Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона. 1 C00 1 1 C10 C11 1 2 1 C20 C21 C22 1 3 3 1 C30 C31 C32 C33 1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1. Свойства треугольника Паскаля: 1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке. 2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- лам. 3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке. 4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сmn=Cmm-n 2. Бином Ньютона. (a+b) — двучлен (бином) (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2 и т.д. 😉 Свойства бинома Ньютона: 1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых. 2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой. 3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически: n (a + b)n = S Cnk.an-k.bk k=0 4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk 5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n. Метод математической индукции. Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если: 1) Оно верно при n=1; 2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1. Комбинаторика: Размещения и перестановки. Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями. 3 рода соединений: 1) Размещения 2) Перестеновки 3) Сочетания Дано: (a,b,c) — 3 элемента. по одному: a, b, c. по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca. по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m ————¬ ¦ m! ¦ ¦Amn= ——+ ¦ (m-n)!¦ L———— 2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками. ——¬ ¦Pm=m!¦ L—— 2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями. —————¬ Свойства числа сочетний: ¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n ¦Сmn= ———+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1 ¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1 L————— 4) C00=0!=1 Дифференцирование функций. Производная функции h=x-a — приращение аргумента f(a+h) — f(a) — приращение функции —————————————¬ ¦ f(a+h) — f(a) — ¦k=lim ————- = f'(x) или f'(a)- ¦ h->0 h — +————————————— ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h- L——————— df = f'(x).dx — дифференциал функции. Примеры: 1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h)) 1) f(x)=- ; f'(x) = lim ———— = lim ———— = x h->0 h h->0 h 1 1 = lim ——- = — x(x+h) h2 | 1 2) (x2)’ = 2x; (ax+b)’ = a; (? a )’ = — 2?x (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b; (x3)’ = 3×2 —————-¬ ¦(axn)’ = n.xn-1¦ L—————- Техника дифференцирования. (fg)’ = f’g + fg’ Угловой коэффициент касательной в данной то- (f + g) = f’ + g’ чке равен значению производной в данной точ- ( f )’ f’g + fg’ ке. ¦ — ¦ = ——— 9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ- водная отрицательна. (fn)’ = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про- n| 1 изводная положительна. ? f = ——— 3) Если производная равна нулю или не сущес- n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные экстремумы. 4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка; б) Экстремумы функции на данном промежутке; в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. Дифференцирование тригонометрических функций. —————¬ ———-¬ ¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦ ¦ Lim —— = 1¦ ¦Lim —- ¦ ¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦ L————— L———- (Sin x)’ = Cos x (Cos x)’ = -Sin x 1 1 (tg x)’ = —— ; (Ctg x)’ = —— Cos2x Sin2x Спецкурс — » Уравнения и неравенства с параметрами «. » Исследование квадратного трехчлена » Теорема 1. — ——— ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0, M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0, =========== ¦ a < 0, 9 x0 > M. ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ¦ f(M) < 0 L— Теорема 2. — ———- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0, x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0, =========== ¦ a < 0, 9 x0 < b. ¦ D . 0, ¦ x0 < b, ¦ f(b) < 0 L— Теорема 3. — ——— ¦ ( а > 0, ¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0 ¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0, M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0, =============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b ¦ ( a < 0, ¦ 2 D . 0, ¦ Б M < x0 < b, ¦ 2 f(b) < 0, ¦ 9 f(M) < 0 L— Теорема 4. — ——— ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) > 0, ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0 M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) < 0 L— Теорема 5. — ——— ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) < 0, ¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0 x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0, =============== ¦ Б f(b) < 0, ¦ 9 f(M) > 0 L— Теорема 6. — ———- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) < 0, ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0 x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) > 0 L— Теорема 7. — ——— ¦ а > 0, ¦ f(M) < 0, x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0, =========== ¦ f(M) > 0 L— Числовая последовательность. 1). Числовая последовательность — такой ряд чисел, который занумеро- ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) — a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7…an f(n) — закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. | | | Последовательность называют возрастающей, если каждый член после- довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%. Последовательность называется убывающей, если каждый член после- довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^. an , M => (an) — ограниченная сверху. an . M => (an) — ограниченная снизу. 2). Арифметическая прогессия [_] Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже число, которое называется разностью прогрессий. _ a1,a2,a3,a4…an a2=a1+d; d — разность прогрессий ————-¬ ¦an=a1+(n-1)d¦- — формула любого члена арифметической прогрессии… L————— Свойства членов арифметической прогресии: 1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2 2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2 3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое равноудаленных от него членов. ————¬ —————-¬ ¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦ ¦S_=———+- ¦S_=———-.n¦ ¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦ L————- L—————- 3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q) b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д. ————-¬ ¦bn=b1.q(n-1)¦- — формула лыбого члена арифметической прогрессии. L————— Свойства членов геометрической прогрессии: | 1. bn=? bn-k.bn+k 2. b1.bn=bk.bn-k+1 2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно: —————————¬ ¦ | |¦ ¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn-1)n¦ L————————— 4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна: bnq-b1 b1(qn-1) S=—— = ——— q-1 q-1 1 lq9m.pdr 2 1 Основные формулы сокращенного умножения. a2 + b2 = (a + b)2 — 2ab a2 + b2 = (a — b)2 + 2ab a2 — b2 = (a — b)(a + b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) an — bn = (a — b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + … +bn-1) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 + b3 (a — b)3 = a3 — b3 — 3ab(a — b) a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 — a + 1) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 | | / A + ?A-B / A + ?A-B A + B = /———- + /———- ? 2 ? 2 | | | | a — b = (? a — ? b )(? a + ? b ) | | 3| | 3| a — b = ((? a — ? b )(? a2 + ? ab + ? b2) | —> a, если a . 0! ? a2 = ¦a¦-+ L->-a, если a < 0! Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n — 2) Формула Герона S = ?p(p — a)(p — b)(p — c) Правильный многоугольник: an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n) Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n) ————————— Sквадрата = a.b abc Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = — 4R d1.d2 Sпараллелограма = ab.Sin a = —— = a.ha 2 Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c — средняя линия) Преобразования на плоскости. Осевая симметрия — движение при котором сохраняется расстояние. Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l) Центральная симметрия — движение относительно точки, при котором сохраняется расстояние ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О) Параллельный перенос (П[вектор] Поворот — R[угол][точка] Гомотетия — увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка] Правила действия над тригонометрическими функциями. г==============================T==============================¬ ¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦ ¦ + ¦ + ¦ — ¦ + ¦ ¦-1 , Sin a , 1 —-+—- ¦-1 , Cos a , 1 —-+—- ¦ ¦ — ¦ — ¦ — ¦ + ¦ ¦==============================¦==============================¦ ¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦ ¦ — ¦ + ¦ ¦ —-+—- ¦ ¦ + ¦ — ¦ L=============================================================- 360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению p p p её радианного измерения на ра- 60 = — ; 45 = — ; 30 = — диус 3 4 6 Cокружности = 2pR Основные тригонометрические тождества: q 1.Sin2a + Cos2a = 1 Sin a Cos a 2.tg a = —— ; Ctg a = —— Cos a Sin a 3.tg a * Ctg a = 1 1 1 4.1 + tg2a = —— ; 1 + Ctg a = —— Cos2a Sin2a Правило формул превидения Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a) ———————————-T———————————¬ ¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb — Sina*Sinb¦ +———————————+———————————+ ¦Sin(a-b) = Sina*Cosb — Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦ +————————T———+—————T——————- ¦ tg a — tg b ¦ tg a + tg b ¦ ¦tg(a-b) = ———— ¦ tg(a+b) = ———— ¦ ¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 — tga*tgb ¦ +————————+-T———————-+—-¬ ¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb — 1 ¦ ¦Ctg(a-b) =————— ¦ Ctg(a+b) = ————- ¦ ¦ Ctg a — ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦ +————————T-+———————T—— ¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a — Sin2a ¦ +——————T——+—————T——— ¦ 2*tg a ¦ Ctg2a — 1 ¦ ¦tg 2a = ——— ¦ Ctg 2a = ——— ¦ ¦ 1 — tg2a ¦ 2*Ctg a ¦ L——————+——————— Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)] Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) Sin x — Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y) Cos x — Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y) Cos a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)] Sin a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) — Cos(a+b)] —————————T———————————¬ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦tg x — tg y = ———— ¦ tg x + tg y = ———— ¦ ¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦ +—————————+—T——————————+ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦Ctg x — Ctg y = ———— ¦ Ctg x + Ctg y = ———— ¦ ¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦ L——————————+——————————- Sin 3x = 3Sin x — 4Sin3x 2tg x Cos 3x = 4Cos3x — 3Cos x Sin 2x = ——— /1 + Cos 2x 2tg2x + 1 ¦Cos x¦ = / ———- ? 2 . 1 + tg2x /1 — Cos 2x Cos 2x = ——— ¦Sin x¦ = / ———- 1 — tg2x ? 2 . / 1 — Cos 2x 2tg x ¦tg x¦ = / ———— tg 2x = ——— ? 1 + Cos 2x 1 — tg2x 1. Решение тригонометрических уравнений. Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z. Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z. tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z. ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z. 2. Равенство одноименных функций. Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z. Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z. tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z. 3. Универсальная подcтaновка. t t 2tg — 1 — tg2 — 2 2 t Sin t = ———— ; Cos t = ————- ; tg — = Z. t t 2 1 + tg2 — 1 + tg2 — 2 2 4. Функции кратных аргументов. — ¦ Cos2x = Cos2x — Sin2x. (a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦ ¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx. L- — ¦ Cos3x = Cos3x — 3Cosx7Sin2x. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦ ¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx — Sin3x. L- — ¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x. (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦ ¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x. L- 5. Дополнительно. Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) — Cos(n-1)x. Sin 5a = 16Sin5a — 20Sin3a + 5Sina. Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a — 56Sin3a + 7Sina = = Sina7(64Cos6a — 80Cos4a + 24Cos2a — 1).