ординат – значение рН раствора. Отдельные точки кривой титрования рассчитывают по обычным формулам для вычисления рН растворов соответствующих электролитов.

Индикаторы.

При титровании необходимо установить количество рабочего раствора, эквивалентное количеству определяемого вещества. Для этой цели к исследуемому раствору приливают постепенно титрант до тех пор, пока не будет достигнуто эквивалентное отношение. Этот момент называется точкой эквивалентности. Признаком достижения точки эквивалентности служит приобретение раствором определенного значения рН. Поэтому в качестве индикаторов метода нейтрализации служат вещества, окраска которых меняется в зависимости от изменения величины рН. К ним относятся лакмус, метиловый оранжевый, фенолфталеин и многие другие вещества. Окраска каждого из них изменяется внутри определенного узкого интервала значений рН, причем этот интервал зависит только от свойств данного индикатора и совершенно не зависит от природы реагирующих между собой кислоты и основания. Благодаря этому перемена окраски индикатора происходит, как правило, не строго в точке эквивалентности, а с известным отклонением от нее. Такое отклонение влечет за собой некоторую ошибку, называемую индикаторной ошибкой титрования. Величина этой ошибки может колебаться в весьма широких пределах в зависимости от того, какой взят индикатор и какие основание и кислота реагируют между собой. При правильном выборе индикатора ошибка не выходит за обычные пределы аналитических погрешностей и  может во внимание не приниматься. Наоборот, если индикатор взят неподходящий, ошибка окажется весьма значительной.

Момент титрования, когда индикатор изменяет свою окраску, называется точкой конца титрования. Необходимо выбирать индикатор и условия титрования так, чтобы точка конца титрования совпадала с точкой эквивалентности или была, возможно, ближе к ней.

Кислотно-основное титрование

Расчеты рН

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого «захватывания». Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы «захватывает» автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды «исчезнувших» автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида — кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали «устойчивостью по Ляпунову».

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия выберем так:

F2 — степенной ряд по b 1 b 2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b 1 b 2 представить в виде функции m так, чтобы b 1 b 2, m исчезли из системы (7) , то (3) — периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x ‘.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) — решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m .

будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:

Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим

Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S1, S2 — периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a 1, a 2 — характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

=0 (16)
Полагаем ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a ), или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 — неустойчивость.

Случай второй — l — действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

(22)

Если принять во внимание (15)

(22a)
(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w № n; n ‘ Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 — неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

(23a) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l = m l о; w 2 = 1+ aо m , (24) (aо , m — расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо № 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

(25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

(27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

(29)

Запишем условия периодичности для (27):

Делим на m :

( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b 1, b 2, в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22) (34) , тогда D — тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

(36)
;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )

1) p2 — q < 0

2) p2 — q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика — кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

(39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К — напряжение насыщения .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

(41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т.е. w о > w 1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q — const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает «резонансную поверхность» для амплитуды. Вторая — для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

(46)

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1)

a0 — является общим корнем уравнений

2)

Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: D w = aо w 2о (MS — c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l 2о << 1; D w = w о Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов ( Vоg — амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы Андронов А.А. Собрание трудов, издательство «Академии наук СССР», 1956. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство «Академии наук СССР», 1956. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число

Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m- целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е. a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя: a^r : a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число и число a больше нуля, но меньше числа b, 0s и 0 х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 01; отрицательные значения, если 00
5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)
6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется неравенство: n sqr a< n sqr b, если 0?a0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются следующие св-ва:
1) loga1=0
2) logaа=1
3) loga(ху)= logaХ+ logaУ
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции а^ х+у =а^x * а^y имеем а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ
5) logaХ^Р= рlogaХ
6) Формула перехода: logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция
F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).
2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс
, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.
Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме чисел вида
X=пи/2 +пи k, k(Z.
Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.
2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().
3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме
0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого «захватывания». Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы
«захватывает» автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды «исчезнувших» автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида — кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр ( таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали «устойчивостью по Ляпунову».

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и
4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:

[pic]

При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
[pic]

Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
[pic]
Начальные условия выберем так:
[pic]
F2 — степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.
Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

[pic]

Решая задачи Коши, получим:

[pic]

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы [pic]

Введем обозначения [pic]; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:

[pic]

Если в этой системе можно (1 (2 представить в виде функции ( так, чтобы
(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) — периодическое решение уравнения
(1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых ( служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае: [pic]
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
[pic]

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени ( и (‘.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) — решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
Его решение мы будем искать в виде [pic] [pic] функции времени[pic]
Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.
[pic]; аналогичным образом можно показать, что [pic] (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.

[pic]

[pic]будем искать в виде: [pic] (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
(, получим:

[pic]
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях (, получим

[pic]
Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

[pic](14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

[pic](15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

[pic]

S1, S2 — периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 — характеристические показатели.
Если все [pic] , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

[pic]=0 (16) Полагаем [pic];

[pic]

Тогда определитель будет:

[pic]

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или что все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место устойчивость ( (( = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ( ((> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае
(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q1 — неустойчивость.
Случай второй — ( — действительные: [pic] ; (21) устойчивость соответствует
[pic] p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)
(12).

[pic](22)
Если принять во внимание (15)

[pic](22a)

[pic](23)

Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 — неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
[pic] (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( — расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

[pic] (25)

При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : [pic](26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

[pic] (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

[pic]

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем
(27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.
Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

[pic] (29)

Запишем условия периодичности для (27):

[pic]
Делим на (:

[pic] ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:
[pic]
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

[pic]
(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

[pic]

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15).
Заметим, что (30) мы можем определить (1, (2, в виде рядов по степеням (.
Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

[pic](33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

[pic]

Решение опять будем искать в виде [pic]. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

[pic]
Из формул (22) [pic] [pic] (34) , тогда [pic] ( — тот же Якобиан, что и
(32). Распишем его:

[pic]

[pic] (36)

[pic];
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить ( в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

[pic] ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()

1) p2 — q < 0 [pic]
2) p2 — q > 0 [pic]
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.
Во втором случае [pic] (*) последнее может быть выполнено только, если b <
0, а ( > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, ( > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика — кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin (1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
[pic] (39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
[pic](40)
S-крутизна характеристики, К — напряжение насыщения [pic] .
Далее, вводя обозначения: [pic]
[pic]
Получим дифференциальное уравнение для х:
[pic] (41)

А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая[pic].
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
[pic]
Если ( > 1, т.е. (о > (1, то разность фаз равна 0, если ( < 1, то разность фаз равна (. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b
< 0).

[pic](42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q — const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

[pic]

Или преобразовав их, получим следующее:

[pic]

Полагая Р = R sin (; Q = R cos (. Далее найдем для амплитуды R и фазы ( для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

[pic]
Первая формула дает «резонансную поверхность» для амплитуды. Вторая — для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, ( > 0. Считаем b и ( через формулы (35-37).
[pic]

(46)

[pic]

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1) [pic] a0 — является общим корнем уравнений
[pic]

2) [pic]

Сама ширина ((, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: (( = aо (2о (MS — c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях: а) (2о

СКОЛЬКО КОНСТАНТ ЯВЛЯЮТСЯ ИСТИННО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ?

Аннотация

Главными фундаментальными константами обычно считают гравитационную константу (G), постоянную Планка (h ) и скорость света (c). Принято считать, что эти константы являются независимыми. Исследования показали, что истинно фундаментальными оказались не константы G, h, c, а совсем другие константы [1, 2, 3, 4]. Их оказалось пять. Это следующие константы:

Фундаментальный квант действия hu (hu=7,69558071(63) • 10-37 J s). Фундаментальная длина lu (lu=2,817940285(31) • 10-15 m). Фундаментальный квант времени tu (tu=0,939963701(11) • 10-23 s). Постоянная тонкой структуры α (α =7,297352533(27) • 10-3 ) Число π (π=3,141592653589).

Выявлено, что важнейшие фундаментальные физические константы являются составными константами и состоят из этих пяти констант. Эти пять констант претендуют на онтологический статус, поэтому они названы «уни версальными суперконстантами» [1, 2, 3, 4].

1. Являются ли важнейшие физические константы фундаментальными?

Главными фундаментальными константами обычно считают гравитационную константу (G), постоянную Планка (h) и скорость света ( и тот факт, что в фундаментальной физике многие ученые применяют такую систему единиц, в которой они равны 1. Особенно большую значимость в глазах ученых эта тройка констант приобрела после того, как М.Планк, путем их комбинации, открыл новые единицы длины массы и времени, которые были названы «планковские единицы».

Константами G, h, c, в их различных комбинациях, оперируют наиболее важные физические теории. Так, например, теория тяготения Ньютона является G-теорией [11]. Общая теория относительности является классической (G, c)-теорией. Релятивистская квантовая теория поля является квантовой (h, c)-теорией [11]. Каждая из этих теорий оперирует одной или двумя размерными константами. Открытие планковских единиц — планковской длины, массы и времени породило у ученых надежду на возможность создания новой квантовой теории на основе трех констант G, h, c. Однако попытки создать единую квантовую теорию электромагнитных полей, частиц и гравитации на ос нове трех размерных констант — (G, h, c)-теорию, окончились безрезультатно. Такой теории до сих пор нет, хотя на ее создание возлагались очень большие надежды [11]. Почему так случилос ь? Очевидно потому, что тройка констант (G, h, c,) по каким-то причинам не может выступать в качестве константного базиса квантовой теории. В этой связи возникает правомерный вопрос: м ожно ли считать эти константы первичными и независимыми? Трудности в создании (G, h, c)-теории указывают на обратное. По всей видимости, существуют совершенно другие константы, которые являются и независимыми, и первичными и, соответственно, истинно фундаментальными. Очевидно от таких первичных констант должны происходить все основные физические константы, в том числе и константы G, h, c. Поскольку первичный статус констант G, h, c долгое время был вне сомнений, то, естественно, задача поиска онтологического базиса фундаментальных физических конс тант остро не стояла.

Неудачи в создании (G, h, c)-теории и большое количество других фундаментальных физических констант, среди которых трудно отдать какой-нибудь константе предпочтение, выдвигают на пе рвый план задачу поиска онтологического базиса физических констант. Современная физика накопила уже около 300 фундаментальных констант [6]. Сотни констант и все фундаментальные! Почему такое большое количество констант считаются фундаментальными? Если к ним подходить как к истинно фундаментальным константам, то их явно много. Если исходить из того, что основу мира составляет единая материальная сущность и все физические явления должны иметь единую природу, то количество констант должно быть намного мень шим. Здесь уместно вспомнить правило Оккама, в соответствии с которым не следует без необходимости увеличивать количество сущностей, а также мнение Френеля о том, что “природа склонна к управлению многим с помощью малого” [5, 8]. Поэтому, если в к ачестве критерия истинной фундаментальности рассматривать первичность и независимость констант, то фундаментальностью должны обладать совсем минимальное количество констант, а никак не десятки и конечно же не сотни. Таким образом, существует глубокое про тиворечие в том, что не единицы, а сотни констант наделены фундаментальным статусом. Предстоит выяснить, есть ли среди этих сотен констант «истинно фундаментальные» константы? Если таковые обнаружатся, то предстоит определить сколько их? Многое ук азывает на то, что на роль истинно фундаментальных констант достаточно трех размерных констант. Ведь неспроста только из трех основных единиц — метра, килограмма и секунды можно получить все производные единицы, имеющие механическую природу. Однако все т е же неудачные попытки в создании (G, h, c)-теории указывают на то, что трех констант явно недостаточно. Значит неизвестное число JF, которое соотв

3 < JF . С помощью пяти суперконстант можно получить аналитическим расчетом практически все важнейшие фундаментальные физические константы. Автором получены соответствующие математические соотношени я для вычисления значений фундаментальных физических констант с помощью суперконстант [1, 2, 3, 4]. По моему мнению, эти пять универсальных суперконстант смогут заменить собой большой перечень электромагнитных констант, универсальных констант, атомных и ядерных констант и стать основой новых физических теорий поля, элементарных частиц и гравитации. Более подробные сведения о суперконстантах можно узнать на сайтах:

http://www.sciteclibrary.com/

< A>

www.jsup.or.jp/shiryo/PDF/0900z53.pdf

http://www.rusnauka.narod.ru/

http://www.n-t.org/tp/ng/nfk.htm

4. Онтологический статус суперконстант hu, lu, tu, α, π

Пять суперконстант (hu, lu, tu, α, π ) составляют он тологический базис физических констант. Это значит, что физические константы происходят от пяти перечисленных суперконстант. Все пять суперконстант являются независимыми. Никакой комбинацией размерных суперконстант нельзя получить безразмерные суперконст анты. Никакой комбинацией безразмерных суперконстант нельзя получить размерные суперконстанты.

В [1, 2] cформулированны принципы суперконстантной достаточности для физических констант. Первый принцип суперконстантной достаточности: «В основе размерных фундаментальных физических констант лежат константы из группы универсальных суперконстант < /I>hu, lu, tu, α, π». Или в эквивалентной формулировке: «Значения размерных фундаментальных физических констант можно получить расчетным путем с использованием универсальных суперконстант hu, lu, tu, α, π «.

Второй принцип суперконстантной достаточности: «В основе всех безразмерных фундаментальных физических констант лежат две суперконстанты α и π». Или в эквивалентной формулировке: «Все безразмерные фундаментальные физические константы можно получить расчетным путем с использованием двух суперконстант α и π».

Таким образом, истинно фундаментальными являются пять суперконстант hu,lu,tu,α, π. Они же имеют онтологический статус. Можно сделать вывод, что другие физические константы были необосновано наделены фундаментальным статусом.

5. Необходимость поиска онтологического базиса системы единиц

Существование онтологического базиса физических констант косвенно указывает на то, что должно существовать минимальное количество физических единиц, от которых должны происходить все известные физические един ицы. Поскольку в составе онтологического базиса физических констант только три константы являются размерными, это указывает на то, что трех единиц должно быть достаточно для онтологического базиса системы единиц. Ведь неспроста только из трех основных ед иниц — метра, килограмма и секунды можно получить все производные единицы, имеющие механическую природу. Предстоит выяснить, могут ли электрические величины, например, ампер, быть сведены к механическим единицам и быть выражены посредством метра, килогра мма и секунды. Эта проблема непосредственно затрагивает принцип эквивалентности масс и требует его распространения не только на инертную и гравитационную массу, но и на электромагнитную массу. Тогда единицу измерения «килограмм» можно будет относить не т олько к механическим единицам, а распространить еще и на электромагнитные единицы. Предстоит также выяснить можно ли считать первичными и независимыми другие основные физические единицы.

Литература

1. Косинов Н.В. Физический вакуум и гравитация // Физический вакуум и природа, N4, 2000, с. 40 — 69.

2. Kosinov N. Five Fundamental Constants of Vacuum, Lying in the Base of all Physical Laws, Constants and Formulas // Physical Vacuum and Nature, N4, 2000, с. 96 — 102.

3. Косинов Н.В. Пять универсальных суперконстант, лежащих в основе всех фундаментальных констант, законов и формул физики и космологии. Актуальные проблемы естествознания начала века. Материалы международной конференции 21 — 25 августа 2000 г., Санкт- Петербург, Россия. СПб.: «Анатолия», 2001, с. 176 — 179.

4. Nikolay V. Kosiknov, Shanna N. Kosinova “GENERAL CORRELATION AMONG FUNDAMENTAL PHYSICAL CONSTANTS.” Journal of New Energy , 2000 , Vol. 5, no. 1, pages 134 -135.

5. Симанов А.Л. Проблема эфира: Возможное и невозможное в истории и философии физики // Философия науки, N1(3),1997.

6. Peter J. Mohr and Barry N.Taylor. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998 ; WWW.Physics.nist.gov/constants . Constants in the category «All constants» // Reviews of Modern Physihs, Vol 72, No. 2, 2000.

7. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. Пуанкаре А. О науке, М., 1983.

8. Фирсов В.А. Философско-методологический анализ проблемы единства физики в концепции калибровочных полей // Философия науки, N1(3),1997.

9. Киттель Ч. , Найт У. Рудерман М.: Механика. Берклеевский курс физики.» 1, М., «Наука»,1975.

10. Carter J. The Other Theory of Physics, Washington, 1994.

11. Манин Ю.И. Математика и физика. М. «Знание», 1979.

12. John Baez. How Many Fundamental Constants Are There?

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная  работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения

гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового  уравнения            ( ¶   2 u/ ¶  t2) =  c 2 * ( ¶   2u/ ¶   x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x £ T, начальным условиям u(x,0) = f(x),  ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £  x £  a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ®   ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶   2 u/ ¶  t2) =  ( ¶  2u/ ¶  x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 £  x £  a, 0 £  t £  T } сетку xi = ih, i=0,1 … n , a = h * n, tj = j* ttt  , j = 0,1 … , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

СВЯЗЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ С КОНСТАНТАМИ ФИЗИКИ И КОСМОЛОГИИ

АННОТАЦИЯ

На основе выявленной взаимосвязи фундаментальных физических констант исследуется гипотеза больших чисел Дирака. Решается задача определения значений больших чисел и астрофизических констант с точностью, близкой к точности фундаментальных физических констант CODATA 1998. Выявлена глобальная связь, существующая между астрофизическими константами, фундаментальными физическими константами и большими числами.

Установлено, что в основе больших чисел лежит одно большое космологическое число Do=4,16650385(15)∙1042, от которого происходят все другие большие числа. Это число имеет фундаментальный статус. Высокая точность, с которой удалось определить значение большого космологического числа Do и его фундаментальный статус, позволили найти математические соотношения для вычисления значений постоянной Хаббла H, гравитационной константы G, планковских констант, астрофизических констант и получить их новые значения с высокой точностью. Выявлен единый онтологический базис фундаментальных физических констант и астрофизических констант. Установлено, что у констант, различающихся по своим значениям на 127(!) порядков, существует единство и взаимосвязь, проистекающие от того, что в их основе лежат первичные универсальные суперконстанты hu, tu, lu, α, π, которые являются онтологическим базисом физических, астрофизических констант и больших чисел.

ВВЕДЕНИЕ

Ожидается, что наметившаяся тенденция объединения космологии и физики элементарных частиц [2], может привести к новым открытиям, которые помогут раскрыть и понять физические законы, действующие как в микромире, так и в макро- и мегамире. И в физике, и в космологии важную роль играют константы и числа. Особый интерес у физиков вызывают большие числа, которые часто появляются во многих соотношениях физики и космологии [1,3,5]. Значения констант и чисел систематически уточняются. Недавно опубликованы новые рекомендуемые значения фундаментальных физических констант CODATA 1998 [7]. В настоящее время точность фундаментальных физических констант уже достигла 10-9 -10-12[7]. Однако большинство данных, относящихся к Метагалактике, содержат неопределенность от одного до двух порядков величины. Такая же низкая точность и у больших чисел. Такое большое различие в точности (на 10–14 порядков!) делает неэффективным совместное использование физических констант, астрофизических констант и больших чисел в различных формулах и уравнениях и создает препятствие для выявления связей между ними. Поэтому важнейшей задачей является нахождение точных значений астрофизических констант, больших чисел и других величин, относящихся к Метагалактике. Ниже будет приведено решение этой задачи, основанное на исследовании фундаментальных физических и астрофизических констант.Это исследование направленно также на поиск онтологического базиса физических и астрофизичеких констант.

Решение проблемы больших чисел, проведено на основе выявленной глобальной взаимосвязи, существующей между фундаментальными физическими константами [9-17]. Приведенные ниже результаты получены с использованием найденной в [9-15] группы универсальных суперконстант: фундаментального кванта действия hu (hu=7,69558071(63)•10-37 J s), фундаментального кванта длины lu (lu=2,817940285(31)•10-15 m), фундаментального кванта времени tu (tu=0,939963701(11)•10-23 s), постоянной тонкой структуры α (α=7,297352533(27)•10-3 ) и числа π (π=3,141592653589).

1. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДИРАКА

В физических уравнениях и в физических теориях часто встречаются большие числа порядка 1039 –1044, и эти же числа во второй и в третьей степени [1,3,5,6]. На особенность больших чисел впервые обратил серьезное внимание П.Дирак. Он получил следующие безразмерные числа[1,3]:

k = e2/Gmemp≈1039,

χ = tU/e2mec3≈1039,

N = MU/mp≈1078=(1039)2.

Первое число является отношением электрических и гравитационных сил в атоме водорода, второе число — есть возраст Метагалактики в атомных единицах времени, третье — есть отношение массы Метагалактики к массе протона. Для определения массы Метагалактики Дирак использовал следующее космологическое соотношение [6]:

MU = mp(hc/Gmp2)2 ≈1078 mp.

Считая совпадения больших чисел не случайными, П.Дирак сформулировал следующую гипотезу больших чисел [4]: ”В качестве общего принципа можно принять, что все большие числа порядка 1039, 1078 и т.д., встречающиеся в общей физической теории, с точностью до простых числовых множителей равны t, t2 и т.д., где t — время в современную эпоху, выраженное в атомных единицах. Упомянутые простые числовые множители должны определяться теоретически, когда будет создана полная теория космологии и атомизма.”

Гипотеза Дирака привлекла внимание многих исследователей. Было выявлено большое количество совпадений, связанных с числами порядка 1039. В настоящее время магическим большим числом современной физики считается уже не 1039, а 1040 [1,5]. Это магическое число образует семейство чисел типа:

Dn =(1040)n,

где: n принимает кратные 1/4 значения от 1/4 до 3 [1,5]. Число 1040 получено округлением по порядку величины числа hc/Gmp2 ≈1,7х1038 [5]. На допустимость такого округления указывает П.Девис [5], считая, что “по сравнению с 1040 даже 102 пренебрежимо мало”.

Примерами больших чисел являются следующие величины:

отношение плотностей фотонов и барионов [1,5]:

nγ/nB≈D1/4

-отношение времени жизни типичной звезды к планковскому времени [1,5]:

tH/tpl≈D3/2

-отношение характерного ядерного времени к планковскому времени [1,5]:

tN/tpl≈D1/2

-количество заряженных частиц во Вселенной [1,5]:

Nq≈1080=D2

-отношение действия Метагалактики к элементарному действию [6]:

2MU c2tH/h ≈ 10120 = D3,

-отношение квадрата гравитационного заряда Вселенной к hc [1,5,6]:

GMH2/hc ≈ 10120=D3.

Гипотеза Дирака основывалась на предположении о непостоянстве фундаментальных констант, в частности, на изменении гравитационной константы G со временем. Однако эта гипотеза вступила в острое противоречие с опытными данными. Проведенные длительные исследования возможных вариаций фундаментальных констант не выявили ни одного подобного факта [1]. Более того, с большой точностью подтверждены факты неизменности физических констант. Так, например, оценки верхних пределов возможных изменений констант слабого и гравитационного взаимодействий составляют соответственно 10-12 год-1 и 10-10 год-1, а констант электромагнитного и сильного взаимодействий – соответственно 10-17 год-1 и 10-19 год-1 [2]. Оценка верхнего предела возможных изменений константы mp/me составляет 10-13 год-1 [2], а констант c, α, h соответственно 10-12 год-1,10-17 год-1, 10-12 год-1 [1]. Все исследования последствий возможных изменений констант показывают, что с фундаментальными константами следует соблюдать осторожность[2]. Исследования показали, что даже незначительные вариации фундаментальных констант привели бы к невозможности существования наблюдаемого мира [2]. Тем не менее, неудача с гипотезой, основанной на предполагаемых вариациях констант, не снизила интереса к большим числам. Выявленное множество совпадений больших чисел все еще нуждается в объяснении. За эту проблему брались многие известные физики. Попытки Эддингтона и других исследователей объяснить совпадения больших чисел на основе физических принципов не увенчались успехом [1]. Альтернативные объяснения совпадения больших чисел, предложенные Дикке, Хойлом, Картером, известные как слабый и сильный антропные принципы, также не решают проблему [1,5]. Как отмечает Аракелян Г.Б.[1]: “Антропный принцип подвергается критике со стороны физиков и особенно философов за спекулятивность, метафизичность, разрыв причинно-следственных связей”. По мнению П.Девиса [5]: “Весьма возможно, что в будущем будут найдены объяснения некоторых из рассмотренных численных совпадений в рамках теоретической физики, а не биологии. В этом случае таинственное число 1040 будет выведено математически”.

В качестве противопоставления антропным принципам возникла идея о множественности Вселенных [1,5]. Такое большое количество столь разных концепций появилось по причине того, что ни одна из физических теорий не смогла отыскать требуемое решение проблемы больших чисел[1]. Бессилие физической теории перед этой проблемой привело к тому, что многие ученые стали предпринимать попытки решать эту задачу методом подбора и привлечением нумерологии. Такая “игра с числами” порой приводила к близким значениям для величин, которые были известны с большой погрешностью, но по мере их уточнения выявлялась бесперспективность и ошибочность такого подхода. Нумерологический подход, основанный на игре с числами, нельзя отнести к научному методу. По словам Г.Б.Аракеляна: ”С помощью нумерологии можно по-разному и на данный момент очень хорошо аппроксимировать любую физическую величину, с какой бы точностью она ни была измерена, но шансы на точное попадание, пользуясь геометрическим образом, в искомую точку на числовой оси здесь крайне незначительны, поскольку вероятность случайного отыскания нецелого числа, неустановленной математической природы чудовищно мала”[1]. Основной причиной обилия нумерологических подходов является очень низкая точность, с которой сегодня известны значения больших чисел. Сегодняшняя точность физических констант уже достигла 7,6х10-12[7] и на этом фоне точность 102 – 103 у больших чисел выглядит резким контрастом, что дает почву для ненаучных подходов к проблеме. Таким же ненаучным является нумерологический подход. Так и осталась эта таинственная проблема совпадения больших чисел не решенной. До сих пор не удалось создать “полную теорию космологии и атомизма”, на что надеялся П.Дирак [4]. Не удалось вывести большие числа математически, как это хотел П.Девис [5]. Не дошло дело и до выяснения истинных значений, упомянутых П.Дираком, “простых числовых множителей” перед большими числами. Все это указывает на то, что проблему больших чисел необходимо решать по-иному. Ниже представлено решение этой проблемы на основе найденных в [9-17] универсальных суперконстант hu,tu,lu,α,π.

2.ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОНСТАНТ

В работах [9-17] было показано, что между фундаментальными физическими константами существует глобальная взаимосвязь и взаимозависимость. Были найдены математические соотношения для большинства фундаментальных физических констант и установлено, что соотношения для констант, таких как, гравитационная константа G, планковские константы, постоянная Хаббла H, содержат большое число Do (Do = 4,166…∙1042), представляющее собой отношение электрических и гравитационных сил в атоме позитрония. Математические соотношения для констант G, H и планковских констант получены не “игрой c числами”. Они строго следуют из теории, основанной на использовании универсальных суперконстант hu,tu,lu,α,π [9-17]. Соотношения приведенные в [9-17] показывают, что существует не только взаимная связь внутри семейства фундаментальных физических констант, но и общая связь между фундаментальными физическими константами, астрофизическими константами и большими числами. При этом в найденных математических соотношениях рядом стоящими оказались величины, различающиеся по точности на 9–10 порядков. Рядом стоящими оказались: большое число D0, фундаментальные физические константы и универсальные суперконстанты. Наименьшая точность оказалась у большого числа D0, у планковских констант и у астрофизических констант(102 — 103). Естественным образом возникла потребность иметь близкую или соизмеримую точность у величин, используемых совместно. Для этого необходимо было “подтянуть” точность астрофизических констант и большого числа D0 к точности фундаментальных физических констант и универсальных суперконстант (10-9 — 10-11). Такая возможность существует и ее открывают, полученные в [9,16] и приведенные ниже специальные соотношения, включающие в себя фундаментальные физические константы, универсальные суперконстанты и большое число Do. Покажем это.

Из соотношений для постоянной Хаббла: H =1/2tuαD0, H=huαDo/2l2cos me, H = hu/2l2u αDome, учитывая экспериментальное значение этой константы H=1,71(17)∙10-18 c-1 (53+5 (км/с)/Мгпс [8]), получим первое приближение для большого числа Do. Все три формулы дают значение Do=4,26(39)∙1042.

Из соотношений для гравитационной постоянной G, содержащих большое число Do [9,16]:G = lu3/tu2 me Do, G = lu5/tu3huDo, G = lu4α3/4πtu3huR∞ Do, G = hulu/tume2D0, G = lu4107/e2tu2Do, G = 2πc3lu2/αhDo, G = c4lu /EeDo, G = 2lu3 αH/tu me , G = 2 ћ lu α2 H/me2 , учитывая экспериментальное значение этой константы G = 6,673(10)∙10-11 м3 кг-1c-2 [7], получим более точное значение большого числа Do. Все формулы дают значение Do=4,1664(63)∙1042. Такое же значение для Do получается из новых соотношений для планковских констант [9,16]:

mpl=hutu(Do/α)1/2/lu2 lpl=lu(1/Do α)1/2 tpl=tu(1/Do α)1/2 Tpl=Tu(Do/α)1/2 Epl=Ee(Do/α)1/2

Значение Do во втором приближении содержит 5 цифр, что позволяет уточнить величину постоянной Хаббла. При Do=4,1664(63)∙1042 постоянная Хаббла будет равна: H = 1,7495(27)∙10-18 c-1 = 53,984(84) (км/с)/Мгпс, что на три порядка точнее известного на сегодня значения.

Для получения более точного значения Do воспользуемся результатами работ [16, 17], где на основе топологической формулы протона

Pp=2(2(2(2(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1

были получены формулы для массы протона, в которые входит большое число Do:

Поскольку значения констант mp/me и ge известны с очень большой точностью [7], эти формулы дают возможность вычислить с большой точностью число Do.Высокая точность современных значений фундаментальных физических констант, позволяет знать девять знаков для этого числа [9,16]:

Do = 4,16650385(15)∙1042.

Это значение большого числа Do находится в пределах чрезвычайно высоких точностей, с которыми известны на сегодня фундаментальные физические константы (CODATA 1998 [7]). Имея такую высокую точность для Do, его уже можно применять в математических соотношениях совместно с другими физическими константами. Будем называть большое число Do большим космологическим числом. Ниже будет показано, что это большое число имеет фундаментальный статус.

В табл.1 приведены значения большого космологического числа Do, полученые различными способами.

Табл.1

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон
Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р.
Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву [pic] и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латинские буквы X1, Х2, … (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, … для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения Х[pic]Y для[pic](X, Y) и X[pic]Y для [pic][pic](X, Y).
Содержательно знак [pic] понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы [pic].

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. [pic] служит сокращением для формулы [pic](включение).

Определение. X[pic]Y служит сокращением для Х [pic] Y & X ? Y
(собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) [pic] Х = Y [pic] (X [pic] Y & Y [pic] X);

(b) [pic] Х = Х;

(с) [pic] Х = Y [pic]Y = Х;

(d) [pic] Х = Y [pic] (Y = Z [pic]Х = Z);

(е) [pic] Х = Y [pic] (Z[pic]X [pic] Z[pic]Y).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия
«совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для [pic]Y(X[pic]Y) (X есть множество).

Определение. Pr(X) служит сокращением для [pic] M(X) (X есть собственный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами
(т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, [pic]x1 A (x1) будет служить сокращением для [pic]X (M(X)[pic]A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и [pic]x1 A (x1) будет служить сокращением для [pic]X (M(X)[pic]A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, … будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение [pic]Х[pic]х[pic]y[pic]ZA (X, х, y, Z) служит сокращением для

[pic]Х[pic]Xj (М(Xj)[pic][pic]Y(M(Y)&[pic]ZA (X, Xj, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y
[pic](X[pic]Z[pic]Y[pic]Z).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) [pic]x[pic]y[pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u = x[pic]u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) [pic]х [pic]y (у
[pic] х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.
[pic] [pic]1x [pic] y (у [pic] х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение. [pic]y (y [pic] 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}.
Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов
Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что
[pic]NBG [pic]1Z((M(X)&M(Y)&[pic]u (u [pic] Z [pic] u = X [pic] u = Y))
[pic]

[pic](( [pic] M(X) [pic] [pic] M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &[pic] u (и [pic]{X, Y} [pic] u = X [pic] u
= Y)) [pic]

[pic](([pic] M(X)[pic] [pic] M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доказать, что [pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u (u [pic] {х, у}
[pic] u = x [pic] u = y) и [pic]NBG [pic]x [pic]y (M({х, у})).

Определение. [pic] = {{Х}, {X, Y}}. [pic] называется упорядоченной парой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет.
Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

[pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u [pic]v ([pic]).

Доказательство. Пусть [pic] = [pic]. Это значит, что {{x}, {x, y}} =
{{u}, {u, v}}. Так как {х} [pic] {{x}, {x, y}}, то {x} [pic] {{u}, {u, v}}.
Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} [pic] {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} [pic]{{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y}
= {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ? u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки.

Определение

[pic] = Х,

[pic]

Так, например,

[pic] и [pic]

В дальнейшем индекс NBG в записи [pic]NBG опускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

[pic] [pic]

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами.

А к с и о м а В1. [pic]X [pic]u [pic]v ([pic][pic]X [pic] u [pic] v)
([pic]- отношение).

А к с и о м а В2. [pic]X [pic]Y [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u
[pic] X & u [pic]Y)

(пересечение).

А к с и о м а В3. [pic]X [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] X)

(дополнение).

А к с и о м а В4. [pic]X [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] [pic]v
([pic][pic]X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v ([pic] [pic] Z [pic] u
[pic] X).

А к с и о м а В6. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).

А к с и о м а В7. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

[pic] [pic]X [pic]Y [pic]1Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] X & u
[pic] Y),

[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] x),

[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic][pic]v ([pic] [pic] X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ?, -,
D.

Определения

[pic]u (u [pic] X ? Y [pic] u [pic] X & u [pic] Y) (пересечение классов Х и Y).

[pic]u (u [pic][pic][pic] u [pic] X)
(дополнение к классу X).

[pic]u (u [pic] D (X) [pic][pic]v ([pic] [pic] X)) (область определения класса X).

[pic] (объединение классов Х и Y).

V = [pic]
(универсальный класс).

X — Y = X ? [pic]

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств
(т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
[pic] [pic]Z[pic]x1 …[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул ?, которые не содержат подформул вида Yi [pic] W, так как всякая такая подформула может быть заменена на [pic]x (x = Yi & x [pic] W), что в свою очередь эквивалентно формуле [pic]x ([pic]z (z [pic] x [pic] z [pic]
Yi) & x [pic] W). Можно также предполагать, что в ? не содержатся подформулы вида X[pic]X, которые могут быть заменены на [pic]u (u = X & u
[pic] X), последнее же эквивалентно [pic]u ([pic]z (z [pic] u [pic] z
[pic] X) & u [pic] X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу ? (записанную с ограниченными переменными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула ? имеет вид xi [pic] xj, или xj [pic] xi, или xi [pic] Yi, где 1 ? i < j ? n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W1 [pic] xi [pic] xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W2 [pic] xj [pic] xi), и тогда, в силу

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]u [pic]v ([pic][pic] Z [pic] [pic] [pic] X), существует класс W3 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W3 [pic] xj [pic] xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vk[pic]u[pic]w ([pic] [pic] Z [pic] [pic]

[pic] X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что

[pic]x1… [pic]xi-1[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…,

Ym)).
Далее, на основании

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic]

[pic] Z[pic][pic][pic]X) там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что

[pic]x1 … [pic]xi [pic]xi+1 … [pic]xj ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn,

Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z

[pic][pic][pic]X)

(1) там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi [pic] Yi теорема следует из (1) и
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x[pic] v1…[pic]vm ([pic] [pic] Z [pic] x [pic] X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что ? содержит s логических связок и кванторов.

(a) ? есть [pic] ?. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Теперь остается положить Z = [pic].

(b) ? есть ? [pic]?. По индуктивному предположению, существуют классы
Z1 и Z2 такие, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс [pic].

(c) ? есть [pic]x ?. По индуктивному предположению, существует класс
W такой, что

[pic]x1…[pic]xn[pic]x ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…, xn, x, Y1,…,
Ym)).
Применим сперва

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z [pic][pic]y
([pic][pic] X)). при X = [pic] и получим класс Z1 такой, что

[pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z1[pic][pic]x[pic] ? (x1,…, xn, x,
Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = [pic], замечая, что [pic]x ? эквивалентно
[pic][pic]x[pic] ?.

Примеры. 1. Пусть ? (X, Y1, Y2) есть формула [pic]u[pic]v (X = [pic]
& u [pic] [pic] Y1 & v [pic] Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,
[pic] [pic]Z [pic]x (x [pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)), а на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z [pic]x (x
[pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву [pic]:

Определение. [pic]x (x [pic] Y1 [pic] Y2 [pic] [pic]u[pic]v (x =
[pic] & u [pic] Y1 & v [pic] [pic]Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X [pic] X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1 [pic] X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х [pic]V2 (X есть отношение).

2. Пусть ? (X, Y) обозначает Х [pic]Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z
[pic] x [pic]Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. [pic]x (x [pic]P (Y) [pic] x [pic]Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве ? (X, Y) формулу [pic]v (X [pic] v & v [pic]
Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
[pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z [pic][pic]v (x [pic] v & v [pic] Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение. [pic]x (x [pic] [pic](Y) [pic] [pic]v (x [pic] v & v
[pic] Y)). ([pic](Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть ? (X) есть [pic]u (X = [pic]). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что [pic]x (x [pic] Z [pic][pic]u (x = [pic])).

Определение. [pic]x (x [pic]I [pic] [pic]u (x = [pic])). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym)

[pic] [pic]1W( W [pic] Vn & [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] W [pic]

[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ? Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym) через [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок [pic] , удовлетворяющих формуле ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. [pic]u (u [pic] [pic]
[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) [pic] [pic]x1…[pic]xn (u = [pic] & ? (x1,…,xn,
Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n
= 1 получим [pic] [pic]u (u [pic] [pic] ? (x, Y1, …, Ym) [pic] ? (u, Y1,…,
Ym)) (иногда вместо [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {[pic]| ?
(x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Пусть ? есть [pic][pic]Y. Обозначим [pic][pic]([pic][pic]
Y) сокращенно через [pic], тогда [pic] [pic][pic] V2 &
[pic]x1[pic]x2([pic][pic] Y [pic][pic][pic] Y). Назовем [pic] обратным отношением класса Y.

2. Пусть ? есть [pic]v ([pic][pic] Y). Обозначим через R(Y) выражение
[pic]([pic]v ([pic][pic] Y)). Тогда [pic] [pic]u (u [pic]R(Y) [pic][pic]v
([pic][pic] Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y.
Очевидно, [pic] R(Y) = D([pic]).

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v (u [pic] v & v [pic] x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение [pic](х) всех элементов множества х является также множеством, т. е. [pic] [pic]x (M([pic](х))). Множество и
[pic](х) обозначают также через и [pic]v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] u [pic] x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, [pic] [pic]x (M(P (х))).

Примеры.

[pic] P (0) = {0}.

[pic] P ({0}) = {0, {0}}.

[pic] P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения.

А к с и о м а S.

[pic]x[pic]Y [pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u [pic] x & u [pic] Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y.
Следовательно, [pic] [pic]x[pic]Y (M (x ? Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество.

Предложение 5. [pic] [pic]x[pic]Y (Y [pic] x [pic] M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество).

Доказательство. [pic] [pic]x (Y [pic] x [pic]Y ? x = Y) и [pic]
[pic]x (M (Y ? x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле
A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.

Определения

Un (X) означает [pic]x[pic]y[pic]z ([pic] [pic] X & [pic]
[pic] X [pic] y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает X [pic] V2 & Un (X). (X есть функция.)

Y 1 X означает X ? (Y [pic]V). (Ограничение Х областью Y.)

Un1 (X) означает Un (X) & Un ([pic]). (X взаимно однозначен.)

X‘Y [pic]

Если существует единственное z такое, что [pic] [pic] X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у
(В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

[pic]x (Un (X) [pic] [pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v ([pic][pic]

X & v [pic] X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

[pic]x (0 [pic] x & [pic]u (u [pic] x [pic] u [pic] {u} [pic] x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 [pic] x, и если и [pic] x, то и [pic]{и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} [pic] x, {0, {0}} [pic] x, {0, {0}, {0,
{0}}} [pic] x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0,
1, … , n – 1}, то для любого целого п ? 0 будет выполнено п [pic] х, и при этом 0 ? 1, 0 ? 2, 1 ? 2, 0 ? 3, 1 ? ? 3, 2 ? 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N
(пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I
(бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y
= [pic](x [pic] x) ,т. е. [pic]х (х [pic] Y [pic] х [pic] х). (Такой класс
Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х [pic] х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: [pic]X (M(X)
[pic] (X [pic] Y [pic] X [pic] X)). Допустим M(Y). Тогда Y [pic] Y [pic] Y
[pic] Y, что, в силу тавтологии (A [pic][pic] A) [pic]A & & [pic] A, влечет
Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y. Отсюда по теореме дедукции получаем
[pic] M(Y)[pic](Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y), а затем, в силу тавтологии (B
[pic] (A & [pic] A))[pic][pic] B , получаем и [pic] М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории
NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-
Форти).

Определения

X Irr Y означает [pic]y (y [pic]Y [pic][pic] [pic] X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & [pic]u[pic]v[pic]w (u[pic]Y & v[pic]Y & w[pic]Y &

& [pic][pic]X &[pic][pic]X & X [pic][pic][pic]X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & [pic]u[pic]v (u[pic]Y & v[pic]Y & u ? v
[pic][pic][pic]

[pic] X [pic] [pic] [pic] X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & [pic]Z (Z[pic]Y &

& Z ? 0 [pic][pic]y (y [pic] Z & [pic]v (v [pic] Z & v ? y [pic][pic] [pic] X &

& [pic] [pic] X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y [pic] y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

[pic]u (u [pic] x [pic] u ? 0 & [pic]v (v [pic] x & v ? u [pic]v ? u

= 0))[pic]

[pic][pic]y[pic]u (u [pic] x [pic][pic]1w (w [pic] u ? y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое множество может быть вполне упорядочено. [pic]x [pic]y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): [pic]x[pic]y (x [pic] y[pic] y [pic] x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
[pic]x[pic]y ((y Part x) & [pic]u (u [pic] x & y Tot u [pic][pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] u [pic]w =

= v [pic] [pic] [pic] y))) [pic] [pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] x

[pic][pic] [pic] y))).

Доказательство.

1. [pic] (W. O.) [pic]Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W.
O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа ? и ?, что х [pic] ? и y [pic] ?. Но так как ? [pic] ? или ? [pic] ?, то либо x [pic] y, либо y [pic] x.

2. [pic] Trich [pic] (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число ?, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа ?, и вполне упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. [pic] (W. O.) [pic] Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество [pic](х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и [pic] х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и [pic] [pic](х).)

4. [pic] Mult [pic]AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u [pic]{и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основании Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ? u и u [pic] х, то и [pic]{и} [pic] х1 и у содержит и притом единственный элемент[pic] из и [pic]{и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей функцией для х.

5. [pic] АС [pic]Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань.
На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘? = f‘u для любого ?, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения у, что v [pic] х и v [pic] F‘‘ ?. Пусть ? есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения v, принадлежащих x и не принадлежащих F‘‘ ?. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однозначной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = ? 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если ?

Глава 1

§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры осуществляются рядом аксиом.

Основные понятия теории: «вектор», «сумма двух векторов»,
«произведение вектора на действительное число».

Косвенным определением основных понятий теории векторного пространства являются следующие аксиомы:

I. Для любых векторов [pic] и [pic]существует единственный третий вектор [pic], называемый их суммой

[pic]

Таким образом аксиома I постулирует: а) единственность этой суммы. б) существование суммы двух векторов [pic] и [pic];

Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию f1: V x V ( V. которая называется сложением двух векторов.

II. Сложение векторов коммутативно, т.е.

[pic].

III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

[pic] [pic]

IV. Существует вектор [pic] такой, что [pic] для любого вектора,
[pic] т.е.

[pic] [pic]

Определение 1.1. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме IV, называется нулевым вектором и обозначается [pic]

V. Для каждого вектора [pic] существует такой вектор [pic], что
[pic]+[pic]=[pic] [pic][pic]

Определение 1.2. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме V, называется противоположным вектору [pic].

VI. Для любого вектора [pic] и действительно числа [pic], существует единственный вектор [pic], называемый произведением вектора [pic] на число
[pic] и обозначаемый т.о.: [pic], т.е.

[pic], [pic], [pic]

Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):

[pic]
Эта операция носит название «умножение вектора на число».

VII. Для любого вектора [pic] умножение вектора [pic] на 1 не изменяет вектора [pic], т.е.

[pic], [pic]

VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

[pic], [pic], [pic]

IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.

[pic], [pic], [pic]

X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.

[pic], [pic], [pic]

Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно теперь определить т.о.: множество V с введенными двумя операциями

[pic]

[pic], подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем действительных чисел R.

Государственный комитет Российской федерации по высшему образованию.

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И.Лобачевского

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики.

Кафедра Прикладной Теории Вероятностей.

Курсовая работа:

“ Модель управления конфликтными потоками в классе алгоритмов с упреждением при влиянии случайной среды на структуру входных потоков и загрузку системы.”

Выполнил студент 843 гр.

Родин А.В.

Основная часть:    

 Применение графиков в решении уравнений.

 I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х  является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую       у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4×2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

                        D=(-1)2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).
        

  II) Системы уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.

    Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25    (1)

                                                ⌠y=-x2+2x+5  (2)   

Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):

Построим в одной системе координат графи)

                            х2 +у2=25  и у=-х2+2х+5    

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5),   В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

                х1≈-2,2 , у1≈-4,5;                   х2≈0,  у2≈5;

                х3≈2,2 ,  у3≈4,5;                     х4≈4,  у4≈-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.

 III)Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u  y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями).   Рисунок 6.

Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет  2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)
 

                   Применение графиков в решении неравенств.

1)Неравенства с модулем.

Пример1.

Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.

На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем                 |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо.     Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения  гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

 Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

 Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u  y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a|  расположена под прямой y=b.

Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет,

             Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).

  III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

                        sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке  решений числа вида 2πп, пЄZ.

          Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7π/, то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для  x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .

Ответ: -π/6+2πn<x<7π/6+2πn, где nЄZ.

Рисунок 10.

Лекцiя

Тема:Абсолютна величина дiсного числа.Властивостi абсолютних величин.
Змiннi i сталi величини.Функцiя.Парнiсть,непарнiсть,перiодичнicть,моно- тоннicть.Складна функцiя.Класифiкацiя функцiй.Перетворення графiкiв.

ПИТАННЯ.

1.Дiйснi числа.Абсолютна величина (модуль) дiйсного числа.Властивостi абсолютних величин.
2.Сталi i змiннi величини.Iнтервали (-окрестнiсть.
3.Означення функцiп ,область означення,множина значень функцiп.Способи завдання функцiп.Складна функцiя.
4.Парнiсть,непарнiсть функцiп.Зростаючи i спадаючи функцiп.Обмеженi функцiп.
Периодичнi функцiп.
5.Класифiкацiя функцiй.
6.Перетворення грификiв.
ОЗНАЧЕННЯ.Абсолютною величиною (або модулем) дiйсного числа x (позначається
|x|) називається невiд’ємне дiйсне число,задовольняюче умовам:

| Х, якщо Х>0
|X|= 0,треба перейти до нових одиниць масштабу.Одиницю масштабу на осі Ох залишило незмінною, а за одиницю масштабу по осі Оу візьмемо добуток М на стару одиницю і побудуємо графік функції у=f(х) в нових одиницях масштабу

5) у=f(х+с), у=f(kx)

Графік функції х+с ( Х отримуємо і графіка функції у=f(х) непосреднім переміщенням його переменною осі с Ох на (с( одиниць масштабу вліво, якщо

C>0 (і вправо, якщо С0,(kx) ( x отримуємо із графіка у=f(х) непосреднім розтягненням його в 1/k разів по напрямку осі Ох.
6) Перенесення графіка паралельно осі ординат g(x)=f(x)+a
Приклади: у=(х(+2х у= -3cos(2x+(п/6)) у=х+sinx
7) Графічне рішення

8) Графічне рішення систем х+у=2 х-2у=1

х=5/3, у=1/3.

VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

9-I-1. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x;y) которых удовлетворяют уравнению x3 + y3 = x2y2 + xy.
9-I-2. Найдите a, b, c, d, при которых для всех x имеет место равенство
||x| — 1| = a|x| + b|x — 1| + c|x + 1| + d .
9-I-3. Представьте 102 в виде суммы наибольшего числа различных простых чисел.
9-I-4. Расстояние между городами A и B равно 30 км. Из A выехал автобус, который через каждые 5 км делает остановку продолжительностью 2 мин. Между остановками автобус движется со скоростью 80 км/ч. Одновременно с отправлением автобуса из A навстречу ему из B выезжает велосипедист, который едет со скоростью 27 км/ч. На каком расстоянии от A велосипедист встретится с автобусом?
9-I-5. При всех допустимых значениях a и b решите уравнение x3 / (x — a)(x — b) + a3 / (a — b)(a — x) + b3 / (b — x)(b — a) = x2 + a + b.
9-I-6. Две вершины прямоугольника расположены на стороне BC треугольника
ABC, а две другие на сторонах AB и AC. Известно, что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне BC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на BC, в три раза меньше BC. В каком отношении высота треугольника делит сторону BC?
9-I-7. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD при продолжении пересекаются в точке E. На диагоналях AC и BD взяты соответственно точки M и N так, что
AM/AC = BN/BD = k. Найдите площадь треугольника EMN, если площадь четырехугольника ABCD равна S.
9-I-8. Дан треугольник ABC. На его сторонах BC, CA и AB взяты соответственно точки A1, B1 и C1 так, что 2(B1A1C1 + (BAC = 180(, 2(A1C1B1
+ (ACB = 180(, 2(C1B1A1 + (CBA = 180(. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников A1B1C1 (рассматриваются всевозможные такие треугольники).

Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное дви­жение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.

Первая задача Циолковского

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолков­ского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо­положную скорости  движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо­линейного движения точки переменной массы принимает вид

.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 1

,

где — начальная скорость, направленная по реактивной силе; —начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем

.                                                                                                     (14)

Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) , то, обозначая через т массу топлива, для скорости движения v1 в конце горения имеем

.

Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m/Mp, получаем сле­дующую формулу Циолковского:

.                                                                                                (15)

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т. е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно увеличить двумя путями. Одним из этих путей является увеличение относитель­ной скорости отделения частиц  или для ракеты увеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать ско­рости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2…2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позво­лит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличе­ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструк­цией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М0/Мр путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке­ты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработав­ших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается Мр за счет отброшенных масс баков и двигателей.

Для определения уравнения движения точки переменной массы из (14) имеем

,

или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х=0 при t=0, получаем

.                                                                                              (16)

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рас­сматривают два закона изменения массы: линейный и по­казательный. При линейном законе масса точки с течением времени изменяется так:

M=M0 (1-at),                                                                                                          (17)

где a=const (a—удельный расход), а М0—масса точки в начальный момент времени.

При показательном законе изменение массы

.                                                                                                           (18)

Выполняя интегрирование в (16) при линейном законе изменения массы (17), получаем следующее уравнение движения:

.                                                                         (19)

При показательном законе изменения массы (18) соответ­ственно

.                                                                                                        (20)

Отметим, что при линейном законе изменения массы (17), если =const, секундный расход массы

(- dM/dt) =aM0  = const

и реактивная сила

= const.

При показательном законе секундный расход массы и ре­активная сила являются переменными, но ускорение точки переменной массы , вызванное действием на точку одной реактивной силы , является постоянным, т. е.

=const.

Первая результативная попытка выявления взаимосвязи и единства числовых значений фундаментальных физических постоянных, по всей видимости, принадлежит Р. Бартини [1,2]. В работе автора [3] были получены подобные результаты, но без использования применявшихся Бартини представлений о шестимерном пространстве-времени. При этом автор применял ту же кинематическую (LT) систему размерностей, что и Бартини.

Различия в применявшейся системе размерностей у автора и у Бартини состоят в разном представлении размерности электрического заряда.

Эти различия состоят в следующем. Во-первых, надо отметить, что размерность электрического заряда может выражаться по-разному. Эта физическая величина, пока еще, неоднозначна для нас по своей размерности. Во вторых, по мнению автора, Бартини ошибочно принял размерность электрического заряда идентичной размерности массы (L3T-2), которую установил еще Максвелл [4]. В третьих, автор принял (вернее сказать нашел) верную размерность электрического заряда в LT- системе размерностей, исходя из своих априорных представлений о существовании системной взаимосвязи всех физических величин.

Автор уверен, что только выбранное им значение размерности электрического заряда L3T-1, приводит к выявлению естественного и красивого расположения важнейших физических величин в определенной системе. Эта система представлена на рис.1. В этой системе присутствует один из самых главных и примечательных системных признаков — свойства элементов определяются их местоположением в системе.

СИСТЕМА ДИНАМИЧЕСКИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В РАЗМЕРНОСТИ LT

Видно, что элементы верхнего ряда системы принадлежат к квантуемым или константным физическим величинам, значения которых (сами по себе) или кванты которых есть фундаментальные физические постоянные. Это — электрическая и магнитная постоянные, проводимость (сопротивление) Холла, элементарный электрический заряд, постоянная Планка. Еще две квантуемые физические величины — элемент электрического тока и потенциальное действие являются пока «белыми пятнами» современных физических представлений.

Вполне очевидно, что второй (сверху) ряд элементов системы образован сохраняющимися физическими величинами. В этот ряд входят: энергия, импульс, масса, пространственная протяженность (длина) и время. Сюда же входит еще одно «белое пятно» современной физики — отношение массы к скорости, которое автор назвал инерционностью и которое, несомненно, принадлежит к сохраняющимся величинам, так как в него входят те же физические величины, что и в импульс.

Взаимосвязи между элементами системы имеют однозначные и вполне определенные значения. При переходах слева направо или справа налево, размерность каждого элементов изменяется на размерность скорости (LT-1). При переходах от элемента к элементу сверху вниз, в зависимости от направления (вправо или влево), размерности элементов системы изменяются на размерность пространственной протяженности (L) или времени (T). Снизу вверх все элементы происходят (как бы произрастают) из единого для всех корневого элемента – объемной плотности пространственных натяжений, имеющей размерность – T-4.

Выявленная системная взаимосвязь важнейших физических величин позволяет установить некоторые не совсем очевидные (и даже совсем не очевидные) взаимосвязи между ними, а также обнаружить некоторые “белые пятна” в неупорядоченном наборе современных физических представлений. Так например, из системы следует, что квант магнитного потока (Ф0 = h/(2e) = 2,06783461(61)*10-15 Вб вовсе не является первичной квантуемой величиной, а представляет собой проявление кванта протяженности электрического тока (элемента тока). По теоретической оценке автора величина элементарного кванта токового элемента в системе СИ составляет 4,803206798*10-11 А м. Данная величина определена расчетом при допущении равномерности магнитного поля внутри замкнутого кольцевого токового элемента, создающего единичный квант магнитного потока. Неоднократные обращения автора к специалистам, занимающимися квантовой магнитометрией, с просьбой об экспериментальной проверке и возможном уточнении этого значения пока результатов не дали.

Неожиданным и важнейшим открытием, с точки зрения общего физического миропонимания, является выявляемое в системе совпадение (вернее сказать, полная идентичность) понятий массы и внутреннего электрического тока материальных частиц. В системе СИ данное соотношение таково:

1 кг = 2, 040492*1035 А.

При таком понимании, что масса является проявлением внутреннего электрического тока, проясняется природа ядерных сил и сил гравитации, а также проявляется родство этих двух сил с электромагнитными силами. По сути, ядерные силы – это силы взаимодействия протяженных токовых элементов (силы Ампера, которые не совсем правильно относят к проявлению токового взаимодействия). А вот силы гравитационные и являются силами чисто токовых взаимодействий, то есть взаимодействий без учета длины и времени. При участии длины (пространственной протяженности) токовое взаимодействие становится электромагнитным или сильным (амперовским). При участии времени токовое взаимодействие становится электростатическим (кулоновским). Тут можно выразиться и по иному: на уровне взаимодействий тех и других, чисто токовое взаимодействие тоже обязательно присутствует, но проявляет себя как существенно более слабое – гравитационное. В работе [3] известное слабое взаимодействие, предположительно, отнесено к проявлению релятивистского эффекта в гравитационном взаимодействии.

Выявляемая в системе размерностная взаимосвязь между единицами длины и времени, с одной стороны, а также магнитной и электрической постоянной, с другой стороны, позволяет глубже понять таинственную природу тех и других. Надо отметить, что в определенной системе единиц, о которой пойдет речь далее, единицы длины и времени как бы происходят из магнитной и электрической постоянных [3]. Несомненно, что здесь же прячется таинственная взаимосвязь электрической и магнитной постоянных со скоростью света в вакууме, являющейся в нашей системе фундаментальной постоянной особого рода, почти повсеместно и скрытно присутствующей в этой системе.

Наряду с выявленной в системе размерностной взаимосвязью между фундаментальными физическими постоянными огромный познавательный интерес представляет собой и обнаруживаемое единство их числовых значений. Если в LT-системе размерностей по рис.1 принять за единицы длины и времени — не привычные для нас метр и секунду, а так называемые планковские значения [5] (подправленные автором на 4p a ), то происходит нечто удивительное.

При единичном значении длины (l 0 = 1, 481936667*10-36 м) и единичном значении времени (t 0 = 4,943208635*10-45 с), скорость света и единичный электрический заряд принимают единичные числовые значения. Все остальные фундаментальные физические постоянные, расположенные в верхнем ряду нашей системы, принимают числовые значения равные a , a —1, 2a 2 или (2a 2)-1 (см. табл. 1).

Таблица 1.

Значения фундаментальных физических постоянных при единичных значениях длины и времени:

l0 = 1,481936667*10-36м и t0 = 0,4943208636*10-44с

Собственные значения.

1. ВВЕДЕНИЕ

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер.
Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы.
Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.

В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.

2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:

AX = (X, где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений ( и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.

Основные определения матричного исчисления

1. Матрица A называется симметричной, если аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.

Отсюда следует симметрия относительно диагонали

аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица

|1 |4 |5 |
|4 |3 |7 |
|5 |7 |2 |

является примером симметричной.

2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид

| | | | | | | | | |
|* |* | | | | | |0 | |
|* |* |* | | | | | | |
| |* |* |* | | | | | |
| |. |. |. |. |. |. | | |
| | | | | |* |* |* | |
| |0 | | | | |* |* |* |
| | | | | | | |* |* |

Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.

3. Матрица A называется ортогональной, если

АТА = Е, где Ат—транспонированная матрица A, а Е—единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.

4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение

В = Р-1АР.

Основные свойства собственных значений.

1. Все п собственных значений симметричной матрицы размерности пХп, состоящей из действительных чисел, действительные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.

2. Если собственные значения матрицы различны, то ее собственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно независимых собственных векторов образует базис рассматриваемого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов

Xi, где i == 1,. . ., n, любой произвольный вектор в том же пространстве можно выразить через собственные векторы. Таким образом,

n

Y = ( aiXi. i=1

3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения совпадают. Из подобия матриц A и В следует, что

В = Р-1АР.

Так как

АХ = (Х, то

Р-1АХ = (Р-1Х.
Если принять Х == РY, то

Р-1АРY = (Y, а

ВY == (Y.

Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соотношением

Х = Р Y.

4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадратов всех других элементов.

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определение из системы уравнений

(A — (E) Х == 0, которая имеет ненулевое решение лишь в случае, если det(A — (E)=0. Раскрыв определитель, получим многочлен п-й степени относительно (, корни которого и будут собственными значениями матрицы. Для определения корней можно воспользоваться любым из методов, описанных в гл. 2. К сожалению, в задачах на собственные значения часто встречаются кратные корни. Так как итерационные методы, в этих случаях не гарантируют получение решения, то для определения собственных значений следует пользоваться другими итерационными методами.

Определение наибольшего собственного значения методом итераций

На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы

AХ = (Х.

Процедура начинается с пробного нормированного вектора X(0). Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X(0).. Если вектор X(0) совпадает с вектором X(0), то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения.

Пример 1

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид

|10 |5 |6 | |
|5 |20|4 | * 106 Н/м2 |
|6 |4 |30| |

Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела.

Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений.
Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.

{**********************************************************
************}

Программа определения собственных значений Программа позволяет определить наибольшее главное напряжение (собственное значение) для данного трехосного напряженного состояния. Применяется метод итераций. Счет прекращается, когда изменение собственного значения становится менее 0,01 процента или число итераций превышает 50.

{**********************************************************
************}
DIMENSION S(3,3),X(3),R(3)
S(1,1) = 10.E06
S(1,2) = 5.ЕО6
S(2,1) = S(1,2)
S(1,3) = 6.E06
S(3,1) = S(1,3)
S(2,2) = 20.E06
S(2,3) = 4.E06
S(3,2) = S(2,3)
S(3,3) = З0.Е06
X(1) = 1.
Х(2) = 0.0
Х(3) = 0.0
XOLD = 0.0
I = 0

WRITE(6 100)
WRITE(6 101)
WRITE(6 102)
WRITE(6 100)
WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3)
DO 1 1=1,50
CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)
DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J)
CALL NORML(XLAM,X)
WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)
IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

1. XOLD = XLAM
3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C’-»))
101. FORMAT (2X ‘ITERATION’, ЗХ ‘ITERATION’,

11X,‘EIGENVECTOR’)
102. FORMAT (3X ‘NUMBER», 6X ,'(N/M**2)’, 5X, ‘X(1)’,

6X,’X(2)’,6X,’X(3)’)
103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)
104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{********************************************************
**************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)
{********************************************************
**************}
Подпрограмма norml.
Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.
{********************************************************
**************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)
IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)
IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG
X(l) = X(1)/XBIG
X(2) = X(2)/XBIG
X(3) = X(3)/XBIG
XL = XBIG
RETURN
END
{********************************************************
**************}
Результат работы программы получаем в виде:

| Номер |Собственное| Собственный вектор|
|Итерации | | |
| |Значение | |
| |( N / M ** | |
| |2 ) | |
| | | X | X | X (3) |
| | |(1) |(2) | |
|0. | |1.0000|0. |0. |
| | |0 | | |
| |0.10000 Е |1,0000|0.50000 |0.60000 |
| |08 |0 | | |
| |0.26000Е 08|0.6192|0.66923 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.36392Е 08|0.4269|0.56278 |1.00000 |
| | |7 | | |
| |0.34813Е 08|0.3758|0.49954 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.34253Е 08|0.3578|0.46331 |1.00000 |
| | |1 | | |
| |0.34000Е 08|0.3498|0.44280 |1.00000 |
| | |4 | | |
| |0.33870Е 08|0.3458|0.43121 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33800Е 08|0.3436|0.42466 |1.00000 |
| | |2 | | |
| |0.33760Е 08|0,3424|0.42094 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33738Е 08|0.3417|0.41884 |1.00000 |
| | |1 | | |
| |0.33726Е 08|0.3413|0.41765 |1.00000 |
| | |2 | | |
| |0.33719Е 08|0,3411|0.41697 |1.00000 |
| | |0 | | |
| |0.33714Е 08|0.3409|0.41658 |1.00000 |
| | |3 | | |
| |0.33712Е 08|0.3409|0.41636 |1.00000 |
| | |1 | | |

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций
В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предварительно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=(А-1X.
Если обе части этого соотношения умножим на 1/(, то получим

1/( Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для которой оно равно 1/(, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/(, достигается при наименьшем (. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использована для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу матрицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наибольшим собственным значением (1 и собственным вектором X1 можно воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

ХiT Хj =0 при ij и ХiT Хj =1 при i=j.
Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-(1Х1 Х1T, то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =(iXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi = AХi -(Х1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1 — (1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выражение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение (1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения
0, (2, (3,. . ., (n и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . .
…. Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение (1 было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение (2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив (2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу
A**, полученную с помощью A*, (2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида.
Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне главной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образование нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет достаточно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобразование можно было считать законченным. В случае симметричной матрицы A действительных чисел преобразование выполняется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A1 == Р1АР1T. При этом ортогональная матрица Р1 выбирается так, чтобы в матрице А1 появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А1 с помощью второй преобразующей матрицы Р2, образуют новую матрицу A2. При этом Р2, выбирают так, чтобы в A2 появился еще один нулевой внедиагональный элемент.
Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент аkl матрицы Ат-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует

Pkk = Pll = cos (,

Pkl = — Plk = sin (,

Pii = 1 при i k, l, Pij = 0 при i j.

Матрица Ат будет отличаться от матрицы Am-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент аkl(m) был равен нулю, значение ( выбирается так, чтобы

2 akl(m-1) tg 2 ( = ————————- . akk(m-1) – all(m-1)

| | | | | | | k| | | | | | | l| | | | | |
| |1| | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | |1| | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | |1| | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | |1| | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | |1| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | |Cos (|.|.|.|.|.|.|sin | | | | |k|
| | | | | | | | | | | | | |( | | | | | |
| | | | | | | |1| | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | |1| | | | | | | | | | |
|Pm = | | | | | | | | |1| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | |1| | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |1| | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | |1| | | | | | |
| | | | | | |- sin| | | | | | |Cos | | | | |l|
| | | | | | |( | | | | | | |( | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | |1| | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | |1| | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | |1| | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | |1| |

Значения ( заключены в интервале

( (

— —

Реферат на тему

Опыт применения критерия Сильвестра в некоторых задачах устойчивости консервативных систем

Санкт-Петербург 2010г.

Биография

Джеймс Джозеф Сильвестр (3 сентября 1814, Лондон — 15 марта, 1897, Оксфорд) — известный английский математик еврейского происхождения. Сильвестр начал изучать математику в Сент-Джон-колледже Кембриджского университета в 1831 году. Его учёба прерывалась длительными болезнями, но в итоге он занял второе место на выпускном экзамене по математике в 1837 году. Однако он не получил степени бакалавра, так как для этого требовалось подтвердить своё согласие с догматами англиканского вероисповедания, что Сильвестр отказался сделать. В 1841 году он получил степень бакалавра и магистра в Тринити-колледже в Дублине. Здесь евреям, как и католикам, разрешалось получать образование. В том же году он переехал в США чтобы стать профессором в Университете Вирджинии, но вскоре вернулся в Англию. В 1877 году Сильвестр снова переехал в Америку чтобы стать первым профессором математики в новом Университете Джона Хопкинса в Балтиморе. Его жалование составило 5000 долларов (довольно щедрое по тем временам), и он потребовал, чтобы его выплачивали золотом.В 1878 году он основал «Американский математический журнал» — второй в то время в США.В 1880 году Сильвестр был награжден Медалью Копли. В 1883 году он вернулся в Англию, чтобы стать главой кафедры геометрии в Оксфордском университете. Он руководил кафедрой до самой смерти, хотя в 1892 году университет назначил ему заместителя.

Именем Сильвестра названа бронзовая медаль (см. Медаль Сильвестра), вручаемая с 1901 года Королевским обществом за выдающиеся заслуги в математике.

Устойчивость равновесия консервативной системы с конечным числом степеней свободы

Установленное теоремой Лагранжа-Дирихле условие устойчивого равновесия системы с конечным числом степеней свободы заключается в том, что устойчивому равновесному положению соответствует минимум потенциальной энергии.

Для системы с конечным числом степеней свободы минимум потенциальной энергии определяется рядом условий. Эти условия обеспечивают соотношения между параметрами системы, при которых любому приращению обобщенных координат, отсчитываемых от положения равновесия, соответствует положительное приращение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия консервативной системы с s степенями свободы определяется выражением:

На основании теоремы Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия системы представляет собой положительную знакоопределенную форму.

Функцию называют знакоопределенной, если при любых значениях аргументов она сохраняет один и тот же знак, т. е. является или положительной или отрицательной.

Чтобы определить условия, при которых рассматриваемая квадратичная форма является определенно положительной, воспользуемся критерием Сильвестра о знакоопределенности квадратичной формы: для того чтобы квадратичная форма была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее дискриминанта были положительны, т. е. выполнялись следующие условия:

Для потенциальной энергии системы:

С увеличением числа степеней свободы исследование устойчивости равновесия систем значительно усложняется.

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия.

Теорема 1. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия, если потенциальная энергия системы в этом положении не имеет минимума; при этом отсутствие минимума определяется членами второго порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена по степеням малых приращений координат.

Теорема 2. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия, если потенциальная энергия системы в этом положении имеет максимум; при этом наличие максимума устанавливается членами наименее высокого порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена.

Теорему 2 применяют тогда, корда невозможно определить наличие или отсутствие минимума потенциальной энергии по членам второго порядка, например в случае, когда члены второго порядка малости в разложении потенциальной энергии отсутствуют.

Теорема Лагранжа — Дирихле и теоремы Ляпунова относятся к случаю равновесия консервативной системы.

Пример 1

Определить условия устойчивости равновесного положения системы с тремя степенями свободы, если потенциальная энергия этой системы определяется следующим выражением:

Где -обобщённые координаты системы; a, b, d, e, f-вещественные постоянные.

Решение. Для того чтобы потенциальная энергия системы была определенно положительной, ее дискриминант должен иметь все главные диагональные миноры положительными.

Так как

то на основании критерия Сильвестра получим следующие условия устойчивости равновесия системы:

Последний определитель третьего порядка вычисляем по правилу Саррюса

А поэтому

Следовательно, условия устойчивости равновесия этой системы определяются неравенствами

Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра

Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова, рассмотрим прямой метод для автономных систем.

Рассмотрим некоторые вещественные функции

определённых в области

(1)

Где -постоянное положительное число.

Предполагается что в области (1) эти функции однозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда все х1, . . . , хn равны нулю, т.е.

V(0)=0 (2)

Если в области (1) функция V кроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все хг, . . . . . ., хп равны нулю, то функция V называется знакоопре-деленной (соответственно определенно-положительной или определенно-отрицательной). Функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными функциями. Введенные таким образом функции V, используемые для исследования устойчивости движения, называются функциями Ляпунова.

Рассмотрим признаки, с помощью которых можно определить характер функции V. Прежде всего заметим, что знакоопределенная функция V должна содержать все переменные хъ . . ., хп. Действительно, пусть, на- пример, функция V не содержит переменную хп. Тогда при хг = . . . = хп^ = 0, функция V будет обращаться в нуль, что недопустимо для знакоопределенных функций.

Пусть знакоопределенная функция V — У (х) непрерывна вместе со своими производными. Тогда при х} = . . . = хп — 0 она. будет иметь изолированный экстремум и, следовательно, все частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке, будут равны нулю (необходимые условия существования экстремума)

( 3)

Разложим функцию V в ряд Маклорена по степеням х1, . . . , хn

где точками обозначены члены высшего порядка. Учитывая соотношения (2) и (3), получим

(4)

Здесь постоянные числа ckj=cjk определены равенствами

(5)

Из формулы (4) видно, что разложение ш-ткоопре-делЕенной функции V в ряд по степеням хъ . . ., хп не содержит членов первой степени.

Предположим ,что квадратичная форма

(6)

принимает положительные значения и в нуль обращается только при х1 =. . . =хт = 0. Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малых по модулю Xf функция У будет принимать также положительные значения и в нуль она булет обращаться только при хг = . . . = хп = 0. Таким образом, если квадратичная форма (6) определённо-положительна, то и функция V будет определённо-положительной.

Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (6):

(7)

и составим из нее п главных диагональных миноров (в матрице (7) они окантованы пунктиром)

(8)

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра :для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры А 1г Д2, . . ., Ап матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е.

(9)

Из сказанного следует, что критерий Сильвестра (9) для квадратичной части функции V является достаточным (но не необходимым) условием определенной положительности самой функции V.

Если функция V определенно-отрицательна, то функция — V будет определенно-положительной. Поэтому достаточным условием определенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид

(10)

Т.е. определители должны последовательно чередовать знак, причём знак должен быть отрицательным.

В качестве примера рассмотрим функцию

Разложим эту функцию в ряд по степеням хх и х2. Имеем

где точками обозначения члены, содержащие х1 и х2 в степени выше второй. Внося эти выражения для sin3 xt и cos (xL — х2) в функцию V, получим

Или, упрощая

Составим матрицу коэффициентов квадратичной части функции

V (по главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, элементы с12 и C2i равны половине коэффициента при дроизведениж ххх2):

Вычислим теперь главные диагональные миноры:

Отсюда следует, что условие Сильвестра выполнено (все ) и поэтому рассматриваемая функция V в окрестности пуля определенно положительна. Заметим, что на всей плоскости хгх2 функция V только положительна, так как при хг = х2 = пп Щ= 0 (га — 1,2, . . .) она обращается в нуль.

Логвиненко В.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Москва. 1995 г.

Задание: Разработать программу, позволяющую с помощью метода имитационного моделирования рассчитать площадь сложной фигуры, ограниченной сверху кривой U=Y1(x) , снизу V=Y2(x).

1. Для решения данной задачи применим следующий метод.

Ограничим заданную фигуру прямоугольником, стороны которого проходят:

через точки максимального и минимального значения функций и параллельны осям абсцисс;

через левую и правую граничные точки области определения аргумента и параллельны осям ординат.

Используя датчик случайных чисел разыгрываются координаты случайной точки из этого прямоугольника . Проверяем попадаете точки в заданную фигуру. Зная площадь прямоугольника и отношение попавших точек к их общему числу разыгранных, можно оценить площадь интересующей нас фигуры.

2.      Технические характеристики объекта исследования:

2.1. Диапазон значений параметров задачи.

Множество кривых ограничим полиномами третьего порядка, в виду того что полиномы более высокого порядка сильно увеличивают время вычисления. Причем для наглядности решения вполне достаточно порядка «3».

Коэффициенты полинома ограничим диапазоном [-100,100] .

Область определения ограничим диапазоном [-100,100].

Эти ограничения введены для более наглядного решения задачи, и изменить их не с технической точки зрения не сложно.

3. Решение задачи.

Данная задача решена в среде Turbo C. Для решения потребовалось общую задачу разбить на несколько небольших задач (процедур).

А именно отдельно( в виде процедур) были решены задачи

-ввод параметров;                                          |

                          процедура get_poly                           |

                                                             |

  -сообщение об ошибке при вводе;                         |           Файл WINDOW.C

   процедура talkerror                          |

                                                             |

  -рисование рамки окна;       |

                          процедура border                              |

 -вычисление минимального и                                |          

 максимального значении функций ;                       |

 процедура f_max                                |

                                                                                     |          

  -вычисление значения полинома в                       |

 заданной точке;                                             |           Файл MATIM.C

                          процедура fun                                    |

                                                                                     |          

 -вычисление корней кубичного                              |          

 уравнения;                                                     |

 процедура f_root                                |

  -вычисление интеграла численным                      |

 методом;                                                        |

 процедура i_num                                |

                                                             |           Файл F_INTEGER.C

 -вычисление интеграла с помощью                       |

 имитационного моделирования;                |

                           процедура i_rand                              |

 -инициализация графического режима                  |

 процедура init                         |

                                                                                     |

  -обводка непрерывного контура                |           Файл DRAFT.C

 процедура f_draft                               |          

                                                                                     |

  — вырисовка осей координат                                  |

 процедура osi                         |

 -вырисовки графиков функций и                |           Файл DRAFT_F.C

 штриховка заданной площади                                 |

 процедура draft_f                               |

  -вырисовка графиков вычисления                        |

 площади разными методами и вывод        |           Файл DRAFT_N.C

 таблицы результатов вычисления              |

                          процедура      draft_n                         |          

Схема алгоритма имеет вид:

4. Описание процедур используемый в программе.

4.1 Файл WINDOW.C.

4.1.1 Процедура ввода параметров.

void get_poly( float *b3,float *b2,float *b1,float *b0, //-коэффициенты полинома Y1

 fliat *c3,float *c2,float *c1,float *c0, //-коэффициенты полинома Y2

 float *x1,float *x2, // область определения [x1,x2]

 int *N )                         // количество обращений к генератору                                                                 //случайных чисел

4.1.2 Процедура рисования рамки окна.

void border(int sx, int sy, int en, int ey) // рисует рамку с координатами левого верхнего                                                    // угла (sx,sy) и координатами правого нижнего                                                  // угла (ex,ey)

4.1.3 Процедура сообщения об ошибке при вводе.

void talkerror(void) —

Процедура подает звуковой сигнал и выводит на экран сообщение об ошибке при вводе.

4.2. Файл MATIM.C

4.2.1 Процедура вычисления максимального и минимального значений функций на заданном интервале.

void f_max(float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэффициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэффициенты полинома Y2

 float x1,float x2, // область определения [x1,x2]

                           float *amin, float *amax) // минимальное и максимальное значения                                                                  //                                 функций                                                                                          

4.2.2 Процедура вычисления значения полинома в данной точке.

float fun(float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэффициенты полинома

 float x)

Возвращает значение полинома в точке х.

4.2.3 Процедура вычисления корней кубичного уравнения.

int f_root(float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэффициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэффициенты полинома Y2

 float x1,float x2, // область определения [x1,x2]

              float e,                         // точность вычисления корней

   float *k1,float *k2,float *k3) // значения корней                                                                                                   // функций     

Возвращает количество действительных корней на данном интервале.

4.3. Файл F_INTEGER.C

4.3.1 Процедура вычисления площади сложной фигуры численным методом.

float f_num(float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэфициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэфициенты полинома Y2

 float x1,float x2) // область определения [x1,x2]

Вычисляет площадь сложной фигуры.

4.3.2 Процедура вычисления площади сложной фигуры c помощью метода имитационного моделрования

float f_(float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэфициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэфициенты полинома Y2

 float x1,float x2, // область определения [x1,x2]

 float fmin,float fmax, // минимальное и максимальное значения                                                               //функций на данном интервале

                           int n)                                       // количество обращений к генератору                                                                 // случайный чисел

Вычисляет площадь сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования.

4.4 Файл DRAFT.C

4.4.1 Процедура инициализации графического режима.

void init (void)

4.4.2 Процедура обводки непрерывного контура.

void f_draft (float b0,float b1,float b2,float b3, //-коэфициенты полинома

 float x1,float x2) // область определения [x1,x2]

4.4.3 Процедура вырисовки осей координат.

void osi ( float x1, float x2, // область определения функций

 float b) // маштабный коэфициент расчитывается по формуле

 // b= j — Fmin*(i-j) / (Fmax — Fmin)

 // где i,j — задают положение графика на экране

                                       // Fmin,Fmax — минимальное и максимальное значения                                     //функций на данном интервале

4.5 Файл DRAFT_F.

4.5.1 Процедура вырисовки графиков функций.

void draft_f (float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэфициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэфициенты полинома Y2

 float x1,float x2, // область определения [x1,x2]

 float fmin,float fmax, // минимальное и максимальное значения                                                               //функций на данном интервале

                           int k, int i, int l, int j)                // координаты, задающие положение                                                                   //графика на экране                                                             

4.6 Файл DRAFT_N.

4.6.1 Процедура вырисовки графиков значений полщадей расчитанных числвым методом и методом имитационного моделирования в зависимости от количества обращений к генератору случайных чисел.

void draft_e (float b3,float b2,float b1,float b0, //-коэфициенты полинома Y1

 fliat c3,float c2,float c1,float c0, //-коэфициенты полинома Y2

 float x1,float x2, // область определения [x1,x2]

 float fmin,float fmax, // минимальное и максимальное значения                                                               //функций на данном интервале

 float Sn, // площадь рассчитанная числовым методом

                           int k, int i, int l, int j)                // координаты, задающие положение                                                                   //графика на экране                         

4.7 Файл SQ.C

Все файлы объединены в главной программе SQ.C, которая является основной и координирует работу процедур.

5 Использование программы.

Для использования данной программы необходима операционная среда MS DOS,

файл egavega.bgi, и собственно сама скомпилированная программа sq.exe.

6 Исходный текст программы дан в приложении №1.

7 Тесовый пример показан в приложении №2.

8.  Заключение.

Сопоставление результатов работы с тербованием задания.

Сопоставляя результаты работы с требованием задания, можно сказать что задача решена в полной мере, за исключением, быть может общности относительно возможности расчета для многие классов функций. Но решение более общей задачи ( т.е. возможность расчета для многих классов функций ) представляется значительно более громоздким, и вообще является отдельной задачей. Поэтому автор не счел нужным разрабатывать алгоритм ввода многих функций и заострил внимание собственно на самой задаче — расчете площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования и сравнение этого метода с числовыми методами.

Рекомендации по улучшению программы.

При разработке программы автор упустил возможность работы с числовыми массивами. Поэтому, можно улучшить программу переписав ряд процедур под массивы , что сделает программу менее массивной и более наглядной.

Список литературы

1. Язык программирования Си для персонального компьютера . С.О. Бочков, Д.М. Субботин.

2 С++ . Описание языка программирования. Бьярн Страустрап.

3 TURBO C. User’s Guide. Borland International, Inc. 1988.

4 TURBO C. Reference Guide. Borland International, Inc. 1988.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.rambler.ru/

Работа над любой математической моделью начинается со сбора и анализа фактического материала. Определяются цели моделирования. Выделяются главные черты изучаемого объекта или явления. Вводятся формализованные характеристики. Принимаются правила работы с ними. В результате возникает математический объект, который и называется математической моделью. Разрабатываются методы математического анализа модели, которыми она исследуется. Полученные результаты математического моделирования интерпретируются в рамках исходного фактического материала, что позволяет оценить степень адекватности модели. Результаты моделирования не должны противоречить выделенным ранее ключевым экспериментальным фактам. Одновременно, модель не может объяснить все стороны изучаемого объекта или явления.

Хорошая модель, кроме объяснения известных, должна давать возможность предсказывать новые свойства. Математическое моделирование широко используется там, где экспериментальные исследования трудоемки и дорогостоящи, или вообще невозможны (например, в изучении социальных явлений).

Кроме задачи о прогнозе, математическое моделирование помогает классифицировать и систематизировать фактический материал, увидеть существующие связи в мозаике фактов. Это вытекает из того, что модель является специфическим -ярким и выразительным языком, предназначенным для описания для описания изучаемого объекта или явления.

Мир математических моделей разнообразен. Существуют различные схемы их классификации. Однако, каждая модель конкретна и предназначена для описания достаточно узкого круга объектов и явлений. Это накладывает определенный отпечаток на предлагаемый лекционный курс. Он включает в себя модели. относящиеся к различным областям естествознания. Модели сильно отличаются друг от друга не только предметными областями, но математической терминологией, а также математическими методами их исследования.

Предпочтение отдается более простым моделям. Отметим, что «простота» (иногда в ущерб точности)-один из принципов, о котором всегда нужно помнить при разработке математической модели.

Часть1 Основы математической генетики

В 1865 г. чешский монах Грегор Мендель опубликовал работу о результатах скрещивания разновидностей гороха. В своих опытах Г. Мендель изучал закономерности наследования семи пар альтернативных признаков. В одном из опытов перекрестно скрещивались растения с гладкими и сморщенными семенами. В результате такого скрещивания в первом поколении все растения имели гладкие семена. Проявляющиеся признаки Г.Мендель назвал доминантными, а не проявляющиеся — рецессивными. Растениям, полученным в первом поколении, была предоставлена возможность самоопыляться. Во втором поколении появились как гладкие, так и сморщенные горошины. При подсчете выяснилось, что 5 474 горошины были гладкими, а 1 850 — морщинистыми. Доля гладких горошин оказалась близкой к 3/4, а морщинистых — к 1/4. Отношение близко к 3:1. Во всех других опытах для каждой пары альтернативных признаков (например, цвет горошин) доминантный признак обнаруживался примерно втрое чаще рецессивного. Для объяснения результатов опытов Г.Мендель предположил, что внешние признаки определяются некоторыми внутренними факторами (генами), которые могут находиться в одной из двух альтернативных форм (теперь они называются аллелями). Были сделаны два допущения.

1. Два фактора, определяющие данный признак, в течении жизни организма сосуществуют независимо друг от друга, не сливаясь и не растворяясь один в другом. Они расщепляются при формировании половых клеток, которые возникают парами. Одна из половых клеток несет в себе один, а другая — оставшийся фактор.

2. Гены, определяющие различные признаки, наследуются независимо.

Работа Г.Менделя была не понята и забыта его современниками. В 1900 г. результаты были открыты вновь. Началось развитие новой науки —генетики. Согласно современным представлениям, носителями генов являются нитевидные тела —хромосомы, которые располагаются в ядре клетки. Организмы, относящиеся к различным биологическим видам имеют разную структуру и число хромосом. У человека каждая клетка содержит 46 хромосом, у гороха —14. Число хромосом четно. Каждая хромосома в клетке присутствует в двух экземплярах, отличающихся, быть может только аллелями (вариантами, или формами) генов. Такие пары хромосом называются гомологичными. Место, занимаемое аллелью гена в хромосоме, называется локусом. Можно представить хромосому как прямолинейный отрезок, а локусы как его последовательные участки.

Половые клетки —гаметы возникают в результате процесса, который называется мейозом. Гомологичные хромосомы расходятся в разные концы клетки, и клетка делится пополам. Гаметы содержат половинный набор хромосом (у человека 23). Зародышевая клетка —зигота образуется путем слияния мужской и женской гамет и содержит полный набор хромосом. Из зиготы путем обычного деления — митоза образуется новый организм. При митозе каждая хромосома создает свою точную копию. Оригиналы и копии расходятся в разные клетки. Набор генов каждой клетки называется генотипом организма. Описанная схема упрощена. но в ней отражаются ключевые моменты, которые используются при разработке математической модели.

Фенотипом называется совокупность всех внешних признаков организма. Фундаментальный принцип генетики — при неизменных внешних условиях фенотип организма определяется его генотипом. Некоторые признаки организма определяются не всем не всем генотипом, а только его частью (в экспериментах Г.Менделя — двумя аллелями одного гена). Пол человека определяется двумя половыми хромосомами X и Y. Женская зигота содержит две хромосомы X, мужская -хромосомы X и Y.

Мать передает своему ребенку одну из хромосом X. Отец передает дочери хромосому X, а сыну — хромосому Y. Таким образом, пол ребенка зависит только от отца.

Совокупность генотипов, у которых часть генных наборов одинакова, называется популяцией (по данным наборам). Численность популяции считается достаточно большой (бесконечной). Описывать популяцию будем набором частот генотипов в данном поколении. Будем считать, что одно поколение сменяет другое, т.е. поколения не перекрываются.

Законы Менделя

Рассмотрим рассуждения Г.Менделя, используя описанные выше термины. За форму семян гороха отвечает двухаллельный ген. Его доминантную аллель (фенотип -гладкие семена) обозначим как , а рецессивную как a (сморщенные семена). Генотип определяется парой аллелей. Возможны три генотипа: AA, Aa, aa. Генотип Aa называется гетерозиготным, а генотипы AA, aa —гомозиготными. Поскольку аллель A является доминантным, то растения первых двух генотипов будут иметь гладкие семена, а третьего -морщинистые.

На первом этапе своего опыта Г.Мендель брал гомозиготные растения AA, aa. Первый тип давал гамета, имеющие аллель A, второму соответствовали гаметы с аллелью a.

Скрещивание гомозиготных растений AA и aa (слияние гамет A и a) дает гетерозиготное растение Aa. Последнее дает гаметы, несущие аллели A и a. Какую из двух аллелей получит конкретная гамета -дело случая и вероятность каждого из событий 1/2.

На втором этапе опыта Г.Менделя скрещивались гетерозиготные растения. Генотип AA у потомка имеет место, если каждый из родителей передал гамету с аллелем A. События независимые. Вероятность P(AA) потомка с генотипом AA равна 1/4. Аналогично, вероятность P(aa) появления потомка aa также 1/4. Вероятность появления потомка с генотипом Aa можно вычислить по дополнению: P(Aa)=1-1/4-1/4=1/2. Вероятность того, что растение -потомок двух гетерозиготных родителей будет иметь гладкие семена: P(AA)+P(Aa)=1/4+1/2=3/4. Морщинистые семена будут наблюдаться с вероятностью P(aa)=1/4.

Такова математическая модель, объясняющая опыты Г.Менделя. Обсудим вопрос об ее адекватности. Напомним, что в опытах соответствующие частоты наблюдались приближенно. Это задача о проверке статистической гипотезы. Для проверки можно использовать критерий Пирсона.

Предположим, что мы наблюдаем серию из n независимых испытаний. Каждое из них может завершиться одним из m исходов . Вероятности исходов не меняются от испытания к испытанию. Подлежащая проверке нуль -гипотеза состоит в том, что эти вероятности равны некоторым заранее заданным числам: . Относительно числа n предполагается. что оно достаточно велико. Пусть -полученные в результате опыта эмпирические частоты наступления исхода . Составляется сумма:

,

которая часто называется суммой Пирсона. Оказывается, что с ростом n распределение статистики S стремится к предельному распределению с m-1 степенями свободы, не зависящему ни от n, ни от чисел . Для любого e >0 можно указать практическую границу такую, что

.

Другими словами, неравенство > практически невозможно. Число e называется уровнем значимости.

Зададимся уровнем значимости e =0.05, который очень популярен в биологии. В рассматриваемом случае число степеней свободы m-1=1. Распределение суммы Пирсона для столь большого числа, как n=7 324 практически не отличается от распределения с одной степенью свободы. По таблицам определяем » 3.84. Вычислим сумму Пирсона:

Так как сумма Пирсона меньше , то нуль- гипотеза хорошо согласуется с результатами эксперимента. Получаем веские основания считать, что закон Менделя справедлив.

В генетике развит некий формализм, позволяющий быстро выводить закономерности. Аллельные пары представляют в виде:

, , ,

Скрещивание генотипов обозначается знаком ‘´ ‘ -умножения. Скобки в формулах раскрываются по привычным правилам и знаки умножения опускаются. Скрещивание гетерозиготных растений описывается формулой:

Полученная формула утверждает, что генотипы AA и aa возникают при скрещивании с вероятностью 1/4, а генотип Aa с вероятностью 1/2. Так как генотипы AA и Aa обладают гладкими семенами, то 3/4 потомства имеют гладкие семена, а 1/4 — морщинистые семена (генотип aa).

Решим простую задачу о скрещивании генотипов Aa и aa:

Таким образом, половина генотипов будет гетерозиготными, а половина гомозиготными.

Большинство признаков генотипа контролируется более чем двумя аллелями. Такие аллели называются множественными. Такие аллели в любом непарном сочетании могут находиться в любой клетке, так как только две аллели одного гена могут одновременно присутствовать в генотипе. Такие генотипы называются диплоидными. Полиаллельными являются гены, контролирующие группы крови. Группа крови человека зависит от присутствия либо отсутствия в эритроцитах специфических белков (A и B). Существуют четыре группы крови: Группа крови A с генотипами AA и AO (группа крови содержит белок A), группа крови B с генотипами BB и BO (содержит белок B), Группа крови AB (содержит оба белка), группа крови OO (отсутствие белков A и B). Таким образом, группа крови контролируется тремя аллелями A, B, O одного гена. Аллели A и B -доминанты по отношению к O. В присутствия аллелей A и B доминантность отсутствует. Таким образом группы крови определяются шестью генотипами AA, AO, AB, BB, BO, OO.

Закон Харди- Вайнберга

В законе Харди -Вайнберга речь идет о частотах генотипов в популяциях. Этот закон сформулировали в 1908 г. независимо друг от друга английский математик Дж.Харди и австрийский врач В.Вайнберг. Рассматривалась следующая задача. Известны частоты генотипов в двухаллельной популяции в нулевом поколении. Требуется проследить изменение частот от поколения к поколению.

Двухаллельная популяция состоит из генотипов: AA, Aa, aa. Их частоты в нулевом (начальном) поколении обозначим через u(0), 2v(0), w(0). Естественно, что u(0)+2v(0)+w(0)=1. Скрещивание предполагается случайным. Удобно следить за эволюцией частот с помощью следующей схемы.

Нулевое поколение

Генотипы Частоты генотипов

AA u(0)

Aa 2v(0)

aa w(0)

Гаметы Частоты гамет

A; p(0)=u(0)+v(0)

a q(0)= v(0)+w(0)

(менделевское формирование гамет)

Первое поколение

Генотипы Частоты генотипов

AA

Aa ;

aa

Гаметы Частоты гамет

A

a;

;Таким образом, частоты гамет не меняются от поколения к поколению. Дальнейшее скрещивание не меняет и частоту зигот.

Второе поколение

Генотипы Частоты генотипов

AA

Aa ;

aa

Частоты зигот устанавливаются в первом поколении и больше не меняются.

Закон Харди-Вайнберга состоит из следующих двух утверждений.

1. Частоты гамет (аллелей) не меняются от поколения к поколению.

2. Равновесные частоты генотипов достигаются за одно поколение. В популяции поддерживается соотношение между гомозиготными и гетерозиготными организмами:

.

Закон Харди-Вайнберга распространяется на любое число аллелей . Очевидно, что число гомозигот суть m, а гетерозигот . Общее число зигот будет . Рассуждения для многоаллельного случая полностью аналогичны предыдущему.

Нулевое поколение

Генотипы Частоты генотипов

Гаметы Частоты гамет

Первое поколение

Генотипы Частоты генотипов

Гаметы Частоты гамет

;Таким образом, частоты гамет не меняются от поколения к поколению. Дальнейшее скрещивание не меняет и частоту зигот.

Второе поколение

Генотипы Частоты генотипов

Для всех последующих поколений частоты генотипов остаются такими же: , . Это и есть закон Харди -Вайнберга для полиаллельного локуса.

Обсудим некоторые аспекты закона Харди -Вайнберга. В случае доминирования аллеля A над a наблюдаются лишь фенотипы {AA, Aa}, {a,a}. В силу закона Харди -Вайнберга их вероятности равны

где -частота рецессивного аллеля a.

Если рецессивный аллель -редкий (), то соответствующий фенотип наблюдается еще реже. Частота наблюдения альбиносов (генотип aa, он же — фенотип) . Это — экспериментальный факт. В силу закона Харди -Вайнберга, скрытые носители рецессивного аллеля (генотип Aa) встречаются гораздо чаще:

.

Если доминантный аллель является редким: , то частота его проявления примерно вдвое больше:

.

;Интересная ситуация складывается сейчас в человеческой популяции. Существуют рецессивные летальные аллели (генотип aa нежизнеспособен). Примером может служить наследственная болезнь фенилкотонурия (ФКУ). Сейчас найдены способы ее лечения. Выздоровевшие люди могут давать потомство и передавать ему аллель ФКУ. Тем самым частота летальных генов будет возрастать.

Сделаем некоторые замечания о математических аспектах закона Харди -Вайнберга. Обозначим частоты генотипов AA, Aa, aa через . Здесь и

.

Эти соотношения выделяют в трехмерном пространстве треугольник. В следующем поколении частоты выражаются через частоты по формулам:

(1)

Формулы задают отображение треугольника в себя, которое назовем оператором эволюции и обозначим через V. Закон Харди -Вайнберга означает, что

. (2)

Эта формула отражает принцип стационарности, который С.Н. Бернштейн возвел в ранг закона.

Основная проблема, которой занимался С.Н. Бернштейн, — выявление всех законов наследования, подчиненных закону стационарности. Он дал ее полное решение для популяций, состоящих из трех генотипов, а также изучил некоторые случаи большего числа генотипов. Среди них пример популяции с m -аллельным геном. Пусть его аллели . Генотипы популяции: , при этом . Обозначим частоты генотипов в текущем поколении через . Неотрицательные числа очевидно удовлетворяют соотношению:

.

Пусть частоты генотипов в следующем поколении. Оператор эволюции имеет следующий вид:

.

Из закона Харди -Вайнберга для полиаллельных популяций следует, что для данного эволюционного оператора также выполнен принцип стационарности (2).

В одной из работ С.Н. Бернштейна рассматривался так называемый кадрильный закон наследования, генетическая интерпретация которого принадлежит Ю.И. Любичу. Введем два вида «женских » X, x и два вида «мужских» ген Y, y. Будем считать, что могут существовать лишь четыре генотипа: XY, xy, Xy, xY, которым присвоим номера 1, 2, 3, 4. Остальные мыслимые комбинации генов запретим. Частоты генотипов в нулевом поколении обозначим через , а в следующем -через . Поскольку при образовании зиготы объединяется одна женская и одна мужская гаметы, то следует говорить о частотах гамет X и x среди женских и о частотах гамет Y и y среди мужских. Частоты женских гамет в нулевом поколении:

, .

Частоты мужских гамет:

.

Частоты генотипов в первом поколении:

.

Отсюда получаем:

Данное отображение и изучал С.Н. Бернштейн. Частоты генов в первом поколении

(аналогично для других частот), т.е. сохраняются.

С.Н. Бернштейн показал неизбежность концепции гена в условиях Менделя. Сформулируем этот результат. Обозначим через вероятность появления потомка у родителей и . Генотип называется исчезающим, если появление потомка у любой пары родителей равно нулю.

Теорема. Если в трехмерной популяции

все генотипы не исчезающие и , (при скрещивании первого со вторым получается только третий), то популяция менделевская.

Вернемся еще раз к вопросу о группах крови. В 1925 г. Ф. Бернштейн выдвинул гипотезу, что группа крови определяется тремя аллелями A, B, O одного локуса с доминированием A и B над O (в случае присутствия A и B доминантность отсутствует). Фенотипы: {AB}, {AO, AA}, {BO, BB}, {OO}. Согласно закону Харди -Вайнберга для одного трехаллельного локуса имеем:

откуда вытекает соотношение:

Для населения Японии известны следующие статистические данные: . Экспериментальное значение величины , что хорошо согласуется со статистическим прогнозом. Данное обстоятельство можно интерпретировать в пользу гипотезы.

Инбридинг

Закон Харди -Вайнберга действует только тогда, когда скрещивание случайно, т.е. вероятность скрещивания между двумя генотипами равна произведению их частот. В тех случаях, когда скрещивание неслучайно, имеет место ассортивное, или предпочтительное скрещивание. Особи с определенными генотипами скрещиваются чаще, чем следует ожидать на основе случайности. Ассортивное скрещивание не меняет частот генов, но изменяет частоты генотипов.

Особенно интересную форму ассортивного скрещивания представляет собой инбридинг, при котором скрещивание между родственными особями происходит чаще, чем этого можно было бы ожидать на основе случайности. Инбридинг ведет к повышению частот гомозигот и уменьшает частоту гетерозигот по сравнению с ожидаемыми при случайном скрещивании. Самым крайним случаем инбридинга является самоопыление -форма размножения, широко распространенная для некоторых групп растений.

Мерой генетических последствий инбридинга служит коэффициент инбридинга. Это вероятность того, что особь является гомозиготной и оба (одинаковых) аллеля идентичны по происхождению, т.е. унаследованы у одного и того прародителя из некоторого предшествующего поколения. Отметим, что два одинаковых аллеля могут быть наследованы от разных предков. Коэффициент инбридинга обозначим через .

Результаты инбридига в случае самоопыления анализировались еще Г. Менделем. Он исследовал потомство гетерозиготных растений (генотип Aa) после n поколений самоопыления. В первом поколении частоты гомозиготных растений: Ясно, что гомозиготные растения идентичны по происхождению. Гетерозиготные растения не идентичны по происхождению и их частота Здесь и ниже нижний индекс -номер поколения. Коэффициент инбридинга -частота гомозиготных растений, т.е. .

Во втором поколении потомки гомозиготных растений также гомозиготны и идентичны по происхождению. Частоты гомозиготных растений увеличиваются дополнительно за счет потомков гетерозиготных растений:

Частота гетерозиготных растений во втором поколении: Коэффициент инбридинга .

Для произвольного n -ого поколения при самоопылении растений частота гетерозиготных растений

Если учесть, что и то в n -ом поколении частоты гомозиготных растений суть

Коэффициент инбридинга соответственно

Он монотонно возрастает с ростом номера поколения Для самоопыляющихся растений с ростом номера поколения, снижается доля гетерозиготных и растут частоты гомозиготных растений. В каждом поколении коэффициент инбридинга в потомстве гетерозиготных растений один и тот же и равен . В пределе гетерозиготные растения вообще исчезают. Этот результат и был получен Г.Менделем.

Определим значение коэффициента инбридинга в потомстве сибсов, т.е, особей имеющих общую пару родителей. Родословная потомства от скрещивания сибсов изображена на диаграмме.

Пусть A и B -не состоящие в родстве родители, из гамет которых образуются зиготы C и D. Зигота E возникает от слияния гамет от C и D, т.е. от сибсов. Поскольку A и B не состояли в родстве, что их аллели в рассматриваемом локусе не идентичны по происхождению. Эти аллели для особи A обозначим как , а для особи B — как (аллели не идентичны по происхождению, но могут быть идентичны по структуре). Нужно определить вероятность появления в потомстве сибсов гомозиготной особи. Она может принадлежать одному из четырех генотипов: или , или , или , или . Вероятность того, что родитель A передаст аллель сибсу C суть . В свою очередь, если особь C получила аллель , то она передаст ее особи E так же с вероятностью . В итоге особь E получит аллель от A через C с вероятностью . Вторую алелль особь E от A через D приобретет также с вероятность . Вероятность того, что интересующая нас особь E гомозиготна и принадлежит генотипу есть . Совершенно аналогичные рассуждения позволяют определить для особи E вероятности , , принадлежать соответствующему генотипу. Получаем коэффициент инбридинга , совпадающий с вероятностью того, что особь E гомозиготна и получила оба аллеля либо от прородителя A, либо B.

Существует простой метод, так называемый анализ путей, позволяющий определить коэффициент инбридинга для любого организма с известной родословной. На диаграмме, отражающей родословную рассматриваются все замкнутые пути, включающие в себя изучаемую особь, ее родителей и их общих предков. Для каждого i -ого цикла определяется коэффициент , где -число звеньев в цикле. Коэффициент инбридинга .

Поясним сказанное, вычислив коэффициент инбридинга для особи K, родословная которой изображена на диаграмме.

Согласно диаграмме A и B общие предки для родителей J и H особи K. Имеются два замкнутых пути K -J -G -C -A -D -H -K и K -J -G -C -B -D -H -K, каждый из которых состоит из 7 звеньев. Соответственно и . Коэффициент инбридинга .

Напомним, что в результате инбридинга частоты гомозигот в популяции возрастают за счет гомозигот. В популяции с постоянным (не растущим) коэффициентом инбридинга частота гомозигот будет составлять от частоты в случайно скрещивающейся популяции. Пусть частоты аллелей A и a суть p и q. Частоты генотипов в инбредной популяции с постоянным коффициентом инбридинга можно представить следующим образом:

Генотип Частота

AA ,

Aa ,

aa .

Частоты аллелей, а вместе с ними и генотипов сохраняются при переходе от поколения к поколению. При отсутствии имбридинга частоты удовлетворяют закону Харди -Вайнберга.

Селекционеры стремятся вывести сорта растений и породы животных, отличающиеся максимальными показателями хозяйственно полезных признаков. При этом в качестве родителей используют наилучшие организмы, т.е. проводят искусственных отбор. Селекционеры также стараются получить как можно более однородные сорта и породы. Для этого применяют систематический инбридинг, повышающий гомозиготность. Однако, хорошо известно, что инбридинг обычно понижает приспособленность потомства. Это явление принято называть инбредной депрессией. Оно обусловлено повышением степени гомозиготности по вредным рецессивным аллелям.

Инбредной депрессии противопоставляют скрещивание между представителями независимых инбредных линий. Гибриды обычно обнаруживают заметно возросшую приспособленность — в плодовитости, жизнеспособности и т.д. При скрещивании между двумя инбредными линиями можно сохранить в потомстве гомозиготность по искусственно отобранным признакам, тогда как по вредным аллелям особи являются гетерозиготными.

Сцепление и кроссиговер

Г.Мендель наблюдал независимое наследование семе признаков. Это происходило потому, что все семь соответствующих генов расположены в локусах разных негомологиных хромосом. Напомним, что у гороха в каждой клетке находится семь пар гологичных хромосом. Наблюдать независимое наследование дополнительно еще одного признака в принципе невозможно. Гены, расположенные в одной хромосоме, называются сцепленными. Рассмотрим два локуса, одной и той же хромосоме (такие же локусы присутствуют в гомологичной хромосоме). Обозначим аллели гена первого локуса через A и a, а другого -как B и b. В отличие от однолокусного случая, гаметы будем обозначать словами. Таких слов — четере: AB, Ab, aB, ab. Если бы каждая хромосома была неразрывным целым, то мысленно можно было бы объдинить два локуса в один и рассматривать однолокусную четерехаллельную популяцию. Законы наследования в такой популяции изучались выше. Однако, предсказания такой теории вступают в сильные противоречия с некоторыми экспериментальными данными.

Известнейший генетик Томас Морган проводил эксперименты с мухами — дрозофилами. Отслеживались два признака: окраска тела и длина крыльев. В результате экпериментов по скрещиванию сразу же была опровергнута гипотеза, что соответствующие локусы находятся в разных хромосомах (в этом случае признаки должны были бы наследоваться независимо, что не соответствует реальности). Пусть за окраску тела отвечает первый локус. Его аллели: A (доминантный) — коричневая окраска, a (рецессивный) -черная окраска. Длина крыльев определяется вторым локусом. Доминантный аллель B соответствует длинным крыльям, а рецессивный аллель b — коротким. При интерпретации опытов постараемся опираться на однолокусовую черырехаллельную модель. На первом этапе Т.Морган скрещивал черных длиннокрылых самок и коричневых самцов с короткими крыльями. Генотип самок -(aB)(aB), генотип самцов (Ab)(Ab). Результат скрещивания:

Особи этого генотипа имеют коричневую окраску и длинные крылья. На данном этапе предсказания теории полностью соответствовали результатам опыта. На втором этапе полученных самок Т.Морган скрещивал с черными самцами, имеющими короткие крылья. Они принадлежали генотипу (aa)(bb). Попытаемся предсказать результат скрещивания:

Таким образом, в результате описанной стратегии срещивания дожны появляться с вероятностью особи двух генотипов (aB)(ab) и (Ab)(ab). Первые имеют черную окраску и длинные крылья, а вторые коричневую окраску и короткие крылья. Результат опыта оказался в противоречии с предсказаниями теории: появились мухи коричневые с длинными крыльями (8.5%) и черные мухи с короткими крыльями (8.5%). На 8.5% по сравнению с теорией уменьшилось число особей каждого из первых двух генотипов.

Была высказана гипотеза (она подтверждена), что в процессе мейоза (образавания половых клеток) гамологичные хромосомы могут обмениваться своими частями. Такой обмен аллелями между гомологичными хромосомами называется кросинговером. Его иллюстрирует рисунок.

Обратим внимание на важное обтоятельство, которое легко понять, глядя на рисунок. Пусть в одном из локусов обеих гомологичных хромосом находится один и тот же аллель. Тогда кроссигговер, даже если он произошел, не меняет локусные пары.

Благодаря кроссинговеру сцепленные гены могут передаваться потомству в сочетаниях, отличных от тех, которые были у родителей. В частности на рисунке родительская особь генотипа (AB)(ab) в результате кроссинговера породила гаметы (Ab) и (aB). Без кроссинговера мейоз привел бы к появлению гамет (AB) и (ab).

Обратимся к уравнениям, описывающим эволюцию в популяции с двумя двухаллельными локусами при условии кроссинговера. Частоты гамет в текущям и последующем поколениях будем обозначать как и . Так, например, -частота гамет, у которых в первом локусе находится аллель A, а во втором — аллель b. Частоты генотипов в текущем поколении связаны с частотами гамет этого же поколения (до мейоза). Приведем примеры. Частота гомозиготного генотипа (AB)(AB) суть , а частота гетерозиготного генотипа (AB)(ab) — соответственно . Эти и все подобные формулы полностью соответствуют случаю одного полиаллельного локуса. Обозначим через m и l вероятности того, что при мейозе соответственно произошел или не произошел кроссинговер. Здесь, естественно, m +l =1. Выпишем уравнения для эволюции частот гамет:

(3)

Дадим комментарии к правой части первой формулы (остальные формулы выписываются аналогично). Первое слагаемое — частота генотипа (AB)(AB). При мейозе каждая особь данного генотипа с единичной вероятность порождает гаметы (AB). Второе слагаемое — половинная частота генотипа (AB)(Ab). В силу сделанного выше замечания, несмотря на кроссиговер, каждая особь этого генотипа с вероятностью при мейозе дает гаметы (AB) и (Ab) (нас в данном случае интересуют гаметы (AB)). Совершенно аналогично, отражает вклад генотипа (AB)(aB) в образование гамет (AB). Четвертое слагаемое выписывается из следующих соображений. При условии, что кроссинговер не произошел (вероятность l ), особь генотипа (AB)(ab) с вероятностью даст гамету (AB). Частота генотипа (AB)(ab) суть . Обратимся к последнему слагаемому. При условии кроссинговера (вероятность m ) особь генотипа (Ab)(aB) (частота ) с вероятностью порождает гамету (AB) (см. рисунок выше). Осталось заметить, что кроссинговер ни в каком другом генотипе не может привести к появлению гаметы (AB).

Преобразуем формулы (3). Выкладки проведем на примере первой формулы. Подставляя , получим

Здесь учтено, что .

Введем обозначение

В результаты преобразований формулы (3) приобретают вид:

(4)

Величина называется мерой неравновесности состояния (если , то частоты гамет постоянны). Рассмотрим эволюцию . В силу (4) имеем:

Итак

. (5)

Проследим за эволюцией частот , , , (нижний индекс — номер поколения). В силу (4) и(5)

(6)

.

Это система так называемых разностных уравнений. Она решается следующим образом. Выписывается матрица правых частей уравнений:

.

Находятся ее собственные значения и . Матрица — диагональная, поэтому , . Собственные векторы (нетривиальные решения систем ) суть

, .

При вычислении использовано равенство: . Система резностных уравнений (6) имеет два линейно независимые решения: и . Общим решением является их линейная комбинация:

.

Константы и определяются из начального условия (при ):

.

Получаем и . В результате получаем решение системы (6):

,

.

Совершенно аналогично исследуется изменение частот гамет (ab), (Ab), (aB):

,

,

.

Из полученных формул следует, что при (с ростом номера поколения) и

, , , .

Тем самым, частоты гамет стремятся к состоянию равновесия, которое не достижимо за конечное число поколений. Частоты генотипов определяются через частоты гамет, а, следовательно, также стабилизируются. В отличии от случая, соответствующего закону Харди -Вайнберга, стабилизация в первом поколении не наступает.

Как уже говорилось, начальное состояние равновесно, т.е. частоты гамет в дальнейшем не меняются, если , т.е.

.

Исследуем условия равновесности. Рассмотрим частоты генов

, ,

, .

Легко видеть, что , . Прямые вычисления показывают:

Таким образом, . Совершенно аналогично: , , .

В равновесных состояниях частоты гамет являются произведениями частот соответствующих генов. Верно и обратное утверждение.

Формальный нейрон Мак-Каллока — Питтса

Модель отражает единственный атрибут биологического нейрона -его способность генерировать импульсы “все, или нечего” в ответ на достаточно сильное воздействие. Нейрон Мак-Каллока — Питтса функционирует в дискретном времени. Он имеет входов -синапсов и единственный выход. Значение выходного сигнала соответствует генерации спайка (состояние возбуждения). В состоянии покоя выходной сигнал . В момент времени выходной сигнал формируется в зависимости от сигналов , поступивших на синапсы в момент времени . Последние также могут принимать значения ноль или единица. Если синаптический сигнал равен нулю, то говорят, что синапс находится в состоянии покоя. Единичное значение соответствует состоянию возбуждения синапса. Сигнал на синапс поступает либо от выхода другого нейроны, либо от сенсора -специального входа для внешних сигналов. Первоначально правила формирования выходного сигнала были введены авторами модели в виде ряда аксиом. Приведем две из них.

Для возбуждения нейрона в момент времени необходимо в момент времени возбудить определенное, фиксированное число синапсов, которое не зависит ни от предыдущей истории, ни от состояния нейрона. Нейрон имеет особые входы -тормозящие синапсы. Возбуждение любого из них в момент времени исключает возбуждение нейрона в момент времени

Первая аксиома отражает пороговые свойства нейрона, а вторая — подчеркивает особую роль торможения (на сетях “без запретов” нельзя реализовать произвольный алгоритм).

Впоследствии модель изменилась. Синаптические сигналы ( не обязательно бинарные) стали взвешивать и формировать суммарный входной сигнал . Здесь -числа, которые называют синаптическими весами. Синапс называют возбудительным, если , и тормозным, если . Договорились, что в момент времени нейрон находится в возбужденном состоянии , если суммарный входной сигнал в момент времени превысил некоторое пороговое значение , т.е. . Пусть -функция Хевисайта. Она принимает нулевое значение при и единичное при . Тогда можно записать:

. (12)

Описанный объект есть то, что в настоящее время называют формальным нейроном Мак-Каллока — Питтса.

Функция в (12) получила название функции активации. Часто рассматривают нейроны с другими функциями активации. Нулевое значение выходного сигнала означает, что в соответствующий момент времени нейрон не действует на другие нейроны (он как бы искючен из сети). Представляется разумным, что в любой момент времени выходное значение не равно нулю и зависит от величины . В связи с этим, часто берут в качестве функции активации знак числа. Формула для выходного сигнала приобретает вид:

. (13)

Здесь при и при . Отметим, что в данном случае поделить нейроны на возбудительные и тормозные в принципе невозможно (напомним, что для биологических нейронов такая классификация производится).

Еще один подход к выбору функции активации связан с биологическим фактом, что на более сильное воздействие нейрон отвечает пачкой спайков. Число спайков (или частоту их следования) можно принять за характеристику выходного сигнала. В связи с этим рассматривают нейрон, у которого выходной сигнал задается формулой:

. (14)

Здесь -монотонно растущая функция, имеющая предел при . Дополнительно предполагают, что при , либо при (сигмоидная функция). Широко используется так называемая логистическая функция: . Другой вариант: при , например, .

Иногда в качестве функции выбирают линейный трехзвенный сплайн (ломаную, состоящую из трех частей): при , , где и , для . Тогда на восходящем участке функции активации нейрон работает как линейный сумматор входных сигналов.

Рассмотрим нейрон Мак-Каллока — Питтса, выходной сигнал которого задается формулой (12). Вектор , состоящий из входных сигналов (не обязательно бинарных), назовем входным, а вектор -синаптическим. Обычным образом введем скалярное произведение: . Гиперплоскость разбивает пространство на два полупространства и . В первом из них , а во втором . Если входной вектор , то выходной сигнал нейрона , если же , то . Тем самым, нейрон относит каждый из входных векторов к одному из двух классов.

Для того, чтобы нейрон мог осуществлять “правильную” в каком -то смысле классификацию, должны быть соответствующим образом выбраны вектор синаптических весов и пороговое значение . Процедура выбора этих параметров называется обучением нейрона. Различают обучение с “учителем” и “без учителя”.

Задача обучения с учителем ставится следующим образом. Задаются два набора входных векторов и . Они называются эталонными векторами или паттернами, а также образами. Требуется определить вектор синаптических весов и порог так, чтобы выходной сигнал нейрона в ответ на входные векторы был равен единице, а на векторы -нулю. Тем самым, обучение с учителем предполагает, что для каждого эталонного входного вектора заведомо известен ответ нейрона. Эталон и желаемый ответ называются обучающей парой.

Несмотря на многочисленные прикладные достижения обучение с учителем критикуется за свою биологическую неправдоподобность, поскольку совершенно не понятно откуда могут появиться желаемые ответы. При обучении без учителя заранее неизвестно разбиение эталонов на подмножества. До обучения невозможно предсказать в какой класс попадет каждый конкретный эталонный вектор. В процессе обучения выделяются статистические свойства обучающей последовательности и вырабатываются правила классификации. Естественно идея, на которой основаны правила, априорно заложена в процесс обучения. Например, эталонные векторы усредняются по координатам. Если эталонный вектор находится от усредненного “не слишком далеко”, то он относится к первому классу, а иначе -ко второму. Постановка задачи об обучении без учителя выглядит несколько расплывчатой. Однако в ряде случаев она успешно решена.

Различают также внешнее и адаптивное обучение. В первом случае синаптические веса вычисляются неким внешним устройством, а затем импортируются в синапсы. При адаптивном обучении веса подстраиваются в процессе функционирования сети, которой предъявляется обучающая последовательность эталонов. Многие авторы считают механизм адаптации неотъемлемым атрибутом нейронов. Внешнее обучение позволяет понять, во -первых, возможна ли вообще интересующая нас классификация для данной обучающей последовательности. Во -вторых, позволяет, не задумываясь о возможных механизмах адаптации, разумно выбрать синаптические веса для изучения вопроса о функционировании нейронов, объединенных в сеть.

После завершения процесса обучения нейрон осуществляет классификацию векторов эталонной последовательности, т.е. “запоминает” для каждого вектора класс, к которому тот относится. Кроме этого, произвольный входной вектор нейрон относит к определенному классу, т.е. “обобщает” классификацию (принцип сортировки) эталонной последовательности на произвольный образ.

Рассмотрим вопрос о разрешимости задачи обучения с учителем в частном случае, когда второе множество состоит из единственного представителя . Геометрически это означает, что строится гиперплоскость, которая отделяет векторы от нуля, т.е. решается задача об отделимости. Отметим, что для бинарных векторов, координаты которых равны либо нулю, либо единице, задача об отделимости всегда разрешима. В качестве нормального вектора можно взять, например вектор и положить для порогового значения . Нижеследующие построения на используют предположения о бинарности векторов.

Легко понять, что задача об отделимости разрешима в том и только том случае, когда выпуклая оболочка векторов не содержит нуля (отделена от нуля). Напомним, что выпуклой оболочкой векторов называется множество , состоящее из векторов: , где и . Пусть множество отделено от нуля и -его ближайшая к нулю точка, т.е. по всем . Здесь, как обычно, . Положим и выберем произвольно . Вектор -искомый синаптический вектор, а -пороговое значение для нейрона, реагирующего на входные векторы выходным сигналом , а на вектор -сигналом .

Задача о нахождении вектора, на котором реализуется минимальное расстояние от нуля до выпуклой оболочки сама по себе весьма сложна. Если число векторов не превышает размерность пространства и сами они линейно независимы, то отделяющую гиперплоскость можно построить другим способом. Достаточно провести через векторы какую-нибудь не содержащую ноль гиперплоскость, а затем сдвинуть ее по направлению нормали ближе к нулю. В качестве вектора синаптических весов следует взять нормальный к