Контрольная работа: Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Контрольная работа
«Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2007
Расчетная часть.
I.Заданное нелинейное уравнение и интервал изоляции корня:
.
II.Схема алгоритма отделения корней
Разбиение исходного интервала 
, на котором определена и непрерывна функция 
,на n отрезков равной длины:
Вычисление значения функции 
в точках 
концах отрезка 
Выделение отрезка 
Длина отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня)
Корень отделен на интервале
Границы исходного отрезка сдвигаются
(
)
Воспользуемся приведенным выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:
Разобьем интервал изоляции корня 
на n отрезков равной длины:
Вычисляем значения функции в точках 
:
На концах отрезка (1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.
III. Уточнение корня методом половинного деления
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
Вычисление f(a)
=(a+b)/2
Вычисление f()
a=f(a)*f()<0 b=
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом половинного деления с погрешностью
.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Т.к.f(
)
то выбираем другой отрезок [1;1,5] на концах которого функция имеет разные знаки и продолжаем вычисления.
Выбираем отрезок [1;1,25] ,
является корнем т.к. нам необходимо найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения вычислений:
;
Мы нашли корень за 2 шага.
Проведем вычисления в системе MathCAD
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
IV. Уточнение корня методом хорд.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом хорд с погрешностью.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Для того чтобы определить какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и второй производной на концах отрезка изоляции корня:
Нашли корень за 1 шаг. Проведем вычисления в системе MathCAD.
В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.
V. Уточнение корня методом касательных.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции.
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом касательных с погрешностью.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Нашли корень за 2 шага. Проведем вычисления в системе MathCAD.
В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.
VI. Уточнение корня методом простой итерации.
Отделение корней, нахождение отрезка изоляции
[c;d]=[a-h;b+h]
Приведение уравнения
f(x)=0 к виду x=g(x)
n=0
n=n+1
Вывод
Произведем вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом простой итерации с погрешностью.
Все условия для выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.
Значит, итерационный процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.
Вывод: Изучили различные методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления и простой итерации небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.