Задача 4

С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.

xi

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0
yi

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

Решение

Система нормальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

в задаче

n = 6

Решение дифференциальных уравнений

Тогда

Решение дифференциальных уравнений

решая ее получаем Решение дифференциальных уравнений.

y = 0,5714x + 0,9476

Решение дифференциальных уравнений

Задача 5

Найти неопределенный интеграл Решение дифференциальных уравнений

Решение

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 6

Найти неопределенный интеграл Решение дифференциальных уравнений

Решение

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 7

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям Решение дифференциальных уравнений

Решение

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 8

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами

Решение дифференциальных уравнений

Решение

Решение дифференциальных уравнений

Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.

Площадь фигуры найдем из выражения

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 9

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка Решение дифференциальных уравнений

Решение

Разделим переменные

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Проинтегрируем

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 10

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию

Решение дифференциальных уравнений Решение дифференциальных уравнений

Решение:

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:

Решение дифференциальных уравнений

Подставим эти выражения в уравнение

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Выберем v таким, чтобы

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Проинтегрируем выражение

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений, Решение дифференциальных уравнений

Найдем u

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений ,

Решение дифференциальных уравнений ,

Решение дифференциальных уравнений,

Решение дифференциальных уравнений,

Решение дифференциальных уравнений

Тогда Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Тогда Решение дифференциальных уравнений

Ответ: Решение дифференциальных уравнений

Задача 11

Исследовать на сходимость ряд:

а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд

Решение дифференциальных уравнений

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

Решение дифференциальных уравненийРешение дифференциальных уравненийРешение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравненийТ. к. Решение дифференциальных уравнений, то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.

Используем признак Даламбера

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: ряд расходится

б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд

Решение дифференциальных уравнений

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

Решение дифференциальных уравненийРешение дифференциальных уравненийРешение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравненийТ. к. Решение дифференциальных уравнений, то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.

По признаку подобия

Решение дифференциальных уравнений

данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится

в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости

Решение дифференциальных уравнений

Решение

Используем признак Даламбера:

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений Решение дифференциальных уравнений

При х =5 получим ряд

Решение дифференциальных уравнений

Ряд знакопостоянный, lim Un = n

Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.

При х = -5 получим ряд

Решение дифференциальных уравнений

Ряд знакочередующийся, lim Un = n

|Un| > |Un+1| > |Un+2| … — не выполняется.

По теореме Лейбница данный ряд расходится

Ответ: Х О (-5; 5)

Задача 12

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Решение дифференциальных уравнений

Решение

В разложении функции sin(x) в степенной ряд

Решение дифференциальных уравнений

заменим Решение дифференциальных уравнений. Тогда получим

Решение дифференциальных уравнений

Умножая этот ряд почленно на Решение дифференциальных уравнений будем иметь

Решение дифференциальных уравнений

Следовательно

Решение дифференциальных уравнений

Ответ: » 0,006.