Автор: admin

Введение.

Проблема идентификации линейной динамической системы заключается в создании модели процесса по его наблюдаемым входным и выходным сигналам в детерминистской или стохастической обстановке. Процесс идентификации включает в себя две независимые процедуры, а именно, структурную идентификацию и идентификацию параметров.

Когда неизвестны структура объекта и соответствующие физические законы, которым подчиняется его поведение, проводятся эксперименты, направленные на выявление структуры объекта и законов его поведения методами структурной идентификации. В случае, когда известна структура объекта (т.е. существует модель характеризующая его свойства), а неизвестными являются некоторые его характеристики, описываемые конечномерным вектором, последние определяются методами параметрической идентификации.

Постановка задачи

Целью данной дипломной работы является исследование нового метода параметрической идентификации основанного на синтезе метода максимального правдоподобия и метода квадратно-корневого информационного фильтра (ККИФ), сравнение его с другими существующими алгоритмами с точки зрения вычислительной точности, быстродействия и сложности, а также реализация данного метода на ЭВМ.

Метод

Как известно, оценкой максимального правдоподобия является значение оцениваемых параметров, которое максимизирует вероятность события, при котором наблюдения, сгенерированные с подстановкой оцениваемых параметров, совпадают с действительными значениями наблюдений. Вычисление оценки максимального правдоподобия может быть итеративно выполнено при помощи характеристического уравнения, которое включает в себя градиент обратного логарифма функции правдоподобия и информационную матрицу Фишера. Вычисления функции правдоподобия и информационной матрицы Фишера требуют применения фильтра Калмана (а также его производных для каждого параметра оценивания), который, как известно, не обладает достаточной устойчивостью. Бирман, занимавшийся построением численно устойчивых алгоритмов фильтрации, предложил для вычисления оценки максимального правдоподобия итеративным образом использовать квадратно-корневой информационный фильтр. В отличие от традиционного фильтра Калмана, ККИФ позволяет избежать численной неустойчивости, являющейся результатом вычислительных погрешностей, поскольку вместо ковариации ошибки оценок на этапах экстраполяции и обработки измерений, по своей природе положительно определенных, ККИФ оперирует с их квадратными корнями. Это значит, что вычисление квадратного корня равносильно счету с двойной точностью ковариации ошибок, кроме того устраняется опасность утраты матрицей ковариаций свойства положительно определенности. Недостатком данного метода является присутствие операций извлечения квадратного корня.

Таким образом, вычисление оценки максимального правдоподобия может быть осуществлено итеративно по следующей формуле:

[pic] (1) где [pic] — конечномерный вектор оцениваемых параметров; [pic] — индекс, определяющий номер итерации; [pic] — информационная матрица Фишера; [pic] — градиент функции максимального правдоподобия.

Стоит заметить, что итеративные алгоритмы, подобные (1), в среднем сходятся за меньшее число шагов, чем те алгоритмы, которые включают в себя только вычисления [pic]. С другой стороны, алгоритмы, содержащие [pic] и
[pic], требуют больше вычислений на каждом шаге.

Для эффективного вычисления градиента функции максимального правдоподобия при использовании ККИФ в фильтрации данных, величины, входящие в выражение для [pic], представляются непосредственно через величины, значения которых вычисляются ККИФ-ом. При этом, если заменить ожидаемые значения переменных измеренными, то матрица Фишера также вычисляется через значения получаемых ККИФ-ом. Но что самое интересное, так это то, что в случае использования фильтра Калмана для вычисления градиента, необходимо запустить дифференцирующий фильтр Калмана для каждого из параметров [pic]. В схеме же ККИФ этот ”набор” фильтров заменяется расширенными массивами данных, к которым и применяются ортогональные преобразования.

Заметим, что нахождение оценки максимального правдоподобия эквивалентно минимизации обратного логарифма функции правдоподобия, тогда критерием для метода является выражение:

[pic] (2) где [pic] — невязка, [pic] — остаточная ковариация (т.е. ковариация невязок), подразумевается, что значения невязок [pic] в каждый момент времени [pic] независимы. Независимость же невязок обеспечивается при оптимальном фильтре, т.е. при точно известных значениях параметра [pic]. Из этого предположения следует, что начальные значения для параметра должны быть достаточно близкими к истинным его значениям.

Выводы

Факт сходимости алгоритма максимального правдоподобия к оптимальным значениям параметров теоретически является недоказанным, поэтому в качестве основного метода исследования будем считать вычислительные эксперименты.

В рамках данного дипломного проекта были проведены следующие эксперименты:

. Выявление зависимости точности оценивания от количества измерений.

. Выявление зависимость точности оценивания от начальных условий для оцениваемых параметров.

. Выявление зависимости времени оценивания от размерности задачи.

. Проверка на сходимость метода с полностью наблюдаемой и ненаблюдаемой моделью системы.

. Сравнение точности оценивания данного метода с другими существующими методами.

. Сравнение времени оценивания данного метода с другими существующими методами.

После проведения серии вычислительных экспериментов были получены следующие результаты:

. Вышеописанный метод требует значительного количества времени для одной итерации по сравнению с другими методами параметрической идентификации, поскольку требуется вычисление градиента обратного логарифма функции правдоподобия и информационной матрицы Фишера.

Данный факт показывает, что метод является достаточно сложным в вычислительном отношении.

. Сходимость метода в значительной степени зависит от устойчивости матрицы перехода из состояния в состояние, от наблюдаемости динамической системы объекта, а также от количества оцениваемых параметров (наблюдаемость динамической системы является необходимым условием сходимости методов параметрической идентификации).

. Метод критичен к начальным оценкам параметров.

Заключение

В данном дипломном проекте была проведена следующая работа:

. Теоретически проанализирован алгоритм параметрической идентификации основанный на методе максимального правдоподобия с использованием квадратно-корневых информационных фильтров.

. Данный метод программно реализован на ЭВМ.

. Для проведения сравнительных экспериментов программно реализованы другие известные методы параметрической идентификации.

. Поставлены эксперименты на выявление основных преимуществ и недостатков выше описанного метода по сравнению с другими реализованными методами.

. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе сделаны выводы.

|Билет№1 |Билет №2 | |
|1)Функция y=F(x) |1)Точка Х0 наз-ся |Билет №3 |
|называется |точкой максимума |1)арксинусом числа а |
|периодической, если |функции f, если для |называется число, для|
|существует такое |всех х из некоторой |которого выполнены |
|число Т, не равное |окрестности точки х0 |следующие два |
|нулю, что для любых |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 0. Мы |следовательно, |
|1, тогда a^x2 >a^x1 |показали, что нашлось|уравнение cosx=a |
|(по свойству |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |
|степени). А это |котором значение |именно,x=-arccos a. |
|означает, что функция|логарифмической |Учитывая |
|y=a^x1 при a>1 |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|
|возрастает на всей |– произвольное |y= cos. Делаем вывод,|
|области определения. |действительное |что решением |
|Докажем, что если 0 s и 0 | |
|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В | |
|всей области |неравенстве (1) | |
|определения. 6) |сравниваются два | |
|Показательная функция|значения | |
|дифференцируема в |показательной | |
|каждой точки области |функции. Поскольку | |
|определения, |при a>1 показательная| |
|производная |функция возрастает, | |
|вычисляется по |большее значение | |
|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть | |
|ln a. (график на |только при большем | |
|рисунке 29) |значении аргумента, | |
| |т.е. logax2 > logax1.| |
| |б)Логарифмическая | |
| |функция y=logax | |
| |убывает на всей | |
| |области определения, | |
| |если 01; | |
| |отрицательные | |
| |значения, если 02. |loga1=0 |
|(-Пи.2 ; Пи.2) |Ф-ция f(x)=3^x |logaа=1 |
|функция y=tgx |непрерывна на |loga(ху)= logaХ+ |
|возрастает, значит, |множестве всех |logaУ |
|на этом промежутке, |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|
|по теореме о корне, |, а ее график можно |осн-ным лог-им |
|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством |
|один корень, а |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |
|именно, x=arctg a |2) Арифметическим |показат-ной ф-ции |
|(рис 37). 2) |корнем n-ой степени |а^ х+у =а^x * а^y |
|Учитывая, что период |из числа а наз-ся |имеем |
|тангенса равен Пиn, |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^ |
|все решения |n-ая степень к-рого |logax *a^ logay =a |
|определяются формулой|равна а. |^logax +logay |
|x=arctg a + Пиn, |Св-ва корней: Для |loga(Х/У)= logaХ- |
|nпринадлежит Z. |любых натуральных n, |logaУ |
| |целого k и любых |logaХ^Р= рlogaХ |
| |неотрицательных чисел|Формула перехода: |
| |a и b выполняются |logaХ= logbX/ logbA |
| |следующие св-ва: | |
| |N sqr ab= n sqr a * n| |
| |sqr b | |
| |n sqr (a/b)= (n sqr | |
| |a)/( n sqr b) b ?0 | |
| |n sqr (k sqr a)= kn | |
| |sqr (a), k> 0 | |
| |n sqr (a) = kn sqr | |
| |(a^k) ,k>0 | |
| |n sqr (a^k)=( n sqr | |
| |a)^k (ели k?0,то а?0)| |
| | | |
| |Для любых | |
| |неотрицательных чисел| |
| |а и b таких, что а

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это

теорема Пифагора, и другое – деление отрезка в среднем и

крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой

золота, второе больше напоминает драгоценный камень”

Иоганн Кеплер

(Н.Васютинский. Золотая пропорция.-М.:Молодая

гвардия,1990,с.8)

1. СФЕРА АРХИТЕКТУРНЫХ ПРОПОРЦИЙ 1.1. Архитектурные пропорции и геометрия. Проблема гармонизации архитектурной формы возникла в древности с практикой строительства, проявляясь как противоречие между чувственным субъективным опытом человека, с одной стороны, и общественной нормами в строительной метрологии – с другой стороны.

Теория архитектурных пропорций развивалась не только как профессионально-эстетическое отражение практики, но и как процесс адаптации к архитектурным задачам представлений о геометрии и законах пространства, полученных в других областях знания (физика, философия, биология, психология и т.д.). В рамках профессиональной практики, эмпирическое познание законов гармонии осуществлялось через диалектическое отражение единства и противоположности модульных и геометрических систем пропорций.

Ориентация на необходимость гармонизации формы всегда опиралась на объективность избирательного подхода человека при восприятии пространства (т.е. на предположение о существовании в природе и механизмах восприятия особенных отношений, соответствующих живой материи, а в отдельных древних гипотезах – и природе всего космоса). Это утверждало гармонию как законную норму, как порядок отношений в геометрии объекта искусственной природы, соответствующий законам естественной природы. С древности, мерой архитектурных объектов выступал человек. Позже, под давлением социальных требований унификации и стандартизации, антропометрические системы измерения сменились абстрактными численными и линейными мерами.

Эмпирический поход получил импульс в развитии в связи с бурным ростом капиталистической промышленности (резко возросшие объемы и скорость строительства, новые технологии). Но утвердить в социальной практике право человека на эстетику и гармонию, в противовес элементарной модульной системе (кубической решетке, основанной на механическом членении пространства на абстрактные доли — метры, сантиметры и миллиметры), ему не удалось.

К середине ХХ в. эмпирический подход, не смог отстоять свою состоятельность и исчерпал себя. К этому времени на базе традиционной геометрии были отработаны различные методы пропорционирования. Но в условиях массового индустриального строительства, осуществляемого анонимными заказчиками архитектуры, их применение было крайне ограничено. Одновременно, на уровне идей и концепций, были выработаны новые подходы к нормативному обоснованию объективности пространственной гармонии.

Серьезный шаг в этом направлении сделал Цейзинг (середина ХIХ века), установивший связи пропорций тела человека с отношениями “золотого сечения” (числами Фибоначчи) и возродившей антропоцентрическую идею в архитектурной метрологии (3). Спустя почти столетие, Ле Корбюзье реализовал идею Цейзинга в “Модулоре” — модульной системе для строительства, которая соответствовала статическим и динамическим пропорциям человека (7).

Расширился перечень прикладных математических средств архитектурной пропорции: векторный анализ в приложении к природным формам (20), модели геометрического кодирования зрительной информации, так называемые коды размерно-пространственных структур (19), применение систем уравнений (теорема Пифагора и отношения среднепропорционального), как механизма выделения приоритетных отношений и конструирования особых, архитектурных, модульно-геометрических (3,4,5,6) пространственных образований.

1.2 Зрительное восприятие и геометрия. Принцип соответствия пропорций архитектуры и человека, находит свое дальнейшее развитие на более тонком уровне отражения пространства человеком, в механизмах зрительного восприятия. Он связывается с законом Вебера-Фехнера (9,12): процесс отражения пространственной информации зрительной системой связан с логарифмическими механизмами восприятия, преобразования, коммуникации и представления ее в зрительной коре. Иначе, сетчатка логарифмирует изображенные на ней проекции объектов, превращая действительные пространственные величины в частоты колебаний нейронов. Степени возбуждения, или пространственные частоты, пройдя длинный путь, передают степень возбуждения в мозг, и возбужденная зрительная кора воспроизводит образ объекта восприятия, превращая степени, в обратном порядке, в действительные отношения. Это уже специфическая оптика, реализуемая на уровне прямых и обратных связей нервной деятельности и поддержанная электрическими и химическими процессами. Не удивительно, что с логарифмическими механизмами восприятия зрительной информации естественно связываются отношения “золотого сечения”, сочетающего в себе, как арифметическую, так и геометрическую прогрессии, и обладающего универсальными логарифмическими особенностями (9).

С позиций современного знания о зрительном восприятии, предположения древних ученых и философов (Пифагорейская школа, Эмпедокл, Евклид) о том, что глаза испускают особые лучи во внешнее пространство, благодаря чему человек видит (Л.В.Тарасов, А.Н.Тарасова, Беседы о преломлении света, — М.: Наука, 1982 г. с.123), сегодня представляются не такими уж и наивными. Они правильно отражают принцип зрения, с тем уточнением, что мозг действительно испускает “лучи”, но не во внешнее пространство, а на сетчатку, и производит локацию пространственной геометрии внешнего пространства, но представленной в проекциях на сетчатке оптической системой глазного яблока.

Во второй половине ХХ века появляются информационные подходы (приложение закона Клода Шеннона о количественной мере информации к исследованию архитектурных пропорций), согласующиеся с законом Вебера-Фехнера и обосновывающие логарифмические принципы отражения пространства (13), но уже с позиций теории информации. Современное естествознание так же подтверждает логарифмическую природу физических явлений (например, периодичность, длительность). В частности, согласно второму началу термодинамики (закону энтропии), естественная природа теряет упорядоченность по логарифмической зависимости (11,21,24), т.е. процесс распада вещества периодически связан с его количеством (массой) в логарифмической форме.

Заметное расширение естественнонаучного начала в познании архитектурных пропорций характеризует не только кризис эмпирического познания, но и стремление к большей объективации знания, выходящее за рамки исследований возможностей абстрактных геометрических конструкций и численных мер. Кризис эмпирической методологии пропорций поставил новые задачи, связанные с более глубокой интеграцией в сфере интересов теории архитектурных пропорций математических, философских и физических моделей пространства (19,20). В этом отношении, физико-математические теории ХХ века, а так же философские работы, связанные с рефлексией результатов современной физики, представляют особую сферу для исследования категории гармонии вообще, гармонии в архитектурной геометрии, в частности.

1.3. Физика и геометрия природы. Как показывает анализ, современная физика пока не имеет готовых идей о законах и геометрии пространства-времени, приложимых к архитектуре в части сопоставимости физической и архитектурной геометрий. Даже обнадеживающие в начале ХХ века разработки А. Эйнштейна, сначала, в специальной (СТО), а потом и в общей (ОТО) теориях относительности, не привели к ожидаемым результатам. Практически, для всех областей знаний (за пределами физики), пространство-время носит мифологическую форму отчужденного от реальности “сюрреалистического” бытия природы. Релятивизм, разрушивший классическую традицию, по существу так и не представил взамен более убедительной, доступной и априори очевидной для человека идеи геометрии пространства-времени.

В СТО четырехмерное пространство-время Минковского, подобно трехмерному пространству и времени классической физики, носит абсолютный характер. В известном смысле пространство Минковского является экстраполяцией абсолютного трехмерного пространства Исаака Ньютона на еще одно измерение (21). Пространство Минковского однородно и изотропно (но уже в четырех измерениях), т.е. аналогично пространству Ньютона: как в механике Ньютона, так и в СТО, пространство-время пассивно. Это тот же сосуд, внутри которого тела, поля и т.п., движутся, не оказывая обратного воздействия на пространство-время (21). А.Эйнштейн сам отказался от СТО, в которой новый принцип относительности еще следует материалистическим принципам классической механики Ньютона. Он следующим образом объяснял отказ от СТО: “Итак, прежний способ, заключающийся в определенном построении координат в пространственно-временном континууме, оказывается неприменимым; представляется, что не существует пути, который бы позволил приспособить к четырехмерному миру такие координатные системы, чтобы с помощью их можно было бы ожидать особенно простой формулировки законов природы. Поэтому не остается ничего другого, как признать все мыслимые координатные системы принципиально равноправными для описания природы” (21).

В ОТО Эйнштейн заложил основы геометризации уравнений материи. Дж. Уиллер так выразил идею Эйнштейна: “Я глубоко потрясен сознанием всего величия пророческой мечты Эйнштейна, владевшей им на протяжении последних 40 лет его жизни. Я спрашиваю себя, как воплощается сегодня надежда Эйнштейна понять материю как форму проявления пустого искривленного пространства-времени. Его давняя мечта, так и не осуществленная им на протяжении всей его жизни и к осуществлению которой не приблизились еще и сегодня, может быть выражена древним изречением “все есть ничто”. Сегодня эту мысль можно высказать в виде рабочей гипотезы: материя есть возбужденное состояние динамической геометрии” (16).

Как отмечает Г.И.Шипов (22) так же как в СТО, так и в ОТО Эйнштейну не удалось преодолеть фундаментальное и принципиальное противоречие, свойственное абсолютной системе отсчета Ньютона: пространство-время и материя по прежнему представляют собою раздельные сущности. Будущее теории пространства-времени, которая бы устранила это противоречие, связывается с физическим вакуумом, как некоторой первоматерии, положившей начало вещественной эволюции Вселенной (11,21,22). Геометрия этой не квантованной субстанции связана с кручениями и лишена привычных представлений о трансляционных координатах пространства-времени (22). В частности, концепция физического вакуума Г.И.Шипова (22), базируется на ОТО А.Эйнштейна, но представляет движение в 10-мерной форме, где к 4 трансляционным координатам пространства-времени приложены 6 торсионных уравнений, описывающих изменение ориентации четырехмерного пространства-времени (три уравнения Эйлера, описывающих вращательное движение твердого тела для центра масс, и 3 неголономных координаты – приращения углов Эйлера, описывающих реальное, а не координатное, как у А.Эйнштейна, вращение).

Современное направление познания физического движения связывается с абсолютно геометризированными уравнениями движения, исключающими его классические характеристики (массу, энергию, импульс и т.д.). Но как бы ни подтверждался опытными данными предельно геометризированный подход к описанию природы, проблема понимания и объяснения объективных законов движения материи (равно как и причинно-следственное обоснование идей геометризации) остается открытой. Неразрешенность фундаментальной для физики проблематики, связанной с силами инерции (реальны ли они вообще? что является их источником? являются ли они внешними или внутренними по отношению к изолированной системе?) (22), является иллюстрацией скромной реализации в естествознании конца ХХ века, идей начала ХХ века.

1.4. Математика и физические модели материи. Кризис в естествознании косвенно отражает и прикладные проблемы математики. Применяемые в физике математические средства, не всегда доступны, не только специалистам другим областей, но даже ограниченному кругу физиков. В тоже время априори очевидно, что живые системы, органические формы природы пользуются какими-то чрезвычайно простыми механизмами вычислений, тесно связанными с особенностями симметрии их организации.

Одна из прикладных к физике проблем математики связана с интегральным исчислением, при котором, например, для зарядов и фотонов (как точечных масс), интегрирование ведется в пределах от 0 до, в результате чего соответствующие интегралы обращаются в бесконечность. Создатель квантовой электродинамики П.Дирак (22) эту проблему сформулировал в радикальной форме: “Правильный вывод состоит в том, что основные уравнения неверны. Их нужно существенно изменить, с тем, чтобы в теории вообще не возникали бесконечности и чтобы уравнения решались точно, по обычным правилам, без всяких трудностей. Это условие потребует каких-то очень серьезных изменений: небольшие изменения ничего не дадут”.

Существуют проблемы, связанные с математикой мнимых и комплексных чисел. Появившись в математике как пробочный продукт операций с действительными числами, мнимые и комплексные числа долгое время не могли получить геометрической интерпретации, не говоря о физической (И.К.Андронов, Математика действительных и комплексных чисел, — М.: Просвещение, 1975 г, с.96-115). Появление мнимых чисел в физике вызывало серьезные теоретические споры, а их физическое толкование, например, в волновой функции Шредингера Максом Борном, связывалось с вероятностными характеристиками движения в микромире (11).

Подобные споры, после представления Минковским геометрической интерпретации пространства-времени, были связаны с правомочностью включения мнимой единицы () в уравнения. Это произошло после того, как в 1905 году Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца математически соответствуют повороту в четырехмерном пространстве имеющем три пространственных измерения и одно временное измерение — три действительных координаты х, у, z и мнимую координату времени ict. В 1908 году Минковский завершил построение четырехмерной модели пространства-времени. В соответствии с подходом Минковского, вместо действительной сt можно использовать мнимую ict. Четырехмерные координаты, в которых используется мнимое время, называют координатами Минковского, в физике используются ограниченно, носят название Галилеевых координат и, по мнению физиков, более пригодны для глубокого анализа явлений, однако требуют усложнения математического аппарата (21).

Утверждение Минковского о единой природе пространства и времени вызвало критику ученых. В частности Дж. Уиллер отмечает: “Но теперь уже понимают, что нельзя преувеличивать утверждений Минковского. Совершенно справедливо, что время и пространство, неразделимые части единого целого. Однако неверно, что время качественно то же самое, что пространство. Почему же это неверно? ….. Какой же еще может быть к ним законный подход, как не равноправный, в формуле для пространственно-подобного интервала? Равноправный подход – конечно, но одинаковая природа — никак нет! В этой формуле есть знак минус, и его не изгнать оттуда никакими уловками. Знак минус отражает разную природу пространства и времени. Перейти к мнимому числу– вовсе не означает избавиться от этого “минуса”. Это случилось бы, если бы величина it была реальной, но она мнима. Нет часов, которые бы показывали секунд или метров. Реальные часы показывают реальное время, например t = 7сек. Поэтому член (время) всегда противоположен по знаку (расстоянию). Никакими закручиваниями и поворотами никогда не удастся заставить оба знака совпасть друг с другом” (14).

Аналогичную точку зрения по поводу мнимой единицы высказывает Э.Шмутцер: “…с помощью искусственного приема – введения мнимой единицы i — мы чисто формально наделяем время теми же качествами, что и пространство. Это дает возможность обобщить понятие вращения в трехмерном пространстве на четырехмерное пространство. Впрочем, это чисто математический трюк, за которым не кроется никакого физического смысла, но который оказывается полезным для некоторых целей” (21). Уравнения физики (волновая функция Шредингера (11), античастицы П.Дирака (11), теория физического вакуума Г.И.Шипова (22) и другие) вынужденно включают мнимую единицу, связывая с ней вероятностные характеристики движения. Представляется, что вероятностная трактовка не снимает проблем физической интерпретации мнимых и комплексных чисел в физике.

1.5. Философия, математика, диалектика. Математика, долгое время развивавшаяся в направлении узкой специализации, в самой себе, сегодня нуждается в синтезе и диалектической классификации математического знания, обслуживающего естественнонаучные исследования. Здесь уместно вспомнить о попытках Ф.Энгельса в “Диалектике природы” провести классификацию форм движения материи и соответственно классификацию наук, изучающих эти формы, опираясь на исследование диалектического содержания математики, механики, физики, химии, биологии (23). При этом Энгельс в математике выделял проблему кажущейся априорности математических абстракций: “Так называемые аксиомы математики – это те немногое мыслительные определения, которые необходимы в математике для исходного пути… Спенсер прав в том отношении, что кажущаяся нам самоочевидность этих аксиом унаследована нами. Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии” (23). Иначе, Ф.Энгельс указывает на то, что в простых числовых величинах (1;-1;; 0), и в простых операциях (сложение, вычитание, умножение и деление), скрыты априори очевидные законы диалектики: закон единства и борьбы противоположностей, закон перехода количественных изменений в качественные, закон диалектического отрицания. Очевидность этих законов в действительности является естественной способностью человеческого сознания, а, следовательно, и естественной способностью диалектического отражения природы человеком.

Развитие естествознания сегодня требует философско-математического переосмысления таких системообразующих категорий как “относительное” и “абсолютное”. Требуется внедрение новых идей в понимание систем отсчета пространства-времени, неотделимых от движения самой материи. Накопленные в различных областях знания, а так же множество конструктивных идей в “пограничных зонах” смежных областей знаний, еще не получивших статуса научного, позволяют надеяться на возможность разработки геометрических моделей, способных объективно отражать законы движения в простой, классической форме, естественной для чувственного человеческого восприятия.

2. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ

“Насколько я могу судить, все априорные утверждения физики имеют своим источником симметрию”

Weyl H. Symmetry–Princeton: Princeton Universal Press,1952

2.1. Методология естествознания. В качестве методологической основы анализа геометрических идей в современном естествознании (в плане их применения в теориях пропорций) могут быть принципы, на которые Э.Шмутцер (21) указывает как на основные, для создания физической теории: принцип простоты (максимально полное описание с помощью минимального числа законов); принцип ковариантности (независимость законов, наполненных физическим содержанием от субъекта и произвольно выбираемых параметров системы отсчета); геометрические основы (возможен переход к геометрии с кручениями); квантовый характер (выход за рамки классических представлений); правила перестановок и динамические законы; симметрия; причинность; принцип непрерывности познания (законы на более высоком уровне включают нижние, как частные случаи). Исследование геометрических моделей в физике с позиции соблюдения принципа симметрии, и его преемственности при переходе с одних уровней на другие, может быть принято для анализа проблем геометрии архитектурных пропорций.

2.2. Принцип непрерывности познания. Принцип непрерывности познания предполагает естественный переход от старой теорий к новой, корректный ввод новых представлений и процедур преобразований, связанных с математическим переоформлением прошлого знания. Анализируя проблемы геометрии релятивистской физики ХХ века и следуя принципу непрерывности в познании, мы должны: 1) вернуться к той исторической ситуации, когда была создана теория относительности; 2) к причинам отрицания СТО и разработки ОТО; 3) к тому фундаментальному открытию, которое привело к отрицанию абсолютной системы отсчета Ньютона — к открытию конечной величины скорости света.

2.3. Принцип симметрии. Принцип симметрии один из ведущих принципов познания. Он лежит в фундаменте диалектики. Законы единства и борьбы противоположностей по существу отражают основной закон симметрии связанный с различием и тождеством диалектических сторон явления, составляющих сущность его движения, развития.

Пьер Кюри рассматривал симметрию как результат диалектического взаимодействия объекта со средой. Он придавал симметрии огромную роль в исследовании физических явлений: “Думаю, что представляет интерес ввести в изучение физических явлений понятие о симметрии, столь привычной кристаллографам” (Пьер Кюри, 1894г. “О симметрии физических явлений; симметрии электрического и магнитного поля”). По Кюри, симметрия порождающей среды накладывается на симметрию тела, образующегося в этой среде. Получившаяся в результате форма тела сохраняет только те элементы собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами среды, т.е. сохраняются только тождественные свойства (среда, тело–диалектические противоположности, порожденный объект — их единство).

Понятие симметрии, развиваемое Пьером Кюри, шире обыденного понимания симметрии как, например, зеркальное равновесие масс, и предполагает, прежде всего, симметрию как движение, как развитие, как отношение отрицания единичных свойств тела и среды и утверждения их общих свойств в форме особенного, порожденного ими нового тела (2,10,18). Другим примером динамической симметрии является процесс метаболизма, свойственный органическим формам, как единство синтеза и распада. При очевидном различии (жизнь и смерть), эти процессы находятся в отношении симметрии.

В научной методологии, смысл симметрии (отношений) так же предполагает, что фундаментальный закон должен быть инвариантным по отношению к действию некоторой операции симметрии (преобразования координат, функциональные преобразования и т.п.).

3. СИММЕТРИЯ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

3.1. Геометрия специальной теории относительности. Соответствует ли принципам симметрии модель пространства-времени, разработанная специальной теорией относительности с целью органичного включения открытой физической постоянной – скорости света в физическую теорию, взамен представлениям Ньютона, об отсутствии ограничений на скорость?

Геометрическим способом введения в физику световой константы и светоподобного интервала является псевдоевклидова геометрия (теорема Пифагора, связывающая в псевдоевклидовой метрике абсолютный и относительные интервалы пространства и времени). Пространство-время представлено ортогональными координатами и разделено образующими, для которых x = t (это взаимно-перпендикулярные, развернутые вокруг центра системы отсчета (x,t) под углом образующие (ct,-ct). Они разделяют ИСО на две области: область до световых скоростей и область сверхсветовых скоростей. Область до световых скоростей, в свою очередь, состоит из области прошлого и области будущего (Рис.1). Квадрат абсолютного интервала равен разности квадратов относительных интервалов пространства и времени:,.

3.2. Нарушение принципа симметрии специальной теорией относительности. Отметим следующие нарушения принципа симметрии в модели ИСО СТО:

1. Кроме скорости v (абсолютной скорости пробной частицы), и скорости с (абсолютной скорости света), в уравнениях присутствует скорость, физический смысл которой не ясен, кроме того, что она входит в выражение коэффициента Лоренцева сокращения (расширения). Как производная абсолютных скоростей v и c, она должна иметь аналогичный смысл и указывает на существование некоторого реального физического объекта, с движением которого она связана.

2. При равноправной v и c, отношения c/c = 1/1 = 1 и c/v = 1/ так же должны иметь смысл адекватный смыслу. Иначе, предположительно, в световой модели Вселенной должны существовать три типа равноправных ИСО, со своими коэффициентами сокращения (расширения).

3. Введение понятия светоподобного интервала, в связи с открытием в природе предельной скорости света (граничные параметры скоростей v=0, v=c), предполагает два типа равноправных ИСО, для которых состояние покоя формулируется относительно граничных параметров скорости света:, состояние покоя которой соответствует скорости v=0 (система отсчета Лоренца-Минковского в СТО) и, состояние покоя которой соответствует скорости света (фотон, как покоящаяся система). СТО не рассматривает такую равноправную. При заданном условии покоя v=c), покоится на образующих светоподобного конуса (сt ,-ct) на таких же законных основаниях как покоится при v=0. зеркальна. Если расширяется, то– сокращается. Скорость частицы в —, = c/v=. Так как — v в и в связаны скоростью света (или светоподобным интервалом), и являются относительными, связанными между собой светоподобным интервалом, подсистемами одной и той же системы отсчета. Иначе, светоподобный интервал это не только предельная величина скорости, что утверждает СТО, но, прежде всего, скорость, связывающая две равноправные, но качественно различные ИСО покоя в движении одной и той же “пробной массы”, т.е. системы отсчета присущих ей различных форм движения, например, как частицы — v и как излучения —. Эти скорости могут быть связаны с различной плотностью массы пробной частицы (например, v – скорость положительной плотности +p и — скорость отрицательной плотности -p).

4. В связи с тем, что в ИСО Минковского часть пространства-времени связана с досветовыми скоростями (конуса будущего и прошлого), а часть — со сверхсветовыми скоростями, она не только полностью не определена, но допускает нарушение исходного принципа своей конструкции – движение со сверхсветовой скоростью. Если допустить существование сверхсветовых скоростей, мы, при конструировании ИСО, должны отказаться от скорости света, связанного с ней и определяться в новом геометрическом принципе ИСО. Но это уже будет совершенно другая система отсчета.

5. В уравнении закона сохранения (например, для абсолютного интервала массы покоя):

1)

2)

Где — абсолютный интервал t-подобной массы покоя

— относительный интервал t-подобной энергии;

— относительный интервал x-подобного импульса

об абсолютной природе интервала можно говорить лишь в относительном смысле, в связи с применением, так как по аналогии с правой частью равенств 1) и 2), абсолютный интервал в левой части равенства, может быть выражен в форме. Интервал абсолютен только при.

Поскольку 1/1, 1/ не могут рассматриваться иначе, как равноправные (наравне с), ясно, что масса покоя 1),2) теряет свой абсолютный смысл, если ее рассматривать относительно = 1/ или = 1/1, т.е. представление абсолютности интервала 2) справедливо лишь при.

3.3. Незавершенность геометрии ИСО в СТО. Внутренние (нарушение симметрии в уравнении скоростей, наличие несистемных областей пространства-времени) и внешние (независимость системы отсчета от материи, неточность отражения движения в связи с гравитационными эффектами) противоречия ИСО в СТО, необоснованность выражения пространственно-временного континуума теоремой Пифагора в связи с принципиально различной природой пространства (как протяженной характеристики) и времени (как длительной характеристики), позволяют сделать вывод, что ограниченность ИСО в СТО связана, прежде всего, с незавершенностью, неразвернутостью геометрии ее координатного пространства.

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА МИНКОВСКОГО

С учетом вышесказанного, преобразование ИСО СТО Минковского, с целью снятия противоречий, предполагает две главных процедуры (рис.1, рис.2):

4.1. Мнимый поворот координатных осей пространства-времени Минковского.

А) Мнимый поворот х-подобной оси х (ИСО СТО) на до совмещения с отрицательной полуосью времени -t (конус прошлого) и превращением ее в отрицательную мнимую величину -iх, противонаправленную времени t (Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике, -М.: Наука, 1973, с.31-33). Закон сохранения (для интервала массы покоя) приобретает следующее выражение:

3)

Поворот не изменил отношений в формуле 2). Пространственный вектор приобрел отрицательный знак относительно положительного вектора и заменил суммой разность между двумя квадратами относительных интервалов ИСО СТО, но при этом, вошедшая в выражение импульса мнимая единица, вернула нас вновь к разности квадратов интервалов.

Б) Этому повороту соответствует аналогичный поворот и совмещение -ct и ct (далее) и, кроме того, общий поворот совмещенных осей () на в положение, перпендикулярное совмещенным осям (T,iХ), т.е в положение, занимаемое осью пространства ИСО СТО :

4)

Относительный интервал энергии () получил зеркальную, x-подобную форму, относительный интервал импульса (Мо* 1/), наоборот, t-подобную форму, абсолютный интервал Мо* / – x-подобную форму. Взятые относительно светоподобного интервала = 1/1, уравнения приобретают абсолютно идентичную количественную форму с зеркальной метрикой: свойство абсолютного интервала приобретает энергия (x-подобная и t-подобная), абсолютные интервалы в уравнениях 3) и 4) приобретают роль относительных импульсов. Абсолютные, комплексные: t-подобный и x-подобный интервалы энергии связывают в псевдоевклидовой геометрии Минковского пары относительных осевых противоположно направленных импульсов, при этом :

5)

6)

Природа псевдоевклидовой метрики связана с осевым (положительным и отрицательным) направлением относительных импульсов. Абсолютный интервал — комплексная величина. Квадрат абсолютного интервала энергии — полная энергия оси, равная разности квадратов импульсов (при скоростях и i). С учетом мнимой величины, не исключена возможность того, что разность квадратов импульсов в правой части равенства — это разность кинетической и потенциальной энергий. Характерной особенностью уравнений, кроме их зеркальной симметрии, является то, что при действительном и мнимом импульсах, интервал энергии выступает как абсолютный, комплексный, скалярный интервал, но в случае, если мнимый импульс приобретает действительную форму, комплексная энергия приобретает действительную форму и при = =, (прис), ее интервал равен нулю. В ИСО СТО условие равенства относительных интервалов выполняется при =1 (при скорости света). Второй особенностью является то, что из уравнений сохранения (в связи с переходом к = 1/1) , устранены бесконечные величины (уравнения 5), 6)). Кроме того, x-подобные (так же как и t-подобные) полуоси связаны теоремой Пифагора в Евклидовой метрике. При всех значениях разрешенных скоростей осевые и взаимно ортогональны.

4.2. Подвижный трехгранник Френе и пространство кручений. Поскольку вновь образованная, за счет зеркальной симметрии, ИСО уже не может быть связана с поступательным движением (обе ИСО имеют единый центр, и следовательно движение может быть связано с изменением направления скорости, в условиях отсутствия трансляций), поскольку при изменении скоростей координатное пространство не подвержено преобразованиям с кручениями осей подобно ИСО СТО, она может рассматриваться только как вращательная (торсионная) система отсчета, а движение в ней (расширение или сокращение), может рассматриваться как функция изменения состояния пробной массы (объема, плотности). В связи с вышесказанным, ИСО может интерпретироваться как комплексная форма соединения мнимого и действительного “подвижных” трехгранников Френе для случая кручений по направлениям базисных (нормального, касательного, бинормального) векторов. При этом, плоскость векторов нормального и касательного моментов, соответствующая относительным импульсам в и, представляется как соприкасающаяся плоскость, а третий вектор, ортогональный двум указанным – бинормаль, равен векторному произведению нормального и касательного векторов (Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике. – М.: Наука, 1973г., с.521-524).

Характерно, что нормаль (или главная нормаль), касательная и бинормаль – компоненты базисных векторов трехгранника Френе, связаны с кривизной и кручением пространства и лежат в основе тензорного определения кривизны пространства (например, тензоры Риччи второго ранга), примененного А.Эйнштейном в ОТО. В связи с комплексной формой выражения законов сохранения, ИСО представлена тремя (действительным, мнимым и комплексным) трехгранниками Френе. Результатом зеркальной симметрии двух трехгранников, подвижных в противоположных направлениях, является статичная система отсчета, в которой отсутствуют трансляционные координаты (т.е. отсутствует пространство-время). Потеря пространственно-временной определенности – цена перехода к шестимерному пространству кручений. В условиях зеркальной симметрии нормального и касательного базисных векторов, векторное произведение нормальной скорости (мнимой или действительной) на касательную (мнимую или действительную) в инерциальной системе отсчета будет иметь форму квадратов относительных скоростей соответственно = 11, ,.

Таким образом ИСО связана с кручениями, где: 1, и — относительные угловые скорости ; = 11, , — бинормальные (квадратичные) скорости. Импульсы и энергии в законах сохранения, соответственно, являются моментами (инерции) энергий и импульсов. Поскольку в полученной системе отсчета состояние покоя связано с = = или 0,707… скорости света, (при, связанной с массами положительной плотности и при, связанной с массами отрицательной плотности), состояние покоя результирующей системы будет характеризоваться нулевой плотностью покоя. (+p) + (-p) = 0, а сама система отсчета может рассматриваться как абсолютная система отсчета движения изолированной физической системы. Различие в метрике отдельных элементов системы отсчета отражает не отношения пространства и времени, а отношения между 3-мерными и 1-мерными элементами пространства скоростей (в частности нормальные и касательные скорости).

4.3. Уравнения законов сохранения в абсолютной системе отсчета. Геометрия преобразованной системы включает следующие основные законы сохранения (при следующих физических величинах):

— момент инерции (эквивалентный массе покоя),

1 — абсолютный интервал относительной угловой скорости 1 = с/с

— относительный интервал относительной угловой скорости = v/c, может, например, рассматриваться как угловая скорость положительной массы, как векторное разложение квадратичной бинормальной скорости на равные между собой нормальную и касательную скорости инерции положительной массы

— относительный интервал относительной угловой скорости может, рассматриваться как угловая скорость отрицательной массы, как векторное разложение квадратичной бинормальной скорости на равные между собою нормальную и касательную скорости инерции отрицательной массы

— угол между скоростью и скоростью 1

;;; -общая форма уравнения скоростей

Ниже, в принципиальной форме, приведены основные уравнения абсолютных и относительных интервалов моментов (в примерном виде по модулю), без учета изменения направлений векторов скоростей и мнимых характеристик крутящих моментов. Уравнения легко переводятся в чисто геометрическую форму для единичной сферы (при =1).

А) Относительные (нормальные и касательные правовинтовые и левовинтовые) моменты в соприкасающейся плоскости подвижного трехгранника Френе (всего — 4):

1а) — нормальный x-подобный интервал левого момента инерции

2а) — касательный x-подобный интервал левого момента инерции

3а) — нормальный t-подобный интервал правого момента инерции

4а) — касательный t-подобный интервал правого момента инерции

Б) Абсолютные (нормальные и касательные правовинтовые и левовинтовые) интервалы моментов инерции в соприкасающейся плоскости подвижного трехгранника Френе (всего – 4):

1б) — абсолютный x-подобный интервал (4-я четверть)

2b) — абсолютный t-подобный интервал правых (2-я четверть)

3b) — абсолютный осевой xt-подобный интервал нормальных (,) -моментов

4b) — абсолютный осевой xt-подобный интервал касательных (,) -моментов

В) Бинормальные 3х мерные моменты инерции (,) для (+P) и (-P) плотности на бинормали подвижного трехгранника Френе:

1в) — относительный интервал бинормального момента инерции -P плотности

2в) -относительный интервал бинормального момента инерции +P плотности

3в) абсолютный бинормальный момент инерции +P плотности

нормальный и касательный моменты инерции в соприкасающейся плоскости могут рассматриваться как производные (корни) от положительных и отрицательных бинормальных моментов: и, соответственно, могут принимать значения:;;;

4в) — относительный векторный бинормальный RL-момент инерции

где = — угол между и продолжением

5в) — относительный скалярный бинормальный RL-момент инерции

где = — угол между и продолжением

Кроме того, поскольку бинормальный момент является произведением нормального и касательного векторов, один из которых 3-мерный, бинормальный вектор представляется в его трехмерной проекции.

Г) Нормальное (действительное), касательное (мнимое) и бинормальное (комплексное) пространства 3-мерных x-подобных моментов.

1г) (, ,) – касательный x-подобный момент и его ХУZ-проекции

2г) () — нормальный x-подобный момент и его ХУZ -проекции

3г) ()- комплексный (результирующий) x-подобный момент и его ХУZ- проекции.

4г); 5г); 6г);

7г); 8г)

9г), при

10г), при

11г); 12г)

Уравнениям x-подобных моментов инерциального движения в системе декартовых координат, соответствуют инвариантные уравнения в полярных координатах (угол восхождения радиуса равен углу склонения, угол восхождения радиуса равен минус удвоенный угол склонения), отражающие специфику симметрии геометрии комплексного пространства (рис.4). При всех значениях скоростей, для пространственных модулей характерны среднепропорциональные отношения (11г, 12г).

Приведенные уравнения (а всего с учетом x-подобных, t-подобных, xt-подобных моментов, интервалов и результирующих моментов в их более 50: -13 осевых на нормали, — 13 осевых на касательной, — 13 RL-винтовых, между x-подобной и t-подобной четвертями, — 16 осевых xt-подобных на бинормали) демонстрирует богатство отношений закона сохранения движения, определяя геометрию инерциального движения на всем () диапазоне скоростей. С учетом различных, возможных вариаций мнимых и действительных моментов, общее количество уравнений сохранения значительно больше. Подобное многообразие мнимых, действительных и комплексных отношений инерциального движения проявляется, вероятно, не только на “виртуальном” уровне микро-материи (в мире микрочастиц), но и на других, более сложных макро- и мега- уровнях организации материи.

Переход из ИСО СТО в абсолютную систему отсчета можно проиллюстрировать следующим образом. Внешний наблюдатель явлений, происходящих в ИСО, неудовлетворенный тем, что гравитационные эффекты не обеспечивают, неискаженных кривизной пространства-времени результатов наблюдений пробной массы, обнаруживает, что в наблюдаемой ИСО, кроме базового координатного пространства (), существует инвариантная, но зеркальная система координат (относительно). Переход в нее связан с зеркальными преобразованиями, заменой с (расширяющаяся) на (сокращающаяся). Заняв место в новой, он обнаруживает; что центры обоих ИСО, совпадают; что изменение скорости не связано, ни с перемещениями относительно центра, ни с преобразованиями координатного пространства; что он всегда находится, в общем, для обоих ИСО центре, но в зеркальной системе, привычное для него расширение массы, превратилось в сокращение. Зная, что относительные связаны между собой абсолютной скоростью света, он обнаруживает еще одну, третью, , (. = 1/1 = с/с), которая ни расширяется, ни сокращается, а всегда находится в состоянии покоя. Относительно третьей ИСО, движение исследуемой массы — суть взаимосвязанные процессы сжатия и расширения (относительно состояния покоя =) под действием правых и левых моментов кручения, положительных и отрицательных энергий плотности

5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АБСОЛЮТНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.

5.1. Абсолютная система отсчета () является следствием соединения принятой в СТО (покой при v=0) и не выявленной в СТО (покой при v=c). Каждая ИСО представлена одной осью (нормалью или касательной) в соприкасающейся плоскости трехгранника Френе. Обе ИСО взаимно ортогональны. Результирующая представлена на бинормали и является следствием векторного произведения на. С другой стороны, мнимые и действительные, положительные и отрицательные моменты в соприкасающейся плоскости трехгранника Френе являются следствием квадратичного разложения бинормальных моментов. С мнимыми моментами могут быть связаны различные «виртуальные» эффекты (например, когда действительный бинормальный момент распадается на два мнимых момента). Координатные оси имеют переменную сигнатуру в зависимости от знака направления оси. В связи с вышесказанным, результирующая система отсчета может рассматриваться или как бинормаль, или как эквивалентная ей соприкасающаяся плоскость, что, безусловно, определяет ее специфику (т.е. дуализм) и может быть связано с различными, существенными в физике, эффектами.

5.2. имеет ортогональную 6-мерную систему пространства кручений. Мнимый и действительный трехгранники Френе, по положительным и отрицательным направлениям касательной и нормали, связаны абсолютными осевыми интервалами (принятым в СТО уравнением 4-мерного пространственно-временного континуума, но не для трансляций, а для 3-мерных, x-подобных и 1-мерных, t-подобных, противоположных по направлению, моментов инерции. О пространстве-времени мы говорим условно, имея в виду различие в метрике (как между 3-мерной касательной скоростью и 1-мерной нормальной скоростью).

5.3. Геометрия включает три взаимосвязанных на афинной плоскости геометрии: геометрия Минковского (М-геометрия), геометрия Евклида (Е-геометрия), геометрия Галилея (Г-геометрия). Для этих геометрий действительны: аксиома о параллельных прямых, определение координатного пространства (ортогональная система), определение расстояний (теорема Пифагора). Можно говорить о том, чтосинтезирует три А-геометрии в целостную геометрическую систему — МЕГа – геометрию (4). В частности, положительные и отрицательные осевые моменты в соприкасающейся плоскости связаны абсолютными светоподобными моментами в М-геометрии; относительные, нормальные и касательные “левые” моменты связаны абсолютным x-подобным моментом в Е-геометрии; нормальные и касательные “правые” моменты связаны абсолютным t-подобным моментом в Е-геометрии; положительные и отрицательные бинормальные моменты связаны абсолютным бинормальным моментом в Г-геометрии. Е-геометрия и М-геометрия являются следствием векторного разложением Г-геометрии.

5.4. Система координат остается ортогональной для всех состояний инерциального движения (в отличии от координат пространства-времени ИСО ОТО, где действительные кручения массы пробной частицы перенесены на мнимые преобразования (повороты) координатных осей при изменении скорости. В связи с отсутствием гравитационных эффектов (пробная частица адекватна всей области координатного пространства) и отсутствием ограничений на величину пробной массы частицы (сняты ограничения гравитации), предполагает принципиально новое и отличное от ИСО СТО определение инерциального движения (например, в отличии от 14). В частности, в геометрии кручений теряет смысл трансляционная метрика, а движение (изменение скорости) связывается с изменением состояния (плотности, размера) пробной частицы, без ограничений на ее массу.

5.5. Инерциальное самодвижение в является следствием противодействия положительной и отрицательной плотности (экстремум при = 1 и = 0 в I и III четвертях единичной окружности, рис.2), с одной стороны, и противодействия результирующих x-подобного (левого) и t-подобного (правого) моментов инерции (экстремум при = во II и IV четвертях рис.2). Поскольку состояние покоя плотности связано с максимальной энергией кручений (энергия — как скалярное произведение x-подобных на t-подобные моменты) и, наоборот, состояние покоя кручений связано с максимальной энергией плотности (энергия — как векторное произведение x-подобных и t-подобных моментов), самодвижение в — результат противодействия энергии плотности и энергии кручений.

5.6. Включение в ИСО мнимых величин позволяет приблизиться к новому пониманию природы сил инерции и по новому ставит диалектику отношений внутреннего и внешнего. В частности, действительный, но отрицательный бинормальный момент, распадающийся на два мнимых момента в соприкасающейся плоскости, по форме является “внешней силой”, по отношению к действительным моментам в соприкасающейся плоскости, как “внутренним силам”. В связи с этим, законы сохранения интервалов в замкнутой, связывающие мнимые и действительные моменты, могут рассматриваться как уравнения внешних и внутренних сил инерции изолированной системы. Самодвижение есть следствие взаимодействия собственных “внешних” и “внутренних” сил изолированной пробной массы. Отношения равновесия (сохранения количества движения) самодвижения, могут рассматриваться в форме столкновения энергий (масс) положительной и отрицательной плотности.

5.7. Инерциальное самодвижение может быть связано, как с представлениями Ньютона (21), который утверждал, что центробежная сила, в отличии от прочих сил, берет свое начало в абсолютно пустом пространстве, так и с представлениями Э.Маха (“принцип Маха”), который считал, что космические массы (“далекие массы”) создают, после усреднения их относительных движений, выделенную систему отсчета (космическую систему Маха), и которая принимается нами за абсолютно существующее пространство (21). Позиции Ньютона и Маха близки развиваемой концепции в том смысле, что предполагают существование некоторых мнимых, «внешних» сил, необходимо связанных с действительным движением.

5.8. Инерциальное самодвижение может быть связано с некоторыми следствиями теории физического вакуума Г.И.Шипова. В частности, решения уравнений, описывающих вакуумное возбуждение без массы и заряда, но обладающие трехмерным спином. Как указывает Шипов: “Поля, имеющие нулевую энергию, но способные к взаимодействию (например вращать плоскость поляризации света) в физике встречаются впервые, поэтому при их изучении надо быть готовым к неожиданным физическим эффектам. Например, потенциальная энергия взаимодействия решения уравнения равна нулю, однако “вращательная траектория” материальной частицы, подчиняющаяся уравнениям движения, будет меняться, передавая “вращательную” информацию. Такие поля можно было бы определить как информационные поля, переносящие торсионную информацию о физическом объекте” (22 с.188)

5.9. 6-мерное пространство кручений, отсутствие трансляционной метрики указывает на то что, система отсчета описывает среды, отличные от твердых тел. Это могут быть упругие среды (в квантовой теории поля – физический вакуум). Если связана с физическим вакуумом, что очень вероятно при ее исключительно торсионной геометрии, то абсолютный физический вакуум следует определять как неквантованное состояние первоматерии, без ограничений на плотность, в отличие от традиционного понимания (предельно растянутая материя, пустота). В соответствии EGS-концепцией А.Акимова (22), можно предполагать связь трех принципиальных форм закона сохранения в с основными поляризационными состояниями вакуума — по осям нормали и касательной — гравитационная поляризация, с t-подобными (II четверть) и x-подобными моментами (IV четверть) – электрон-позитронная поляризация, с бинормальными моментами — торсионная поляризация. Связи этих состояний поляризации может так же рассматриваться в контексте отмеченной выше связи между геометриями Галилея, Евклида и Минковского.

5.10. Уравнения инерциального движения однозначно определены на всем диапазоне скоростей, поддаются полной геометризации (взаимное сокращение массы в правой и левой частях равенства). Пространство моментов энергий импульсов может рассматриваться в отношениях 6-мерного векторного пространства кручений сферы единичного радиуса для единичной массы (мнимая, действительная и комплексная геометрии с угловыми скоростями, представленными тригонометрическими функциями). Философское и математическое содержание развиваемой идеи симметрии связано с качественно новым математическим определением понятия точки. Традиционное определение точки, связанное с трансляционными преобразованиями пространства в точку (объем – плоскость – линия — точка), отражают лишь относительное изменение масштаба, но не вносят в определение точки нового качества, отличного от трехмерного пространства. Как бы мы ни старались описывать точку, как некоторую микроскопическую величину, ее трехмерная природа сохраняется, она не может быть выделена как новое качество никакими изменениями “калибра”. В новом смысле, точка определяется в безразмерном 6-мерном пространстве кручений, связанном действительной, мнимой и комплексной системой геометрий на Афинной плоскости (геометрии Евклида, Галилея, Минковского). Дальнейшая трансформация точки в трехмерное пространство теперь связана не с ее трехмерными трансляциями вовне, а с внутренним процессом ее деления (квантования). В мире кручений физика и геометрия адекватны и геометрия выступает как абсолютная система идеально геометризированных физических уравнений, соответствующих природе материи.

5.11. Очевидно, что, взятая относительно и , приводится обратным путем (с учетом явлений связанных с зеркальной симметрией и комплексным трехгранником Френе) в относительные ИСО СТО, с преобразованием абсолютных интервалов в относительные и наоборот, относительных в абсолютные. Геометрия относительных, локальных ИСО будет связана с применением коэффициентов расширения (сокращения). Но относительно, расширение или сокращение локальных ИСО будет иметь мнимую форму (подобно “мнимым” киноэффектам при монтаже сказочных фильмов с превращениями карликов в великанов, и, наоборот, благодаря изменению масштаба, калибра окружающего ландшафта). С учетом эффектов зеркальной симметрии, уравнения инвариантны уравнениям ИСО СТО, или другим физическим уравнениям, которые включают 4-мерный пространственно-временной континуум ИСО СТО. Вероятно, что 6-мерная торсионная геометрия, согласуется с торсионными координатами Г.И.Шипова (с 6-ю угловыми координатами — тремя пространственными углами и тремя псевдоевклидовыми углами — 10-мерного пространства событий произвольно ускоренных четырехмерных систем отсчета) концепции физического вакуума).

5.12. Преобразование ИСО СТО переводит ее с частного случая ОТО в абсолютную, всеобщую систему отсчета. изначально лежит в основе общего принципа относительности Эйнштейна, объявляющего равноправность локальных, ускоренных инерциальных систем отсчета, является его обоснованием (как и обоснованием геометризации уравнений материи ОТО). в качественно новой форме утверждает принципы классической механики. Являясь синтетической основой соединения математики и естественно-научного знания, (в основе симметрии которой лежат диалектические противоположности – “правое-левое”, “положительное-отрицательное” — и их тождество, разрешаемое в законах сохранения интервалов), является системообразующей моделью для философского познания природы в категориях и законах диалектики. Иначе, развитие развиваемой концепции симметрии, в перспективе, предполагает новый уровень понимания природы, в основе которого лежит гармоничный синтез математики, философии и естествознания.

6. ГИПОТЕЗЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В АБСОЛЮТНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

“Ты – Един, начало всех чисел и основа всех построений.

Ты — Един и Твое Единство никогда не умаляется и никогда не расширяется и не может быть изменено”

(Из Гимна Абсолюту – Парабраману, Единому Божественному началу С.В.Стульгинскис. Космические легенды востока –М.: Сфера, 1997. с.22)

6.1. Новые идеи симметрии в современной физике. Способность спинорного поля описывать полуцелый спин элементарной частицы Вернер Гейзенберг (1901 – 1976) положил в основу первичного поля материи, связывая с ним нелинейное уравнение на основании предположения, что существование элементарной частицы обусловлено ее взаимодействием с самой собой. В уравнение поля была заложена глубокая симметрия, при достаточно сложном математическом обеспечении (21). Исходя из законов симметрии, Я.Терлецкий предположил, что у каждого физического поля с положительной плотностью энергии р+>0 существует “двойник”, поле с отрицательной плотностью энергии р-<0, и что, при рождении частиц из физического вакуума, должны рождаться частицы как с положительной, так и с отрицательной массой. Положительные массы притягиваются между собой, образуя плотное звездное вещество, отрицательные отталкиваются, равномерно распределяясь по Вселенной (22). Опираясь на гипотезу симметрии Я.Трелецкого, Г.Шипов (22) предполагает рождение частиц четверками, “квадригами”, (положительная и отрицательная массы с положительными и отрицательными зарядами). В теории Г.Шипова рождение “квадриг” соответствует расщеплению уравнений Картана геометрии абсолютного параллелизма (геометрия абсолютного параллелизма — А4 так же лежит в основе псевдоевклидовой геометрии Минковского в СТО) на торсионные уравнения правого и левого мира. По Г.Шипову, физический вакуум, в процессе возбуждения, распадается на левые и правые вакуумные поля кручения, каждое из которых включает как материю, так и антиматерию, при общей нейтральности замкнутой физической системы, как по плотности /(+p)+(-p)=0/, так и по заряду /(+e)+(-e) =0/.

Пространство кручений, его абсолютная геометрическая форма и генетическая связь с 4-мерным пространством-временем ИСО СТО, позволяет утверждать за ним универсальную способность описывать, в простой и точной форме, те состояния физической материи, к которым ОТО Эйнштейна и теория всеобщей относительности Г.Шипова, базирующаяся на 4-мерных трансляционных координатах с добавлением 6 торсионных координат, подходят со стороны теоретической интерпретации результатов физического опыта с привлечением сложных геометрий (в частности, уравнений и систем уравнений геометрии абсолютного параллелизма Килинга-Картана, Эйнштейна-Янга-Милса, Кармели, Ньюмена-Пенроуза, Шипова-Эйнштейна, Шипова в приложении к ОТО).

Свойства симметрии, а так же ряд приведенных выше идей физиков, связанных с общими принципами симметрии в движении материи, позволяют в самом общем виде высказать некоторые гипотезы и предположения о возможности применения в моделировании разнообразных физических явлений.

6.2. Колебания в форме математического маятника. Простые колебания массы в форме математического маятника осуществляются при последовательной актуализации мнимых моментов на положительных и отрицательных полуосях соприкасающейся плоскости. При одном действительном относительном моменте (например, или ) будет всегда один действительный относительный, но отрицательный бинормальный момент — (i* i= или i * i=), который будет связан с изменением знака плотности энергии и знака моментов кручений. Четыре последовательные фазы инерциального колебания математического маятника: а) падение «справа» под действием силы тяжести, б) подъем «влево» за счет касательной скорости, в) падение «слева» под действием силы тяжести, г) подъем «вправо» за счет касательной скорости и т.д., для колебания вакуума будут иметь следующий примерную форму моментов в соприкасающейся плоскости:

А) (; i; i; i) — расширение из сжатого состояния до состояния равновесия при =, при нормальной угловой скорости расширения;

Б) i; ; i; i) — расширение из сжатого состояния после равновесия при =, при касательной угловой скорости расширения;

В) ( i; i; ; i) — сжатие из растянутого состояния до равновесия при =, при нормальной угловой скорости сжатия;

Г) ( i; i ; i ; )- сжатие из растянутого состояния после равновесия при =, при касательной угловой скорости сжатия.

В каждый момент масса (сфера) будет представлена новой величиной объема и новой величиной плотности (единой по всему объему). Предельные характеристики плотности и, соответственно, предельные характеристики объема реализуются при =1 и =0. Среднее значение объема и плотности реализуются при =. Пространственные механические перемещения маятника здесь представляются колебаниями плотности, т.е. связаны с изменением субстанциональных свойств пробной массы.

В условиях значительных по размерам масс, колебания в форме математического маятника возможно будут затухающими, в связи с проявлением локальных (негармонических) колебаний плотности (сферические области различной плотности), которые будут противодействовать инерции, тормозить колебания, что, в конечном счете, должно привести массу к среднему состоянию покоя при =.

6.3. Гармонические синусоидальные колебания плотности массы. В связи с максимальным энергетическим потенциалом кручений, при = потенциальное состояние покоя положительной и отрицательной плотности не достижимо. Следствием разрешения этого противоречия будет самовозбуждение гармонических колебаний (сферических волн) сопровождающихся расслоением плотности (чередующиеся сферы положительной и отрицательной плотности) при сохранении нулевого результирующего момента. Колебания могут начаться самопроизвольно, нарастать и, при сохранении нулевого результирующего момента (при симметричном возрастании положительной и отрицательной плотности), осуществляться в условиях стационарного объема (Vcт).

В условиях Vcт, центр и оболочка сферы пробной “массы-вселенной”(как мнимые, “внешние” границы) будут подобны отражателям волн сжатия-растяжения (защемленная с двух концов стоячая волна) и стимулировать процесс колебания в режиме ускорения и самосинхронизации. Колебания в каждом слое будет протекать в четырех фазах (математический маятник). Колебания в условиях расслоения плотности вероятно будут связаны с изменением температур (сжатие +Т, растяжение -Т), проявлением электромагнетизма и термодинамических эффектов (типа четырехтактного цикла Карно (23), способствуя развитию процесса расслоения вакуума. Механические, электромагнитные и термодинамические эффекты будут проявляться в неотделимой, друг от друга, форме.

Графики колебаний относительных нормальных и касательных моментов в соприкасающейся плоскости имеют синусоидальную форму (примерно как на рис.5). При нарастании возбуждения, актуализации потенциальных энергий положительной и отрицательной плотности в кинетические, будет возрастать частота, сокращаться длина волн (расширение расслоения). При превращении всей потенциальной энергии в кинетические (, ,), средняя суммарная угловая скорость областей положительной и отрицательной плотности соответствуют условию =, т.е. состоянию покоя, соответствующего средней плотности и среднему объему невозбужденной массы; экстремальные значения скорости в областях положительной и отрицательной плотности равны светоподобному интервалу; расслоение достигает максимума; возбужденная масса доведена до состояния «кипения».

В этой стадии вакуум, будет подобен расслоенной сфере (одновременно растянутой и сжатой), что в условиях достижения экстремума напряжения, возможно, обеспечивает одновременный разрыв (взрыв по всему объему, или два противоположных взрыва – в направлении расширения и в направлении сжатия). Каждой точке разрыва на “синусоиде” будет свойственна свое значение скорости. Появившиеся в момент разрыва дискретные образования (локальные вихри) консервируют свою скорость как индивидуальную характеристику, а в совокупности, по всей “синусоиде”, актуализируя одновременно весь диапазон угловых скоростей, которые при математическом колебании проявляются только в последовательной форме, т.е. изолированно друг от друга. Очевидно также, что сжатые и растянутые сферические области будут разграничены сферическими областями невозбужденного вакуума со средними характеристиками плотности, объема, скорости. Аналогично, внешняя граничная сфера и область центра сферической массы “пробной вселенной” будут также представлены невозбужденным “покоящимся” вакуумом. Если в первом случае покоящийся вакуум может быть представлен особыми квантами при дальнейшем процессе образования дискретных вакуумных структур, то во втором, вакуум в чистом виде (внешняя оболочка сферы и центр) останется при любых последующих превращениях. Внешняя оболочка и центр возможно влияют на кривизну пространства, создают специфическое вакуумное поле кручений, определяя пространственную целостность возбужденного образования (абсолютной системы отсчета).

6.4. Эволюция вещества. Разрывы и процессы квантования могут происходить или при переходе от сжатия к расширению (в сферах +р) и наоборот от расширения к сжатию (в сферах –р) т.е. в экстремальных значениях плотности в момент смены направления кручений (с левого на правый и наоборот) и мгновенной остановки движения, или в состоянии равной и средней по всему объему плотности (где расслоение представлено различными угловыми скоростями в отношениях синусоидального графика), т.е. в момент изменения знака плотности энергии). Вероятно, что первая фаза разделения происходит в состоянии средней плотности, где достигается максимум кинетических скоростей и, соответственно, максимум кинетических энергий, а квантованный вакуум закрепляет равные порции массы для всех значений скорости.

В момент разрыва возможно образование симметричных вихрей с последующим взаимным захватом двух зеркальных вихрей и образованием вихревых дуплетов, или двухвихревых ”фитонов” (по А.Акимову, 22). При этом дуплеты будут закреплять собой элементы системы отсчета (осевые моменты) фиксируя присущее им в момент образования “индивидуальные” значения угловой скорости.

Дуплеты, после образования, перейдя в область противоположной плотности, продолжают инерциальное движение еще по сценарию математического маятника (несмотря на приобретенное новое качество), когда их движение определяется отрицательным бинормальным моментом, двух собственных мнимых моментов. При этом, реакция дуплета на инерциальное изменение плотности и объема может быть связана с изменением частоты колебаний (поочередного проявления, актуализации зеркальных вихрей). В областях положительной и отрицательной плотности частоты будут иметь, соответственно, положительные и отрицательные характеристики (степени, логарифмы).

Вхождение в экстремумы плотности (+p) и (-p), будет сопровождаться повышением степени возбуждения дуплета (повышением частоты смены вихрей) и может завершиться новым “разрывом”, с переменой направления и метрики моментов (с правых на левые и наоборот, с 1-мерной на 3-мерную и наоборот)) с последующим зеркальным удвоением дуплетов, т.е. с появлением “квадриг” из четырех вихрей, с актуализацией дополнительных полуосей соприкасающейся плоскости кручений, с фиксацией значений угловых скоростей, но уже в четырехвихревой “квадриге”. В захваченной вихрями части первичной материи, система отсчета будет представлена в дискретной форме (в форме периодической смены моментов кручений и поочередной актуализации элементов ортогональной системы отсчета — полуосей координатного пространства). Соединение на одной полуоси противонаправленных моментов, возможно, лежит в основе появления пространства в привычном нам представлении в форме 3-мерных трансляций. Пространство проявляется как комплексная характеристика, связанная с актуализацией мнимых моментов и соединения их с действительными моментами, с консервацией (стабилизацией) вращательного движения и актуализацией направленных трансляционных координат.

6.5. Стационарная Вселенная. Примерно по такой схеме инерциальный процесс колебаний может продолжаться несколько циклов. Границей циклов являются экстремальные значения моментов и энергии плотности. Переход границы будет связан с изменением знака моментов, или изменением знака плотности, с очередным удвоением и образованием новых, более плотно упакованных, вихревых образований (2, 4, 8,..?), с появлением качественно новых структур. Завершение многоактного процесса квантования и актуализации координатного пространства пробной массы, может соответствовать сценарию Я.Терлецкого: на одной из завершающих стадий квантования, вихри положительной плотности сворачивают вакуум в сжатые кванты, а вихри отрицательной плотности — в растянутые кванты, происходит перераспределение плотности в границах стационарного объема в форме естественного самодвижения, без «взрывов» и “разлетания в никуда”. Процесс квантования вакуума будет связан с актуализацией электромагнитных, гравитационных и торсионных (спинорных) полей, и последующим перераспределения вещества с актуализацией гравитации, пространства и времени. Инертная масса вакуума получает эквивалентное выражение в отношениях гравитации квантованных структур.

В целом, процесс квантования предстает, как способ естественного разрешения противоречий (отношений плотности и отношений кручений) в. Разрешение противоречия учреждает качественно новое состояние покоя в границах стационарной “пробной Вселенной” (абсолютного, в целом, по всему объему, но относительного для каждой локальной ИСО). В приложении этого представления к реальной Вселенной, принцип Маха можно сформулировать в обратном направлении — абсолютная система отсчета не результат механического усреднения “далеких космических масс”, а, наоборот, исходное, начальное условие вещественной эволюции, определяющее квантование абсолютной системы отсчета на многообразие ускоренных относительных систем отсчета. Суммарный эффект локальных систем отсчета соответствует исходному состоянию покоя физического вакуума, чем обеспечивается стабильность, абсолютная устойчивость, и, в конечном счете, — гармония законов природы.

Гипотеза стационарной модели Вселенной противоречит утвердившейся гипотезе расширяющейся Вселенной (А.Фридман,1929г.), подтверждаемой эффектом Доплера и красным смещением Хаббла (1929). Открытие Хаббла (постоянная Хаббла) подтверждает однородность и изотропность Вселенной, но гипотеза расширения требует более убедительной аргументации. В частности, априори очевидно, красное смещение спектра связано с отражением излучающей свет космической материи и не связано с той материей, которая поглощает свет. Иначе, вероятная ограниченность наших систем измерения позволяет видеть лишь половину процесса, свидетельствующую о расширении. Распространение половинчатого результата на всю материю приводит к серьезным заблуждениям. В рамках геометрии СТО, гипотезы расширяющейся и сокращающейся Вселенной равноправны, а в случае соблюдения симметрии относительно светоподобного интервала, — они являются составляющими гипотезы стационарной, однородной и изотропной Вселенной, в которой начальные условия покоя формулируются на равновесие плотности = (или на половинную скорость света — с/2).

Каков предел процесса квантования возбужденного вакуума? Опираясь на такие научно установленные факты как: корпускулярно-волновой дуализм, дискретная форма излучения и поглощения энергии, необратимость физических явлений (энтропия), а так же исходя из двойственной природы (инвариантность соприкасающейся плоскости и бинормали, уравнения закона сохранения абсолютных интервалов), можно предположить, что процесс квантования завершается актуализацией мнимых моментов в соприкасающейся плоскости, а энергетические взаимодействия (излучение или поглощение) связаны с периодическим проявлением моментов в соприкасающейся плоскости и моментов на бинормали (или периодической сменой относительных и абсолютных моментов). Иначе, относительные и абсолютные моменты проявляются в дискретной форме, поддерживая и сменяя друг друга. Эта открытость системы отсчета через дискретное проявление “правой” и “левой” частей закона сохранения, «дуализм», вероятно, обеспечивает энергетические обмены, связана с необратимостью процессов в физической природе, в направлении потери материей вещественной упорядоченности , приобретенной в процессе квантования вакуума.

Дуализм, оставляет открытой возможность качественно новой эволюции материи, за счет соединения двух, аналогичных по количественным характеристикам, но зеркальных, в одну систему, с одновременной актуализацией моментов соприкасающейся плоскости и базисного вектора бинормали (или относительных и абсолютных моментов), с потерей новым “дуплетом” дискретных свойств и способности энергетического обмена с внешней средой, с учреждением внутреннего, закрытого между двумя зеркальными, энергетического обмена. Дискретные свойства энтропии и энергетического обмена отдельных составляющих дуплета, вместе превратились в непрерывный процесс внутренней циркуляции энергии. С этим свойством новый дуплет выделяется из процесса необратимой энтропии, и в этом смысле приобретает вечную, неуничтожимую форму. Вполне возможно, что становление неуничтожимого кванта включает несколько фаз удвоений.

Дальнейшее движение абсолютного кванта будет теперь связываться с развивающимся противоречием (все возрастающим различием между его внутренним абсолютным порядком и внешним относительным порядком), с “бессмертием” его абсолютной формы организации, с одной стороны, и “смертностью” относительной формы организации внешней физической природы, с другой стороны. Естественное разрешение этого противоречия – в противостоянии внешней вещественной энтропии, в развертывании негэнтропийного процесса, в приведении среды в соответствии с самим собой и с организацией равновесия энтропия-негэнтропия, т.е. в учреждении метаболизма как управляемого процесса синтеза и распада.

6.6. Энтропия и физическое время в. Согласно второму началу термодинамики вещественная материя подверженная энтропии, постепенно теряет упорядоченность, приобретенную вещественной эволюцией. Потеря упорядоченности (распад) связана с логарифмической формой. В условиях, когда предложенная ИСО СТО концепция времени, имеющего ту же природу что и пространство, при ее рассмотрении в теряет смысл, действительное физическое понятие времени может быть связано с энтропией, как с периодическим процессом, что, соответственно, меняет геометрическую форму закона сохранения пространственно-временного континуума.

С теоремой Пифагора связываются только пространственные (1-мерные и 3-мерные) характеристики. Временные характеристики могут быть связаны с логарифмической структурой пространства (с логарифмом возбужденного пространства относительно некоторого основания – состояния покоя), со степенью его возбуждения (и, соответственно, с его упорядоченностью как потенциальной длительностью, временной формой существования порядка, целостности). А это значит, что теорема Пифагора и пропорциональные отношения , базирующиеся на геометрических прогрессиях и степенных рядах, в совокупности являют собою количественный базис пространственно-временного континуума.

В стационарной Вселенной, тепловая энтропия связывается с перераспределением теплоты. Суммарная температура стационарной Вселенной постоянна и равна 0 (температуре покоя, при=). В стационарной Вселенной, следствие второго закона термодинамики может быть сужено до представления об энтропии, как процессе потери вещественной материей степени своей упорядоченности (структурной организации). Это свойство уже не симметрично внутри отношения звездной материи и межзвездного пространства (масс положительной и отрицательной плотности энергий), ибо и та и другая теряют упорядоченность, и их потенциальным будущим является абсолютный бесструктурный невозбужденный, покоящийся физический вакуум.

Для вещества, как возбужденного вакуума, уровень упорядочения структуры связан со степенью возбуждения первичного вакуума. Степень возбуждения может рассматриваться как логарифм возбужденной массы по основанию массы покоя вакуума для условий стационарного объема, характеризуя тем самым некий запас (количество) вещественной (временной) прочности первоматерии. Это соответствует как второму началу термодинамики (логарифмической форме периодизации распада), так и теории информации (логарифмической форме количества упорядоченности структуры). При этом, второе начало термодинамики может рассматриваться как приложение к физической природе теории информации, а потеря неорганической материей информации и ее накопление органической материей — как две диалектически противоположные формы единого процесса движения , определяемого одним логарифмическим законом.

Потеря информации неорганической природой и ее воспроизведение в особой форме органической природой — это две стороны одного явления. Квантование материи привело к запасу организации (к потенциальной длительности существования вещественных форм), к движению, связанному с потерей физической упорядоченности. Этот же процесс побуждает обратный поток — накопление организации. Но не буквальное ее восстановление, а через отражение потерянного количества и воспроизводство этого количества но в качественно новой, органической форме организации, критерием которой является самосохранение (противодействие энтропии). Энтропия и негэнтропия в природе — не случайное, механическое отношение симметрии, а диалектическое отношение симметрии, связанное с диалектикой равновесия и покоя природы в целом.

6.7. “Абсолютный квант”, органическое время, живая материя. Диалектической альтернативой второму началу термодинамики (необратимости распада материи) в рамках стационарной Вселенной, ориентированной на равновесие (=), является обратный распаду процесс — негэнтропия, а отношение энтропия-негэнтропия должно представлять очередной естественный уровень динамического равновесия. Физическим исполнителем этого синтеза, носителем генетической программы развития, может быть “абсолютный квант”, квант, рожденный вакуумом и абсолютно актуализировавший потенциальную способность. В силу своей природы и общего принципа динамического равновесия, “абсолютный квант” должен отражать в особой динамической форме симметрию относительно состояния покоя вакуума =.

В границах рассмотренной концепции (последовательная актуализация элементов координатного пространства в локальных ИСО) возможен такой квант, в котором актуализация элементов устраняет дискретное бытие (например, корпускулярно-волновой дуализм) и учреждает временную непрерывность за счет “очередного” удвоения, исключает энергетическую, физическую причинность взаимодействий (в трактовке причинности В.С.Тюхтиным в работе “Отражение, системы, кибернетика”.-М.:Наука,1970), и создает структуру, противодействующую энтропии физической материи исключительно, за счет негэнтропийных (организационно-информационных) процессов, включая естественные физические механизмы, — зеркальную симметрию, прямые и обратные информационные связи на основе универсальных пропорциональных систем (например, числа Фибоначчи) и пространственных структур (например, непрерывной ленты Мебиуса, К.Левитин. Геометрическая рапсодия, – М.:Знание,1984 с.38-69).

Эволюция неуничтожимого с позиций естественной энтропии “абсолютного кванта”, с одной стороны, и непрерывная энтропия физической материи, как среды, в которую он погружена, с другой стороны, создают возрастающие в логарифмической зависимости отношения возбуждения, которые разрешаются развитием “абсолютного кванта”, его самосохранением за счет связывания энтропии и негэнтропии в целостный динамический непрерывный процесс синтеза и распада (метаболизм) отчуждаемого от природы вещества и присеваемого в особым образом упорядоченной телесной форме. Критерием развития является сохранение исходных “абсолютных” внутренних условий, отношений, заданных при его возникновении, проявляющихся как генетическая программа. Сложность иерархической организации его телесной оболочки, как механизма динамичного метаболизма, отражает степень энтропии физической природы, степень приспособления к ее необратимым изменениям.

Вещественная, “телесная”, форма “абсолютного кванта” в процессе его эволюции — суть присвоенная природа — результат симметрии относительной, недолговечной, разрушающейся физической материи и абсолютной, неуничтожимой материи. Способность синтезировать живое тело из “мертвой” и “вечной” материй составляет суть его естественного самодвижения в вещественной природе, от простейших форм, неотличимых от физических элементов, до сложных иерархий, включивших большие объемы физической материи в процесс непрерывного метаболизма. В своем развитии, необходимо присваивая и упорядочивая внешнюю природу, познает ее, и через ее познание, он познает себя, свои феноменальные способности.

В математическом отношении, наиболее соответствующей этим целям могла быть локальная инерциальная ИСО с отношениями “золотого сечения”, т.е. с относительными симметричными (==) угловыми скоростями: == =0,6180338875; = = 0,7861513775.

Этим угловым скоростям могут соответствовать два типа симметричных квантов (положительной и отрицательной плотности энергии) с бинормальными моментами, соответственно: = ()=== 0,3819658860;

= = = 0,6180338875

Результирующий абсолютный квадратичный интервал энергии (в отношениях для единичной массы):

[] — []=—=0,381965 +0,618033=0,999999= 1

Можно предполагать, как возможность объединения “абсолютных квантов” положительной и отрицательной плотности энергии в одну систему, так и возможность их отдельного существования и развития, когда различие знаков энергии (-p; +p), рождает две симметричных и равноправных и различных формы органической жизни и, соответственно, возможно порождает более высокие уровни равновесия и симметрии в живой природе.

Отношения (угловые скорости) нормальных, касательных и бинормальные моментов инерции составляют величины числового ряда Фибоначчи:

() или целые и половинчатые, положительные и отрицательные степени числа Ф – (…-3, -5/2, -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2 ,1, 3/2, 2, 5/2, 3…) . Ряд соответствует арифметической и геометрической прогрессиям, обладает исключительными логарифмическими свойствами, что могло быть естественным образом (например, самосинхронизация и самонастройка прямых и обратных взаимопроникающих частот на отношения “золотого сечения”) выделено “абсолютным квантом” в основу особенной, организации, при создании устойчивых, самонастраивающихся механизмов отражения и воспроизводства действительных отношений внешней среды.

6.8. Материальное воплощение “абсолютной идеи” Гегеля.

Нейтрализация материального эффекта (нулевая масса покоя), выход на уровень информационной причинности взаимодействий (нейтрализация энтропии), связанной с процессами отражения степеней упорядоченности (возбуждений), обладание универсальной системой пространственно-временных отношений, выделяют “абсолютный квант” в феноменальное явление физической природы. Он может быть неожиданным материальным воплощением той начальной активной субстанции, которую объективный идеализм, в частности Георг Гегель (1770-1831), понимает под категорией “абсолютная идея” (“Энциклопедии философских наук”, 1817г.). Абсолютная идея (абсолютный дух) по Гегелю, это активное, самопорождающееся и саморазвивающееся начало субстанции как субъекта. В своем развитии абсолютная идея проходит три этапа: 1) развитие абсолютной идеи в ее собственном лоне, в стихии чистого мышления (Логика); 2) развитие абсолютной идеи в форме “инобытия”, т.е. в форме природы (Философия природы); 3) развитие идеи в мышлении и истории, в духе (Философия духа). Под развитием Гегель понимает познание абсолютной идеей самой себя. (И.Т.Фролов. Философский словарь, — М: Политиздат, 1987г).

“Абсолютный квант”, в отличие от мертвой природы, теряющей информацию, вынужден накапливать ее в форме, учреждаемого им, “живого порядка” с целью самосохранения. Целеполагание становится его атрибутивно присущим его субстанции “физическим” свойством. Время, как логарифмическая функция от умирающей природы, есть длительная, историческая, количественная мера этого порядка, свойственная различным уровням иерархии живой материи (1,8). Исходя из общей концепции, происхождение живых форм и их развитие это законный в объеме стационарной, однородной и изотропной Вселенной результат. Реализация “абсолютной идеи” возможна в любой части Вселенной, где есть вещественные условия необходимые для развертывания и организации стабильного, обеспечивающего самосохранение, метаболизма. При этом, не исключена принципиальная возможность полного включения всего вещества Вселенной в негэнтропийный процесс развития, как целостной органической формы, т.е. возможность абсолютного деятельного познания природы, через ее включение в процесс метаболизма (вплоть до тотальной, всеобщей формы).

Такой подход, вероятно может быть согласован с идеей Г.И.Шипова-А.Акимова (22, с.188-210) о потенциальной сознательной и информационной способности первичных вакуумных полей. В теории физического вакуума эта идея связывается с существенной особенностью вакуума, с существованием полей, обладающих нулевой энергией, но способных к взаимодействию. С точки зрения А.Акимова и В.Бинги, более всего на роль материальных оболочек-носителей информации претендуют первичные торсионные поля, называемые информационными полями. В концепции Татура, в основу физической картины мира положены три субстанции – аксионные поля, слабая метрика и Отображения, которые обеспечивают такие свойства материи, как самодвижение и целостность. Аксионные поля – поля сверхлегких частиц, которые отображают мир элементарных частиц — каждую элементарную частицу сопровождает свойственное ей поле. Со слабой метрикой связывается параметрическое пространство, в котором нет протяженности. Субстанция Отображения определяет монадные свойства слабой метрики и является источником самодвижения материи. Отображение между элементами слабой метрики приводит к кручениям. Существует две группы отображений, порождающих правые и левые пространственно-временные вихри. Отображение, кручение пространства более фундаментальны, чем время (22,с.188-210).

6.9. Информационно-геометрические механизмы отражения.

Если говорить о том, что абсолютный квант является специфической ИСО (базирующейся на основе), и что его самосохранение связано с воспроизводством своей пространственно-временной формы посредством отражения внешней среды, естественно полагать, что кроме натуральной геометрии пространства унаследованной с, он должен иметь в своем распоряжении универсальный логарифмический механизм отражения, коммуникации, преобразования и представления информации, функционирующий в режиме прямых и обратных связей.

Этот механизм должен быть связан, как с действительной физической геометрией – теоремой Пифагора, так и с информационной (логарифмической) системой пропорциональных отношений (рис.6.). Это условие осуществимо, наряду с другими отношениями на синусоидальном графике скоростей, при двух, симметричных относительно состояния покоя =, угловых скоростях на осях моментов в соприкасающейся плоскости =; = или =; =. При этом квадратичные скорости бинормальных моментов будут равны ()=; ()=; ()=; ()=;

Относительные (угловые) скорости моментов инерции составляют величины ряда Фибоначчи: (или целые и половинчатые, положительные и отрицательные степени числа Ф – …-3, -5/2, -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2 ,1, 3/2, 2, 5/2, 3…). Иначе, все отношения кручений здесь определяются отношениями “золотого сечения” — уникальным числовым рядом, сочетающим арифметическую и геометрическую прогрессии, имеющем оптимальную логарифмическую структуру и обладающим переносной, поворотной и зеркальной симметрией, (рис.6). Приведенное в начале обсуждения высказывание Кеплера, по существу указывает на ключевые отношения пространства-времени: теорема Пифагора — геометрия пространства, среднепропорциональные (логарифмическое) отношения – геометрия времени. Синтез геометрий пространства и времени в системе уравнений порождает особую геометрию отношений, связанную с числами Фибоначчи (золотое сечение) (4,6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование геометрии физического пространства позволяет установить наличие еще не реализованных в практике и теории естествознания идей геометрической упорядоченности материи, связанных с применением принципа симметрии, и обладающих большими конструктивными возможностями для моделирования физических явлений. Так как цель настоящего рассмотрения связана с общей проблемой геометрии и гармонии в природе и затрагивает различные сферы знаний, предложенные в тексте математические конструкции и схемы представлены в черновой, упрощенной форме (в качестве грубой иллюстрации математического содержания развиваемой философско-математической концепции) и требуют дальнейшей специальной разработки.

Являясь непротиворечивой в своей основе, развиваемая концепция предполагает уточнение ряда утвердившихся в физике, математике и философии понятий и категорий (светоподобный интервал, инерциальное движение и самодвижение, пространственно-временной континуум, теория мнимых и комплексных чисел, математическое и физическое определение точки, теория логарифмов и т.д.). так же предлагает широкие конструктивные возможности в моделировании разнообразных процессов в природе (органическая и неорганическая эволюция, информационная и физическая причинность взаимодействий, процессы отражения информации живыми системами и т.д.).

Основными следствиями проведенного анализа являются обоснование необходимости проведения следующих исследований: 1. Разработка абсолютной системы отсчета в физике (полностью геометризированной модели абсолютного покоя материальной системы) на базе ИСО СТО, с привлечением геометрии кручений и отражающей количественные отношения инерциального равновесия ; 2. Разработка теории мнимых и комплексных чисел в ее физической интерпретации с целью приложения к моделированию физических явлений; 3. Разработка комплексной геометрии на афинной плоскости (включающей геометрию Евклида, геометрию Галилея, геометрию Минковского) и способов ее применения при моделировании разнообразных явлений физической и органической природы; 4. Разработка теории пространства-времени на основе систем уравнений (теорема Пифагора и отношения среднепропорционального) как базовой теории для разработки физической, математической и философской теорий отражения. Полученные предварительные результаты исследование геометрии позволяют включить в теорию архитектурных пропорций, в качестве рабочих гипотез, три принципиально новых подхода к конструированию пропорциональных систем: а) широкое внедрение пространственной геометрии кручений при разработке модульно-геометрических концепций пространства (объемных пространственных модульно-геометрических решеток, обладающими свойствами универсальной переносной, поворотной и зеркальной симметрий); б) разработка объемных модульных средств в архитектурной метрологии, в основе которых лежат пространственные закономерности “инерциального движения”, связанные с отношениями покоя; в) исследование логарифмических систем в архитектурном пропорционировании, связанных с геометрическими прогрессиями и отношениями средней пропорции. Концепция геометрии кручений в (новое содержание принципа симметрии, понятие инерциального движения, геометрическая определенность и взаимосвязанность отношений инерциального движения, и др.) может использоваться в следующих основных направлениях теории и практики архитектурной пропорции: 1. Анализ и классификация известных в архитектурной практике методов и приемов геометрического пропорционирования с учетом новых идей симметрии; 2. Разработка новых методологий в геометрической теории архитектурных пропорций с расширением средств пространственной (3-мерной) геометрии и включением геометрии кручений; 3. Разработка новых концепций модульно-геометрической организации 3-мерного пространства архитектурного объекта на основе системы уравнений (теорема Пифагора и отношение среднепропорционального); 4. Разработка естественнонаучных моделей процессов и механизмов зрительного восприятия пространства в контексте требований гармонизации архитектурной формы; 5. Разработка программных средств для проектирования и строительства на базе новых принципов геометрической упорядоченности пространственной информации, включая как программы новых принципов объемного, модульно-геометрического структурирования 3-мерного пространства, так и прикладные программы гармонизации архитектурных сред, применимые к решению конкретных задач объектного проектирования. Приведенные результаты общего философско-математического анализа проблем и направлений исследований геометрии пространства-времени позволяют надеяться, что предложенная концепция заинтересует специалистов различных областей знания (физиков, биологов, социологов, философов, математиков, архитекторов), и что совместная работа в этом направлении, существенно обогатит представления о симметрии и геометрии в природе, и позволит выйти на более высокий уровень понимания принципов гармонии в естественной и искусственной природе. Литература 1. Аскин Я., Проблема времени. Ее философское истолкование,– М.:Мысль,1966г. 2. Вейль Г., Симметрия, – М.: Наука, 1968г. 3. Гика М., Эстетика пропорций в природе и искусстве, –М.:ВАА, 1936г. 4. Емельянов А., Геометрия взаимопроникающего подобия, — Новосибирск: Известия вузов. Строительство и архитектура, №11, 1984г. 5. Емельянов А. Геометрия, зрительная система, архитектура. – Новосибирск: Известия вузов. Строительство и архитектура, №11, 1985г. 6. Емельянов А. Геометрия пустого пространства. – Новосибирск: Известия вузов. Строительство и архитектура, № 6, 1987г. 7. Ле Корбюзье. Модулор, — М.: Cтройиздат, 1976г. 8. Мостепаненко А. Проблема универсальности основных свойств пространства и времени. — М.: Наука, 1969г. 9. Покровский Г. Архитектура и закон зрения, — М.: ВАА, 1936г. 10. Сеншаль М. Узоры симметрии. — М.: Мир, 1980г. 11. Спиридонов О. Фундаментальные физические постоянные. – М.: Высшая школа,1991 12. Таммар Г. Основы сенсорной физиологии. — М.: Мир, 1986 13. Тростников В. Человек и информация. — М.: Наука, 1970 14. Тэйлор Э., Уиллер Дж. Физика пространства — времени. — М.:Мир,1971 15. Тюхтин В. Отражение, системы, кибернетика, — М.: Наука, 1972. 16. Уиллер Дж. Предвидение Эйнштейна. — М.:Мир,1970 17. Хьюбел Д. Глаз, мозг, зрение. — М.:Мир,1990 18. Шафрановский И. Симметрия в природе. — Ленинград: Недра,1985г. 19. Шевелев И. Логика архитектурной гармонии. – М.: Стройиздат, 1973. 20. Шевелев И. Принцип пропорции. — М: Cтройиздат, 1986 21. Шмутцер Э. Теория относительности. Современные представления. — М.: Мир, 1981 22. Шипов Г. Теория физического вакуума. – М.: НТ — Центр, 1993 23. Энгельс Ф. Диалектика природы. — М.: Политиздат, 1982 24. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. — М.: Мир, 1987 25. Яглом И. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. – М.: Наука, 1969

Главная страница

АННОТАЦИЯ

Сформулирована и исследуется новая фундаментальная проблема физики — проблема фундаментальных физических констант, которая до сих пор не была обозначена в числе важнейших фундаментальных проблем.

Выявлена взаимная зависимость между всеми фундаментальными константами. Найдены первичные суперконстанты, лежащие в основе фундаментальных физических констант. Суперконстанты позволили вычислить ряд констант с большей точностью, чем это известно из экспериментальных измерений. Найден подход, применение которого позволит определить практически все фундаментальные константы с точностью не хуже чем точность константы ридберга Roo(7,6х10-12 ) {oo — обозначение бесконечности, здесь и везде}. Для этого необходимо с высокой точностью знать значения только двух констант. Одна из них – постоянная тонкой структуры a. Другая константа – одна любая константа из группы: h, e, me. Таким образом, только две константы (a и одна константа из группы h, e, me) сейчас требуют к себе особого внимания . В дальнейшем только три константы будут требовать внимания исследователей — Roo , a, и одна константа из группы ( h, e, me). Их будет вполне достаточно, чтобы с большой точность знать все другие физические константы.

Сформулированы принципы полноты и достаточности суперконстантного базиса, согласно которым размерные фундаментальные физические константы представляют собой комбинации суперконстант hu , lu , tu , a , p, а безразмерные фундаментальные константы представляют собой комбинации суперконстант a и p.

Приведены теоремы, определяющие независимость суперконстант и дополнительность размерных и безразмерных суперконстант.

1. НОВАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА ФИЗИКИ

Несмотря на то, что в теоретической физике продолжают развиваться единые теории поля количество нерешенных фундаментальных проблем не уменьшается , а только нарастает.

Наиболее важные нерешенные фундаментальные проблемы физики можно найти в недавно опубликованном В.Л.Гинзбургом списке 1999 года [1].

Большое количество нерешенных фундаментальных проблем и неудачные попытки их решения на традиционных направлениях физических исследований, заставляют искать пути их решения на новых направлениях, которые считались наиболее консервативными и, как правило, не удостаивались должного критического внимания со стороны исследователей. Такой консервативной областью физики являются фундаментальные физические константы.

Я считаю, что как раз в этой области физики в конце 20-го века появилась новая серьезная проблема, которая до сих пор не была обозначена в числе важнейших фундаментальных физических проблем. Эта проблема естественным образом выросла на основе большого количества накопленных результатов исследований в области физики элементарных частиц. Благодаря этому направлению исследований появилось очень большое количество новых фундаментальных физических констант, которые уже выделены в отдельный класс — “атомные и ядерные константы” [2]. Количество атомных и ядерных констант намного превышает количество всех других констант вместе взятых [2].

В настоящее время в физике используется уже сотни физических констант. Список фундаментальных физических констант рекомендованный CODATA 1998 насчитывает около 300 фундаментальных физических констант [2]. В результате поставлена под сомнение сама идея фундаментальности констант, поскольку такое большое их количество не может претендовать на фундаментальность. На рис.1, в виде диаграммы, показано соотношение в количествах констант различных классов.

Рис.1. Классы фундаментальных физических констант. 1 – атомные и ядерные константы. 2 –универсальные константы. 3 –электромагнитные константы. 4 –физико-химические константы. 5 –общие атомные и ядерные константы.

Проблему фундаментальных физических констант можно сформулировать следующим образом. Рост количества констант, претендующих на статус фундаментальных, нивелирует саму идею единства физических явлений и необоснованно увеличивает количество новых сущностей. Не могут обладать фундаментальным статусом сотни констант. Фундаментальность может быть присуща только очень малому количеству констант. Таким образом, существует большое противоречие между минимально необходимым количеством фундаментальных констант и их реальным обилием.

Истинно фундаментальные константы необходимо искать среди сотен открытых констант, а если окажется, что их там нет, то нужно искать пути их открытия.

Можно предположить, что известные на сегодня константы являются составными константами. Тогда возникает вопрос: «из каких новых неприводимых констант они могут состоять и как они связаны между собой?”. Если такие первичные константы существуют, то только они могли бы претендовать на роль фундаментальных и заменить собой существующие константы.

2. ТОЧНОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ КОНСТАНТ

Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант очень сильно отличаются по точности [2]. Так, например, расхождение по точности у гравитационной константы G и константы Ридберга Roo составляет огромную величину — около 108. А параметр Хаббла почти на 12 порядков хуже по точности постоянной Ридберга. На рис.2, на примере наиболее распространенных констант G, mpl, lpl, tpl, H, h, Фо, e, mB, me, RK, ,a, lC, Roo, представлены сравнительные диаграммы, отображающие точность , с которой определены значения этих констант.

Рисунок носит иллюстративный характер. Наиболее распространенные константы, объединены в группы по принципу близости точности .

По оси Z отложены значения логарифмов относительной погрешности (lg u r). Наименьшая точность у константы Хаббла (53±5 (км/c)/Мгпс). Наибольшую точность имеет константа Ридберга (u r = 7,6×10 -1 2 ). Точность гравитационной константы и планковских констант около 10-3 – 10-4. Точность других констант около 10-8–10-9.

Рис.2. Сравнительная диаграмма точности фундаментальных констант.

3. ВЗАИМОСВЯЗЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ

На мой взгляд, проблема фундаментальных физических констант является ключевой проблемой теоретической физики. Это связано с тем, что каждая физическая теория оперирует определенной совокупностью фундаментальных физических констант. Константами, заложенными в основу теории, определяются её возможности.

Попытку использовать имеющиеся константы в качестве исходных для получения других фундаментальных физических констант предпринял. М.Планк. Он исходил из идеи независимости констант G, h, c и получил на их основе новые константы длины, массы, времени, которые получили название планковских единиц. Действительно, многое указывает на то, что трех размерных констант должно быть достаточно для создания единой теории. Ведь неспроста только из трех основных единиц — метра, килограмма и секунды можно получить все производные единицы, имеющие механическую природу. Но до сих пор неясно, могут ли константы G, h , c составить основу будущей непротиворечивой теории?

В [3 — 18] проведены исследования фундаментальных физических констант с акцентом на выявление связи между ними. Ставилась также задача выявить критерии фундаментальности и, тем самым, снизить число претендентов на звание “истинно фундаментальных” констант.

В результате удалось выявить неизвестную ранее глобальную связь, существующую между фундаментальными физическими константами. Так , например, гравитационная константа Ньютона оказалась функционально зависимой от других фундаментальных констант:

G=f (h , c, e, me, mB, Roo, a, p).

Удалось найти математические формулы для вычисления гравитационной константы Ньютона G [10]. Ниже приведены эти формулы:

G = 2pc3lu2/ahDo, G = hua2/4ptu mpl2Roo,

G = c5tpl2a/hu, G = lu4107/e2tu2Do,

G = lu3/tu2 me Do, G = hua2/4ptu mpl2Roo,

G = 4mB2a2·10-7/lu2me2Do.

Найденное по этим формулам новое значение константы G, равно:

G=6,67286742(94)•10-11 m3 kg-1s-2.

Взаимосвязанными оказались и другие фундаментальные физические константы. Так, например, магнетон Бора может быть выражен посредством следующих констант:

mB =f (h , c, e, me, Roo, G, a).

Квант магнитного потока может быть выражен посредством следующих констант:

Фо =f (h , c, e, me, a, p).

Планковская масса может быть выражена посредством следующих констант:

mpl =f (me , h, c, G, a, p).

Планковская длина может быть выражена посредством следующих констант:

lpl =f (h, c, G, Roo, a, p).

Планковское время может быть выражено посредством следующих констант:

tpl= f (h, c, G, Roo, a, p).

Выявленная взаимосвязь констант позволила найти новые значения планковских констант:

НОВОЕ О ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНСТАНТЕ G: ПЯТНАДЦАТЬ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОНСТАНТЫ G

Аннотация

Показано, что гравитационная константаG является составной константой, содержит в себе постоянную Планка h, скорость света c и другие константы и функционально с ними связана. В частности константа G имеет функциональную зависимость от следующих важнейших физических констант:

G=f (h , c, R∞, α, π

На основе группы универсальных суперконстант hu , lu , tu , α , π получены 15 эквивалентных формул для вычисления гравитационной константы G [2,3,5,6]. Найденное по этим формулам новое значение константы G равно:

G=6,67286741(89)• 10-11 m3 kg-1s-2.

Новое значение константы G вместо четырех цифр содержит 9 цифр [2,3,6]. Полученные результаты указывают на фундаментальную связь электромагнетизма и гравитации и на существование единого онтологического константного базиса, который является основой физических и астрофизических констант.

ВАЖНЕЙШАЯ КОНСТАНТА ФИЗИКИ И АСТРОФИЗИКИ

Большинство физических констант связаны законами физики с другими константами. Это является решающим фактором для определения каждой константы [17]. Однако такие константы как: гравитационная константа < FONT>G, отношение масс протон-электрон mp/me, постоянная Хаббла H0 считаются не связанн ыми вообще ни с какими другими константами. В отношении важнейшей физической константы G остается надежда на то, что удастся выявить ее связь с чем-либо в рамках будущей единой теории, которая должна объед инить все четыре взаимодействия.

Гравитационная константа G широко используется как в физических теориях,так и в практике, начиная с астрофизики и кончая космонавтикой [19]. Однако ее значение определено с недостаточной точностью. Как отмечает автор в [19]: «повышение точности знания G способствует углублению понимания физики гравитации и уточнению фундаментальных закономерностей смежных с ней отраслей знаний.» Кроме того, все е ще остается открытым вопрос о природе гравитации и о сущности гравитационной константы G. Как известно, сама форма закона всемирного тяготения Ньютона – пропорциональность силы массам и обратная пр опорциональность квадрату расстояния, проверена с гораздо большей точностью, чем точность гравитационной константы G. Поэтому основное ограничение на точное определение гравитационных сил наклады вает константа G. Эта константа определена экспериментально. Науке пока неизвестно существует ли аналитическое соотношение для определения гравитационной константы, существует ли связь между кон стантой G и другими фундаментальными физическими константами. В теоретической физике эту важнейшую константу пытаются использовать совместно с константой Планка h и скоростью света c для создания квантовой теории гравитации и для разработки единых теорий. Поэтому, вопрос о первичности и независимости константы G выходит на первый план. Важно выяснить в какой степени зависимы или независимы другие фундаментальные константы. В этом клубке проблем работы по уточнению значения гравитационной константы приобретают особую актуальность. Одним из путей для решения этой задачи являются орбитальные гравитационные эксперименты. Космические исследования открывают тут новые возможности. Однако, как отмечается в [19], для этого потребуются «и компенсация сноса корабля, и высокая точность диагноза температурного и гравитационного полей, и наконец, очень высокая точность определения пространственного положения пробных тел. Кроме того, могут потребоваться дополнительные усилия по доставке корабля в либрационные точки и по обеспечению связи с ним». Сложность экспериментальных работ по уточнению гравитационной константы G заставляет искать другие способы определения ее точного значения.

СОСТАВНАЯ СУЩНОСТЬ КОНСТАНТЫ G

В [5-12] проведены исследования константы G и других фундаментальных физических констант. Ставилась задача выявить константы, которые могут претендовать на роль “истинно фундаментальных” констант. В результате была открыта группа первичных, независимых констант, из которых состоят важнейшие фундаментальные константы [2-9]. Таких первичных, независимых констант пять:

фундаментальный квант действия hu (hu=7,69558071(63)•10-37 J s), фундаментальная длина lu (lu=2,817940285(31)•10-15 m), фундаментальный квант времени tu (tu=0,939963701(11)•10-23 s), постоянная тонкой структуры α (α =7,297352533(27)•10-3 ), число π (π=3,141592653589).

Эти пять констант являются “истинно фундаментальными” константами и имеют онтологический статус. Константы, входящие в эту группу, являются первичными и независимыми константами. Чтобы подчеркнуть их “ист инную фундаментальность” они были названы универсальными суперконстантами [2]. Универсальные суперконстанты проистекают из свойств физического вакуума [2 — 12].

Размерные суперконстанты hu, lu, tu определяют физические свойства вакуума и являются константами фундаментального состояния материи [3 — 8]. Суперконстанты π и α определяют геометрические свойства пространства-времени. Суммой геомет рических (π , α) и физических (hu, lu, tu ) супер констант представлен онтологический базис фундаментальных физических констант (Рис.1).

Рис.1 Онтологический базис фундаментальных физических констант.

Группа, состоящая из пяти первичных суперконстант [2,8], позволила выявить важнейшую особенность гравитационной константы G. Оказалось, что эта константа является сос тавной константой и содержит в себе постоянную Планка h, скорость света c, постоянную тонкой структуры α и другие константы. Таким образом, гравитационная константа Ньютона функционально зависима от других фундаментальных констант. В частности, одной из функциональных зависимостей является следующ ая: G=f(h,c, R∞, α, π). Дальнейшие исследования показали, что константа G, как и другие фундаментальные константы, наиболее просто может быть выражена посредством единой группы констант – универсальных суперконстант [2-9]:

{G, mpl, c, h, … e, me, R∞, μB, Фо} = f (hu , lu , t u , α , π).

Таким образом, подтверждается подход А.Пуанкаре, согласно которому утверждается дополнительность физики и геометрии [13]. Согласно этому подходу в реальных экспериментах мы всегда наблюдаем некую “сумму” физики и геометрии. Это значит, что экспериментально измеренные значения физических констант также должны содержать в себе «что-то от физики» и «что-то от геометрии». Как показано в [2 — 8], универсальные суперконстанты являются составляющими важ нейших физических констант. «Что-то от физики» и «что-то от геометрии» как раз несут в себе эти составляющие (универсальные суперконстанты) своим составом геометрических и физических суперконстант.

3. ПЯТНАДЦАТЬ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОНСТАНТЫ G.

Группа универсальных суперконстант (hu , lu, tu, α, π) позволила выявить глобальную взаимосвязь фундаментальных констант и получить математические формулы для вычисления гравитационной константы G [2,3.5]. Ниже приведены 15 эквивалентных формул для вычисления гравитационной константы G. Часть из них ранее были опубликованы в [5, 6, 15]:

G = lu5/tu3huDo, G = lu3/tu2 me Do ,

G = lpl2 lu α/tu2 me, G = 2πc3lu2/αhDo,

G = c3α2lu/2h R∞ Do G = c3lpl2α/hu,

G = tpl2c2lu α/tu2 me, G = c5tpl2α/hu,

G = lu4107/e2tu2Do, G = huα2/4πtu mpl2R∞,

Из приведенных формул видно, что константа G выражается с помощью других фундаментальных констант очень компактными и простыми соотношениями. Все формулы для гравитационной константы сохраняют когерентность. В числе констант, с помощью которых представлена гравитационная константа, использованы такие константы: фундаментальный квант hu, скорость света c, постоянная тонкой структуры α, постоянная Планка h , число π, фундаментальная метрика пространства-времени (lu,tu), элементарная масса me, элементарный заряд e, большое космологическое число Do [2, 14], планковские единицы длины lpl, массы mpl< /FONT>, времени tpl. Это указывает на единую сущность электром агнетизма и гравитации и на существование единого фундаментального базиса у всех физических констант. Это же подтверждают пять приведенных ниже дополнительных формул.

Используя константы h, c, R∞, απ, получим следующую формулу:

G =с3 α5/8 πh R∞2D0

Используя константы hu, lu , tu,me, α, π, получим следующую формулу:

G = hulu/tume2D0

Используя константы hu, c, α, mpl, пол учим следующую формулу:

G = hu c/α mpl2

Используя константы lu, магнетон Бора μB, me, α, π, получим следующую формулу:

G = 4μB2α2·10-7/lu 2me2Do

Используя константы lu , постоянную Хаббла H, tu , hu,α, получим следующую формулу:

G = 2lu5α H/tu2 hu

Все 15 формул являются эквивалентными. Отметим, что каждая из 14 формул допускает редукцию к формуле:

G = lu5/tu3huDo

Таким образом, формулы показывают, что гравитационная константа G не является независимой. Она связана с важнейшими фундаментальными конста нтами.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОНСТАНТЫ G.

Значение G было определено впервые английским физиком Г.Кавендишем в 1798 г. на крутильных весах путем измерения силы притяжения между дву мя шарами. Значение, полученное Г.Кавендишем:

G=6,740(50)• 10-11 m3kg-1s-2 .

В последующие годы измерения гравитационной константы продолжались. В 1982 году G.Luther и W.Towler получили значение [20]:

G=6,67260(50)• 10-11 m3kg-1s-2 .

Значение гравитационной константы, рекомендованное Комиссией по фундаментальным физическим константам CODATA в 1986 г.:

G = 6,67259 (85)• 10-11 m3kg-1s-2 .

В [20] приведены результаты измерений гравитационной константы, полученные разными авторами. Значения, полученные разными авторами, значительно отличаются. Эти значения представлены тремя-шестью цифрами. При этом лучшие экспериментальные значения не превышают пять-шесть знаков. Очевидно, это связано с тем, что измерение значений гравитационной константы сопряжено с большими трудностями. На точность измерения оказывает влияние множество факторов. В частности , на точность измерения константы G влияют некоторые космические ритмы (солнечные, лунные, звездные), которые пока не нашли какого-либо объяснения [20]. В 1996 году О.В.Карагиоз и В.П.Измай лов получили значение:

G=6,67290(50)• 10-11 m3kg-1s-2 .

Современное значение константы G, рекомендованное CODATA 1998 [1]:

G=6,673(10)• 10-11 m3kg-1s-2 .

5. НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ КОНСТАНТЫ G, ПОЛУЧЕННОЕ РАСЧЕТОМ.

Рекомендованное значение гравитационной константы претерпело такую метаморфозу: сначала CODATA 1986 предложил более точное значение, затем CODATA 1998 рекомендует менее точное значение. Из всех универсальных физических констант точность в определении G остается сам ой низкой. Среднеквадратическая погрешность для G на несколько порядков превышает погрешность других констант. Точность в три-пять десятичных знаков для важнейшей физической констант ы нельзя считать нормальным положением дел. На важность исследований, целью которых должно быть повышение точности фундаментальных физических констант, обратили внимание Тейлор и Коэн [18]: «Мы считаем, что в области фундаментальных констант должна бы ть проведена большая работа и что романтике следующего десятичного знака нужно отдаться со всей страстью не ради ее самой, но ради новой физики и более глубокого понимания природы, которая здесь еще скрывается от нас». Это в полной мере относится к г равитационной константе.

Используя приведенные выше формулы, значение гравитационной константы можно получить расчетом. При этом точность ее можно повысить сразу на несколько десятичных знаков и приблизить к точно сти электромагнитных констант. Все приведенные выше формулы дают новое значение константы G, которое по точности на четыре порядка(!) выше принятого на сегодня значения. Наибол ее точное значение гравитационной константы можно получить на основе использования следующих физических констант: скорости света в вакууме c, постоянной Планка h , постоянной Ридберга R∞, постоянной тонкой структуры α, числа π. Такое же точное значение гравитационной константы получается при использ овании универсальных суперконстант (hu , lu , tu , α , π). Новое значение константы G содержит 9 цифр [2]:

Таким образом, более чем за 200 лет своего существования гравитационная константа прошла несколько этапов, на которых ее значение считалось разным:

Значение гравитационной константы, полученное расчетом по приведенным выше формулам, оказалось наиболее точным.

6. СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ КОНСТАНТЫ G

Все приведенные 15 формул дают практически одинаковые значения гравитационной постоянной. Отклонения очень незначительные и наблюдаются в седьмом-девятом знаках, что связано с различной точностью тех констан т, посредством которых представлена гравитационная константа G.

По мере того, как будет возростать точность рекомендованных значений констант, можно будет с еще большей точностью вычислять значение грав итационной константы G. Отметим, что для этого достаточно иметь более точные значения двух констант — h и α [16].

В таблице приведены экспериментальные результаты [20] и расчетные значения константы G, полученные по приведенным выше формулам:

Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = c 2 * ( ¶ 2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x начальным условиям u(x,0) = f(x), ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £ x £ a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ® ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2u/ ¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 £ x £ a, 0 £ t £ T } сетку xi = ih, i=0,1 … n , a = h * n, tj = j* t t t , j = 0,1 … , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

(4)

Здесь uij — приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).

Полагая, что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему

ui,j+1 = 2(1- l 2 )ui,j + l 2 (ui+1,j- ui-1,j) — ui,j-1 , i = 1,2 … n. (5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1(t) º 0, m 2(t) º 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, … n, j=1,2, … ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, … n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, … , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ¶ u(x,0)/ ¶ t » ( u( x, t ) — u(x,0) )/ t (6) , то ui1=ui0+ + t (xi), i=1,2, … n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта t < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ® 0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага t по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.

Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.

Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn … End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.

Входные параметры :

hx — шаг сетки h по переменной х;

ht — шаг сетки t по переменной t;

k — количество узлов сетки по x, a = hn;

u1 — массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j — 1 ) временном слое, j = 1, 2, … ;

u2 — массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j — м временном слое, j = 1, 2, … ;

u3 — рабочий массив из k действительных чисел.

Выходные параметры :

u1 — массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j — м временном слое, j = 1, 2, … ;

u2 — массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) — м временном слое, j = 1, 2, … .

К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin … End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 — значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 — значение решения на предыдущем слое.

Порядок работы программы:

1) описание массивов u1, u2, u3;

2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;

3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;

4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k ³ 2 ).

Пример:

Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом t по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид

Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.

Приложение 1 (пример выполнения лабораторной работы)

Программа решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток.

Program Laboratornaya_rabota_43;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

If x = 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

Приложение 3 ( выполнения лабораторной работы. Вариант 11)

Program Laboratornaya_rabota_43_variant_11;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

f := x * ( x * x — 1 );

End;

Function g(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая производную решения при t=0 }

Begin

g := 0;

End;

Var

xp : Array[1..n] of Real;

i,j,n1 : Word;

x,t,a1,b1 : Real;

u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;

Begin

n1 := n;

WriteLn(‘Приложение 4’);

WriteLn(‘————‘);

WriteLn(‘Результат, полученный при вычислении программы :’);

WriteLn;

xp[1] := 0;

xp[n] := 1;

For i := 2 to ( n — 1 ) do

Begin

x := (i-1) * hx;

xp[i] := x;

u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }

u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }

End;

{ /// Задание граничных условий }

u1[1] := 0 ; { u(0,0) }

u1[n] := 0 ; { u(1,0) }

u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }

u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }

u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }

u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }

{ /// Печать заголовка }

Write(‘ ‘);

For i := 1 to n do Write(‘ x=’, xp[i]:1:1);

WriteLn;

t := 0;

{ /// Печать решения на нулевом слое }

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u1[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

(выполнения лабораторной работы. Вариант 20)

Program Laboratornaya_rabota_43_variant_20;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

f := 10 * x * ( x * x * x — 1 );

End;

Function g(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая производную решения при t=0 }

Begin

g := 0;

End;

Var

xp : Array[1..n] of Real;

i,j,n1 : Word;

x,t,a1,b1 : Real;

u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;

Begin

n1 := n;

WriteLn(‘Приложение 4’);

WriteLn(‘————‘);

WriteLn(‘Результат, полученный при вычислении программы :’);

WriteLn;

xp[1] := 0;

xp[n] := 1;

For i := 2 to ( n — 1 ) do

Begin

x := (i-1) * hx;

xp[i] := x;

u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }

u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }

End;

{ /// Задание граничных условий }

u1[1] := 0 ; { u(0,0) }

u1[n] := 0 ; { u(1,0) }

u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }

u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }

u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }

u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }

{ /// Печать заголовка }

Write(‘ ‘);

For i := 1 to n do Write(‘ x=’, xp[i]:1:1);

WriteLn;

t := 0;

{ /// Печать решения на нулевом слое }

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u1[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

( выполнения лабораторной работы. Вариант 14)

Program Laboratornaya_rabota_43_variant_14;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

f := x * sin( 2 * (x — 1) );

End;

Function g(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая производную решения при t=0 }

Begin

g := 0;

End;

Var

xp : Array[1..n] of Real;

i,j,n1 : Word;

x,t,a1,b1 : Real;

u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;

Begin

n1 := n;

WriteLn(‘Приложение 4’);

WriteLn(‘————‘);

WriteLn(‘Результат, полученный при вычислении программы :’);

WriteLn;

xp[1] := 0;

xp[n] := 1;

For i := 2 to ( n — 1 ) do

Begin

x := (i-1) * hx;

xp[i] := x;

u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }

u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }

End;

{ /// Задание граничных условий }

u1[1] := 0 ; { u(0,0) }

u1[n] := 0 ; { u(1,0) }

u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }

u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }

u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }

u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }

{ /// Печать заголовка }

Write(‘ ‘);

For i := 1 to n do Write(‘ x=’, xp[i]:1:1);

WriteLn;

t := 0;

{ /// Печать решения на нулевом слое }

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u1[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

 

( выполнения лабораторной работы. Вариант 13)

Program Laboratornaya_rabota_43_variant_13;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

f := sin(pi * x * x);

End;

Function g(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая производную решения при t=0 }

Begin

g := 0;

End;

Var

xp : Array[1..n] of Real;

i,j,n1 : Word;

x,t,a1,b1 : Real;

u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;

Begin

n1 := n;

WriteLn(‘Приложение 4’);

WriteLn(‘————‘);

WriteLn(‘Результат, полученный при вычислении программы :’);

WriteLn;

xp[1] := 0;

xp[n] := 1;

For i := 2 to ( n — 1 ) do

Begin

x := (i-1) * hx;

xp[i] := x;

u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }

u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }

End;

{ /// Задание граничных условий }

u1[1] := 0 ; { u(0,0) }

u1[n] := 0 ; { u(1,0) }

u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }

u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }

u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }

u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }

{ /// Печать заголовка }

Write(‘ ‘);

For i := 1 to n do Write(‘ x=’, xp[i]:1:1);

WriteLn;

t := 0;

{ /// Печать решения на нулевом слое }

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u1[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

 

( выполнения лабораторной работы. Вариант 12)

Program Laboratornaya_rabota_43_variant_12;

Const

hx = 0.1 ; { Шаг по x — hx }

ht = 0.05 ; { Шаг по t — ht }

n = 11 ; { Количество узлов }

Function f(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая решение при t=0 }

Begin

f := sin(pi * x) * cos(x);

End;

Function g(x : Real) : Real; { Данная функция }

{ вычисляющая производную решения при t=0 }

Begin

g := 0;

End;

Var

xp : Array[1..n] of Real;

i,j,n1 : Word;

x,t,a1,b1 : Real;

u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;

Begin

n1 := n;

WriteLn(‘Приложение 4’);

WriteLn(‘————‘);

WriteLn(‘Результат, полученный при вычислении программы :’);

WriteLn;

xp[1] := 0;

xp[n] := 1;

For i := 2 to ( n — 1 ) do

Begin

x := (i-1) * hx;

xp[i] := x;

u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }

u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }

End;

{ /// Задание граничных условий }

u1[1] := 0 ; { u(0,0) }

u1[n] := 0 ; { u(1,0) }

u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }

u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }

u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }

u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }

{ /// Печать заголовка }

Write(‘ ‘);

For i := 1 to n do Write(‘ x=’, xp[i]:1:1);

WriteLn;

t := 0;

{ /// Печать решения на нулевом слое }

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u1[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u1[i]:3:3) else Write(u1[i]:3:3) ;

t := t + ht;

{ /// Печать решения на первом слое }

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

For j := 1 to 15 do

Begin

{Subroutine GIP3 Begin}

n1 := n1-1;

{Вычисление параметра сетки для проверки условия Куранта}

a1 := ht/hx;

if a1 > 1 then WriteLn(‘Нарушено условие Куранта’) else

Begin

b1 := a1 * a1;

a1 := 2 * ( 1 — b1);

{Вычисление решения на очередном слое}

For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i] + b1 * (u2[i+1] +

u2[i-1]) — u1[i];

For i := 2 to n do

Begin

u1[i] := u2[i];

u2[i] := u3[i]

End;

End;

u1[n] := 0;

u2[n] := 0;

u3[n] := 0;

{Subroutine GIP3 End}

t := t + ht;

WriteLn;

Write(‘t=’,t:2:2,’ ‘);

For i := 1 to n do

{Вывод результатов}

If u2[i] >= 0 then Write(‘ ‘,u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);

End;

WriteLn;

WriteLn;

End.

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9, 10. [pic]
11, 12. [pic]
13, 14. [pic]
15, 16. [pic]
17. [pic]
18. [pic]
19. [pic]
20. [pic]
21. [pic]
22. [pic]
23. [pic]
24. [pic]
25. [pic]
26. [pic]
27. [pic]
28. [pic]
29. [pic]
30. [pic]

31. [pic]
32. [pic]
33, 34. [pic]
35, 36. [pic]
37. [pic]
38. [pic]
39. [pic]
40. [pic]
41. [pic]
42. [pic]
43. [pic]
44. [pic]
45. [pic]
46. [pic]
47. [pic]
48. [pic]
49. [pic]
50. [pic]
51. [pic]
52. [pic]
53. [pic]

54. [pic]
55. [pic]
56. [pic]
57. [pic]
58. [pic]
59. [pic]
60. [pic]
61. [pic]
62. [pic]
63. [pic]
64. [pic]
65. [pic]
66. [pic]
67. [pic]
68. [pic]
69. [pic]
70. [pic]
71. [pic]
72. [pic]
73. [pic]
74. [pic]
75. [pic]
76. [pic]

77. [pic]
78. [pic]
79. [pic]
80. [pic]
81. [pic]
82. [pic]
83. [pic]

84. [pic]

85. [pic]

86. [pic]

87. [pic]

88. [pic]

89. [pic]

90. [pic]

Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0)+(y-y0)] 0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2] lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность)  f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0)  на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

«Применение уравнение Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы»

Гомель 2006

Содержание

Введение

1 Механическая система. Связи. Классификация связей

2 Возможные перемещения. Число степеней свободы

3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости

4 Обобщенные силы

5 Уравнения Лагранжа второго рода

6 Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы

7 Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию механической системы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений входят обобщённые активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперёд неизвестные реакции связей.

Основная задача динамики в обобщённых координатах состоит в том, чтобы, зная обобщённые силы и начальные условия, найти закон движения системы, то есть определить обобщённые координаты как функции времени. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат и составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению к инерциальной системе отсчёта) или относительное движение механической системы. Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы. Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.

1 Механическая система. Связи. Классификация связей

Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, будем называть механической системой. Если между точками (телами) механической системы действуют силы взаимодействия, то она обладает тем свойством, что в ней положение или движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных. Классическим примером такой системы является солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притяжения.

Определение 1 [1, с. 357]: Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.

Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы – кинематическими или дифференциальными.

Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются голономными связями, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают.

2 Возможные перемещения. Число степеней свободы

Определение 2 [1.с. 358]: Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть через них выражено.

Определение 3 [1, с. 359]: Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение точки определяется тремя независимыми координатами х, у, z.

Этот результат оказывается общим, т.е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.

3 Обобщенные координаты и обобщенные скорости

Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). У такой системы число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т.д.

Определение 4 [1, с. 369]: Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называются обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться s обобщенными координатами

Определение 5 [1, с. 370]: Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы.

4 Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему из n механических точек ,,…,, находящуюся под действием системы сил ,,…,.

Предположим, что система имеет s степеней свободы, т.е. положение определяется s обобщенными координатами .

При наличии нестационарных связей радиус-вектор является функцией обобщенных координат и времени:

,) (i = 1,2,…, n).

Сообщим элементарное приращение только одной координате , оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты.

Тогда радиус-вектор точки М получит приращение , обусловленное приращением этой координаты:

=.

Вычислим работу всех сил, действующих на механическую систему на перемещения точек , вызванных перемещением координаты :

= = ==

Разделив на элементарное приращение обобщенной координаты , получим величину , называемую обобщенной силой:

= (1)

Определение 6 [2, с. 320]: Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения.

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

= (j =1, 2, …, s).

5 Уравнения Лагранжа второго рода

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки М, этой системы является функцией обобщенных координат и времени t:

,). (2)

Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки , определяется по правилу дифференцирования сложной функции:

(3)

Из выражения (3) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате :

(4)

Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле:

(5)

Из выражения (3) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

(6)

Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (5) как сложную функцию:

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (4):

Продифференцируем это выражение по времени:

(7)

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (7), учитывая, что для несвободной материальной точки

1. С помощью равенства (1), определяющего обобщенную силу, находим:

2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

Частная производная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (2), зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени:

(8)

Найдем частную производную , дифференцируя по выражение (3):

(9)

Правые части выражений (8) и (9) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно,

.

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (7):

=

Подставляя найденные значения обеих сумм в равенство (7) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых :

+,

или

=(j = 1,2,…, s). (10)

Систему s дифференциальных уравнений (10) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы .Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

(j=1, 2,…, s).

6 Уравнения второго рода для консервативной системы

Предположим, что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал (консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала (неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу удобно представить в виде суммы обобщенной силы , соответствующей консервативным силам , и обобщенной силы , соответствующей неконсервативным силам :

=+.

Если на рассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщенная сила определяется формулой:

= = (j=1,2,…, s).

В этом случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:

= (j = 1,2,…, s). (11)

Уравнения (12) можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L = Т – П, называемой кинетическим потенциалом.

П = П (t).

Следовательно, кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:

Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а потому

(j=1,2,…, s).

Пользуясь этим условием, получим

,

Подставим эти частные производные в уравнения Лагранжа (11):

или

(j=1,2,…, s). (12)

Уравнения (12) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы.

7 Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы

Массы тел механической системы m= 2m; m= 6m; m=m. Начальные условия:,,,.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах ,.

Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II рода:

(13)

Здесь T – кинематическая энергия; – потенциальная энергия; и– обобщенные силы, соответствующие неконсервативным силам.

Для данной системы (14)

Введем переменную

Выразим скорости центров масс твердых тел системы через обобщенные скорости:

Угловая скорость тела 4

Момент инерции тела 4

Кинематическая энергия тел 1 – 4:

Подставляя эти величины в (14), получим

+++=

Тогда

(15)

Потенциальную энергию системы находим как работу сил тяжести твердых тел 1 и 3 при их перемещении из данного положения, характеризуемого координатами x и , в некоторое исходное нулевое, например то, от которого ведется отсчет обобщенных координат:

Тогда

(16)

Обобщенные силы = 0 и =0 (т. к. на механическую систему не действуют силы ).

Подставляя (15) и (16) в (13), получаем дифференциальные уравнения движения системы:

(17)

Выражая x из (18), получаем

(18)

Интегрируя (19), получаем

(19)

(20)

Для определения постоянных и , используя начальные условия: при t=0 x=0; x=0.

Из (19) и (20) следует =0 и =0.

Тогда

(21)

Уравнение (21) является уравнением движения системы, описывающим изменение первой обобщенной координаты.

Чтобы получить второе уравнение движения, находим из (17)

(22)

Интегрируя (23), получаем

(23)

(24)

Для определения постоянных и , используя начальные условия: при t=0 =0;=0.

Из (24) и (25) следует =0 и =0.

Тогда

(25)

Уравнение (25) является уравнением движения системы, описывающим изменение второй обобщенной координаты.

Заключение

Итак, уравнения Лагранжа II рода применяются для исследования движения механической системы с двумя степенями свободы. Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, необходимо установить число степеней свободы системы и выбрать обобщённые координаты; изобразить систему в произвольном положении и показать все действующие силы; вычислить обобщённые силы; определить кинетическую энергию системы в её абсолютном движении и выразить её через обобщённые скорости; составить уравнения Лагранжа.

Уравнения Лагранжа дают единый метод решения задач динамики, они не зависят от числа и количества точек, входящих в рассматриваемую систему, от движения самой системы. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат. Число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы.

Список использованной литературы

1. С.М. Тарг «Краткий курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1986 г., 416.

2. А.А. Яблонский «Курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1984 г., 436.

Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

“Теория случайных функций“

 

 

 

 

 

 

Студент: Ференец Д.А.

Преподаватель: Медведев А.И.

Вариант: 2.4.5.б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 1995

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.

Тип резервироавния — ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n(t) = (x(t), d(t)) с координатами, описывающими:

— функционирование элементов

x(t) О {0, 1, 2} — число неисправных элементов;

— функционирование КПУ

d(t) О {0,1} — 1, если исправен, 0 — если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x(t) — однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x(t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d(t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

 

 

 

0 —

состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние n(t) = (0, d(t))

1 —

состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние n(t) = (1, 1)

П —

состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний n(t) = (1, 1), n(t) =(2, 0) — поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов — события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5ah) = 5ah + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(-mh) = mh + o(h)

Ю

Пусть

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

Ю

Ю

( — корни =0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :

Ю

Ю

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

,

где

,

Итак,

,
где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT

(T — время жизни системы):

Ю

 

 

 

Тетриметрия

Содержание:

1. Основные понятия тетриметрии:

1.1 Сущность титрования;

1.2 Стандартные растворы;

1.3 Кривые титрования;

1.4 Индикаторы.

2. Кислотно-основное титрование:

2.1 Расчеты рН;

2.2 Таблица;

2.3 Кривая титрования;

2.4 Погрешности титрования;

2.5 Выводы;

3. Используемая литература.

Основные понятия тетриметрии.

Сущность титрования.

Процесс приливания одного раствора, находящегося в бюретке, к другому раствору для определения концентрации одного из них при известной концентрации другого называется титрованием.

Взаимодействие между определенным веществом и реактивом должно идти в определенных стехиометрических отношениях. Отклонение от этого требования наблюдается в ряде случаев; чаще всего причиной этих ограничений являются следующие обстоятельства:

1. Особенности самого определяемого вещества, которое взаимодействует с реактивом не только по одному уравнению основной реакции, то есть наряду с основной реакцией идут побочные процессы.

2. Присутствие посторонних веществ, которые также реагируют с другим реактивом.

Реакция между определяемым веществом и реактивом должна идти с большей скоростью, что особенно важно в прямом титровании.

Одно из важных условий применения реакции – найти подходящий индикатор для определения конца титрования.

Стандартные растворы.

Стандартными растворами называются растворы с точно известной концентрацией. Существует два способа их приготовления:

1. Берут на аналитических весах точную навеску соответствующего вещества, растворяют ее в мерной колбе и доводят объем раствора водой до метки. Этим способом можно готовить титрованные растворы только тех веществ, которые удовлетворяют ряду требований:

1.1 Вещество должно быть химически чистым, т.е. не должно содержать посторонних примесей в таких количествах, которые могут повлиять на точность анализов (не более 0,05-0,1%).

1.2 Состав вещества должен строго соответствовать формуле. Например, кристаллогидраты должны содержать ровно столько воды, сколько соответствует их формулам.

1.3 Вещество должно быть устойчивым при хранении и в твердом виде и в растворе, т.к. иначе легко нарушилось бы соответствие состава формуле.

2. Если вещество не удовлетворяет перечисленным выше требованиям , то сначала готовят раствор его приблизительно нужной молярности. Параллельно с этим готовят также стандартный раствор какого-нибудь подходящего исходного вещества, как описано выше. Далее, оттитровав один из указанных растворов другим и зная концентрацию раствора  исходного вещества, вычисляют точную концентрацию раствора данного вещества.

Кривые титрования.

Кривые титрования являются графическим изображением изменений рН  раствора при постепенном прибавлении рабочего раствора к определенному количеству испытуемого раствора. На оси абсцисс записывают количество прибавленного рабочего раствора, а на оси ординат – значение рН раствора. Отдельные точки кривой титрования рассчитывают по обычным формулам для вычисления рН растворов соответствующих электролитов.

Индикаторы.

При титровании необходимо установить количество рабочего раствора, эквивалентное количеству определяемого вещества. Для этой цели к исследуемому раствору приливают постепенно титрант до тех пор, пока не будет достигнуто эквивалентное отношение. Этот момент называется точкой эквивалентности. Признаком достижения точки эквивалентности служит приобретение раствором определенного значения рН. Поэтому в качестве индикаторов метода нейтрализации служат вещества, окраска которых меняется в зависимости от изменения величины рН. К ним относятся лакмус, метиловый оранжевый, фенолфталеин и многие другие вещества. Окраска каждого из них изменяется внутри определенного узкого интервала значений рН, причем этот интервал зависит только от свойств данного индикатора и совершенно не зависит от природы реагирующих между собой кислоты и основания. Благодаря этому перемена окраски индикатора происходит, как правило, не строго в точке эквивалентности, а с известным отклонением от нее. Такое отклонение влечет за собой некоторую ошибку, называемую индикаторной ошибкой титрования. Величина этой ошибки может колебаться в весьма широких пределах в зависимости от того, какой взят индикатор и какие основание и кислота реагируют между собой. При правильном выборе индикатора ошибка не выходит за обычные пределы аналитических погрешностей и  может во внимание не приниматься. Наоборот, если индикатор взят неподходящий, ошибка окажется весьма значительной.

Момент титрования, когда индикатор изменяет свою окраску, называется точкой конца титрования. Необходимо выбирать индикатор и условия титрования так, чтобы точка конца титрования совпадала с точкой эквивалентности или была, возможно, ближе к ней.

Кислотно-основное титрование

Расчеты рН

Автоколебания системы с одной степенью свободы Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого «захватывания». Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы «захватывает» автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды «исчезнувших» автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида — кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали «устойчивостью по Ляпунову».

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия выберем так:

F2 — степенной ряд по b 1 b 2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b 1 b 2 представить в виде функции m так, чтобы b 1 b 2, m исчезли из системы (7) , то (3) — периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x ‘.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) — решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m .

будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:

Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим

Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S1, S2 — периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a 1, a 2 — характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

=0 (16)
Полагаем ;

Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a ), или что все равно ч l ч . Если ч l ч < 1 имеет место устойчивость ч l ч = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч l ч > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l -комплексные; Ѕ l 2 Ѕ =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 — неустойчивость.

Случай второй — l — действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

(22)

Если принять во внимание (15)

(22a)
(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w № n; n ‘ Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 — неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

(23a) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l = m l о; w 2 = 1+ aо m , (24) (aо , m — расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо № 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

(25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

(27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b 1 b 2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

(29)

Запишем условия периодичности для (27):

Делим на m :

( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b 1, b 2, в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22) (34) , тогда D — тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

(36)
;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )

1) p2 — q < 0

2) p2 — q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика — кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w 1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

(39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К — напряжение насыщения .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

(41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т.е. w о > w 1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q — const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает «резонансную поверхность» для амплитуды. Вторая — для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

(46)

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1)

a0 — является общим корнем уравнений

2)

Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: D w = aо w 2о (MS — c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l 2о << 1; D w = w о Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов ( Vоg — амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы Андронов А.А. Собрание трудов, издательство «Академии наук СССР», 1956. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство «Академии наук СССР», 1956. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число

Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m- целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е. a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя: a^r : a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число и число a больше нуля, но меньше числа b, 0s и 0 х1) соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1), если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная функция возрастает, большее значение функции может быть только при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1. б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области определения, если 01; отрицательные значения, если 00
5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)
6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется неравенство: n sqr a< n sqr b, если 0?a0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются следующие св-ва:
1) loga1=0
2) logaа=1
3) loga(ху)= logaХ+ logaУ
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции а^ х+у =а^x * а^y имеем а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ
5) logaХ^Р= рlogaХ
6) Формула перехода: logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.
1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция
F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).
2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс
, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.
Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме чисел вида
X=пи/2 +пи k, k(Z.
Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.
2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().
3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x
4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме
0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.
5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z
6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого «захватывания». Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы
«захватывает» автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды «исчезнувших» автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида — кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр ( таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали «устойчивостью по Ляпунову».

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и
4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:

[pic]

При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
[pic]

Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
[pic]
Начальные условия выберем так:
[pic]
F2 — степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.
Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

[pic]

Решая задачи Коши, получим:

[pic]

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы [pic]

Введем обозначения [pic]; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:

[pic]

Если в этой системе можно (1 (2 представить в виде функции ( так, чтобы
(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) — периодическое решение уравнения
(1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых ( служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае: [pic]
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
[pic]

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени ( и (‘.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) — решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
Его решение мы будем искать в виде [pic] [pic] функции времени[pic]
Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.
[pic]; аналогичным образом можно показать, что [pic] (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.

[pic]

[pic]будем искать в виде: [pic] (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
(, получим:

[pic]
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях (, получим

[pic]
Для В’о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

[pic](14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

[pic](15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

[pic]

S1, S2 — периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). (1, (2 — характеристические показатели.
Если все [pic] , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

[pic]=0 (16) Полагаем [pic];

[pic]

Тогда определитель будет:

[pic]

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((), или что все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место устойчивость ( (( = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ( ((> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае
(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q1 — неустойчивость.
Случай второй — ( — действительные: [pic] ; (21) устойчивость соответствует
[pic] p и q нетрудно получить в виде рядов по степени ( из формул (19)
(12).

[pic](22)
Если принять во внимание (15)

[pic](22a)

[pic](23)

Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n ( Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 — неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
[pic] (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( — расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

[pic] (25)

При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : [pic](26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

[pic] (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

[pic]

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем
(27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F.
Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

[pic] (29)

Запишем условия периодичности для (27):

[pic]
Делим на (:

[pic] ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:
[pic]
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

[pic]
(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

[pic]

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15).
Заметим, что (30) мы можем определить (1, (2, в виде рядов по степеням (.
Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

[pic](33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

[pic]

Решение опять будем искать в виде [pic]. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

[pic]
Из формул (22) [pic] [pic] (34) , тогда [pic] ( — тот же Якобиан, что и
(32). Распишем его:

[pic]

[pic] (36)

[pic];
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить ( в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

[pic] ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()

1) p2 — q < 0 [pic]
2) p2 — q > 0 [pic]
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.
Во втором случае [pic] (*) последнее может быть выполнено только, если b <
0, а ( > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, ( > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика — кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin (1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
[pic] (39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
[pic](40)
S-крутизна характеристики, К — напряжение насыщения [pic] .
Далее, вводя обозначения: [pic]
[pic]
Получим дифференциальное уравнение для х:
[pic] (41)

А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая[pic].
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
[pic]
Если ( > 1, т.е. (о > (1, то разность фаз равна 0, если ( < 1, то разность фаз равна (. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b
< 0).

[pic](42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q — const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

[pic]

Или преобразовав их, получим следующее:

[pic]

Полагая Р = R sin (; Q = R cos (. Далее найдем для амплитуды R и фазы ( для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

[pic]
Первая формула дает «резонансную поверхность» для амплитуды. Вторая — для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, ( > 0. Считаем b и ( через формулы (35-37).
[pic]

(46)

[pic]

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1) [pic] a0 — является общим корнем уравнений
[pic]

2) [pic]

Сама ширина ((, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: (( = aо (2о (MS — c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях: а) (2о

СКОЛЬКО КОНСТАНТ ЯВЛЯЮТСЯ ИСТИННО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМИ?

Аннотация

Главными фундаментальными константами обычно считают гравитационную константу (G), постоянную Планка (h ) и скорость света (c). Принято считать, что эти константы являются независимыми. Исследования показали, что истинно фундаментальными оказались не константы G, h, c, а совсем другие константы [1, 2, 3, 4]. Их оказалось пять. Это следующие константы:

Фундаментальный квант действия hu (hu=7,69558071(63) • 10-37 J s). Фундаментальная длина lu (lu=2,817940285(31) • 10-15 m). Фундаментальный квант времени tu (tu=0,939963701(11) • 10-23 s). Постоянная тонкой структуры α (α =7,297352533(27) • 10-3 ) Число π (π=3,141592653589).

Выявлено, что важнейшие фундаментальные физические константы являются составными константами и состоят из этих пяти констант. Эти пять констант претендуют на онтологический статус, поэтому они названы «уни версальными суперконстантами» [1, 2, 3, 4].

1. Являются ли важнейшие физические константы фундаментальными?

Главными фундаментальными константами обычно считают гравитационную константу (G), постоянную Планка (h) и скорость света ( и тот факт, что в фундаментальной физике многие ученые применяют такую систему единиц, в которой они равны 1. Особенно большую значимость в глазах ученых эта тройка констант приобрела после того, как М.Планк, путем их комбинации, открыл новые единицы длины массы и времени, которые были названы «планковские единицы».

Константами G, h, c, в их различных комбинациях, оперируют наиболее важные физические теории. Так, например, теория тяготения Ньютона является G-теорией [11]. Общая теория относительности является классической (G, c)-теорией. Релятивистская квантовая теория поля является квантовой (h, c)-теорией [11]. Каждая из этих теорий оперирует одной или двумя размерными константами. Открытие планковских единиц — планковской длины, массы и времени породило у ученых надежду на возможность создания новой квантовой теории на основе трех констант G, h, c. Однако попытки создать единую квантовую теорию электромагнитных полей, частиц и гравитации на ос нове трех размерных констант — (G, h, c)-теорию, окончились безрезультатно. Такой теории до сих пор нет, хотя на ее создание возлагались очень большие надежды [11]. Почему так случилос ь? Очевидно потому, что тройка констант (G, h, c,) по каким-то причинам не может выступать в качестве константного базиса квантовой теории. В этой связи возникает правомерный вопрос: м ожно ли считать эти константы первичными и независимыми? Трудности в создании (G, h, c)-теории указывают на обратное. По всей видимости, существуют совершенно другие константы, которые являются и независимыми, и первичными и, соответственно, истинно фундаментальными. Очевидно от таких первичных констант должны происходить все основные физические константы, в том числе и константы G, h, c. Поскольку первичный статус констант G, h, c долгое время был вне сомнений, то, естественно, задача поиска онтологического базиса фундаментальных физических конс тант остро не стояла.

Неудачи в создании (G, h, c)-теории и большое количество других фундаментальных физических констант, среди которых трудно отдать какой-нибудь константе предпочтение, выдвигают на пе рвый план задачу поиска онтологического базиса физических констант. Современная физика накопила уже около 300 фундаментальных констант [6]. Сотни констант и все фундаментальные! Почему такое большое количество констант считаются фундаментальными? Если к ним подходить как к истинно фундаментальным константам, то их явно много. Если исходить из того, что основу мира составляет единая материальная сущность и все физические явления должны иметь единую природу, то количество констант должно быть намного мень шим. Здесь уместно вспомнить правило Оккама, в соответствии с которым не следует без необходимости увеличивать количество сущностей, а также мнение Френеля о том, что “природа склонна к управлению многим с помощью малого” [5, 8]. Поэтому, если в к ачестве критерия истинной фундаментальности рассматривать первичность и независимость констант, то фундаментальностью должны обладать совсем минимальное количество констант, а никак не десятки и конечно же не сотни. Таким образом, существует глубокое про тиворечие в том, что не единицы, а сотни констант наделены фундаментальным статусом. Предстоит выяснить, есть ли среди этих сотен констант «истинно фундаментальные» константы? Если таковые обнаружатся, то предстоит определить сколько их? Многое ук азывает на то, что на роль истинно фундаментальных констант достаточно трех размерных констант. Ведь неспроста только из трех основных единиц — метра, килограмма и секунды можно получить все производные единицы, имеющие механическую природу. Однако все т е же неудачные попытки в создании (G, h, c)-теории указывают на то, что трех констант явно недостаточно. Значит неизвестное число JF, которое соотв

3 < JF . С помощью пяти суперконстант можно получить аналитическим расчетом практически все важнейшие фундаментальные физические константы. Автором получены соответствующие математические соотношени я для вычисления значений фундаментальных физических констант с помощью суперконстант [1, 2, 3, 4]. По моему мнению, эти пять универсальных суперконстант смогут заменить собой большой перечень электромагнитных констант, универсальных констант, атомных и ядерных констант и стать основой новых физических теорий поля, элементарных частиц и гравитации. Более подробные сведения о суперконстантах можно узнать на сайтах:

http://www.sciteclibrary.com/

< A>

www.jsup.or.jp/shiryo/PDF/0900z53.pdf

http://www.rusnauka.narod.ru/

http://www.n-t.org/tp/ng/nfk.htm

4. Онтологический статус суперконстант hu, lu, tu, α, π

Пять суперконстант (hu, lu, tu, α, π ) составляют он тологический базис физических констант. Это значит, что физические константы происходят от пяти перечисленных суперконстант. Все пять суперконстант являются независимыми. Никакой комбинацией размерных суперконстант нельзя получить безразмерные суперконст анты. Никакой комбинацией безразмерных суперконстант нельзя получить размерные суперконстанты.

В [1, 2] cформулированны принципы суперконстантной достаточности для физических констант. Первый принцип суперконстантной достаточности: «В основе размерных фундаментальных физических констант лежат константы из группы универсальных суперконстант < /I>hu, lu, tu, α, π». Или в эквивалентной формулировке: «Значения размерных фундаментальных физических констант можно получить расчетным путем с использованием универсальных суперконстант hu, lu, tu, α, π «.

Второй принцип суперконстантной достаточности: «В основе всех безразмерных фундаментальных физических констант лежат две суперконстанты α и π». Или в эквивалентной формулировке: «Все безразмерные фундаментальные физические константы можно получить расчетным путем с использованием двух суперконстант α и π».

Таким образом, истинно фундаментальными являются пять суперконстант hu,lu,tu,α, π. Они же имеют онтологический статус. Можно сделать вывод, что другие физические константы были необосновано наделены фундаментальным статусом.

5. Необходимость поиска онтологического базиса системы единиц

Существование онтологического базиса физических констант косвенно указывает на то, что должно существовать минимальное количество физических единиц, от которых должны происходить все известные физические един ицы. Поскольку в составе онтологического базиса физических констант только три константы являются размерными, это указывает на то, что трех единиц должно быть достаточно для онтологического базиса системы единиц. Ведь неспроста только из трех основных ед иниц — метра, килограмма и секунды можно получить все производные единицы, имеющие механическую природу. Предстоит выяснить, могут ли электрические величины, например, ампер, быть сведены к механическим единицам и быть выражены посредством метра, килогра мма и секунды. Эта проблема непосредственно затрагивает принцип эквивалентности масс и требует его распространения не только на инертную и гравитационную массу, но и на электромагнитную массу. Тогда единицу измерения «килограмм» можно будет относить не т олько к механическим единицам, а распространить еще и на электромагнитные единицы. Предстоит также выяснить можно ли считать первичными и независимыми другие основные физические единицы.

Литература

1. Косинов Н.В. Физический вакуум и гравитация // Физический вакуум и природа, N4, 2000, с. 40 — 69.

2. Kosinov N. Five Fundamental Constants of Vacuum, Lying in the Base of all Physical Laws, Constants and Formulas // Physical Vacuum and Nature, N4, 2000, с. 96 — 102.

3. Косинов Н.В. Пять универсальных суперконстант, лежащих в основе всех фундаментальных констант, законов и формул физики и космологии. Актуальные проблемы естествознания начала века. Материалы международной конференции 21 — 25 августа 2000 г., Санкт- Петербург, Россия. СПб.: «Анатолия», 2001, с. 176 — 179.

4. Nikolay V. Kosiknov, Shanna N. Kosinova “GENERAL CORRELATION AMONG FUNDAMENTAL PHYSICAL CONSTANTS.” Journal of New Energy , 2000 , Vol. 5, no. 1, pages 134 -135.

5. Симанов А.Л. Проблема эфира: Возможное и невозможное в истории и философии физики // Философия науки, N1(3),1997.

6. Peter J. Mohr and Barry N.Taylor. CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998 ; WWW.Physics.nist.gov/constants . Constants in the category «All constants» // Reviews of Modern Physihs, Vol 72, No. 2, 2000.

7. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. Пуанкаре А. О науке, М., 1983.

8. Фирсов В.А. Философско-методологический анализ проблемы единства физики в концепции калибровочных полей // Философия науки, N1(3),1997.

9. Киттель Ч. , Найт У. Рудерман М.: Механика. Берклеевский курс физики.» 1, М., «Наука»,1975.

10. Carter J. The Other Theory of Physics, Washington, 1994.

11. Манин Ю.И. Математика и физика. М. «Знание», 1979.

12. John Baez. How Many Fundamental Constants Are There?

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная  работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения

гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового  уравнения            ( ¶   2 u/ ¶  t2) =  c 2 * ( ¶   2u/ ¶   x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x £ T, начальным условиям u(x,0) = f(x),  ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £  x £  a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ®   ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶   2 u/ ¶  t2) =  ( ¶  2u/ ¶  x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 £  x £  a, 0 £  t £  T } сетку xi = ih, i=0,1 … n , a = h * n, tj = j* ttt  , j = 0,1 … , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

СВЯЗЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ С КОНСТАНТАМИ ФИЗИКИ И КОСМОЛОГИИ

АННОТАЦИЯ

На основе выявленной взаимосвязи фундаментальных физических констант исследуется гипотеза больших чисел Дирака. Решается задача определения значений больших чисел и астрофизических констант с точностью, близкой к точности фундаментальных физических констант CODATA 1998. Выявлена глобальная связь, существующая между астрофизическими константами, фундаментальными физическими константами и большими числами.

Установлено, что в основе больших чисел лежит одно большое космологическое число Do=4,16650385(15)∙1042, от которого происходят все другие большие числа. Это число имеет фундаментальный статус. Высокая точность, с которой удалось определить значение большого космологического числа Do и его фундаментальный статус, позволили найти математические соотношения для вычисления значений постоянной Хаббла H, гравитационной константы G, планковских констант, астрофизических констант и получить их новые значения с высокой точностью. Выявлен единый онтологический базис фундаментальных физических констант и астрофизических констант. Установлено, что у констант, различающихся по своим значениям на 127(!) порядков, существует единство и взаимосвязь, проистекающие от того, что в их основе лежат первичные универсальные суперконстанты hu, tu, lu, α, π, которые являются онтологическим базисом физических, астрофизических констант и больших чисел.

ВВЕДЕНИЕ

Ожидается, что наметившаяся тенденция объединения космологии и физики элементарных частиц [2], может привести к новым открытиям, которые помогут раскрыть и понять физические законы, действующие как в микромире, так и в макро- и мегамире. И в физике, и в космологии важную роль играют константы и числа. Особый интерес у физиков вызывают большие числа, которые часто появляются во многих соотношениях физики и космологии [1,3,5]. Значения констант и чисел систематически уточняются. Недавно опубликованы новые рекомендуемые значения фундаментальных физических констант CODATA 1998 [7]. В настоящее время точность фундаментальных физических констант уже достигла 10-9 -10-12[7]. Однако большинство данных, относящихся к Метагалактике, содержат неопределенность от одного до двух порядков величины. Такая же низкая точность и у больших чисел. Такое большое различие в точности (на 10–14 порядков!) делает неэффективным совместное использование физических констант, астрофизических констант и больших чисел в различных формулах и уравнениях и создает препятствие для выявления связей между ними. Поэтому важнейшей задачей является нахождение точных значений астрофизических констант, больших чисел и других величин, относящихся к Метагалактике. Ниже будет приведено решение этой задачи, основанное на исследовании фундаментальных физических и астрофизических констант.Это исследование направленно также на поиск онтологического базиса физических и астрофизичеких констант.

Решение проблемы больших чисел, проведено на основе выявленной глобальной взаимосвязи, существующей между фундаментальными физическими константами [9-17]. Приведенные ниже результаты получены с использованием найденной в [9-15] группы универсальных суперконстант: фундаментального кванта действия hu (hu=7,69558071(63)•10-37 J s), фундаментального кванта длины lu (lu=2,817940285(31)•10-15 m), фундаментального кванта времени tu (tu=0,939963701(11)•10-23 s), постоянной тонкой структуры α (α=7,297352533(27)•10-3 ) и числа π (π=3,141592653589).

1. ГИПОТЕЗА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДИРАКА

В физических уравнениях и в физических теориях часто встречаются большие числа порядка 1039 –1044, и эти же числа во второй и в третьей степени [1,3,5,6]. На особенность больших чисел впервые обратил серьезное внимание П.Дирак. Он получил следующие безразмерные числа[1,3]:

k = e2/Gmemp≈1039,

χ = tU/e2mec3≈1039,

N = MU/mp≈1078=(1039)2.

Первое число является отношением электрических и гравитационных сил в атоме водорода, второе число — есть возраст Метагалактики в атомных единицах времени, третье — есть отношение массы Метагалактики к массе протона. Для определения массы Метагалактики Дирак использовал следующее космологическое соотношение [6]:

MU = mp(hc/Gmp2)2 ≈1078 mp.

Считая совпадения больших чисел не случайными, П.Дирак сформулировал следующую гипотезу больших чисел [4]: ”В качестве общего принципа можно принять, что все большие числа порядка 1039, 1078 и т.д., встречающиеся в общей физической теории, с точностью до простых числовых множителей равны t, t2 и т.д., где t — время в современную эпоху, выраженное в атомных единицах. Упомянутые простые числовые множители должны определяться теоретически, когда будет создана полная теория космологии и атомизма.”

Гипотеза Дирака привлекла внимание многих исследователей. Было выявлено большое количество совпадений, связанных с числами порядка 1039. В настоящее время магическим большим числом современной физики считается уже не 1039, а 1040 [1,5]. Это магическое число образует семейство чисел типа:

Dn =(1040)n,

где: n принимает кратные 1/4 значения от 1/4 до 3 [1,5]. Число 1040 получено округлением по порядку величины числа hc/Gmp2 ≈1,7х1038 [5]. На допустимость такого округления указывает П.Девис [5], считая, что “по сравнению с 1040 даже 102 пренебрежимо мало”.

Примерами больших чисел являются следующие величины:

отношение плотностей фотонов и барионов [1,5]:

nγ/nB≈D1/4

-отношение времени жизни типичной звезды к планковскому времени [1,5]:

tH/tpl≈D3/2

-отношение характерного ядерного времени к планковскому времени [1,5]:

tN/tpl≈D1/2

-количество заряженных частиц во Вселенной [1,5]:

Nq≈1080=D2

-отношение действия Метагалактики к элементарному действию [6]:

2MU c2tH/h ≈ 10120 = D3,

-отношение квадрата гравитационного заряда Вселенной к hc [1,5,6]:

GMH2/hc ≈ 10120=D3.

Гипотеза Дирака основывалась на предположении о непостоянстве фундаментальных констант, в частности, на изменении гравитационной константы G со временем. Однако эта гипотеза вступила в острое противоречие с опытными данными. Проведенные длительные исследования возможных вариаций фундаментальных констант не выявили ни одного подобного факта [1]. Более того, с большой точностью подтверждены факты неизменности физических констант. Так, например, оценки верхних пределов возможных изменений констант слабого и гравитационного взаимодействий составляют соответственно 10-12 год-1 и 10-10 год-1, а констант электромагнитного и сильного взаимодействий – соответственно 10-17 год-1 и 10-19 год-1 [2]. Оценка верхнего предела возможных изменений константы mp/me составляет 10-13 год-1 [2], а констант c, α, h соответственно 10-12 год-1,10-17 год-1, 10-12 год-1 [1]. Все исследования последствий возможных изменений констант показывают, что с фундаментальными константами следует соблюдать осторожность[2]. Исследования показали, что даже незначительные вариации фундаментальных констант привели бы к невозможности существования наблюдаемого мира [2]. Тем не менее, неудача с гипотезой, основанной на предполагаемых вариациях констант, не снизила интереса к большим числам. Выявленное множество совпадений больших чисел все еще нуждается в объяснении. За эту проблему брались многие известные физики. Попытки Эддингтона и других исследователей объяснить совпадения больших чисел на основе физических принципов не увенчались успехом [1]. Альтернативные объяснения совпадения больших чисел, предложенные Дикке, Хойлом, Картером, известные как слабый и сильный антропные принципы, также не решают проблему [1,5]. Как отмечает Аракелян Г.Б.[1]: “Антропный принцип подвергается критике со стороны физиков и особенно философов за спекулятивность, метафизичность, разрыв причинно-следственных связей”. По мнению П.Девиса [5]: “Весьма возможно, что в будущем будут найдены объяснения некоторых из рассмотренных численных совпадений в рамках теоретической физики, а не биологии. В этом случае таинственное число 1040 будет выведено математически”.

В качестве противопоставления антропным принципам возникла идея о множественности Вселенных [1,5]. Такое большое количество столь разных концепций появилось по причине того, что ни одна из физических теорий не смогла отыскать требуемое решение проблемы больших чисел[1]. Бессилие физической теории перед этой проблемой привело к тому, что многие ученые стали предпринимать попытки решать эту задачу методом подбора и привлечением нумерологии. Такая “игра с числами” порой приводила к близким значениям для величин, которые были известны с большой погрешностью, но по мере их уточнения выявлялась бесперспективность и ошибочность такого подхода. Нумерологический подход, основанный на игре с числами, нельзя отнести к научному методу. По словам Г.Б.Аракеляна: ”С помощью нумерологии можно по-разному и на данный момент очень хорошо аппроксимировать любую физическую величину, с какой бы точностью она ни была измерена, но шансы на точное попадание, пользуясь геометрическим образом, в искомую точку на числовой оси здесь крайне незначительны, поскольку вероятность случайного отыскания нецелого числа, неустановленной математической природы чудовищно мала”[1]. Основной причиной обилия нумерологических подходов является очень низкая точность, с которой сегодня известны значения больших чисел. Сегодняшняя точность физических констант уже достигла 7,6х10-12[7] и на этом фоне точность 102 – 103 у больших чисел выглядит резким контрастом, что дает почву для ненаучных подходов к проблеме. Таким же ненаучным является нумерологический подход. Так и осталась эта таинственная проблема совпадения больших чисел не решенной. До сих пор не удалось создать “полную теорию космологии и атомизма”, на что надеялся П.Дирак [4]. Не удалось вывести большие числа математически, как это хотел П.Девис [5]. Не дошло дело и до выяснения истинных значений, упомянутых П.Дираком, “простых числовых множителей” перед большими числами. Все это указывает на то, что проблему больших чисел необходимо решать по-иному. Ниже представлено решение этой проблемы на основе найденных в [9-17] универсальных суперконстант hu,tu,lu,α,π.

2.ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И КОНСТАНТ

В работах [9-17] было показано, что между фундаментальными физическими константами существует глобальная взаимосвязь и взаимозависимость. Были найдены математические соотношения для большинства фундаментальных физических констант и установлено, что соотношения для констант, таких как, гравитационная константа G, планковские константы, постоянная Хаббла H, содержат большое число Do (Do = 4,166…∙1042), представляющее собой отношение электрических и гравитационных сил в атоме позитрония. Математические соотношения для констант G, H и планковских констант получены не “игрой c числами”. Они строго следуют из теории, основанной на использовании универсальных суперконстант hu,tu,lu,α,π [9-17]. Соотношения приведенные в [9-17] показывают, что существует не только взаимная связь внутри семейства фундаментальных физических констант, но и общая связь между фундаментальными физическими константами, астрофизическими константами и большими числами. При этом в найденных математических соотношениях рядом стоящими оказались величины, различающиеся по точности на 9–10 порядков. Рядом стоящими оказались: большое число D0, фундаментальные физические константы и универсальные суперконстанты. Наименьшая точность оказалась у большого числа D0, у планковских констант и у астрофизических констант(102 — 103). Естественным образом возникла потребность иметь близкую или соизмеримую точность у величин, используемых совместно. Для этого необходимо было “подтянуть” точность астрофизических констант и большого числа D0 к точности фундаментальных физических констант и универсальных суперконстант (10-9 — 10-11). Такая возможность существует и ее открывают, полученные в [9,16] и приведенные ниже специальные соотношения, включающие в себя фундаментальные физические константы, универсальные суперконстанты и большое число Do. Покажем это.

Из соотношений для постоянной Хаббла: H =1/2tuαD0, H=huαDo/2l2cos me, H = hu/2l2u αDome, учитывая экспериментальное значение этой константы H=1,71(17)∙10-18 c-1 (53+5 (км/с)/Мгпс [8]), получим первое приближение для большого числа Do. Все три формулы дают значение Do=4,26(39)∙1042.

Из соотношений для гравитационной постоянной G, содержащих большое число Do [9,16]:G = lu3/tu2 me Do, G = lu5/tu3huDo, G = lu4α3/4πtu3huR∞ Do, G = hulu/tume2D0, G = lu4107/e2tu2Do, G = 2πc3lu2/αhDo, G = c4lu /EeDo, G = 2lu3 αH/tu me , G = 2 ћ lu α2 H/me2 , учитывая экспериментальное значение этой константы G = 6,673(10)∙10-11 м3 кг-1c-2 [7], получим более точное значение большого числа Do. Все формулы дают значение Do=4,1664(63)∙1042. Такое же значение для Do получается из новых соотношений для планковских констант [9,16]:

mpl=hutu(Do/α)1/2/lu2 lpl=lu(1/Do α)1/2 tpl=tu(1/Do α)1/2 Tpl=Tu(Do/α)1/2 Epl=Ee(Do/α)1/2

Значение Do во втором приближении содержит 5 цифр, что позволяет уточнить величину постоянной Хаббла. При Do=4,1664(63)∙1042 постоянная Хаббла будет равна: H = 1,7495(27)∙10-18 c-1 = 53,984(84) (км/с)/Мгпс, что на три порядка точнее известного на сегодня значения.

Для получения более точного значения Do воспользуемся результатами работ [16, 17], где на основе топологической формулы протона

Pp=2(2(2(2(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1

были получены формулы для массы протона, в которые входит большое число Do:

Поскольку значения констант mp/me и ge известны с очень большой точностью [7], эти формулы дают возможность вычислить с большой точностью число Do.Высокая точность современных значений фундаментальных физических констант, позволяет знать девять знаков для этого числа [9,16]:

Do = 4,16650385(15)∙1042.

Это значение большого числа Do находится в пределах чрезвычайно высоких точностей, с которыми известны на сегодня фундаментальные физические константы (CODATA 1998 [7]). Имея такую высокую точность для Do, его уже можно применять в математических соотношениях совместно с другими физическими константами. Будем называть большое число Do большим космологическим числом. Ниже будет показано, что это большое число имеет фундаментальный статус.

В табл.1 приведены значения большого космологического числа Do, полученые различными способами.

Табл.1

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон
Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р.
Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву [pic] и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латинские буквы X1, Х2, … (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, … для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения Х[pic]Y для[pic](X, Y) и X[pic]Y для [pic][pic](X, Y).
Содержательно знак [pic] понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы [pic].

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. [pic] служит сокращением для формулы [pic](включение).

Определение. X[pic]Y служит сокращением для Х [pic] Y & X ? Y
(собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) [pic] Х = Y [pic] (X [pic] Y & Y [pic] X);

(b) [pic] Х = Х;

(с) [pic] Х = Y [pic]Y = Х;

(d) [pic] Х = Y [pic] (Y = Z [pic]Х = Z);

(е) [pic] Х = Y [pic] (Z[pic]X [pic] Z[pic]Y).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия
«совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для [pic]Y(X[pic]Y) (X есть множество).

Определение. Pr(X) служит сокращением для [pic] M(X) (X есть собственный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами
(т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский [1939]).

Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, [pic]x1 A (x1) будет служить сокращением для [pic]X (M(X)[pic]A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и [pic]x1 A (x1) будет служить сокращением для [pic]X (M(X)[pic]A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, … будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение [pic]Х[pic]х[pic]y[pic]ZA (X, х, y, Z) служит сокращением для

[pic]Х[pic]Xj (М(Xj)[pic][pic]Y(M(Y)&[pic]ZA (X, Xj, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y
[pic](X[pic]Z[pic]Y[pic]Z).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) [pic]x[pic]y[pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u = x[pic]u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) [pic]х [pic]y (у
[pic] х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.
[pic] [pic]1x [pic] y (у [pic] х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение. [pic]y (y [pic] 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}.
Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов
Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что
[pic]NBG [pic]1Z((M(X)&M(Y)&[pic]u (u [pic] Z [pic] u = X [pic] u = Y))
[pic]

[pic](( [pic] M(X) [pic] [pic] M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &[pic] u (и [pic]{X, Y} [pic] u = X [pic] u
= Y)) [pic]

[pic](([pic] M(X)[pic] [pic] M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доказать, что [pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u (u [pic] {х, у}
[pic] u = x [pic] u = y) и [pic]NBG [pic]x [pic]y (M({х, у})).

Определение. [pic] = {{Х}, {X, Y}}. [pic] называется упорядоченной парой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет.
Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

[pic]NBG [pic]x [pic]y [pic]u [pic]v ([pic]).

Доказательство. Пусть [pic] = [pic]. Это значит, что {{x}, {x, y}} =
{{u}, {u, v}}. Так как {х} [pic] {{x}, {x, y}}, то {x} [pic] {{u}, {u, v}}.
Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} [pic] {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} [pic]{{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y}
= {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ? u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки.

Определение

[pic] = Х,

[pic]

Так, например,

[pic] и [pic]

В дальнейшем индекс NBG в записи [pic]NBG опускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

[pic] [pic]

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами.

А к с и о м а В1. [pic]X [pic]u [pic]v ([pic][pic]X [pic] u [pic] v)
([pic]- отношение).

А к с и о м а В2. [pic]X [pic]Y [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u
[pic] X & u [pic]Y)

(пересечение).

А к с и о м а В3. [pic]X [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] X)

(дополнение).

А к с и о м а В4. [pic]X [pic]Z [pic]u (u [pic] Z [pic] [pic]v
([pic][pic]X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v ([pic] [pic] Z [pic] u
[pic] X).

А к с и о м а В6. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).

А к с и о м а В7. [pic]X [pic]Z [pic]u [pic]v [pic]w ([pic] [pic] Z
[pic] [pic] [pic] X).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

[pic] [pic]X [pic]Y [pic]1Z [pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] X & u
[pic] Y),

[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic] u [pic] x),

[pic] [pic]X [pic]1Z[pic]u (u [pic] Z [pic][pic]v ([pic] [pic] X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ?, -,
D.

Определения

[pic]u (u [pic] X ? Y [pic] u [pic] X & u [pic] Y) (пересечение классов Х и Y).

[pic]u (u [pic][pic][pic] u [pic] X)
(дополнение к классу X).

[pic]u (u [pic] D (X) [pic][pic]v ([pic] [pic] X)) (область определения класса X).

[pic] (объединение классов Х и Y).

V = [pic]
(универсальный класс).

X — Y = X ? [pic]

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств
(т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
[pic] [pic]Z[pic]x1 …[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул ?, которые не содержат подформул вида Yi [pic] W, так как всякая такая подформула может быть заменена на [pic]x (x = Yi & x [pic] W), что в свою очередь эквивалентно формуле [pic]x ([pic]z (z [pic] x [pic] z [pic]
Yi) & x [pic] W). Можно также предполагать, что в ? не содержатся подформулы вида X[pic]X, которые могут быть заменены на [pic]u (u = X & u
[pic] X), последнее же эквивалентно [pic]u ([pic]z (z [pic] u [pic] z
[pic] X) & u [pic] X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу ? (записанную с ограниченными переменными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула ? имеет вид xi [pic] xj, или xj [pic] xi, или xi [pic] Yi, где 1 ? i < j ? n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W1 [pic] xi [pic] xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W2 [pic] xj [pic] xi), и тогда, в силу

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]u [pic]v ([pic][pic] Z [pic] [pic] [pic] X), существует класс W3 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W3 [pic] xj [pic] xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vk[pic]u[pic]w ([pic] [pic] Z [pic] [pic]

[pic] X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что

[pic]x1… [pic]xi-1[pic]xi[pic]xj ([pic][pic]Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…,

Ym)).
Далее, на основании

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic]

[pic] Z[pic][pic][pic]X) там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что

[pic]x1 … [pic]xi [pic]xi+1 … [pic]xj ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn,

Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]v1…[pic]vm[pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z

[pic][pic][pic]X)

(1) там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi [pic] Yi теорема следует из (1) и
[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x[pic] v1…[pic]vm ([pic] [pic] Z [pic] x [pic] X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что ? содержит s логических связок и кванторов.

(a) ? есть [pic] ?. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Теперь остается положить Z = [pic].

(b) ? есть ? [pic]?. По индуктивному предположению, существуют классы
Z1 и Z2 такие, что

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z1 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и

[pic]x1…[pic]xn ([pic] [pic] Z2 [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс [pic].

(c) ? есть [pic]x ?. По индуктивному предположению, существует класс
W такой, что

[pic]x1…[pic]xn[pic]x ([pic] [pic] W [pic] ? (x1,…, xn, x, Y1,…,
Ym)).
Применим сперва

[pic] [pic]X[pic]Z [pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z [pic][pic]y
([pic][pic] X)). при X = [pic] и получим класс Z1 такой, что

[pic]x1 … [pic]xn ([pic] [pic] Z1[pic][pic]x[pic] ? (x1,…, xn, x,
Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = [pic], замечая, что [pic]x ? эквивалентно
[pic][pic]x[pic] ?.

Примеры. 1. Пусть ? (X, Y1, Y2) есть формула [pic]u[pic]v (X = [pic]
& u [pic] [pic] Y1 & v [pic] Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,
[pic] [pic]Z [pic]x (x [pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)), а на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z [pic]x (x
[pic] Z [pic] [pic]u[pic]v (x = [pic] & u [pic] Y1 & v [pic] Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву [pic]:

Определение. [pic]x (x [pic] Y1 [pic] Y2 [pic] [pic]u[pic]v (x =
[pic] & u [pic] Y1 & v [pic] [pic]Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X [pic] X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1 [pic] X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х [pic]V2 (X есть отношение).

2. Пусть ? (X, Y) обозначает Х [pic]Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, [pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z
[pic] x [pic]Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. [pic]x (x [pic]P (Y) [pic] x [pic]Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве ? (X, Y) формулу [pic]v (X [pic] v & v [pic]
Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,
[pic] [pic]1Z[pic]x (x [pic] Z [pic][pic]v (x [pic] v & v [pic] Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение. [pic]x (x [pic] [pic](Y) [pic] [pic]v (x [pic] v & v
[pic] Y)). ([pic](Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть ? (X) есть [pic]u (X = [pic]). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что [pic]x (x [pic] Z [pic][pic]u (x = [pic])).

Определение. [pic]x (x [pic]I [pic] [pic]u (x = [pic])). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym)

[pic] [pic]1W( W [pic] Vn & [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] W [pic]

[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого [pic]x1…[pic]xn ([pic][pic] Z [pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ? Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы ? (X1,…,Xn, Y1,… …,
Ym) через [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок [pic] , удовлетворяющих формуле ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. [pic]u (u [pic] [pic]
[pic] ? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) [pic] [pic]x1…[pic]xn (u = [pic] & ? (x1,…,xn,
Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n
= 1 получим [pic] [pic]u (u [pic] [pic] ? (x, Y1, …, Ym) [pic] ? (u, Y1,…,
Ym)) (иногда вместо [pic]? (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {[pic]| ?
(x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Пусть ? есть [pic][pic]Y. Обозначим [pic][pic]([pic][pic]
Y) сокращенно через [pic], тогда [pic] [pic][pic] V2 &
[pic]x1[pic]x2([pic][pic] Y [pic][pic][pic] Y). Назовем [pic] обратным отношением класса Y.

2. Пусть ? есть [pic]v ([pic][pic] Y). Обозначим через R(Y) выражение
[pic]([pic]v ([pic][pic] Y)). Тогда [pic] [pic]u (u [pic]R(Y) [pic][pic]v
([pic][pic] Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y.
Очевидно, [pic] R(Y) = D([pic]).

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v (u [pic] v & v [pic] x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение [pic](х) всех элементов множества х является также множеством, т. е. [pic] [pic]x (M([pic](х))). Множество и
[pic](х) обозначают также через и [pic]v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

[pic]x[pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] u [pic] x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, [pic] [pic]x (M(P (х))).

Примеры.

[pic] P (0) = {0}.

[pic] P ({0}) = {0, {0}}.

[pic] P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения.

А к с и о м а S.

[pic]x[pic]Y [pic]z[pic]u (u [pic] z [pic] u [pic] x & u [pic] Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y.
Следовательно, [pic] [pic]x[pic]Y (M (x ? Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество.

Предложение 5. [pic] [pic]x[pic]Y (Y [pic] x [pic] M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество).

Доказательство. [pic] [pic]x (Y [pic] x [pic]Y ? x = Y) и [pic]
[pic]x (M (Y ? x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле
A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.

Определения

Un (X) означает [pic]x[pic]y[pic]z ([pic] [pic] X & [pic]
[pic] X [pic] y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает X [pic] V2 & Un (X). (X есть функция.)

Y 1 X означает X ? (Y [pic]V). (Ограничение Х областью Y.)

Un1 (X) означает Un (X) & Un ([pic]). (X взаимно однозначен.)

X‘Y [pic]

Если существует единственное z такое, что [pic] [pic] X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у
(В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

[pic]x (Un (X) [pic] [pic]y[pic]u (u [pic] y [pic] [pic]v ([pic][pic]

X & v [pic] X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

[pic]x (0 [pic] x & [pic]u (u [pic] x [pic] u [pic] {u} [pic] x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 [pic] x, и если и [pic] x, то и [pic]{и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} [pic] x, {0, {0}} [pic] x, {0, {0}, {0,
{0}}} [pic] x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0,
1, … , n – 1}, то для любого целого п ? 0 будет выполнено п [pic] х, и при этом 0 ? 1, 0 ? 2, 1 ? 2, 0 ? 3, 1 ? ? 3, 2 ? 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N
(пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I
(бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y
= [pic](x [pic] x) ,т. е. [pic]х (х [pic] Y [pic] х [pic] х). (Такой класс
Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х [pic] х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: [pic]X (M(X)
[pic] (X [pic] Y [pic] X [pic] X)). Допустим M(Y). Тогда Y [pic] Y [pic] Y
[pic] Y, что, в силу тавтологии (A [pic][pic] A) [pic]A & & [pic] A, влечет
Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y. Отсюда по теореме дедукции получаем
[pic] M(Y)[pic](Y [pic] Y [pic] Y [pic] Y), а затем, в силу тавтологии (B
[pic] (A & [pic] A))[pic][pic] B , получаем и [pic] М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории
NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-
Форти).

Определения

X Irr Y означает [pic]y (y [pic]Y [pic][pic] [pic] X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & [pic]u[pic]v[pic]w (u[pic]Y & v[pic]Y & w[pic]Y &

& [pic][pic]X &[pic][pic]X & X [pic][pic][pic]X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & [pic]u[pic]v (u[pic]Y & v[pic]Y & u ? v
[pic][pic][pic]

[pic] X [pic] [pic] [pic] X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & [pic]Z (Z[pic]Y &

& Z ? 0 [pic][pic]y (y [pic] Z & [pic]v (v [pic] Z & v ? y [pic][pic] [pic] X &

& [pic] [pic] X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y [pic] y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

[pic]u (u [pic] x [pic] u ? 0 & [pic]v (v [pic] x & v ? u [pic]v ? u

= 0))[pic]

[pic][pic]y[pic]u (u [pic] x [pic][pic]1w (w [pic] u ? y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое множество может быть вполне упорядочено. [pic]x [pic]y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): [pic]x[pic]y (x [pic] y[pic] y [pic] x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
[pic]x[pic]y ((y Part x) & [pic]u (u [pic] x & y Tot u [pic][pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] u [pic]w =

= v [pic] [pic] [pic] y))) [pic] [pic]v (v [pic] x &[pic]w (w [pic] x

[pic][pic] [pic] y))).

Доказательство.

1. [pic] (W. O.) [pic]Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W.
O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа ? и ?, что х [pic] ? и y [pic] ?. Но так как ? [pic] ? или ? [pic] ?, то либо x [pic] y, либо y [pic] x.

2. [pic] Trich [pic] (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число ?, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа ?, и вполне упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. [pic] (W. O.) [pic] Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество [pic](х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и [pic] х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и [pic] [pic](х).)

4. [pic] Mult [pic]AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u [pic]{и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основании Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ? u и u [pic] х, то и [pic]{и} [pic] х1 и у содержит и притом единственный элемент[pic] из и [pic]{и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей функцией для х.

5. [pic] АС [pic]Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань.
На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘? = f‘u для любого ?, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения у, что v [pic] х и v [pic] F‘‘ ?. Пусть ? есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v множества F‘‘ ? относительно упорядочения v, принадлежащих x и не принадлежащих F‘‘ ?. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однозначной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = ? 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если ?

Глава 1

§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры осуществляются рядом аксиом.

Основные понятия теории: «вектор», «сумма двух векторов»,
«произведение вектора на действительное число».

Косвенным определением основных понятий теории векторного пространства являются следующие аксиомы:

I. Для любых векторов [pic] и [pic]существует единственный третий вектор [pic], называемый их суммой

[pic]

Таким образом аксиома I постулирует: а) единственность этой суммы. б) существование суммы двух векторов [pic] и [pic];

Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию f1: V x V ( V. которая называется сложением двух векторов.

II. Сложение векторов коммутативно, т.е.

[pic].

III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

[pic] [pic]

IV. Существует вектор [pic] такой, что [pic] для любого вектора,
[pic] т.е.

[pic] [pic]

Определение 1.1. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме IV, называется нулевым вектором и обозначается [pic]

V. Для каждого вектора [pic] существует такой вектор [pic], что
[pic]+[pic]=[pic] [pic][pic]

Определение 1.2. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме V, называется противоположным вектору [pic].

VI. Для любого вектора [pic] и действительно числа [pic], существует единственный вектор [pic], называемый произведением вектора [pic] на число
[pic] и обозначаемый т.о.: [pic], т.е.

[pic], [pic], [pic]

Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):

[pic]
Эта операция носит название «умножение вектора на число».

VII. Для любого вектора [pic] умножение вектора [pic] на 1 не изменяет вектора [pic], т.е.

[pic], [pic]

VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

[pic], [pic], [pic]

IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.

[pic], [pic], [pic]

X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.

[pic], [pic], [pic]

Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно теперь определить т.о.: множество V с введенными двумя операциями

[pic]

[pic], подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем действительных чисел R.