Контрольная работа: Прогнозирование урожайности различными методами

Содержание

1. Задание

2. Аналитическое выравнивание

3. Метод экспоненциального сглаживания

4. Метод скользящих средних

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Выводы

1. Задание

По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений.

Исходные данные урожайности:

1947	1948	1949	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
3,5	5,2	2,2	3,6	7,1	6,9	4,1	5,3	10,1	4,8	7,7	16,8
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

1959	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
9,8	14,5	13,7	19,0	5,0	12,0	11,3	17,5	13,1	17,9	9,6
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23

2. Аналитическое выравнивание

Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную:

.

Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную:

.

Тогда получим:

,

где

.

Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены:

, , .

Получим:

,

откуда найдем: , , .

Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции значим.

Построим линейную регрессию

Регрессионная статистика
Множественный R	0,717687
R-квадрат	0,515074
Нормированный R-квадрат	0,491982
Стандартная ошибка	3,693991
Наблюдения	23
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	304,3725	304,3725	22,30559	0,000116
Остаток	21	286,557	13,64557
Итого	22	590,9296
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	3,014625	1,592152	1,893427	0,072162	-0,29644	6,325686
Переменная X 1	0,548419	0,11612	4,722879	0,000116	0,306935	0,789903

Регрессия для гиперболической функции:

Регрессия для параболической функции:

Регрессия для показательной функции:

Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца:

, ,

Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель.

Итак, для модели линейной регрессии получим:

AIC=5,131843277

BIC=2,658769213 σ=3,694

Для модели регрессии показательной функции имеем:

AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028

Все 3 показателя лучше в первом случае.

Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова:

у=3,01+0,55t;

Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице:

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	3,563043478	-0,063043478
2	4,111462451	1,088537549
3	4,659881423	-2,459881423
4	5,208300395	-1,608300395
5	5,756719368	1,343280632
6	6,30513834	0,59486166
7	6,853557312	-2,753557312
8	7,401976285	-2,101976285
9	7,950395257	2,149604743
10	8,498814229	-3,698814229
11	9,047233202	-1,347233202
12	9,595652174	7,204347826
13	10,14407115	-0,344071146
14	10,69249012	3,807509881
15	11,24090909	2,459090909
16	11,78932806	7,210671937
17	12,33774704	-7,337747036
18	12,88616601	-0,886166008
19	13,43458498	-2,13458498
20	13,98300395	3,516996047
21	14,53142292	-1,431422925
22	15,0798419	2,820158103
23	15,62826087	-6,02826087

Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет

Прогнозные значения
t	y
24	16,17667984
25	16,72509881
26	17,27351779
27	17,82193676
28	18,37035573
29	18,9187747

Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. Этот результат достигнут в результате существенного роста урожайности зерновых культур.

Проверим наличие автокорреляции в данном динамическом ряду. Для этого составим следующие таблицы:

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Год	Фактические уровни y(t)	Уровни, сдвинутые на год y(t-1)	y(t)y(t-1)	y(t)^2
1	3,5	9,6	33,6	12,25
2	5,2	3,5	18,2	27,04
3	2,2	5,2	11,44	4,84
4	3,6	2,2	7,92	12,96
5	7,1	3,6	25,56	50,41
6	6,9	7,1	48,99	47,61
7	4,1	6,9	28,29	16,81
8	5,3	4,1	21,73	28,09
9	10,1	5,3	53,53	102,01
10	4,8	10,1	48,48	23,04
11	7,7	4,8	36,96	59,29
12	16,8	7,7	129,36	282,24
13	9,8	16,8	164,64	96,04
14	14,5	9,8	142,1	210,25
15	13,7	14,5	198,65	187,69
16	19	13,7	260,3	361
17	5	19	95	25
18	12	5	60	144
19	11,3	12	135,6	127,69
20	17,5	11,3	197,75	306,25
21	13,1	17,5	229,25	171,61
22	17,9	13,1	234,49	320,41
23	9,6	17,9	171,84	92,16
Сумма	220,7	220,7	2353,68	2708,69
Средняя	9,595652174		102,333913	117,76913
	Дисперсия	25,69258979	Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,95)
Коэффициент автокорреляции		0,399234662

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Год	Фактические уровни y(t)	Уровни, сдвинутые на 2 года y(t-2)	y(t)y(t-2)	y(t)^2
1	3,5	17,9	62,65	12,25
2	5,2	9,6	49,92	27,04
3	2,2	3,5	7,7	4,84
4	3,6	5,2	18,72	12,96
5	7,1	2,2	15,62	50,41
6	6,9	3,6	24,84	47,61
7	4,1	7,1	29,11	16,81
8	5,3	6,9	36,57	28,09
9	10,1	4,1	41,41	102,01
10	4,8	5,3	25,44	23,04
11	7,7	10,1	77,77	59,29
12	16,8	4,8	80,64	282,24
13	9,8	7,7	75,46	96,04
14	14,5	16,8	243,6	210,25
15	13,7	9,8	134,26	187,69
16	19	14,5	275,5	361
17	5	13,7	68,5	25
18	12	19	228	144
19	11,3	5	56,5	127,69
20	17,5	12	210	306,25
21	13,1	11,3	148,03	171,61
22	17,9	17,5	313,25	320,41
23	9,6	13,1	125,76	92,16
Сумма	220,7	220,7	2349,25	2708,69
Средняя	9,595652174		102,141304	117,76913
	Дисперсия	25,69258979	Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,99)
Коэффициент автокорреляции		0,391737999

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка

Год	Фактические уровни y(t)	Уровни, сдвинутые на 3 года y(t-3)	y(t)y(t-3)	y(t)^2
1	3,5	13,1	45,85	12,25
2	5,2	17,9	93,08	27,04
3	2,2	9,6	21,12	4,84
4	3,6	3,5	12,6	12,96
5	7,1	5,2	36,92	50,41
6	6,9	2,2	15,18	47,61
7	4,1	3,6	14,76	16,81
8	5,3	7,1	37,63	28,09
9	10,1	6,9	69,69	102,01
10	4,8	4,1	19,68	23,04
11	7,7	5,3	40,81	59,29
12	16,8	10,1	169,68	282,24
13	9,8	4,8	47,04	96,04
14	14,5	7,7	111,65	210,25
15	13,7	16,8	230,16	187,69
16	19	9,8	186,2	361
17	5	14,5	72,5	25
18	12	13,7	164,4	144
19	11,3	19	214,7	127,69
20	17,5	5	87,5	306,25
21	13,1	12	157,2	171,61
22	17,9	11,3	202,27	320,41
23	9,6	17,5	168	92,16
Сумма	220,7	220,7	2218,62	2708,69
Средняя	9,595652174		96,4617391	117,76913
	Дисперсия	25,69258979	Автокорреляция отсутствует
Коэффициент автокорреляции		0,170679504

Как видно из таблиц, обнаружилась автокорреляция только первого и второго порядков. Это говорит о том, что значительное влияние на урожайность озимой пшеницы в данном году оказывает урожайность двух предыдущих лет.

3. Метод экспоненциального сглаживания

Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания.

Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции:

,

где – параметр сглаживания;.

Выберем =0,3

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Формулы расчета оценок коэффициентов:

Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда:

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

	S1	S2	a0	a1
3,5	3,692	4,2548	3,1292	-0,3752	2,754	0,556516
5,2	4,2952	4,27096	4,31944	0,01616	4,3356	0,74718736
2,2	3,45712	3,945424	2,968816	-0,325536	2,64328	0,196497158
3,6	3,514272	3,772963	3,255581	-0,1724608	3,08312	0,267164934
7,1	4,9485632	4,243203	5,653923	0,47024	6,1241632	0,95225746
6,9	5,7291379	4,837577	6,620699	0,594373888	7,21507264	0,099270768
4,1	5,0774828	4,933539	5,221426	0,095962266	5,31738842	1,482034555
5,3	5,1664897	5,026719	5,30626	0,093180119	5,39943995	0,009888303
10,1	7,1398938	5,871989	8,407798	0,845269727	9,25306811	0,717293628
4,8	6,2039363	6,004768	6,403105	0,13277883	6,53588335	3,013291001
7,7	6,8023618	6,323806	7,280918	0,319037494	7,5999555	0,010008902
16,8	10,801417	8,11485	13,48798	1,791044614	15,2790286	2,313354018
9,8	10,40085	9,02925	11,77245	0,914400039	12,6868503	8,333904844
14,5	12,04051	10,23375	13,84727	1,204503986	15,0517701	0,304450249
13,7	12,704306	11,22197	14,18664	0,988220769	15,174858	2,17520614
19	15,222584	12,82222	17,62295	1,600243488	19,2231924	0,049814834
5	11,13355	12,14675	10,12035	-0,67546729	9,44488196	19,75697565
12	11,48013	11,8801	11,08016	-0,26664841	10,8135091	1,407760654
11,3	11,408078	11,69129	11,12486	-0,18880986	10,9360534	0,132457117
17,5	13,844847	12,55271	15,13698	0,861421592	15,9984008	2,254800093
13,1	13,546908	12,95039	14,14342	0,397677461	14,5411018	2,076774272
17,9	15,288145	13,88549	16,6908	0,93510118	17,6258978	0,075132009
9,6	13,012887	13,53645	12,48932	-0,34904247	12,1402807	6,453026248
						53,38506621

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	-2,1132811	-7,09343	-12,2029	2,737493	1,176307311	-0,00808583	3,91383304	0,171257789
5,2	-0,6506249	-5,80487	-10,9233	4,539396	1,307567679	0,002236112	5,84696599	0,41856499
2,2	-0,0804999	-4,65999	-9,67067	4,067818	0,915810984	-0,02694854	4,98399185	7,7506106
3,6	0,6556001	-3,59688	-8,45591	4,301519	0,740885761	-0,03790978	5,04312342	2,082605212
7,1	1,9444801	-2,4886	-7,26245	6,036806	0,927243389	-0,02129738	6,96427656	0,018420853
6,9	2,935584	-1,40377	-6,09071	6,927341	0,900178696	-0,02172458	7,82775603	0,860731248
4,1	3,1684672	-0,48932	-4,97043	6,002929	0,477055074	-0,05145785	6,4813078	5,670626841
5,3	3,5947738	0,327499	-3,91085	5,890979	0,300937696	-0,06069189	6,19375797	0,798803306
10,1	4,895819	1,241163	-2,88044	8,083524	0,66559622	-0,02918445	8,74954607	1,823725828
4,8	4,8766552	1,968261	-1,9107	6,814478	0,21148275	-0,06066067	7,02780093	4,963096995
7,7	5,4413242	2,662874	-0,99599	7,339363	0,226893959	-0,05502572	7,56777081	0,017484558
16,8	7,7130593	3,672911	-0,06221	12,05824	1,172083885	0,01906433	13,2305026	12,741312
9,8	8,1304475	4,564418	0,863117	11,5612	0,819644091	-0,00845449	12,3808846	6,660965133
14,5	9,404358	5,532406	1,796975	13,41283	1,040514466	0,008532533	14,4533811	0,00217332
13,7	10,263486	6,478622	2,733304	14,0879	0,967225013	0,002471645	15,0551249	1,836363466
19	12,010789	7,585056	3,703655	16,98086	1,395610031	0,034020784	18,3770439	0,388074354
5	10,608631	8,189771	4,600878	11,85746	-0,01686454	-0,07312702	11,8432687	46,83032672
12	10,886905	8,729198	5,426542	11,89966	-0,06882696	-0,07155927	11,8333975	0,027756394
11,3	10,969524	9,177263	6,176686	11,55347	-0,19385244	-0,07551973	11,3624686	0,003902328
17,5	12,275619	9,796934	6,900736	14,33679	0,397867259	-0,02609459	14,7349986	7,645232881
13,1	12,440495	10,32565	7,585718	13,93026	0,196638702	-0,03906748	14,1276666	1,056098587
17,9	13,532396	10,967	8,261974	15,95817	0,567175299	-0,00872643	16,5253867	1,88956183
9,6	12,745917	11,32278	8,874135	13,14354	-0,18901755	-0,06409432	12,956581	11,26663598
								114,9243312

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 1,91758335

=-1,2595453

=-4,60049885

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	4,0123083	0,322011	-3,12375	7,947147	1,813620275	0,04491565	9,76177562	0,742657215
5,2	5,7486158	1,949992	-1,60162	9,794246	1,862385849	0,045368582	11,6576611	3,450904714
2,2	5,9440311	3,148204	-0,17668	8,210805	0,696151358	-0,09717296	8,91167811	6,308526949
3,6	5,9308218	3,982989	1,071224	6,914721	-0,07996759	-0,17704896	6,8504266	0,903310726
7,1	7,9915752	5,185565	2,305526	10,72356	1,132323907	-0,01359714	11,8559729	0,891187203
6,9	8,6841027	6,235126	3,484406	10,83134	0,76321248	-0,05542235	11,5960834	1,679832129
4,1	8,6888719	6,97125	4,530459	9,683325	0,049851182	-0,13282693	9,74199756	1,085758914
5,3	9,0822103	7,604538	5,452683	9,8857	-0,00649776	-0,12382952	9,88686868	0,012798695
10,1	10,857547	8,580441	6,39101	13,22233	1,059105338	0,01610373	14,2815645	0,516149625
4,8	9,910283	8,979393	7,167525	9,960194	-0,43707812	-0,16181241	9,53620743	3,371657732
7,7	12,007198	9,887735	7,983588	14,34198	1,112672366	0,039547931	15,4554323	2,086775904
16,8	13,055039	10,83793	8,83989	15,49123	1,158089937	0,040238477	16,650127	1,322792148
9,8	14,238527	11,85811	9,745355	16,88662	1,274192695	0,049163686	18,162018	1,35028586
14,5	15,666969	13,00077	10,72198	18,72059	1,510309073	0,07115812	20,23343	1,521349651
13,7	17,026878	14,2086	11,76796	20,2228	1,56621064	0,069363232	21,791418	2,532611258
19	17,978815	15,33966	12,83947	20,75693	1,262936101	0,025523494	22,0201889	3,313087501
5	15,34517	15,34132	13,59003	13,60159	-1,65662782	-0,32095738	11,9964693	7,820240766
12	16,531619	15,69841	14,22254	16,72218	-0,25277423	-0,11803844	16,4763703	7,972884921
11,3	16,612133	15,97252	14,74754	16,66636	-0,28139592	-0,10751882	16,3907461	0,167488742
17,5	18,018493	16,58632	15,29917	19,5957	0,751423356	0,0266386	20,347482	0,907290518
13,1	16,092945	16,4383	15,64091	14,60483	-1,23246052	-0,20989346	13,3944003	3,219872312
17,9	16,845062	16,56033	15,91674	16,77093	-0,21852822	-0,06591395	16,5545712	4,183779005
9,6	16,321543	16,4887	16,08832	15,58687	-0,61020409	-0,10423889	14,9820974	0,013901034
								55,37514352

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 3,0313761

=1,06416203

=-0,970755225

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	5,3788257	2,790027	0,533558	8,299952	2,24282099	0,147701582	10,5536813	2,734661735
5,2	7,1472954	4,532935	2,133309	9,976391	2,076938886	0,095437634	12,0578839	5,098039615
2,2	6,8483772	5,459112	3,46363	7,631426	-0,01682611	-0,26942947	7,65089649	1,564742023
3,6	6,4690263	5,863078	4,423409	6,241255	-0,89293167	-0,37054215	5,41697437	0,233313758
7,1	9,0014158	7,118413	5,50141	11,15042	1,669114	0,118222485	12,8265216	0,000703397
6,9	9,5208495	8,079388	6,532601	10,85699	0,797136961	-0,04681077	11,6552198	1,836620752
4,1	9,1925097	8,524636	7,329415	9,333035	-0,37506983	-0,23437677	8,98543167	0,081471237
5,3	9,5155058	8,920984	7,966043	9,749608	-0,16430499	-0,1601865	9,59813271	0,161497319
10,1	11,709303	10,03631	8,79415	13,81313	1,78550802	0,191480082	15,6169656	0,380646557
4,8	10,105582	10,06402	9,302098	9,426785	-1,09285126	-0,32015981	8,38518453	0,469477846
7,7	12,823349	11,16775	10,04836	15,01515	1,937829195	0,238313566	16,9813782	0,006622415
16,8	13,89401	12,25825	10,93232	15,83958	1,572441642	0,137696713	17,4215037	3,692176522
9,8	15,136406	13,40952	11,9232	17,10387	1,525483554	0,106920913	18,6350679	2,673447105
14,5	16,681843	14,71845	13,0413	18,93149	1,75420453	0,127220923	20,6937846	2,86890619
13,7	18,089106	16,06671	14,25146	20,31865	1,67049331	0,092065566	21,9933807	3,216214243
19	18,933464	17,21341	15,43624	20,5964	1,057851513	-0,02538566	21,6545716	2,115778599
5	15,040078	16,34408	15,79938	11,88738	-3,74509187	-0,82164528	8,47983483	0,518637869
12	16,744047	16,50407	16,08125	16,8012	-0,12441845	-0,08125883	16,6800788	6,863987211
11,3	16,766428	16,60901	16,29236	16,76461	-0,14275806	-0,07077229	16,6243542	0,030851434
17,5	18,579857	17,39735	16,73435	20,28188	1,596467573	0,230894027	21,9049998	0,366024715
13,1	15,787914	16,75358	16,74204	13,84506	-2,16385405	-0,43430858	11,7755167	0,030806121
17,9	16,912748	16,81724	16,77212	17,05863	0,142041992	0,022392189	17,2009276	1,957403589
9,6	16,187649	16,56541	16,68944	15,55616	-0,64652505	-0,11276768	14,9159978	0,033856812
								36,93588706

Постоим соответственно графики значений по исходным данным линейной и параболической формы сглаживания.

Линейная форма:

Параболическая форма:

1) =0,2

2) =0,3

3) =0,4

Видно,что параболическая форма зафисимости экспоненциального сглаживания лучше подогнана к исходным данным.Следовательно, параболическая форма более подходит для прогноза. Сделаем прогноз на 6 лет и представим графической формой.

t	24	25	26	27	28	29
	14,916	14,28855	13,67381	13,0718	12,4825	11,90591

4. Метод скользящих средних

Выберем в качестве параметров скольжения 3, 5, 9. Причем при параметре, равном 5, используем весовые коэффициенты для расчета скользящей средней. Для определения этих весовых коэффициентов применим треугольник Паскаля. Таким образом, весовыми коэффициенты будут следующие числа: 1, 2, 4, 2, 1.

Для начала проведем расчеты при параметре скольжения 3. Данные приведем в следующей таблице:

t	y	Скользящая сумма	Скользящая средняя	Прирост	Ускорения
1	3,5
2	5,2	25,1	8,367
3	2,2	22,1	7,367	-1
4	3,6	25,1	8,367	1	2
5	7,1	29	9,667	1,3	0,3
6	6,9	31,8	10,6	0,933	-0,367
7	4,1	29	9,667	-0,933	-1,867
8	5,3	33,7	11,233	1,567	2,500
9	10,1	32,7	10,9	-0,333	-1,900
10	4,8	39,6	13,2	2,300	2,633
11	7,7	40,1	13,367	0,167	-2,133
12	16,8	49,4	16,467	3,100	2,933
13	9,8	51,5	17,167	0,700	-2,400
14	14,5	56,2	18,733	1,567	0,867
15	13,7	59,4	19,8	1,067	-0,500
16	19	49,6	16,533	-3,267	-4,333
17	5	48,7	16,233	-0,300	2,967
18	12	45,3	15,1	-1,133	-0,833
19	11,3	57,4	19,133	4,033	5,167
20	17,5	49,7	16,567	-2,567	-6,600
21	13,1	51,5	17,167	0,600	3,167
22	17,9	45,3	15,1	-2,067	-2,667
23	9,6

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации у этой модели. Получим следующую модель:

y=1.4+1.03t-0.02

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t
23	16,4389
24	16,0816
25	15,6469
26	15,1348
27	14,5454
28	13,8786

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели	t	Значения у
	1	3,5
8,51976912	2	5,2
9,052236652	3	2,2
9,584704185	4	3,6
10,11717172	5	7,1
10,64963925	6	6,9
11,18210678	7	4,1
11,71457431	8	5,3
12,24704185	9	10,1
12,77950938	10	4,8
13,31197691	11	7,7
13,84444444	12	16,8
14,37691198	13	9,8
14,90937951	14	14,5
15,44184704	15	13,7
15,97431457	16	19
16,50678211	17	5
17,03924964	18	12
17,57171717	19	11,3
18,1041847	20	17,5
18,63665224	21	13,1
19,16911977	22	17,9
16,3222	23	9,6
Прогноз на будущее
16,9218	24	21,47
17,5214	25	19,70
18,1209	26	11,40
18,7205	27	23,27
19,3201	28	21,50
	29	13,20

Значения урожайности по годам вместе с прогнозными значениями представим на графике:

Проведем расчеты для параметра 5 с применением треугольника Паскаля.

t	y	Скользящая сумма	Скользящая средняя	Прирост	Ускорения
1	3,5
2	5,2
3	2,2	37	3,700
4	3,6	45,1	4,510	0,81
5	7,1	55,7	5,570	1,06	0,25
6	6,9	58,9	5,890	0,320	-0,740
7	4,1	58	5,800	-0,090	-0,410
8	5,3	61,3	6,130	0,330	0,420
9	10,1	72,4	7,240	1,110	0,780
10	4,8	76,9	7,690	0,450	-0,660
11	7,7	93,9	9,390	1,700	1,250
12	16,8	121,5	12,150	2,760	1,060
13	9,8	123,2	12,320	0,170	-2,590
14	14,5	140,8	14,080	1,760	1,590
15	13,7	136,6	13,660	-0,420	-2,180
16	19	139,9	13,990	0,330	0,750
17	5	107	10,700	-3,290	-3,620
18	12	117,1	11,710	1,010	4,300
19	11,3	122,3	12,230	0,520	-0,490
20	17,5	148,7	14,870	2,640	2,120
21	13,1	144,1	14,410	-0,460	-3,100
22	17,9
23	9,6

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:

y=1.88+1.11t-0.02

Отобразим ее на графике:

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t
23	17,1962
24	17,8133
25	18,4303
26	19,0474
27	19,6644
28	20,2815

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели	t	Значения у
	1	3,5
	2	5,2
8,8125	3	2,2
9,3924	4	3,6
9,9723	5	7,1
10,5522	6	6,9
11,1321	7	4,1
11,7120	8	5,3
12,2919	9	10,1
12,8718	10	4,8
13,4517	11	7,7
14,0316	12	16,8
14,6115	13	9,8
15,1914	14	14,5
15,7713	15	13,7
16,3512	16	19
16,9311	17	5
17,5109	18	12
18,0908	19	11,3
18,6707	20	17,5
19,2506	21	13,1
15,9621	22	17,9
16,5792	23	9,6
Прогноз на будущее
17,1962	24	25,12
17,8133	25	28,25
18,4303	26	-22,12
19,0474	27	49,53
	28	92,10
	29	-175,87

Из таблицы видно, что при t=29 значение урожайности отрицательное, чего не может быть в принципе. Этот факт объясняется тем, что исходный ряд плохо аппроксимируется нормальным распределением.

Проведем расчеты при параметре скольжения 9. Данные приведем в следующей таблице:

t	y	Скользящая сумма	Скользящая средняя	Прирост	Ускорения
1	3,5
2	5,2
3	2,2
4	3,6
5	7,1	48	5,333
6	6,9	49,3	5,478	0,144
7	4,1	51,8	5,756	0,278	0,133
8	5,3	66,4	7,378	1,622	1,344
9	10,1	72,6	8,067	0,689	-0,933
10	4,8	80	8,889	0,822	0,133
11	7,7	86,8	9,644	0,756	-0,067
12	16,8	101,7	11,300	1,656	0,900
13	9,8	101,4	11,267	-0,033	-1,689
14	14,5	103,3	11,478	0,211	0,244
15	13,7	109,8	12,200	0,722	0,511
16	19	119,6	13,289	1,089	0,367
17	5	115,9	12,878	-0,411	-1,500
18	12	124	13,778	0,900	1,311
19	11,3	119,1	13,233	-0,544	-1,444
20	17,5
21	13,1
22	17,9
23	9,6

Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:

y=3.49+1.1t-3.49

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:

t
23	17,8644
24	18,5200
25	19,1756
26	19,8311
27	20,4867
28	21,1422

Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:

Значения скользящих средних, полученные по модели	t	Значения у
	1	3,5
	2	5,2
	3	2,2
	4	3,6
9,9721	5	7,1
10,5981	6	6,9
11,2241	7	4,1
11,8501	8	5,3
12,4761	9	10,1
13,1021	10	4,8
13,7281	11	7,7
14,3541	12	16,8
14,9801	13	9,8
15,6061	14	14,5
16,2321	15	13,7
16,8580	16	19
17,4840	17	5
18,1100	18	12
18,7360	19	11,3
15,2422	20	17,5
15,8978	21	13,1
16,5533	22	17,9
17,2089	23	9,6
Прогноз на будущее
16,6847	24	51,99
16,2773	25	18,31
	26	3,56
	27	9,82
	28	8,38
	29	13,83

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Пусть ряд содержит циклическую составляющую, выраженную некоторой функцией от времени y(t) c известными периодами, нацело делящими n. То есть периоды y(t) задаются числами n/kj, j=1, …, m, где (k1, …,km) – подмножество последовательности целых чисел 1, …, (n-1)/2, если n нечетное. Представим y(t) в виде ряда Фурье – линейной комбинации синусов и косинусов для n нечетного:

Рассмотрим теперь задачу гармонического анализа ряда, состоящую в оценивании параметров a0, ak, bk:

Последовательные значения t определяются 0 с увеличением, равным .

Расчет показателей, необходимых для выравнивания с помощью ряда Фурье, представлен в следующей таблице:

Год	t	y	y cos t	y sin t			y cos 2t	y sin 2t
1	0	3,5	3,5	0	7,765	18,192	3,5	0	8,132	21,456
2	0,273	5,2	5,007	1,403	6,611	1,992	4,443	2,702	6,252	1,107
3	0,546	2,2	1,880	1,143	5,679	12,103	1,012	1,953	4,698	6,242
4	0,820	3,6	2,457	2,631	5,037	2,065	-0,246	3,592	3,721	0,015
5	1,093	7,1	3,266	6,304	4,733	5,602	-4,094	5,800	3,464	13,220
6	1,366	6,9	1,403846	6,756	4,790	4,452	-6,329	2,749	3,938	8,775
7	1,639	4,1	-0,280	4,090	5,203	1,217	-4,062	-0,558	5,016	0,839
8	1,912	5,3	-1,775	4,994	5,942	0,412	-4,111	-3,345	6,474	1,379
9	2,185	10,1	-5,824	8,251	6,952	9,910	-3,382	-9,517	8,049	4,207
10	2,459	4,8	-3,723	3,029	8,158	11,276	0,977	-4,700	9,500	22,090
11	2,732	7,7	-7,06253	3,068	9,471	3,135	5,256	-5,627	10,667	8,803
12	3,005	16,8	-16,644	2,288	10,792	36,090	16,177	-4,533	11,495	28,143
13	3,278	9,8	-9,709	-1,334	12,026	4,953	9,437	2,644	12,030	4,971
14	3,551	14,5	-13,300	-5,777	13,0785	2,021	9,897	10,597	12,383	4,482
15	3,825	13,7	-10,627	-8,646	13,873	0,030	2,787	13,413	12,680	1,040
16	4,098	19	-10,9569	-15,522	14,350	21,618	-6,363	17,903	13,008	35,905
17	4,371	5	-1,674	-4,711	14,475	89,779	-3,879	3,155	13,374	70,119
18	4,644	12	-0,819	-11,972	14,238	5,009	-11,888	1,634	13,698	2,884
19	4,917	11,3	2,299	-11,064	13,657	5,553	-10,364	-4,502	13,836	6,430
20	5,190	17,5	8,051	-15,538	12,774	22,336	-10,092	-14,297	13,620	15,056
21	5,464	13,1	8,941446	-9,574	11,656	2,087	-0,894	-13,069	12,922	0,032
22	5,737	17,9	15,294	-9,301	10,3844	56,485	8,235	-15,893	11,702	38,410
23	6,010	9,6	9,244	-2,590	9,055	0,297	8,202	-4,988	10,041	0,194
n=23	∑	220,7	-21,050	-52,072	220,7	316,615	4,219	-14,886	220,700	295,799

Год	t	y	y cos 3t	y sin 3t		(yi-yi2)
1	0	3,5	3,5	0	6,496	8,976
2	0,273	5,2	3,549	3,800	3,47017	2,992
3	0,546	2,2	-0,150	2,195	2,5366	0,113
4	0,820	3,6	-2,793	2,272	3,55156	0,002
5	1,093	7,1	-7,034	-0,967	5,39523	2,906
6	1,366	6,9	-3,979	-5,637	6,74298	0,025
7	1,639	4,1	0,834	-4,014	6,91425	7,920
8	1,912	5,3	4,528	-2,754	6,26056	0,923
9	2,185	10,1	9,725	2,725	5,85861	17,989
10	2,459	4,8	2,208	4,262	6,72393	3,702
11	2,732	7,7	-2,579	7,255	9,06763	1,870
12	3,005	16,8	-15,409	6,693	12,0877	22,206
13	3,278	9,8	-8,989	-3,904	14,4381	21,512
14	3,551	14,5	-4,856	-13,663	15,0781	0,334
15	3,825	13,7	6,303	-12,164	13,9511	0,063
16	4,098	19	18,295	-5,126	12,0474	48,339
17	4,371	5	4,272	2,598	10,7918	33,545
18	4,644	12	2,441	11,749	11,1343	0,749
19	4,917	11,3	-6,516	9,232	12,9175	2,616
20	5,190	17,5	-17,337	2,383	14,9303	6,603
21	5,464	13,1	-10,162	-8,267	15,6291	6,396
22	5,737	17,9	-1,222	-17,858	14,0876	14,534
23	6,010	9,6	6,553	-7,016	10,5895	0,979
n=23	∑	220,7	-18,815	-26,207	220,7	205,297

Рассчитаем параметры:

a0	a1	b1	a2	b2	a3	b3
9,596	-1,830	-4,528	0,367	-1,294	-1,636	-2,279

Таким образом, получили модели:

— для гармоники первого порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t

— для гармоники второго порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t

— для гармоники третьего порядка =9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t-1.636 cos3t-2.279 sin 3t

Исследуем модель с гармоникой первого порядка

Прогнозные значения

Год	t
24	6,283	7,765199
25	6,556	6,611
26	6,830	5,679
27	7,103	5,037
28	7,376	4,733
29	7,649	4,790

Изучим модель с гармоникой второго порядка

Прогнозные значения

Год	t
24	6,283	8,132054
25	6,556	6,252
26	6,830	4,698
27	7,103	3,721
28	7,376	3,464
29	7,649	3,938

Исследуем модель с гармоникой третьего порядка

Прогнозные значения

Год	t
24	6,283	6,496
25	6,556	3,470
26	6,830	2,537
27	7,103	3,552
28	7,376	5,395
29	7,649	6,743

Выводы

Были рассмотрены четыре метода прогнозирования – аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод скользящих средних, и выравнивание при помощи рядов Фурье. Выберем наиболее подходящий метод, который дает наиболее правдоподобный прогноз.

Выравнивание с помощью рядов Фурье дает сумму квадратов ошибок от 200 до 300 (в зависимости от гармоники). Метод экспоненциального сглаживания дает результат получше: для параболического тренда сумма квадратов ошибок колеблется от 36 до 115 (при сумма квадратов ошибок равна 115; при =0,4 сумма квадратов ошибок 36);Для линейной тенденции сумма квадратов ошибок равна 55. Аналитическое выравнивание МНК дает сумму квадратов ошибок, равную 272. Лучше всего описывает тренд метод скользящих средних с параметром n=3. Он дает сумму квадратов ошибок, равную 63.