Контрольная работа: Экономико–математические методы в управлении
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА
| кафедра экономики |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»
вариант №30
КАЛИНИНГРАД
2008
Задание
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
|
C1 |
C2 |
C3 |
bi |
|
|
cj |
9 | 6 | 7 | |
|
a1j |
7 | 5 | 8 | 70 |
|
a2j |
8 | 2 | 3 | 40 |
|
a3j |
9 | 6 | 7 | 50 |
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6×1 – 0.2×12 + 0.8×2 – 0.2×22
2×1 + x2 ≥ 10
x12 -10×1 + x2 ≤ 75
x2 ≥ 0
Задание 3.1.
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
требуется профилактический ремонт;
требуется замена отдельных деталей и узлов;
требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;
вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;
заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
|
П1 |
П2 |
П3 |
|
|
a |
13 | 9 | 15 |
|
b |
20 | 12 | 11 |
|
c |
18 | 10 | 14 |
|
q |
0.3 | 0.45 | 0.25 |
λ = 0.7
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
| C1 | C2 | C3 | bi | |
| cj | 9 | 6 | 7 | |
| a1j | 7 | 5 | 8 | 70 |
| a2j | 8 | 2 | 3 | 40 |
| a3j | 9 | 6 | 7 | 50 |
Смесь, минимальная по стоимости:
7×1 + 5×2 + 8×3 ≥ 70
8×1 + 2×2 + 3×3 ≥ 40
9×1 + 6×2 + 7×3 ≥ 50
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
F = 9×1 + 6×2 + 7×3 → min
После транспонирования матрицы элементов aij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max , при ограничениях:
7y1 + 8y2 + 9y3 ≥ 9
5y1 + 2y2 + 6y3 ≥ 6
8y1 + 3y2 + 7y3 ≥ 7
y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0
Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:
7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 9
5y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6
8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7
y1≥0;y2≥0;y3≥0;y1≥0;y2≥0;y3≥0
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max
По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
Первая симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| y4 | 0 | 9 | 7 | 8 | 9 | 1 | 0 | 0 |
| y5 | 0 | 6 | 5 | 2 | 6 | 0 | 1 | 0 |
| y6 | 0 | 7 | 8 | 3 | 7 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | -70 | -40 | -50 | 0 | 0 | 0 |
Вторая симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| y4 | 0 | 23/8 | 0 | 43/8 | 23/8 | 1 | 0 | -7/8 |
| y5 | 0 | 13/8 | 0 | 1/8 | 13/8 | 0 | 1 | -5/8 |
| y1 | 70 | 7/8 | 1 | 3/8 | 7/8 | 0 | 0 | 1/8 |
| 245/4 | 0 | -55/4 | 45/4 | 0 | 0 | 35/4 |
Третья симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 |
y1 70 |
y2 40 |
y3 50 |
y4 0 |
y5 0 |
y6 0 |
| Y2 | 40 | 23/43 | 0 | 1 | 23/43 | 8/43 | 0 | -7/43 |
| y5 | 0 | 67/43 | 0 | 0 | 67/43 | -1/43 | 1 | -26/43 |
| y1 | 70 | 29/43 | 1 | 0 | 29/43 | -3/43 | 0 | 8/43 |
| 2950/43 | 0 | 0 | 800/43 | 110/43 | 0 | 280/43 |
В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.
По теореме двойственности: Fmin = Smax = 2950/43.
На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:
y4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43
Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1, 280/43 единиц продукта C3, а продукт C2 не включать.
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6×1 – 0.2×12 + 0.8×2 – 0.2×22
2×1 + x2 ≥ 10
x12 -10×1 + x2 ≤ 75
x2 ≥ 0
В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.
Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2, разделив левую и правую части формулы на -0.2:
-5Z = x12 -18×1 + x22 – 4×2
Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:
92 и 22 в сумме составляют 85:
85 – 5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2
В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1OX2. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.
Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:
Z”x1x1 Z”x1x2 = -0.4 0
Z”x2x1 Z”x2x2 0 -0.4
Определим знаки главных миноров данной матрицы.
Главный минор первого порядка -0.4 < 0.
Главный минор второго порядка 0.16 > 0.
Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z — строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.
Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:
x12 – 10×1 + x2 ≤ 75
x12 – 10×1 + 25 + x2 ≤ 100
(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100
(x1 – 5)2 ≤ 100 – x2
Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1* и x2*:
x1* = x1 – 5
x2* = 100 – x2
Уравнение примет вид: x1*2 = x2*.
В системе координат X1*O*X2* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.
На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:
max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17
Задание 3.1
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;
вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;
заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
| П1 | П2 | П3 | |
| a | 13 | 9 | 15 |
| b | 20 | 12 | 11 |
| c | 18 | 10 | 14 |
| q | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
λ = 0.7
Составим платёжную матрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений:
| П1 | П2 | П3 | |
| А1 | -13 | -9 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 |
| А3 | -18 | -10 | -14 |
Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1 = 0.3; q2 = 0.45; q3 = 0.25
Критерий Байеса.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = ∑aijЧqj
`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4
| П1 | П2 | П3 | `ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -11.7 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.15 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -13.4 |
| qj | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.
б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
Критерий Лапласа.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = 1/3∑aij
`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14
| П1 | П2 | П3 | `ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -12.3 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -14 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.
в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
Критерий Вальда.
Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di.
| П1 | П2 | П3 | di | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 |
max di = d1 = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.
Критерий Сэвиджа.
Для каждого столбца находим максимальный элемент βj.
|
П1 |
П2 |
П3 |
|
|
А1 |
-13 | -9 | -15 |
|
А2 |
-20 | -12 | -11 |
|
А3 |
-18 | -10 | -14 |
| βj | -13 | -9 | -11 |
Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj — aij
| max ri | |||
| 0 | 0 | 4 | 4 |
| 7 | 3 | 0 | 7 |
| 5 | 1 | 3 | 5 |
В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r1 = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.
Критерий Гурвица.
Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj.
| П1 | П2 | П3 | di | βj | χi | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 | -9 | -13.2 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 | -11 | -17.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 | -10 | -15.6 |
χi = λ Ч di + (1 – λ) Ч βj λ = 0.7
Максимальный из элементов последнего столбца: max χi = χ1 = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.