Рефетека.ру / Математика

Реферат: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Москва, 2003

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x),     (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)              (1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) или Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)ÈРешение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Если а Î Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), получаем

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Если а Î Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)ÈРешение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);

Если а Î Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);

Если а Î Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и рассмотрев пару функций                              Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).  

В системе координат хОу построим график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)). Для этого можно представить её в виде Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Поскольку график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Поэтому находим производную Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 

Ответ: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 

Множеством точек плоскости Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)     и     Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Случай касания “полупараболы” с прямой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) определим из условия существования единственного решения системы

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

В этом случае уравнение

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

имеет один корень, откуда находим :

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Следовательно, исходная система не имеет решений при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) или Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥;-3] È(Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);+¥).

IV. Решить уравнение

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)    

Решение.

Использовав равенство Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), заданное уравнение перепишем в виде

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Это уравнение равносильно системе

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Уравнение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) перепишем в виде

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).       (*)      

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Из графика следует, что при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики функций совпадают и, следовательно, все значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) являются решениями уравнения (*).

При Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Таким образом, при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) уравнение (*) имеет единственное решение - Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Пусть Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), тогда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Система примет вид

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , можно заключить, что при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) . Система неравенств примет вид

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , где а - параметр.     (5)

Решение.

При любом а : Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Строим график функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , выделяем ту его часть , которая соответствует Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Затем отметим ту часть графика функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , которая соответствует Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа);

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то решений нет;

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), при которых системы

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)         (1)

и

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)        (2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) имеет смысл только при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), получаем после преобразований систему

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)             (3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)    (4)   

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 

Поскольку Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) окружность касается прямой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система (4) имеет четыре решения, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), и больше четырех решений, если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , иметь общие точки с гиперболой Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) (прямая Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)).

Для решения этого рассмотрим уравнение

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа),

которое удобнее переписать в виде

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), т.е. если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система (3) имеет два решения;

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система (3) имеет три решения;

если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Ответ: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),     (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и  (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x)   (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

данное неравенство равносильно системе неравенств

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Если Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), то решения исходного неравенства заполняют отрезок Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Ответ: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)        (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), а значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) находятся из системы

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

а значения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) и Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) находятся из системы

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решая эти системы, получаем, что

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Ответ: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

III. Решить неравенство Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) на Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Находим область допустимых значений – Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Построим график функции в системе координат хОу.

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) неравенство решений не имеет.

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) для Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решение х удовлетворяет соотношению Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Ответ: Решения неравенства существуют при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа), где Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) , причем при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа); при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) решения Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) .

IV. Решить неравенство

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)           Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Разложим числитель на множители.

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

т. к. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) то

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Разделим обе части равенства на Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа). Но Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа).

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

3. Строим в ПСК хОа графики функций

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) 

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

? точка

неравенство: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

вывод
1

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

-
2

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

+
3

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

-
4

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

+
5

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

-
6

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

+
7

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

-
8

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

+
9

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

-

5. Найдем точки пересечения графиков

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

Ответ.

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)                                                                 Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)                                                                 Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)                                                     Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)                                                решений нет

при Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)                                                 Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Похожие работы:

  1. • Графическое решение уравнений, неравенств, систем с ...
  2. • Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему ...
  3. •  ... и неравенства в курсе алгебры и начал анализа
  4. • Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
  5. • Методы решения уравнений, содержащих параметр
  6. • Решение уравнений и неравенств с использованием ...
  7. • Решение уравнений с параметрами
  8. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  9. • Методика изучения неравенств
  10. • Применение алгоритмического метода при изучении ...
  11. • Решение уравнений, неравенств и их систем
  12. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  13. • Показательно-степенные уравнения и неравенства
  14. • Уравнения и неравенства с модулем на ...
  15. • Уравнения с параметрами
  16. • Современный урок математики, требования к нему
  17. • Тождественные преобразования показательных и логарифмических ...
  18. • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
  19. •  ... функции" в курсе алгебры и начал анализа
Рефетека ру refoteka@gmail.com