Контрольная работа: Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях
Задание K2.
Дано:
x=c2t2+c1t+c0,
R2=40см,
r2=25 см,
R3=20 см,
x0=9 см,
V0=8 см/с,
x2=65 см,
t1=1с,
t2=2с.
c1-? c2-? c3-?
V-? a-? 
-?
-? VM-?
Уравнение груза 1 имеет вид: (1)
x=c2t2+c1t+c0.
Коэффициенты c2 , c1 , c0 могут быть определены из следующих условий:
При t=0c x=9 
=V0=8; (2)
При t=2c x=65. (3)
Скорость груза 1
V == 2c2t+c1 (4)
Подставляя (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты
c2, c1, c0
Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид:
x= 10 t2+8t+9. (5)
Скорость груза 1:
V ==20t+8
При t=1c V=28см/c. (6)
Ускорение груза 1:
a=
20см/с2.
Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости колес 
и .
откуда имеем:
(7)
Т.к. V =20t+8 , то
;
При t=1c =2,24рад/с.
Угловое ускорение колеса 3: 
Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
VМ=
см/с.
см/с2.
см/с2
см/с2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 28 | 20 | 2,24 | 1,6 | 44,8 | 100,35 | 32 | 105,33 |
Задание:
Найти скорость 1 тела в конце отрезка s.
Дано:
кг
кг
кг
м
м
м
м
Решение:
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы
(т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел)
T0=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась)
Определим кинетическую энергию системы в конечный момент времени
Определим работу сил в конечный момент времени
A
A
Определим скорость в конечный момент времени
(м/с)
Ответ: 
м/с
К4. Кинематический анализ многозвенного механизма
Дано:
=2рад/с.
=
a=50см
b=30см
O1A=14см
O2B=29см
AB=45см
BC=54см
CD=34см
DE=37см
Найти:
1) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;
2) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;
3) ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ;
4) положение мгновенного центра ускорений звена АВ;
5) ускорение точки М, делящей звено АВ пополам.
Определние скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью плана скоростей.
Определяем скорости точек.
Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки А кривошипа О1А:
=
м/с.
Вектор 
перпендикулярен О1А и направлен в сторону вращения кривошипа.
Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А.
Для определения скорости точки В через
полюс О проводим прямую, параллельную
скорости 
, через точку а- прямую,
перпендикулярную АВ. Получаем точку b;
отрезок Оbопределяет скорость точки В.
Измеряем длину луча Оb и, пользуясь масштабом скоростей, находим 
=13см/с
Продолжая построение плана скоростей, находим 
, 
, 
=13 см/с.
=13 см/с.
=5,3 см/с.
Определяем угловые скорости звеньев механизма.
Отрезок ab плана скоростей выражает вращательную скорость точки В вокруг точки А:
ab=
;
отсюда угловая скорость звена АВ
=ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с
Аналогично определяются угловые скорости звеньев ВС и ED:
=bc/BC=0/54=0
=ed/ED=14/37=0,38 рад/с
Угловая скорость звена О2В определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О2.
=13/29=0,45 рад/с
Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.
а) Определяем положения мгновенных центров скоростей звеньев механизма.
Строим схему в выбранном масштабе(рис3)
Звенья О1А, O2B вращаются вокруг неподвижных центров О1 и О2.
Рис3
Мгновенный центр скоростей РАВ звена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного центра скоростей РDE. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.
Б) Определяем скорости точек. Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются на чертеже.
Для определения скорости точки В звена АВ имеем пропорции
АРАВ/ВРАВ.
Следовательно ,
ВРАВ/АРАВ.
см/с.
Т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности, то
Для определения скорости точки Е звена ED имеем пропорции
ЕРED/DPED.
Следовательно,
DPED/EPED.
см/с.
Одновременно с определением модулей скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев механизма. Например, по направлению скорости точки А и положению мгновенного центра скоростей РАВ устанавливаем, что вращение звена АВ происходит по часовой стрелке. Поэтому скорость точки В при данном положении механизма направлена влево.
Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и направления скоростей точек механизма.
в) Определяем угловые скорости звеньев механизма
Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей:
АРАВ.
АРАВ.
28/64=0,43 рад/с.
Угловая скорость звена О2В определяется по скорости точки В:
13,1/29=0,45 рад/с.
Угловая скорость звена ВС равна нулю, т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:
Аналогично вычисляем угловую скорость звена ED:
EPED.
5,4/14=0,38 рад/с.
3. Определение ускорений точек A и B и угловое ускорение звена АВ.
Определяем 
и 
.
С помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:
.
Т.к. кривошип О1А вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру О1 и равно
см/с2.
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направлено от точки В к точке А и равно
0,43=19,43 см/с2.
Откладываем от точки В в соответствующем масштабе ускорение полюса 
. Из конца вектора строим вектор 
, проводя его параллельно ВА. Через конец вектора проводим прямую JK, перпендикулярную ВА, т.е. параллельную вращательному ускорению 
. Однако определить ускорение 
этим построением невозможно, т.к. его направление неизвестно.
Чтобы найти ускорение точки В, необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как принадлежащую О2В. В этом случае
Центростремительное ускорение точки В:
см/с2.
Откладываем от точки В вектор 
, направив его к центру О2. Через конец вектора проводим прямую LN перпендикулярно О2В, т.е. параллельно вращательному ускорению 
.
Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов 
,
Измерением на чертеже получаем
80 см/с2.
49 см/с2.
Т.к. 
=АВ
, то угловое ускорение звена АВ
/АВ=49/45=1,09 рад/с2.
4)Определение положения мгновенного центра ускорений звена АВ.
Примем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В
Строим параллелограмм ускорений при точке В по диагонали и стороне . Сторона параллелограмма 
выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение составляет с отрезком АВ угол 
, который можно измерить на чертеже.
Направление вектора относительно полюса А позволяет определить направление , в данном случае соответствующее направлению часовой стрелки Отложив угол от векторов и в этом направлении и проводя два луча, найдем точку их пересечения 
— мгновенный центр ускорений звена АВ.
5) Определение ускорения точки М.
Найдем ускорение точки М с помощью МЦУ.
Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:
.
Подставив расстояния, определенные по чертежу
К7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
Дано:
OM=Sr(t)=25sin(
t/3);
4c
a=25см
v-?
a-?
Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ.
При 4c Sr=25 sin(4/3)= -21,65 см.
Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
Модуль относительной скорости 
, где 
dSr/dt=25cos(t/3) /3
При t=4c 
-13,08см/с.
13,08см/с.
Отрицательный знак у 
показывает, что вектор
направлен в сторону убывания Sr.
Модуль переносной скорости 
=
, где
-радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М,
-модуль угловой скорости тела.
Найдем .
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
.
АМ=ОА-ОМ.
АМ=25-21,65=3,35см.
=25см.
По теореме Пифагора имеем:
=25,22см.
Найдем .
, где
=d
/dt =4t-0,5
При t=4c =15,5рад/с.
Знак ”+” у величины показывает, что вращение тела D происходит в ту же сторону, в которую ведется отсчет угла .
Тогда модуль переносной скорости
=
=390,91 см/с.
Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.
Через точку М проводим оси X и Y.
Из треугольника :
=AM/
=3,35/25,22=0,13
Тогда
1,704 см/с
403,86см/с.
Значит v = 
403,86см/с.
Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
, где в свою очередь
Относительное движение.
Это движение происходит по закону Sr(t)=25sin(t/3);
Модуль относительного касательного ускорения 
,
где 
=d2Sr/dt=
При t=4c 
23,72см/с2.
23,72см/с2.
Модуль относительного центростремительного ускорения 
=0, т.к. радиус кривизны относительной траектории стремится к бесконечности.
Переносное движение.
Это движение происходит по закону
Модуль переносного вращательного ускорения 
, где
=
— модуль углового ускорения тела D
d2
/dt2=4рад/с2
Знаки у и 
одинаковые. Значит вращение тела D ускоренное.
Тогда 
см/с2
Модуль переносного центростремительного ускорения
=6059,1 см/с2.
Кориолисово ускорение.
Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле
, где
— угол между вектором 
и осью вращения (вектором 
).
В нашем случае =
, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.
Тогда 
12118,21 см/с2.
Направление вектора 
найдем по правилу Н.Е.Жуковского: т.к. вектор 
лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на в направлении 
, т.е. против хода часовой стрелки.
Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.
Через точку М проводим оси X и Y.
+
=100,88+23,72
-6059
=-663,3см/с2.
18174,22см/с2.
=18186,32см/с2.
Ответ: 13,08см/с =390,91 см/с. 
403,86см/с.
23,72 см/с2, 
см/с2, 
=6059,1 см/с2, 
12118,21 см/с2, 
=18186,32