Контрольная работа: Нахождение пределов функций
Контрольная работа по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения
1. Найти пределы функций:
а) 
=; 
=
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 0;
б) 
= 
=
=
=
= 
= 
=.6290;
в) 
= 
=
= 
= 
= 0;
г) 
= 
= 
= 
=
= ln = 
= ln e*
= 1*56/3 = 18.667;
д) 
; 
= 
=
= 
= 
;
;
е) 
= 
= 
=
= 
= 
+ 
=
= 
— 
= 
— 
=
= 
= 2.
2. Найти производные 
функций:
а) 
= 
=
= 
;
б) 
= 
= 
= 
;
в) 
= 
=
= 
=
= 
=
= 
;
г) 
=
=
= 
=
= 
= 
;
д) 
= 
;
е) 
; 
;
;
ж) 
;
; 
;
; 
;
; 
;
;
з) 
.
= 
=
= 
= 
;
3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции
.
1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва. 
отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.
3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4. Найдем асимптоты при 
в виде у = kх+b. Имеем:
k =
b = 
Таким образом при асимптотой служит прямая ОХ оси координат.
Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
=-1,19,
.
В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
| Х | 0 |
| У | 1,08 |
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем на возрастание и убывание:
=
.
0;
Это говорит о том что функция возрастающая.
Строим график:
4. Найти интегралы при m=3, n=4:
а)
= 
= 
:
б)
= 
=
пусть t = arcsin4x,
получим 
= 
= 
.
в)
= 
= 
;
=
=
.
Решаем равенство и получим:
;
аналогично второе слагаемое
3
—
получим 
= 
подставим все в последнее равенство
… = 
+ +9
+—
+С.
г)
.= 
= 
=
= 
=
=
= ….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;
…= 
= =
= 2,527766.
5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:
а) 
= 
…
пусть t = arctg(x/4), тогда 
и 
подставим и получим
… = 
;
б)
= 
= 
0,6880057.
6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, при m=3, n=4.
х = -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)
| X | -4.19 | 1.19 | 0 |
| Y | 0 | 0 | -16 |
или 
| Х | 0 | 4 |
| У | -4 | 0 |
Точки пересечения двух функций:
= 
и 
т.е.: 
и 
.
Площадь получиться из выражения
= 
= 49,679.
График выглядит:
7. Найти частные производные 
функций при m=3, n=4:
а)
=
,
,
,
б)
. 
;
;
8. Найти дифференциал
функции: 
при m=3, n=4.
9. Для функции 
в точке 
найти градиент и производную по направлению 
при m=3, n=4.
в точке А(-4,3)
grad(z) = (-0,1429:0,1875);
=grad(z)* (
)*cos
=…
cos
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4
в области, заданной неравенствами:
.
D=AC-B;
A=
B=
C=
D=AC-B=(
)(
) — 
;
найдем
; 
Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;
= -114,74 < 0 – нет экстремума функции,
= 45097,12 > 0 – min функции 
= 12,279;
= 1767.38 > 0 — min функции = 65,94;
= -160,296 < 0 – нет экстремума функции.
11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:
.
= 
, так как 
подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим
.
12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
и плоскостью, проходящей через точки 
, 
и 
.
А)
см. рис.
— получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.
7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределы интегрирования:
Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).
= 
=
=
= 
=
=232,109 куб.ед.,
13. Вычислить при m=3, n=4 
, где 
, 
, а контур 
образован линиями 
, 
, 
.
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=32,4060912,
где пределы интегрирования были получены:
и у = 9, то 
откуда х = 
2,52.
14. Даны поле 
и пирамида с вершинами 
, 
, 
,. Найти при m=3, n=4:
O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).
а) поток поля 
через грань 
пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью 
;
=
= 
=
=
=
=
=
=
=…
после подстановки и преобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
= 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.
б) поток поля через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;
в) циркуляцию поля вдоль замкнутого контура ;
с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).
rot(F) = 
,
в нашем случае 
15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:
= 
.