Зміст
Вступ
Розділ 1. Теоретичні основи дослідження процесу опрацювання простих арифметичних задач
1.1 Сутність і особливості процесу розв’язування простих математичних задач в початковій школі
1.2 Психологічні особливості розвитку математичного мислення молодших школярів під час розв’язування простих задач
Розділ 2. Методика роботи над простими задачами на розкриття конкретного змісту арифметичних дій
2.1 Ступені і етапи роботи над задачами
2.3 Диференційований підхід і творча робота на ІІІ ступені опрацювання простих задач
2.3 Результати експериментального дослідження
Висновки
Список використаної літератури
Додатки
Вступ
Актуальність дослідження. У системі загальної середньої освіти одне із основних місць займає початкова школа, де закладається фундамент розумових, моральних та емоційно-вольових якостей особистості. Курс математики початкових класів є основою для осмисленого засвоєння системи математичних знань, формування умінь і навичок у 5–6 класах і отримання математичної освіти в цілому.
Важливу роль у курсі математики початкової школи відіграють текстові задачі. Вони, з одного боку, складають специфічний розділ програми, зміст якого учні мають засвоїти, з другого – виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів [3, 41].
Розв’язування текстових задач спрямоване на формування в учнів системи математичних знань, вироблення вмінь і навичок математичного моделювання, обчислення, розвитку прийомів розумової діяльності (планування, пошук раціональних шляхів, критичність тощо) [37, 51]. Текстові задачі допомагають розкрити опосередковані зв’язки математики з навколишнім середовищем і практичною діяльністю людей, реалізувати пізнавальні й виховні функції навчання.
Так, сюжети текстових задач для початкових класів відображають працю дітей і дорослих, досягнення країни в різних галузях народного господарства, науки, культури, містять цікаву пізнавальну інформацію з природознавства і т. ін. Процес розв’язування текстових задач сприяє формуванню таких розумових дій як аналіз і синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення тощо [47, 20]. Від оволодіння вміннями розв’язувати задачі залежить не лише підготовка школярів з математики на даному етапі навчання, а й осмислене засвоєння систематичних курсів алгебри, геометрії, фізики, інформатики у наступних класах.
Проектом Державного стандарту загальної середньої освіти передбачається диференційоване навчання учнів початкових класів, а за мету курсу математики ставиться досягнення кожним учнем рівня навченості не нижче обов’язкового. Нові вимоги вимагають нових технологій навчання, які б забезпечили і високий рівень теоретичної та практичної підготовки з математики, і переорієнтацію навчально-виховного процесу на особистість учня, на сприятливі умови для досягнення кожним заданого рівня знань, умінь і навичок [59, 39].
Дані, необхідні для осмислення цілісності і цілеспрямованості формування вмінь розв’язувати текстові задачі в умовах диференційованого навчання, одержані нами в результаті аналізу психологічної і методичної літератури, де є немало цінних ідей і теоретичних узагальнень [56, 37]. Так, праці в галузі педагогічної психології (Л.С. Виготський, П.Я. Гальперін, Г.С. Костюк, О.М. Леонтьєв, Н.Ф. Тализіна, І.С. Якиманська) розкривають зміст поняття ”вміння” і розуміння механізмів його формування у школярів початкової школи. Психологічний та методичний аспект процесу розв’язування задач досліджували Г.О. Балл, Л.Л. Гурова, С.Д. Максименко, Є.І. Машбиць, Н.О. Менчинська, Н.А. Побірченко, З.І. Слєпкань, Л.М. Фрідман. Психолого-педагогічні і методичні основи диференційованого навчання розкрито в працях М.І. Бурди, Ю.З. Гільбуха, О.С. Дубинчук, С.О. Логачевської, О.Я. Савченко, І.Е. Унт та ін.
До проблеми розв’язування задач при вивченні математики тією чи іншою мірою зверталися відомі методисти. Особливу увагу розв’язуванню задач як засобу розвитку мислення, формування системи математичних понять, добору задач до підручників у середній школі приділяли Г.П. Бевз, Ю.М. Колягін, І.Ф. Тесленко, А.А. Столяр, Л.М. Фрідман, у початковій школі — М.О. Бантова, Г.В. Бельтюкова, М.В. Богданович, М.М. Левшин, М.Г. Моро, Я.А. Король, Л.П. Кочіна, А.С. Пчолко, Н. Уткіна та ін.
Заслуговують на увагу ряд досліджень, які розкривають проблеми навчання математики учнів початкових класів в цілому і розв’язування задач зокрема. Так, В.Є. Гергенова досліджувала текстові задачі як засіб формування математичних понять, О.І. Гришко і Т.С. Михайлович розглядали питання формування логічних умінь у процесі розв’язування задач, Л.С. Іванова розробляла методи попередження типових математичних помилок, Г.П. Лищенко досліджував проблему вдосконалення системи задач для початкових класів.
Позитивно оцінюючи наукову і практичну значущість праць з даної проблеми, необхідно, разом з цим, відзначити, що ряд аспектів формування вмінь розв’язувати текстові задачі залишилися нерозкриті, зокрема – обсяг теоретичних знань про просту текстову задачу і процес її розв’язування у початкових класах; добір різнорівневих завдань, спрямованих на формування вмінь розв’язувати прості задачі; способи раціонального поєднання фронтальної, групової та індивідуальної форм роботи на уроках математики при розв’язуванні простих задач в умовах диференційованого навчання у початковій ланці школи.
Крім того, традиційна методика формування вмінь розв’язувати текстові задачі орієнтована на ”середнього” учня. Вона не враховує зміст та основні ідеї проекту Державного стандарту загальної середньої освіти в Україні, зокрема ідеї рівневої диференціації навчання та орієнтацію її результатів на навчальні можливості школярів. Не всі підручники з математики для початкових класів спрямовані на диференційоване формування вмінь розв’язувати прості текстові задачі. Окремі з них не мають навчального матеріалу для організації ефективної роботи різних за здібностями груп учнів.
Таким чином, актуальність дослідження зумовлена його значущістю для розробки методики навчання розв’язуванню простих задач у початковій школі, яка враховує особливості навчальної діяльності учнів під час розв’язування текстових задач, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь розв’язувати текстові задачі, різнорівневі вимоги до математичної підготовки школярів. Виявлення шляхів удосконалення методики формування вмінь розв’язувати прості текстові задачі у початкових класах і складає проблему нашого дослідження.
Мета дослідження – розробити, теоретично обґрунтувати і експериментально перевірити добірку простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій.
Об‘єкт дослідження – процес навчання математики учнів початкової школи.
Предмет дослідження – формування вмінь учнів початкових класів розв’язувати прості арифметичні задачі.
Гіпотеза дослідження: якщо, навчаючи розв‘язуванню текстових задач, враховувати зміст і операційний склад умінь, рівні програмних вимог їх формування, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь, принципи добору завдань, диференційованих за складністю, то це підвищить ефективність навчання учнів розв’язувати прості задачі, а отже, рівень математичного розвитку школярів і підготовку їх з математики в цілому.
Відповідно до мети дослідження були поставлені такі завдання:
На основі аналізу психологічної і навчально-методичної літератури, практики навчання з’ясувати стан досліджуваної проблеми.
Розкрити зміст умінь учнів розв‘язувати текстові задачі, визначити психолого-методичні засади їх формування.
Визначити особливості навчальної діяльності учнів початкової школи під час розв’язування простих задач на розкриття конкретного змісту арифметичних дій.
Розробити рекомендації щодо засвоєння простих задач на розкриття конкретного змісту арифметичних дій учнями початкових класів.
Розробити добірку завдань, спрямованих на вироблення вмінь розв’язувати прості задачі на розкриття конкретного змісту арифметичних дій.
Експериментально перевірити удосконалену методику формування вмінь розв‘язувати прості задачі на розкриття конкретного змісту арифметичних дій.
Методологічною основою дослідження є системно-структурний підхід до аналізу навчальної діяльності; психологічна теорія поетапного формування розумових дій і понять; загальнодидактичні та методичні положення розвивального навчання; результати дослідження вітчизняних і зарубіжних психологів, дидактів і методистів про закономірності навчально-виховного процесу. Дослідження ґрунтувалося на основних положеннях Закону України «Про Освіту», державної національної програми «Освіта (Україна ХХІ століття)» про зміст і завдання загальноосвітньої підготовки учнів та концепції базової математичної освіти в Україні.
Для вирішення завдань використані такі методи дослідження:
а) теоретичні – системний аналіз психологічної і навчально–методичної літератури з проблеми дослідження (уточнення понятійного апарату, розкриття змісту вмінь і закономірностей їх формування); семантичний аналіз текстових задач (з’ясування структурних компонентів задачі і зв’язків між ними); моделювання педагогічних ситуацій; аналіз та обробка результатів педагогічного експерименту (підтвердження ефективності експериментальної методики);
б) емпіричні – спостереження, анкетування, бесіди з учнями і вчителями, узагальнення масового і передового педагогічного досвіду викладання математики, констатуючий і пошуковий експерименти (з’ясування недоліків традиційного навчання, встановлення рівнів сформованості вмінь); формуючий експеримент (апробація запропонованої методичної системи, підтвердження гіпотези дослідження).
Структура дослідження. Дипломна робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків.
Розділ 1. Теоретичні основи дослідження процесу опрацювання простих арифметичних задач
1.1 Сутність і особливості процесу розв’язування простих математичних задач в початковій школі
Одним із засобів організації цілеспрямованої і систематичної роботи над розвитком молодших школярів, формуванням математичної культури у процесі вивчення початкового курсу математики є навчальні задачі. Виконуючи їх, учні оволодівають новими математичними знаннями, прийомами активізації розумової діяльності, закріплюють і вдосконалюють уміння та навички.
Поняття ”математична задача” розглядалося в працях Г.А. Балла, Г.П. Бевза, Є.С. Березанської, М.В. Богдановича, П.М. Ерднієва, Ю.М. Колягіна, Л.М. Фрідмана та ін. Серед математичних задач в окрему групу виділяються текстові. До текстових відносимо задачі, в яких описується кількісна або якісна сторона реальних процесів, явищ чи ситуацій та міститься вимога знайти шукану величину, що знаходиться у зв’язку із даними в задачі величинами [15, 70].
Термін «задача» вживається в різних значеннях. У найширшому плані «задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна» [58, 22]. У психологічному аспекті задача розглядається як «свідома мета, що існує в певних умовах, а дії — як процеси або акти, спрямовані на досягнення її, тобто на розв’язування задачі» [47, 20].
Задачі виникають під час реальних проблемних ситуацій. Останні постають тоді, коли людина (суб’єкт) в своїй діяльності, спрямованій на якийсь об’єкт, натрапляє на певні труднощі [39, 107]. Якщо людина усвідомлює ці труднощі і хоче подолати їх, то в ній активізується розумова діяльність. Щоб проаналізувати і описати проблемну ситуацію, людина виходить за її межі і дивиться на неї «збоку». Такий опис проблемної ситуації і є задачею. Задача — це вже об’єкт, який можна передавати іншій людині.
Під математичною задачею розуміють «будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, побудованих людським розумом на матеріалістичній основі знань про навколишній світ» [20, 17].
Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і лінійну залежність, яка пов’язує ці величини як між собою, так і з шуканою» [56, 37].
В умові сюжетних задач даються окремі значення величини, що характеризують кількісну сторону явища, що розглядається, і деякі залежності (відношення) між цими значеннями, причому ці залежності можуть містити певні числа. Сюжетну задачу, математичну модель якої можна записати у вигляді числового виразу, що містить тільки одну арифметичну дію, називають простою задачею. Задачу, для розв’язування якої треба виконати дві чи більше дій, називають складеною.
Розв’язуючи математичну задачу, школяр знайомиться із ситуацією, що в ній описана, з математичною теорією її розв’язання, пізнає нові методи розв’язання або нові розділи математики. Інакше кажучи, розв’язуючи математичні задачі, учень набуває математичних знань, підвищує свою математичну культуру [30, 21].
Розв’язування математичних задач привчає виділяти умови і висновки, дані і шукані величини, знаходити спільне; порівнювати і протиставляти факти. Цей процес виховує правильне мислення, і перш за все привчає до повноцінної аргументації. У молодших школярів формується особливий стиль мислення і збереження формально-логічної схеми міркувань, лаконічність висловлювань, чітка розмежованість ходу мислення, набування навичок правильного використання і розуміння математичної символіки.
Значення математичних задач полягає у тому, що вони:
1.Сприяють розвитку пізнавальної діяльності учнів та формують їх цілісний розвиток та математичну культуру: сприймання, уявлення, уваги, пам’яті, мислення, мову.
2.Допомагають формувати творчі здібності школярів, елементи яких проявляються в процесі вибору найбільш раціональних способів розв’язання задач, в математичній чи логічній кмітливості.
3.Дозволяють учням глибше зрозуміти роль математики в житті, виробляють стиль міркувань, потребу у чіткій аргументації.
4.Допомагають підвищити інтерес до математики, сприяють розвитку їх математичних здібностей, формують математичне мовлення та культуру записів [9, 26].
У початковій школі математичні задачі виконують ряд дидактичних функцій. Виділяють чотири їхні функції – навчальна, розвиваюча, виховна і контролююча [6, 213-214].
Виховні функції задач спрямовані на формування в учнів наукового світогляду. Як виховний засіб задачі дають змогу пов’язати навчання з життям, ознайомити учнів із пізнавально важливими фактами. Числові дані задач характеризують успіхи економічного зростання в нашій країні, трудові досягнення колективів підприємств, показують зростання добробуту й культури українського народу. Це виховує у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до України, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв’язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.
Під розвивальними розуміють функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв’язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування. Для активізації розумових дій учнів під час розв’язування задач запитання треба ставити так, щоб вони спонукали до порівнювання, зіставлення, перевірки тощо.
Розвиваючій функції задач останніми роками приділяється особлива увага. Не випадково Д. Пойа, Е. Резерфорд, А. Ейнштейн та інші зазначали, що задачі не тільки і не стільки мають сприяти закріпленню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослідницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що вивчаються. Розвиваюча функція задач спрямована на розвиток мислення учнів, на формування в них розумових дій та прийомів розумової діяльності, просторових уявлень, уяви, алгоритмічного мислення, вміння моделювати ситуацію тощо.
Задачі є найважливішим засобом контролю й оцінки знань учнів з математики. Самостійне розв’язування учнями текстових задач як засіб оберненого зв’язку (учень — учитель) дає змогу виявляти вміння правильно обирати і виконувати арифметичні дії, судити про розвиток мислення школярів [47, 20].
Текстові задачі, які відображують конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з’ясування взаємозв’язків між словом і символом, між символом і поняттям. Навчальна функція спрямована на формування в учнів початкових класів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і розширюючих і поглиблюючих її зміст) на різних етапах засвоєння. Навчальні функції задач можна поділити на функції загального, спеціального і конкретного характеру.
У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання. Навчальні функції задач виявляються також у здійсненні принципу політехнізації та в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів [4, 149].
Під загальними навчальними функціями розуміють функції задач, які мають місце в процесі навчання не тільки математики, а й всіх предметів природничо-математичного циклу; спеціальні навчальні функції задач — це загальні функції, співвідносні тільки з вивченням математики; конкретні навчальні функції задач – часткові види із спеціальних функцій.
До числа загальних функцій задач відносяться ті, які спрямовані на формування в студентів основних понять (на рівні уявлень, засвоєння, закріплення); різних зв’язків між поняттями (від роду до виду, внутріпредметних, міжпредметних); провідних ідей, законів, принципів, положень; різних зв’язків між провідними ідеями, законами, судженнями).
Розрізняють кілька типів задач згідно навчальної функції:
1) Задачі на засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять успішно проходить за умови ретельної клопіткої роботи над поняттями, їх означеннями і властивостями його означення; необхідно розібратись у смислі кожного слова – означення, чітко знати властивості поняття, що підлягає вивченню. Такі знання набувають перш за все при розв’язанні задач і виконанні вправ.
2) Задачі на оволодіння математичною символікою. Найпростіша символіка вводиться в початковій школі (знаки дій, рівності та нерівності, дужки, знаки кута, паралельності і т.д.). Правильному використанню символів слід вчити, розкриваючи їх роль і значення в процесі розв’язування задач.
3) Задачі для навчання доведенням. Навчання доведенням – одне з найголовніших завдань навчання математики. Найпростішими задачами, з розв’язання яких практично начинається навчання доведенням, є задачі-питання та елементарні задачі на дослідження. Розв’язання таких задач полягає у знаходженні відповіді на запитання і доведення. Метою розв’язання задач – питань є осмислення, уточнення понять, що вивчаються, і зв’язків між ними.
4) Задачі для формування математичних умінь і навичок [58, 24-25].
У нашому дослідженні основна увага приділяється задачам першого і четвертого видів.
Текстові задачі складаються з умови і вимоги. Умова і вимога задачі включають в себе дані (відомі, невідомі, шукані), їх числове значення і зв’язки між ними. У результаті встановлення взаємозв’язків між умовою й вимогою визначається оператор задачі – окрема дія (при розв’язуванні простих задач) або сукупність дій (при розв’язуванні складених) та їх обґрунтування.
У загальній системі навчання математики розв’язування задач є одним з видів ефективних вправ. Розв’язування задач має дуже велике значення насамперед для формування в дітей повноцінних математичних понять, для засвоєння ними теоретичних знань, визначених програмою [34]. Так, якщо хочемо сформувати в школярів правильне поняття про дію додавання, необхідно, щоб діти розв’язали достатню кількість простих задач на знаходження суми, практично виконуючи щоразу операцію об’єднання множин.
Отже, задачі є тим конкретним матеріалом, за допомогою якого в дітей формуються нові знання і закріплюються в процесі застосування вже здобуті знання. Виступаючи в ролі конкретного матеріалу для формування знань, задачі дають можливість пов’язати теорію з практикою, навчання з життям. Розв’язування задач формує в дітей практичні вміння, потрібні кожній людині в повсякденному житті [31, 76]. Наприклад, обчислити вартість покупки, ремонту квартири; визначити, о котрій годині треба вийти, щоб не запізнитись на поїзд, тощо.
Використання задач як конкретної основи для ознайомлення з новими знаннями і застосування вже здобутих дітьми знань відіграє дуже важливу роль у формуванні в них елементів світогляду. Розв’язуючи задачі, учень упевнюється в тому, що багато математичних понять (число, арифметичні дії тощо) випливають з реального життя, з практики людей.
Поряд з поняттям „задача» використовують і таке поняття, як вправа. Вправа – це та ж задача, прямим продуктом розв’язання якої є знання, вміння, навички, що набуваються під час розв’язування задачі. Вправа – це багато-аспектне явище навчання математиці, що має такі ознаки:
— є носієм дій, адекватних змісту;
— є засобом цілеспрямованого формування знань та вмінь;
— є однією з форм реалізації методів навчання;
— виступає засобом зв’язку теорії з практикою [46, 36-37].
Задачі-вправи виконують свою роль, коли вони представлені у певній системі. Будь-які вправи (і взагалі задачі) у навчанні математиці виконуються з певною метою (формування понять, систематизації понять, навчання доведенню тощо). Усі цілі пов’язані між собою та з цілями вивчення даної дисципліни. Загальні та часткові цілі виконання вправ повинні розглядатися у взаємозв’язку та взаємообумовленості. Досягнення кожної мети потребує певної діяльності і, отже, оволодіння діями адекватними цій діяльності. Наприклад, для засвоєння визначення поняття необхідні, зокрема, вправи на розпізнання об’єктів, що задовольняють ознакам понять. Очевидно, що оволодіння різними діями реалізується на різних за змістом вправах.
Виконання задач і вправ викликає різні види розумової діяльності молодших школярів: репродуктивну, творчу [26, 29].
Розв’язування математичних задач навчає відокремлювати посилки та висновок, дані та шукане, знаходити загальне, і особливо у даних, зіставляти та протиставляти факти. При розв’язуванні математичних задач, як вказував А.Я. Хінчин, виховується правильне мислення, і перш за все вдосконалюються вміння повноцінної аргументації. Розв’язування задачі має бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти диз’юнкції (розгляд усіх випадків поданої у задачі ситуації), виконується повнота та витриманість класифікації. При розв’язуванні математичних задач в учнів формується особливий тип мислення: виконання формально логічної схеми міркувань, лаконічний вираз думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.
Через розв’язування задач діти ознайомлюються з важливими фактами, які мають пізнавальне і виховне значення. Так, зміст багатьох задач, які розв’язують у початкових класах, відображає працю дітей і дорослих, досягнення нашої країни в галузі народного господарства, техніки, науки, культури [19, 50].
Сам процес розв’язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення. Так, під час розв’язування будь-якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розв’язання, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (в думці «малює» умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від конкретної ситуації, вибирає арифметичні дії); внаслідок багаторазового розв’язання задач певного виду учень узагальнює знання зв’язків між даними і шуканим, чим узагальнюється спосіб розв’язування задач цього виду.
Прості задачі в системі навчання математики відіграють дуже важливу роль. За допомогою розв’язування простих задач формують одне з центральних понять початкового курсу математики — поняття про арифметичні дії і ряд інших понять. Уміння розв’язувати прості задачі є підготовчим ступенем опанування учнями умінь розв’язувати складені задачі, бо розв’язування складеної задачі зводиться до розв’язування ряду простих задач. Розв’язуючи прості задачі, діти вперше ознайомлюються з задачею і її складовими частинами. У зв’язку з розв’язуванням простих задач діти опановують основні прийоми роботи над задачею. Тому вчитель повинен знати, як організувати роботу над простими задачами кожного виду.
Насамперед розглянемо класифікацію простих задач. Так, прості задачі можна поділити на групи відповідно до арифметичних дій, за допомогою яких їх розв’язують. Однак з погляду методики зручніша інша класифікація: поділ задач на групи залежно від тих понять, які формують під час їх розв’язування. Можна виділити три таких групи. Охарактеризуємо кожну з них [59, 78].
До першої групи належать прості задачі, під час розв’язування яких діти засвоюють конкретний зміст кожної з арифметичних дій, тобто дуги засвоюють, яка арифметична дія пов’язана з тією або іншою операцією над множинами. У цій групі п’ять задач:
1) Знаходження суми двох чисел.
Дівчинка купила для ляльки 2 червоних і 3 зелених платтячка. Скільки всього платтячок купила дівчинка?
2) Знаходження остачі.
Андрійко намалював 6 малюнків. Два малюнки він подарував учительці. Скільки малюнків у нього залишилося?
3) Знаходження суми однакових доданків (добутку).
У живому куточку жили кролі в трьох клітках, по 2 кролі в кожній. Скільки всього кролів у живому куточку?
4) Поділ на рівні частини.
Два класи пропололи 8 грядок, кожна порівну. Скільки грядок пропололи школярі кожного класу?
5) Ділення на вміщення.
Кожен клас школярів обкопав по 6 кущів смородини, а всього учні обкопали 18 кущів. Скільки класів учнів виконували цю роботу?
До другої групи належать прості задач під час розв’язування яких учні засвоюють зв’язок між компонентами і результатами арифметичних дій. До них належать задачі на знаходження невідомих компонентів.
1) Знаходження першого доданка за відомою сумою і другим доданком.
Дівчинка купила для ляльки кілька червоних платтячок і 3 зелених, а всього купила 5 платтячок. Скільки червоних платтячок купила дівчинка?
2) Знаходження другого доданка за відомою сумою і першим доданком.
Дівчинка купила для ляльки 2 червоних і кілька зелених платтячок, усього вона купила 5 платтячок. Скільки зелених платтячок купила дівчинка?
3) Знаходження зменшуваного за відомим від’ємником і остачею.
Андрійко намалював кілька малюнків. Два малюнки він подарував учительці, і в нього залишилося ще 4 малюнки. Скільки малюнків він намалював?
4) Знаходження від’ємника за відомим зменшуваним і остачею.
Діти виготовили 6 шпаківень. Коли кілька шпаківень вони повісили на дереві, в них залишилось ще 4 шпаківні. Скільки шпаківень діти повісили на дереві?
5) Знаходження першого множника за відомим добутком і другим множником.
Невідоме число поділили на 9 і дістали 4. Знайти невідоме число.
6) Знаходження другого множника за відомим добутком і першим множником.
9 помножили на невідоме число і дістали 27. Знайти невідоме число.
7) Знаходження діленого за відомим дільником і часткою.
Невідоме число поділили на 9 і дістали 4. Знайти невідоме число.
8) Знаходження дільника за відомим діленим і часткою.
24 поділили на невідоме число і дістали 6. Знайти невідоме число.
До третьої групи належать задачі, під час розв’язування яких розкривають новий зміст арифметичних дій. До яких належать прості задачі, пов’язані з поняттям різниці (6 видів), і прості задачі, пов’язані з поняттям кратного відношення (6 видів).
1) Різницеве порівняння чисел або знаходження різниці двох чисел (перший вид).
Один будинок збудували за 10 тижнів, а другий — за 8 тижнів. На скільки тижнів більше затратили на будівництво першого будинку?
2) Різницеве порівняння чисел або знаходження різниці двох чисел (другий вид).
Один будинок збудували за 10 тижнів, а другий за 8. На скільки тижнів менше затратили на будівництво другого будинку?
3) Збільшення числа на кілька одиниць (пряма форма). Один будинок збудували за 8 тижнів, а на будівництво другого будинку затратили на 2 тижні більше. Скільки тижнів затратили на будівництво другого будинку?
4) Збільшення числа на кілька одиниць (непряма форма).
Один будинок будували 8 тижнів, це на 2 тижні менше, ніж будували другий будинок. Скільки тижнів будували другий будинок?
5) Зменшення числа на кілька одиниць (пряма фірма).
Один будинок будували 10 тижнів, а другий збудували на 2 тижні швидше. Скільки тижнів будували другий будинок?
6) Зменшення числа на кілька одиниць (непряма форма).
Один будинок будували 10 тижнів, це на 2 тижні більше, ніж будували другий будинок. Скільки тижнів будували другий будинок?
Ці основні види простих задач не вичерпують всієї різноманітності задач. Порядок введення простих задач підлягає змісту програмного матеріалу. В І класі вивчають дії додавання і віднімання і в зв’язку з цим розглядають прості задачі на додавання і віднімання. У II класі у зв’язку з вивченням дій множення і ділення вводять прості задачі, які розв’язуються за допомогою цих дій [2].
Щоб розв’язати просту задачу, учень повинен виділити в ній відоме й невідоме, а потім вибрати арифметичну дію чи скласти рівняння, за допомогою яких знайти невідоме. Для цього треба-перевести на математичну мову відношення між даними і шуканими величинами, про які йдеться в задачі, а це учень зможе зробити, якщо розумітиме конкретний зміст арифметичних дій, зміст дій у поняттях «збільшити», «на більше», а також знати зв’язки між компонентами і результатами дій.
Зміст арифметичних дій (в широкому розумінні), зв’язків між компонентами і результатами дій розкривають на основі відповідних операцій над множинами предметів, розв’язування прикладів, повідомлення правил тощо.
Наше дослідження присвячене роботі над задачами першої групи – це задачі на знаходження суми, остачі, добутку, на ділення. Задачі на знаходження суми й остачі — це перші задачі, з якими зустрічаються діти, а тому робота над ними пов’язана з додатковими труднощами: тут учні ознайомлюються, власне, із задачею та її частинами, а також із деякими загальними прийомами роботи над задачею [15, 71].
Отже, на сучасному етапі розбудови початкової математичної освіти розв’язування простих текстових задач у навчанні математики переслідує такі цілі: формування в учнів загального підходу, загальних умінь і здібностей розв’язання будь-яких задач; пізнання і більш глибоке оволодіння математичними поняттями, що вивчаються, і деякими загальнонауковими й загальножиттєвими поняттями; оволодіння поняттями моделі й моделювання і власне математичним моделюванням; розвиток мислення, кмітливості учнів, їх творчого потенціалу.
1.2 Психологічні особливості розвитку математичного мислення молодших школярів під час розв’язування простих задач
Одним із завдань навчання математиці у початкових класах є забезпечення рівня математичної культури, необхідного для повноцінної участі школярів у навчальній діяльності. Математика є унікальним засобом формування не тільки освітнього, а й розвиваючого та інтелектуального потенціалу особистості. Зокрема, перед педагогом постає проблема розвитку математичного мислення учнів, тобто теоретичного мислення, побудованого на об’єктах математики. Це є також важливим фактором успішного оволодіння молодшими школярами математичною наукою. У зв’язку з цим постають проблеми пошуку, визначення умов ефективного розвитку математичного мислення учнів початкових класів.
Одним із засобів розвитку інтелектуальної сфери школярів є задачі. Саме розв’язуванню задач приділяється значна частина навчального часу при вивченні математики в початковій школі. При цьому необхідно визначити сутність математичного мислення як психічного процесу, встановити взаємозв’язок між навчанням учнів розв’язувати математичні задачі та розвитком мислення. Це допоможе знайти такі методи і прийоми, організаційні форми навчання (серед яких можуть бути як традиційні, так і відносно нові), за яких в найбільшій мірі проявиться розвиваюча функція задач [37, 52].
Сам процес розв’язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення. Так, під час розв’язування будь-якої задачі учень виконує аналіз: відокремлює запитання від умови, виділяє дані і шукані числа; складаючи план розв’язання, він виконує синтез, користуючись при цьому конкретизацією (в думці «малює» умову задачі), а потім абстрагуванням (абстрагуючись від конкретної ситуації, вибирає арифметичні дії); внаслідок багаторазового розв’язання задач певного виду учень узагальнює знання зв’язків між даними і шуканим, чим узагальнюється спосіб розв’язування задач цього виду.
Мислення – це соціально обумовлений, нерозривно пов’язаний з мовою психічний процес пошуків та відкриття істотно нового, процес опосередкованого та узагальненого відображення дійсності у ході її аналізу та синтезу [4, 148-149]. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі. Процес мислення в навчальній діяльності – це процес пізнання. Він будується за відомою у психології теорією пізнання, у якій умовно можна виділити наступні етапи:
сприймання (на основі чуттєвих органів);
осмислення;
узагальнення;
практичні дії [33, 217].
На основі найпростіших методів пізнання – словесних, наочних, практичних – відбувається процес навчального пізнання. Якщо необхідно цей процес ускладнити, наприклад, процес сприймання та осмислення будується на більш складній методиці проблемного (самостійного) вивчення, то в цьому випадку розумова діяльність максимально орієнтується на заключний етап – абстрактне пізнання (узагальнення).
Мислення є узагальненим відображенням дійсності. Це процес пошуку істотних ознак, властивостей предметів та явиш і зв’язків між ними, до того ж характеристик, спільних для однорідних явищ або предметів дійсності. Вирізнені найістотніші ознаки лежать в основі узагальнення, розкривають певну закономірність або тенденцію. Так, психологи, вивчаючи особливості сприйняття людиною дійсності, відкрили таку загальну закономірність, як константність [47, 20].
Мислення має дійовий, активний і цілеспрямований характер. Виникнення в індивіда відчуттів, сприймань зумовлене зовнішніми чинниками. Ці процеси виникають при безпосередній дії подразників на органи чуття, незалежно від бажань суб’єкта. Мислення, як правило, актуалізується і спрямовується сутністю та значущістю для суб’єкта проблеми [51, 32].
Для розв’язання проблем люди використовують історичний досвід, засвоюють знання, закріплені у слові. У процесі засвоєння знань розвивається і мислення. Отже, мислення є продуктом суспільно-історичного розвитку. Водночас розвиток мислення суб’єктів зумовлює суспільний поступ, виконує роль його детермінанти.
С.Л. Рубінштейн вважає, що основним предметом психологічного дослідження мислення виступає як процес, так і діяльність. П.Я. Гальперін писав, що психологія вивчає не просто мислення і не все мислення, а тільки процес орієнтування суб’єкта при розв’язуванні інтелектуальних задач. О.К. Тихомиров переконаний, що предметом психологічного дослідження мислення є види мислення.
Мислення, виконуючи будь-яку функцію (розуміння смислу тексту і розв’язування ситуацій, проблем, задач; утворення зв’язку загальної мети з кінцевою; осмислення своїх дій тощо), змінює вихідний зміст за допомогою різних операцій та прийомів. Діючи в такий спосіб, суб’єкт присвоює знання. робить їх своїми, трансформованими щодо зовнішніх. Тому варто вирізнити три боки, або компоненти, мисленнєвої діяльності: змістовий, функціонально-операційний і цілемотиваційний [36, 218].
Дослідження психологів показали, що для розвитку мислення учнів слід формувати у них узагальнені способи міркувань методом розв’язування цілої системи задач [4, 150]. Узагальнені способи розумової діяльності поділяються на групи алгоритмічного та евристичного типу. Формування способів розумової діяльності алгоритмічного типу – необхідна, але недостатня умова розвитку мислення. Вона необхідна тому, що сприяє удосконаленню репродуктивного мислення, є тим фондом знань, на основі яких учень може розв’язувати нові для нього завдання, опановувати більш складні способи розумової діяльності. Вона недостатня тому, що алгоритмічна діяльність не вичерпує творчого мислення.
До евристичних способів відносяться: виділення головного суттєвого в матеріалі, узагальнення, порівняння, конкретизація, абстрагування, різні види аналізу, аналогія, способи кодування та інше. Евристичні способи стимулюють пошук рішення нових проблем, відкриття для учнів нових знань. В шкільній практиці суттєвими і важливими є уміння порівнювати, виділяти головне в навчальному матеріалі, узагальнювати.
Ці три способи мислення виступають провідними, навколо яких і за допомогою яких групуються інші прийоми і способи розумової діяльності.
Як правило, коли кажуть про розвиток мислення у процесі навчання математики, то мають на увазі розвиток математичного мислення. Звичайно, це правильно: у процесі навчання математиці слід у першу чергу турбуватися не взагалі про розвиток мислення, а саме про розвиток математичного мислення [45, 74].
А.Я. Хінчин, відомий математик, що глибоко цікавився проблемами навчання математики, вказав на чотири характерні ознаки математичного мислення:
1) доведене до крайнощів домінування логічної схеми міркування;
2) лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший логічний шлях досягнення мети, відкидання всього несумісного з досконалою аргументацією;
3) чітка розчленованість процесу аргументації;
4) скрупульозна точність символіки [17, 23-24].
Вивчення математики у початковій школі являє собою складний процес, основними цільовими компонентами якого є:
— засвоєння учнями системи математичних знань;
— оволодіння школярами певними математичними вміннями й навичками;
— розвиток мислення молодших школярів [9, 49].
Ще не так давно вважалось, що успішна реалізація першої та другої цілей математичної освіти автоматично приводить до успішної реалізації третьої цілі. Тобто вважалось, що розвиток математичного мислення відбувається у процесі навчання математики спонтанно. Це правильно лише частково, оскільки результати досліджень багатьох вітчизняних і зарубіжних психологів та дидактів показали, що математичне мислення є не лише одним із найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності, але й таким компонентом, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягнути ефективних результатів оволодіння математичною наукою.
Будемо розуміти під математичним мисленням, по-перше, ту форму, якою є діалектичне мислення у процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, господарстві і т. д.; по-друге, ту специфіку, яка обумовлена самою природою математичної науки, методів, що застосовуються для пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому застосовуються.
Математичне мислення має свої специфічні риси та особливості, вони обумовлені специфікою об’єктів, що вивчаються, а також специфікою методів їхнього вивчення [37, 53].
Існує загальна думка про активну роботу у процесі математичного мислення певних якостей мислення (гнучкість, просторова уява, вміння знаходити головне і т. д.), які в рівній мірі можуть бути співвіднесені як до математичного мислення, так і до мислення фізичного, технічного і т. д., тобто до наукового мислення взагалі.
До числа якостей наукового мислення відноситься гнучкість (нешаблонність), оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта (узагальненість), активність, критичність, доведеність мислення, організованість пам’яті, чіткість та лаконічність мовлення та запису [36].
Для прояву гнучкості мислення потрібне сформоване вміння цілеспрямовано змінювати способи розв’язування пізнавальної проблеми, легкість переходу від одного шляху вирішення проблеми до іншого, вміння виходити за межі звичного способу дій, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні заданих умов.
Найвищий рівень розвитку нешаблонного мислення проявляється в оригінальності мислення, яка у навчанні математиці, як правило, виступає у незвичності способів розв’язування відомих учням задач.
Глибина мислення характеризується вмінням проникати у сутність кожного з фактів, що вивчаються, у їхньому взаємозв’язку з іншими фактами; виявляти приховані особливості у матеріалі.
Цілеспрямованість мислення характеризується намаганням здійснювати розумний вибір дії при вирішенні певної проблеми, постійно орієнтуючись на поставлену цією проблемою ціль, а також у намаганні відшукати найбільш короткі шляхи її досягнення.
Цілеспрямованість мислення сприяє виявленню такої якості, як раціональність мислення, що характеризується схильністю до економії часу та коштів для вирішення поставленої проблеми, намагання відшукати простий у даному випадку розв’язок задачі, використовувати у ході розв’язування схеми, символіку та умовні позначення.
Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, що характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до частинних, не типових випадків; вміння охоплювати проблему в цілому, не упускаючи при цьому деталей, що мають значення; узагальнити проблему, розширити область застосування результатів, отриманих у процесі її розв’язання [4, 152-153].
Усі розглянуті вище якості мислення можуть проявитися лише при умові прояву активності мислення, що характеризується сталістю зусиль, спрямованих на вирішення деякої проблеми, бажання обов’язково розв’язати поставлену проблему, вивчити різні підходи до її розв’язку, дослідити різні варіанти постановки цієї проблеми у залежності від умов і т. д.
Важливе місце займає критичність мислення, яка характеризується вмінням оцінити правильність обраних шляхів вирішення поставленої проблеми, отримані при цьому результати з точки зору їхньої вірогідності, значущості [37, 53].
З критичністю мислення тісно пов’язана доведеність мислення, що характеризується вмінням терпляче й скрупульозно ставитися до збору фактів, достатніх для винесення будь-якого судження, прагненням до обґрунтування кожного кроку розв’язання задачі, вмінням відрізняти результати достовірні від правдоподібних.
Організованість пам’яті означає здатність до запам’ятовування, довготривалого збереження, швидкого й правильного відтворення основної навчальної інформації та впорядкованого досвіду.
Такі якості наукового мислення, як ясність, точність, лаконічність мовлення і запису, не потребують особливих коментарів. Усі ці якості мислення взаємопов’язані одна з одною, часто виступають в органічній єдності [45, 74].
Отже, математичні об’єкти не володіють жодними речовими (матеріальними) та енергетичними характеристиками, маючи лише одну характеристику: ці об’єкти знаходяться у певних відношеннях один з одним, у відношеннях кількісних, просторових та їм подібних. Тому А. Пуанкаре мав повне право заявити: „Математик вивчає не предмети, але лише відношення між предметами; таким чином, для нього досить байдуже, чи будуть дані предмети замінені якими-небудь іншими, аби тільки не змінювались при цьому їх співвідношення».
Таким чином, математичне мислення – це дуже абстрактне, теоретичне мислення, об’єкти якого позбавлені матеріальності і можуть інтерпретуватися довільним чином, при умові збереження заданих між ними відношень.
Відомо, що розвивати математичне мислення можна за допомогою спеціально підібраної системи задач, вправ і методики роботи з ними. Розв’язування задач – найбільш характерна сфера людської діяльності і являє собою основну діяльність того, хто навчається математиці.
У психології задача розглядається як мета, задана в певних умовах, як особлива характеристика діяльності суб’єкта. Задача тут тлумачиться як суб’єктивне психологічне відображення тієї зовнішньої ситуації, у якій розгортається цілеспрямована діяльність суб’єкта. До задач у широкому розумінні відносять не лише текстові задачі, сюжетні, а й різного характеру вправи, приклади [4, 148].
При розв’язуванні задач формуються мислительні, розумові вміння, а разом з ними сприймання та пам’ять. Розв’язування математичних задач потребує застосування багатьох розумових вмінь: аналізувати задану ситуацію, зіставляти дані та шукане, задачу, що розв’язується зараз із задачами, розв’язаними раніше, виявляючи приховані властивості заданої ситуації; конструювати найпростіші математичні моделі, здійснюючи мислений експеримент; синтезувати, відбираючи корисну інформацію, систематизуючи її; коротко та чітко, у вигляді тексту, символічно, графічно і т.д. оформлювати свої думки; об’єктивно оцінювати отримані при розв’язуванні задачі результати, узагальнювати або спеціалізувати результати розв’язання задачі, досліджувати особливі прояви заданої ситуації. Усе сказане говорить про необхідність враховувати при навчанні розв’язуванню задач сучасні досягнення психологічної науки [17, 21].
Дослідженнями встановлено, що вже сприймання задачі розрізняється у різних школярів одного класу. Здібний до математики учень сприймає і одиничні елементи задачі, і комплекси її взаємопов’язаних елементів, і роль кожного елементу в комплексі. Середній за успішністю школяр сприймає лише окремі елементи задачі. Тому при розв’язуванні задачі необхідно аналізувати зв’язок та співвідношення елементів задачі. Так спроститься вибір засобів переробки умови задачі. При розв’язуванні задач часто доводиться звертатися до пам’яті. Індивідуальна пам’ять здібного до математики школяра зберігає не всю інформацію, а в основному „узагальнені та згорнуті структури». Зберігання такої інформації не обтяжує мозок надлишковою інформацією, а ту, що потрібно запам’ятати, дозволяє довше зберігати та легше використовувати. Навчання узагальненням при розв’язуванні задач розвиває, таким чином, не лише мислення, але й пам’ять.
Математичні задачі повинні перш за все пробуджувати думку молодших школярів, заставляючи її працювати, розвиватися, вдосконалюватися. Кажучи про активізацію мислення, не можна забувати, що при розв’язуванні задач учні не лише виконують побудови, перетворення та запам’ятовують формулювання, але і навчаються чіткому мисленню, вмінню розмірковувати, зіставляти та протиставляти факти, знаходити в них загальне і відмінне, робити правильні умовиводи [46, 16].
Задачі мають активізувати розумову діяльність учнів. Ефективність навчальної діяльності, спрямованої на розвиток мислення, багато в чому залежить від ступеня творчої активності школярів при розв’язуванні задач. Отже, необхідні такі задачі та вправи, які б активізували розумову діяльність.
А.Ф. Єсаулов поділяє задачі на наступні види: задачі, розраховані на відтворення (при їх розв’язуванні спираються на пам’ять та увагу); задачі, розв’язування яких приводить до нової, невідомої до цього думки, ідеї; творчі задачі. Активізує та розвиває мислення розв’язування задач двох останніх видів. Розглянемо деякі з них [15, 71-72].
1. Задачі, вправи, що включають елементи дослідження. Найпростіші дослідження при розв’язуванні задач треба пропонувати, починаючи вже з перших практичних занять. Згодом необхідно давати не лише задачі з елементами досліджень, але й задачі, що включають дослідження як обов’язкову складову частину. Такі дослідження необхідно включати у розв’язування багатьох геометричних задач на побудову, задач математичного аналізу тощо.
Задачі та вправи з виконанням деяких досліджень можуть знайти своє місце на будь-яких уроках математики у початковій школі.
2. Задачі на доведення здійснюють суттєвий вплив на розвиток мислення учнів. Саме при виконанні доведень відточується логічне мислення, розроблюються логічні схеми розв’язування задач, в школярів виникає потреба обґрунтувати математичні факти.
3. Задачі та вправи у пошуку помилок також відіграють суттєву роль у розвитку математичного мислення учнів. Такі задачі привчають звертати увагу на особливо тонкі місця у логічних міркуваннях, допомагають розрізняти дуже схожі поняття, привчають до точності суджень і математичної строгості і т.д. Перші кроки у відшуканні помилок повинні бути нескладними.
Таким чином, комплекс вправ, що складається із простих задач різного типу, шляхом поступового ускладнення розумових дій може сприяти вивченню конкретних математичних понять, формуванню математичних уявлень, і разом з цим у кінцевому результаті привести до якісних та кількісних змін у рівні розвитку мислення молодших школярів.
Розділ 2. Методика роботи над простими задачами на розкриття конкретного змісту арифметичних дій
2.1 Ступені і етапи роботи над задачами
Роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони є основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. В процесі розв’язування простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею.
Важливим елементом задачі, що дає змогу досягти мети, є розв’язування [3, 40]. Розв’язування задачі — це «процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил інтуїтивного (евристичного) характеру». В найбільш загальному плані можна сказати, що цей процес складається з таких етапів: аналіз задачі, пошук плану розв’язування; здійснення знайденого плану розв’язування (розв’язання); з’ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв’язання); аналіз розв’язування (з’ясування прийомів розв’язування, розгляд інших способів розв’язування).
Зазначені етапи в тій або іншій мірі діяльності мають місце і знаходять застосування і в методиці розв’язування задач 1-4 класів. При цьому виділяють здебільшого такі чотири етапи: І — ознайомлення із змістом задачі; II — аналіз задачі і відшукання плану розв’язування; III — розв’язання задачі; IV — перевірка розв’язування. Розглянемо методику роботи на кожному з цих етапів [2].
1. Ознайомлення із змістом задачі. Усвідомлення змісту задачі — необхідна умова її розв’язання. Учень не повинен приступати до розв’язування задачі, не зрозумівши її умови. Тому ознайомлення з задачею містить власне опанування її змісту і перевірки усвідомлення його дітьми.
Приступаючи до розв’язування задачі, важливо сприйняти її в цілому, а потім вже розбивати на окремі частини. При фронтальному ознайомленні вчитель читає (або переказує) задачу двічі. Першого разу задачу читають з метою ознайомлення з її змістом в цілому. Другого разу задачу читають частинами і так, щоб кожна частина містила певну смислову «одиницю» тексту. Поділ задачі на частини здебільшого передбачає виділення окремих числових даних її. Під час другого читання доцільно на дошці записувати умову. Читаючи задачу, вчитель паузами та інтонацією виділяє числові дані та слова, що визначають вибір дії та запитання задачі. Якщо в задачі є маловідомі дітям терміни, то їх слід пояснити заздалегідь, застосовуючи для цього предметне ілюстрування або малюнки.
Щоб перевірити, як учні усвідомили умову задачі, вчитель задає учням запитання (за смислом окремих частин) або пропонує переказати всю задачу. З метою активізації контрольного повторення задачі слід наперед ставити перед учнями те або інше завдання. Наприклад: «Послухайте задачу і повторіть вголос її запитання», «Прочитайте задачу самостійно і скажіть, що нам відомої про…».
2. Аналіз задачі і відшукання плану її розв’язування. Учень зможе успішно розв’язати задачу, якщо розумітиме значення слів і виразів, з яких вона побудована. На початку навчання і при розгляді нових задач усвідомлення значення слів та зв’язків між величинами досягається через відтворення тієї реальної проблемної ситуації, моделлю якої є задача. В подальшому дедалі частіше застосовується вербальний (словесний) аналіз (розбір) задачі.
Вербальний аналіз в широкому розумінні містить, з одного боку, семантичний аналіз, а з другого — знаходження способу розв’язування її. Суть семантичного аналізу полягає в тому, що на основі аналізу тексту задачі визначають окремі значення величин, а також відношення, що їх пов’язують.
Під час аналізу треба з’ясувати, скільки величин розглядається в задачі та які вони мають значення. Задавання кожного значення величини звичайно складається з трьох частин: назви величини, зазначення особливості певного значення і числове значення, якщо воно відоме (задане). Якщо числове значення не задано, то воно є невідомим, і якщо, крім того, в завдання цього невідомого значення входить запитання «скільки»?» чи вимога «знайти», то це значення шукане [27, 23].
3. Розв’язання задачі — це виконання арифметичних дій відповідно до складеного плану. Планом користуються і тоді, коли задачу розв’язують за допомогою складання виразу чи рівняння. Виконуючи дії, учні коментують їх: що знайдено за допомогою кожної дії. При усному розв’язуванні задачі необов’язково щоразу називати питання плану повністю. Можна практикувати короткі коментарі.
4. Перевірка розв’язання є складовою частиною і характерною рисою математичної діяльності. Перевірити розв’язання задачі — це з’ясувати, правильне воно чи ні. Для вчителя цей процес є засобом виявлення прогалин у знаннях учнів, а в поєднанні з аналізом та оцінкою — засобом виховання інтересу до вивчення математики. Треба поступово виховувати в дітей почуття необхідності самоперевірки, ознайомлювати їх із найбільш доступними прийомами перевірки. З цією метою слід проводити бесіди, в яких аналізувати допущені учнями помилки.
У процесі розв’язування простих задач учні дістають деякі уявлення про структуру задачі. При цьому учителі пропонують деякі спеціальні запитання і завдання, проте вони здебільшого зводяться до вимоги розчленувати задачу на умову і запитання: повторення умови задачі, її запитання; читання задачі і виділення в ній запитання; читання умови задачі про себе, а вголос — тільки запитання; визначення, що в задачі відомо, а що невідомо. Щоб підкреслити основну відмінність складеної задачі від простої, ставлять, наприклад, такі запитання: Чи можна розв’язати задачу однією дією? Чому не можна розв’язати задачу однією дією? Яку маємо задачу — просту чи складену? Такі запитання корисні, але вони не охоплюють усіх компонентів поняття «задача». Роботу в цьому напрямку потрібно урізноманітнити [54, 32].
Учні швидко усвідомлюють, що в арифметичній задачі має бути не менш як два числа. Проте іноді вони забувають про це намагаються розв’язати задачу тільки з одним числовий даним. З цією метою корисно також розглядати задачі з недостатньою кількістю даних.
У роботі над деякими задачами можна вказати прийоми, за допомогою яких з’ясовують, що числові дані задачі перебувають у певних зв’язках, а вибір їх визначається запитаннями. Для задач, пов’язаних різницевим або кратним відношенням, ці прийоми зводяться до постановки запитання: Що в задачі сказано про залежність між числами? Учні відповідають: «У задачі сказано, що друге число на 3 менше, ніж перше». До задач з пропорційними величинами ставлять узагальнені запитання: “Про що можна дізнатись, якщо відомі шлях і швидкість?” тощо [18, 35].
У підручниках для початкових класів переважна більшість задач містить запитання зі словом «скільки», решта задач містить запитання із такими словами та виразами: “Чому дорівнює…?”, “Знайти…”, “Обчислити”. Кількість цих задач з кожним наступним кроком зростає, але за змістом вони належать до практичних задач. Це є однією з причин того, що вимогу задачі учні розуміють як речення, яке починається зі слова «скільки».
Щоб запобігти такому стереотипу, слід іноді перебудовувати запитання. Наприклад, замість «Скільки літрів бензину залишилося?» запитуємо «Яка остача бензину?» або «Знайти остачу бензину», «Чому дорівнює остача бензину?» Узагальнюючим словом тут є «остача». Запитання «Скільки учень заплатив за всю покупку?» можна перебудувати так: «Яка вартість всієї покупки?» або «Обчисліть вартість всієї покупки». Запитання без слова «скільки» пропонує вчитель, а перебудоване запитання, яке містить слово «скільки», формулюють учні [2].
Для розвитку уявлень учнів про структуру задачі дуже корисними є вправи на перетворення та складання задач. Для простих задач основними вправами є добір запитання до умови або добір умови до запитання. До творчих завдань належать: складання задач за даним розв’язком, за малюнком; порівняння задач; перетворення даної задачі в споріднену (в них величини пов’язані однаковою залежністю).
Свідоме вивчення математики і розвиток мислення учнів стимулюється самостійним складанням (конструюванням) математичних задач. При цьому, по-перше, виховується самостійність (діти оперують вивченими об’єктами і фактами математики, тобто розглядають та оцінюють властивості, відмінності і характерні особливості цих об’єктів); по-друге, розвивається їхня творча розумова активність.
Розв’язування даної задачі та складання задачі, оберненої до неї, пов’язано з необхідністю ще раз розглянути залежності між величинами, але під іншим кутом зору. Це сприяє глибшому усвідомленню не тільки залежності між величинами і способу розв’язування задачі, а й її структури.
Конструювання задач молодшими школярами змушує їх використовувати більший обсяг інформації, застосовувати міркування, обернені до тих, що застосовуються при звичайному розв’язуванні задач. Отже, при складанні задач учень застосовує логічні засоби, відмінні від тих, за допомогою яких розв’язуються звичайні задачі, відкриває нові зв’язки між математичними об’єктам. Це розвиває мислення. Але й не можна доводити конструювання задач до навички. Усякий шаблон знищує головне, заради чого ці вправи вводяться: розвивати мислення [23, 14].
Розумова діяльність молодших школярів залежить також від змісту вправ, від послідовності їх виконання. При цьому ступінь оволодіння вміннями розв’язувати певний тип вправ може бути різним. При розв’язуванні математичних задач на аналітичному (початковому) рівні учень вміє відокремлювати істотні умови, вибирати необхідні знання та прийоми для її розв’язання, на наступному, вищому рівні — побудувати оптимальну систему відомих дій для розв’язання задачі; на найвищому рівні – може узагальнити спосіб розв’язування задачі і самостійно скласти задачі різного змісту, що розв’язуються одним способом.
Таким чином, кожен рівень характеризується сформованістю певних дій. Вважається, що коли молодшим школярам пропонувати навчальні задачі, спрямовані на формування вказаних дій, то це буде сприяти встановленню відповідного їм наступного рівня розвитку мислення. Важливо і те, як організована робота з такими задачами, оскільки пропоновані завдання передбачають виконання або всіх, або деяких дій, що відповідають кожному рівню розвитку мислення, самостійність при виконанні цих дій від завдання до завдання повинна збільшуватись [29, 146].
Не можна також допускати, щоб учні вміли виконувати лише однотипні вправи – це знижує розвиток їх розумової діяльності. Лише наявність нестандартних вправ дозволить здійснювати пошук розв’язку, активізувати мислення учнів, їхні вміння застосувати відомі знання у новій ситуації. Тому в методиці роботи над задачами одного виду виділяють три ступені. На першому ступені учні засвоюють зв’язки, на основі яких вибираються дії, на другому — вчитель ознайомлює їх із розв’язуванням задач цього виду, а на третьому — формує відповідні вміння. Розвиток уявлень учнів про «технологію» розв’язування задач і формування вмінь розв’язувати задачі становлять фактично єдиний процес.
Розв’язування задачі — це процес, «робота, яка включає ознайомлення з текстом задачі, роздуми (міркування) над її розв’язанням, запис чи формулювання дій та відповіді». Розв’язання задачі — це запис (формулювання) порядку арифметичних дій, за допомогою яких знаходиться відповідь до задачі. Розв’язок — відповідь на запитання задачі. А ще розв’язком називають числове значення шуканої величини.
А тому важливе значення для розв’язування текстових задач у навчальному процесі має ретельний добір навчальних завдань, які мають відповідати певним загально-методичним вимогам:
забезпечувати засвоєння учнями програмового матеріалу з математики і, зокрема, формувати в них знання про задачу, її склад і процес розв’язування, вчити використовувати набуті знання в різних ситуаціях;
зміст завдань має відповідати темі уроку і меті вивчення матеріалу, а числові дані — програмовим вимогам;
послідовність застосування вправ має сприяти свідомому засвоєнню теоретичних знань і вмінню розв’язувати задачі, розвитку прийомів розумової і творчої діяльності школярів;
забезпечувати автоматизацію елементарних дій, з яких складається діяльність при розв’язуванні задач; створювати умови для узагальнення способів діяльності;
відповідати логіці й структурі процесу формування вмінь;
кількість вправ повинна відповідати індивідуально-психологічним особливостям школярів і бути достатньою для формування певного вміння або навички [20, 18-19].
Відповідно до мети застосування, завдання для формування вмінь учнів розв’язувати задачі на розкриття конкретного змісту арифметичних дій поділяють на підготовчі (перший ступінь роботи над задачею), навчальні (другий ступінь) і перевірні (третій ступінь). Мета підготовчих завдань — активізувати опорні знання й уміння, необхідні для розв’язування задач. Вони використовуються або на початку уроку, або безпосередньо перед розв’язуванням задачі. За формою подачі підготовчі завдання, в основному, усні, в окремих випадках – письмові. Підготовчі завдання не повинні містити труднощів, які неможливо подолати за допомогою актуалізації знань і вмінь, в основі їх — посилання на відповідний теоретичний матеріал підручника.
Інтенсивність розвитку вмінь молодших школярів у розв’язуванні простих задач визначається, передусім, змістом задач і методами керування цим процесом. Формування навичок розв’язування простих арифметичних задач і розвиток умінь розв’язувати складені задачі на початковому етапі відбувається за допомогою наслідування зразків і постійної практики. Проте кожна задача, розв’язана з певною часткою власних зусиль, стає зразком для розв’язання інших задач. Тому методи навчання математики і вироблення умінь в учнів повинні бути спрямовані на перенесення здобутих результатів на нові об’єкти, нові задачі, в нові умови, на порівняння схожих чи взаємопов’язаних між собою задач.
2.2 Методика ознайомлення із задачами на розкриття конкретного змісту арифметичних дій
До задач, які розкривають конкретний зміст арифметичних дій, належать задачі на знаходження суми, остачі, добутку, на ділення, на вміщення і рівні частини. Задачі на знаходження суми й остачі —це перші задачі, з якими зустрічаються діти, а тому робота над ними пов’язана з додатковими труднощами: тут учні ознайомлюються, власне, із задачею та її частинами, а також із деякими загальними прийомами роботи над задачею.
Задачі на знаходження суми й остачі вводять одночасно, оскільки одночасно вводять дії додавання і віднімання; крім того, у протиставленні краще формувати вміння розв’язувати ці задачі [6].
У процесі підготовки учнів до ознайомлення із задачею на знаходжен-ня суми ставиться мета: навчити учнів розв’язувати задачі на знаходження суми й остачі, вдаючись до практичних дій з множинами предметів. Учні при цьому не оперують термінами «задача», «умова задачі», «запитання задачі», «розв’язання задачі», «перевірка і відповідь задачі».
При підготовці учнів до ознайомлення із задачею на знаходження остачі діти оперують із множинами предметів або ілюструють ці операції у зошитах. Виконуючи такі практичні завдання, вони усвідомлюють, що операції вилучення підмножини з даної множини відповідає дія віднімання.
Із задачами на знаходження суми й остачі доречно ознайомлювати, спостерігаючи за діями вчителя і дітей. Учні демонструють числові дані і дії, які описуються в задачі. Але результат розв’язання задачі (відповідь) повинен бути прихованим від дітей — інакше учні знаходитимуть відповідь перелічуванням об’єктів, а відтак відпаде необхідність вибору дії та її пояснення. Розв’язання задач на цьому етапі учні записують у вигляді прикладу [5].
На підготовчому етапі ознайомлення із задачею на знаходження суми і остачі задачі дії додавання і віднімання не застосовуються. Відповідь знаходять перелічуванням предметів. Таким чином, текстова задача сприймається учнями як деяка конкретна реальна ситуація, а не як об’єкт вивчення.
Подамо фрагмент уроку з підготовки учнів до ознайомлення із задачами на знаходження суми й остачі.
Задача. У Тараса було 3 зошити в лінійку і 2 зошити в клітинку. Скільки зошитів було у Тараса?
Учитель читає задачу.
— Відповідь знайдемо за допомогою кружечків. Замість зошитів будемо викладати на парті кружечки. Нехай кожен червоний кружечок означає зошит у лінійку, а кожен зелений — зошит у клітинку. У Тараса було 3 зошити в лінійку. Скільки червоних кружечків треба викласти? (3). Що означає кожен червоний кружечок? (Зошит у лінійку). У Тараса було 2 зошити в клітинку. Кружечки якого кольору треба викласти? (Кружечки зеленого кольору). Скільки кружечків зеленого кольору треба викласти? (2). Праворуч від кружечків червоного кольору викладіть стільки кружечків зеленого кольору, скільки зошитів у клітинку було у Тараса. Що означає кожен кружечок зеленого кольору? (Зошит у клітинку). Покажіть усі зошити в лінійку. (Діти обводять тупим кінцем олівця навколо всіх кружечків червоного кольору). Покажіть усі зошити в клітинку. (Учні обводять тупим кінцем олівця навколо всіх кружечків зеленого кольору).
Покажіть усі зошити, які були в Тараса. (Діти обводять тупим кінцем олівця навколо всіх кружечків). Скільки всього зошитів було в Тараса? Полічіть. (5).
На пропедевтичному етапі задачі на знаходження суми будуть розв’язуватися як за допомогою предметних дій, так і за малюнками в зошитах, на дошці або набірному полотні. Оперуючи предметними множинами, діти усвідомлюють, що операції об’єднання відповідає дія додавання.
Покажемо підготовку учнів до ознайомлення із задачею на знаходження остачі.
Задача. Потяг складався з 7 вагонів. Два вагони відчепили. Скільки вагонів залишилось у потязі?
Учитель читає задачу.
— Потяг складався з 7 вагонів. Візьміть синій олівець і зафарбуйте стільки клітинок у зошиті, скільки вагонів було у потязі. Скільки клітинок ви зафарбуєте? (7). Що означає кожна синя клітинка? (Кожна синя клітинка означає один вагон потяга). Скільки вагонів відчепили? (2). Справа перекресліть стільки синіх клітинок, скільки вагонів відчепили.
Скільки клітинок перекреслите? (Дві). Чому перекреслите дві синіх клітинки? (Тому що два вагони відчепили). Що означає кожна перекреслена клітинка? (Кожна перекреслена клітинка означає вагон, який відчепили). Що означає кожна неперекреслена клітинка? (Кожна неперекреслена клітинка означає вагон, який залишився в потязі). Скільки вагонів залишилося у потязі? Полічіть. (5).
Покажемо методику ознайомлення із задачами на знаходження суми й остачі. При цьому важливо, щоб при розв’язанні задач на знаходження суми й остачі учні чітко пояснювали вибір тієї чи іншої дії. Так, наприклад, у задачі «На одній гілці сиділо 3 пташки, а на другій — дві. Скільки пташок сиділо на двох гілках?» вибір дії належить пояснювати так: «Виконаємо дію додавання. Якщо на одній гілці сиділо 3 пташки, а на другій —дві, то число пташок, що сиділи на двох гілках більше, ніж на кожній гілці окремо, тому воно дорівнюватиме сумі чисел 3 і. 2. З плюс 2, буде 5.»
До задачі на знаходження остачі: «В Олі було 6 іграшок. Дві іграшки вона віддала Тарасу. Скільки іграшок залишилося в Олі? » вибір дії слід пояснювати так: «Якщо в Олі було б іграшок і дві іграшки вона віддала Тарасу, то в неї залишилось іграшок менше, ніж було. Треба від числа 6 відняти 2.6 мінус 2, дорівнює 4».
Підготовкою до розв’язування задач на знаходження суми й остачі є виконання операцій над множинами: об’єднання двох множин без спільних елементів і вилучення частини множини (цих термінів учням не дають). Діти добре повинні засвоїти, що операція об’єднання множин пов’язана з дією додавання, а операції видалення частини множини — з дією віднімання.
Завдання на оперування множинами слід включати в підготовчий період і в період вивчення нумерації чисел першого десятка. За своєю формою вони не відрізняються від задач, але їх виконують суто практично. Наприклад, учитель читає задачу: «Хлопчик вирізав 3 червоних кружки і 1 голубий. Скільки всього кружків вирізав хлопчик?» Діти кладуть на парти спочатку 3 червоних кружки, потім 1 голубий; присувають їх один до одного і знаходять кількість всіх кружків за допомогою лічби.
Виконавши з дітьми кілька таких вправ, учитель ознайомлює їх з дією додавання: якщо візьмемо 3 і 1 кружок, буде 4 кружки, то кажуть: до 3 додати 1, буде 4; якщо маємо 5 та 2 літаки, буде 7 літаків, то кажуть: до 5 додати 2, буде 7. Виконавши кілька таких вправ, вводять знаки «додати» (плюс), «буде» (дорівнює) і запис на розрізних цифрах: 3+1 =4.
Дуже важливо, щоб ці підготовчі вправи включали в себе різні життєві ситуації.
Наприклад:
а) У дівчинки було 4 кольорових олівці. Брат подарував їй ще 2 олівці. Скільки олівців тепер у дівчинки?
б) В одному акваріумі 3 рибки, а в другому 4 рибки. Скільки рибок у двох акваріумах?
в) 3 гаража спочатку виїхало 6 машин, а потім 3 машини. Скільки всього машин виїхало з гаража?
Розв’язуючи подібні задачі, учні виконують операцію об’єднання неперетинних множин, користуючись наочними посібниками, і пов’язують її з дією додавання. При цьому вони вголос міркують: у дівчинки стало 4 та 2 олівці, буде 6 олівців, отже, треба до 4 додати 2 буде 6. Результат арифметичної дії вони знаходять, рахуючи предмети. Аналогічно проводять підготовчу роботу до розв’язання задач на знаходження суми. При цьому, розв’язуючи задачі на знаходження остачі, спочатку учні виконують лише операцію виділення з множини її підмножини, знаходячи підрахунком предметів відповідь на запитання задачі.
Наприклад, за допомогою наочних посібників (квадратів) учні розв’язують задачу: «У хлопчика було 5 марок. 2 марки він подарував товаришеві. Скільки марок у нього лишилось?». Виконавши операцію виділення, учні міркують: у хлопчика лишилось 5 без двох марок, 3 марки. Виконують ряд таких вправ. Після цього операцію виділення з множини її підмножини пов’язують з дією віднімання. Наприклад, пропонують задачу: «На аеродромі було 9 літаків. 5 літаків полетіло. Скільки літаків лишилось?» Виконавши відповідну операцію на наочних посібниках, учні міркують: на аеродромі лишилось 9 без п’яти літаків, 4 літаки, отже, треба від 9 відняти 5, буде 4. Дуже корисно такими міркуваннями супроводити розв’язання кожної задачі.
Ознайомлюючи дітей з розв’язуванням задач на знаходження суми й остачі, краще перші задачі пропонувати не в готовому вигляді, а складати їх разом, з дітьми.
Першокласникам важко виділяти в задачі числові дані і запитання. Так, повторюючи задачу вони називають разом з даними відповідь або ж відразу називають відповідь, не з’ясувавши відповідної дії. Тому з самого початку треба формувати в дітей загальний прийом роботи над задачею. Щодо цього цілком виправдала себе така методика роботи над простими задачами розглядуваних та всіх інших видів.
Насамперед учитель (а пізніше і діти) читає задачу, учні сприймають її в цілому. При повторному читанні задачі вчителем (або дітьми) учні кладуть на парти цифри, які позначають числові дані задачі, шукане число позначають знаком запитання (пізніше-записують числові дані і шукане в зошити). Це і є процес виділення числових даних і запитання.
Далі учні пояснюють, що показує кожне число, і називають запитання задачі. Тут учні усвідомлюють зв’язок між даними і шуканим.
Потім учням пропонують уявити собі те, про що йдеться в задачі, і розповісти, як вони уявили, що повинно привести дітей до правильного вибору відповідної арифметичної дії.
Тепер можна запропонувати учням назвати дію, за допомогою якої розв’язують задачу, виконати її усно або записати в зошити. Потім формулюють відповідь на запитання задачі і записують тоді, коли діти вмітимуть писати. Відповідь можна записати коротко, дати усно розгорнуте формулювання або просто підкреслити в записі розв’язання.
Якщо під час розв’язання задач учні багато разів виконуватимуть такі завдання в певному порядку, то в них поступово сформується вміння працювати над задачею відповідно до цих завдань. Це дасть дітям можливість надалі самостійно розв’язувати задачі.
Під час розв’язання перших готових задач дуже важливо продовжити роботу над засвоєнням дітьми термінології, яка стосується задачі і її розв’язання. Для цього корисно включати такі вправи: після розв’язування задачі викликати до столу чотирьох учнів: перший з них говорить слова «умова задачі» і формулює умову; другий — «запитання задачі» і називає запитання; третій — «розв’язання задачі», після чого називає розв’язання; четвертий говорить слово «відповідь» і формулює її. Внаслідок виконання на різних уроках кількох таких вправ діти міцно засвоюють згадані терміни.
Розв’язання задач на перших уроках слід записувати у вигляді виразу за допомогою розрізних цифр і відповідних знаків, а як тільки діти навчаться виконувати арифметичні записи в зошиті, можна записувати розв’язання.
Працюючи над узагальненням способу розв’язування, треба включати вправи на самостійне розв’язування задач, при цьому діти в думці пояснюють, чому вони обрали дію додавання або віднімання. На цьому ступені треба попутно встановити нові зв’язки: якщо об’єднують непорожні множини без загальних елементів, то в об’єднанні виходить елементів більше, ніж у кожній з множин (у коробці було 6 м’ячів, коли поклали ще 2 м’ячі, їх стало більше). Якщо з множини беруть непорожню множину, в якій елементів менше, ніж у даній множині (у коробці було 8 м’ячів, коли взяли 2 м’ячі, то лишилось менше); щоб дістати більше, треба додавати, а менше — віднімати. Засвоєння цих зв’язків буде підготовкою до ознайомлення з розв’язуванням задач на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць. Як тільки будуть введені задачі нових видів, корисно розглядувані задачі розв’язувати разом з ними: наприклад, запропонувати задачу на знаходження суми, відразу ж задачу на знаходження невідомого доданка і порівняти їхні розв’язання.
Дуже корисно включати розв’язування задач підвищеної трудності, а також вправи на складання і перетворення задач. Досвід показав, що ці останні вправи доцільно вводити в такій послідовності: складання задачі за картинкою, предметами в класі, предметами, яких немає, за умовою, коротким записом, запитанням, розв’язанням, зазначеною дією; пізніше перетворюють задачу на знаходження суми в задачу на знаходження невідомого доданка і навпаки, задачу на знаходження остачі в задачу на знаходження невідомого зменшуваного або від’ємника або навпаки. Такий порядок введення вправ забезпечує правильний перехід від конкретних дій над предметами до дій над ними за уявленням.
Задачі на знаходження суми однакових доданків (добутку) вводять у II класі, розкриваючи конкретний зміст дії множення. Підготовчу роботу до введення цих задач розпочинають у І класі, вивчаючи додавання і віднімання. Вона зводиться до розв’язування задач на знаходження суми однакових доданків за допомогою оперування предметами, про які йдеться в задачі, і виконання дії додавання.
Спочатку пропонують вправи виду: «Покладіть по 2 кружки З рази. Скільки всього кружків ви поклали?» Діти розкладають на партах по 2 кружки 3 рази і знаходять число всіх кружків дією додавання: 2+2+2 = 6. Далі встановлюють, що доданки цієї суми однакові і що їх три.
Аналогічно розглядають сюжетні задачі, наприклад: «Мама поклала пиріжки на 4 тарілки, по 3 пиріжки на кожну. Скільки всього пиріжків на цих тарілках?»
Корисно для підготовки учнів включати вправи на складання задач за їх розв’язанням. Так, за розв’язанням 5+5+5=15 діти можуть скласти різні задачі, наприклад: «У хлопчика було 3 монети по 5 коп. Скільки грошей було в хлопчика?».
У другому класі при ознайомленні з розв’язуванням задач на знаходження добутку учні мають усвідомити, що суму однакових доданків можна замінити добутком. Вони повинні засвоїти новий запис і розуміти, що означає кожне число в цьому записі.
Підготовка учнів до ознайомлення із простими задачами на знаходження добутку як суми однакових доданків зводиться до розв’язування задач на знаходження суми однакових доданків. Останні розв’язуються учнями на основі практичних дій з предметами або їх замінниками, про які говориться в задачі, або на основі розгляду малюнків. Основна мета розв’язування таких задачі методики роботи над ними — підготувати учнів до розкриття змісту дії множення, ознайомити учнів із словами і словосполученнями, що відповідають дії множення: однакові доданки, рази, сума однакових доданків.
У II класі вводять ділення. Конкретний зміст цієї арифметичної дії розкривають під час розв’язування задач на ділення на рівні частини, а далі на ділення на вміщення. Спочатку вводять ділення на вміщення, а потім на рівні частини. Це зумовлено тим, що практично виконувати операції над множинами при розв’язуванні задач із застосуванням ділення на вміщення легше, ніж при розв’язуванні задач із застосуванням ділення на рівні частини. Крім того, операції, які виконують при розв’язуванні задач із застосуванням ділення на рівні частини, як побачимо далі, включають у себе операції, які виконують при розв’язуванні задач із застосуванням ділення на вміщення.
Покажемо особливості підготовки учнів до ознайомлення із простими задачами на ділення (ділення на вміщення і на рівні частини).
Вправа 1. Фронтальна практична робота на ділення на рівні частини.
До дошки вийдуть Семен, Оля і Леся. Цим учням треба роздати 12 зошитів порівну. Зошити буде роздавати Оленка. Скільки зошитів треба взяти Оленці, щоб дати кожному учневі по одному зошиту?
Щоб кожному учневі дати по одному зошиту, треба Оленці взяти три зошити.
Чому треба взяти три зошити?
Тому, що зошити роздають трьом учням. (Оленка бере 3 зошити і роздає кожному учневі по одному).
Візьми, Оленко, ще 3 зошити і дай кожному учневі по другому зошиту. (Оленка роздає по другому зошиту.) Візьми, Оленко, ще 3 зошити, дай кожному по третьому зошиту. (Оленка роздає по третьому зошиту кожному учневі, а потім і по четвертому.)
Чи всі зошити роздала Оленка?
Всі зошити роздала Оленка учням.
По скільки зошитів одержав кожний учень?
Кожний учень одержав по 4 зошити.
Вправа 2. Робота з індивідуальним роздатковим матеріалом.
Покладіть на парту 8 кружечків. (Учні виконують.) Розкладіть пі кружечки на дві купки порівну. Як будете розкладати ні кружечки?
Візьміть 2 кружечки і покладіть їх по одному на купки. (Учні виконують.)
Візьміть другий раз кружечки і розкладіть їх на купки. Скільки кружечків треба взяти?
Треба взяти 2 кружечки.
Чому треба взяти 2 кружечки?
Тому що їх треба розкласти на 2 купки по одному.
Візьміть 2 кружечки і покладіть їх по одному на купки. Закінчіть розкладати кружечки на купки. (Учні виконують.) Чи всі кружечки розклали?
Всі кружечки ми розклали.
По скільки кружечків у купці?
По 4 кружечки в кожній купці.
Вправа 3. У таблиці (або на набірному полотні) викладено предметні картинки запряжок, по 3 собаки в кожній.
Скільки санок ви бачите на набірному полотні?
Скільки собак у кожній запряжці?
Скільки всього собак у всіх запряжках?
Як взнали? Поясніть.
Ознайомлення учнів з розв’язуванням задач на ділення на вміщення передбачено в II класі. Наприклад, пропонують задачу: «12 морквин зв’язали в пучки, по 4 морквини в кожному. Скільки вийшло пучків?» На набірному полотні один з учнів розкладає 12 морквин по 4, а решта учнів виконує те саме за допомогою будь-яких предметів на партах. Виконавши це, підраховують, скільки вийшло пучків. Розв’язання записують так: 12:4=3.
Відповідь: 3 пучки.
Спочатку під час розв’язування задач треба користуватися наочними посібниками, результат знаходити за допомогою лічби, після чого записувати розв’язання. Поступово учні вибиратимуть дії за уявленням, не вдаючись до наочних, посібників, а результати визначатимуть, користуючись таблицею. Однак у разі утруднень треба пропонувати дітям виконувати оперування множинами.
Підготовкою до розв’язування задач на ділення на рівні частини буде практичне виконання, починаючи з І класу, операцій над множинами:
а) Розкладіть 6 кружків у 2 ряди порівну. Скільки кружків у кожному ряді?
б) Юра знайшов 12 жолудів і розклав їх у 4 коробки порівну. Скільки жолудів він поклав у кожну коробку?
Спочатку роботою керує вчитель.
— Скільки треба взяти кружків, щоб покласти в кожний ряд по одному кружку? Так, стільки, скільки рядів. Візьміть 2 кружки і покладіть у кожний ряд по одному. Візьміть ще стільки, щоб покласти в кожний ряд по одному, і розкладіть їх. Чи всі кружки розклали? Візьміть ще стільки кружків, щоб у кожний ряд покласти по одному, і розкладіть їх. Чи всі кружки розклали? По скільки кружків у кожному ряді? Ви 6 кружків поділили на 2 рівні частини і дістали по 3 кружки в кожній частині.
При такому оперуванні множинами явно виступає зв’язок між: задачами із застосуванням ділення на рівні частини і на вміщення: у кожній частині буде по стільки кружків, скільки разів по 2 кружки міститься в 6 кружках.
У І класі подібні вправи учні виконують практично, не записуючи розв’язання, а результат знаходять за допомогою лічби.
У II класі вводять розв’язання задач на ділення на рівні частини. Спочатку задачі розв’язують, практично оперуючи множинами, після чого записують розв’язання. Наприклад, пропонують задачу: «Мама роздала 6 груш 3 дітям порівну. Скільки груш одержала кожна дитина?» Оперуючи наочними посібниками, учень міркує: «Беру стільки груш, щоб кожній дитині дати по одній, тобто 3 груші, і даю по одній, беру ще 3 груші і даю по одній; кожна дитина одержала по 2 груші».
Розв’язання записують так: 6:3=2.
Відповідь: По 2 груші.
Задачі на ділення можна розв’язувати і не використовуючи наочності тоді, коли діти навчаться знаходити дію за уявленням, а результат ділення на підставі таблиці множення.
2.3. Результати експериментального дослідження
Дипломне дослідження мало теоретико-експериментальний характер і проводилося у два етапи. На теоретичному етапі (2006–2007 навчальний рік) була визначена сфера і проблема дослідження; вивчалася педагогічна, методична література з даної теми; аналізувалася робота вчителів початкових класів у галузі методики розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, шляхом диференційованого навчання; формулювалася гіпотеза та завдання дослідження.
В процесі експериментального етапу (2007–2008 навчальний рік) – на основі напрацьованої теоретичної інформації здійснювався формуючий експеримент, пов’язаний із формуванням у молодших школярів умінь і навичок розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, з використанням диференційованого підходу, вивчалася його ефективність та практична значущість.
Експериментальне дослідження ми проводили у Бзовицькій початковій школі Зборівського району Тернопільської області. Ним було охоплено 23 учні 1-А класу (експериментального) і 21 учень 1-Б класу (контрольного). У процесі формуючого експерименту ми пропонували першокласникам систему простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, різних видів. Ці задачі використовувалися як на уроках, так і на позакласних заняттях з математики і пропонувалися для самостійної роботи учнів.
Залучаючи здібних учнів до розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, ми тим самим інтенсифікували процес навчання, розвивали творче мислення школярів, формували стійкий інтерес до предмета. Така робота виявилася ефективною тільки за умови доброзичливого явлення до кожного школяра, заохочення його до висловлювання творчих ідей і постановки найрізноманітніших запитань.
Виявлення ефективності розробленої системи задач у формуванні математичних уявлень і понять у молодших школярів ми здійснювали на основі порівняння сформованості відповідних навичок та вмінь в учнів експериментального класу порівняно з контрольним, де використовувалася звичайна система навчання.
На основі відповідних показників ми визначили уміння і навички, пов’язані із розв’язуванням різновидів простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій. За рівнем розвитку даних умінь ми визначили три рівні сформованості математичних уявлень і понять учнів про прості задачі, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій:
високий – у школяра сформовані уміння, пов’язані із розв’язуванням простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, і здатність безпомилкового розв’язання задачі або самостійного виправлення допущених помилок при зауваженні вчителя;
2) середній – учень виконує усі попередні завдання на належному рівні, але припускається кількох неістотних помилок, які виправляє з незначною допомогою вчителя;
3) низький – в учня не сформовані пропедевтичні уміння розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, не розвинені загальні уміння розв’язування задач з математики і відповідно не сформовані практичні уміння розв’язування задач даного виду.
Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань і вмінь молодших школярів. Так, учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного.
Отримані результати формуючого експерименту підтвердили гіпотезу, що використання запропонованої системи розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, з використанням диференційованого підходу позитивно вплинули на формування відповідних уявлень і понять в учнів експериментального класу.
Таким чином, ми отримали результати, які підтвердили ефективність формуючого експерименту. Із 23 учнів експериментального класу 5 школярів продемонстрували високий рівень сформованості навичок розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, 15 – середній і 3 – низький.
У контрольному класі (21 учень) високий рівень розвитку навичок розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, мають 2 учні, середній – 11 і низький – 8 школярів. Порівняно з початком експерименту, показники сформованості відповідних умінь розв’язувати прості задачі, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, зросли в обох класах (початковий рівень відповідно 76 і 72%). Проте в експериментальному класі наприкінці дослідження ці показники виявилися значно вищими (відповідно 77 і 82% – див. діаграму).
Діаграма
Загальний рівень сформованості умінь розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, в експериментальному і контрольному класах на початку і в кінці експерименту
Проведення експериментального дослідження дало змогу виявити і оцінити ефективність використання пропонованої системи простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, і простежити процес розвитку умінь розв’язувати дані задачі порівняно з навчанням дітей в контрольному класі. У процесі використання розробленої системи простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, в учнів експериментального класу порівняно з контрольним значно підвищився рівень сформованості відповідних умінь, що свідчить про ефективність застосовуваного напрямку роботи.
Висновки
На сучасному етапі розбудови початкової освіти розв’язування простих текстових задач у навчанні математики переслідує такі цілі: формування в учнів загального підходу, загальних умінь і здібностей розв’язання будь-яких задач; пізнання і більш глибоке оволодіння математичними поняттями, що вивчаються, і деякими загальнонауковими й загальножиттєвими поняттями; оволодіння поняттями моделі й моделювання і власне математичним моделюванням; розвиток мислення, кмітливості учнів, творчого потенціалу.
Через розв’язування задач діти ознайомлюються з важливими фактами, які мають пізнавальне і виховне значення. Текстові задачі допомагають розкрити опосередковані зв’язки математики з навколишнім середовищем і практичною діяльністю людей, реалізувати пізнавальні, розвивальні і виховні функції навчання. Проте ряд аспектів формування вмінь розв’язувати прості задачі, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, залишилися нерозкриті, зокрема обсяг теоретичних знань про прості задачі, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, і процес її розв’язування у початкових класах; добір різнорівневих завдань, спрямованих на формування вмінь розв’язувати ці задачі; способи раціонального поєднання фронтальної, групової та індивідуальної форм роботи на уроках математики при розв’язуванні простих задач в умовах диференційованого навчання у початковій ланці школи.
Прості задачі в системі навчання математики відіграють дуже важливу роль. За допомогою розв’язування простих задач формують одне з центральних понять початкового курсу математики — поняття про арифметичні дії і ряд інших понять. Уміння розв’язувати прості задачі є підготовчим ступенем опанування учнями умінь розв’язувати складені задачі, бо розв’язування складеної задачі зводиться до розв’язування ряду простих задач. Розв’язуючи прості задачі, діти вперше ознайомлюються з задачею і її складовими частинами. У зв’язку з розв’язуванням простих задач діти опановують основні прийоми роботи над задачею. Тому вчитель повинен знати, як організувати роботу над простими задачами кожного виду.
Щоб розв’язати просту задачу, учень повинен виділити в ній відоме й невідоме, а потім вибрати арифметичну дію чи скласти рівняння, за допомогою яких знайти невідоме. Для цього треба перевести на математичну мову відношення між даними і шуканими величинами, про які йдеться в задачі. Наше дослідження присвячене роботі над задачами першої групи – це задачі на знаходження суми, остачі, добутку, на ділення.
Інтенсивність розвитку вмінь молодших школярів у розв’язуванні простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, визначається, передусім, змістом задач і методами керування цим процесом. Формування навичок розв’язування простих арифметичних задач і розвиток умінь розв’язувати складені задачі на початковому етапі відбувається за допомогою наслідування зразків і постійної практики. Проте кожна задача, розв’язана з певною часткою власних зусиль, стає зразком для розв’язання інших задач. Тому методи навчання математики і вироблення умінь в учнів повинні бути спрямовані на перенесення здобутих результатів на нові об’єкти, нові задачі, в нові умови, на порівняння схожих чи взаємопов’язаних між собою задач.
Важливе значення для розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, має ретельний добір навчальних завдань, які мають відповідати певним загально-методичним вимогам: забезпечувати засвоєння учнями програмового матеріалу з математики і, зокрема, формувати в них знання про задачу, її склад і процес розв’язування, вчити використовувати набуті знання в різних ситуаціях; зміст завдань має відповідати темі уроку і меті вивчення матеріалу, а числові дані — програмовим вимогам; послідовність застосування вправ має сприяти свідомому засвоєнню теоретичних знань і вмінню розв’язувати задачі, розвитку прийомів розумової і творчої діяльності школярів; створювати умови для узагальнення способів діяльності; відповідати логіці й структурі процесу формування вмінь; кількість вправ повинна відповідати індивідуально-психологічним особливостям школярів і бути достатньою для формування певного вміння або навички.
Дипломне дослідження мало теоретико-експериментальний характер і проводилося у два етапи. На експериментальному етапі на основі напрацьованої теоретичної інформації здійснювався формуючий експеримент, пов’язаний із формуванням у молодших школярів умінь і навичок розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, з використанням диференційованого підходу, вивчалася його ефективність та практична значущість. Залучаючи здібних учнів до розв’язування простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, ми тим самим інтенсифікували процес навчання, розвивали творче мислення школярів, формували стійкий інтерес до предмета.
Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань і вмінь молодших школярів. У процесі використання розробленої системи простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, в учнів експериментального класу порівняно з контрольним значно підвищився рівень сформованості відповідних умінь, що свідчить про ефективність добірки простих задач, що розкривають конкретний зміст арифметичних дій, у формуванні математичних уявлень і понять у молодших школярів.
Список використаної літератури
Анкудинова Т.Г. Работа над текстовой задачей // Начальная школа, 1997, № 7.-с. 42-43.
Бантова М.О. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Вища школа, 1982. – 288 с.
Басангова Р.Е. Стимулювання пізнавальної діяльності учнів в ході розв’язування задач // Поч. школа. – 1989. – №1. – С. 40-44.
Белова Е.С. Развитие диалога в процессе решения школьниками мыслительных задач // Вопр. психологии. – 1991. – №2. – С. 148-153.
Богданович М.Б. Методика розв’язування задач у початковій школі. – К.: Вища школа, 1990. – 234 с.
Богданович М.Б., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в поч. кл. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2001. – 368 с.
Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Пос. для вчителя. – К.: Рад. школа, 1990. – 192 с.
Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. – М.: Просвещение, 1959. – 242 с.
Бородулько М.А., Стойлова Л.П. Обучение решению задач и моделирование // Начальная школа, 1996, № 8. — с. 26-31.
Братанки О. Реалізація диференційованого навчання в умовах комбінованого уроку // Рідна школа. – 2000. – №11. – С. 49–52.
Василенко І.З. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Просвіта, 1971. – 376 с.
Вікова та педагогічна психологія (О.В.Скрипченко, Л.В.Долинська, З.В.Огороднійчук та ін.-К.: Просвіта, 2001.-416с.
Володько В.М. Індивідуалізація і диференціація навчання; понятійно-категоріальний аналіз // Пед. і психол. – 1997. – №4. – С. 9–17.
Волокитина М.Н. Очерки психологии школьников первого класса /Под ред. М.Смирнова. – М.: Учпедгиз, 1951. – 102с.
Газдун М.І. Як учити молодших школярів розв’язувати задачі // Поч. школа. – 1988. – №11. – С. 70-72.
Галузинский В.М. Индивидуальный подход в воспитании учащегося. – К.: Высшая школа, 1982. – 240 с.
Гільбух Ю.З. Діагностика мислительних здібностей // Рад. школа. – 1990. – №12. – С. 19-26.
Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Нач. школа. – 1985. – №2. – С. 34-35.
Глушков И.К. Составление задач по выражению // Начальная школа, 1995, №12.-с.50-55.
Гора Т., Логачевська С. Диференційований підхід до розв’язування текстових задач // Поч. школа. – 2002. — №1. – С. 17-22.
Гословська І.Г., Скворцова С.О. Формування позитивної мотивації навчання в молодших школярів на уроках математики //Наука і освіта, — 2000. — №6. – с.18-24.
Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. – М.: Просвещение, 1986. – 220 с.
Друзь Б.Г. Виховання пізнавальних інтересів молодших школярів у процесі навчання. – К.: Рад. школа, 1978. – 126 с.
Друзь Б.Г. Творчі вправи з математики для початкових класів. – К.: Рад. школа, 1988. – 144 с.
Завізєна Н. Тлумачення індивідуалізованого навчання у психолого-педагогічній літературі // Рідна школа. – 1999. – №9. – С. 55–57.
Заїка А., Богданович М. Учням про задачу і процес її розв’язування // Початкова школа. – 2000. – № 11. – С. 28-29.
Захарова А.М. Розвивальне навчання математики в початковій школі // Психол. і педагогіка. – 2000. – №1. – С. 21-27.
Истомина Н.Б., Шикова В.Н. Формирование умений решать задачи различными способами // Нач. школа. – 1985. – №9. – С. 50-54.
Калмыкова З.И. Пути развития продуктивного мышления школьников // Вопр. психологии. – 1978. – №3. – С. 143-148.
Король Я.А. Математика в початкових класах: Культура усного і писемного мовлення. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 160 с.
Король Я.А. Розв’язування текстових задач різними способами // Актуальні проблеми розбудови національної освіти. Ч. ІІІ. – К.-Херсон, 1997. – С. 76-78.
Корчевська О.П. Робота над завданнями підвищеної складності з математики в початкових класах. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2001. – 112 с.
Костюк Г.С. Навчально-виховний процес і психічний розвиток особистості. – К.: Рад. Школа, 1989. – 386с.
Кочина Л., Листопад Н. Математика: навчальні програми для чотирирічної початкової школи // Поч. школа. – 2001. – №7. – С. 17-20.
Кубрак В.І. Організація і керівництво диференційованим навчанням // Поч. шк. – 1991. – №4. – С. 52–55.
Люблінська Г.О. Дитяча психологія. – К.: Вища школа, 1974. – 356 с.
Максимов Л.К. Психологические особенности математического мышления школьников // Новые исследования в психологии. – №1. – М.: Педагогика, 1979. – С. 51-54.
Маркова А.А. Формирование мотивации обучения в школьном возрасте. – М.: Педагогика, 1983. – 124 с.
Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.: Просвещение, 1972. – 204 с.
Махмутов М.И. Об индивидуализации обучения // Нар. образование. – 1964. – №2. – С. 12–18.
Моро М.Г., Пишкало А.М. Методика навчання математики в 1-3 класах. – К.: Рад. школа, 1979. – 376 с.
Мурачковский Н.И. Психологические аспекты организации дифференцированных форм работы на уроке // Сов. педагогика. – 1989. – №10. – С. 35–40.
Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. – К.: Рад. школа. – 1989. – 192 с.
Павліченко О.І. Питання методики дидактичних досліджень. – К.: Вища школа, 1992. – 157 с.
Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Нач. школа. – 2000. – №11. – С. 74.
Поляк Г.Б. Як навчати розв’язуванню задач у початковій школі. – К.: Освіта, 1952. – 194 с.
Рамендик Д.М. Стиль мышления и способ взаимодействия партнеров при совместном решении задач // Психологический журнал. – 1996. – №5. – С. 20.
Савченко О.Я. Дидактика початкової школи. – К.: Абрис, 1997. – 416 с.
Савченко О.Я. Реформування змісту початкової освіти // Поч. школа. – 1996. – №1. – С. 4-8.
Савченко О.Я. Сучасний урок в початкових класах. – К.: Магістр-S, 1996. – 384 с.
Сорокин П.И. Занимательные задачи про математике. С решениями и методическими указаниями. Пос. для детей 1-4 кл. – М.: Просвещение, 1977. – 170 с.
Туркина В.М. Задачи в 1 классе // Начальная школа. – 1996. — № 9. — с.51-53.
Тягур Р.С. Ефективність системи диференційованого навчання // Поч. шк. – 1992. – №11-12. – С. 25–39.
Халуповский М.Д. Одна из форм краткой записи при решении задач // Начальная школа, 1993, № 12.- С.32-34.
Харишин О. Активізація розумової діяльності учнів //Початкова освіта – 2001. — №5. – с.4.
Царева С.Е. Виды работ с задачами на уроке математики // Нач. школа. – 1990. – №10. – С. 37-42.
Шадрина И.В. Использование графических схем при работе над текстовой задачей // Начальная школа. – 1995. — № 3. — С.39-61.
Шевченко А. Розв’язування задач різними способами // Поч. школа. – 2000. – №7. – С. 22-25.
Шипова Р.Н., Шипова Л.Р. О более полной реализации функций текстовых задач в практической деятельности // Начальная школа, 1995.- № 3. — С.77-80.
Шмырёва Г.Г. Дифференцированные задания при работе над ошибками в решении задач // Нач. школа. – 1986. – №2. – С. 34-35.
Додаток А. Система задач на знаходження суми для 1 класу
На алеї біля школи посадили 4 ялини і 3 берези. Скільки дерев посадили?
По дорозі їдуть машини. Серед них 4 легкових і п’ять вантажних. Скільки машин їдуть по дорозі?
У хатинці живуть коза і семеро козенят. Скільки тварин живе у хатинці?
4. Борис знайшов п’ять великих грибів і 3 маленьких. Скільки грибів знайшов Борис?
На кущі бузку було 7 квітучих гілок. За день розквітли ще дві гілки. Скільки квітучих гілок стало на кущі бузку?
В Олі було два плаття: жовте і голубе. До свята мама пошила їй ще біле і зелене плаття. Скільки платтів стало в Олі?
Вовк прийшов у кімнату сміху. Там вже були три зайці і дві білки. Скільки звірят було в кімнаті сміху до того, як прийшов вовк?
З городу принесли 5 морквин і 4 буряки. Скільки овочів принесли з городу?
З городу принесли 6 помідорів і 3 огірки. Скільки овочів принесли з городу?
У хованки гралися дві дівчинки і троє хлопчиків. Скільки дітей гралося у хованки?
11. Зайченята допомагали мамі мити посуд. Менше зайченя помило три чашки, а більше — п’ять. Скільки чашок вимили зайченята?
Мама купила три пиріжки з м’ясом і стільки ж пиріжків з сиром. Скільки пиріжків купила мама?
Мама купила три пиріжки з м’ясом і 4 пиріжки з рисом. Дві пиріжки з м’ясом з’їли діти. Скільки всього пиріжків купила мама?
У шафі лежало три великих і чотири маленьких наволочки. Скільки наволочок лежало у шафі?
Біля берега стояло п’ять синіх човнів і шість зелених. Скільки човнів було біля берега?
У вазі були груші. Петрусь взяв три груші, а Миколка — чотири. Фруктів у вазі не стало. Скільки груш було у вазі?
На стоянці було дев’ять машин. Серед них — три вантажні і дві легкові. Скільки всього вантажних і легкових машин було на стоянці?
У банку налили дві склянки гарячої води і три склянки холодної. Скільки склянок води налили у банку?
Після сніданку на столі залишилося три бутерброди з сиром і два бутерброди з ковбасою. Скільки всього бутербродів залишилося на столі?
На гойдалках гойдалося четверо зайченят, двоє ведмежат і білка. Скільки зайченят і ведмежат гойдалося на гойдалках?
У дитячий садок привезли три бідони з молоком і стільки ж бідонів з кефіром. Скільки всього бідонів привезли у дитячий садок?
Червона Шапочка несла в кошику 6 пиріжків з капустою і 3 пиріжки з м’ясом. Скільки всього пиріжків у кошику Червоної Шапочки?
Марійка відрізала чотири сантиметри стрічки, а потім — ще п’ять. Скільки сантиметрів стрічки відрізала Марійка?
У вазу поставили чотири червоні троянди, дві білі і одну жовту. Скільки червоних і білих троянд поставили у вазу?
У вазу поставили три білі троянди. Скільки всього червоних І білих троянд поставили у вазу?
У саду посадили три кущі смородини. Скільки всього кущів смородини і аґрусу посадили в саду?
Після тренування у спортивній залі залишилося чотири дівчинки і три хлопчики. Скільки дітей залишилось у залі?
Зі стоянки виїхало спочатку чотири таксі, а потім ще п’ять, Скільки таксі виїхало зі стоянки?
Руслан повісив на ялинку 7 іграшок. Сестра допомогла йому повісити ще три прикраси. Скільки іграшок повісили діти на ялинку?
У пакеті було 4 яблука і 6 груш, а у вазі — три яблука. Із пакета яблука переклали у вазу. Скільки яблук стало у вазі?
У Петра було п’ять горіхів. Ще три горіхи йому дала сестра. Скільки горіхів стало у Петра?
Андрій і Тарас читали казку. Андрієві залишилося прочитати ще дві сторінки, а Тарасу — три. Скільки сторінок залишилося прочитати обом хлопчикам?
Біля годівниці було 8 синичок і два горобчики. Скільки всього пташок було біля годівниці?
У глечик можна влити 5 склянок молока, а в пляшку — 2 склянки. Скільки склянок молока потрібно взяти, щоб наповнити глечик і пляшку?
В автобусі було 3 вільних місця. Після зупинки звільнилося ще 5 місць. Скільки вільних місць стало у автобусі?
На тарілці було 6 пиріжків з капустою і три пиріжки з повидлом. Скільки пиріжків було на тарілці?
37.Надійка зірвала 3 червоних квітки і 7 жовтих. Скільки всього квіток зірвала Надійка?
Додаток Б. Система задач на знаходження остачі для учнів 1 класу
У зоопарку жило 5 жираф. Двох жираф передали в інший зоопарк. Скільки жираф залишилось у зоопарку?
У зоопарку було 9 лисиць. Трьох лисиць передали в інший зоопарк. Скільки лисиць залишилось у зоопарку?
У ліфті їхало четверо чоловіків. На третьому поверсі ліфт зупинився і з нього вийшло троє чоловіків. Скільки людей залишилось у ліфті?
Зайченя має намалювати 4 картини, щоб подарувати їх осликові. Воно намалювало 1 картину. Скільки картин залишилося ще намалювати?
З городу принесли 8 помідорів і 5 огірків. З чотирьох огірків зробили салат. Скільки огірків залишилось?
У кошику було 8 цибулин. Дві цибулини взяли для салату. Скільки цибулин залишилось у кошику?
Назар приніс з городу 9 помідорів. 6 помідорів з’їли під час обіду. Скільки помідорів залишилось?
Туристи взяли в похід 8 банок консервів. За два дні вони з’їли 5 банок. Скільки банок консервів залишилось?
На лісовій галявині було 10 зайчиків. Невдовзі, злякавшись лисиці, три зайчики втекли геть. Решта зайців заховалися на галявині. Скільки зайчиків заховалося на галявині?
У вазі було 5 огірків і 5 помідорів. Для салату використали 4 помідори. Скільки помідорів залишилось?
Оксана виготовила 8 ялинкових прикрас. 5 прикрас вона принесла у школу. Скільки ялинкових прикрас залишилося в Оксани?
У бочці було 9 відер води. Для поливання городу використали 6 відер води. Скільки відер води залишилось у бочці?
У гаражі стояло 10 таксі. Три таксі виїхало. Скільки таксі залишилось у гаражі?
На лавці сиділо 5 дітей. Три дівчинки пішли додому. Скільки дітей залишилося на лавці?
У підвал веде 7 східців. Хлопчик зійшов на три східці вниз. Скільки східців йому залишилося ще подолати?
У глечику 10 склянок молока. За сніданком випили 7 склянок. Скільки склянок молока залишилось?
Черговим по класу треба помити 7 горщиків з квітами. Вони вже помили 5. Скільки горщиків залишилося ще помити?
Додаток В. Тема уроку. Задачі на знаходження суми і остачі
Мета уроку. Ознайомити учнів з текстовими задачами на знаходження суми й остачі, навчити їх читати і сприймати текст задачі. Домогтися, щоб кожен учень засвоїв структуру задачі: умова і запитання та основні елементи її розв’язування (умова, запитання, розв’язання, перевірка і відповідь задачі). Формувати вміння і навички дітей вибирати потрібну дію, пояснювати вибір дії при розв’язанні задач на знаходження суми й остачі.
І варіант
Задача. В Іринки було 4 листівки, а в Олі — одна. Скільки листівок було у дівчаток?
І. Вчитель читає задачу частинами.
В Іринки було 4 листівки. Іринко, вийди до дошки і візьми зі столу 4 листівки. Лічи їх і клади у конверт. (Іра лічить листівки і кладе їх у конверт).
Скільки листівок було в Іринки?
В Іринки було 4 листівки.
В Олі була одна листівка. Олю, йди до дошки і візьми зі столу одну листівку. Поклади її у конверт. (Оля бере листівку і кладе її у конверт).
Скільки листівок було в Олі?
В Олі була одна листівка.
В Іринки було 4 листівки, а в Олі — одна. Це умова задачі.
Прочитай умову задачі, Андрійку.
В Іринки було 4 листівки, а в Олі — одна.
Що прочитав Андрійко?
Андрійко прочитав умову задачі.
Скажіть хором: «Умова задачі». Три-чотири!
Умова задачі.
Про що потрібно дізнатись?
Скільки листівок було у дівчаток.
«Скільки листівок було у дівчаток?» — це запитання задачі.
Прочитай запитання задачі, Сергію.
«Скільки листівок було у дівчаток?»
Що прочитав Сергій?
Сергій прочитав запитання задачі.
Скажіть хором: «Запитання задачі». Три-чотири!
Отже, задача складається з умови і запитання.
«Розв’язати задачу» означає знайти відповідь на її запитання.
Як дізнатися, скільки листівок у дівчаток? Яку дію треба виконати – додавання чи віднімання? Подумайте: в Іринки було чотири листівки, а в Олі — одна.
Треба до числа 4 додати 1.
Вчитель записує на дошці, а учні — в зошитах: «4 + 1».
Чому виконуємо дію додавання?
Якщо в Іринки було 4 листівки, а в Олі — одна, то число листівок, які були у дівчаток, дорівнює сумі чисел 4 і 1. 4 плюс 1, дорівнює 5.
Запишемо: 4+1=5.4+1=5 — це розв’язання задачі.
Повторіть хором: 4+1=5 – це розв’язання задачі. (Учні повторюють).
Що означає число 5?
У дітей було 5 листівок.
Ми відповіли на запитання задачі — отже, ми розв’язали задачу. У дівчаток було 5 листівок — це відповідь задачі, Повторіть хором: »Відповідь задачі». Три-чотири!
Відповідь задачі.
Процес розв’язування задач складається з таких частин: умова, запитання, розв’язання, відповідь.
II. Первинне закріплення нового матеріалу
З яких частин складається процес розв’язування задачі? Пригадати це нам допоможуть Петрусь, Галинка, Надійна й Олег. (Діти виходять до дошки). Петрусь виконуватиме роль умови задачі. Він назве свою роль і прочитає умову задачі. Галинка матиме іншу роль — вона прочитає запитання задачі. Надійка прочитає розв’язання задачі, а Олег— відповідь задачі. (Учні виконують свої ролі).
Розглянемо задачу: «В Андрія було 5 яблук. Два яблука він віддав Сергію. Скільки яблук залишилося в Андрія?»
Прочитай умову задачі, Ігор.
В Андрія було 5 яблук. Два яблука він віддав Сергію.
Що прочитав Ігор?
Ігор прочитав умову задачі.
Прочитай запитання задачі, Назаре.
«Скільки яблук залишилося в Андрія?»
Що прочитав Назар?
Назар прочитав запитання задачі.
Яку дію треба виконати, щоб знайти відповідь на запитання задачі?
Треба виконати дію віднімання.
Чому треба виконати дію віднімання?
Андрій віддав 2 яблука, їх у нього стало менше.
Прочитай розв’язання задачі, Наталю.
Від числа 5 відняти 2, буде 3.
Запишіть розв’язання задачі в зошит. (Запис у зошиті: 5-2 = 3).
Чи правильно ми розв’язали задачу?
Ми одержали число 3, яке менше, ніж 5. Отже, задачу ми розв’язали правильно.
Прочитай відповідь задачі, Маринко.
В Андрія залишилося 3 яблука.
Прочитай умову, запитання, розв’язання і відповідь задачі, Світлано.
Умова задачі: «В Андрія було 5 яблук. Два яблука він віддав Сергію»;запитання задачі: «Скільки яблук залишилося в Андрія?»; розв’язання задачі:»Від числа 5 відняти 2, буде 3″; відповідь задачі: «В Андрія залишилося 3 яблука.».
II варіант
Задача. Горобчик знайшов спочатку 3 вишеньки, потім — ще 2 вишеньки. Скільки всього вишеньок знайшов горобчик?
— Горобчик знайшов 3 вишеньки і поклав їх у гніздечко. (Вчитель показує З вишеньки і кладе їх у гніздечко). Це ми знаємо. Потім горобчик знайшов ще дві вишеньки. (Вчитель показує 2 вишеньки, які також кладе в гніздечко). Це ми так само знаємо. Скільки всього вишень знайшов горобчик? Про це ми не знаємо. Складаємо задачу: «Горобчик знайшов спочатку 3 вишеньки, потім — ще 2 вишеньки. Скільки всього вишеньок знайшов горобчик?» Назвемо спочатку те, що ми знаємо. Ми знаємо, скільки вишень знайшов горобчик спочатку — три. (На набірному полотні виставляється картка з цифрою 3). Потім горобчик знайшов ще дві вишеньки. (На набірному полотні виставляється картка з цифрою 2). Це умова задачі. Отже, будь-яка задача складається з умови і запитання. Щоб розв’язати задачу, треба знати, яку дію потрібно виконувати — додавання чи віднімання і чому. Якщо горобчик знайшов спочатку 3 вишеньки, а потім ще дві, то число знайдених вишень дорівнює сумі чисел 3 і 2. (На набірному полотні між цифрами 3 і 2 вчитель виставляє знак «+».) Скільки буде, якщо до числа 3 додати 2?
Буде п’ять.
Запишіть у зошитах: 3+2 = 5.
Ми записали розв’язання задачі: до числа 3 додати 2, буде 5.
Прочитайте відповідь задачі.
Горобчик знайшов 5 вишеньок.
Отже, ми дали відповідь на запитання задачі. Це означає, що задачу ми розв’язали.
Первинне закріплення нового матеріалу проводиться так само, як і в першому варіанті фрагмента уроку.
r на время 
, где (2) 
, где (3) 
(сила Гука). Потенциальная энергия упругих сил квадратично зависит от смещения:
. (3.70)
, где 
, (3.71)
. (3.72)
, (3.73)
. (3.73а)
. (3.74)
, (3.75)
, (3.76)
. (3.77)
и 
, связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2.), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов 
, (3.78)
. (3.79)
и 
различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.
, (3.81)
. (3.82)
и 
отличаются от гамильтониана на постоянную величину 
соответственно.
(3.83)
(3.84)
и 
еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на 
соответственно:
, (3.85)
. (3.86)
(3.87)
. (3.88)
) и (
) отличны от волновой функции исходного состояния Ψυ, а собственные значения 
отличаются от исходного ευ на постоянную величину. Функции (
, на величину 2Ω сдвинутый вниз по отношению к уровню состояния Ψυ, т.е. оператор 
произвел понижение уровня на один номер:
. (3.89)
. (3.90)
и 
, полученные с помощью операторов 
отвечает уровень 
, а 
, т.е.
. (3.91)
. (3.92)
.
(3.93)
:
, (3.94)
. (3.95)
(3.96)
. (3.97)
.
является собственной функцией гамильто-ниана. Поэтому для расчета основного уровня достаточно подействовать по-следним на
(3.98)
. (3.99)
(3.100)
с точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ-го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ:
. (3.101)
, (3.102)
и оператор повышения 
, необходимый для полу-чения 
, примут вид:
, (3.103)
. (3.104)
, который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя Аυ, и поэтому Ψυ передается формулой:
(3.105)
представляет собой бином, составленный из степеней переменной s и оператора дифференцирования 
, который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты 
степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду:
, (3.106)
– многочлен степени υ, называемый полиномом Эрмита. Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности:
. (3.107)
. (3.108)
, (3.109)
. (3.110)
. Это же имеет место и для других состояний.
, на-зываемым среднеквадратичной амплитудой осциллятора. Произведем соответ-ствующие расчеты; вновь обращаясь к 5-му постулату:
, (3.111)
(3.112)
. (3.113)
, (3.114)
и 
. (3.115)
усреднена по всем положениям осциллятора, а понятие точной траектории и предельного отклонения не имеет смысла в квантовой механике.
и 
(3.120)
(1.1)
(1.2) 
(1.3)
(1.4)
, (2.1)
(1.5)
где C1f С2> Ск – расчетная приземная концентрация загрязняющих веществ характеризуемого производства; ПДК^ ПДК2, ПДКК – ПДК данных веществ;
— показатель фоновых концентраций; N1t N2f NH – переводные 
= 958
— число фактически отработанных человеко-дней целодневных простоев
— число человеко-дней неявок.
182750/185105=98,728
127307,2/958=132,888
103751/182750=0,568
).
(1.4.1)
(1.4.2)
(1.4.3)
(1.4.4)
(1.4.5)
(1.4.7)
(1.4.8)
(1.4.9)
(1.4.10)
= 0,750 , или 75,0%;
= 1,2 , или 120,0%
= 1,1 , или 110,0%;
= 1,0 , или 100,0%
, или 89,0%
, или 112,0%
, или 110,1%
, или 98,0%
= 44 500-50 000 = -5500 руб.;
= 49 000 -44 500 = + 4500 руб.
(1.4.11)
(1.4.12)
, или 94,4%
(1.4.13)
и 
данного индекса:
(1.4.14)
и 
показывают относительное и абсолютное изменение средней себестоимости за счет двух факторов — среднего изменения собственно себестоимостей и изменения структуры выпуска продукции.
, характеризующий изменение средней себестоимости за счет только себестоимости, рассчитывают по формуле
(1.4.15)
(1.4.16)
(1.4.17)
(1.4.18)
Ч
(1.4.19)
Ч 
(8.20)
, или 107,1%
, или 115,4%
= 65:70 = 0,928 , или 92,8%.
75-70 = 5 руб.;
65-70 = -5руб.
на предприятии 1 с 33,3% 
до 50% 
, где себестоимость ниже.