Научная работа: Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.
2)Материал работает в упругой стадии.
3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции
4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.
Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.
Основная система выбирается в момент потери устойчивости .
Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.
Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.
1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова
Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.
В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.
Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(mЧ1):
Y1
Y2
Y3
= …
(mЧ1) …
Yn ,
где m-число ненулевых координат вектора отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.
Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной форме имеет вид
(1.1)
При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.
Обозначим : μ-число расчетных сечений
Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y1,Y2,Y3…Yn.
Матрица Му имеет размер(μЧm)
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
=
(μЧm)
G-размером (μЧμ)-матрица податливости всей системы.
Она формируется из матриц податливости отдельных участков.
Мр- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в критическом состоянии.
Для статически-неопределимых систем при определении Мр используется матричный алгоритм метода сил:
(1.2),
где 
(1.3)-матрица ,раскрывающая статическую неопределимость системы.
Если заданная система статически определимая ,то матрица 
превращается в единичную матрицу (μЧμ):
=Е (1.4)
Структура матрицы 
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
=
(μЧm)
-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов ,построенной от действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного состояния.
Ординаты эп. 
зависят от вектора перемещений y
Получим матрицу 
в виде:
(1.5),
где: H-числовая матрица размером (μЧm),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния
Тогда 
(1.6)
Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений
(1.7)
Обозначим : 
=k∙c (1.8),
Где k-общий множитель ,полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G
Тогда: 
или 
,обозначим 
(1.9),
где :λ-собственное число матрицы 
;-собственный вектор матрицы
Преобразуем (1.9)
(1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,
где 
;.
Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений относительно ,где матрица составлена из коэффициентов при неизвестных Y1,Y2,Y3…YN.
Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения
1) Вектор перемещений равен 0
Y1 0
Y2 0
Y3 0
= … = … (1.11)-начальная форма равновесия
… …
Yn 0
2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных равен 0.
=0 (1.12)-характеристическое уравнение
Если раскрыть определитель,то получим уравнение m10 порядка,где неизвестным будет λ.
Решение этого уравнения дает значения λ,λ1,λ2,λ3…λm.
Минимальное значение Ркр составляет λmax (
)
minPкр=
(1.13),
где 
-наибольшее собственное число характеристической матрицы .
Собственный вектор характеристической матрицы дает форму потери устойчивости.
2.ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА
1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.
Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.
2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения и правило знаков для эпюр изгибающих моментов .
3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.
4.Формируются необходимые матрицы 
.
5.Вычисляется характеристическая матрица
,
где -для статически неопределимых систем;
=Е-для статически определимых систем
6.Решается характеристическое уравнение =0 →
7.Определяется значение критической нагрузки:
minPкр=
3.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков и имеет следующую структуру
0
G= Gk
(μЧμ) Gk-матрица податливости участка k
Вид матрицы Gk зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).
1)Участок ,испытывающий только изгиб
G
,
где : l0-длина любого участка ,принятого за основной
B0-жесткость любого участка ,принятого за основную
;
2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка вид матрицы Gk зависит от того ,на сколько панелей разбита его длина
а)Длина участка разбита на две панели:
-длина участка
-длина панели
; 
б)Длина участка разбита на три панели:
;;
в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:
В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.
GΙ
Gk = GΙ Ι
4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H
Матрица H-числовая матрица размером (μЧm), преобразующая вектор перемещений в эпюру моментов грузового состояния.
;
Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М0
Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.
М0=
В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.
5.РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все методы делятся на две группы:
1)Первая –позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина и др.)
2)Вторая –позволяет вычислить наибольшее собственное число(и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)
К этой группе относится метод последовательных приближений
Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы .Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:
,
где -характеристическая матрица
-для статически неопределимых систем
=Е- для статически определимых
— собственное число характеристической матрицы
-собственный вектор матрицы
Порядок решения:
1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;
2)Вычисляется: 
,
где 
-второе приближение собственного вектора; 
-первое приближение собственного числа.
Вектор 
следует сделать нормированным ,т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .
3)Далее вновь подсчитывается :
и т.д.
4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.
Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое
6.ПРИМЕР.
Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова
;=Е- т.к. система статически определима
=
;
;
;
;
;
=0
=0
| С |
С= |
|
| у1 | 1 | 0,5 | |
| Су1 | 118,5 | 30,5 |
|
| у2 | 1 | 0,257 | |
| Су2 | 109,75 | 25,15 |
|
| у3 | 1 | 0,229 | |
| Су3 | 108,74 | 24,54 |
|
| у4 | 1 | 0,2257 | |
| Су4 | 108,62 | 24,46 |
|
| у5 | 1 | 0,225 |
=108,62
у=
minPкр=
;