Контрольная работа: Действия над числами в различных системах счисления

В заданиях 3-5 проверять правильность вычисления переводом исходных данных и результатов в двоичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Двоичная (Основание 2)	Восьмеричная (Основание 8)		Десятичная (Основание 10)	Шестнадцатиричная (Основание 16)
		триады			тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести 18110«8» с.с.

Результат: 18110 = 2658

б) Перевести 62210«16» с.с.

Результат: 62210 = 26E16

Для преобразования в десятичную используют следующую таблицу степеней основания

Преобразование дробных десятичных чисел:

Вначале переводится целая часть десятичной дроби;

Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание системы счисления;

В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в системе счисления;

Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	00=0 01=0 10=0 11=1

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

Умножение в восьмеричной системе

Умножение в шестнадцатеричной системе

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

а)945(10)=1110110001(2)=1661(8)=3B1(16)

945	2
944	472	2
1	472	236	2
	0	236	118	2
		0	118	59	2
			0	58	29	2
fLayoutInCell1fAllowOverlap1fBehindDocument0fHidden0fLayoutInCell1				1	28	14	2
					1	14	7	2
						0	6	3	2
							1	2	1	2
								1	0	0
									1	0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	1	1	0	1	1	0	0	0	1
512	256	128		32	16				1	945

945,000	8,000
944,000	118,000	8,000
1,000	112,000	14,000	8,000
	6,000	8,000	1,000
		6,000	1,000

4096	512	64	8	1
	1,000	6,000	6,000	1,000
945	512	384	48	1

945,000	16,000
944,000	59,000	16,000
1,000	48,000	3,000
	11,000
	B
3,000	11,000	1,000

4096	256	16	1
	3	11	1
945	768	176	1

б)85 (10)=1010101(2)=125(8)= 55(16)

85	2
84	42	2
1	42	21	2
	0	20	10	2
		1	10	5	2
			0	4	2	2
				1	2	1	2
					0	0	0
						1	0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	1	0	1	0	1
			64		16		4		1	85

85,000	8,000
80,000	10,000	8,000
5,000	8,000	1,000
	2,000

4096	512	64	8	1
		1,000	2,000	5,000
85	0	64	16	5

85,000	16,000
80,000	5,000
5,000

4096	256	16	1
		5	5
85	0	80	5

в)444,125 (10)= 110111100,001(2)=674.1(8)=1BC.2(16)

444	2
444	222	2
0	222	111	2
	0	110	55	2
		1	54	27	2
			1	26	13	2
				1	12	6	2
					1	6	3	2
						0	2	1	2
							1	0	0
								1	0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	1	1	1	1	0	0
	256	128		32	16	8	4			444

0,125	*	2	=	0,250	0
0,250	*	2	=	0,500	0
0,500	*	2	=	1,000	1

444,000	8,000
440,000	55,000	8,000
4,000	48,000	6,000
	7,000

4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
		6,000	7,000	4,000		1
444	0	384	56	4		0,125		0,125

444,000	16,000
432,000	27,000	16,000
12,000	16,000	1,000
	11,000

0,125

*

16

=

2,000

4096	256	16	1	,	0,0625
	1	11	12		2
444	256	176	12		0,125

г)989,375 (10)= 111 10111 01 ,011(2)=1735.3(8)=3DD.6(16)

989	2
988	494	2
1	494	247	2
	0	246	123	2
		1	122	61	2
			1	60	30	2
fLayoutInCell1fAllowOverlap1fBehindDocument0fHidden0fLayoutInCell1				1	30	15	2
					0	14	7	2
						1	6	3	2
							1	2	1	2
								1	0	0
									1

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	1	1	1	0	1	1	1	0	1
512	256	128	64		16	8	4		1	989

0,375	*0,750	2	fLayoutInCell1fAllowOverlap1fBehindDocument0fHidden0fLayoutInCell1 =
0,750	*	2	=	1,500
0,500	*	2	=	1,000

989,000	8,000
984,000	123,000	8,000
5,000	120,000	15,000	8,000
	3,000	8,000	1,000
		7,000	1,000

4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
	1,000	7,000	3,000	5,000		3
989	512	448	24	5		0,375		0,375
					989,3750

989,000	16,000
976,000	61,000	16,000
13,000	48,000	3,000
	13,000
3	D	D

0,375

*

16

=

6,000

6,000

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	13	13		6
989	768	208	13		0,375	0	0,375
				989,375

д)237,73 (10)= 11101101,10111(2)=355.5656(8)=ED.BAE(16)

237,0	2,0
236,0	118,0	2,0
1,0	118,0	59,0	2,0
	0,0	58,0	29,0	2,0
		1,0	28,0	14,0	2,0
			1,0	14,0	7,0	2,0
fLayoutInCell1fAllowOverlap1fBehindDocument0fHidden0fLayoutInCell1				0,0	6,0	3,0	2,0
					1,0	2,0	1,0	2,0
						1,0	0,0	0,0
							1,0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	1	0	1	1	0	1
		128	64	32		8	4		1	237

0,730	*1,460	2	=
0,460	*	2	=	0,920
0,920	*	2	=	1,840
0,840	*	2	=	1,680
0,680	*	2	=	1,360

237,000	8,000
232,000	29,000	8,000
5,000	24,000	3,000
	5,000	3,000

4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024	3,1E-05
		3,000	5,000	5,000		5	6	5	6
237	0	192	40	5		0,625	0,09375	0,00977	0,00146	0,72998
					237,7300

237,000	16,000
224,000	14,000
13,000

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		14	13		11	10	14
237	0	224	13		0,6875	0,0390625	0,7265625
				237,727

0,730	*	16	=	11,680	B
0,680	*	16	=	10,880	A
0,880	*	16	=	14,080	E

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления

а)110001111(2)=399(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	0	0	1	1	1	1
	256	128				8	4	2	1	399

б)111010001(2)=465(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	1	0	1	0	0	0	1
	256	128	64		16				1	465

в)100110101,1001(2)=309,5625(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	1	1	0	1	0	1
	256			32	16		4		1	309

	1	0	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,5625	0,5	0	0	0,063

г)1000010,01011(2)=66,34375(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	0	0	0	1	0
			64					2		66

	0	1	0	1	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,34375	0	0,25	0	0,063	0,031

д)176,5(8)=126.625(10)

4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024	3,1E-05
		1,000	7,000	6,000		5
126	0	64	56	6		0,625	0	0	0	0,625
					126,6250

е)3D2,04(16)=978.016(10)

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	13	2		0	4
978	768	208	2		0	0,015625	0,015625
				978,016

978,000	16,000
976,000	61,000	16,000
2,000	48,000	3,000
	13,000

0,016	*	16	=	0,256	0,000
0,256	*	16	=	4,096	4

3. Сложить все числа

а)1000011101(2)+101000010(2)=541(10)+322(10)= 1101011111 (2) =863(10)

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
	512	0	0	0	0	16	8	4	0	1	541
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	1	0	0	0	0	1	0
	0	256	0	64	0	0	0	0	2	0	322
											863
+	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
		1	0	1	0	0	0	0	1	0
	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1
	512	256	0	64	0	16	8	4	2	1	863

б)100000001(2)+1000101001(2)= 257(10)+553(10)= 1100101010 (2) =810(10)

	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	0	0	0	0	0	0	1
	0	256	0	0	0	0	0	0	0	1	257
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	512	0	0	0	32	0	8	0	0	1	553
											810
+		1	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0
	512	256	0	0	32	0	8	0	2	0	810

в)101111011,01(2)+1000100,101(2)= 379,25(10)+68,625(10)= (2) =447,875(10)

	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,25	0	0,25
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	0	1	1	1	1	0	1	1
	0	256	0	64	32	16	8	0	2	1	379
	379,25
	1	0	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,625	0,5	0	0,125
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	0	0	0	1	0	0
	0	0	0	64	0	0	0	4	0	0	68
	68,625
	447,875
+		1	0	1	1	1	1	0	1	1	,	0	1
				1	0	0	0	1	0	0	,	1	0	1
		1	1	0	1	1	1	1	1	1	,	1	1	1
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	1	1	1	1	1
	0	256	128	0	32	16	8	4	2	1	447
	1	1	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,875	0,5	0,25	0,125

г)1532,14(8)+730,16(8)=858.1875(10)+472.2188(10)=1330.41 (10)=2462.32172(8)

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
		1,000	5,000	3,000	2,000		1	4
858	0	512	320	24	2		0,125	0,0625	0		0,1875
						858,1875

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195
			7,000	3,000	0,000		1	6
472	0	0	448	24	0		0,125	0,09375	0		0,21875
						472,2188

+	1	5	3	2	,	1	4
		7	3	0	,	1	6
	2	4	6	2	,	3	2
		4+6=12 5+7=14

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024	3,1E-05
		2,000	4,000	6,000	2,000		3	2	1	7	2
1330	0	1024	256	48	2		0,375	0,03125	0,00195	0,00171	6,1E-05
						1330,4100

д) BB,4(16)+2F0,6(16)= 187,25(10)+752.375(10)=939.625(10)=

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		11	11		4
187	0	176	11		0,25	0	0,25
				187,250

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	2	15	0		6
752	512	240	0		0,375	0	0,375
				752,375

+	2	F	0	,	6
		B	B	,	4
	3	A	B	,	A
		10	11		10

F+B=1A

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	3	10	11		10
939	768	160	11		0,625	0	0,625
				939,625

4. Выполнить вычитание

а)1000101110(2)-1111111(2)= 558(10)-127(10)= 110101111 (2) =431(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	0	1	0	1	1	1	0
512	0	0	0	32	0	8	4	2	0	558

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	64	32	16	8	4	2	1	127

—	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0
				1	1	1	1	1	1	1
		1	1	0	1	0	1	1	1	1
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	0	1	1	1	1
	0	256	128	0	32	0	8	4	2	1	431

б)1011101000(2)-1001000000(2)= 744(10)-576(10)= 10101000 (2) =168(10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	1	1	0	1	0	0	0
512	0	128	64	32	0	8	0	0	0	744

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
512	0	0	64	0	0	0	0	0	0	576

—	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0
	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
			1	0	1	0	1	0	0	0
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	0	1	0	1	0	0	0
			128	0	32	0	8	0	0	0	168

в)1000101001,1(2)-1111101,1(2)= 553.5(10)-125.5(10)= 110101100,0 (2) =428.0(10)

	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,5	0,5
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
	512	0	0	0	32	0	8	0	0	1	553
	553,50
	1
	0,5	0,25	0,125	0,063	0,031	0,02	0,01	0,0039	0,002	0,001
0,5	0,5
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	64	32	16	8	4	0	1	125
	125,500
	428,000
—	1	0	0	0	1	0	1	0	0	1	,	1
				1	1	1	1	1	0	1	,	1
		1	1	0	1	0	1	1	0	0	,	0
	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
		1	1	0	1	0	1	1	0	0
		256	128	0	32	0	8	4	0	0	428

г)1265,2(8)-610,2(8)=693.25(10)-392.25(10)=301.00(10)=455.0(8)

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
		1,000	2,000	6,000	5,000		2
693	0	512	128	48	5		0,25	0	0	0,25
						693,2500

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
			6,000	1,000	0,000		2
392	0	0	384	8	0		0,25	0	0	0,25
						392,2500

—	1	2	6	5	,	2
		6	1	0	,	2
		4	5	5	,	0
		8+2-6=4

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
			4,000	5,000	5,000		2
301	0	0	256	40	5		0,25	0	0	0,25
						301,2500

д) 409,D(16)-270,4(16)=1033.813(10)-624.25(10)= 409.563(10)=199.9(16)

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	4	0	9		13
1033	1024	0	9		0,8125	0	0,8125
				1033,813

4096	256	16	1	,	0,0625	0,003906	0,000244	1,53E-05
	2	7	0		4
0	512	112	0		0,25	0	0	0
624				624,2500			0,25

—	4	0	9	,	D
	2	7	0	,	4
	1	9	9	,	9
13-4=9 7+9=10→10-7=9 3-2=1

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	1	9	9		9
409	256	144	9		0,5625	0	0,5625
				409,563

5. Выполнить умножение

а)111010(2)=*1100000(2)= 58(10)*96(10)= 1010111000000(2) =5568 (10)

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	1	0	1	0
				32	16	8	0	2	0	58

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
			1	1	0	0	0	0	0
			64	32	0	0	0	0	0	96

					*	1	1	0	0	0	0	0
							1	1	1	0	1	0
						0	0	0	0	0	0	0
					1	1	0	0	0	0	0
				0	0	0	0	0	0	0
			1	1	0	0	0	0	0
		1	1	0	0	0	0	0
	1	1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0

4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
4096	0	1024	0	256	128	64	0	0	0	0	0	0	5568

б)1005.5(8)*63.3(8)= 517,6250(10)*51,3750(10)=26592.98(10)= 63740.7656(8)

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
		1,000	0,000	0,000	5,000		5
517	0	512	0	0	5		0,625	0	0	0,625
						517,6250

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,01563	0,00195	0,00024
				6,000	3,000		3
51	0	0	0	48	3		0,375	0	0	0,375
						51,3750

32768	4096	512	64	8	1	,	0,125	0,015625	0,0019531	0,0002441
	6,000	3,000	7,000	4,000	0,000		7	6	5	6
26592	24576	1536	448	32	0		0,875	0,09375	0,0097656	0,9785156
						26592,9785

	*	1	0	0,	5	5
				6,	3	3
		3	0	2	0	7
	3	0	2	0	7
6	0	4	2	6
6	3	7	4	0,	7	7

3*5=17

3*5+1=17+1=18→(2)0

3*0+2=2

3*0=0

3*1=3

2+6=0

6*5=36

6*5+6=(4)2

6*0+4=4

6*0=0

6*1=6

в)4A,3(16)*F,6(16)= 74.188(10)*15.375(10)=1140.64(10)=474.A2(16)

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
		4	10		3
74	0	64	10		0,1875	0	0,1875
				74,188

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
			15		6
15	0	0	15		0,375	0	0,375
				15,375

	*	4	A,	3
			F,	6
	1	B	D	2
4	5	8	D
4	7	4,	A	2

6*3=18=1*16+2

6*A=60+1=61=3*16+13→D

6*4=24+3=27=1*16+11→B

F*3=15*3=45=2*16+13→D

F*A=15*10=150+2=9*16+8

F*4=15*4=60+9=69=4*16+5

2+0=2

13+13=26=1*16+10→A

11+8=19+1=20=1*16+4

1+5+1=7

4

4096	256	16	1	,	0,0625	0,0039063	0,0002441
	4	7	4		10	2
1140	1024	112	4		0,625	0,0078125	0,6328125
				1140,633

Список литературы

Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: «Арифметические основы ЭВМ»:http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.html

Википедия: http://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления

Шауцукова Л.З. Информатика 10 — 11. — М.: Просвещение, 2000 г.: http://www.rus-edu.bg/edu/online/inf/bookinf/theory/chapter4/1_4_10.html

Системы счисления Анжелиной Латышевой : http://logika.weebly.com/10571083108610781077108510801077-1074-107410861089110010841077108810801095108510861081-1089108010891090107710841077.html