Контрольная работа: Расчет вероятностей событий

Задание №1

Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:

а) ни на два, ни на три;

б) на два или на три?

Решение:

Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)

В-событие, что натуральное число делится на 3

p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)

а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Тогда вероятность события С:

Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3

б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тогда вероятность события D:

.

Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3

Задание №2

В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.

Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?

Решение:

А – событие, что поражена мишень

Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.

и

А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа

А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа

Для нахождения вероятности применяют формулу

2. Рn (k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли .

Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.

Задание №3

При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:

Х(кг)	2,5–2,7	2,7–2,9	2,9–3,1	3,1–3,3	3,3–3,5	3,5–3,7	3,7–4,3
К-во кустов	50	150	200	250	150	100	100

Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.

Решение:

Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.

Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.

Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:

где — варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, — соответствующие им частоты.

Для каждого интервала найдем середины по формуле .

Х(кг)	2,5–2,7	2,7–2,9	2,9–3,1	3,1–3,3	3,3–3,5	3,5–3,7	3,7–4,3
	2,6	2,8	3	3,2	3,4	3,6	4
К-во кустов	50	150	200	250	150	100	100

Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.

Задание №4

По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.

Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Решение:

1. Проранжируем1 исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд

2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:

n = 1+3,322 * lgN

где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности

Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп

Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:

Середины интервалов

Средняя арифметическая где — варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, — соответствующие им частоты.

Дисперсия .

Среднее квадратическое отклонение .

№	Значения			№ группы	Интервалы		Частота
1	1				нач	кон
2	2			1	1,0	5,5	3
3	5			2	5,5	10,0	5
4	7			3	10,0	14,5	15
5	9			4	14,5	19,0	17
6	10			5	19,0	23,5	2
7	10			6	23,5	28,0	3
8	10
9	11
10	11
11	11
12	12
13	12
14	13
15	13
16	14
17	14
18	14
19	14
20	14
21	14
22	14
23	14
24	15
25	15
26	15
27	15
28	15
29	15
30	15
31	16
32	16
33	16
34	17
35	17
36	17
37	18
38	18
39	19
40	19
41	20
42	22		x min		1
43	24		x max		28
44	26		h		4,5
45	28

№ группы	Интервалы			Частота	Промежуточные вычисления
	нач	кон	сер	ni	xcp*ni	(x-Xcp)	(x-Xcp)2	ni*(x-Xcp)2
1	1,0	5,5	3,25	3	9,75	-10,9	118,81	356,43
2	5,5	10,0	7,75	5	38,75	-6,4	40,96	204,80
3	10,0	14,5	12,25	15	183,75	-1,9	3,61	54,15
4	14,5	19,0	16,75	17	284,75	2,6	6,76	114,92
5	19,0	23,5	21,25	2	42,50	7,1	50,41	100,82
6	23,5	28,0	25,75	3	77,25	11,6	134,56	403,68
				45	636,75			1234,80
					14,15		S2	27,44
								5,24

Среднее значение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Ответ: , ,

Задание №5

Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.

Решение:

Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения

По условию и

Найти:

Для нормального распределения СВ X

где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .

Значения Ф(Х) – табулированы

Ответ:

Задание №6

Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.

Решение:

Пусть X – случайная величина расстояния, м

По условию

Найти:

Ответ:

Задание №7

При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.

Решение:

По условию задана выборка объемом и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна

1. Доверительный интервал имеет общий вид

2. По условию

находим из решения уравнения

→ →

используя таблицу значений функции Лапласа

3. Находим значения концов доверительного интервала

.

.

Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.

Ответ:

Задание №8

При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.

Решение:

xi	1	2	3	4	5
mi	0,148	0,149	0,151	0,153	0,155

Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: — предельная ошибка малой выборки.

Учитывая, что определим табулированные значения — критерия Стьюдента.

.

Таким образом,

.

Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088

Задание №9

При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.

Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.

Решение:

Пусть — гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.

При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .

При выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)

По данным задачи

В случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия

Т.о.

Табулированное значение

Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия →делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.

Задание №10

Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:

X	60	65	66	70	64
Y	72	71	80	78	69

Решение:

Пусть — гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10

Вычислим и

При выполнении гипотезы статистика .

где и

X	60	65	66	70	64
Y	72	71	80	78	69
	25	0	1	25	1	52
	4	9	36	16	25	90
	13
	22,5

Критическое значение статистики находят из условия .

Т.о. .

Табулированное значение .

Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.

Задание №11

По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:

Ц/ га	10	15	6	20	9
Число дождливых дней	14	20	6	20	10

Коррелируют ли данные величины?

Решение:

Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.

()

()

Свойства коэффициента корреляции:

1 0 Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .

2 0 В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

Значение ЅrЅ	0–0,1	0,1–0,3	0,3–0,5	0,5–0,7	0,7–0,9	0,9–0,99	1
Теснота линейной связи	Нет связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Очень высокая	Функциональная

Значение R	Связь	Интерпретация связи
R = 0	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между х и у
0<R < 1	Прямая	С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот
-1<R<0	Обратная	С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот
R =+1 R = -1	Функциональная	Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот

	Ц/га	Число дождливых дней	Промежуточные вычисления
№	Y	X	Y*X	Y2	X2
1	10	14	140	100	196
2	15	20	300	225	400
3	6	6	36	36	36
4	20	20	400	400	400
5	9	10	90	81	100
S	60	70	966	842	1132
Средние	12	14	193,2	168,4	226,4
Sx2	30,4
Sy2	24,4
Sx	5,51
Sy	4,94
r	0,925

Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.

Ответ: данные величины коррелируют.

Задание №12

По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.

X	4	2	3	7	5	6	3
Y	2	7	4	6	5	2	1

Решение:

1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции .

			Промежуточные вычисления			Уравнение регрессии
№	Y	X	Y*X	Y2	X2
1	2	4	8	4	16	3,853
2	7	2	14	49	4	3,824
3	4	3	12	16	9	3,838
4	6	7	42	36	49	3,897
5	5	5	25	25	25	3,868
6	2	6	12	4	36	3,882
7	1	3	3	1	9	3,838
S	27	30	116	135	148	3,84
Средние	3,86	4,29	16,57	19,29	21,14
Sx	1,67			a	3,794
Sy	2,10			b	0,015
r	0,012

Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).

Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x одного признака и соответствующими средними значениями другого признака .

Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.

В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: и изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a и b находятся по результатам выборки (хi, уi), i=1,2,… n, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уi от соответствующих значений , вычисленных по уравнению регрессии, то есть

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:

→

Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров

a=3,794.

b=0,015.

Уравнение линейной регрессии .

Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости

Список литературы

Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005.

Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.

Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003

Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика

Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007.

1 Ранжирование – операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию