Раздел 4. Основы специальной теории относительности и релятивистская механика.
4.1. Краткие исторические сведения.
Механика, сформулированная Ньютоном в 1687 году в его знаменитых ‘Принципах’ и существенно развитая в 18 веке Эйлером (1707-1783),Клеро (1713-1765) и Даламбером(1717-1783), а в конце 18 века — начале19 века -Лагранжем (1736-1813), Лапласом (1749-1827) и Пуассоном (1781-1840) и, наконец, в 19 веке — Гамильтоном (1805-1865), Якоби (1804-1851) и Пуанкаре (1854-1912), достигла столь выдающихся успехов и получила столь широкое признание, что долгое время, вплоть до последней четверти 19 века, ее основы никем не подвергались никакой критике.
Механика стала первой наукой современного естествознания, которая получила мощное и законченное развитие на основе того экспериментально-математического метода познания природы, который от Галилея еще в 17 веке приняло современное естествознание и благодаря которому оно достигло столь поразительных и выдающихся успехов.
Красивое здание механики было столь совершенным, что и все остальные физические науки ( об электрических, магнитных, оптических, тепловых и др. физических явлениях ) долгое время, особенно весь 18 век и даже до последней четверти 19 века, пытались строить по образу и подобию механики.
Возникло даже особое течение в натурфилософии — механистическое мировоззрение, которого придерживались многие, можно сказать, подавляющее большинство, ученых конца 19 века. Это мировоззрение ставило своей целью сведение всех физических явлений к проявлению простых механических законов.
Вместе с тем, очень большие успехи, достигнутые в 19 веке электродинамикой — открытие закона электромагнитной индукции, электрического мотора и трансформатора, электромагнитной природы света, электромагнитных волн радио- и СВЧ-диапазона — и термодинамикой — открытие общефизического закона сохранения энергии, паровой машины и двигатель внутреннего сгорания, ракетного двигатель, а также фантастические успехи атомно-молекулярного учения о строении физического вещества — открытие электрона в самом конце 19 века, а также структуры атома, открытие атомного ядра, ядерной физики и физики элементарных частиц — все это уже к 1926-27 гг., как снежный ком, смело механистическую философию природы и заменило ее правильным пониманием хотя и существенной, но все же в целом ограниченной роли механики в физической науке, которая в 20 в. Нам всем известна со школы.
Но это произошло в 20 в., а мы хотим заняться сейчас историей исследований конца 19 в. — начала 20 в., зародившихся на основе критики фундаментальных основ ньютоновской механики, связанных с появлением теории относительности и релятивистской механики.
А. Проблема ньютонова абсолютного пространства и существования в природе класса инерциальных систем отсчета.
Начиная с 1872г. Э.Мах первым в истории науки не побоялся публично выступить с критикой самых фундаментальных основ механики Ньютона — в то время прочно утвердившейся и незыблемой теории.
Мах справедливо указал на отсутствие у Ньютона четких определений понятий массы и силы, на очевидную логическую зависимость первого закона от второго закона, на неясности представлений Ньютона об абсолютном движении и связанных с ним его представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени.
Фундаментальная идея механики Ньютона о том, что в природе существует «абсолютное движение» — действительно у Ньютона сформулировано очень нечетко. В этих представлениях Ньютона, однако, получил отражение в его механике тот важный экспериментальный факт, что в природе по какой-то причине существуют привилегированные, т.е. выделенные в отношении механических явлений, но полностью эквивалентные друг другу — так называемые инерциальные системы отсчета, движущиеся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, с постоянными скоростями. Одна из этих систем, по Ньютону, фактически и является той самой абсолютной системой отсчета, относительно которой Ньютон и отсчитывал свое абсолютное движение.
Таким образом, инерциальной системой отсчета в механике Ньютона, строго говоря, называется система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно, с некоторой постоянной скоростью, относительно абсолютной системы, хотя самой абсолютной системе строгого определения и не дается.
Следует, однако, заметить, что хотя сам Ньютон четко абсолютное пространство и связанную с ним абсолютную систему отсчета и не определил, но если внимательно проследить историю предваряющих исследования Ньютона исследований Галилея и Гюйгенса по движению земных тел в поле тяжести Земли и Коперника и Кеплера по движению основных небесных тел — Солнца, Луны, и пяти главных планет,, из которых, собственно говоря, непосредственно и возникла механика Ньютона, в частности, его решение самой основной задачи небесной механики — так называемой задачи Кеплера о движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите, — то нетрудно практически безошибочно установить, что под абсолютной системой отсчета Ньютон фактически понимал коперниковскую гелиоцентрическую систему отсчета, а под абсолютным пространством — межпланетное пространство Солнечной системы. Именно эта система была принята Ньютоном во всех его успешно решенных механических задачах — о движении Землм, Луны и планет, об океанских приливах и отливах на поверхности Земли и т.д.
Исторический вопрос о существовании истинной системы отсчета, самой естественной для математического описания механических движений небесных тел — Солнца, Луны и пяти главных планет был поставлен в 16-17 вв., на заре становления современного научного мировоззрения, И вопрос этот был окончательно решен уже основателем современного естествознания Н. Коперником (1473-1543) в 1520-30 гг. И в его знаменитом сочинении «Об обращениях небесных сфер», которое начало печататься за несколько дней до его смерти в 1543 г.
Фактически Коперник решил основную кинематическую задачу нашей Солнечной планетной системы, — нашел самую удобную систему координат, жестко связанную с межпланетным пространством, для описания видимого нами достаточно сложного движения Солнца, Луны и главных планет среди неподвижных звезд.
Именно эта «абсолютная» система отсчета и была принята неявно Ньютоном в его «Принципах» при формулировке основ механике, при решении им задачи Кеплера и других астрономических задач, а также при решении задач о движении тел на Земле.
Ньютон свой выбор указанной абсолютной системы отсчета не формулировал, однако, явно, заявив без должных пояснений довольно туманно, что в природе существует абсолютное время, абсолютное пространство и абсолютное движение, что именно абсолютное движение тел и является истинным предметом изучения созданной им механики с ее тремя законами.
Здесь следует подчеркнуть, что особенно удивительно то обстоятельство, что специальная, выделенная по своим механическим свойствам, инерциальная система отсчета в природе имеется не одна, а существует целый класс — бесконечное множество подобных систем, по своим механическим свойствам действительно полностью эквивалентных друг другу, Все они движется поступательно равномерно и прямолинейно, с постоянными скоростями друг относительно друга. По механическому поведению движущихся в них тел все эти инерциальные системы отсчета принципиальным образом отличаются от остальных систем отсчета — так называемых неинерциальных систем.
Что существует множество эквивалентных особенных систем отсчета, — знал уже Галилей, на экспериментальные исследования которого опирался Ньютон в своих «Принципах». Именно Галилей открыл механический принцип относительности, согласно которому, производя чисто механические эксперименты в рамках какой-нибудь одной инерциальной системы отсчета, невозможно определить факт движения этой системы отсчета относительно других инерциальных систем. В инерциальных системах отсчета идентичные по постановке механические опыты всегда одинаковые результаты.
Галилей сформулированный им механический принцип относительности использовал, как известно, для снятия наивных возражений против системы Коперника, исходящих от перпатетиков, сторонников Аристотеля, утверждающих, что если бы Земля двигалась, то находящиеся на ней тела оторвались бы от ее поверхности и отстали бы от нее. Галилей справедливо заявил, что никакие механические эксперименты, производимые на поверхности Земли, движущейся в межпланетном пространстве вокруг Солнца равномерно и прямолинейно, не могут установить факт движения Земли.
Впрочем, не совсем правильно утверждать, что Земли движется прямолинейно и равномерно. Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 0.000073 1/с ; кроме того, ее движение по примерно круговой орбите вокруг Солнца совершается со средней линейной скоростью 30 км/с, что соответствует угловой скорости 0.0000002 1/с, Само Солнце движется со скоростью 220 км/с обращаясь вокруг центра нашей галактики, что соответствует угловой скорости 0.00000000000000088 1/с. Вводу исключительной малости всех этих угловых скоростей, в очень хорошем приближении можно считать, что Земля движется через пространство поступательно равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью 30 км/с.
В отличии от Ньютона Э. Мах пытался объяснить физическую природу наличия в природе особых механических свойств у инерциальных систем отсчета — он справедливо заметил, что одна из инерциальных систем — самая главная, фактически и определяющая ньютоново абсолютное пространство — это действительно физически выделенная для нас, как людей на Земле, система отсчета, — связанная с небом неподвижных звезд, т.е. с межпланетным пространством, от которой мы никогда и ни при каких обстоятельствах не можем абстрагироваться.
Такое разъяснение Махом загадки природы об инерциальных системах отсчета, кажется достаточно убедительным, хотя и порождает вопросы. Не ясно, в частности, почему столь удаленные от нас объекты — звезды могут столь существенно влиять на движение тел на Земле и Земли вокруг Солнца в нашей Солнечной системе.
В. Проблема светоносного эфира и существования на Земле эфирного ветра.
Вопрос существования в природе целого класса механически эквивалентных инерциальных систем отсчета и о наличии среди них одной, самой главной — абсолютной системы, или, как мы объяснили, коперниковской системы, жестко связанной с межпланетным пространством и небом неподвижных звезд, по Маху воплощающим в себе абсолютное пространство Ньютона, в котором движется Земля, Солнце, Луна, планеты и их спутники, нельзя ограничить исключительно механическими рамками, как впрочем мы пока что это делали.
Это, разумеется, общефизический вопрос: ведь на Солнечную систему нельзя смотреть просто как на чисто механическую систему материальных точек, подчиняющуюся исключительно законам ньютоновской механики. Кроме механических, существует огромное число других чистофизических явлений, немеханической природы, постоянно происходящих в Солнечной системе. Во всяком случае, даже в рамках чистой небесной механики мы не можем абстрагироваться от света, так как посредством света, приходящего к нам от Солнца, Луны, планет и их спутников, мы вообще можем судить о существовании этих небесных тел и делать заключения об их механическом движении.
Как распространяется свет в межпланетном пространстве, как он доходит от Солнца до нас, — ведь межпланетное пространство практически совершенно пусто, в нем нет вещества, которое нас окружает здесь на Земле, — это очень существенный вопрос.
С момента зарождения физической оптики, т.е. еще 17 века, когда зародилась и механика, сразу возникли две взаимоисключающие теории света. С именем Ньютона связывают корпускулярную теорию, в которой свет мыслится как поток быстро летящих маленьких телец — корпускул, причем считается, что все корпускулы в потоке имеют одинаковую скорость с — скорость света. С именем Х. Гюйгенса связывают волновую теорию, в которой свет представляется в виле волн, наподобие звуковых волн в воздухе, являющихся возбуждениями некоторой упругой очнь тонкой сплошной среды — эфира, при этом скорость света с считается скоростью распространения волн в этой среде.
Практически с самого начала оптических исследований по волновой теории света было принято, что световые волны определенно не являются колебаниями или возмущениями обычной материальной среды, как звуковые волны — колебаниями воздуха. В отличие от звуковых волн световые волны могут распространяться и в сильно разреженных материальных средах и даже в пустоте. Свет от Солнца до Земли проходит через пустое межпланетное пространство между Солнцем и Землей и другими планетами.
Различие звуковых и световых волн легко проиллюстрировать следующим простым экспериментом
Звонящий будильник помещают под стеклянный колокол, из которого нсосом выкачивают воздух. По мере удаления воздуха из — под колокола звук от будильника становится все слабее и слабее, пока не пропадет совсем. Если открыть кран и впустить обратно под колокол воздух, то громкий звук будильника будет снова слышен. При всех этих манипуляциях, однако, мы все время видим будильник через стенки колокола, а следовательно, световые волны в отличие от звуковых могут распространяться и в пустом пространстве под колоколом, фактически лишенном воздуха.
Скорость света в пустоте /впрочем, как и в других прозрачных средах — в воздухе, воде, стекле и т.д./ огромна. Она равна 300.000 км/с. О. Ремером, который определил ее из наблюдений вариаций времен последовательно наблюдаемых затмений спутника Юпитера, и в начале 18 века в 1728 г. Дж. Д. Брэдли, который нашел ее из измерения угла аберрации для нескольких звезд, расположенных вблизи полюса эклиптики. Оба измерения — астрономические, т. е. В них определялась скорость света в межпланетном пространстве. Оба они дали примерно 300.000 км/с.
Так как свет, по представлениям волновой теории, является колебаниями, т. е. Возмущениями неподвижно покоящегося эфира, то естественно было считать, что фактически и было сделано, что абсолютная система отсчета Ньютона — это как раз та самая система, в который невозмущённый световой эфир покоится.
Естественно было предполагать,что эфир заполняет всё пространство между Солнцем и планетами,а так как с этим пространством уже была связана абсолютная система отсчёта Ньютона,относительно которой Ньютон отсчитывал абсолютное движение,то представлялось вполне естественным предположение,что эфир покоится в этой системе отсчёта.
Представление об эфире как об особой тонкой гипотетической среде,заполняющей всю нашу Солнечную систему и всё межпланетное пространство в ней,существенно обогащало нью-
тонову чисто механическую небесную механику,изложенную в его “Принципах”,в которой интерес проявился только к механическим,а точнее-геометрическим характеристикам движения
планет и их спутников,под действием сил всемирного тяготения,в ньютоновой абсолютной системе отсчёта.
Одновременно с представлением о покоящемся эфире в межпланетном пространстве возникал вопрос о возможности измерения немеханическим способом скорости Земли,движущейся
равномерно прямолинейно с постоянной скоростью в неподвижном эфире,т.е. с помощью не механических,а оптических экспериментов.Согласно принципу относительности Галилея,ме-
ханические эксперименты не позволяют этого сделать.Возникла,однако,теперь надежда,что оптические эксперименты как раз и позволят какие-нибудь эффекты,в которых проявлялась бы
указанная скорость.Всё дело только в том,чтобы изобрести какой-нибудь такого рода эксперимент.
Вся эта проблема об измерении скорости Земли с помощью чисто оптических,а позднее также и электродинамических экспериментов,производимых на поверхности Земли,известна в ис-
тории науки под названием проблемы измерения “эфирного ветра”.
В теории этого ветра,с самого начала,приходилось выбирать одну из двух гипотез,известных под именами гипотез Френеля и Стокса.
ГИПОТЕЗА ФРЕНЕЛЯ (1818 г.)
Земля движется сквозь неподвижный эфир,который вовсе не увлекается ею или увлекается очень слабо,и поэтому наблюдатель на Земле должен ощущать и регистрировать натекание
эфира на Землю,т.е. “эфирный ветер”,измеряя скорость которого можно определить “абсолютную скорость” Земли в ньютоновом абсолютном пространстве.
ГИПОТЕЗА СТОКСА (1845 г.)
Земля практически полностью увлекает с собой премыкающий к ней эфир,подобно шару,движущемуся с постоянной скоростью в вязкой неподвижной жидкости,который увлекает при-
мыкающую к его поверхности часть жидкости,и никакого “эфирного ветра”,по крайней мере на самой поверхности Земли,а скажем,не высоко в горах,наблюдаться не должно.
Обе гипотезы-Стокса и Френеля-о взаимодействии эфира с движущимся в нём телом-оказались в состоянии количественно объяснить явление астрономической аберрации звёзд и отри-
цательные результаты оптических экспериментов,произведённых на Земле с целью измерения скорости Земли в межпланетном пространстве.Оптические же явления,наблюдаемые в движу-
щихся прозрачных телах на Земле,смогла объяснить только гипотеза Френеля.
Первую попытку измерить скорость эфирного ветра предпринял Араго в 1810 г. Он решил обнаружить влияние движения Земли на преломление света,идущего от звезды.С этой целью
он измерял разности зенитных углов одной и той же звезды.наблюдаемой в телескоп непосредственно и через призму,т.е. попытался наблюдать изменение угла преломления луча света от
звезды к призме,когда Земля (а значит,и призма) двигалась к звезде и (через полгода) -от звезды.Араго ожидал измерить угол отклонения,равный,по его оценке,2’.Но опыты дали отрица-
тельный результат.И тогда Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить этот неожиданный для него факт.В 1818 г. было опубликовано письмо Френеля к Араго,в котором Френель
с единых позиций нашёл объяснение и отрицательного результата опыта Араго,и объяснение астрономической аберрации.
Хотя Френель понимал,что допущение полного увлечения эфира движущейся Землёй легко объясняет отрицательный результат опыта Араго,он его не принял,так как должен был объяс-
нить также и результат опыта Брэдли по наблюдению аберрации звёзд.Поэтому Френель,следуя предложению Юнга 1804 г., в основу своей теории взял допущение о неподвижном,прак-
тически не увлекаемом движущейся Землёй эфире (так как показатель преломления n воздуха очень близок к единице). Стеклянная призма Араго (показатель преломления стекла n? 1,3),
однако,по предположению Френеля частично увлекала эфир.Френель теоретически вывел значение коэффициента увлечения,равное 1-1/n2, где n-показатель преломления стекла призмы.
При таком значении коэффициента увлечения Френель смог оьъяснить и отрицательный результат опыта Араго,и опыта Брэдли по аберрации.
Физо в 1856 г. удалось измерить в земных условиях не только скорость света в воздухе (практически совпадающую со скоростью в пустоте),но и скорость света в воде,движущейся с не-
которой заданной скоростью V.Эксперимент состоял в изменении смещения интерференционных полос в интерферометре,в плечи которого были помещены две трубы с прозрачными торцами и с текущей по ним в противоположных направлениях со скоростью V водой.
Эксперимент Физо показал,что наблюдаемый сдвиг интерференционных полос соответствовал скорости света в движущейся воде относительно неподвижных стенок труб,равной
Ccp.=c/n?v(1-1/n2),
где знак плюс соответствует движению светового луча и воды в одинаковом направлении,минус-в противоположных,n-показатель преломления воды.
Попытками измерить скорость эфирного ветра на движущейся Земле занимались многие крупные физики в последней четверти XIX в.,проводившие для этого различные оптические и
электродинамические эксперименты.
Скорость света в пустоте равнв 300 000 км/c. Скорость движения Земли по своей орбите равна 30 км/с.Следовательно, v/c=0,0001, v2/c2=0,00000001; речь идёт об очень малых эффектах.
В 1871 г. Майкельсон,а в 1878 г. Майкельсон и Морли произвели первый,ставший впоследствии знаменитым эксперимент второго порядка малости по v/c — эксперимент Майкельсона,который потом неоднократно был повторен другими исследоватлями.
Оптический прибор-знаменитый интерферометр Майкельсона — размещался на тяжёлой каменной плите,которая плавала на ртути в бассейне в подвале здания.Ориентируя этот прибор либо плечом L1 либо плечом L2 вдоль направления движения Земли,не удалось наблюдать какого-либо различия в его показаниях (это различие должно было выразиться в смещении
интерференционных полос,наблюдаемых в зрительную трубу),.т.е. не удалось измерить скорость V движения Земли в межпланетном пространстве.
C. ПРОБЛЕМА ПРАВИЛЬНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПРЕОБРАЗОВНИЙ ЛОРЕНЦА.
Проблема измерения скорости эфирного ветра в оптических экспериментах получила новое своё развитие в последней четверти XIX в.,когда было открыто,что свет имеет электромаг-
нитную физическую природу,что оптика является только частью другой более фундаментальной и более глубокой физической науки-электродинамики.
Основы электродинамики сформулировал Максвелл в своём знаменитом “Трактате” в 1873 г., играющем такую же основополагающую роль в электродинамике,как “Принципы” Ньютона в механике.В этом труде были сформулированы знаменитые уравнения Максвелла и была высказана гипотеза об электромагнитной природе света-что свет является электромаг-
нитными волнами,-которая в 1888 г. была подтверждена Г.Герцем,экспериментально открывшим электромагнитные волны радио- и СВЧ- диапазона.
В теории Максвелла впервые в истории науки связывались между собой электрические и магнитные явления с оптическими явлениями.Упругий эфир Френеля превратился,таким обра-
зом, в носителя электромагнитных возмущений и электромагнитных волн,т.е. стал электромагнитным эфиром,а элекрические и магнитные поля напряжённости и индукции стали рассмат-
риваться как показатели напряжений и деформаций этого эфира.
Максвелл представлял себе электрические и магнитные поля и электромагнитные волны механически-как возмущения гипотетической,хотя и очень своеобразной,но всё же чисто механи-
ческой сплошной среды,наделённой особыми механическими св-вами;при этом он считал,что эфир в пустоте и эфир в веществе имеют различные мех. св-ва.
Сам Максвелл считал,что его уравнения справедливы только для покоящегося эфира,возмущениями которого являлись,по его представлениям,рассматриваемые им электромагнитные
поля и волны.Систему отсчёта,в которой эфир покоится Максвелл связывал с абсолютной системой отсчёта Ньютона.
Ур-ия Максвелла составлены для четырёх векторных ф-ий: E(x,y,z,t), D(x,y,z,t) — напряжённости и индукции электрического поля, H(x,y,z,t), B(x,y,z,t) — напряжённости и индукции маг-
нитного поля.Эти ф-ии характеризуют возмущение неподвижного электромагнитного эфира.Изменяющиеся со временем электрическое и магнитное поля не могут существовать по
отдельности — они образуют единое электромагнитное поле,представляющее собой электромагнитные,в частности оптические волны.
Уравнения Максвелла имеют следующий вид:
rot E = -дB / дt, rot H = j + дD / дt, div D = р, div B = 0,
где j=j(x,y,z,t) — объёмная плотность элекрического заряда.
Как видим,уравнения Максвелла предполагают,что координаты x,y,z и время t описываются в некоторой системе отсчёта,которая,по предположению Максвелла является системой отсчёта, в которой невозмущённый электромагнитый эфир покоится.
Попытками распространить уравнения Максвелла на произвольно движущиеся материальные прозрачнные среды,которые как предполагалось в соответствии с гипотезой Френеля
каким-то образом увлекали с собой эфир,занимались многие крупные физики последней четверти XIX в.,но,пожалуй,больше всех Г.А. Лоренц.
Исследуя выведенные им на основе его электронной теории уравнения Максвелла для движущейся среды,Лоренц в 1895 г. пришёл к удивительному результату,-что с точностью до членов первого порядка малости по v/c,где v-скорость движения системы отсчёта,c-скорость движения электромагнитных волн,эти уравнения Максвелла можно строго математически
преобразовать к виду уравнений Максвелла для неподвижной среды,т.е. он строго доказал,что уравнения Максвелла “не чувствуют” поступательного движения системы отсчёта,если
только она движется с постоянной скоростью.
Лоренц получил тем самым объяснение отрицательных результатов проведённых к тому времени экспериментов,показывающих,что с помощью оптических и электродинамических
эффектов первого порядка по v/c,производимых с земными источниками света,невозможно определить скорость движения Земли относительно межпланетного пространства Ньютона.
Чтобы объяснить остающийся,однако, необъяснённым отрицательный результат эксперимента Майкельсона-Морли второго порядка малости по v/c Лоренц и независимо Фицдже-
ральд выдвинули знаменитую гипотезу о сокращении всех тел,движущихся в абсолютном пространстве вдоль направления движения в отношении,зависящем от скорости движения.
Если Lо- длина покоящегося тела,L-дли-
на движущегося тело вдоль направления движения,то,согласно этой “гипотезе сокращения”,
где ??, v/c v -скорость движения тела.
Чтобы объяснить невозможность определения скорости v тела,равномерно и прямолинейно движущегося относительно абсолютного пространствав оптических
и электродинамических экспериментах,не только первого,но и второго, и более высоких порядков по v/c,Лоренц доказал в своей работе по электродинамикедвижущихся сред (1904 г.) строгую математическую теорему,что уравнения Макселла в покоящейся и движущейся инерциальных системах отсчета имеют математически совершенно одинаковый вид,с точностью дочленов и первого,и второго,и более высоких порядков по v/c включительно.Он установил,что они инвариантны.При этом Лоренц при преобразовании уравнений Максвелла от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразовывал также и время t,
вводя математически совершенно формально так называемое “локальное время”: t?=t- x, где x,t -координата и время в покоящейся системе отсчета.
В результате теоретических исследований Лоренца и проведённог Майкельсоном и Морли эксперимента естественно возникал электродинамический принцип тносительности,сформулированный Галлилемещё в XVII в.
Правда сам Лоренц этот принцип не провозгласил.Это сделали на основе его работ и в особенности егоработы 1904 г. сначала Пуанкаре,а немного позже и независимо Эйнштейн в 1905 г.
Согласно механическому принципу относительности,проводя различные механические эксперименты в лаборатории, движущейся с постоянной скоростью отьносительно покоящейся абсолютной лаборатории, невозможно измерить ее скорость движения. (Все механические явления в обеих лабораториях происходят совершенно одинаково).
Согласно электродинамическому принцину относительности, нельзя опрелить скорость движения указанной движущейся лаборатории, производя в ней также и всевозможжные электродинамические, в том числе оптические эксперименты. (Все электродинамические явления в обеих лабораториях происходят совершенно одинаково).
Как мы уже сказали, очень четко обобщенный общефизический принцип относильтельности, об инерциальных системах отсчета, впервые сформулировал Пуакаре в 1904 г. за год до формулировки этого принципа Эйнштейном в 1905 г. и появления основополагающей в специальной теории относительности его знаменитой работы 1905 г. Пуанкаре ещё с начала 90-х годов XIX в. интересовался теорией Лоренца и работал над её развитием.
Основные преобразования инвариантности-так называемые преобразования Лоренца:
были опубликованы Лоренцем в 1904 г. в упомянутой работе.
Пуанкаре понял, что преобразования, найденные Лоренцем, составляют группу преобразований инвариантности четырехмерного пространства-времени, координатными осями которого являются являются пространственные оси x,y,z и ось времени t. Он же назвал преобразования, найденные Лоренцем,”преобразованиями Лоренца”.
В знаменитой работе 1905 г. Эйнштейн сформулировал независимо от Пуанкаре общефизический принцип относительности для инерциальных систем отсчёта и, как он сам утверждал и как это часто утверждают другие, дал физически единственно правильную интерпретацию формулам преобразования Лоренца.
Эйнштейн заявил. что преставление о времени. которое существовало в физике со времён Галилея и Ньютона, ошибочно, что его надо исправить, т.е. строгим фомальным образом определить, что такое “время”. Это его утверждение основывалось на предложенном им в работе 1905 г. кинематическом, т.е. в отличие от работ Лоренца никак не связаны с электродинамикой, выводе формул преобразований Лоренца, выведенных, как Эйнштейн считал, только из правильного, предложенного им в этой работе понимания понятия времени.
Родившаяся с появлением работы Эйнштейна 1905 г. так называемая специальная теория относительности оказалась исключительно полезной в физике микромира и стала широко использоваться в бурно развивавшихся в XX в. атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц, т.е. в микрофизике.
Вообще считается, что в физике XX в. имеется только два главных фундаментальных теоретических достижения: теория относительности и квантовая механика.
15 4.2 Понятия абсолютного и относительного механического движения у Ньютона
В настоящее время в классической механике и во всех технических науках без какаих либо особых оговорок широко используется введённое Ньютоном в “Принципах” в 1687 г. представление об абсолютном движение,т.е. о движение тела или системы тел в абсолютно пустом пространстве,т.е. относительно этого пространства при течении абсолютного времени.Считется,что природа состоит из тел,движущихся или покоящихся в пустом пространстве.Само пространство неподвижно.о его движении говорить просто бессмысленно.Эти совершенно чёткие представления об абсолютном времени требуют,однако,серьёзных физических разъяснеий.
Необходимо хорошо понимать,что при непосредственно экспериментальном исследовании механического движения или состояния покоя тела мы всегда подразумеваем (неявно,неосознано) достаточно массивные твёрдые тела,относительно которых отсчитываем положение частей тела,системы тел,малого тела в различные моменты времени,мы подразуемые и некоторый
определённый конкретный измеритель времени,
т.ею часыю
Другими словами.при экспериментальном изучении механического движения
мы всегда имеем некоторую вполне определённую “систему отсчета “,под которой
понимаются как все массивные тела,относительно которых мы отсчитываем положение нашего движущегося или покоящегося тела,так и и конкретный используемый в экспериментах измеритель времени.
Эту мысль чаасто выражают словами:движение относительно, или движение по природе своей относительно.
Пример: 1)Космонавты в космическом корабле в качестве естественной для себя системы отсчета используют систему,жёстко связанную со стенками космического корабля,и обычные,механические или электронные часы,имеющиеся на борту.
2)Для нас,людей на Земле,имеется естественная сис.отсчета,-жёстко связанная
с неподвижными телами на поверхности Земли,или,что тоже самое,жёстко связанные со стенами лабораториию.Это так называемая лабораторная система отсчета.В кчестве измерителя времени используют лабораторные часы.
Отмечая относительный характер механического движения и необходимость фиксации определённой системы отсчёта,обязательно надо давать себе отсчет в том,что различные сис.отсчёта физически и механически вовсе не равноправны.
Другими словами,механические движения тел в различных сис.отсчёта происходят по-разному,по разным математическим и физическим законам.
16 Эксперименты,однако,показывают,что среди всех возможных сис.отсчета в природе существуют всё-таки такие сис.отсчёта,относительно которых движение или системы тел или малых частей тела являются наиболее простым и естественным.
Эти системы определяются как сис.отсчета,в которых выполняются абсолютно строго три закона Ньютона(в частности первый закон,соглано которому поступательно движущееся тело,не подверженное никаким внешним воздействиям,движется равномерно и прямолинейно).Такие сис.отсчёта называют инерциальнами.Их бесконечно много.Всеони движутся друг относительно друга
прямолинейно и равномерно.Одну из этих систем мы можем назвать абсолютной и считать,что это кака раз та система,которую использует классическая механика Ньютона.
С другой стороны,может быть и на самом деле в природе существует одна.действительно абсолютная физ. сис.отсчета,скажем,связанная с космическим просранством,простирающимя между Солнцем и Землёй и другими планетами.
Инерциальная сис.отсчёта является идеализацией,абстракцией,так как любая конкретная сис.отсчёта всегда,строго говоря,не инерциальна.Вмесе с тем эо очень полезная абстракция,так как всегда можно указать (и использовать в экспериментах) сис.отсчёта,сколь угодно близкую к инерциальной.Например,для большинства механческих экспериментов,проводимых в лаборатории такой приближённо инерциальной системой является сама лабораторная сис.отсчёта,хотя она и участвует во вращательном движении Земли(в частности чтобы убедиться в её неинерциальности,в ней можно произвести известный опыт Фуко с маятнком,плоскость качания которого едленно поворачивается).
Намног более инерциальна не так называемая “геоцентрическая”,а рассматриваемая в небесной механике “гелиоцентрическая”система,центр которой помещён в центр масс Солнечной системы и оси которой направлены на три неподвижные звезды.Эта гелиоцентрическая система,однако,тоже,строго говоря,
не инерциальна,так как Солнце с планетами совершает вращательное движение относительно ядра нашей галактики-”Млечног пути”.
Эксперименты,вообще,не могут указать ни одной по-настоящему инерциальной сис.отсчёта.
Однако это не важно,так как ма всегда можем найти достаточно инерциальную систему для наших конкретных целей и представить себе абстрактно даже целый класс инерциальных сис.отсчёта,движущихся относительно друг друга поступательно с постоянными скоростями.
17 Это-полезная абстракция.Из того что в природе нет идеальных геометрических прямых линий или идеальных геометрических плоскостей,вовсе не следует,чо абстракции бесконечной прямой линии и бесконечной плоскости не являются полезными;они даже очень полезны для нас.
Таким образом,говоря об относительном характре ддвижения,нельзя встать на наивную точку зрения-считать,что все сис.отсчёта равноправны,что”всё на свете относительно”.
И тем не менее на такую точку зрения,к сожалению часто встают.
Так,с появлением теории относительности в XX в. некоторые её не очень образованные адепты стали утверждать,что бессмыслен был спор Коперника
с Галилея с католической церковью (а фактически с Аристотелем и Птолемеем)
о том,вращается ли Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли.
Чтобы объяснить идею абсолютного характера движения,Ньютон в “Принципах”
(1687 г.) приводит описание знаменитого эксперимента с подвешенным ведром (“ведёрко Ньютона”).Возьмём ведро,или бадью,и подвесим его на верёвке к потолку,закрутим верёвку и ведро,чтобы верёвка стала совсем тугой,а потом отпустим ведро.Ведро придёт тогда через некоторое время в равномерное вращение,при этом свободная поверхность воды примет форму параболоида вращения(“параболический мениск”).
18 Вода относительно нас будет вращаться,т.е. будет происходить движение воды относительно лабораторной системы отсчёта.Представим теперь себе,что мы встали на боьшую вращающуюся платформу,расположимся точно на её оси и будем рассматриивать свободно подвешенное ведро на незакрученной верёвке,идущей точно вдоль оси платформы.Вода в ведре относительно нас вращается.Тепрь,однако,свободная поверхность воды будет горизонтальной.
Две рассмотренные системы отсчёта,таким образом,неравномерны,хотя относительное движение нас и ведра одинаково в обеих системах.
4.3.Неирциальные системы отсчёта и силы инерции
Механика Ньютона справедлива в инерциальных системах отсчёта.
В качестве такой системы с достаточным приближеием можно взять стены лаборатории-лабораторную систему отсчёта.
В некоторых случаях,однако,удобно,и даже очень удобно,изучать движение тела,системы тел,малых частей тела в неинерциальной сис.отсчёта.Иногда это даже обязательно нужно сделать,так как используемая инерциальная сис.отсчёта всегда в какой-то мере неирциальна и это порою необходимо учитывать.
Можно привеси примеры механических движений в падающем,оторвавшимся лифте,на вращающейся платформе на карусели,в купе железнодорожного вагона,движущегося с ускорением или замедлением,в кабине космического корабля при выводе его на орбиту или кувыркающегося в пространстве и т.д. Все такие движения приходиться рассматривать в существенно неинерциальных сис.отсчёта.
В этих существенно неинерциальных системах уравнения механики неверны,т.е. неправильно и уравнене второго закона Ньютона: где F- сумма реальных физических сил,действующих на тело со стороны других физических тел.
В случаях,когда всё-таки удобно или необходимо рассматривать механическую систему в неинерциальной сис.отсчёта,нужно поэтому иметь какое-то исходное
основное механическое уравнение вместо уравненя второго закона Ньютона.
Такое уравнение можно,разумеется,получить специальным математическим персчётом из уравнения второго закона Ньютона,составленного для какой-нибудь инерциальной системы отсчёта,в данную удобную неинерциальную систему.
Результаты пересчета представляют, однако, снова в форме уравнения второго закона Ньютона, который теперь записывается следующим образом: , где Fин. обозначают возникающие при пересчете дополнительные математические члены, которые называют силами инерции. Это название, однако, не должно вводить нас в заблуждение: силы инерции никоим образом не являются настоящими физическими силами, так как нельзя указать никакого реального тела, или тел, действиями которых обусловлены указанные «мифические» силы. Они целиком определяются механическими свойствами рассматриваемой конкретной неинерциальной системы отсчета, характером ее движения.
Следует хорошо усвоить, что силы инерции действительно мифические, так как они не связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных физических тел.
К силам инерции относятся, в частности, так называемые центробежные силы и силы Кориолиса.
Пример 1. Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ?.
Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с обручем с угловой скоростью ?, в которой обруч покоится. В этой системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом d?. Кроме реальных физических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F, действующие со
стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча), надо рассмотреть теперь также и мифическую центробежную силу Fцб., действующую на элемент нашего обруча. При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом d?, действует сила
,
где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы, т.е. k=M/2?R.
Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,
или
и окончательно получаем
Пример 2. Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту ?.
Рассмотрение снова удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением a=g sin ?.
Таким образом, на каждую малуюжидкую частицу массы m в этой инер циальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная вертикально вниз, но и сила инерции Fин.=ma, направленная в противоположную сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.
Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле новых сил тяжести, имеющих ускорение g’, которое составляет некоторый угол ? с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’, будет составлять такой же угол ? с горизонтальной плоскостью. Найдем угол ?. Имеем косоугольный треугольник
Применим к нему теорему синусов , ,
sin ?(1-sin2?)=cos ? sin ? cos ?????sin???cos????cos???sin?????tg???tg???
Следовательно, искомый угол ? равен углу ?, т.е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна наклонной плоскости.
4.4. Астрономические и земные измерения скорости света
Впервые скорость света была измерена в конце XVII в. в 1675 г. датским астрономом О.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из наблюдений за спутниками Юпитера — четырьмя «медичейскими звездами», открытыми Галилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников Юпитера.
Периоды обращений этих спутников порядка нескольких дней; они малы по сравнению с периодом обращения Юпитера (12 лет) и Земли (1 год) вокруг Солнца. Ремер наблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42 час 28 мин. Он заметил, что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь от Юпитера, период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля, наоборот, приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, — что разность максимального и минимального периодов обращений спутника равна времени, необходимого свету для прохождения расстояния равного диаметру земной орбиты.
Орбита Юпитера, как и других планет, лежит приблизительно в плоскости орбиты Земли — в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.
На рисунке L обозначает расстояние между Землей и спутником Юпитера в тот момент, когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается на Земле с запаздыванием, равным ?t=L/c, где c — скорость распространения света в межзвездной среде — эфире. Очевидно время запаздывания минимально или максимально, когда расстояние между Юпитером и Землей, соответственно, минимально или максимально.
Рассмотрим сначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя последовательными затмениями спутника, т.е. период обращения спутника вокруг Юпитера. Обозначим через T0 истинный интервал времени между двумя последовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокруг Юпитера.
Рассмотрим, например, для определенности случай, когда Земля движется по направлению к Юпитеру со скоростью v. Тогда первое затмение спутника мы зафиксируем на Земле с запаздыванием, равным l/c, где l — расстояние от Земли до Юпитера в момент первого затмения, c — скорость света. Второе затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другим запаздыванием, равным (l-?l)/c, где ?l — расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время T0, прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом, отличие наблюдаемого периода T между двумя затмениями и истинного периода T-0 между ними равно ; но очевидно , а потому , т.е. наблюдаемый с Земли период обращения T оказывается меньше истинного периода T0.
Если теперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v, то отличие наблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T0 будет равно , т.е. наблюдаемый с Земли период обращения спутника T окажется больше истинного периода T0.
Предположим теперь, что мы будем наблюдать затмения спутника Юпитера в течение полугода, когда Земля перемещается из точки A в точку C.
Если наблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в некоторой промежуточной точке M на своей орбите, то очевидно где ? — угол ASM, который равен ? =2?t/T3, где t- время, протекающее с момента, когда Земля находилась в точке A своей орбиты, T3 — период обращения Земли вокруг своей орбиты. В течение полугода, когда Земля перемещается вдоль пути ABC, изменение периода варьируется от ?T=0 в точке A до максимального значения ?T=T0v/c в точке B и вновь до значения ?T=0 в точке C.
Возьмем сумму изменений периода ?T за полгода: где k-номер наблюдаемого периода.
Очевидно сумму можно рассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла
так как tk=kT0,??tk=T0. Вычисляя приведенный интеграл, находим Следовательно приходим к формуле
т.е. сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за полгода равна времени,которое требуется свету для прохождения диаметра земной орбиты. Если в первую половину года, когда Земля двигалась по пути ABC, т.е. удаляясь от Юпитера, наблюдаемые с Земли периоды Tk обращения спутника были больше истинного периода T0, то во вторую половину года, когда Земля будет двигаться по пути CDA, т.е. приближаясь к Юпитеру, наблюдаемые периоды Tk обращения спутника будут меньше истинного периода T0 причем для второй половины года
Таким образом, истинное значение периода T0 обращения спутника вокруг Юпитера можно определить, составив сумму наблюдаемых периодов TК обращения спутника за год и разделив её на полное число N наблюдаемых за год периодов:Сам Ремер получил заниженное значение скорости света, равное приблизительно с=214000км/с, при этом его ошибка в основном объяснялась неточным знанием значения диаметра земной орбиты. Фактически Ремер привел не значение для скорости света, а значение для времени требующемуся для свету на прохождение расстояния от Солнца до Земли, которое он считал равным 11 мин=660 сек (на самом деле это время равно примерно 8 мин 20 сек=500 сек). Позднее, уже в 18 и 19 веках Деламбр (1790 г.) дал значение времени 493,2 сек. и Глазенап (1874 г.) — значение 500,8 сек. Сэмпсон в 1909 г. приводит значение 498,790,02 сек. Неровности поверхности Юпитера ведут к неизбежным ошибкам времени наблюдений затмений спутника.
Следующее, тоже астрономическое измерение скорости света было произведено английским астрономом Дж.Д.Брэдли (1692-1762). В 1728 г. он нашел правильное объяснение увиденного им необычного явления в движении звезд, которое было названо вскоре аберацией.
Одной из важнейших задач наблюдательной астрономии последних десятилетий XVII в. и первых десятилетий XVIII в. было обнаружение параллаксов звёзд, необходимость наблюдений которых непосредственно вытекала из коперниковой системы мироздания, а их отсутствие служило существенным доводом против этой системы; здесь речь идет, конечно, не о суточных, а о так называемых годичных параллаксах (“суточный” — это угол, под которым виден радиус Земли с небесного тела; “годичный” — это угол, под которым виден с небесного тела радиус орбиты Земли вокруг Солнца). Брэдли как раз и стремился обнаружить эти так называемые “годичные параллаксы”, то есть углы растворов конусов, отбрасываемых на небесную сферу линиями визирования, направленными на звезду с различных точек земной орбиты. Однако вместо параллаксов (которые вследствие их чрезвычайной малости из-за огромной удаленности звезд от Земли впервые были измерены только в конце XIX в. Бесселем, то есть через 100 лет после Брэдли ), Брэдли открыл не параллакс, а аберрацию.
На рисунке показано, как образуются звездой круговые траектории на небесной сфере для звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. На левом рисунке проиллюстрировано явление годичного параллакса, на правом — явление аберрации. Видим, что положения звезды на круге при параллаксе и при аберрации для фиксированного положения Земли на орбите разные; они различаются поворотом на 900.
Брэдли наблюдал за ежесуточными проходами через меридиан звезды ? в голове созвездия Дракона, находящейся вблизи полюса эклиптик. Начав наблюдения в декабре 1725 г., Брэдли заметил, что эта звезда всё более отклонялась к югу. Её смещение достигло 20« к началу марта. Затем звезда на несколько дней остановилась, а затем стала снова двигаться, но теперь в обратную сторону — к северу. К июню звезда заняла свое прежнее положение, какое у неё было в декабре, прошла его и в течение второго полугодия проделала точно такой же путь на север и обратно. Это движение звезды нельзя было объяснить как результат параллакса (если бы это было годовое параллактическое движение, то движение звезды к югу должно начаться не в декабре, а в марте, а движение её к северу не в июне, — а в сентябре) и Брэдли догадался, что наблюдаемый им эффект обязан конечности скорости распространения света и годичному движению Земли по своей орбите.
Брэдли пишет : “Наконец я догадался, что если свет распространяется во времени, то кажущееся положение неподвижного предмета, когда глаз находится в покое, будет иное, чем когда глаз движется в направлении, уклоняющемся от линии, соединяющей предмет с глазом, и что когда глаз движется в различных направлениях, то и кажущееся положение объекта будет различным”.
Объяснение Брэдли эффекта аберрации было следующее.
Пусть прямая CA — путь луча света, идущего от источника C, по которому движется световая корпускула. Пусть глаз наблюдателя движется вдоль прямой BA со скоростью v, которая относится к скорости света c, как BA относится к CA. Корпускула света, которая обеспечивает видение глазом источника C в точке A, должна была быть испущена источником C в тот момент, когда глаз находился в точке B.
Трубу телескопа, которую Брэдли мысленно представил себе движущейся параллельно самой себе вдоль прямой BA надо направить вдоль прямой BC, чтобы получить свет от источника C. Трубу телескопа, Брэдли взял такого диаметра, чтобы она пропускала только одну световую корпускулу. Угол BCA = ? характеризует угол наклона линии визирования на источник к линии, вдоль которой движется глаз. Очевидно sin ? ? (v/c)sin?,при ? = 900, то есть для звезды в полюсе эклиптики, имеем sin ? ? v/c ;при ? = 00, то есть для звезды на эклиптике, имеем sin ? = 0.
Скорость v — это скорость движения Земли на орбите. Она Брэдли была известна, так как радиус земной орбиты был уже к тому времени давно точно измерен. Зная длину пути, пройденного Землей за год, можно было вычислить, что v = 30 км/с. Зная эту скорость и угол аберрации ?, по приведенной формуле можно было легко рассчитать скорость света c. Создав теорию для ? Дракона, Брэдли перешел к её подтверждению путем наблюдений за другими звездами. В 1726-28 гг. он наблюдал аберрацию ещё для 7 звёзд вблизи полюса эклиптики и для всех них полная амплитуда углового смещения на небе составила величину 40«-41« (среднее 40«,4). Таким образом, угол аберрации ? оказался равным 20«,2. Этот угол даёт значение скорости света 301000 км/с, но Брэдли на самом деле приводит не это значение, а значение для времени распространения света от Солнца до Земли, которое он считал равным 8 мин 12 сек.
Брэдли объяснил открытую им в 1728 г. аберрацию неподвижных звёзд на основе корпускулярной теории света. В 1804 г. Юнг показал, однако что аберрацию можно объяснить и на основе волновой теории света. При этом Юнг сделал следующее предположение. Земля и все тела на Земле пронизаны, пропитаны эфиром, но при движении Земли и тел на её поверхности они не могут этот эфир увлечь за собой или сколь-либо существенным образом его возмутить. Поэтому возникает “эфирный ветер”, пронизывающий все тела на движущейся Земле. Тела не способны задерживать эфир, как “неспособны удерживать ветер кроны деревьев”, как писал Юнг.
Таким образом, световые волны, идущие от звезды, не будут принимать участия в движении телескопа, и если считать что телескоп направлен на истинное положение звезды, а Земля, для простоты, пусть движется перпендикулярно направлению на звезду, то изображение звезды будет смещено от центрального перекрестья в фокусе на расстояние, равное тому, которое пройдет Земля за время, пока свет будет идти через трубу телескопа.
На рисунке MN = c?? KN = v?, где ??? время, требующееся свету, чтобы пройти через трубу телескопа. Таким образом, угол аберрации
Здесь рассматривается для простоты случай, когда направление движения Земли составляет точно прямой угол с направлением на звезду.
В земных условиях скорость света сумели измерить только в середине XIX в. Это сделали Физо (1849 г.) и Фуко (1865 г.) двумя различными методами (с использованием быстро вращающегося зубчатого колеса и с использованием быстро вращающегося многогранного зеркала), при этом было подтверждено значение скорости света c = 300000 км/с, полученное астрономическим методом.
4.5. Теория Френеля частичного увлечения эфира движущимся телом и его теория аберрации. Опыты Араго и Физо.
Аберрационной константой называется отношение v/c, скорости v Земли на орбите (v=30 км/с) к скорости c света в пустоте (c=300000км/с).Она очень мала :
Вопрос о том, преломляются ли по-разному стеклянной призмой лучи, идущие от звезды и от земного источника, был поставлен в первой четверти XIX в. Араго. Рассуждения его были следующие. Так как Земля движется в неподвижном эфире со скоростью v, то скорость света, идущего от звезды, в стекле призмы при приближении к звезде будет c — v, а при удалении от звезды (через полгода) будет c + v. Таким образом, показатель преломления n призмы, через которую наблюдается звезда, для света звезды должен в течение года периодически изменяться от значения n ( c — v ) до значения n ( c + v ), а потому луч от звезды должен периодически отклоняться от своего начального положения и по прошествии года должен возвращаться в свое начальное положение.
Араго в 1810 г. произвёл такой эксперимент со стеклянной призмой, направленной на определенную звезду. Он наблюдал преломление луча света звезды в призме, когда Земля двигалась к звезде (через полгода), когда Земля удалялась от звезды. Араго ожидал получить угловое смещение 2`. Но получил отрицательный результат — никакого смещения не было. Так он пришёл к заключению, что преломление в движущейся призме идентично преломлению в покоящейся призме.
Получив такой результат, Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить его. В письме к Араго от 1818 г., опубликованном во французском научном журнале в том же 1818 г., Френель не только нашел объяснение отрицательного результата опыта Араго, но и сделал принципиально новый шаг в теории аберрации. Фактически с этого письма Френеля начинается вся оптика движущихся сред. Френель поставил более широкий вопрос — как влияет движение Земли на оптические явления на Земле? Аберрация, таким образом, у Френеля перестала быть изолированным астрономическим оптическим явлением, требующим для своего объяснения особых рассуждений.
Френель сразу отказался от объяснения опыта Араго тем, что эфир полностью увлекается Землёй, так как тогда, как пишет Френель, невозможно объяснить явление аберрации, ибо её объяснение он видел, следуя Юнгу, в том, что эфир не увлекается движущейся Землёй.
В отличие от Юнга Френель, однако, предположил, что Земля сообщает пропитывающему и окружающему её эфиру очень малую часть своей скорости (очень “пористая” Земля “частично” увлекает эфир). С помощью этого предположения Френель объяснил удовлетворительным образом не только аберрацию звёзд, но также и опыт Араго и все другие оптические явления, связанные с движением Земли.
Френель принял фактически две следующие гипотезы:
1) Различие скоростей света в стекле призмы и в окружающем её неподвижном эфире происходит исключительно из-за различия плотности эфира , пронизывающего тело призмы, и плотности эфира , находящегося вне призмы, так чтогде -показатель преломления стекла призмы. Упругость эфира вне призмы и внутри неё Френель посчитал одинаковой. Таким образом, он пришёл к соотношению
2) Далее Френель посчитал, что движущаяся в неподвижном эфире призма увлекает с собой не весь эфир, её пропитывающий, а только его часть, которая является избытком плотности эфира над плотностью эфира в пустом пространстве, т.е. плотность эфира, переносимого призмой равна
Френель предположил, что когда движется только часть такой комбинированной среды, а другая её часть покоится, скорость волны в среде, распространяющейся в направлении движения среды, увеличивается на скорость движения центра масс комбинированной системы, составленной из покоящейся и движущейся частей среды, т.е. в нашем случае увеличивается на величину таким образом, имеем формулу увеличения:Коэффициентв этой формуле называется “коэффициентом увеличения”.
Здесь -это скорость движения эфира, заключённого в объёме движущегося со скоростью тела; скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир совсем не увлекался движущимся, и скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир полностью увлекался движущимся телом.
Френель убедился в справедливости своей формулы в частных предельных случаях. Эта формула очевидно верна, когда плотность увлекаемой части эфира равна нулю, — тогда , так как по формуле
Формула очевидно также верна и тогда, когда весь эфир увлекается; тогда , так как по формуле
Фактически, как мы видим, Френель попросту угадал свою формулу увлечения, предположив простую экстраполяционную линейную зависимость для увеличения скорости волны в среде от степени увлечения среды.
Стокс в 1846 г. вывел формулу увлечения Френеля из следующей физически разумной модели. Он предположил, что при движении прозрачного тела через неподвижный эфир, входящий в тело эфир, при проходе через переднюю границу движущегося тела, скачком увеличивает свою плотность от плотности в пустом пространстве до плотности внутри тела, причём в системе отсчёта, в которой тело покоится, на переднюю границу тела, которая считается для простоты плоской, в единицу времени на единицу площади натекает масса эфира , а вытекает из неё масса эфира , где -относительная скорость движения эфира относительно тела (если -абсолютная скорость движения тела, -абсолютная скорость движения эфира, заключённого в теле, то
Так как эфир на рассматриваемой границе тела не накапливается и не исчезает с течением времени, тоа следовательно,
Возвратимся к рассуждению Френеля. Следуя Френелю, рассмотрим теперь стеклянную призму на поверхности Земли с прямым углом при вершине и углом при вершине . Пусть эта призма движется вместе с Землёй в неподвижном эфире с постоянной скоростью в направлении слева направо. Пусть на её грань нормально падает плоская световая волна с фронтом , идущая от далёкой звезды, расположенной на горизонте. На передней грани призмы, входя в стекло, волна не преломляется, так как падает на эту грань нормально. Она преломляется при выходе из стекла на задней грани призмы.
На рисунке изображено два положения призмы и в два разных момента времени, скажем, в нулевой момент времени и в момент времени за которое фронт волны как раз продвинулся из положения в положение , изображенное на рисунке.
Обозначим через — скорость световой волны в неподвижном эфире и через — скорость световой волны в неподвижной призме. Тогда, согласно волновой теории света, показатель преломления стекла призмы равен
Согласно гипотезе Френеля о частичном увлечении эфира, скорость света в движущейся призме равна
Найдем значение угла , на который отклоняется фронт (или луч) света от звезды, проходя через движущуюся призму .
Рассматривая прямоугольные и с общей гипотенузой , для отрезков и получаем очевидные соотношения:Таким образом,
Вычислим теперь отрезки и по-другому. Очевидно из рисунка, что имеем следующие простые соотношения:Из приведённого чертежа имеем, кроме того, также следующие соотношения: где — угол поворота фронта волны после прохождения его через призму. Таким образом,Учтём теперь, чтои что при малых имеем приближённое равенствопри этом, считая отношение малым, мы заменили угол , на угол , его значение при . Учтём, кроме того, что при малой разности имеем приближённое равенство Приходим, таким образом, к следующему приближённому уравнению для определения угла :При и очевидно отсюда имеем соотношениесправедливое для неподвижной призмы, которое позволяет сократить в вышеприведённом уравнении члены нулевого порядка в обеих частях приведённого равенства. Тогда окончательно придём к уравнениюПреобразуем выражение, стоящее в правой части. Очевидно, чтоТаким образом, приходим к уравнениюкоторое позволяет вычислить угол отклонения луча от звезды, движущейся со скоростью , призмой, если известен угол отклонения для этого луча покоящейся призмой.
В качестве луча, отклонение которого мы рассмотрим, возьмём луч , изображённый на рисунке. Как видим, угол преломления в движущейся призме всегда несколько меньше угла преломления в покоящейся призме.
Проследим теперь за дальнейшей судьбой луча после выхода его из призмы. Этот луч света, вышедший из призмы, движущейся вместе с Землёй, из-за движения Земли, попадёт на экране, тоже движущемся, как и призма, со скоростью , не в точку , а в точку , которая определяется из условия, что за время, пока свет распространится от точки до точки , двигаясь со скоростью , точка попадёт в точку , двигаясь со скоростью . Таким образом, если -время распространения света от точки до точки , то
Рассмотрим теперь косоугольный C1KN и применим к нему теорему синусов. Получим соотношение:
следовательно:
Учитывая, что , получаем:
.
Как видим, для определения угла получили в точности такое же уравнение, как и уравнение для определения . Сл-но мы должны заключить, что .
Итак, мы рассчитали положение точки K на экране, в которую падает луч света от звезды, учитывая и эффект частичного увлечения эфира движущейся призмой и эффект аберрации. Оба эти эффекта в точности скомпенсировали друг друга, т.к., как это непосредственно видно из чертежа, в точку K наш луч от звезды попадет и в том случае, когда призма и экран покоятся. Действительно, отрезок C1K перпендикулярен “мнимому” фронту волны, отклоняющемуся в призме на угол .
Видим, что движение Земли в первом порядке по константе аберрации не оказывает никакого влияния на преломление света от звезды.
Френель из своей формулы частичного увлечения эфира вывел еще одно интересное следствие. Если трубу телескопа наполнить водой, то наличие воды в телескопе никак не будет влиять на величину аберрации.
Произвести измерение угла аберрации с помощью телескопа, труба которого наполнена водой, предложил Бошкович (1711-1787), горячий сторонник идей Ньютона и их неустанный проповедник в Италии. Такой опыт был произведен, однако, только в 1871 г. Эйри(1801-1892). Опыт подтвердил, в согласии с теорией Френеля, что угол аберрации для наполненной трубы остается таким же, как и для пустой.
Как свидетельствует Майкельсон, “внимание физиков впервые было обращено на влияние действия среды на скорость света в связи с опытом Эйри”.
Изложим теперь, следуя Лоренцу, рассуждение Френеля, объясняющее, почему заполнение трубы телескопа водой не изменяет значения угла аберрации.
Телескоп для простоты заменим примитивным оптическим прибором без линз, позволяющим, тем не менее, определить направление на звезду. Этот прибор пусть состоит из экрана ab с отверстием AB и расположенного за ним параллельно экрана ef. По взаимному расположению светлого пятна EF на экране ef и отверстия AB можно судить о направлении на звезду.
Оба этих экрана, разумеется, неподвижны относительно друг друга. Пусть прибор находится на Земле, движущейся с постоянной скоростью , скажем, в направлении слева направо.
Френель предполагает, что эфир неподвижен в межпланетном пространстве и что Земля и прибор никак не увлекают его своим движением. Это значит, что в системе отсчета, жестко связанной с Землей и прибором, эфир натекает на прибор однородным сплошным потоком с постоянной скоростью справа налево и сносит своим движением любое имеющееся в нем световое возмущение.
Ограничимся рассмотрением звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. Свет от такой звезды представляет собой у поверхности Земли практически неограниченную плоскую волну, которая падает перпендикулярно на отверстие AB, вырезающее ограниченно малую часть волнового фронта.
В течение времени , пока образованный отверстием AB фронт ограниченных размеров (изображаемый на рисунке отрезком AB) распространится в эфире по вертикальному направлению вниз и достигнет экрана ef, он будет постоянно сносится движением эфира в горизонтальном направлении, справа налево, так что в конце интервала времени фронт AB попадет на место EF экрана. При этом вырезанный экраном пучок света ABEF окажется наклоненным к вертикальному направлению на некоторый угол , который и является углом аберрации. При этом , где — скорость света в неподвижном эфире, , где — скорость движения Земли,так что
Отношение очень мало, примерно 10-4.
Обратим внимание, что кажущееся направление на звезду (которое только и наблюдается с помощью телескопа или описанного примитивного прибора) определяется не направлением волновой нормали, которая перпендикулярна фронту волны и направлена перпендикулярно вниз по прямой , а направлением луча, т.е. направлением прямой и характеризует наклон образованного отверстием светового пучка , по отношению к вертикальному направлению.
Лоренц определяет лучи, как прямые, которые показывают, каким образом световые пучки ограничены сбоку (дифракцией полностью пренебрегается).
Изменим теперь немного конструкцию нашего примитивного оптического прибора, используемого для определения направления на звезду. Возьмем снова два параллельных экрана и , верхний снова с отверстием , но теперь заполним нижнюю часть прибора — между плоскостями и — плоско-параллельным слоем некоторой прозрачной среды, например, водой, с покзателем преломления , где — скорость света в еподвижном эфире, — скорость света в неподвижном стекле. Снова возьмем свет, приходящий на Землю от звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики, и снова все рассмотрение будем в системе отсчета, жастко связанной с Землей и прибором, в которой эфир однороодным сплошным потоком натекает на прибор справа налево со скоростью .
Из практически бесконечного фронта плоской световой волны, приходящей на Землю от рассматриваемой звезды, отверстие вырежет малую часть . Ограниченное в первый момент времени краями отверстия световое возмущение дальше, — между экраном и поверхностью среды , — распространяется в эфире, движущемся справа налево однородным сплошным потоком со скоростью . Поэтому образуется световой пучок , наклоненный к вертикали под очень малым углом аберрации
как мы это объяснили выше.
Определим теперь наклон светового пучка в прозрачной среде, который образуется из светового пучка . Если бы движение эфира через прозрачную среду отчутствовало, то мы имели бы пучок , имеющий угол наклона к вертикали, определяемый из закона Снеллиуса:
;
считая, что угол , а следовательно и угол очень малы. Таким образом, для длины отрезка имеем выражение
если предположить, что — толщина слоя прозрачной среды в приборе. Движение эфира через прозрачную среду, однако, происходит. Согласно гипотезе частичного увлечения эфира прозрачным телом, эфир протекает через плоскопараллельный слой прозрачной среды справа налево горизонтальным непрерывным сплошным потоком, движущемся со скоростью
;
она меньше скорости движения Земли, которую эфир имел бы, если бы он не увлекался прозрачной средой. Вследствие переносного движения, фронт волны , распространяющийся в прозрачной среде вертикально вниз до экрана со скоростью — скоростью света в среде — за время
,
при попадании на экран будет снесен в горизонтальном направлении влево на расстояние
Получили для отрезка тот же результат, что и выше, когда делали предположение, что движение эфира отсутствует.
Таким образом мы должны сделать вывод, что движение рассматриваемого оптического прибора вместе с Землей со скоростью сквозь неподвижный эфир никак не сказывается на ходе лучей в нем; закон преломления остается таким же. Луч, приходящий от звезды, ведет себя в точности так же, как и луч такого же направления, идущий от земного источника.
4.6. Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды, пронизываемой движущимся через нее эфиром. Теорема Лоренца.
Свою оптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборов Лоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени уже твердо установленных опытных фактов:
1) существует яаление астрономической аберрации положений звезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небе маленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизи экватора эклиптики);
2) свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет, приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучи использованным в любых оптических экспериментах — по отражению, по преломлению, по интерференции и т.д., ведет себя в точности так же, как и свет от земного источника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той же частотой;
3) ни в одном оптическом эксперименте, который можно произвести с земным источником света, нельзя неблюдать никакого эффекта, связанного со скоростью движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядка малости по , где — скорость света в пустоте.
Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмы и т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е. средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной функцией локального показателя преломления , где — показатель преломления в точке среды с координатами .
Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.
Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат , жестко связанной со средой и с Землей. При этом он предполягает, что Землю и прозрачную среду пронизывает “эфирный ветер”, характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей .
Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в среде имеется эфирный ветер.
Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для непо-
движного эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронта волны, распространяюшейся в покоящейся относительно Земли, но движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S1, см. рис.
Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волнового фронта S1, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно испустить из этой точки в момент времени t т.е. взять бесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.
Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S1,будет геометрической огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек P поверхности S.
Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P, являющестя центром испускания элементарной волны, в точку P1, расположенную на поверхности S1 и являющуюся точкой касания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один из элементов луча изображен отрезком PP1 на рисунке.
Точки P и P1, принажлежащие соответственно поверхностям S и S1 и являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются сопряженными точками.
При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти послетовательные положения S, S1,S11,… фронта распространяющейся волны и последовательные элементы PP1,P1P11,P11P111,… любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.
В случае отсутствия в среде эфирного ветра кажная из рассмотренных бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферу радиуса c1t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где c1 — локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с1=с1(x,y,z) точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.
В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v — скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно равны c1·dt, как в неподвижной среде, см. рис.
Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц пользуется одной из следующих гипотез.
а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.
б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.
в) Если PQ=(1/n2)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой; здесь n — локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.
Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейно вдоль некоторого направления снекоторой постоянной скоростью v.
Длина отрезка PQ теперь равнапричем направления отрезков PR и скорости v во всех точках P будут одинаковы.
Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.
Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v — поступательно равномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижный эфир, с — скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от движения среды.
Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.
Обратмся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим ?P1PQ между направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения среды — через ?, см. рис.
На рисунке полупрямая QP направлена вдель направления эфирного ветра. Согласно теореме косинусов, примененной к ?P1PQ, имеем следующее соотношение. Отрезок P1Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c1·dt, где c1 — локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n2, n — локальный показатель преломления в точке P, v — скорость эфирного ветра. Отрезок PP1 равен с1дв·dt, где с1дв — локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в седующем виде:
или в виде квадратного уравнения из которого можно определить скорость с1дв. Решая это квадратное уравнение получимочевидно перед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для скорости с1дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или, что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v2, имеемСледовательно, с точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: или справедливо с точностью ло членов порядка малости v3/c31.
Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с1дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds — длина элемента дуги кривой ALB.
Пренебрегая членами второго порядка малости v2/c21 в выше вриведенной формуле для 1/ с1дв, получаем следующую простую формулу для времени ? для любого мысленно воображаемого пути ALB:
Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды — постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой из которой сразу получаем с1n=c, где с — скорость света в пустоте, — некоторая универсальная константа. Таки м образом, множитель имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения света по лучу ALB Легко видеть, что второй интеграл не зависит от формы пути ALB, так как он равем длине проекции прямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с1 — это линейная скорость света в неподвижной среде.
При отыскании минимума времени ? для различных путей ALB, соединяющих фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так как первый интергал не зависит от скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом приборе будет в точности токой же, как и в покоящемся приборе.
Тем самым теорема Лоренца доказана.
4.7. Теория абберации Стокса.
В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об абберации света”, в которой изложил свою теорию абберации. В момент написания этой работы Стокс не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории абберации, о чем свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее “замечательной” и дает ей инетерсное дальнейшее развитие. Однако здесь же, в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с любопытным случаем существования двух совершенно различных теорий, одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что не может проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободно проходить через твердую массу Земли.
В работе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарном объяснении абберации с помощью корпускулярной теории
света, говорили о больших успехах волновой теории света, которая “просто и красиво объяснила многие сложные явления”, об отсутствии объяснения аберрации в рамках волновой теории.
Приступим к изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько формализуем рассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.
Стокс предполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в межпланетном пространстве переносит какую-то часть эфира с собой, вследствие того, что эфир вблизи её поверхности покоится относительно её поверхности, как бы “прилипает” к ней, причём скорость эфира нарастает при удалении от поверхности Земли, пока на не очень большом расстоянии, она не станет равной скорости эфира, покоящегося в межпланетном пространстве, относительно Земли. Таким образом, можно предположить, что в системе отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфир натекает на Землю стационарным сплошным потоком, обтекая её со всех сторон, с некоторым полем скоростей , не зависящим от времени t.
Предположим, что положение фронта световой волны, распространяющейся в стационарно движущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида составим дифференциальное уравнение, которое позволило бы определить последовательные положения фронта световой волны в различные моменты времени, т.е. определить эволюцию волнового фронта. Для этого надо найти функцию ?.
Возмущение эфира, каковым является световая волна, в случае покоящегося эфира перемещается за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z в точку с координатами где с — скорость света в покоящемся эфире и где считаем, что возмущение распространяется по нормали к поверхности ???? взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, с заданным полем скоростей, по определению Стокса, за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z перемещается в точку с координатами т.е. Стокс считает, что распространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира. Таким образом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt даётся уравнением . Разлагая последнее уравнение по малости dt, получаем искомое уравнение, описывающее эволюцию волнового фронта оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: или ;
Хотя этого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в его рассуждениях. Знак ? соответствует неопределённости направления нормали, задаваемой вектором с компонентами
Будем теперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, ???? малы по сравнению со скоростью света с и построим частное приближённое решение дифференциального уравнения, которое Стокс фактически и рассматривает в своей работе 1845 г. по теории аберрации.
Нулевое приближение. Положим u ???????????? в приведённом уравнении для ?? т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнение нулевого приближения имеет следующее частное решение: , это решение описывает оптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z. Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид здесь мы взяли знак минус перед корнем, причём для приведенной нулевой функции справедливы соотношения: перед корнем мы берём знак “?”.
Первое приближение. Считая теперь скорости u, ???? малыми величинами, первого порядка малости, найдём приближённое решение приведённого полного уравнения, со знаком “?” перед корнем, переходящее при пренебрежении величинами u, ???? в решение ???? в виде функции где является малой величиной первого порядка малости по u, ?????. Следуя Стоксу, считаем, что поправочная функция ? зависит только от координат x, y и не зависит от координаты z. Это предположение, разумеется, несколько ограничивает произвол отыскиваемого решения. Но если нам удастся его построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которому удовлетворяет функция ?? со знаком “?” перед корнем, имеем следующее приближённое уравнение для определение функции ? : из которого непосредственно получаем приближённое уравнение для определения функции ?. Интегрируя полученное уравнение по t, приходим к соотношению
Таким образом, окончательно приходим к следующему приближённому уравнению для определения положения фронта рассматриваемой волны в момент времени t:
Составим выражения для компонент ненормированной нормали к этой поверхности волнового фронта в точке x,y,z = — ct в момент времени t. Имеем
Обозначим через направляющие косинусы для нормали, взятой к найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина ??/c мала, то углы так что приближённо можно положить .
В этом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о потенциальности поля скоростей эфира.
Гипотеза Стокса. Поле скоростей эфира потенциально, т.е. существует такая функция ?(x,y,z), что
Согласно гипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения для компонент поля скоростей: используя которые, выведенные приближённые формулы для углов ???и?? можно записать в виде
Следовательно для изменения углов ???и???от момента времени t=t1 до момента времени t=t2 имеем следующие очень простые формулы:
Из этих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть свет от звезды идёт по направлению, строго перпендикулярному направлению движения Земли. Первый момент времени t=t1 возьмём таким, чтобы фронт световой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для скорости эфира в точках этого фронта можно было считать, что предполагаем, что Земля движется в положительном направлении оси x с постоянной скоростью ?. Второй момент времени t=t2 возьмём в тот самый момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда
Следовательно, фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по приближению к Земле таким образом, что угол, составленной его нормалью с осью х, станет равным где ? — скорость движения Земли, с — скорость света в покоящемся эфире. См. рис.
Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в сторону направления движения Земли на угол аберрации равный .
В 1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас работе 1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил лишь за изменениями направления нормали к фронту волны, по мере распространения волны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории волновых нормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, с заданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучей перестают совпадать.
Обозначим через n — единичный вектор нормали в некоторой точке фронта волны в момент времени t и через s — единичный вектор направления луча в этой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t. Пусть ???? — углы вектора нормали n с осями x, y, причём все эти углы мало отличаются от прямых
Стокс считает, что где v(u,???? — поле скоростей эфира в рассматриваемой точке волнового фронта в момент времени t. Следовательно: или окончательно Приращение этих углов за интервал времени t, t+dt, когда dz= — cdt, таким образом равно
Выше мы показали, что
так что окончательно
Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира, таким образом, заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.
Итак, изменение направления луча по мере распространения равно нулю; лучи света в увлекаемом Землей эфире — приближенно прямолинейные.
4.8. Механический принцип относительности. Инвариантность относительно преобразований Галилея.
Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.
Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).
Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах — в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K’. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.
Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K’ связаны следующими формулами преобразования:
которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что .
Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.
Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K’ имеем следующие уравнения движения:
которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:
так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).
Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) — волновая функция и c — скорость волны. Тогда имеем уравнение
Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами — перейдем от независимых переменных x,t к переменным x’,t’, считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x’,t’, т.е.
где
Таким образом,
Следовательно,
Далее,
Следовательно,
Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что
или
Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).
Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.
Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера
когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.
Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение
Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K — это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.
Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость cдв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией
Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно
Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению
которое можно представить в виде
Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором
и получим уравнение
Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение
члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению
которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.
Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью cдв = c — v.
Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией
Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно
Поэтому имеем уравнение
которое можно записать в следующем виде
Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором
и получим уравнение
Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение
члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению
т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.
4.9. Электродинамический принцип относительности.
Инвариантность относительно преобразований Лоренца.
Оказывается,одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета К к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиями Галилея,а так называемыми преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:
Теперь не только координата Х, но и время Т преобразуются.Докажем инвариантность. Снова рассмотрим функцию
где ?=V/C. Тогда, дифференцируя её по t, получим
Следовательно,
Далее, дифференцируя по t, получаем
Следовательно,
Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера
Получим тогда уравнение
Таким образом, приходим к уравнению
слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются. Окончательно получаем уравнение
Следовательно, приходим к уравнению
т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.
Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который,однако, рассматривал не просто одноиерное волновое уравнение,а уравнения Максвелла,которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением”- для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира.
Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата — с инвариантостью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца.
Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении. Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты, ника не связанные со средой — воздухом, колебаниями которого они на самом деле являются. Среда теперь — совершенно другой физический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуют сами по себе,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“ волны“ — поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не только механически, но и физически должны быть полностью равноправными.
В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественная интерпретация, разумеется, неправильна.
В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, а электромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесь является, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен, и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.
Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты, проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, дали отрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона-Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили.Скорость Земли в указанных эксперпиментах измерить не удалось.
Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалосьобобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные ( в том числе и оптические ) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна.
Электродинамический принцип относительности.
Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе тосчета определить скорость ее движения, если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения.
Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основных уравнений электродинамики — уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895 г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамических экспериментов нельзя определить скорость поступательного движения Земли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всех эффектах (1904 г. ).
4.10. Обсуждение понятия скорости тела и
построения полей времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.
Казалось бы, понятие скорости тела, как пройденного пути за определенный промежуток времени :
настолько ясно, что не требует вообще никаких пояснений. Конечно, если тело движется неравномерно, то надо вводить в рассмотрение мгновенную скорость
но не об этом сейчас речь. Вместе с тем в связи с данным определением скорости необходимо, однако, обсудить весьма существенный физический вопрос.
Чтобы лучше представиь себе ситуацию, рассмотрим конкретный эксперимент, проводимый для измерения скорости тела. Пусть имеется движущееся тело и пусть оно в какой-то момент времени проходит или пролетает через то место N, где мы сами сейчас находимся. Засечём этот момент t1 на имеющемся у нас измерителе времени — часам.
Предположим, что мы находимся в месте N и наблюдаем из этого места за нашим движущимся телом. Через некоторое время, скажем в момент времени t2, зарегистрованным по нашим часам, тело проходит через другое место M, расстояние до которого S2-S1 от нашего места N, мы можем измерить заранее. Тогда скоростью тела мы назовем отношение
Вроде бы всё совершенно ясно. Но это не так. Мы должны учесть, что когда мы увидели, что тело проходит через место M,мы на самом деле просто зарегистрировали световой сигнал, приходящий к нам из места M, свидетельствующий о совпадении тела и места M. Так как сигнал распространяется с некоторой конечной скоростью С, то мы должны это учесть и ввести поправку на время распространения сигнала от места M до места N, т.е. поправку на время запаздывания.
Таким образом, мы должны в формуле для скорости V взять не момент t2, непосредственно экспериментально наблюдаемый и зафиксированный по нашим часам, а момент
и скоростью тела должны на самом деле назвать величину
которая лишь незначительно больше величины V, если тело движется не слишком быстро.
Так как скорость света C очень большая ( С=300000 км /c ), то рассматриваемая поправка, конечно, будет для реально наблюдаемых движениий тел на Земле чрезвычайно малой.
Однако она становится тем больше, чем дальше удалено место М от места N и чем скорее движется тело. Если скорость V тела будет близка к скорости света, то поправка будет очень большой.
Именно эта поправка в определении скорости тела и учитывается в специальной теории относительности.
Здесь следует сказать, что наше субъективное ощущение об окружающем нас мире в некоторый данный момент времени, действительно субъективно и неправильно. Дело в том, что удаленные предметы мы видим такими, какими они были в более ранние моменты времени, чем видимые нами близкие от нас предметы.
Скажем, мы видим на улице “одновременно” идущих людей, здания, Солнце.Но ведь, на самом деле, Солнце мы видим не в тот момент, в который мы на него смотрим, а в момент примерно на 8,5 минут раньше (так как время распространения света от Солнца до Земли составляет примерно 8 мин. 20 сек. ). А если мы “одновременно” взглянем в телескоп на удаленные от нас звезды и галактики, то галактики на саммом деле сейчас мы видим в такие моменты, когда мы ещё и сами не родились, и даже ещё не появилась наша Земля и наша Солнечная система.
Таким образом, обсуждая понятие скорости движущегося тела, нам надо обязательно разобраться, что мы понимаем под временем в различных местах пространства. Чтобы экспериментально исследовать перемещение тела в пространстве с течением времени, лучше всего иметь локальные согласованные друг с другом измерители времени — часы, расставленные во всех точках пространства. Тогда совсем не нужно будет думать о поправках в отсчётах времени, скоростях световых сигналов и т.д. Множество локальных времен в различных точках системы отсчета образует то, что мы будем называть полем времени.
Построим сначала поле времени в “ покоящейся “ системе отсчета К. Для этого в начале отсчета О организуем “ производство ” совершенно одинаковых, идентичных, измерителей времени — часов, ход которых, по возможности, одинаков. Затем эти измерители времени достаточно осторожно разнесём по различным точкам пространства M, N,….
Если бы все эти часы мы сначали синхронизовали ( выставили бы на них одинаковые показания времени ), а затем разнесли по различным точкам пространства, то показания часов, помещенных в различных
точках, мы могли бы и назвать временем в системе отсчета К.
Так поступать, однако, нельзя. Чтобы перенести часы, например из точки «О» в точку М, мы должны сначала эти часы в точке О ускорить, затем передвинуть, а затем замедлить для остановки в точке М. При ускоренном и замедленном движениях при этом ход часов обязательно нарушится и в показания времени будет введена неконтролируемая ошибка.
Поэтому поступим так, как поступил Эйнштейн в работе 1905 г. Будем все часы синхронизировать не в начале координат, до их разнесения, а лишь после того, как мы уже их разнесли и установили в разных точках пространства системы отсчета К.
Синхронизацию проведем при помощи бесконечно коротких световых сигналов, которые будем испускать из начала координат О. В момент времени t = 0, фиксируемый по часам в точке О, мы испустим из точки О сигнал по направлению к точке М, и зарегистрируем момент прихода этого сигнала в точку М по часам в этой точке М и, наконец, выставим на часах в точке М время ,
где r — расстояние между точками N и M. Величиной скорости c при этом мы просто зададимся, т.е. возьмем в качестве нее любое положительное число.
Очевидно, что если теперь, с помощью синхронизированных описанным способом локальных часов, мы будем измерять скорость используемых для синхронизации импульсных световых сигналов, то получим естественно значение c, причем эта скорость окажется изотропной, т.е. не зависящей от выбора направления в пространстве.
Однако надо отчетливо понимать, что это не измерение скорости света, так как само понятие времени мы установили с помощью световых сигналов и значением скорости света с мы просто задались.
Вместе с тем, для краткости, будем называть величину с — «скоростью света»(более точно, скоростью света в системе отсчета К ).
Теперь в точности таким же образом, с помощью импульсных световых сигналов, установим поле времени в «движущейся системе отсчета К(.
Конечно, можно было бы построить поле времени в системе отсчета К( и другим способом. Мы могли бы, например, рассудить следующим образом. Гипотетическая электромагнитная среда — эфир, колебаниями которой является свет, покоится в системе отсчета К, поэтому в системе отсчета К мы имеем свет в покоящейся среде. В системе отсчета К( имеем свет в движущейся среде, а поэтому скорость светового импульса, испущенного, например, в положительном направлении оси x( в системе отсчета К( равна не с, а c — ?, а в отрицательном направлении оси x( равна c + ?, где ? — скорость движения системы К( относительно системы К. Но так сейчас мы поступать не будем, а просто примем, что в системе отсчета К( световые импульсы распространяются в точности так же, как в системе К. В этом заключено однако серьезное физическое предположение. При построении поля времени в системе отсчета К( используем то же самое число с, что и в системе отсчета К. Последнее по существу условное допущение, следуя работе Эйнштейна 1905 г., иногда неправильно называют «законом постоянства скорости света в инерциальных системах отсчета». Как мы видим, это вовсе не закон, а говоря словами Пуанкаре, «плод совершаемого неосознанного условного соглашения».
4.11. Кинематический вывод преобразований Лоренца
Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т.е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t0 испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну.
Уточняем — испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t0 в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие — угодно.
Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.
Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x.
Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K(, или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга — «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K(, — движущейся со скоростью ? вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.
Пусть x, y, z, t — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x(, y(, z(, t( — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К(.
Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x(, считая что всегда y( = y и z( = z. Тогда в системах отсчета К и К( координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x(, t( соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время — x, t.
Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К(), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида x( = ?(x, t), t( = ?(x, t).
Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К(.
Наша конечная цель — найти вид функций ??и ? в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.
Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x1 оси x в момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t2 этот импульс оказался в точке x2 оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x3 = x1.
Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K(. Мы увидим, что в точке x1( в момент времени t( был испущен в положительном направлении оси x( короткий световой импульс, который в момент времени t2( достиг точки x2(, отразился в ней и в момент времени t3( оказался в точке x3(, причем теперь x3( ? x1(.
Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K( имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K: x3 = x1
и в системе отсчета K(:
Точка x1 = x3 на оси x системы отсчета K движется со скоростью ? в отрицательном направлении оси x(, если ее наблюдать в системе отсчета K(.
Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций ??и ?.
Нахождение функции ?. Составим функциональное уравнение для определения функции ?. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:
Вычитая первое соотношение из третьего, получаем
Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству
Следовательно,
или
Таким образом, видим, что функция ? удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
В этом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x1, x2 и t1. Величины x3, t2 и t3 можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем
следовательно,
Далее, из второго соотношения имеем
а следовательно,
мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.
Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции ?:
которое должно выполняться для произвольных значений x1, x2 и t1.
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением
на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от
). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:
Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид
Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид
где F — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:
После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что
или
.
Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что
а следовательно,
F
где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.
Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:
где — некоторые пока не определенные постоянные.
Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:
Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение
т.е. уравнение
Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и. Величины и выразим через указанные величины:
Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:
которое выполняется при произвольных значениях и.
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :
производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь в выведенном уравнении,
и тогда придем к дифференциальному уравнению
или уравнение
Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным
и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид
Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:
в котором — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение
или соотношение
Так как аргументы у фукций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях
и совершенно произвольны, то получаем, что
а следовательно,
где — пока неопределенные постоянные.
Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид
Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.
Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),
и наоборот.
Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:
Теперь неопределенными остались только константы и .
Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:
Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:
=
и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:
где — пока что неопределенная постоянная.
Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения
Следовательно,
и поэтому
Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:
которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K. Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.
Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:
из которых непосредственно заключаем, что
?’ = ?
и что величины ?? и ??’ удовлетворяют соотношению
Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t??и??x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’:
и
где величины ?’ и??? связаны вышеуказанным соотношением.
Чтобы найти числа ?’ и?????выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.
Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’, относительно которых эти стержни движутся одинаковы.
Возьмём стержень длинны l0, покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A, а правый — координату x’B
x’A — x’B = l0.
Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA — xB = l, чтобы найти длину движущегося со скоростью ? стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.
Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:
x’B = ? (x’B — ??tB),
x’A = ? (x’A — ??tA).
Вычтем x’A из x’B и учтём условие tA = tB. Тогда получим
l0 = x’B ????x’A = ? (xB — xA) = ??l.
Таким образом, имеем соотношение
l = l0 / ?.
Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0, расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K, и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’, то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение
l’ = l0 / ?’.
Потребуем теперь, чтобы l’ = l. Тогда мы придём к равенству ?’ = ??, а следовательно, с учётом выведенного соотношения
к равенствам
Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что ? = 1 при ??= 0, когда мы имеем формулы тождественных преобразований.
Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0. Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.
Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:
которые называют формулами преобразований Лоренца.
В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’, имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.
Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’, находящиеся в точке x’A = x’B. Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B — t’A?= ??, где ?? — период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта
(где они покоятся). Обозначив через xA, xB, tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K, получаем
Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний ??часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу
так как x’A = x’B. Следовательно, окончательно получаем формулу
для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.
4.12 Кинематический вывод преобразований Галилея.
Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’.
Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью ? в отрицательном направлении оси x’.
Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0, с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M, на часах в точке M теперь поставим не время r/c, где r — расстояние между O и M, а время
r.
c + ?
Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M
r.
c — ?
Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1, так что x1 = x3.
Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’, имеем теперь следующие шесть основных соотношений:
Нахождение функций ? и ?. Составим сначала функциональное уравнение для функции ?. Имеем
Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение
или
то есть
С учётом соотношений
отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции ?:
которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1, x2 и t1. Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:
Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению
так что имеем очень простое дифференциальное уравнение
или
для определения вида функции .
Общее решение последнего уравнения имеет вид
где F — произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное
выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем,
что
и поэтому получим соотношение
Так как
то приходим к следующему уравнению
справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций
в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных
x1,x2,t1. Следовательно,
а потому, игнорируя получаем
где — некоторые пока не определенные постоянные.
Составим теперь функциональное уравнение для функции. Имеем
где G — произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего
уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением,
получаем соотношение Следовательно,
или
Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному
уравнению для функции :
Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его
по x2. Тогда получим уравнение
Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к
дифференциальному уравнению
или совсем простому уравнению
Следовательно,
Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное
функциональное уравнение. Получим
Следовательно,
Так как величины совершенно произвольны, то аргументы
функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому
а следовательно,
где — пока произвольные постоянные.
Определение констант Мы получили следующие формулы
преобразования координат и времен мгновенного точечного события :
Найдем константы
начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов
координат и времени в обеих системах отсчета и .
Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета ,
имеет координаты 0, 0 в системе отсчета , и наоборот.
Следовательно, в приведенных формулах , и формулы
преобразования приобретают следующий вид :
Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия
наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные
нами величины и.
Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть
соотношений, мы можем найти ограничения на константы и. Так
собственно говоря и получается. Действительно, имеем равенства
Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать,
чтобы константы и были равны друг другу :
Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного
точечного события имеют вид
где — пока не определенная константа.
Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что
у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо
времени в обеих системах отсчета и . Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование.
Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня, покоящегося
в системе , ориентированного вдоль оси и имеющего в этой системе длину , т.е. .
Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета
между точками от с координатами и .
Пусть в одинаковые локальные моменты времени в системе отсчета
K левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой(событие A), (событие B). Тогда
Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия получаем
и так как согласно требованию 2, то приходим к заключению,
что
Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений,
аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея :
4.13. Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира.
Подведем итог нашим рассуждениям. Исходя из условных в принципе процедур построения полей времени в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета, используя очевидные дополнительные требования о согласовании единиц измерения длинны и времени в обеих рассматриваемых системах отсчета, мы вывели как преобразования Лоренца, так и преобразования Галилея.
При этом мы следовали основным идеям кинематического рассуждения из работы Эйнштейна 1905 г. ( усилив их только рассмотрением функциональных уравнений).
Таким образом, вывод Эйнштейна, сделанный им в работе 1905 г., о ложности ньютоновской концепции абсолютного времени Ньютона следует считать необоснованным. Также не обосновано и утверждение, что он якобы доказал, что светоносного эфира не существует, что электромагнитные волны существуют сами по себе без какой-либо среды (в отличие от всех других известных нам физических волн).
Конечно, несмотря ни на что, мы можем принять утверждения Эйнштейна попросту за некую (пока, правда, существующими экспериментами еще не доказанную) научную гипотезу. Но одновременно мы должны считаться и с другой гипотезой классической физики — что светоносная среда (эфир) существует, что электромагнитные волны являются возмущениями эфира, что механическая абсолютная система отсчета — это система отсчета, в которой мировой эфир покоится.
Выбор того или иного локального поля времени в движущейся системе отсчета (ньютонова или эйнштейнова ) является, по-видимому, вообще полностью чисто условным и диктуется исключительно соображениями удобства проведения тех или иных физических рассуждений. В классической механике удобно «ньютоново»,а в теории элементарных частиц — «эйнштейново» время.
Выбор той или иной концепции количественного времени, как утверждал Пуанкаре еще в 1898 г., т.е. за 7 лет до работы Эйнштейна 1905г., подобен выбору той или иной системы геометрических координат в трехмерном пространстве, скажем, прямоугольной декартовой или сферической. Только от конкретной задачи зависит, какая из этих систем координат удобнее и полезнее.
Сформулируем таким образом, альтернативные фундаментальные физические гипотезы.
Гипотеза эфира. Существует особая физическая среда — эфир, заполняющая пространство, возмущенными колебаниями которого являются электромагнитные волны (включая оптические, радио, телевизионные и т.д. волны). Система отсчета, в которой эта среда покоится, является физической абсолютной системой отсчета. Она, разумеется, единственна и уникальна по всем физическим свойствам. Класс систем отсчета, движущимся относительно абсолютной равномерно прямолинейно с постоянными скоростями, образует класс инерциальных систем отсчета. В этом классе систем отсчета механические, электродинамические и др. физические явления математически и физически описываются наиболее просто.
Гипотеза эфира была провозглашена в классической физической оптике и разделялась многими физиками и математиками 17,18,19 вв., в частности Френелем в первой четверти 19 в., а также и Лоренцем в конце 19 в. и до его смерти в 1928г.
Гипотеза четырехмерного мира. Ньютонова классическая механика ошибочна. Представления об абсолютном пространстве и времени ложны по существу. Пространство и время являются геометрическим, или точнее — физическим единым целым. Их нельзя разделять
сматривать изолированно одно от другого, а надо объединять в “че-
тырёхмерный мир”, или “пространство-время”, в рамках которого только и возможно дать правильное физическое описание явлений природы. Инерциальные системы отсчёта — отражение свойств сим-
метрии четырёхмерного мира, и ничего более. Другими словами, в
вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто геометрических свойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени.
Существуют преоброзования — преоброзования симметрии четырёх
мерного пространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно тому,как наше трёхмерное пространство переходит са-
мо в себя при произвольных параллельных переносах и произвольных
поворотах вокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы
координат в трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и (или)произвольным поворотом относительно произвольно
направленной оси одна из другой,-равноправны.
Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу
наиболее наглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но
ранее него её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре,хотя в ма-
тематическом и намного более строгом, но не столь наглядном виде,
как у Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эин-
штейн в работе 1905 г.
4.14. Геометрическая симметрия четырёхмерного мира
Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в
физических, и не только физических исследованиях. Использование име-
ющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.
Пространство, в котором разыгрываются физические события, —
наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или
пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относи-
тельности, — тоже обладают определённой симметрией.
Объясним, — Что это означает? Какой именно симметрией обладает
четырёхмерный мир?
Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометри-
ческой фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально
правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высо-
кой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют
операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.
Если представить себе, что мы распологаем двумя идентичными
экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и
“совмещение” этих двух кубов друг с другом при перемещениях и по-
воротах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани
кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение
можно осуществлять по-разному : повернув предварительно каким-либо определённым образом второй куб перед совмещением его с пер-
вым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще
не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется
тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют
и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый
предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром.
Наличие таких операций, которые называют “операциями симметрии”
позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свиде-
тельствуют о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры.
Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то,
что в математике называют группой симметрии этой фигуры.
Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её симметрия. У куба, с учётом тождественной операции,
которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их ока-
зывается 48. У треугольника на плоскости их 3.
Может случиться, что множество операций симметрии в группе сим-
метрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой
симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси,
проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно беско-
нечно.
Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства.
Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии,
переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёх-
мерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразо-
ваний параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на
любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов прос-
транства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую
точку пространства.
С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связан-
на инвариантность всех его свойств относительно выбора любой пря-
моугольной системы координат OXYZ, центр которой можно помес-
тить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.
Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже
состоит из бесконечного числа преоброзований, а имено-из преобро-
зований произволььных параллельных переносов пространства вдоль
любой “прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и про-
извольных “поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой
“оси” в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие
осей y и z. Такие повороты какраз и являются рассматриваемыми нами
здесь преобразованиями Лоренца.
С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана
инвариантность его геометрических свойств относительно выбора од-
ной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из дру-
га равномерным движением в произвольном направлении с произволь-
ной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёх-
мерном мире или по-другому — систем отсчёта, отражающих внутрен-
нюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом
инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.
Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии прост-
ранства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины
называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.
В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инва-
риантными относительно выбора декартовых осей координат, являются
длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрез-
ками. Это самые важные количественные геометрические величины в на-
шем трёхмерном пространстве.
Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в де-
картовой системе координат К, то квадрат длинны r отрезка между этими
точками даётся известным выражением
r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’, y1’, z1’ и x2’, y2’, x2’ обозначают
координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’,
то имеем равенство
r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=
= (x2 — x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2,
причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преоброзования координат.
Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф,про-
изводимым по правому винту вокруг оси z,то указанные формулы преоб-
разования имеют вид:
x’ = x cos Ф — y sin Ф,
y’ = x cos Ф — y cos Ф,
z’ = z.
В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это — “расстоя-
ние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-
венных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2,
z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с
координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно
другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’,инвариантна величина
квадрата так называемого четырёхмерного,или релятивистского интер-
вала:
s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=
=(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2
В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-
тельно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые
мы рассматривали выше:
x — vt t — xv/c2
x’=, y’=y, z’=z, t’=
1-v2/c 2 1-v2/c2
Действительно,
1
s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *
1 — v2/c2
*?(x2-vt2-x1-vt1)2 — c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2? =
1
= ?(x2-x1)2 — 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2?-
1-v2/c2
1
— ?-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2?=
1-v2/c2
=(x2-x1)2 — c2(t2-t1)2=s2
Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2
играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-
мерном пространстве.
В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном
трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-
дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-
вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-
щих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например,
рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости
xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-
вие x2-c2t2= 0,
или
(x-ct)(x+ct)=0.
Следовательно,искомым геометрическим местом нескольких точек бу-
дут две прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени. t
x=-ct x=ct
x
0
В четырехмерном мире, или в прстранстве — времени множество точек,
удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым.
Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Точки, расположенные вне светового конуса,имеют положительные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала коорди-
нат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,
окружающий световой конус.
t
x x
y z
z y
Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно
затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном
мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-
ворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.
Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t
в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.
Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих
формул:
1 v/c
x1’ = x1 + i x4,
1- v2/c2 1-v2/c2
v/c 1
x1’ = i x1 + x4
1-v2/c2 1-v2/c2
x2’ = x2, x3’=x3
Здесь x1? x, x2?y, x3? z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в влоскости x0, x1 на угол ?, которые имеют
вид
При таком, сравнении получим, что
Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость , где
Тогда имеем формулы преобразования
4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.
Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен ,где — скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z, в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен
В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести «4-радиус-вектор» c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен
Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в
четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную «4-скорость», которая имеет компоненты
— интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds — релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки
и соотношением , т.е.
где v — обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что
Аналогичным образом релятивистски инвариантное «4-ускорение » Минковский определил следующим образом:
Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:
где — так называемая «масса покоя» материальной точки — компоненты так называемой «4-силы » Минковского.
Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что
так что
т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.
Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие
уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону
а импульс движущейся материальной точки определяется формулой
где v — вектор мгновенной скорости материальной точки.
Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -, соответственно и сложим. Получим тогда уравнение
Отсюда можно найти . Имеем
где — мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом,
и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :
Таким образом, величину
следует считать энергией движущейся материальной точки. Если , то приближенно получаем
Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки
а первое слагаемое — так называемая «энергия покоя». Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину
Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем
так что имеем формулу
В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения.
Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.
Раздел 4. Основы специальной теории относительности
и релятивистская механика.
4.1. Краткие исторические сведения.
Механика, сформулированная Ньютоном в 1687 году в его знаменитых «Принципах» и существенно развитая в 18 веке Эйлером (1707-1783),Клеро (1713-1765) и Даламбером(1717-1783), а в конце 18 века — начале19 века -Лагранжем (1736-1813), Лапласом (1749-1827) и Пуассоном (1781-1840) и, наконец, в 19 веке — Гамильтоном (1805-1865), Якоби (1804-1851) и Пуанкаре (1854-1912), достигла столь выдающихся успехов и получила столь широкое признание, что долгое время, вплоть до последней четверти 19 века, ее основы никем не подвергались никакой критике.
Механика стала первой наукой современного естествознания, которая получила мощное и законченное развитие на основе того экспериментально — математического метода познания природы, который от Галилея еще в 17 веке приняло современное естествознание и благодаря которому оно достигло столь поразительных и выдающихся успехов.
Красивое здание механики было столь совершенным, что и все остальные физические науки (об электрических, магнитных, оптических, тепловых и др. физических явлениях) долгое время, особенно весь 18 век и даже до последней четверти 19 века, пытались строить по образу и подобию механики.
Возникло даже особое течение в натурфилософии — механистическое мировоззрение, которого придерживались многие, можно сказать, подавляющее большинство, ученых конца 19 века. Это мировоззрение ставило своей целью сведение всех физических явлений к проявлению простых механических законов.
Вместе с тем, очень большие успехи, достигнутые в 19 веке электродинамикой — открытие закона электромагнитной индукции, электрического мотора и трансформатора, электромагнитной природы света, электромагнитных волн радио- и СВЧ- диапазона — и термодинамикой — открытие общефизического закона сохранения энергии, паровой машины и двигателя внутреннего сгорания, ракетного двигателя, а также фантастические успехи атомно-молекулярного учения о строении физического вещества — открытие электрона в самом конце 19 века, а также структуры атома, открытие атомного ядра, ядерной физики и физики элементарных частиц — все это уже к 1926-27 гг., как снежный ком, смело механистическую философию природы и заменило ее правильным пониманием хотя и существенной, но все же в целом ограниченной роли механики в физической науке, которая в 20 в. Нам всем известна со школы.
Но это произошло в 20 в., а мы хотим заняться сейчас историей исследований конца 19 в. — начала 20 в., зародившихся на основе критики фундаментальных основ ньютоновской механики, связанных с появлением теории относительности и релятивистской механики.
А. Проблема ньютонова абсолютного пространства и существования в природе класса инерциальных систем отсчета.
Начиная с 1872г. Э.Мах первым в истории науки не побоялся публично выступить с критикой самых фундаментальных основ механики Ньютона — в то время прочно утвердившейся и незыблемой теории.
Мах справедливо указал на отсутствие у Ньютона четких определений понятий массы и силы, на очевидную логическую зависимость первого закона от второго закона, на неясности представлений Ньютона об абсолютном движении и связанных с ним его представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени.
Фундаментальная идея механики Ньютона о том, что в природе существует «абсолютное движение» — действительно у Ньютона сформулировано очень нечетко. В этих представлениях Ньютона, однако, получил отражение в его механике тот важный экспериментальный факт, что в природе по какой-то причине существуют привилегированные, т.е. выделенные в отношении механических явлений, но полностью эквивалентные друг другу — так называемые инерциальные системы отсчета, движущиеся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, с постоянными скоростями. Одна из этих систем, по Ньютону, фактически и является той самой абсолютной системой отсчета, относительно которой Ньютон и отсчитывал свое абсолютное движение.
Таким образом, инерциальной системой отсчета в механике Ньютона, строго говоря, называется система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно, с некоторой постоянной скоростью, относительно абсолютной системы, хотя самой абсолютной системе строгого определения и не дается.
Следует, однако, заметить, что хотя сам Ньютон четко абсолютное пространство и связанную с ним абсолютную систему отсчета и не определил, но если внимательно проследить историю предваряющих исследования Ньютона исследований Галилея и Гюйгенса по движению земных тел в поле тяжести Земли и Коперника и Кеплера по движению основных небесных тел — Солнца, Луны, и пяти главных планет, из которых, собственно говоря, непосредственно и возникла механика Ньютона, в частности, его решение самой основной задачи небесной механики — так называемой задачи Кеплера о движении планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите, то нетрудно практически безошибочно установить, что под абсолютной системой отсчета Ньютон фактически понимал коперниковскую гелиоцентрическую систему отсчета, а под абсолютным пространством — межпланетное пространство Солнечной системы. Именно эта система была принята Ньютоном во всех его успешно решенных механических задачах — о движении Земли, Луны и планет, об океанских приливах и отливах на поверхности Земли и т.д.
Исторический вопрос о существовании истинной системы отсчета, самой естественной для математического описания механических движений небесных тел — Солнца, Луны и пяти главных планет был поставлен в 16-17 вв., на заре становления современного научного мировоззрения, И вопрос этот был окончательно решен уже основателем современного естествознания Н. Коперником (1473-1543) в 1520-30 гг. И в его знаменитом сочинении «Об обращениях небесных сфер», которое начало печататься за несколько дней до его смерти в 1543 г.
Фактически Коперник решил основную кинематическую задачу нашей Солнечной планетной системы, — нашел самую удобную систему координат, жестко связанную с межпланетным пространством, для описания видимого нами достаточно сложного движения Солнца, Луны и главных планет среди неподвижных звезд.
Именно эта «абсолютная» система отсчета и была принята неявно Ньютоном в его «Принципах» при формулировке основ механике, при решении им задачи Кеплера и других астрономических задач, а также при решении задач о движении тел на Земле.
Ньютон свой выбор указанной абсолютной системы отсчета не формулировал, однако, явно, заявив без должных пояснений довольно туманно, что в природе существует абсолютное время, абсолютное пространство и абсолютное движение, что именно абсолютное движение тел и является истинным предметом изучения созданной им механики с ее тремя законами.
Здесь следует подчеркнуть, что особенно удивительно то обстоятельство, что специальная, выделенная по своим механическим свойствам, инерциальная система отсчета в природе имеется не одна, а существует целый класс — бесконечное множество подобных систем, по своим механическим свойствам действительно полностью эквивалентных друг другу, Все они движется поступательно равномерно и прямолинейно, с постоянными скоростями друг относительно друга. По механическому поведению движущихся в них тел все эти инерциальные системы отсчета принципиальным образом отличаются от остальных систем отсчета — так называемых неинерциальных систем.
Что существует множество эквивалентных особенных систем отсчета, — знал уже Галилей, на экспериментальные исследования которого опирался Ньютон в своих «Принципах». Именно Галилей открыл механический принцип относительности, согласно которому, производя чисто механические эксперименты в рамках какой-нибудь одной инерциальной системы отсчета, невозможно определить факт движения этой системы отсчета относительно других инерциальных систем. В инерциальных системах отсчета идентичные по постановке механические опыты всегда одинаковые результаты.
Галилей сформулированный им механический принцип относительности использовал, как известно, для снятия наивных возражений против системы Коперника, исходящих от перпатетиков, сторонников Аристотеля, утверждающих, что если бы Земля двигалась, то находящиеся на ней тела оторвались бы от ее поверхности и отстали бы от нее. Галилей справедливо заявил, что никакие механические эксперименты, производимые на поверхности Земли, движущейся в межпланетном пространстве вокруг Солнца равномерно и прямолинейно, не могут установить факт движения Земли.
Впрочем, не совсем правильно утверждать, что Земли движется прямолинейно и равномерно. Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 0.000073 1/с; кроме того, ее движение по примерно круговой орбите вокруг Солнца совершается со средней линейной скоростью 30 км/с, что соответствует угловой скорости 0.0000002 1/с, Само Солнце движется со скоростью 220 км/с обращаясь вокруг центра нашей галактики, что соответствует угловой скорости 0.00000000000000088 1/с. Ввиду исключительной малости всех этих угловых скоростей, в очень хорошем приближении можно считать, что Земля движется через пространство поступательно равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью 30 км/с.
В отличии от Ньютона Э. Мах пытался объяснить физическую природу наличия в природе особых механических свойств у инерциальных систем отсчета — он справедливо заметил, что одна из инерциальных систем — самая главная, фактически и определяющая ньютоново абсолютное пространство — это действительно физически выделенная для нас, как людей на Земле, система отсчета, — связанная с небом неподвижных звезд, т.е. с межпланетным пространством, от которой мы никогда и ни при каких обстоятельствах не можем абстрагироваться.
Такое разъяснение Махом загадки природы об инерциальных системах отсчета, кажется достаточно убедительным, хотя и порождает вопросы. Не ясно, в частности, почему столь удаленные от нас объекты — звезды могут столь существенно влиять на движение тел на Земле и Земли вокруг Солнца в нашей Солнечной системе.
В. Проблема светоносного эфира и существования на Земле эфирного ветра.
Вопрос существования в природе целого класса механически эквивалентных инерциальных систем отсчета и о наличии среди них одной, самой главной — абсолютной системы, или, как мы объяснили, коперниковской системы, жестко связанной с межпланетным пространством и небом неподвижных звезд, по Маху воплощающим в себе абсолютное пространство Ньютона, в котором движется Земля, Солнце, Луна, планеты и их спутники, нельзя ограничить исключительно механическими рамками, как впрочем мы пока что это делали.
Это, разумеется, общефизический вопрос: ведь на Солнечную систему нельзя смотреть просто как на чисто механическую систему материальных точек, подчиняющуюся исключительно законам ньютоновской механики. Кроме механических, существует огромное число других чисто физических явлений, немеханической природы, постоянно происходящих в Солнечной системе. Во всяком случае, даже в рамках чистой небесной механики мы не можем абстрагироваться от света, так как посредством света, приходящего к нам от Солнца, Луны, планет и их спутников, мы вообще можем судить о существовании этих небесных тел и делать заключения об их механическом движении.
Как распространяется свет в межпланетном пространстве, как он доходит от Солнца до нас, — ведь межпланетное пространство практически совершенно пусто, в нем нет вещества, которое нас окружает здесь на Земле, — это очень существенный вопрос.
С момента зарождения физической оптики, т.е. еще 17 века, когда зародилась и механика, сразу возникли две взаимоисключающие теории света. С именем Ньютона связывают корпускулярную теорию, в которой свет мыслится как поток быстро летящих маленьких телец — корпускул, причем считается, что все корпускулы в потоке имеют одинаковую скорость с — скорость света. С именем Х. Гюйгенса связывают волновую теорию, в которой свет представляется в виде волн, наподобие звуковых волн в воздухе, являющихся возбуждениями некоторой упругой очень тонкой сплошной среды — эфира, при этом скорость света с считается скоростью распространения волн в этой среде.
Практически с самого начала оптических исследований по волновой теории света было принято, что световые волны определенно не являются колебаниями или возмущениями обычной материальной среды, как звуковые волны — колебаниями воздуха. В отличие от звуковых волн световые волны могут распространяться и в сильно разреженных материальных средах и даже в пустоте. Свет от Солнца до Земли проходит через пустое межпланетное пространство между Солнцем и Землей и другими планетами.
Различие звуковых и световых волн легко проиллюстрировать следующим простым экспериментом
Звонящий будильник помещают под стеклянный колокол, из которого насосом выкачивают воздух. По мере удаления воздуха из — под колокола звук от будильника становится все слабее и слабее, пока не пропадет совсем. Если открыть кран и впустить обратно под колокол воздух, то громкий звук будильника будет снова слышен. При всех этих манипуляциях, однако, мы все время видим будильник через стенки колокола, а следовательно, световые волны в отличие от звуковых могут распространяться и в пустом пространстве под колоколом, фактически лишенном воздуха.
Скорость света в пустоте (впрочем, как и в других прозрачных средах — в воздухе, воде, стекле и т.д.) огромна. Она равна 300.000 км/с. О. Ремером, который определил ее из наблюдений вариаций времен последовательно наблюдаемых затмений спутника Юпитера, и в начале 18 века в 1728 г. Дж. Д. Брэдли, который нашел ее из измерения угла аберрации для нескольких звезд, расположенных вблизи полюса эклиптики. Оба измерения — астрономические, т.е. В них определялась скорость света в межпланетном пространстве. Оба они дали примерно 300.000 км/с.
Так как свет, по представлениям волновой теории, является колебаниями, т.е. Возмущениями неподвижно покоящегося эфира, то естественно было считать, что фактически и было сделано, что абсолютная система отсчета Ньютона — это как раз та самая система, в которой невозмущённый световой эфир покоится.
Естественно было предполагать, что эфир заполняет всё пространство между Солнцем и планетами, а так как с этим пространством уже была связана абсолютная система отсчёта Ньютона, относительно которой Ньютон отсчитывал абсолютное движение, то представлялось вполне естественным предположение, что эфир покоится в этой системе отсчёта.
Представление об эфире как об особой тонкой гипотетической среде, заполняющей всю нашу Солнечную систему и всё межпланетное пространство в ней, существенно обогащало ньютонову чисто механическую небесную механику, изложенную в его «Принципах», в которой интерес проявился только к механическим, а точнее — геометрическим характеристикам движения планет и их спутников, под действием сил всемирного тяготения, в ньютоновой абсолютной системе отсчёта.
Одновременно с представлением о покоящемся эфире в межпланетном пространстве возникал вопрос о возможности измерения немеханическим способом скорости Земли, движущейся равномерно прямолинейно с постоянной скоростью в неподвижном эфире, т.е. с помощью не механических, а оптических экспериментов. Согласно принципу относительности Галилея, механические эксперименты не позволяют этого сделать. Возникла, однако, теперь надежда, что оптические эксперименты как раз и позволят какие-нибудь эффекты, в которых проявлялась бы указанная скорость. Всё дело только в том, чтобы изобрести какой-нибудь такого рода эксперимент.
Вся эта проблема об измерении скорости Земли с помощью чисто оптических, а позднее также и электродинамических экспериментов, производимых на поверхности Земли, известна в истории науки под названием проблемы измерения «эфирного ветра».
В теории этого ветра, с самого начала, приходилось выбирать одну из двух гипотез, известных под именами гипотез Френеля и Стокса.
Гипотеза Френеля (1818 г.)
Земля движется сквозь неподвижный эфир, который вовсе не увлекается ею или увлекается очень слабо, и поэтому наблюдатель на Земле должен ощущать и регистрировать натекание эфира на Землю, т.е. «эфирный ветер», измеряя скорость которого можно определить «абсолютную скорость» Земли в ньютоновом абсолютном пространстве.
Гипотеза Стокса (1845 г.)
Земля практически полностью увлекает с собой примыкающий к ней эфир, подобно шару, движущемуся с постоянной скоростью в вязкой неподвижной жидкости, который увлекает примыкающую к его поверхности часть жидкости, и никакого «эфирного ветра», по крайней мере на самой поверхности Земли, а скажем, не высоко в горах, наблюдаться не должно.
Обе гипотезы — Стокса и Френеля — о взаимодействии эфира с движущимся в нём телом — оказались в состоянии количественно объяснить явление астрономической аберрации звёзд и отрицательные результаты оптических экспериментов, произведённых на Земле с целью измерения скорости Земли в межпланетном пространстве. Оптические же явления, наблюдаемые в движущихся прозрачных телах на Земле, смогла объяснить только гипотеза Френеля.
Первую попытку измерить скорость эфирного ветра предпринял Араго в 1810 г. Он решил обнаружить влияние движения Земли на преломление света, идущего от звезды. С этой целью он измерял разности зенитных углов одной и той же звезды, наблюдаемой в телескоп непосредственно и через призму, т.е. попытался наблюдать изменение угла преломления луча света от звезды к призме, когда Земля (а значит, и призма) двигалась к звезде и (через полгода) — от звезды. Араго ожидал измерить угол отклонения, равный, по его оценке, 2’.Но опыты дали отрицательный результат. И тогда Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить этот неожиданный для него факт. В 1818 г. было опубликовано письмо Френеля к Араго, в котором Френель с единых позиций нашёл объяснение и отрицательного результата опыта Араго, и объяснение астрономической аберрации.
Хотя Френель понимал, что допущение полного увлечения эфира движущейся Землёй легко объясняет отрицательный результат опыта Араго, он его не принял, так как должен был объяснить также и результат опыта Брэдли по наблюдению аберрации звёзд. Поэтому Френель, следуя предложению Юнга 1804 г., в основу своей теории взял допущение о неподвижном, практически не увлекаемом движущейся Землёй эфире (так как показатель преломления n воздуха очень близок к единице). Стеклянная призма Араго (показатель преломления стекла n? 1,3), однако, по предположению Френеля частично увлекала эфир. Френель теоретически вывел значение коэффициента увлечения, равное 1-1/n2, где n-показатель преломления стекла призмы. При таком значении коэффициента увлечения Френель смог объяснить и отрицательный результат опыта Араго, и опыта Брэдли по аберрации.
Физо в 1856 г. удалось измерить в земных условиях не только скорость света в воздухе (практически совпадающую со скоростью в пустоте),но и скорость света в воде, движущейся с некоторой заданной скоростью V. Эксперимент состоял в изменении смещения интерференционных полос в интерферометре, в плечи которого были помещены две трубы с прозрачными торцами и с текущей по ним в противоположных направлениях со скоростью V водой.
Эксперимент Физо показал, что наблюдаемый сдвиг интерференционных полос соответствовал скорости света в движущейся воде относительно неподвижных стенок труб, равной
Ccp.=c/n?v(1-1/n2),
где знак плюс соответствует движению светового луча и воды в одинаковом направлении, минус -в противоположных, n-показатель преломления воды.
Попытками измерить скорость эфирного ветра на движущейся Земле занимались многие крупные физики в последней четверти XIX в., проводившие для этого различные оптические и электродинамические эксперименты.
Скорость света в пустоте равна 300 000 км/c. Скорость движения Земли по своей орбите равна 30 км/с. Следовательно, v/c=0,0001, v2/c2=0,00000001; речь идёт об очень малых эффектах.
В 1871 г. Майкельсон, а в 1878 г. Майкельсон и Морли произвели первый, ставший впоследствии знаменитым эксперимент второго порядка малости по v/c — эксперимент Майкельсона, который потом неоднократно был повторен другими исследователями.
Оптический прибор — знаменитый интерферометр Майкельсона — размещался на тяжёлой каменной плите, которая плавала на ртути в бассейне в подвале здания. Ориентируя этот прибор либо плечом L1 либо плечом L2 вдоль направления движения Земли, не удалось наблюдать какого-либо различия в его показаниях (это различие должно было выразиться в смещении интерференционных полос, наблюдаемых в зрительную трубу), т.е. не удалось измерить скорость V движения Земли в межпланетном пространстве.
C. Проблема правильной физической интерпретации преобразований Лоренца.
Проблема измерения скорости эфирного ветра в оптических экспериментах получила новое своё развитие в последней четверти XIX в., когда было открыто, что свет имеет электромагнитную физическую природу, что оптика является только частью другой более фундаментальной и более глубокой физической науки-электродинамики.
Основы электродинамики сформулировал Максвелл в своём знаменитом “Трактате” в 1873 г., играющем такую же основополагающую роль в электродинамике, как «Принципы» Ньютона в механике. В этом труде были сформулированы знаменитые уравнения Максвелла и была высказана гипотеза об электромагнитной природе света — что свет является электромагнитными волнами, — которая в 1888 г. была подтверждена Г. Герцем, экспериментально открывшим электромагнитные волны радио- и СВЧ- диапазона.
В теории Максвелла впервые в истории науки связывались между собой электрические и магнитные явления с оптическими явлениями. Упругий эфир Френеля превратился, таким образом, в носителя электромагнитных возмущений и электромагнитных волн, т.е. стал электромагнитным эфиром, а электрические и магнитные поля напряжённости и индукции стали рассматриваться как показатели напряжений и деформаций этого эфира.
Максвелл представлял себе электрические и магнитные поля и электромагнитные волны механически — как возмущения гипотетической, хотя и очень своеобразной, но всё же чисто механической сплошной среды, наделённой особыми механическими свойствами; при этом он считал, что эфир в пустоте и эфир в веществе имеют различные механические свойства.
Сам Максвелл считал, что его уравнения справедливы только для покоящегося эфира, возмущениями которого являлись, по его представлениям, рассматриваемые им электромагнитные поля и волны. Систему отсчёта, в которой эфир покоится Максвелл связывал с абсолютной системой отсчёта Ньютона.
Уравнения Максвелла составлены для четырёх векторных функций: E(x,y,z,t), D(x,y,z,t) — напряжённости и индукции электрического поля, H(x,y,z,t), B(x,y,z,t) — напряжённости и индукции магнитного поля. Эти функции характеризуют возмущение неподвижного электромагнитного эфира. Изменяющиеся со временем электрическое и магнитное поля не могут существовать по отдельности — они образуют единое электромагнитное поле, представляющее собой электромагнитные, в частности оптические волны.
Уравнения Максвелла имеют следующий вид:
rot E = -дB / дt, rot H = j + дD / дt, div D = р, div B = 0,
где j=j(x,y,z,t) — объёмная плотность элекрического заряда.
Как видим, уравнения Максвелла предполагают, что координаты x,y,z и время t описываются в некоторой системе отсчёта, которая, по предположению Максвелла является системой отсчёта, в которой невозмущённый электромагнитный эфир покоится.
Попытками распространить уравнения Максвелла на произвольно движущиеся материальные прозрачные среды, которые как предполагалось в соответствии с гипотезой Френеля каким-то образом увлекали с собой эфир, занимались многие крупные физики последней четверти XIX в., но, пожалуй, больше всех Г.А. Лоренц.
Исследуя выведенные им на основе его электронной теории уравнения Максвелла для движущейся среды, Лоренц в 1895 г. пришёл к удивительному результату, что с точностью до членов первого порядка малости по v/c, где v-скорость движения системы отсчёта, c-скорость движения электромагнитных волн, эти уравнения Максвелла можно строго математически преобразовать к виду уравнений Максвелла для неподвижной среды, т.е. он строго доказал, что уравнения Максвелла «не чувствуют» поступательного движения системы отсчёта, если только она движется с постоянной скоростью.
Лоренц получил тем самым объяснение отрицательных результатов проведённых к тому времени экспериментов, показывающих, что с помощью оптических и электродинамических эффектов первого порядка по v/c, производимых с земными источниками света, невозможно определить скорость движения Земли относительно межпланетного пространства Ньютона.
Чтобы объяснить остающийся, однако, необъяснённым отрицательный результат эксперимента Майкельсона — Морли второго порядка малости по v/c Лоренц и независимо Фицджеральд выдвинули знаменитую гипотезу о сокращении всех тел, движущихся в абсолютном пространстве вдоль направления движения в отношении, зависящем от скорости движения.
Если Lо — длина покоящегося тела, L-длина движущегося тела вдоль направления движения,то, согласно этой “гипотезе сокращения”,
где b=, v/c v -скорость движения тела.
Чтобы объяснить невозможность определения скорости v тела, равномерно и прямолинейно движущегося относительно абсолютного пространства в оптических и электродинамических экспериментах,не только первого, но и второго, и более высоких порядков по v/c, Лоренц доказал в своей работе по электродинамике движущихся сред (1904 г.) строгую математическую теорему, что уравнения Максвелла в покоящейся и движущейся инерциальных системах отсчета имеют математически совершенно одинаковый вид,с точностью до членов и первого,и второго, и более высоких порядков по v/c включительно.Он установил,что они инвариантны. При этом Лоренц при преобразовании уравнений Максвелла от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразовывал также и время t, вводя математически совершенно формально так называемое “локальное время”:
t?=t- x
где x,t -координата и время в покоящейся системе отсчета.
В результате теоретических исследований Лоренца и проведённого Майкельсоном и Морли эксперимента естественно возникал электродинамический принцип относительности,сформулированный Галлилеем ещё в XVII в.
Правда сам Лоренц этот принцип не провозгласил. Это сделали на основе его работ и в особенности его работы 1904 г. сначала Пуанкаре,а немного позже и независимо Эйнштейн в 1905 г.
Согласно механическому принципу относительности,проводя различные механические эксперименты в лаборатории, движущейся с постоянной скоростью относительно покоящейся абсолютной лаборатории, невозможно измерить ее скорость движения. (Все механические явления в обеих лабораториях происходят совершенно одинаково).
Согласно электродинамическому принципу относительности, нельзя определить скорость движения указанной движущейся лаборатории, производя в ней также и всевозможные электродинамические, в том числе оптические эксперименты. (Все электродинамические явления в обеих лабораториях происходят совершенно одинаково).
Как мы уже сказали, очень четко обобщенный общефизический принцип относительности, об инерциальных системах отсчета, впервые сформулировал Пуанкаре в 1904 г. за год до формулировки этого принципа Эйнштейном в 1905 г. и появления основополагающей в специальной теории относительности его знаменитой работы 1905 г. Пуанкаре ещё с начала 90-х годов XIX в. интересовался теорией Лоренца и работал над её развитием.
Основные преобразования инвариантности -так называемые преобразования Лоренца:
были опубликованы Лоренцем в 1904 г. в упомянутой работе.
Пуанкаре понял, что преобразования, найденные Лоренцем, составляют группу преобразований инвариантности четырехмерного пространства-времени, координатными осями которого являются пространственные оси x,y,z и ось времени t. Он же назвал преобразования, найденные Лоренцем, ”преобразованиями Лоренца”.
В знаменитой работе 1905 г. Эйнштейн сформулировал независимо от Пуанкаре общефизический принцип относительности для инерциальных систем отсчёта и, как он сам утверждал и как это часто утверждают другие, дал физически единственно правильную интерпретацию формулам преобразования Лоренца.
Эйнштейн заявил. что преставление о времени. которое существовало в физике со времён Галилея и Ньютона, ошибочно, что его надо исправить, т.е. строгим формальным образом определить, что такое “время”. Это его утверждение основывалось на предложенном им в работе 1905 г. кинематическом, т.е. в отличие от работ Лоренца никак не связаны с электродинамикой, выводе формул преобразований Лоренца, выведенных, как Эйнштейн считал, только из правильного, предложенного им в этой работе понимания понятия времени.
Родившаяся с появлением работы Эйнштейна 1905 г. так называемая специальная теория относительности оказалась исключительно полезной в физике микромира и стала широко использоваться в бурно развивавшихся в XX в. атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц, т.е. в микрофизике.
Вообще считается, что в физике XX в. имеется только два главных фундаментальных теоретических достижения: теория относительности и квантовая механика.
4.2. Понятия абсолютного и относительного механического движения у Ньютона
В настоящее время в классической механике и во всех технических науках без каких-либо особых оговорок широко используется введённое Ньютоном в “Принципах” в 1687 г. представление об абсолютном движении, т.е. о движении тела или системы тел в абсолютно пустом пространстве,т.е. относительно этого пространства при течении абсолютного времени. Считается,что природа состоит из тел, движущихся или покоящихся в пустом пространстве. Само пространство неподвижно. О его движении говорить просто бессмысленно. Эти совершенно чёткие представления об абсолютном времени требуют,однако,серьёзных физических разъяснений.
Необходимо хорошо понимать, что при непосредственно экспериментальном исследовании механического движения или состояния покоя тела мы всегда подразумеваем (неявно, неосознанно) достаточно массивные твёрдые тела, относительно которых отсчитываем положение частей тела, системы тел,малого тела в различные моменты времени,мы подразуемые и некоторый определённый конкретный измеритель времени, т.е. часы.
Другими словами, при экспериментальном изучении механического движения мы всегда имеем некоторую вполне определённую «систему отсчета», под которой понимаются как все массивные тела,относительно которых мы отсчитываем положение нашего движущегося или покоящегося тела, так и конкретный используемый в экспериментах измеритель времени.
Эту мысль часто выражают словами: движение относительно, или движение по природе своей относительно.
Пример: 1)Космонавты в космическом корабле в качестве естественной для себя системы отсчета используют систему,жёстко связанную со стенками космического корабля, и обычные, механические или электронные часы, имеющиеся на борту.
2)Для нас, людей на Земле, имеется естественная система отсчета, жёстко связанная с неподвижными телами на поверхности Земли, или, что тоже самое,жёстко связанные со стенами лаборатории. Это так называемая лабораторная система отсчета.В качестве измерителя времени используют лабораторные часы.
Отмечая относительный характер механического движения и необходимость фиксации определённой системы отсчёта,обязательно надо давать себе отсчет в том, что различные система отсчёта физически и механически вовсе не равноправны.
Другими словами, механические движения тел в различных системах отсчёта происходят по-разному, по разным математическим и физическим законам.
Эксперименты, однако, показывают, что среди всех возможных систем отсчета в природе существуют всё-таки такие системы отсчёта,относительно которых движение или системы тел или малых частей тела являются наиболее простым и естественным.
Эти системы определяются как системы отсчета, в которых выполняются абсолютно строго три закона Ньютона(в частности первый закон, согласно которому поступательно движущееся тело, не подверженное никаким внешним воздействиям,движется равномерно и прямолинейно).Такие системы отсчёта называют инерциальными. Их бесконечно много.Все они движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Одну из этих систем мы можем назвать абсолютной и считать, что это как раз та система,которую использует классическая механика Ньютона.
С другой стороны, может быть и на самом деле в природе существует одна.действительно абсолютная физ. система отсчета, скажем,связанная с космическим пространством, простирающимся между Солнцем и Землёй и другими планетами.
Инерциальная система отсчёта является идеализацией, абстракцией, так как любая конкретная система отсчёта всегда, строго говоря, не инерциальна. Вместе с тем это очень полезная абстракция,так как всегда можно указать (и использовать в экспериментах) систему отсчёта,сколь угодно близкую к инерциальной. Например, для большинства механических экспериментов,проводимых в лаборатории такой приближённо инерциальной системой является сама лабораторная система отсчёта, хотя она и участвует во вращательном движении Земли(в частности чтобы убедиться в её неинерциальности, в ней можно произвести известный опыт Фуко с маятником,плоскость качания которого медленно поворачивается).
Намного более инерциальна не так называемая “геоцентрическая”, а рассматриваемая в небесной механике “гелиоцентрическая” система, центр которой помещён в центр масс Солнечной системы и оси которой направлены на три неподвижные звезды. Эта гелиоцентрическая система,однако, тоже, строго говоря, не инерциальна,так как Солнце с планетами совершает вращательное движение относительно ядра нашей галактики -”Млечного пути”.
Эксперименты,вообще,не могут указать ни одной по-настоящему инерциальной системы отсчёта.
Однако это неважно, так как мы всегда можем найти достаточно инерциальную систему для наших конкретных целей и представить себе абстрактно даже целый класс инерциальных систем отсчёта, движущихся относительно друг друга поступательно с постоянными скоростями.
Это — полезная абстракция. Из того что в природе нет идеальных геометрических прямых линий или идеальных геометрических плоскостей,вовсе не следует,что абстракции бесконечной прямой линии и бесконечной плоскости не являются полезными; они даже очень полезны для нас.
Таким образом, говоря об относительном характере движения, нельзя встать на наивную точку зрения -считать, что все системы отсчёта равноправны, что ”всё на свете относительно”.
И тем не менее на такую точку зрения,к сожалению часто встают. Так,с появлением теории относительности в XX в. некоторые её не очень образованные адепты стали утверждать, что бессмыслен был спор Коперника и Галилея с католической церковью (а фактически с Аристотелем и Птолемеем) о том, вращается ли Земля вокруг Солнца или Солнце вокруг Земли.
Чтобы объяснить идею абсолютного характера движения, Ньютон в “Принципах” (1687 г.) приводит описание знаменитого эксперимента с подвешенным ведром (“ведёрко Ньютона”). Возьмём ведро, или бадью, и подвесим его на верёвке к потолку,закрутим верёвку и ведро, чтобы верёвка стала совсем тугой,а потом отпустим ведро. Ведро придёт тогда через некоторое время в равномерное вращение,при этом свободная поверхность воды примет форму параболоида вращения(“параболический мениск”). Вода относительно нас будет вращаться, т.е. будет происходить движение воды относительно лабораторной системы отсчёта. Представим теперь себе, что мы встали на большую вращающуюся платформу, расположимся точно на её оси и будем рассматривать свободно подвешенное ведро на незакрученной верёвке,идущей точно вдоль оси платформы. Вода в ведре относительно нас вращается. Теперь, однако, свободная поверхность воды будет горизонтальной.
Две рассмотренные системы отсчёта, таким образом, неравномерны, хотя относительное движение нас и ведра одинаково в обеих системах.
4.3. Неинерциальные системы отсчёта и силы инерции
Механика Ньютона справедлива в инерциальных системах отсчёта.
В качестве такой системы с достаточным приближением можно взять стены лаборатории -лабораторную систему отсчёта.
В некоторых случаях,однако, удобно, и даже очень удобно, изучать движение тела, системы тел, малых частей тела в неинерциальной системе отсчёта.Иногда это даже обязательно нужно сделать,так как используемая инерциальная система отсчёта всегда в какой-то мере неинерциальна и это порою необходимо учитывать.
Можно привести примеры механических движений в падающем, оторвавшимся лифте, на вращающейся платформе на карусели, в купе железнодорожного вагона, движущегося с ускорением или замедлением,в кабине космического корабля при выводе его на орбиту или кувыркающегося в пространстве и т.д. Все такие движения приходиться рассматривать в существенно неинерциальных системах отсчёта.
В этих существенно неинерциальных системах уравнения механики неверны, т.е. неправильно и уравнение второго закона Ньютона:
где F- сумма реальных физических сил, действующих на тело со стороны других физических тел.
В случаях, когда всё-таки удобно или необходимо рассматривать механическую систему в неинерциальной системе отсчёта,нужно поэтому иметь какое-то исходное основное механическое уравнение вместо уравнения второго закона Ньютона.
Такое уравнение можно, разумеется, получить специальным математическим пересчётом из уравнения второго закона Ньютона, составленного для какой-нибудь инерциальной системы отсчёта, в данную удобную неинерциальную систему.
Результаты пересчета представляют, однако, снова в форме уравнения второго закона Ньютона, который теперь записывается следующим образом:
,
где Fин. обозначают возникающие при пересчете дополнительные математические члены, которые называют силами инерции. Это название, однако, не должно вводить нас в заблуждение: силы инерции никоим образом не являются настоящими физическими силами, так как нельзя указать никакого реального тела, или тел, действиями которых обусловлены указанные «мифические» силы. Они целиком определяются механическими свойствами рассматриваемой конкретной неинерциальной системы отсчета, характером ее движения.
Следует хорошо усвоить, что силы инерции действительно мифические, так как они не связаны ни с какими физическими взаимодействиями реальных физических тел.
К силам инерции относятся, в частности, так называемые центробежные силы и силы Кориолиса.
Пример 1. Определим силу F, стремящуюся растянуть, а потом и разорвать круговой обруч радиуса R массы M, равномерно вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью w.
Рассмотрение проведем в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с обручем с угловой скоростью w, в которой обруч покоится. В этой системе любая малая часть обруча тоже покоится. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da. Кроме реальных физических сил, действующих на этот элемент обруча (к которым относятся силы F, действующие со
стороны примыкающих к обоим концам элемента остальных частей обруча и стремящиеся растянуть этот элемент обруча), надо рассмотреть теперь также и мифическую центробежную силу Fцб., действующую на элемент нашего обруча. При этом, согласно закону центробежной силы, на бесконечно малый элемент обруча, стягиваемый центральным углом da, действует сила
,
где k- масса в расчете на единицу длины обруча, или линейная плотность массы, т.е. k=M/2pR.
Сумма трех векторов сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый элемент, должна равняться нулю, так как этот элемент обруча в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета покоится. Другими словами,
или
и окончательно получаем
Пример 2. Найти угол наклона к горизонтали свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд прямоугольной формы, скатывающийся с наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту a.
Рассмотрение снова удобно вести в неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с сосудом с жидкостью, в которой жидкость покоится. Эта неинерциальная система равномерно ускоренно движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением a=g sin a.
Таким образом, на каждую малую жидкую частицу массы m в этой инерциальной системе действует не только сила тяжести F=mg, направленная вертикально вниз, но и сила инерции Fин.=ma, направленная в противоположную сторону движения, т.е. вверх вдоль наклонной плоскости.
Жидкость в прямоугольном сосуде как бы находится в однородном поле новых сил тяжести, имеющих ускорение g’, которое составляет некоторый угол b с вертикалью. Следовательно, свободная поверхность жидкости в скатывающемся сосуде, перпендикулярная направлению нового ускорения g’, будет составлять такой же угол b с горизонтальной плоскостью. Найдем угол b. Имеем косоугольный треугольник
Применим к нему теорему синусов
,
,
sin b(1-sin2a)=cos b sin a cos a,
sin b cos a =cos b sin a,
tg b=tg a.
Следовательно, искомый угол b равен углу a, т.е. свободная по верхность жидкости в скатывающемся по наклонной плоскости сосуде будет параллельна наклонной плоскости.
4.4. Астрономические и земные измерения скорости света
Впервые скорость света была измерена в конце XVII в. в 1675 г. датским астрономом О.Ремером (1644-1710), который смог найти ее значение из наблюдений за спутниками Юпитера- четырьмя «медичейскими звездами», открытыми Галилеем в 1610 г. В настоящее время открыто 11 спутников Юпитера.
Периоды обращений этих спутников порядка нескольких дней; они малы по сравнению с периодом обращения Юпитера (12 лет) и Земли (1 год) вокруг Солнца. Ремер наблюдал за первым спутников Юпитера с периодом обращения 42 час 28 мин. Он заметил, что когда Земля двигалась по своей орбите, удаляясь от Юпитера, период обращения спутника становился длиннее. Когда Земля, наоборот, приближалась к Юпитеру, период обращения спутника становился короче. Ремер из этих наблюдений сделал правильный вывод, — что разность максимального и минимального периодов обращений спутника равна времени, необходимого свету для прохождения расстояния равного диаметру земной орбиты.
Орбита Юпитера, как и других планет, лежит приблизительно в плоскости орбиты Земли — в плоскости эклиптики; все планеты вращаются в одну сторону.
На рисунке L обозначает расстояние между Землей и спутником Юпитера в тот момент, когда он входит в тень Юпитера. Момент затмения наблюдается на Земле с запаздыванием, равным Dt=L/c, где c — скорость распространения света в межзвездной среде — эфире. Очевидно время запаздывания минимально или максимально, когда расстояние между Юпитером и Землей, соответственно, минимально или максимально.
Рассмотрим сначала наблюдаемый с Земли интервал времени T между двумя последовательными затмениями спутника, т.е. период обращения спутника вокруг Юпитера. Обозначим через T0 истинный интервал времени между двумя последовательными затмениями, или истинный период обращения спутника вокруг Юпитера.
Рассмотрим, например, для определенности случай, когда Земля движется по направлению к Юпитеру со скоростью v. Тогда первое затмение спутника мы зафиксируем на Земле с запаздыванием, равным l/c, где l — расстояние от Земли до Юпитера в момент первого затмения, c — скорость света. Второе затмение спутника мы зафиксируем на Земле немного с другим запаздыванием, равным (l-Dl)/c, где Dl — расстояние, пройденное Землей к Юпитеру за время T0, прошедшее между двумя последовательными затмениями. Таким образом, отличие наблюдаемого периода T между двумя затмениями и истинного периода T-0 между ними равно
;
но очевидно , а потому
,
т.е. наблюдаемый с Земли период обращения T оказывается меньше истинного периода T0.
Если теперь Земля удаляется от Юпитера со скоростью v, то отличие наблюдаемого периода T обращение спутника от истинного периода T0 будет равно
,
т.е. наблюдаемый с Земли период обращения спутника T окажется больше истинного периода T0.
Предположим теперь, что мы будем наблюдать затмения спутника Юпитера в течение полугода, когда Земля перемещается из точки A в точку C.
Если наблюдать два последовательных затмения с Земли, находящейся в некоторой промежуточной точке M на своей орбите, то очевидно
где f — угол ASM, который равен f =2pt/T3, где t- время, протекающее с момента, когда Земля находилась в точке A своей орбиты, T3 — период обращения Земли вокруг своей орбиты. В течение полугода, когда Земля перемещается вдоль пути ABC, изменение периода варьируется от DT=0 в точке A до максимального значения DT=T0v/c в точке B и вновь до значения DT=0 в точке C.
Возьмем сумму изменений периода DT за полгода:
где k-номер наблюдаемого периода.
Очевидно сумму
можно рассматривать как интегральную сумму для следующего интеграла
так как tk=kT0, Dtk=T0. Вычисляя приведенный интеграл, находим
Следовательно приходим к формуле
т.е. сумма изменений наблюдаемых с Земли периодов обращения спутника за полгода равна времени, которое требуется свету для прохождения диаметра земной орбиты.
Если в первую половину года, когда Земля двигалась по пути ABC, т.е. удаляясь от Юпитера, наблюдаемые с Земли периоды Tk обращения спутника были больше истинного периода T0, то во вторую половину года, когда Земля будет двигаться по пути CDA, т.е. приближаясь к Юпитеру, наблюдаемые периоды Tk обращения спутника будут меньше истинного периода T0 причем для второй половины года
Таким образом, истинное значение периода T0 обращения спутника вокруг Юпитера можно определить, составив сумму наблюдаемых периодов TК обращения спутника за год и разделив её на полное число N наблюдаемых за год периодов:
Сам Ремер получил заниженное значение скорости света, равное приблизительно с=214000км/с, при этом его ошибка в основном объяснялась неточным знанием значения диаметра земной орбиты. Фактически Ремер привел не значение для скорости света, а значение для времени требующемуся для свету на прохождение расстояния от Солнца до Земли, которое он считал равным 11 мин=660 сек (на самом деле это время равно примерно 8 мин 20 сек=500 сек). Позднее, уже в 18 и 19 веках Деламбр (1790 г.) дал значение времени 493,2 сек. и Глазенап (1874 г.) — значение 500,8 сек. Сэмпсон в 1909 г. приводит значение 498,790,02 сек. Неровности поверхности Юпитера ведут к неизбежным ошибкам времени наблюдений затмений спутника.
Следующее, тоже астрономическое измерение скорости света было произведено английским астрономом Дж.Д.Брэдли (1692-1762). В 1728 г. он нашел правильное объяснение увиденного им необычного явления в движении звезд, которое было названо вскоре аберрацией.
Одной из важнейших задач наблюдательной астрономии последних десятилетий XVII в. и первых десятилетий XVIII в. было обнаружение параллаксов звёзд, необходимость наблюдений которых непосредственно вытекала из коперниковой системы мироздания, а их отсутствие служило существенным доводом против этой системы; здесь речь идет, конечно, не о суточных, а о так называемых годичных параллаксах (“суточный” — это угол, под которым виден радиус Земли с небесного тела; “годичный” — это угол, под которым виден с небесного тела радиус орбиты Земли вокруг Солнца). Брэдли как раз и стремился обнаружить эти так называемые “годичные параллаксы”, то есть углы растворов конусов, отбрасываемых на небесную сферу линиями визирования, направленными на звезду с различных точек земной орбиты. Однако вместо параллаксов (которые вследствие их чрезвычайной малости из-за огромной удаленности звезд от Земли впервые были измерены только в конце XIX в. Бесселем, то есть через 100 лет после Брэдли ), Брэдли открыл не параллакс, а аберрацию.
На рисунке показано, как образуются звездой круговые траектории на небесной сфере для звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. На левом рисунке проиллюстрировано явление годичного параллакса, на правом — явление аберрации. Видим, что положения звезды на круге при параллаксе и при аберрации для фиксированного положения Земли на орбите разные; они различаются поворотом на 900.
Брэдли наблюдал за ежесуточными проходами через меридиан звезды g в голове созвездия Дракона, находящейся вблизи полюса эклиптик. Начав наблюдения в декабре 1725 г., Брэдли заметил, что эта звезда всё более отклонялась к югу. Её смещение достигло 20« к началу марта. Затем звезда на несколько дней остановилась, а затем стала снова двигаться, но теперь в обратную сторону — к северу. К июню звезда заняла свое прежнее положение, какое у неё было в декабре, прошла его и в течение второго полугодия проделала точно такой же путь на север и обратно. Это движение звезды нельзя было объяснить как результат параллакса (если бы это было годовое параллактическое движение, то движение звезды к югу должно начаться не в декабре, а в марте, а движение её к северу не в июне, — а в сентябре) и Брэдли догадался, что наблюдаемый им эффект обязан конечности скорости распространения света и годичному движению Земли по своей орбите.
Брэдли пишет : “Наконец я догадался, что если свет распространяется во времени, то кажущееся положение неподвижного предмета, когда глаз находится в покое, будет иное, чем когда глаз движется в направлении, уклоняющемся от линии, соединяющей предмет с глазом, и что когда глаз движется в различных направлениях, то и кажущееся положение объекта будет различным”.
Объяснение Брэдли эффекта аберрации было следующее.
Пусть прямая CA — путь луча света, идущего от источника C, по которому движется световая корпускула. Пусть глаз наблюдателя движется вдоль прямой BA со скоростью v, которая относится к скорости света c, как BA относится к CA. Корпускула света, которая обеспечивает видение глазом источника C в точке A, должна была быть испущена источником C в тот момент, когда глаз находился в точке B.
Трубу телескопа, которую Брэдли мысленно представил себе движущейся параллельно самой себе вдоль прямой BA надо направить вдоль прямой BC, чтобы получить свет от источника C. Трубу телескопа, Брэдли взял такого диаметра, чтобы она пропускала только одну световую корпускулу. Угол BCA = a характеризует угол наклона линии визирования на источник к линии, вдоль которой движется глаз. Очевидно sin a = (v/c)sinj,при j = 900, то есть для звезды в полюсе эклиптики, имеем sin a = v/c ;при j = 00, то есть для звезды на эклиптике, имеем sin a = 0.
Скорость v — это скорость движения Земли на орбите. Она Брэдли была известна, так как радиус земной орбиты был уже к тому времени давно точно измерен. Зная длину пути, пройденного Землей за год, можно было вычислить, что v = 30 км/с. Зная эту скорость и угол аберрации a, по приведенной формуле можно было легко рассчитать скорость света c. Создав теорию для g Дракона, Брэдли перешел к её подтверждению путем наблюдений за другими звездами. В 1726-28 гг. он наблюдал аберрацию ещё для 7 звёзд вблизи полюса эклиптики и для всех них полная амплитуда углового смещения на небе составила величину 40«-41« (среднее 40«,4). Таким образом, угол аберрации a оказался равным 20«,2. Этот угол даёт значение скорости света 301000 км/с, но Брэдли на самом деле приводит не это значение, а значение для времени распространения света от Солнца до Земли, которое он считал равным 8 мин 12 сек.
Брэдли объяснил открытую им в 1728 г. аберрацию неподвижных звёзд на основе корпускулярной теории света. В 1804 г. Юнг показал, однако что аберрацию можно объяснить и на основе волновой теории света. При этом Юнг сделал следующее предположение. Земля и все тела на Земле пронизаны, пропитаны эфиром, но при движении Земли и тел на её поверхности они не могут этот эфир увлечь за собой или сколь-либо существенным образом его возмутить. Поэтому возникает “эфирный ветер”, пронизывающий все тела на движущейся Земле. Тела не способны задерживать эфир, как “неспособны удерживать ветер кроны деревьев”, как писал Юнг.
Таким образом, световые волны, идущие от звезды, не будут принимать участия в движении телескопа, и если считать что телескоп направлен на истинное положение звезды, а Земля, для простоты, пусть движется перпендикулярно направлению на звезду, то изображение звезды будет смещено от центрального перекрестья в фокусе на расстояние, равное тому, которое пройдет Земля за время, пока свет будет идти через трубу телескопа.
На рисунке MN = ct, KN = vt, где t — время, требующееся свету, чтобы пройти через трубу телескопа. Таким образом, угол аберрации
Здесь рассматривается для простоты случай, когда направление движения Земли составляет точно прямой угол с направлением на звезду.
В земных условиях скорость света сумели измерить только в середине XIX в. Это сделали Физо (1849 г.) и Фуко (1865 г.) двумя различными методами (с использованием быстро вращающегося зубчатого колеса и с использованием быстро вращающегося многогранного зеркала), при этом было подтверждено значение скорости света c = 300000 км/с, полученное астрономическим методом.
4.5. Теория Френеля частичного увлечения эфира движущимся телом и его теория аберрации. Опыты Араго и Физо.
Аберрационной константой называется отношение v/c, скорости v Земли на орбите (v=30 км/с) к скорости c света в пустоте (c=300000км/с).Она очень мала :
Вопрос о том, преломляются ли по-разному стеклянной призмой лучи, идущие от звезды и от земного источника, был поставлен в первой четверти XIX в. Араго. Рассуждения его были следующие. Так как Земля движется в неподвижном эфире со скоростью v, то скорость света, идущего от звезды, в стекле призмы при приближении к звезде будет c — v, а при удалении от звезды (через полгода) будет c + v. Таким образом, показатель преломления n призмы, через которую наблюдается звезда, для света звезды должен в течение года периодически изменяться от значения n ( c — v ) до значения n ( c + v ), а потому луч от звезды должен периодически отклоняться от своего начального положения и по прошествии года должен возвращаться в свое начальное положение.
Араго в 1810 г. произвёл такой эксперимент со стеклянной призмой, направленной на определенную звезду. Он наблюдал преломление луча света звезды в призме, когда Земля двигалась к звезде (через полгода), когда Земля удалялась от звезды. Араго ожидал получить угловое смещение 2`. Но получил отрицательный результат — никакого смещения не было. Так он пришёл к заключению, что преломление в движущейся призме идентично преломлению в покоящейся призме.
Получив такой результат, Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить его. В письме к Араго от 1818 г., опубликованном во французском научном журнале в том же 1818 г., Френель не только нашел объяснение отрицательного результата опыта Араго, но и сделал принципиально новый шаг в теории аберрации. Фактически с этого письма Френеля начинается вся оптика движущихся сред. Френель поставил более широкий вопрос — как влияет движение Земли на оптические явления на Земле? Аберрация, таким образом, у Френеля перестала быть изолированным астрономическим оптическим явлением, требующим для своего объяснения особых рассуждений.
Френель сразу отказался от объяснения опыта Араго тем, что эфир полностью увлекается Землёй, так как тогда, как пишет Френель, невозможно объяснить явление аберрации, ибо её объяснение он видел, следуя Юнгу, в том, что эфир не увлекается движущейся Землёй.
В отличие от Юнга Френель, однако, предположил, что Земля сообщает пропитывающему и окружающему её эфиру очень малую часть своей скорости (очень “пористая” Земля “частично” увлекает эфир). С помощью этого предположения Френель объяснил удовлетворительным образом не только аберрацию звёзд, но также и опыт Араго и все другие оптические явления, связанные с движением Земли.
Френель принял фактически две следующие гипотезы:
1) Различие скоростей света в стекле призмы и в окружающем её неподвижном эфире происходит исключительно из-за различия плотности эфира , пронизывающего тело призмы, и плотности эфира , находящегося вне призмы, так чтогде -показатель преломления стекла призмы. Упругость эфира вне призмы и внутри неё Френель посчитал одинаковой. Таким образом, он пришёл к соотношению
2) Далее Френель посчитал, что движущаяся в неподвижном эфире призма увлекает с собой не весь эфир, её пропитывающий, а только его часть, которая является избытком плотности эфира над плотностью эфира в пустом пространстве, т.е. плотность эфира, переносимого призмой равна
Френель предположил, что когда движется только часть такой комбинированной среды, а другая её часть покоится, скорость волны в среде, распространяющейся в направлении движения среды, увеличивается на скорость движения центра масс комбинированной системы, составленной из покоящейся и движущейся частей среды, т.е. в нашем случае увеличивается на величину таким образом, имеем формулу увеличения:Коэффициентв этой формуле называется “коэффициентом увеличения”.
Здесь -это скорость движения эфира, заключённого в объёме движущегося со скоростью тела; скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир совсем не увлекался движущимся, и скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир полностью увлекался движущимся телом.
Френель убедился в справедливости своей формулы в частных предельных случаях. Эта формула очевидно верна, когда плотность увлекаемой части эфира равна нулю, — тогда , так как по формуле
Формула очевидно также верна и тогда, когда весь эфир увлекается; тогда , так как по формуле
Фактически, как мы видим, Френель попросту угадал свою формулу увлечения, предположив простую экстраполяционную линейную зависимость для увеличения скорости волны в среде от степени увлечения среды.
Стокс в 1846 г. вывел формулу увлечения Френеля из следующей физически разумной модели. Он предположил, что при движении прозрачного тела через неподвижный эфир, входящий в тело эфир, при проходе через переднюю границу движущегося тела, скачком увеличивает свою плотность от плотности в пустом пространстве до плотности внутри тела, причём в системе отсчёта, в которой тело покоится, на переднюю границу тела, которая считается для простоты плоской, в единицу времени на единицу площади натекает масса эфира , а вытекает из неё масса эфира , где -относительная скорость движения эфира относительно тела (если -абсолютная скорость движения тела, -абсолютная скорость движения эфира, заключённого в теле, то
Так как эфир на рассматриваемой границе тела не накапливается и не исчезает с течением времени, тоа следовательно,
Возвратимся к рассуждению Френеля. Следуя Френелю, рассмотрим теперь стеклянную призму на поверхности Земли с прямым углом при вершине и углом при вершине . Пусть эта призма движется вместе с Землёй в неподвижном эфире с постоянной скоростью в направлении слева направо. Пусть на её грань нормально падает плоская световая волна с фронтом , идущая от далёкой звезды, расположенной на горизонте. На передней грани призмы, входя в стекло, волна не преломляется, так как падает на эту грань нормально. Она преломляется при выходе из стекла на задней грани призмы.
На рисунке изображено два положения призмы и в два разных момента времени, скажем, в нулевой момент времени и в момент времени за которое фронт волны как раз продвинулся из положения в положение , изображенное на рисунке.
Обозначим через — скорость световой волны в неподвижном эфире и через — скорость световой волны в неподвижной призме. Тогда, согласно волновой теории света, показатель преломления стекла призмы равен
Согласно гипотезе Френеля о частичном увлечении эфира, скорость света в движущейся призме равна
Найдем значение угла , на который отклоняется фронт (или луч) света от звезды, проходя через движущуюся призму .
Рассматривая прямоугольные и с общей гипотенузой , для отрезков и получаем очевидные соотношения:Таким образом,
Вычислим теперь отрезки и по-другому. Очевидно из рисунка, что имеем следующие простые соотношения:Из приведённого чертежа имеем, кроме того, также следующие соотношения: где — угол поворота фронта волны после прохождения его через призму. Таким образом,Учтём теперь, чтои что при малых имеем приближённое равенствопри этом, считая отношение малым, мы заменили угол , на угол , его значение при . Учтём, кроме того, что при малой разности имеем приближённое равенство
Приходим, таким образом, к следующему приближённому уравнению для определения угла :При и очевидно отсюда имеем соотношениесправедливое для неподвижной призмы, которое позволяет сократить в вышеприведённом уравнении члены нулевого порядка в обеих частях приведённого равенства. Тогда окончательно придём к уравнениюПреобразуем выражение, стоящее в правой части. Очевидно, чтоТаким образом, приходим к уравнениюкоторое позволяет вычислить угол отклонения луча от звезды, движущейся со скоростью , призмой, если известен угол отклонения для этого луча покоящейся призмой.
В качестве луча, отклонение которого мы рассмотрим, возьмём луч , изображённый на рисунке. Как видим, угол преломления в движущейся призме всегда несколько меньше угла преломления в покоящейся призме.
Проследим теперь за дальнейшей судьбой луча после выхода его из призмы. Этот луч света, вышедший из призмы, движущейся вместе с Землёй, из-за движения Земли, попадёт на экране, тоже движущемся, как и призма, со скоростью , не в точку , а в точку , которая определяется из условия, что за время, пока свет распространится от точки до точки , двигаясь со скоростью , точка попадёт в точку , двигаясь со скоростью .
Таким образом, если -время распространения света от точки до точки , то
Рассмотрим теперь косоугольный C1KN и применим к нему теорему синусов. Получим соотношение:
следовательно:
Учитывая, что , получаем:
.
Как видим, для определения угла получили в точности такое же уравнение, как и уравнение для определения . Следовательно мы должны заключить, что .
Итак, мы рассчитали положение точки K на экране, в которую падает луч света от звезды, учитывая и эффект частичного увлечения эфира движущейся призмой и эффект аберрации. Оба эти эффекта в точности скомпенсировали друг друга, т.к., как это непосредственно видно из чертежа, в точку K наш луч от звезды попадет и в том случае, когда призма и экран покоятся. Действительно, отрезок C1K перпендикулярен “мнимому” фронту волны, отклоняющемуся в призме на угол .
Видим, что движение Земли в первом порядке по константе аберрации не оказывает никакого влияния на преломление света от звезды.
Френель из своей формулы частичного увлечения эфира вывел еще одно интересное следствие. Если трубу телескопа наполнить водой, то наличие воды в телескопе никак не будет влиять на величину аберрации.
Произвести измерение угла аберрации с помощью телескопа, труба которого наполнена водой, предложил Бошкович (1711-1787), горячий сторонник идей Ньютона и их неустанный проповедник в Италии. Такой опыт был произведен, однако, только в 1871 г. Эйри(1801-1892). Опыт подтвердил, в согласии с теорией Френеля, что угол аберрации для наполненной трубы остается таким же, как и для пустой.
Как свидетельствует Майкельсон, “внимание физиков впервые было обращено на влияние действия среды на скорость света в связи с опытом Эйри”.
Изложим теперь, следуя Лоренцу, рассуждение Френеля, объясняющее, почему заполнение трубы телескопа водой не изменяет значения угла аберрации.
Телескоп для простоты заменим примитивным оптическим прибором без линз, позволяющим, тем не менее, определить направление на звезду. Этот прибор пусть состоит из экрана ab с отверстием AB и расположенного за ним параллельно экрана ef. По взаимному расположению светлого пятна EF на экране ef и отверстия AB можно судить о направлении на звезду.
Оба этих экрана, разумеется, неподвижны относительно друг друга. Пусть прибор находится на Земле, движущейся с постоянной скоростью , скажем, в направлении слева направо.
Френель предполагает, что эфир неподвижен в межпланетном пространстве и что Земля и прибор никак не увлекают его своим движением. Это значит, что в системе отсчета, жестко связанной с Землей и прибором, эфир натекает на прибор однородным сплошным потоком с постоянной скоростью справа налево и сносит своим движением любое имеющееся в нем световое возмущение.
Ограничимся рассмотрением звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. Свет от такой звезды представляет собой у поверхности Земли практически неограниченную плоскую волну, которая падает перпендикулярно на отверстие AB, вырезающее ограниченно малую часть волнового фронта.
В течение времени , пока образованный отверстием AB фронт ограниченных размеров (изображаемый на рисунке отрезком AB) распространится в эфире по вертикальному направлению вниз и достигнет экрана ef, он будет постоянно сносится движением эфира в горизонтальном направлении, справа налево, так что в конце интервала времени фронт AB попадет на место EF экрана. При этом вырезанный экраном пучок света ABEF окажется наклоненным к вертикальному направлению на некоторый угол , который и является углом аберрации. При этом , где — скорость света в неподвижном эфире, , где — скорость движения Земли, так что
Отношение очень мало, примерно 10-4.
Обратим внимание, что кажущееся направление на звезду (которое только и наблюдается с помощью телескопа или описанного примитивного прибора) определяется не направлением волновой нормали, которая перпендикулярна фронту волны и направлена перпендикулярно вниз по прямой , а направлением луча, т.е. направлением прямой и характеризует наклон образованного отверстием светового пучка , по отношению к вертикальному направлению.
Лоренц определяет лучи, как прямые, которые показывают, каким образом световые пучки ограничены сбоку (дифракцией полностью пренебрегается).
Изменим теперь немного конструкцию нашего примитивного оптического прибора, используемого для определения направления на звезду. Возьмем снова два параллельных экрана и , верхний снова с отверстием , но теперь заполним нижнюю часть прибора — между плоскостями и — плоско-параллельным слоем некоторой прозрачной среды, например, водой, с показателем преломления , где — скорость света в неподвижном эфире, — скорость света в неподвижном стекле. Снова возьмем свет, приходящий на Землю от звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики, и снова все рассмотрение будем в системе отсчета, жёстко связанной с Землей и прибором, в которой эфир однородным сплошным потоком натекает на прибор справа налево со скоростью .
Из практически бесконечного фронта плоской световой волны, приходящей на Землю от рассматриваемой звезды, отверстие вырежет малую часть . Ограниченное в первый момент времени краями отверстия световое возмущение дальше, — между экраном и поверхностью среды , — распространяется в эфире, движущемся справа налево однородным сплошным потоком со скоростью . Поэтому образуется световой пучок , наклоненный к вертикали под очень малым углом аберрации
как мы это объяснили выше.
Определим теперь наклон светового пучка в прозрачной среде, который образуется из светового пучка . Если бы движение эфира через прозрачную среду отсутствовало, то мы имели бы пучок , имеющий угол наклона к вертикали, определяемый из закона Снеллиуса:
;
считая, что угол , а следовательно и угол очень малы. Таким образом, для длины отрезка имеем выражение
если предположить, что — толщина слоя прозрачной среды в приборе. Движение эфира через прозрачную среду, однако, происходит. Согласно гипотезе частичного увлечения эфира прозрачным телом, эфир протекает через плоскопараллельный слой прозрачной среды справа налево горизонтальным непрерывным сплошным потоком, движущемся со скоростью
;
она меньше скорости движения Земли, которую эфир имел бы, если бы он не увлекался прозрачной средой. Вследствие переносного движения, фронт волны , распространяющийся в прозрачной среде вертикально вниз до экрана со скоростью — скоростью света в среде — за время
,
при попадании на экран будет снесен в горизонтальном направлении влево на расстояние
Получили для отрезка тот же результат, что и выше, когда делали предположение, что движение эфира отсутствует.
Таким образом мы должны сделать вывод, что движение рассматриваемого оптического прибора вместе с Землей со скоростью сквозь неподвижный эфир никак не сказывается на ходе лучей в нем; закон преломления остается таким же. Луч, приходящий от звезды, ведет себя в точности так же, как и луч такого же направления, идущий от земного источника.
4.6. Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды, пронизываемой движущимся через нее эфиром. Теорема Лоренца.
Свою оптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборов Лоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени уже твердо установленных опытных фактов:
1) существует явление астрономической аберрации положений звезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небе маленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизи экватора эклиптики);
2) свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет, приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучи использованным в любых оптических экспериментах — по отражению, по преломлению, по интерференции и т.д., ведет себя в точности так же, как и свет от земного источника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той же частотой;
3) ни в одном оптическом эксперименте, который можно произвести с земным источником света, нельзя наблюдать никакого эффекта, связанного со скоростью движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядка малости по , где — скорость света в пустоте.
Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмы и т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е. средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной функцией локального показателя преломления , где — показатель преломления в точке среды с координатами .
Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.
Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат , жестко связанной со средой и с Землей. При этом он предполагает, что Землю и прозрачную среду пронизывает “эфирный ветер”, характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей .
Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в среде имеется эфирный ветер.
Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для неподвижного эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронта волны, распространяющейся в покоящейся относительно Земли, но движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S1, см. рис.
Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волнового фронта S1, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно испустить из этой точки в момент времени t т.е. взять бесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.
Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S1,будет геометрической огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек P поверхности S.
Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P, являющейся центром испускания элементарной волны, в точку P1, расположенную на поверхности S1 и являющуюся точкой касания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один из элементов луча изображен отрезком PP1 на рисунке.
Точки P и P1, принадлежащие соответственно поверхностям S и S1 и являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются сопряженными точками.
При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти последовательные положения S, S1,S11,… фронта распространяющейся волны и последовательные элементы PP1,P1P11,P11P111,… любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.
В случае отсутствия в среде эфирного ветра каждая из рассмотренных бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферу радиуса c1t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где c1 — локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с1=с1(x,y,z) точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.
В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v — скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно равны c1·dt, как в неподвижной среде, см. рис.
Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц пользуется одной из следующих гипотез.
а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.
б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.
в) Если PQ=(1/n2)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой; здесь n — локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.
Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью v.
Длина отрезка PQ теперь равнапричем направления отрезков PR и скорости v во всех точках P будут одинаковы.
Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.
Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v — поступательно равномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижный эфир, с — скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от движения среды.
Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.
Обратимся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим РP1PQ между направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения среды — через q, см. рис.
На рисунке полупрямая QP направлена вдоль направления эфирного ветра. Согласно теореме косинусов, примененной к DP1PQ, имеем следующее соотношение. Отрезок P1Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c1·dt, где c1 — локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n2, n — локальный показатель преломления в точке P, v — скорость эфирного ветра. Отрезок PP1 равен с1дв·dt, где с1дв — локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в следующем виде:
или в виде квадратного уравнения из которого можно определить скорость с1дв. Решая это квадратное уравнение получимочевидно перед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для скорости с1дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или, что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v2, имеемСледовательно, с точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: или справедливо с точностью ло членов порядка малости v3/c31.
Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с1дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds — длина элемента дуги кривой ALB.
Пренебрегая членами второго порядка малости v2/c21 в вышеприведенной формуле для 1/ с1дв, получаем следующую простую формулу для времени t для любого мысленно воображаемого пути ALB:
Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды — постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой из которой сразу получаем с1n=c, где с — скорость света в пустоте, — некоторая универсальная константа. Таки м образом, множитель имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения света по лучу ALB Легко видеть, что второй интеграл не зависит от формы пути ALB, так как он равен длине проекции прямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с1 — это линейная скорость света в неподвижной среде.
При отыскании минимума времени t для различных путей ALB, соединяющих фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так как первый интеграл не зависит от скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом приборе будет в точности такой же, как и в покоящемся приборе.
Тем самым теорема Лоренца доказана.
4.7. Теория аберрации Стокса.
В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об аберрации света”, в которой изложил свою теорию аберрации. В момент написания этой работы Стокс не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории аберрации, о чем свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее “замечательной” и дает ей интересное дальнейшее развитие. Однако здесь же, в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с любопытным случаем существования двух совершенно различных теорий, одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что не может проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободно проходить через твердую массу Земли.
В работе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарном объяснении аберрации с помощью корпускулярной теории света, говорили о больших успехах волновой теории света, которая “просто и красиво объяснила многие сложные явления”, об отсутствии объяснения аберрации в рамках волновой теории.
Приступим к изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько формализуем рассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.
Стокс предполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в межпланетном пространстве переносит какую-то часть эфира с собой, вследствие того, что эфир вблизи её поверхности покоится относительно её поверхности, как бы “прилипает” к ней, причём скорость эфира нарастает при удалении от поверхности Земли, пока на не очень большом расстоянии, она не станет равной скорости эфира, покоящегося в межпланетном пространстве, относительно Земли. Таким образом, можно предположить, что в системе отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфир натекает на Землю стационарным сплошным потоком, обтекая её со всех сторон, с некоторым полем скоростей , не зависящим от времени t.
Предположим, что положение фронта световой волны, распространяющейся в стационарно движущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида составим дифференциальное уравнение, которое позволило бы определить последовательные положения фронта световой волны в различные моменты времени, т.е. определить эволюцию волнового фронта. Для этого надо найти функцию ¦.
Возмущение эфира, каковым является световая волна, в случае покоящегося эфира перемещается за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z в точку с координатами где с — скорость света в покоящемся эфире и где считаем, что возмущение распространяется по нормали к поверхности ¦=0, взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, с заданным полем скоростей, по определению Стокса, за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z перемещается в точку с координатами т.е. Стокс считает, что распространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира. Таким образом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt даётся уравнением . Разлагая последнее уравнение по малости dt, получаем искомое уравнение, описывающее эволюцию волнового фронта оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: или ;
Хотя этого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в его рассуждениях. Знак ± соответствует неопределённости направления нормали, задаваемой вектором с компонентами
Будем теперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, u, w малы по сравнению со скоростью света с и построим частное приближённое решение дифференциального уравнения, которое Стокс фактически и рассматривает в своей работе 1845 г. по теории аберрации.
Нулевое приближение. Положим u = u = w = 0 в приведённом уравнении для ¦, т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнение нулевого приближения имеет следующее частное решение: , это решение описывает оптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z. Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид здесь мы взяли знак минус перед корнем, причём для приведенной нулевой функции справедливы соотношения: перед корнем мы берём знак “-”.
Первое приближение. Считая теперь скорости u, u, w малыми величинами, первого порядка малости, найдём приближённое решение приведённого полного уравнения, со знаком “-” перед корнем, переходящее при пренебрежении величинами u, u, w в решение ¦0, в виде функции где является малой величиной первого порядка малости по u, u, w. Следуя Стоксу, считаем, что поправочная функция z зависит только от координат x, y и не зависит от координаты z. Это предположение, разумеется, несколько ограничивает произвол отыскиваемого решения. Но если нам удастся его построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которому удовлетворяет функция ¦, со знаком “-” перед корнем, имеем следующее приближённое уравнение для определение функции z : из которого непосредственно получаем приближённое уравнение для определения функции z. Интегрируя полученное уравнение по t, приходим к соотношению
Таким образом, окончательно приходим к следующему приближённому уравнению для определения положения фронта рассматриваемой волны в момент времени t:
Составим выражения для компонент ненормированной нормали к этой поверхности волнового фронта в точке x,y,z = — ct в момент времени t. Имеем
Обозначим через направляющие косинусы для нормали, взятой к найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина w /c мала, то углы так что приближённо можно положить .
В этом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о потенциальности поля скоростей эфира.
Гипотеза Стокса. Поле скоростей эфира потенциально, т.е. существует такая функция j(x,y,z), что
Согласно гипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения для компонент поля скоростей: используя которые, выведенные приближённые формулы для углов a и b можно записать в виде
Следовательно для изменения углов a и b от момента времени t=t1 до момента времени t=t2 имеем следующие очень простые формулы:
Из этих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть свет от звезды идёт по направлению, строго перпендикулярному направлению движения Земли. Первый момент времени t=t1 возьмём таким, чтобы фронт световой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для скорости эфира в точках этого фронта можно было считать, что предполагаем, что Земля движется в положительном направлении оси x с постоянной скоростью u. Второй момент времени t=t2 возьмём в тот самый момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда
Следовательно, фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по приближению к Земле таким образом, что угол, составленной его нормалью с осью х, станет равным где u — скорость движения Земли, с — скорость света в покоящемся эфире. См. рис.
Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в сторону направления движения Земли на угол аберрации равный .
В 1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас работе 1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил лишь за изменениями направления нормали к фронту волны, по мере распространения волны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории волновых нормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, с заданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучей перестают совпадать.
Обозначим через n — единичный вектор нормали в некоторой точке фронта волны в момент времени t и через s — единичный вектор направления луча в этой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t. Пусть a, b — углы вектора нормали n с осями x, y, причём все эти углы мало отличаются от прямых
Стокс считает, что где v(u,u,w) — поле скоростей эфира в рассматриваемой точке волнового фронта в момент времени t. Следовательно: или окончательно Приращение этих углов за интервал времени t, t+dt, когда dz= — cdt, таким образом равно
Выше мы показали, что
так что окончательно
Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира, таким образом, заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.
Итак, изменение направления луча по мере распространения равно нулю; лучи света в увлекаемом Землей эфире — приближенно прямолинейные.
4.8. Механический принцип относительности.
Инвариантность относительно преобразований Галилея.
Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.
Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).
Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах — в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K’. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.
Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K’ связаны следующими формулами преобразования:
которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что
.
Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.
Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K’ имеем следующие уравнения движения:
которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:
так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).
Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) — волновая функция и c — скорость волны. Тогда имеем уравнение
Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами — перейдем от независимых переменных x,t к переменным x’,t’, считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x’,t’, т.е.
где
Таким образом,
Следовательно,
Далее,
Следовательно,
Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что
или
Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).
Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.
Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера
когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.
Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение
Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K — это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.
Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость cдв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией
Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно
Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению
которое можно представить в виде
Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором
и получим уравнение
Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение
члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению
которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.
Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью cдв = c — v.
Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией
Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно
Поэтому имеем уравнение
которое можно записать в следующем виде
Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором
и получим уравнение
Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение
члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению
т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.
4.9. Электродинамический принцип относительности.
Инвариантность относительно преобразований Лоренца.
Оказывается, одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета K к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиями Галилея, а так называемыми преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:
Теперь не только координата Х, но и время Т преобразуются. Докажем инвариантность. Снова рассмотрим функцию
где ?=V/C. Тогда, дифференцируя её по t, получим
Следовательно,
Далее, дифференцируя по t, получаем
Следовательно,
Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера
Получим тогда уравнение
Таким образом, приходим к уравнению
слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются. Окончательно получаем уравнение
Следовательно, приходим к уравнению
т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.
Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который, однако, рассматривал не просто одномерное волновое уравнение, а уравнения Максвелла, которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением” — для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира.
Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата — с инвариантностью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца.
Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении. Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты, никак не связанные со средой — воздухом, колебаниями которого они на самом деле являются. Среда теперь — совершенно другой физический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуют сами по себе,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“волны“ — поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не только механически, но и физически должны быть полностью равноправными.
В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественная интерпретация, разумеется, неправильна.
В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, а электромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесь является, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен, и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.
Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты, проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, дали отрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона — Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили.Скорость Земли в указанных экспериментах измерить не удалось.
Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалось обобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные (в том числе и оптические) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна.
Электродинамический принцип относительности.
Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе отсчета определить скорость ее движения, если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения.
Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основных уравнений электродинамики — уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895 г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамических экспериментов нельзя определить скорость поступательного движения Земли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всех эффектах (1904 г. ).
4.10. Обсуждение понятия скорости тела и построения полей времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.
Казалось бы, понятие скорости тела, как пройденного пути за определенный промежуток времени:
настолько ясно, что не требует вообще никаких пояснений. Конечно, если тело движется неравномерно, то надо вводить в рассмотрение мгновенную скорость
но не об этом сейчас речь. Вместе с тем в связи с данным определением скорости необходимо, однако, обсудить весьма существенный физический вопрос.
Чтобы лучше представить себе ситуацию, рассмотрим конкретный эксперимент, проводимый для измерения скорости тела. Пусть имеется движущееся тело и пусть оно в какой-то момент времени проходит или пролетает через то место N, где мы сами сейчас находимся. Засечём этот момент t1 на имеющемся у нас измерителе времени — часам.
Предположим, что мы находимся в месте N и наблюдаем из этого места за нашим движущимся телом. Через некоторое время, скажем в момент времени t2, зарегистрированным по нашим часам, тело проходит через другое место M, расстояние до которого S2-S1 от нашего места N, мы можем измерить заранее. Тогда скоростью тела мы назовем отношение
Вроде бы всё совершенно ясно. Но это не так. Мы должны учесть, что когда мы увидели, что тело проходит через место M,мы на самом деле просто зарегистрировали световой сигнал, приходящий к нам из места M, свидетельствующий о совпадении тела и места M. Так как сигнал распространяется с некоторой конечной скоростью С, то мы должны это учесть и ввести поправку на время распространения сигнала от места M до места N, т.е. поправку на время запаздывания.
Таким образом, мы должны в формуле для скорости V взять не момент t2, непосредственно экспериментально наблюдаемый и зафиксированный по нашим часам, а момент
и скоростью тела должны на самом деле назвать величину
которая лишь незначительно больше величины V, если тело движется не слишком быстро.
Так как скорость света C очень большая ( С=300000 км /c), то рассматриваемая поправка, конечно, будет для реально наблюдаемых движений тел на Земле чрезвычайно малой.
Однако она становится тем больше, чем дальше удалено место М от места N и чем скорее движется тело. Если скорость V тела будет близка к скорости света, то поправка будет очень большой.
Именно эта поправка в определении скорости тела и учитывается в специальной теории относительности.
Здесь следует сказать, что наше субъективное ощущение об окружающем нас мире в некоторый данный момент времени, действительно субъективно и неправильно. Дело в том, что удаленные предметы мы видим такими, какими они были в более ранние моменты времени, чем видимые нами близкие от нас предметы.
Скажем, мы видим на улице “одновременно” идущих людей, здания, Солнце.Но ведь, на самом деле, Солнце мы видим не в тот момент, в который мы на него смотрим, а в момент примерно на 8,5 минут раньше (так как время распространения света от Солнца до Земли составляет примерно 8 мин. 20 сек. ). А если мы “одновременно” взглянем в телескоп на удаленные от нас звезды и галактики, то галактики на самом деле сейчас мы видим в такие моменты, когда мы ещё и сами не родились, и даже ещё не появилась наша Земля и наша Солнечная система.
Таким образом, обсуждая понятие скорости движущегося тела, нам надо обязательно разобраться, что мы понимаем под временем в различных местах пространства. Чтобы экспериментально исследовать перемещение тела в пространстве с течением времени, лучше всего иметь локальные согласованные друг с другом измерители времени — часы, расставленные во всех точках пространства. Тогда совсем не нужно будет думать о поправках в отсчётах времени, скоростях световых сигналов и т.д. Множество локальных времен в различных точках системы отсчета образует то, что мы будем называть полем времени.
Построим сначала поле времени в “покоящейся“ системе отсчета К. Для этого в начале отсчета О организуем “производство” совершенно одинаковых, идентичных, измерителей времени — часов, ход которых, по возможности, одинаков. Затем эти измерители времени достаточно осторожно разнесём по различным точкам пространства M, N,….
Если бы все эти часы мы сначала синхронизовали (выставили бы на них одинаковые показания времени), а затем разнесли по различным точкам пространства, то показания часов, помещенных в различных точках, мы могли бы и назвать временем в системе отсчета К.
Так поступать, однако, нельзя. Чтобы перенести часы, например из точки «О» в точку М, мы должны сначала эти часы в точке О ускорить, затем передвинуть, а затем замедлить для остановки в точке М. При ускоренном и замедленном движениях при этом ход часов обязательно нарушится и в показания времени будет введена неконтролируемая ошибка.
Поэтому поступим так, как поступил Эйнштейн в работе 1905 г. Будем все часы синхронизировать не в начале координат, до их разнесения, а лишь после того, как мы уже их разнесли и установили в разных точках пространства системы отсчета К.
Синхронизацию проведем при помощи бесконечно коротких световых сигналов, которые будем испускать из начала координат О. В момент времени t = 0, фиксируемый по часам в точке О, мы испустим из точки О сигнал по направлению к точке М, и зарегистрируем момент прихода этого сигнала в точку М по часам в этой точке М и, наконец, выставим на часах в точке М время
,
где r — расстояние между точками N и M. Величиной скорости c при этом мы просто зададимся, т.е. возьмем в качестве нее любое положительное число.
Очевидно, что если теперь, с помощью синхронизированных описанным способом локальных часов, мы будем измерять скорость используемых для синхронизации импульсных световых сигналов, то получим естественно значение c, причем эта скорость окажется изотропной, т.е. не зависящей от выбора направления в пространстве.
Однако надо отчетливо понимать, что это не измерение скорости света, так как само понятие времени мы установили с помощью световых сигналов и значением скорости света с мы просто задались.
Вместе с тем, для краткости, будем называть величину с — «скоростью света»(более точно, скоростью света в системе отсчета К ).
Теперь в точности таким же образом, с помощью импульсных световых сигналов, установим поле времени в «движущейся системе отсчета К(.
Конечно, можно было бы построить поле времени в системе отсчета К( и другим способом. Мы могли бы, например, рассудить следующим образом. Гипотетическая электромагнитная среда — эфир, колебаниями которой является свет, покоится в системе отсчета К, поэтому в системе отсчета К мы имеем свет в покоящейся среде. В системе отсчета К( имеем свет в движущейся среде, а поэтому скорость светового импульса, испущенного, например, в положительном направлении оси x( в системе отсчета К( равна не с, а c — ?, а в отрицательном направлении оси x( равна c + ?, где ? — скорость движения системы К( относительно системы К. Но так сейчас мы поступать не будем, а просто примем, что в системе отсчета К( световые импульсы распространяются в точности так же, как в системе К. В этом заключено однако серьезное физическое предположение. При построении поля времени в системе отсчета К( используем то же самое число с, что и в системе отсчета К. Последнее по существу условное допущение, следуя работе Эйнштейна 1905 г., иногда неправильно называют «законом постоянства скорости света в инерциальных системах отсчета». Как мы видим, это вовсе не закон, а говоря словами Пуанкаре, «плод совершаемого неосознанного условного соглашения».
4.11. Кинематический вывод преобразований Лоренца
Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т.е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t0 испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну.
Уточняем — испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t0 в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие — угодно.
Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.
Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x.
Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K(, или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга — «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K(, — движущейся со скоростью ? вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.
Пусть x, y, z, t — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x(, y(, z(, t( — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К(.
Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x(, считая что всегда y( = y и z( = z. Тогда в системах отсчета К и К( координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x(, t( соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время — x, t.
Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К(), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида
x( = ?(x, t), t( = ?(x, t).
Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К(.
Наша конечная цель — найти вид функций ??и ? в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.
Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x1 оси x в момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t2 этот импульс оказался в точке x2 оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x3 = x1.
Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K(. Мы увидим, что в точке x1( в момент времени t( был испущен в положительном направлении оси x( короткий световой импульс, который в момент времени t2( достиг точки x2(, отразился в ней и в момент времени t3( оказался в точке x3(, причем теперь x3( ? x1(.
Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K( имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K:
x3 = x1
и в системе отсчета K(:
Точка x1 = x3 на оси x системы отсчета K движется со скоростью ? в отрицательном направлении оси x(, если ее наблюдать в системе отсчета K(.
Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций ??и ?.
Нахождение функции ?. Составим функциональное уравнение для определения функции ?. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:
Вычитая первое соотношение из третьего, получаем
Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству
Следовательно,
или
Таким образом, видим, что функция ? удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
В этом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x1, x2 и t1. Величины x3, t2 и t3 можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем
следовательно,
Далее, из второго соотношения имеем
а следовательно,
мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.
Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции ?:
которое должно выполняться для произвольных значений x1, x2 и t1.
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением
на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:
Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид
Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид
где F — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:
После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что
или
Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что
а следовательно,
F
где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.
Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:
где — некоторые пока не определенные постоянные.
Нахождение функции . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:
Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение
т.е. уравнение
Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и. Величины и выразим через указанные величины:
Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:
которое выполняется при произвольных значениях и.
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :
производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от . Положим теперь в выведенном уравнении,
и тогда придем к дифференциальному уравнению
или уравнение
Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным
и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид
Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:
в котором — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение
или соотношение
Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях
и совершенно произвольны, то получаем, что
а следовательно,
где — пока неопределенные постоянные.
Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид
Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.
Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),и наоборот.
Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:
Теперь неопределенными остались только константы и .
Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:
Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:
=
и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:
где — пока что неопределенная постоянная.
Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения
Следовательно,
и поэтому
Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:
которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K. Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.
Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:
из которых непосредственно заключаем, что
и что величины a и a’ удовлетворяют соотношению
Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t и x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’:
и
где величины a’ и a связаны вышеуказанным соотношением.
Чтобы найти числа a’ и a, выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.
Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’, относительно которых эти стержни движутся одинаковы.
Возьмём стержень длинны l0, покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A, а правый — координату x’B
Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA — xB = l, чтобы найти длину движущегося со скоростью u стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.
Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:
Вычтем из и учтём условие Тогда получим
Таким образом, имеем соотношение
Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0, расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K, и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’, то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение
Потребуем теперь, чтобы Тогда мы придём к равенству , а следовательно, с учётом выведенного соотношения
к равенствам
Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что a = 1 при u = 0, когда мы имеем формулы тождественных преобразований.
Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0. Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.
Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:
которые называют формулами преобразований Лоренца.
В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’, имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.
Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’, находящиеся в точке x’A = x’B. Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B — t’A = t0, где t0 — период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта
(где они покоятся). Обозначив через xA, xB, tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K, получаем
Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний t часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу
так как x’A = x’B. Следовательно, окончательно получаем формулу
для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.
4.12 Кинематический вывод преобразований Галилея.
Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’.
Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью u в отрицательном направлении оси x’.
Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0, с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M, на часах в точке M теперь поставим не время r/c, где r — расстояние между O и M, а время
r.
c + u
Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M
r.
c — u
Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1, так что x1 = x3.
Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’, имеем теперь следующие шесть основных соотношений:
Нахождение функций j и y. Составим сначала функциональное уравнение для функции j. Имеем
Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение
или
то есть
С учётом соотношений
отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции j:
которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1, x2 и t1. Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:
Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению
так что имеем очень простое дифференциальное уравнение
или
для определения вида функции .
Общее решение последнего уравнения имеет вид
где F — произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что
и поэтому получим соотношение
Так как
то приходим к следующему уравнению
справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1,x2,t1. Следовательно,
а потому, игнорируя получаем
где ? и ?- некоторые пока не определенные постоянные.
Составим теперь функциональное уравнение для функции ?. Имеем
где G — произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение
Следовательно,
или
Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции :
Разрешим это уравнение, для чего сначала продифференцируем его по x2. Тогда получим уравнение
Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к
дифференциальному уравнению
или совсем простому уравнению
Следовательно,
Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Получим
Следовательно,
Так как величины совершенно произвольны, то аргументы функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения. Поэтому
а следовательно,
где — пока произвольные постоянные.
Определение констант Мы получили следующие формулы преобразования координат и времен мгновенного точечного события:
Найдем константы начнем с того, что выставим требование о согласовании начал отчетов координат и времени в обеих системах отсчета и .
Требование 1. Событие, имеющее координаты 0, 0 в системе отсчета , имеет координаты 0, 0 в системе отсчета , и наоборот.
Следовательно, в приведенных формулах и формулы преобразования приобретают следующий вид:
Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. В них входят пока не определенные нами величины и.
Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть соотношений, мы можем найти ограничения на константы и. Так, собственно говоря, и получается. Действительно, имеем равенства
Как видим, чтобы эти равенства выполнялись, необходимо потребовать, чтобы константы и были равны друг другу:
Таким образом, искомые формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют вид
где — пока не определенная константа.
Как и в случае преобразований Лоренца, воспользуемся тем, что у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны, либо времени в обеих системах отсчета и . Чтобы фиксировать указанный произвол, выставим дополнительное требование.
Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня, покоящегося в системе , ориентированного вдоль оси и имеющего в этой системе длину , т.е. .
Рассмотрим движущийся стержень, все время покоящийся в системе отсчета между точками от с координатами и .
Пусть в одинаковые локальные моменты времени в системе отсчета левый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой(событие A), (событие B). Тогда
Вычитая второе равенство из первого, с учетом условия получаем
и так как согласно требованию 2, то приходим к заключению, что
Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений, аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея:
4.13. Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира.
Подведем итог нашим рассуждениям. Исходя из условных в принципе процедур построения полей времени в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета, используя очевидные дополнительные требования о согласовании единиц измерения длинны и времени в обеих рассматриваемых системах отсчета, мы вывели как преобразования Лоренца, так и преобразования Галилея.
При этом мы следовали основным идеям кинематического рассуждения из работы Эйнштейна 1905 г. (усилив их только рассмотрением функциональных уравнений).
Таким образом, вывод Эйнштейна, сделанный им в работе 1905 г., о ложности ньютоновской концепции абсолютного времени Ньютона следует считать необоснованным. Также не обосновано и утверждение, что он якобы доказал, что светоносного эфира не существует, что электромагнитные волны существуют сами по себе без какой-либо среды (в отличие от всех других известных нам физических волн).
Конечно, несмотря ни на что, мы можем принять утверждения Эйнштейна попросту за некую (пока, правда, существующими экспериментами еще не доказанную) научную гипотезу. Но одновременно мы должны считаться и с другой гипотезой классической физики — что светоносная среда (эфир) существует, что электромагнитные волны являются возмущениями эфира, что механическая абсолютная система отсчета — это система отсчета, в которой мировой эфир покоится.
Выбор того или иного локального поля времени в движущейся системе отсчета (ньютонова или эйнштейнова) является, по-видимому, вообще полностью чисто условным и диктуется исключительно соображениями удобства проведения тех или иных физических рассуждений. В классической механике удобно «ньютоново», а в теории элементарных частиц — «эйнштейново» время.
Выбор той или иной концепции количественного времени, как утверждал Пуанкаре еще в 1898 г., т.е. за 7 лет до работы Эйнштейна 1905г., подобен выбору той или иной системы геометрических координат в трехмерном пространстве, скажем, прямоугольной декартовой или сферической. Только от конкретной задачи зависит, какая из этих систем координат удобнее и полезнее.
Сформулируем таким образом, альтернативные фундаментальные физические гипотезы.
Гипотеза эфира. Существует особая физическая среда — эфир, заполняющая пространство, возмущенными колебаниями которого являются электромагнитные волны (включая оптические, радио, телевизионные и т.д. волны). Система отсчета, в которой эта среда покоится, является физической абсолютной системой отсчета. Она, разумеется, единственна и уникальна по всем физическим свойствам. Класс систем отсчета, движущимся относительно абсолютной равномерно прямолинейно с постоянными скоростями, образует класс инерциальных систем отсчета. В этом классе систем отсчета механические, электродинамические и др. физические явления математически и физически описываются наиболее просто.
Гипотеза эфира была провозглашена в классической физической оптике и разделялась многими физиками и математиками 17,18,19 вв., в частности Френелем в первой четверти 19 в., а также и Лоренцем в конце 19 в. и до его смерти в 1928г.
Гипотеза четырехмерного мира. Ньютонова классическая механика ошибочна. Представления об абсолютном пространстве и времени ложны по существу. Пространство и время являются геометрическим, или точнее — физическим единым целым. Их нельзя рассматривать изолированно одно от другого, а надо объединять в “четырёхмерный мир”, или “пространство-время”, в рамках которого только и возможно дать правильное физическое описание явлений природы. Инерциальные системы отсчёта — отражение свойств симметрии четырёхмерного мира, и ничего более. Другими словами, в вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто геометрических свойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени.
Существуют преобразования — преобразования симметрии четырёхмерного пространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно тому, как наше трёхмерное пространство переходит само в себя при произвольных параллельных переносах и произвольных поворотах вокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы координат в трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и (или) произвольным поворотом относительно произвольно направленной оси одна из другой, — равноправны.
Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу наиболее наглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но ранее него её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре, хотя в математическом и намного более строгом, но не столь наглядном виде, как у Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эйнштейн в работе 1905 г.
4.14. Геометрическая симметрия четырёхмерного мира
Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в физических, и не только физических исследованиях. Использование имеющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.
Пространство, в котором разыгрываются физические события, — наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относительности, — тоже обладают определённой симметрией.
Объясним, — Что это означает? Какой именно симметрией обладает четырёхмерный мир?
Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометрической фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высокой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.
Если представить себе, что мы располагаем двумя идентичными экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и “совмещение” этих двух кубов друг с другом при перемещениях и поворотах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение можно осуществлять по-разному: повернув предварительно каким-либо определённым образом второй куб перед совмещением его с первым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром.
Наличие таких операций, которые называют “операциями симметрии”, позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свидетельствует о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры. Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то, что в математике называют группой симметрии этой фигуры.
Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её симметрия. У куба, с учётом тождественной операции, которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их оказывается 48. У треугольника на плоскости их 3.
Может случиться, что множество операций симметрии в группе симметрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси, проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно бесконечно.
Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства. Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии, переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёхмерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразований параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов пространства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую точку пространства.
С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связана инвариантность всех его свойств относительно выбора любой прямоугольной системы координат OXYZ, центр которой можно поместить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.
Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже состоит из бесконечного числа преобразований, а именно — из преобразований произвольных параллельных переносов пространства вдоль любой “прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и произвольных “поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой “оси” в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие осей y и z. Такие повороты как раз и являются рассматриваемыми нами здесь преобразованиями Лоренца.
С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана инвариантность его геометрических свойств относительно выбора одной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из друга равномерным движением в произвольном направлении с произвольной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёхмерном мире или по-другому — систем отсчёта, отражающих внутреннюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.
Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии пространства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.
В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инвариантными относительно выбора декартовых осей координат, являются длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрезками. Это самые важные количественные геометрические величины в нашем трёхмерном пространстве.
Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в декартовой системе координат К, то квадрат длинны r отрезка между этими точками даётся известным выражением
r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’, y1’, z1’ и x2’, y2’, x2’ обозначают координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’, то имеем равенство
r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=
= (x2 — x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2,
причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преобразования координат.
Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф, производимым по правому винту вокруг оси z, то указанные формулы преобразования имеют вид:
x’ = x cos Ф — y sin Ф,
y’ = x cos Ф — y cos Ф,
z’ = z.
В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это — “расстояние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгновенных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразований Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’, инвариантна величина квадрата так называемого четырёхмерного,или релятивистского интервала:
s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=
=(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2
В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действительно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые мы рассматривали выше:
x — vt t — xv/c2
x’=, y’=y, z’=z, t’=
1-v2/c 2 1-v2/c2
Действительно,
1
s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *
1 — v2/c2
*?(x2-vt2-x1-vt1)2 — c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2? =
1
= ?(x2-x1)2 — 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2?-
1-v2/c2
1
— ?-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2?=
1-v2/c2
=(x2-x1)2 — c2(t2-t1)2=s2
Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2 играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырехмерном пространстве.
В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпадающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат релятивистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадающих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например, рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем условие
x2-c2t2= 0,
или
(x-ct)(x+ct)=0.
Следовательно, искомым геометрическим местом нескольких точек будут две прямые, симметрично расположенные относительно оси времени.
В четырехмерном мире, или в пространстве — времени множество точек, удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым. Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные квадраты релятивистского интервала до начала координат. Точки, расположенные вне светового конуса, имеют положительные квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала координат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид, окружающий световой конус.
Рассматриваемое нами преобразование Лоренца — простейшее; оно затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “поворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.
Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict. Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих формул:
1 v/c
x1’ = x1 + i x4,
1- v2/c2 1-v2/c2
v/c 1
x1’ = i x1 + x4
1-v2/c2 1-v2/c2
x2’ = x2, x3’=x3
Здесь x1? x, x2?y, x3? z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в плоскости x0, x1 на угол ?, которые имеют вид
При таком, сравнении получим, что
Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость , где
Тогда имеем формулы преобразования
4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.
Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен ,где — скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z, в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен
В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести «4-радиус-вектор» c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен
Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в
четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную «4-скорость», которая имеет компоненты
— интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds — релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки
и соотношением , т.е.
где v — обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что
Аналогичным образом релятивистски инвариантное «4-ускорение » Минковский определил следующим образом:
Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:
где — так называемая «масса покоя» материальной точки — компоненты так называемой «4-силы » Минковского.
Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что
так что
т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.
Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону
а импульс движущейся материальной точки определяется формулой
где v — вектор мгновенной скорости материальной точки.
Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на -, соответственно и сложим. Получим тогда уравнение
Отсюда можно найти . Имеем
где — мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом,
и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :
Таким образом, величину
следует считать энергией движущейся материальной точки. Если , то приближенно получаем
Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки
а первое слагаемое — так называемая «энергия покоя». Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину
Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем
так что имеем формулу
В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения.
Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями.
5. Руководство пользователя
— грабштихель
— мессерштихель
— шпіцштихель
— флахштихель
— тонштихель
— фаденштихель
— болтштихель
, жидкостные и газовые температуры);
2%.
( град-1).
або вечірнім 
максимумами, або визначаються за максимальною потужністю на вводі до споживача:
(1.1)
– максимальна потужність на вводі до споживача, кВт.
для побутових споживачів без електроплит – 
для побутових споживачів із електроплитами 
для змішаного навантаження 
(1.2)
вибираємо із таблиць [1-6] в залежності від кількості споживачів і характеру навантаження мережі.
(1.3)
, (1.5)
– загальна довжина периметрів дворів виробничих приміщень, м;
– нормативне навантаження зовнішнього освітлення, відповідно на один погонний метр вулиці, на одне виробниче приміщення та на один погонний метр периметру двора виробничого приміщення [2-4, 6], кВт. 
;
.(1.6)
/
) інших споживачів та довжини ділянок лінії (
, м) показані на схемі лінії (Рис.1.1). Периметр двору хлібопекарні – 70 м, школи – 200 м. Визначити розрахункові навантаження на окремих ділянках лінії 0,38 кВ та загальну потужність зовнішнього освітлення вулиці.
.
.
.
;
.
(2.1)
(2.2)
, 
– сума надбавок від менших розрахункових, відповідно денних та вечірніх, навантажень на головних ділянках ліній, що відходять від підстанції, кВт.
(2.3)
(2.4)
– мінімальна і максимальна межа економічного інтервалу навантаження трансформатора прийнятої номінальної потужності [1,5], (Додаток А), кВА. 
, (2.5)
, (2.6)
(2.7)
, за розрахункову потужність приймаємо 
кВт год.
одним з відомих методів (Заняття 1).
;
.(3.1)
– довжина ділянки лінії, м.
.
для мереж, що реконструюються, при очікуваному збільшенні навантаження в 1,5 рази 
.(3.2)
, матеріалом опор та за районом по ожеледі вибирається «основний» переріз проводів на ділянках лінії.
, або (3.3)
, (3.4)
питома втрата напруги в одиниці довжини проводу даного перерізу при протіканні по ньому одиниці потужності [1,3,7] (Додаток Е). 
, то слід на деяких ділянках лінії, починаючи з головної, збільшити переріз, вибравши «додатковий» переріз проводів. Число марок проводів в мережі не повинно перевищувати чотирьох. Розрахунок закінчується перевіркою мережі на допустимі втрати напруги при вибраному перерізі проводів.
Навантаження споживачів (Рд/Рв, кВт), коефіцієнти потужності (
,
).
,
,
,
,
,
,
,
,
),
або дорівнює йому) допускається зменшення напруги на затискачах у момент пуску не 
(4.1)
– допустиме коливання (втрата) напруги, %;
– фактичне коливання (втрата) напруги, %.
(4.2)
, (4.3)
, (4.4)
, (4.5)
, (4.6)
Перевірити мережу на можливість пуску асинхронного електродвигуна.
не виконується. Для одержання допустимого коливання напруги під час пуску двигуна необхідно замінити провід повітряної лінії. Беремо провід 
, 
,
,
,
,
,
,
, (5.1)
– відповідно активний та реактивний результуючий опір усіх елементів мережі, Ом.
. (5.2)
; (5.3)
, 
, (5.4)
, 
– питомі, відповідно, активний та індуктивний опори лінії, Ом/км;
– середня номінальна напруга ступеня з якого виконується перерахунок, кВ;
, (5.5)
– напруга короткого замикання трансформатора, %;
– номінальна потужність трансформатора, МВА;
, (5.6)
– індуктивний опір генератора у відносних одиницях;
– номінальна потужність генератора, МВА.
, (5.7)
– базисна потужність, МВА.
; (5.8)
; (5.9)
. (5.10)
. (5.11)
. (5.12)
, 
. (5.13)
. (5.14)
(5.15)
– потужність КЗ на шинах системи, МВА.
, (5.16)
– ударний коефіцієнт.
(5.17)
, (5.18)
. (5.19)
,
.
;
, 
;
;
;
;
;
;
.
.
;
.
, МВА приєднана до системи безмежної потужності повітряною лінією 35 кВ довжиною 
, мм2 (Рис. 5.3). Вихідні дані для розрахунку наведені в таблиці 5.1. Визначити струм КЗ, ударний струм та потужність трьохполюсного КЗ в точці К на шинах 
км
мм2
мВА
%
(6.1)
, (6.2)
– втрати потужності в обмотці трансформатора, кВт.
. (6.3)
, 
.
. (6.4)
, (6.5)
– фазна напруга мережі, В;
– повний опір трансформатора струму КЗ на корпус [1-3], Ом;
– повний опір петлі фаза-нуль до точки КЗ, Ом.
(6.6)
, 
– питомий зовнішній індуктивний опір петлі фаза-нуль, Ом/км;
– довжина і-ї ділянки лінії, км.
. 
.
[2].
.
, 
.
; 
.
; 
.
.
5. Опір петлі «Фаза-нуль» до точки К2:
.
.
.
.
.
. кВА. Розрахункова схема лінії представлена на рисунку 6.2. Розрахувати найбільше й найменше значення струмів КЗ в лінії 0,38 кВ. Вихідні данні по 
м
мм2
м
мм2
м
мм2
м
мм2
м
мм2
. (7.1)
– номінальна напруга мережі, В.
(7.2)
– тривалий робочий струм лінії, А;
, (7.3)
– коефіцієнт завантаження.
, (7.4)
, (7.5)
– максимальний струм лінії обумовлений запуском електродвигуна, А.
– коефіцієнт, що враховує умови пуску електродвигунів; 
, (7.6)
– кратність пускового струму електродвигуна.
, (7.7)
– коефіцієнт одночасності.
(7.8)
– пусковий струм одного електродвигуна, під час пуску якого максимальний струм в лінії буде найбільшим, А;
– сума тривалих робочих струмів інших споживачів, без врахування електродвигуна із найбільшим пусковим струмом, А.
(7.9)
, (7.10)
– допустимий струм проводу, А.
. (7.11)
. (7.12)
(7.13)
– поправочний температурний коефіцієнт.
. (7.14)
. (7.15)
. (7.16)
. (7.17)
(7.19)
– кратність відсічки (паспортна характеристика).
, (7.20)
– струм уставки автоматичного вимикача, А.
(7.21)
. (7.22)
, (7.23)
. (7.24)
; (7.25)
; (7.26)
(7.27)
.
, 
. (7.28)
(7.29)
1,4 для 
. 
. На інших ділянках проводка виконана проводом АПРН в трубах. Двигун М2 та освітлювальне навантаження захищені плавкими запобіжниками, інші споживачі — автоматами. Температура в приміщені майстерні 
. Напруга мережі 380 В. Коефіцієнт одночасності на ділянці ТП-РЩІ прийняти рівним 0,9. Параметри споживачів електроенергії наведені в таблиці 7.1.
.
.
.
. На інших ділянках проводка виконана проводом АПВ в трубах. Освітлювальні навантаження Л1, Л2 захищені плавкими запобіжниками, інші споживачі – автоматами. Температура в приміщені 
. Напруга мережі 380 В. Коефіцієнт одночасності на ділянці ТП-РЩІ – 
. Параметри споживачів електроенергії та вихідні дані для розрахунку наведені в таблиці 7.2.
,
– трудоемкость по i операции;
– годовая программа;
– норма времени на операции;
– коэффициент выполнения норм.
,
– количество рабочих мест по каждой операции;
– действительный (полезный) фонд времени работы рабочего места.
,
– номинальный фонд времени (1993 ч.);
– коэффициент использования оборудования.
,
– планируемый процент потерь времени для ремонта.
принимаем 3 
принимаем 5
принимаем 12
принимаем 5 
принимаем 21 
принимаем 10 
,
– принятое количество рабочих мест по i операции.
,
– эффективный фонд времени работы одного рабочего.
,
– явочный фонд времени.
,
– количество рабочих дней в году;
– количество дней очередных, дополнительных, декретных отпусков и отпусков по учебе;
– количество дней невыходов на работу по уважительным причинам (болезни, выполнение общественных и государственных обязанностей).
принимаем 2 чел.
принимаем 5 чел.
принимаем 12 чел.
принимаем 4 чел.
принимаем 21 чел.
принимаем 10 чел.
чел.
принимаем 5 чел.
принимаем 6 чел.
,
– расценка сдельная.
,
– размер премии в рублях;
– процент премии.
,
– часовая тарифная ставка бригадира.
,
,
– численность рабочих.
,
,
– месячный оклад.
руб
руб.
руб.
руб.
руб.
,
– масса заготовки;
– масса отходов;
– цена материала;
– цена отходов.
,
,
,
,
,
– плановые накопления (прибыль).
,
– норматив чистой продукции;
– заработная плата производственных рабочих с отчислениями на социальное страхование по плановой калькуляции:
– коэффициент, характеризующий отношение заработной платы персонала по обслуживанию и управлению производством к заработной плате производственных рабочих (1,34);
– нормативная прибыль:
,
рис. 2
в общую для обеих систем точку M. И все было бы замечательно, если бы не то обстоятельство, что траектория движения пробного фотона lf при заданных условиях не может быть одновременно прямолинейной в обеих системах координат K и K’ , кроме очевидного случая, когда OO’M – прямая линия. Данное утверждение вытекает из сравнения направления вектора прямолинейного движения пробного фотона в системе K с направлением вектора движения того же самого фотона в системе K’ . Очевидно, что компоненты скорости фотона в системе K подчиняются уравнению:
может трактоваться и как наличие в природе масштабного фактора и как наличие у вакуума показателя преломления, величина которого в присутствии гравитационных масс отлична от величины этого параметра в отсутствии указанных масс.
, количественно совпадающего с радиусом дырки в поле, заполненной веществом источника этого поля.
, для которых оператор 
компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.
