ПЛАН

Введение

Глава 1.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

Глава 2.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

ГЛАВА 1

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F(х, у, ..., z; ?,?, ..., ?) =0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами ?,?, ..., ? ;при всякой допустимой системе значений параметров ?0,?0, ..., ?0 уравнение (F) обращается в уравнение

F(х, у, ..., z; ?0,?0, ..., ?0) =0 (F0)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры.
Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; ?,?, ..., ?) =0 (F),

Ф (х, у, ..., z; ?,?, ..., ?) =0 (Ф) с неизвестным х, у,..., z и с параметрами ?,?, ..., ? называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,,z; ?,?, ..., ?)=0 (F) задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(?,?, ..., ?);

у = у(?,?, ..., ?);…. z=z
(?,?, ..., ?). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(?,?, ..., ?), y(?,?, ..., ?),…,z (?,?, ..., ?)?0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров ?
= ?0,?=?0, ..., ?= ?0 соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; ?0,?0, ..., ?0) =0

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ? 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = [pic].

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.

1. При b ? 0 уравнение решений не имеет.

2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

2а(а — 2) х=а — 2. (2)

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а?0, а?2 это деление возможно.
Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A1={0}, А2={2} и Аз= {а?0, а?2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а?0, а?2

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а?0, а?2 из уравнения (2) получаем, х= [pic] откуда х= [pic].
0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число; 3) если а?0, а?2 , то х= [pic]

П р и м е р . Решим уравнение

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (3)

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а? 1 оно квадратное
(в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а?1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого уравнения находим х= - [pic].
2) Из множества значений параметра а? 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения
D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при аао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при аао D>0 уравнение имеет два корня).
Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
[pic] =(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем [pic] = 5а+4.
Из уравнения [pic] =0 находим а= [pic] — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а < [pic], то D 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± [pic]);

2) при а = 0,5 х = 0,5 ;

3) при а 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ?1.

Тригонометрические уравнения.

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos [pic]=2а.
Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a| ?0,5 имеем:

а) [pic]=arccos2a+2?n. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2?n?0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,....

Решением уравнения является х = 1+(2?n+аrссоs2а)2 б) [pic]=-аrссоs2а+?n. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2?n>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2?n-arccos2a)2 .
Ответ: если |a| > 0,5, решений нет; если |a| ?0,5 , х = 1+(2?n+аrссоs2а)2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2?n- arccos2a)2 при n[pic] N.

Пример . Решить уравнение: tg ax2 =[pic]

Решение:. ах2 = [pic]+?n, n[pic] Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а [pic] 0, то х2 = [pic], n[pic] Z

Уравнение имеет решение, если [pic]?0. Выясним, при каких значениях n и а выполняется это условие:

[pic]?0 [pic][pic]

откуда n ? [pic] и а > 0 или n ? [pic] и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± [pic], если

1) а > 0 и n = 1,2,3,… или

2) а < 0 и n[pic] Z.

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n[pic] Z х = ± [pic].

Пример. Решите уравнение: а sin bx = 1

Решение: Особое значение параметра а : а = 0.

1. При а = 0 решений нет.

2. При а [pic]0 sin bx = [pic]. Имеем 2 случая:

2.1. Если [pic] > 1, то решений нет.

2.2. Если [pic] ? 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b [pic]0, то х =
[pic]
Ответ: при а = 0 или [pic] > 1 и а [pic]0 или а [pic]0 b = 0 решений нет; при а [pic]0 и [pic] ? 1 и b [pic]0 х = [pic]

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b ?(х) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и ? (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

2) При а = 1, b ? 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения ?(х) = 0 на области допустимых значений D.

3) При а ? 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

4) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = ?(х) на области D.

5) При а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) уравнение (*) тождественно уравнению log c a f(x) = log c b ?(x) (c > 0, c ? 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х [pic] R, а > 0, b >0.

1) При а ? 0, b ? 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х [pic] R.

3) При а = 1, b ? 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 [pic] х =
3.

4) При а ? 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 [pic] х
= -1.

5) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) имеем: х + 1 =3 – х
[pic] х = 1.

6) При а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

[pic], х + 1 = ( 3 – х ) log a b , [pic]

Ответ: при а ? 0, b ? 0 уравнение не имеет смысла; при а = b = 1, х [pic] R; при а = 1, b ? 1 х = 3. при а ? 1, b = 1 х = -1 при а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) х = 1 при а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) [pic]

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log [pic][pic](1 + х) = 3 log а [pic] - log
[pic][pic]( х 2 – 1 )2

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ? 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения: log а а2 + log [pic][pic]( х2 - 1) = log а ([pic])3 + log a[pic][pic],

log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (([pic])3 [pic]),

а2 (х2 - 1) = (х - 1) [pic],

а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) [pic]

Так как х ? -1 и х ? 1, сократим обе части уравнения на
(х - 1) [pic] а2 [pic]= [pic]

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 [pic] а4 х + а4 = х – 1[pic] х( 1 - а4 ) = а4 + 1

Так как а ? -1 и а ? 1, то [pic]

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть [pic]

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

[pic], [pic]

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а < 1.

Итак, при 0 1, значит при 0

Ответ: при а ? 0, а = 1 уравнение не имеет смысла; при а > 1 решений нет; при 0

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:

1) При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие № 4.

Вариант I.

1. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k[pic]=-2 [pic]; б) при k[pic]-2 корней нет; при k=-2 [pic]; в) при k=-2 корней нет; при k[pic]=-2 и k[pic]=0,25 [pic].

2. Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х [pic]R ; при а=0 корней нет; при а[pic]0 и а[pic]2

[pic]; б) при а=2 х [pic]R ; при а=0 корней нет; при а[pic]0 и а[pic]2

[pic]; в) при а=2 х [pic]R ; при а=0 корней нет; при а[pic]0 и а[pic]2

[pic].

3. При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.

а) b1 ; в) b=1

4. При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

5. При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

6. Решите относительно х уравнение [pic]

а)при b[pic]+1, b[pic][pic] [pic]; при b=[pic] реш.нет; при b=±1 нет смысла; б)при b[pic][pic] [pic]; при b=[pic] реш.нет; при b=±1 нет смысла; в)при b=[pic] [pic]; при b=±1 нет смысла.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение [pic]

а) а? 3 ; б) а=4 ; в) а? 0

8. При каких значениях а уравнение [pic] имеет 2 корня?

а) –0,25?а? 0 ; б) –0,25 0, а[pic]1 х = 2; при а ? 0 не имеет смысла.

5. При каких значениях параметра уравнение 4х – а2 х+1 – 3а2 + 4а =

0 имеет единственное решение?

а) 2; б) 1 ; в) -1.

6. Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.

а) при а ? 1 х = 0,5( 2+ [pic]) ; при а =100 х = 1. б) при а > 100 реш. нет; при 1 0, а[pic]1

а) а ; [pic] ; б) а2 ; - [pic] ; в ) а2 ; [pic]
Вариант II.

1. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b| ? 1 х = [pic]; при |b| > 1 реш.нет; б) при |b| ? 1 и b=0 х = [pic]; при |b| > 1 реш.нет;

в) при |b| > 1 х = [pic]; при |b| < 1 реш.нет;

2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.

а) a [pic] ( 2 ; 6 ) ; б) а [pic] ( 2 ; 4 ] ; в) а[pic]

[ 2 ; 6 ].

3. При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни?

а) a [pic] [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [pic] [ 0,25 ; 1 ] ; в) а[pic] [ - 0,25; 1 ].

4. Решите уравнение [pic]

а) при а ? 0 х [pic]R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла. б) при а = 1 х [pic]R ; при а > 0, а[pic]1 х = 1; при а ? 0 не имеет смысла. в) при а > 0х [pic]R ; при а = 1 , х = 1; при а ? 0 не имеет смысла.

5. При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.

6. Решите уравнение 3 lg (x – а) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.

а) х = а + 1000, х = а + 3?10 ; б) х = а - 3?10 , х = а –1000 ; в) х = а - 3?10 , х = а + 1000 .

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень [pic] а) 4 ; б) -4 ; в) - 2 .

8. Решите уравнение [pic] а > 0, а[pic]1

а) -1 ; а ; б) 1 ; - а; в ) 1 ; а

Заключение.

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Литература.

1. С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962.

2. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.

3. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001;

№4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.