ВВЕДЕНИЕ.
Метод конечных элементов является численным методом для дифференциальных уравнений, встречающихся в физике [1]. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош, который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея-Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия [2,3].
Одной из существующих трудностей, возникающих при численной реализации решения контактных задач теории упругости методом конечных элементов (МКЭ), является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) большого порядка вида
Большинство существующих методов решения таких систем разработаны в предположении того, что матрица A имеет ленточную структуру, причем ширина ленты 
, где n2 — порядок
. Однако, при использовании МКЭ для численного решения контактных задач возможны случаи, когда ширина ленты 
[5].
1 ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ, ВОЗНИКАЮЩИХ В МКЭ
Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [1,2,3].
В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении конкретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:
1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
4 .Непрерывная величина апроксимируется на каждом элементе функцией, которая определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется своя функция, но функции подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.
Для решения СЛАУ в МКЭ требуется выбрать метод решения. Окончательное решение о применении итерационных или прямых методов решения СЛАУ необходимо принимать на основе анализа структуры исследуемой математической задачи. Прямые методы решения СЛАУ более выгодно использовать, если необходимо решать много одинаковых систем с различными правыми частями, или если матрица А не является положительно-определенной. Кроме того, существуют задачи с такой структурой матрицы, для которой прямые методы всегда предпочтительнее, чем итерационные.
Точные методы решения СЛАУ
Рассмотрим ряд точных методов решения СЛАУ [4,5].
Решение систем n-линейных уравнении с n-неизвестными по формулам Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных:
Предположим, что определитель системы d не равен нулю. Если теперь заменить последовательно в определителе столбцы коэффициентов при неизвестных хj столбцом свободных членов bj, то получатся соответственно n определителей d1,…,dn.
Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
x1=d1/d; x2=d2/d;….; xn-1=dn-1/d; xn=dn/d;
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Пусть
произвольная система линейных уравнений, где число уравнений системы не равно числу n неизвестных. Предположим, что система (3) совместна и r
min{m,n}, тогда в матрицах А и А найдутся r линейно независимых строк, а остальные m-r строк окажутся их линейными комбинациями. Перестановкой уравнений можно добиться того, что эти r линейно независимых строк займут первые r мест.
Отсюда следует, что любое из последних m — r уравнений системы (3) можно представить как сумму первых r уравнений (которые называются линейно независимыми или базисными), взятых с некоторыми коэффициентами. Тогда система эквивалентна следующей системе r уравнений с n неизвестными
Предположим, что минор r-го порядка, составленный из коэффициентов при первых r неизвестных, отличен от нуля Мr 
0, т. е. является базисным минором. В этом случае неизвестные, коэффициенты при которых составляют базисный минор, называются базисными неизвестными, а остальные n — r — свободными неизвестными.
В каждом из уравнений системы (4) перенесем в правую часть все члены со свободными неизвестными xr+1,…, xn. Тогда получим систему, которая содержит r уравнений с r базисными неизвестными. Так как определитель этой системы есть базисный минор Mr то система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных, которое можно найти по формулам Крамера. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим общее решение исходной системы.
Однородная система линейных уравнений.
Пусть дана однородная система линейных уравнений n неизвестными
Так как добавление столбца из нулей не изменяет ранга матрицы системы, то на основании теоремы Кронекера — Kaneлли эта система всегда совместна и имеет, по крайней мере, нулевое решение. Если определитель системы (5) отличен от нуля и число уравнений системы равно числу неизвестных, то по теореме Крамера нулевое решение является единственным.
В том случае, когда ранг матрицы системы (5) меньше числа неизвестных, т. е. r (А)< n, данная система кроме нулевого решения будет иметь и ненулевые решения. Для нахождения этих решений в системе (5) выделяем r линейно независимых уравнений, остальные отбрасываем. В выделенных уравнениях в левой части оставляем r базисных неизвестных, а остальные n — r свободных неизвестных переносим в правую часть. Тогда приходим к системе, решая которую по формулам Крамера, выразим r базисных неизвестных x1,…, хr через n — r свободных неизвестных.
Система (5) имеет бесчисленное множество решений. Среди этого множества есть решения, линейно независимые между собой.
Фундаментальной системой решений называются n — r линейно независимых решений однородной системы уравнений.
Метод главных элементов.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
расширенная матрица системы (6) 
. Выберем ненулевой наибольший по модулю и не принадлежащий столбцу свободных членов элемент apq матрицы 
, который называется главным элементом, и вычислим множители mi=-aiq/apq для всех строк с номерами i
p (р — я строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой).
Далее к каждой неглавной i-й строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель mi; для этой строки.
В результате получим новую матрицу, все элементы q-го столбца которой, кроме apq, состоят из нулей.
Отбросив этот столбец и главную p-ю получим новую матрицу, число строк и столбцов которой на единицу меньше. Повторяем те же операции с получившейся матрицей, после чего получаем новую матрицу и т.д.
Таким образом, построим последовательность матриц, последняя из которых является двучленной матрицей-строкой (главной строкой). Для определения неизвестных xi объединяем в систему все главные строки, начиная с последней.
Изложенный метод решения системы линейных уравнений с n неизвестными называется методом главных элементов. Необходимое условие его применения состоит том, что определитель матрицы не равен нулю [6,7].
Схема Халецкого.
Пусть система линейных уравнений дана в матричном виде.
Ax=b (7)
Где А — квадратная матрица порядка n, а x,b — векторы столбцы.
Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы С и верхней треугольной матрицы В с единичной диагональю, т.е.
А=СВ,
Где
, 
Причем элементы сij и bij определяются по формулам:
,
Уравнение (7) можно записать в следующем виде:
CBx=b. (9)
Произведение Bx матрицы B на вектор-столбец x является вектором-столбцом, который обозначим через y:
Bx=y. (10)
Тогда уравнение (9) перепишем в виде:
Cy=b. (11)
Здесь элементы сij известны, так как матрица А системы (7) считается уже разложенной на произведение двух треугольных матриц С и В.
Перемножив матрицы в левой части равенства (11), получаем систему уравнений из которой получаем следующие формулы для определения неизвестных:
неизвестные yi удобно вычислять вместе с элементами bij.
После того как все yi определены по формулам (12), подставляем их в уравнение(10).
Так как коэффициенты bij определены (8), то значения неизвестных, начиная с последнего, вычисляем по следующим формулам:
К прямым методам, использующим свойство разреженности А, можно отнести: алгоритм минимальной степени, алгоритм минимального дефицита, древовидное блочное разбиение для асимметричного разложения, методы вложенных или параллельных сечений и др.
Метод Гаусса.
Пусть дана система
Ax = b
где А – матрица размерности m x m.
В предположении, что 
, первое уравнение системы
, 
делим на коэффициент 
, в результате получаем уравнение
Затем из каждого из остальных уравнений вычитается первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент 
. В результате эти уравнения преобразуются к виду
первое неизвестное оказалось исключенным из всех уравнений, кроме первого. Далее в предположении, что 
, делим второе уравнение на коэффициент 
и исключаем неизвестное из всех уравнений, начиная со второго и т.д. В результате последовательного исключения неизвестных система уравнений преобразуется в систему уравнений с треугольной матрицей
Совокупность проведенных вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.
Из 
-го уравнения системы (2) определяем 
, из (
)-го уравнения определяем 
и т.д. до 
. Совокупность таких вычислений называют обратным ходом метода Гаусса.
Реализация прямого метода Гаусса требует 
арифметических операций, а обратного — 
арифметических операций.
1.2. Итерационные методы решения СЛАУ
Метод итераций (метод последовательных приближений).
Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс построения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).
Эффективность применения приближенных методов зависят от выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса.
Рассмотрим метод итераций (метод последовательных приближений). Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
Ах=b, (14)
Предполагая, что диагональные элементы aii 
0 (i = 2, …, n), выразим xi через первое уравнение систем x2 — через второе уравнение и т. д. В результате получим систему, эквивалентную системе (14):
Обозначим 
; 
, где i == 1, 2, …,n; j == 1,2,…, n. Тогда система (15) запишется таким образом в матричной форме
Решим систему (16) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов. Любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле
Если последовательность приближений x(0),…,x(k) имеет предел 
, то этот предел является решением системы (15), поскольку в силу свойства предела 
, т.е. 
[4,6].
Метод Зейделя.
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных приближений. В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi (i>1) учитываются уже найденные ранее (k+1)-е приближения неизвестных xi-1.
Пусть дана линейная система, приведенная к нормальному виду:
(17)
Выбираем произвольно начальные приближения неизвестных и подставляем в первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы и так далее до последнего уравнения. Аналогично строим вторые, третьи и т.д. итерации.
Таким образом, предполагая, что k-е приближения 
известны, методом Зейделя строим (k+1)-е приближение по следующим формулам:
где k=0,1,…,n
Метод Ланцоша.
Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица, коэффициентов которой хранится в компактном нижеописанном виде, наиболее удобным итерационным методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид:
(18)
где
Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает свойством «квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций 
. Размер требуемой памяти на каждой итерации не изменяется, т.к. не требует преобразование матрицы 
. В качестве критерия остановки данного итерационного процесса обычно используют соотношение
, (19)
где 
— заданная точность. В качестве другого критерия сходимости иногда удобнее использовать среднеквадратичную разность между решениями, полученными на соседних итерациях:
(20)
Среднеквадратичную разность необходимо контролировать при выполнении каждых k наперед заданных итераций.
Отдельно следует рассмотреть проблему выбора начального приближения 
. Доказывается, что при положительно определенной матрице 
, итерационный процесс (18) всегда сходится при любом выборе начального приближения. При решении контактных задач, когда для уточнения граничных условий в зоне предполагаемого контакта требуется большое количество решений СЛАУ вида (1), в качестве начального приближения для первого расчета используется правая часть системы (1), а для каждого последующего пересчета — решение, полученное на предыдущем. Такая схема позволяет значительно сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (19) или (20) [10,11].
2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
Матрица жесткости, получающаяся при применении МКЭ, обладает симметричной структурой, что позволяет в общем случае хранить только верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач с большим количеством неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти. Предлагаемый в данной работе метод, позволяет хранить только ненулевые члены матрицы жесткости. Суть его заключается в следующем.
Первоначально, с целью выявления связей каждого узла с другими, производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для КЭ — сетки, изображенной на рис. 1, соответствующая структура связей будет иметь вид:
| № узла | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Связи | 1, 2, 5, 6, 7 | 1, 2, 3, 6 | 2, 3, 4, 6 | 3, 4, 5, 6, 7 | 1, 4, 5, 7 | 1, 2, 3, 4, 6, 7 | 1, 4, 5, 6, 7 |
 |
Тогда, для хранения матрицы жесткости необходимо построчно запоминать информацию о коэффициентах, соответствующих узлам, с которыми связан данный узел. На рис. 2 приведены матрица жесткости и ее компактное представление для сетки изображенной на рис 1 [9].
 |
Текст подпрограммы, реализующий предложенный алгоритм анализа структуры КЭ-разбиения тела, приведен в Приложении 1.
Данный способ компактного хранения матрицы жесткости позволяет легко его использовать совместно с каким-нибудь численным методом. Наиболее удобным для этой цели представляется использование вышеизложенного итерационного метода Ланцоша, так как на каждой итерации требуется только перемножать матрицу коэффициентов СЛАУ и заданный вектор. Следовательно, для использования предложенного метода компактного хранения СЛАУ необходимо построить прямое и обратное преобразование в первоначальную квадратную матрицу.
Пусть 
– элемент первоначальной квадратной матрицы размерностью 
, а 
— ее компактное представление. Тогда для обратного преобразования будут справедливы следующие соотношения:
, (*)
где m – количество степеней свободы (m=1,2,3).
Для прямого преобразования будут справедливы соотношения, обратные к соотношениям (*).
3 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Для проверки предлагаемого метода компактного хранения матрицы жесткости была решена задача о контактном взаимодействии оболочечной конструкции и ложемента [12] (рис. 4).
 |
Данная задача часто возникает на практике при транспортировке или хранении с горизонтальным расположением оси оболочечные конструкции устанавливаются на круговые опоры — ложементы. Взаимодействие подкрепленных оболочечных конструкций и ложементов осуществляется через опорные шпангоуты, протяженность которых вдоль оси оболочки соизмерима с шириной ложементов и много меньше радиуса оболочки и величины зоны контакта.
Данная задача решалась методом конечных элементов при помощи системы FORL [5]. Дискретная модель ложемента (в трехмерной постановке) представлена на Рис. 5.
 |
При построении данной КЭ-модели было использовано 880 узлов и 2016 КЭ в форме тетраэдра. Полный размер матрицы жесткости для такой задачи составляет 
байт, что приблизительно равно 2,7 Мбайт оперативной памяти. Размер упакованного представления составил около 315 Кбайт.
Данная задача решалась на ЭВМ с процессором Pentium 166 и 32 МБ ОЗУ двумя способами – методом Гаусса и методом Ланцоша. Сопоставление результатов решения приведено в Таблице 1.
Таблица 1.
| Время решения (сек) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Гаусса |
280 | 2.2101 | -2.4608 | 1.3756 | -5.2501 | 1.7406 | -2.3489 |
| Метод Ланцоша | 150 | 2.2137 | -2.4669 | 1.3904 | -5.2572 | 1.7433 | -2.3883 |
Из Таблицы 1 легко видеть, что результаты решения СЛАУ методом Гаусса и методом Ланцоша хорошо согласуются между собой, при этом время решения вторым способом почти в два раза меньше, чем в случае использования метода Гаусса.
ВЫВОДЫ.
В данной работе были рассмотрены способы компактного хранения матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы ее решения. Разработан алгоритм компактного хранения матрицы жесткости, позволяющий в несколько раз (иногда более чем в десятки раз) сократить объем требуемой памяти для хранения такой матрицы жесткости.
Классические методы хранения, учитывающие симметричную и ленточную структуру матриц жесткости, возникающих при применении метода конечных элементов (МКЭ), как правило, не применимы при решении контактных задач, так как при их решении матрицы жесткости нескольких тел объединяются в одну общую матрицу, ширина ленты которой может стремиться к порядку системы.
Предложенная в работе методика компактного хранения матриц коэффициентов СЛАУ и использования метода Ланцоша позволили на примере решения контактных задач добиться существенной экономии процессорного времени и затрат оперативной памяти.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Исходный текст программы, реализующий анализ структуры КЭ-разбиения объекта.
#include
#include
#include
#include
#include
#include «matrix.h»
#define BASE3D_4 4
#define BASE3D_8 8
#define BASE3D_10 10
const double Eps = 1.0E-10;
DWORD CurrentType = BASE3D_10;
void PrintHeader(void)
{
printf(«Command format: AConvert — [/Options]n»);
printf(«Switch: -t10 — Tetraedr(10)n»);
printf(» -c8 — Cube(8)n»);
printf(» -s4 — Shell(4)n»);
printf(» -s8 — Shell(8)nn»);
printf(«Optins: /8 — convert Tetraedr(10)->8*Tetraedr(4)n»);
printf(» /6 — convert Cube(8)->6*Tetraedr(4)n»);
}
bool Output(char* fname,Vector& x,Vector& y,Vector& z, Matrix& tr, DWORD n,
DWORD NumNewPoints,DWORD ntr,Matrix& Bounds,DWORD CountBn)
{
char* Label = «NTRout»;
int type = CurrentType,
type1 = (type==BASE3D_4 || type==BASE3D_10) ? 3 : 4;
DWORD NewSize,
i,
j;
ofstream Out;
if (type==BASE3D_4) type1 = 3;
else if (type==BASE3D_8) type1 = 4;
else if (type==BASE3D_10) type1 = 6;
Out.open(fname,ios::out | ios:: binary);
if (Out.bad()) return true;
Out.write((const char*)Label,6 * sizeof(char));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&type,sizeof(int));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&CountBn,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
Out.write((const char*)&(NewSize = n + NumNewPoints),sizeof(DWORD));
if (Out.fail()) return true;
Out.write((const char*)&(NumNewPoints),sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
Out.write((const char*)&x[i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&y[i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&z[i],sizeof(double));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
for (i = 0; i < NumNewPoints; i++)
{
Out.write((const char*)&x[n + i],sizeof(double));
Out.write((const char*)&y[n + i],sizeof(double));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
Out.write((const char*)&(ntr),sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
for (i = 0; i < ntr; i++)
for (j = 0; j < (DWORD)type; j++)
{
DWORD out = tr[i][j];
Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
for (i = 0; i < CountBn; i++)
for (j = 0; j < (DWORD)type1; j++)
{
DWORD out = Bounds[i][j];
Out.write((const char*)&out,sizeof(DWORD));
if (Out.fail())
{
Out.close();
return true;
}
}
{
//*********************
// Create Links
printf(«Create links…r»);
Vector Link(n),
Size(n);
Matrix Links(n,n);
DWORD Count;
int type = CurrentType;
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
for (DWORD j = 0; j < ntr; j++)
for (DWORD k = 0; k < (DWORD)type; k++)
if (tr[j][k] == i)
for (DWORD m = 0; m < (DWORD)type; m++) Link[tr[j][m]] = 1;
Count = 0;
for (DWORD m = 0; m < n; m++)
if (Link[m]) Count++;
Size[i] = Count;
Count = 0;
for (DWORD m = 0; m < n; m++)
if (Link[m])
Links[i][Count++] = m;
//Set zero
Link.ReSize(n);
}
// Output
//*********************
for (DWORD i = 0; i < n; i++)
{
DWORD Sz = Size[i];
Out.write((const char*)&Sz,sizeof(DWORD));
for (DWORD j = 0; j < Sz; j++)
Out.write((const char*)&(Links[i][j]),sizeof(DWORD));
}
//*********************
}
printf(» r»);
printf(«Points: %ldn»,n);
printf(«FE: %ldn»,ntr);
Out.close();
return false;
}
bool Test(DWORD* a,DWORD* b)
{
bool result;
int NumPoints = 3;
if (CurrentType == BASE3D_8) NumPoints = 4;
else if (CurrentType == BASE3D_10) NumPoints = 6;
for (int i = 0; i < NumPoints; i++)
{
result = false;
for (int j = 0; j < NumPoints; j++)
if (b[j] == a[i])
{
result = true;
break;
}
if (result == false) return false;
}
return true;
}
void Convert(Vector& X,Vector& Y,Vector& Z, Matrix& FE,DWORD NumTr,Matrix& Bounds,DWORD& BnCount)
{
int cData8[6][5] = {{0,4,5,1,7},
{6,2,3,7,0},
{4,6,7,5,0},
{2,0,1,3,5},
{1,5,7,3,4},
{6,4,0,2,1}},
cData4[4][4] = {{0,1,2,3},
{1,3,2,0},
{3,0,2,1},
{0,3,1,2}},
cData10[4][7] = {{0,1,2,4,5,6,3},
{0,1,3,4,8,7,2},
{1,3,2,8,9,5,0},
{0,2,3,6,9,7,1}},
cData[6][7],
Data[6],
l,
Num1,
Num2,
m;
DWORD i,
j,
p[6],
pp[6],
Index;
Matrix BoundList(4 * NumTr,6);
double cx,
cy,
cz,
x1,
y1,
z1,
x2,
y2,
z2,
x3,
y3,
z3;
Bounds.ReSize(4 * NumTr,6);
switch (CurrentType)
{
case BASE3D_4:
Num1 = 4;
Num2 = 3;
for (l = 0; l < Num1; l++)
for (m = 0; m < Num2+1; m++)
cData[l][m] = cData4[l][m];
break;
case BASE3D_8:
Num1 = 6;
Num2 = 4;
for (l = 0; l < Num1; l++)
for (m = 0; m < Num2 + 1; m++)
cData[l][m] = cData8[l][m];
break;
case BASE3D_10:
Num1 = 4;
Num2 = 6;
for (l = 0; l < Num1; l++)
for (m = 0; m < Num2+1; m++)
cData[l][m] = cData10[l][m];
}
printf(«Create bounds…r»);
for (i = 0; i < NumTr — 1; i++)
for (int j = 0; j < Num1; j++)
if (!BoundList[i][j])
{
for (l = 0; l < Num2; l++)
p[l] = FE[i][cData[j][l]];
for (DWORD k = i + 1; k < NumTr; k++)
for (int m = 0; m < Num1; m++)
if (!BoundList[k][m])
{
for (int l = 0; l < Num2; l++)
pp[l] = FE[k][cData[m][l]];
if (Test(p,pp))
BoundList[i][j] = BoundList[k][m] = 1;
}
}
for (i = 0; i < NumTr; i++)
for (j = 0; j < (DWORD)Num1; j++)
if (BoundList[i][j] == 0)
{
if (CurrentType == BASE3D_4)
{
cx = X[FE[i][cData[j][3]]];
cy = Y[FE[i][cData[j][3]]];
cz = Z[FE[i][cData[j][3]]];
}
else
if (CurrentType == BASE3D_10)
{
cx = X[FE[i][cData[j][6]]];
cy = Y[FE[i][cData[j][6]]];
cz = Z[FE[i][cData[j][6]]];
}
else
{
cx = X[FE[i][cData[j][4]]];
cy = Y[FE[i][cData[j][4]]];
cz = Z[FE[i][cData[j][4]]];
}
x1 = X[FE[i][cData[j][0]]];
y1 = Y[FE[i][cData[j][0]]];
z1 = Z[FE[i][cData[j][0]]];
x2 = X[FE[i][cData[j][1]]];
y2 = Y[FE[i][cData[j][1]]];
z2 = Z[FE[i][cData[j][1]]];
x3 = X[FE[i][cData[j][2]]];
y3 = Y[FE[i][cData[j][2]]];
z3 = Z[FE[i][cData[j][2]]];
for (l = 0; l < Num2; l++)
Data[l] = cData[j][l];
if ( ((cx-x1)*(y2-y1)*(z3-z1) + (cy-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(cz-z1)*(x2-x1) —
(x3-x1)*(y2-y1)*(cz-z1) — (y3-y1)*(z2-z1)*(cx-x1) — (cy-y1)*(z3-z1)*(x2-x1)) > 0)
{
if (CurrentType == BASE3D_4)
{
Data[0] = cData[j][0];
Data[1] = cData[j][2];
Data[2] = cData[j][1];
}
else
if (CurrentType == BASE3D_10)
{
Data[0] = cData[j][0];
Data[1] = cData[j][2];
Data[2] = cData[j][1];
Data[3] = cData[j][5];
Data[5] = cData[j][3];
}
else
{
Data[0] = cData[j][0];
Data[1] = cData[j][3];
Data[2] = cData[j][2];
Data[3] = cData[j][1];
}
}
for (l = 0; l < Num2; l++)
Bounds[BnCount][l] = FE[i][Data[l]];
BnCount++;
}
}
void main(int argc,char** argv)
{
char *input1,
*input2,
*input3,
*op = «»,
*sw;
bool CreateFile(char*,char*,char*,char*);
printf(«ANSYS->FORL file convertor. ZSU(c) 1998.nn»);
if (argc < 5 || argc > 6)
{
PrintHeader();
return;
}
sw = argv[1];
input1 = argv[2];
input2 = argv[3];
input3 = argv[4];
if (!strcmp(sw,»-t10″))
CurrentType = BASE3D_10;
else
if (!strcmp(sw,»-c8″))
CurrentType = BASE3D_8;
else
{
printf(«Unknown switch %snn»,sw);
PrintHeader();
return;
}
if (argc == 6)
{
op = argv[5];
if (strcmp(op,»/8″) && strcmp(op,»/6″))
{
printf(«Unknown options %snn»,op);
PrintHeader();
return;
}
}
if (CreateFile(input1,input2,input3,op))
printf(«OKn»);
}
bool CreateFile(char* fn1,char* fn2,char* fn3,char* Op)
{
FILE *in1,
*in2,
*in3;
Vector X(1000),
Y(1000),
Z(1000);
DWORD NumPoints,
NumFE,
NumBounds = 0,
tmp;
Matrix FE(1000,10),
Bounds;
bool ReadTetraedrData(char*,char*,FILE*,FILE*,Vector&,Vector&,Vector&,
Matrix&,DWORD&,DWORD&),
ReadCubeData(char*,char*,FILE*,FILE*,Vector&,Vector&,Vector&,
Matrix&,DWORD&,DWORD&);
void Convert824(Matrix&,DWORD&),
Convert1024(Matrix&,DWORD&);
if ((in1 = fopen(fn1,»r»)) == NULL)
{
printf(«Unable open file %s»,fn1);
return false;
}
if ((in2 = fopen(fn2,»r»)) == NULL)
{
printf(«Unable open file %s»,fn2);
return false;
}
if (CurrentType == BASE3D_10)
{
if (!ReadTetraedrData(fn1,fn2,in1,in2,X,Y,Z,FE,NumPoints,NumFE)) return false;
if (!strcmp(Op,»/8″))
{
// Create 8*Tetraedr(4)
Convert1024(FE,NumFE);
}
Convert(X,Y,Z,FE,NumFE,Bounds,NumBounds);
return !Output(fn3,X,Y,Z,FE,NumPoints,0,NumFE,Bounds,NumBounds);
}
if (CurrentType == BASE3D_8)
{
if (!ReadCubeData(fn1,fn2,in1,in2,X,Y,Z,FE,NumPoints,NumFE)) return false;
if (!strcmp(Op,»/6″))
{
// Create 6*Tetraedr(4)
Convert824(FE,NumFE);
}
Convert(X,Y,Z,FE,NumFE,Bounds,NumBounds);
return !Output(fn3,X,Y,Z,FE,NumPoints,0,NumFE,Bounds,NumBounds);
}
return false;
}
void Convert824(Matrix& FE,DWORD& NumFE)
{
Matrix nFE(6 * NumFE,4);
DWORD data[][4] = {
{ 0,2,3,6 },
{ 4,5,1,7 },
{ 0,4,1,3 },
{ 6,7,3,4 },
{ 1,3,7,4 },
{ 0,4,6,3 }
},
Current = 0;
for (DWORD i = 0; i < NumFE; i++)
for (DWORD j = 0; j < 6; j++)
{
for (DWORD k = 0; k < 4; k++)
nFE[Current][k] = FE[i][data[j][k]];
Current++;
}
CurrentType = BASE3D_4;
NumFE = Current;
FE = nFE;
}
void Convert1024(Matrix& FE,DWORD& NumFE)
{
Matrix nFE(8 * NumFE,4);
DWORD data[][4] = {
{ 3,7,8,9 },
{ 0,4,7,6 },
{ 2,5,9,6 },
{ 7,9,8,6 },
{ 4,8,5,1 },
{ 4,5,8,6 },
{ 7,8,4,6 },
{ 8,9,5,6 }
},
Current = 0;
for (DWORD i = 0; i < NumFE; i++)
for (DWORD j = 0; j < 8; j++)
{
for (DWORD k = 0; k < 4; k++)
nFE[Current][k] = FE[i][data[j][k]];
Current++;
}
CurrentType = BASE3D_4;
NumFE = Current;
FE = nFE;
}
bool ReadTetraedrData(char* fn1,char* fn2,FILE* in1,FILE* in2,Vector& X,Vector& Y,Vector& Z,
Matrix& FE,DWORD& NumPoints,DWORD& NumFE)
{
double tx,
ty,
tz;
char TextBuffer[1001];
DWORD Current = 0L,
tmp;
while (!feof(in1))
{
if (fgets(TextBuffer,1000,in1) == NULL)
{
if (feof(in1)) break;
printf(«Unable read file %s»,fn1);
fclose(in1);
fclose(in2);
return false;
}
if (sscanf(TextBuffer,»%ld %lf %lf %lf», &NumPoints,&tx,&ty,&tz) != 4) continue;
X[Current] = tx;
Y[Current] = ty;
Z[Current] = tz;
if (++Current == 999)
{
Vector t1 = X,
t2 = Y,
t3 = Z;
X.ReSize(2 * X.Size());
Y.ReSize(2 * X.Size());
Z.ReSize(2 * X.Size());
for (DWORD i = 0; i < Current; i++)
{
X[i] = t1[i];
Y[i] = t2[i];
Z[i] = t3[i];
}
}
if (Current % 100 == 0)
printf(«Line: %ldr»,Current);
}
fclose(in1);
printf(» r»);
NumPoints = Current;
Current = 0L;
while (!feof(in2))
{
if (fgets(TextBuffer,1000,in2) == NULL)
{
if (feof(in2)) break;
printf(«Unable read file %s»,fn2);
fclose(in2);
return false;
}
if (sscanf(TextBuffer,»%d %d %d %d %d %ld %ld %ld %ld %ld %ld %ld %ld»,
&tmp,&tmp,&tmp,&tmp,&tmp,
&FE[Current][0],&FE[Current][1],&FE[Current][2],&FE[Current][3],
&FE[Current][4],&FE[Current][5],&FE[Current][6],&FE[Current][7]) != 13) continue;
if (fgets(TextBuffer,1000,in2) == NULL)
{
printf(«Unable read file %s»,fn2);
fclose(in2);
return false;
}
if (sscanf(TextBuffer,»%ld %ld»,&FE[Current][8],&FE[Current][9]) != 2)
{
printf(«Unable read file %s»,fn2);
fclose(in2);
return false;
}
{
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][0] — 1] + X[FE[Current][1] — 1])) — X[FE[Current][4] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][4] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][0] — 1] + Y[FE[Current][1] — 1])) — Y[FE[Current][4] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][4] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][0] — 1] + Z[FE[Current][1] — 1])) — Z[FE[Current][4] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][4] — 1] = tz;
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][2] — 1] + X[FE[Current][1] — 1])) — X[FE[Current][5] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][5] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][2] — 1] + Y[FE[Current][1] — 1])) — Y[FE[Current][5] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][5] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][2] — 1] + Z[FE[Current][1] — 1])) — Z[FE[Current][5] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][5] — 1] = tz;
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][0] — 1] + X[FE[Current][2] — 1])) — X[FE[Current][6] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][6] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][0] — 1] + Y[FE[Current][2] — 1])) — Y[FE[Current][6] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][6] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][0] — 1] + Z[FE[Current][2] — 1])) — Z[FE[Current][6] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][6] — 1] = tz;
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][0] — 1] + X[FE[Current][3] — 1])) — X[FE[Current][7] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][7] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][0] — 1] + Y[FE[Current][3] — 1])) — Y[FE[Current][7] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][7] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][0] — 1] + Z[FE[Current][3] — 1])) — Z[FE[Current][7] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][7] — 1] = tz;
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][3] — 1] + X[FE[Current][1] — 1])) — X[FE[Current][8] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][8] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][3] — 1] + Y[FE[Current][1] — 1])) — Y[FE[Current][8] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][8] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][3] — 1] + Z[FE[Current][1] — 1])) — Z[FE[Current][8] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][8] — 1] = tz;
if (fabs((tx = 0.5*(X[FE[Current][3] — 1] + X[FE[Current][2] — 1])) — X[FE[Current][9] — 1]) > Eps)
X[FE[Current][9] — 1] = tx;
if (fabs((ty = 0.5*(Y[FE[Current][3] — 1] + Y[FE[Current][2] — 1])) — Y[FE[Current][9] — 1]) > Eps)
Y[FE[Current][9] — 1] = ty;
if (fabs((tz = 0.5*(Z[FE[Current][3] — 1] + Z[FE[Current][2] — 1])) — Z[FE[Current][9] — 1]) > Eps)
Z[FE[Current][9] — 1] = tz;
}
if (++Current == 999)
{
Matrix t = FE;
FE.ReSize(2 * FE.Size1(),10);
for (DWORD i = 0; i < Current; i++)
for (DWORD j = 0; j < 10; j++)
FE[i][j] = t[i][j];
}
if (Current % 100 == 0)
printf(«Line: %ldr»,Current);
}
NumFE = Current;
for (DWORD i = 0; i < NumFE; i++)
for (DWORD j = 0; j < 10; j++)
FE[i][j]—;
printf(» r»);
return true;
}
bool ReadCubeData(char* fn1,char*fn2,FILE* in1,FILE* in2,Vector& X,Vector& Y,Vector& Z,
Matrix& FE,DWORD& NumPoints,DWORD& NumFE)
{
double tx,
ty,
tz;
char TextBuffer[1001];
DWORD Current = 0L,
tmp;
while (!feof(in1))
{
if (fgets(TextBuffer,1000,in1) == NULL)
{
if (feof(in1)) break;
printf(«Unable read file %s»,fn1);
fclose(in1);
fclose(in2);
return false;
}
if (sscanf(TextBuffer,»%ld %lf %lf %lf», &NumPoints,&tx,&ty,&tz) != 4) continue;
X[Current] = tx;
Y[Current] = ty;
Z[Current] = tz;
if (++Current == 999)
{
Vector t1 = X,
t2 = Y,
t3 = Z;
X.ReSize(2 * X.Size());
Y.ReSize(2 * X.Size());
Z.ReSize(2 * X.Size());
for (DWORD i = 0; i < Current; i++)
{
X[i] = t1[i];
Y[i] = t2[i];
Z[i] = t3[i];
}
}
if (Current % 100 == 0)
printf(«Line: %ldr»,Current);
}
fclose(in1);
printf(» r»);
NumPoints = Current;
Current = 0L;
while (!feof(in2))
{
if (fgets(TextBuffer,1000,in2) == NULL)
{
if (feof(in2)) break;
printf(«Unable read file %s»,fn2);
fclose(in2);
return false;
}
if (sscanf(TextBuffer,»%d %d %d %d %d %ld %ld %ld %ld %ld %ld %ld %ld»,
&tmp,&tmp,&tmp,&tmp,&tmp,
&FE[Current][0],&FE[Current][1],&FE[Current][3],&FE[Current][2],
&FE[Current][4],&FE[Current][5],&FE[Current][7],&FE[Current][6]) != 13) continue;
if (++Current == 999)
{
Matrix t = FE;
FE.ReSize(2 * FE.Size1(),10);
for (DWORD i = 0; i < Current; i++)
for (DWORD j = 0; j < 10; j++)
FE[i][j] = t[i][j];
}
if (Current % 100 == 0)
printf(«Line: %ldr»,Current);}
NumFE = Current;
for (DWORD i = 0; i < NumFE; i++)
for (DWORD j = 0; j < 10; j++)
FE[i][j]—;
printf(» r»);
return true;}ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Исходный текст программы, реализующей алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка.
#include «matrix.h»
class RVector
{
private:
Vector Buffer;
public:
RVector(void) {}
~RVector() {}
RVector(DWORD Size) { Buffer.ReSize(Size); }
RVector(RVector& right) { Buffer = right.Buffer; }
RVector(Vector& right) { Buffer = right; }
DWORD Size(void) { return Buffer.Size(); }
void ReSize(DWORD Size) { Buffer.ReSize(Size); }
double& operator [] (DWORD i) { return Buffer[i]; }
RVector& operator = (RVector& right) { Buffer = right.Buffer; return *this; }
RVector& operator = (Vector& right) { Buffer = right; return *this; }
void Sub(RVector&);
void Sub(RVector&,double);
void Mul(double);
void Add(RVector&);
friend double Norm(RVector&,RVector&);
};
class TSMatrix
{
private:
Vector Right;
Vector* Array;
Vector* Links;
uint Dim;
DWORD Size;
public:
TSMatrix(void) { Size = 0; Dim = 0; Array = NULL; Links = NULL; }
TSMatrix(Vector*,DWORD,uint);
~TSMatrix(void) { if (Array) delete [] Array; }
Vector& GetRight(void) { return Right; }
DWORD GetSize(void) { return Size; }
uint GetDim(void) { return Dim; }
Vector& GetVector(DWORD i) { return Array[i]; }
Vector* GetLinks(void) { return Links; }
void SetLinks(Vector* l) { Links = l; }
void Add(Matrix&,Vector&);
void Add(DWORD I, DWORD L, DWORD J, DWORD K, double v)
{
DWORD Row = I,
Col = L * Links[I].Size() * Dim + Find(I,J) * Dim + K;
Array[Row][Col] += v;
}
void Add(DWORD I, double v)
{
Right[I] += v;
}
DWORD Find(DWORD,DWORD);
void Restore(Matrix&);
void Set(DWORD,DWORD,double,bool);
void Set(DWORD Index1,DWORD Index2,double value)
{
DWORD I = Index1 / Dim,
L = Index1 % Dim,
J = Index2 / Dim,
K = Index2 % Dim,
Pos = Find(I,J),
Row = I,
Col;
if (Pos == DWORD(-1)) return;
Col = L * Links[I].Size() * Dim + Find(I,J) * Dim + K;
Array[Row][Col] = value;
}
bool Get(DWORD Index1,DWORD Index2,double& value)
{
DWORD I = Index1 / Dim,
L = Index1 % Dim,
J = Index2 / Dim,
K = Index2 % Dim,
Pos = Find(I,J),
Row = I,
Col;
value = 0;
if (Pos == DWORD(-1)) return false;
Col = L * Links[I].Size() * Dim + Find(I,J) * Dim + K;
value = Array[Row][Col];
return true;
}
void Mul(RVector&,RVector&);
double Mul(DWORD,RVector&);
void write(ofstream&);
void read(ifstream&);
};
class RMatrix
{
private:
Vector Buffer;
DWORD size;
public:
RMatrix(DWORD sz) { size = sz; Buffer.ReSize(size*(size + 1)*0.5); }
~RMatrix() {}
DWORD Size(void) { return size; }
double& Get(DWORD i,DWORD j) { return Buffer[(2*size + 1 — i)*0.5*i + j — i]; }
};
//************************
#include «smatrix.h»
double Norm(RVector& Left,RVector& Right)
{
double Ret = 0;
for (DWORD i = 0; i < Left.Size(); i++)
Ret += Left[i] * Right[i];
return Ret;
}
void RVector::Sub(RVector& Right)
{
for (DWORD i = 0; i < Size(); i++)
(*this)[i] -= Right[i];
}
void RVector::Add(RVector& Right)
{
for (DWORD i = 0; i < Size(); i++)
(*this)[i] += Right[i];
}
void RVector::Mul(double koff)
{
for (DWORD i = 0; i < Size(); i++)
(*this)[i] *= koff;
}
void RVector::Sub(RVector& Right,double koff)
{
for (DWORD i = 0; i < Size(); i++)
(*this)[i] -= Right[i]*koff;
}
TSMatrix::TSMatrix(Vector* links, DWORD size, uint dim)
{
Dim = dim;
Links = links;
Size = size;
Right.ReSize(Dim * Size);
Array = new Vector[Size];
for (DWORD i = 0; i < Size; i++)
Array[i].ReSize(Links[i].Size() * Dim * Dim);
}
void TSMatrix::Add(Matrix& FEMatr,Vector& FE)
{
double Res;
DWORD RRow;
for (DWORD i = 0L; i < FE.Size(); i++)
for (DWORD l = 0L; l < Dim; l++)
for (DWORD j = 0L; j < FE.Size(); j++)
for (DWORD k = 0L; k < Dim; k++)
{
Res = FEMatr[i * Dim + l][j * Dim + k];
if (Res) Add(FE[i],l,FE[j],k,Res);
}
for (DWORD i = 0L; i < FE.Size(); i++)
for (DWORD l = 0L; l < Dim; l++)
{
RRow = FE[UINT(i % (FE.Size()))] * Dim + l;
Res = FEMatr[i * Dim + l][FEMatr.Size1()];
if (Res) Add(RRow,Res);
}
}
DWORD TSMatrix::Find(DWORD I,DWORD J)
{
DWORD i;
for (i = 0; i < Links[I].Size(); i++)
if (Links[I][i] == J) return i;
return DWORD(-1);
}
void TSMatrix::Restore(Matrix& Matr)
{
DWORD i,
j,
NRow,
NPoint,
NLink,
Pos;
Matr.ReSize(Size * Dim,Size * Dim + 1);
for (i = 0; i < Size; i++)
for (j = 0; j
{
NRow = j / (Array[i].Size() / Dim); // Number of row
NPoint = (j — NRow * (Array[i].Size() / Dim)) / Dim; // Number of points
NLink = j % Dim; // Number of link
Pos = Links[i][NPoint];
Matr[i * Dim + NRow][Pos * Dim + NLink] = Array[i][j];
}
for (i = 0; i < Right.Size(); i++) Matr[i][Matr.Size1()] = Right[i];
}
void TSMatrix::Set(DWORD Index,DWORD Position,double Value,bool Case)
{
DWORD Row = Index,
Col = Position * Links[Index].Size() * Dim + Find(Index,Index) * Dim + Position,
i;
double koff = Array[Row][Col],
val;
if (!Case)
Right[Dim * Index + Position] = Value;
else
{
Right[Index * Dim + Position] = Value * koff;
for (i = 0L; i < Size * Dim; i++)
if (i != Index * Dim + Position)
{
Set(Index * Dim + Position,i,0);
Set(i,Index * Dim + Position,0);
if (Get(i,Index * Dim + Position,val))
Right[i] -= val * Value;
}
}
}
void TSMatrix::Mul(RVector& Arr,RVector& Res)
{
DWORD i,
j,
NRow,
NPoint,
NLink,
Pos;
Res.ReSize(Arr.Size());
for (i = 0; i < Size; i++)
for (j = 0; j
{
NRow = j / (Array[i].Size() / Dim);
NPoint = (j — NRow * (Array[i].Size() / Dim)) / Dim;
NLink = j % Dim;
Pos = Links[i][NPoint];
Res[i * Dim + NRow] += Arr[Pos * Dim + NLink] * Array[i][j];
}
}
double TSMatrix::Mul(DWORD Index,RVector& Arr)
{
DWORD j,
I = Index / Dim,
L = Index % Dim,
Start = L * (Array[I].Size() / Dim),
Stop = Start + (Array[I].Size() / Dim),
NRow,
NPoint,
NLink,
Pos;
double Res = 0;
for (j = Start; j < Stop; j++)
{
NRow = j / (Array[I].Size() / Dim);
NPoint = (j — NRow * (Array[I].Size() / Dim)) / Dim;
NLink = j % Dim;
Pos = Links[I][NPoint];
Res += Arr[Pos * Dim + NLink] * Array[I][j];
}
return Res;
}
void TSMatrix::write(ofstream& Out)
{
DWORD ColSize;
Out.write((char*)&(Dim),sizeof(DWORD));
Out.write((char*)&(Size),sizeof(DWORD));
for (DWORD i = 0; i < Size; i++)
{
ColSize = Array[i].Size();
Out.write((char*)&(ColSize),sizeof(DWORD));
for (DWORD j = 0; j < ColSize; j++)
Out.write((char*)&(Array[i][j]),sizeof(double));
}
for (DWORD i = 0; i < Size * Dim; i++)
Out.write((char*)&(Right[i]),sizeof(double));
}
void TSMatrix::read(ifstream& In)
{
DWORD ColSize;
In.read((char*)&(Dim),sizeof(DWORD));
In.read((char*)&(Size),sizeof(DWORD));
if (Array) delete [] Array;
Array = new Vector[Size];
Right.ReSize(Size * Dim);
for (DWORD i = 0; i < Size; i++)
{
In.read((char*)&(ColSize),sizeof(DWORD));
Array[i].ReSize(ColSize);
for (DWORD j = 0; j < ColSize; j++)
In.read((char*)&(Array[i][j]),sizeof(double));
}
for (DWORD i = 0; i < Size * Dim; i++)
In.read((char*)&(Right[i]),sizeof(double));
}
Список литературы
Зенкевич О., Морган К. Конечные методы и аппроксимация // М.: Мир, 1980
Зенкевич О., Метод конечных элементов // М.: Мир., 1975
Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // М.: Мир, 1977
Бахвалов Н.С.,Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М.: наука, 1987
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М.:Наука, 1984
Бахвалов Н.С. Численные методы // М.: Наука, 1975
Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений // Новосибирск: Наука, 1980
Гоменюк С.И., Толок В.А. Инструментальная система анализа задач механики деформируемого твердого тела // Приднiпровський науковий вiсник – 1997. – №4.
F.G. Gustavson, “Some basic techniques for solving sparse matrix algorithms”, // editer by D.J. Rose and R.A.Willoughby, Plenum Press, New York, 1972
А.Джордж, Дж. Лиу, Численное решение больших разреженных систем уравнений // Москва, Мир, 1984
D.J. Rose, “A graph theoretic study of the numerical solution of sparse positive definite system of linear equations” // New York, Academic Press, 1972
Мосаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М., Контактные задачи теории оболочек и стержней // М.:”Машиностроение”, 1978
И РАССТОЯНИЕ В НЁМ……………………… 4
…………… 5
………………………………………………………………………….. 6
……………………………… 7
чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение 
исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.
,
– постоянная, 
– абсолютная температура и 
– давление газа. Таким образом, значение 
есть функция трёх переменных 
.
обозначать множество всех упорядоченных наборов 
, состоящих из 
в наборе 
-й координатой точки 
, 
(1)
,
;
;
;
.
точек некоторого множества 
и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в 
вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.
в метрическое пространство, наделив 
метрикой, заданной соотношением (1).
(2)
мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.
множество 
множество 
радиуса 
-окрестностью точки 
называется открытым в 
, если для любой точки 
такой, что 
– открытое множество в 
.
– пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. 
.
– открытое множество в 
.
, т. е. 
будет 
.
, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки 
является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.
называется замкнутым в 
, если его дополнение 
является множеством, открытым в 
.
, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки 
, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество 
называют замкнутым шаром с центром 
.
точек 
, находящихся от некоторой точки 
.
– пара точек, сфера 
при 
, поверхность при 
,
, 
, 
в декартовых прямоугольных координатах в 
имеет вид
, 
, – координаты 
соответственно), т. е. Сфера – (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.
) кривизну 
, проходящих через её центр. Внешнегеометрические свойства 
, определяемое уравнением также второго порядка
.
дважды транзитивно действует ортогональная группа 
пространства 
, переводящая одну пару в другую); наконец, сфера есть однородное пространство: 
.
, 
не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение 
в себя существенно.
, 
, 
. В общем случае – для любых 
, 
не вычислены.
не известна. О случае 
см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере 
, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нём такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).
которого для всех касательных двухмерных плоскостей 
, т. е. 
(теорема о сфере).
(при 
, то оно также и гомеоморфно 
гипотеза остаётся, при 
диффеоморфизм не имеет места.
в метрическом пространстве 
. Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).
с нормой 
: это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы. Один из вариантов, применяющихся в топологии, – тек называемая бесконечномерная сфера – строгий индуктивный предел 
, где 
.
можно интерпретировать как сферу 
с отождествлёнными диаметрально противоположными точками; сфера с ручками и дырами используются в теории ручек.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.
или
и, следовательно, 
;
или 
получим 
имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) 
, следовательно в случае 1 
; 
и в случае 3 
.
;
через арккосинус
и
если 
, то
и 
расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
, откуда 
. Если 
, то 
,
. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если 
, а случай 2, если
.
следует, что дуги
и 
имеют одинаковый косинус.
, следовательно,
(3)
(4)
(5)
; xy > -1
(6)
(7) 
(8)
(9) 
(10)
(11)
(12)
(3)
F
•
А
a1 С
a2 Е D
b1 b2 В Товар В
По Методическим особенностям школьных учебников
(1)
(2)
, (3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
, (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
, (23)
(24) реакции образования метилацетата, диметилового эфира, этанола и пропионовой кислоты. Однако, селективность образования уксусной кислоты (на метанол) > 99%, а на СО – 90% (из-за реакции 24). Потери родия составляют 0.1г на 1 тонну кислоты, что при производительности установки 160 тыс. тонн составляет 16 кг в год.
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(1)