Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.

IV. Список литературы.

V. Приложения.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению.
В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

(1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x), (1) где a, b, c, …, (, x -переменные величины.

Любая система значений переменных а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, (, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, ( и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, (, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

(2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=((х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции а=((х).Если прямая а=с пересекает график а=((х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=((х) относительно х.
Записываем ответ.

(3. Примеры

I. Решить уравнение

[pic] (1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

[pic] или [pic]

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а ( (-(;-1]((1;+()([pic] , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения [pic] относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение [pic].

Если а ( [pic], то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений [pic] и [pic], получаем

[pic][pic] и [pic].

Если а ( [pic] , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:
Если а ( (-(;-1]((1;+()([pic], то [pic];
Если а ( [pic], то [pic][pic] , [pic];
Если а ( [pic] , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение [pic] имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде [pic] и рассмотрев пару функций

[pic] , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции [pic], при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции [pic].

В системе координат хОу построим график функции [pic]). Для этого можно представить её в виде [pic] и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

[pic]

Поскольку график функции [pic] – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный [pic] , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции [pic]. Поэтому находим производную [pic]

Ответ: [pic].

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

[pic] имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим [pic] при [pic] Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы [pic]
“скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
[pic]

Множеством точек плоскости [pic], удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

[pic] и [pic]

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается прямой [pic]), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то [pic].

Случай касания “полупараболы” с прямой [pic] определим из условия существования единственного решения системы

[pic]
В этом случае уравнение

[pic] имеет один корень, откуда находим :

[pic]

Следовательно, исходная система не имеет решений при [pic], а при
[pic] или [pic] имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а ( (-(;-3] (([pic];+().

IV. Решить уравнение

[pic]

Решение.

Использовав равенство [pic], заданное уравнение перепишем в виде

[pic]

Это уравнение равносильно системе

[pic]

Уравнение [pic] перепишем в виде

[pic]. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций [pic] и [pic] Из графика следует, что при [pic] графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если [pic], то при [pic] графики функций совпадают и, следовательно, все значения [pic] являются решениями уравнения (*).

При [pic] графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой [pic].
Таким образом, при [pic] уравнение (*) имеет единственное решение - [pic].

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям

[pic]

Пусть [pic], тогда [pic]. Система примет вид

[pic]

Её решением будет промежуток х( (1;5). Учитывая, что [pic] , можно заключить, что при [pic] исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда [pic] . Система неравенств примет вид

[pic]

Решив эту систему, найдем а( (-1;7). Но [pic], поэтому при а( (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение [pic].

Ответ: если а( (-(;3), то решений нет; если а=3, то х( [3;5); если a( (3;7), то [pic]; если a( [7;((), то решений нет.

V. Решить уравнение

[pic] , где а - параметр. (5)

Решение.

1. При любом а : [pic]

2. Если [pic], то [pic]; если [pic], то [pic].
3. Строим график функции [pic] , выделяем ту его часть , которая соответствует [pic]. Затем отметим ту часть графика функции [pic] , которая соответствует [pic].

4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ: если [pic], то [pic] [pic] если [pic], то [pic]; если [pic], то решений нет; если [pic], то [pic], [pic].

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров [pic] и
[pic], при которых системы

[pic] (1) и

[pic] (2) имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что [pic] имеет смысл только при [pic], получаем после преобразований систему

[pic] (3) равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

[pic] (4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом [pic]

Поскольку [pic], а [pic], то [pic], и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При [pic] окружность касается прямой [pic] и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если [pic], то система (4) имеет четыре решения, если
[pic], то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда [pic], и больше четырех решений, если [pic].

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением [pic] , иметь общие точки с гиперболой [pic] при [pic]
(прямая [pic] всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции
[pic]).

Для решения этого рассмотрим уравнение

[pic], которое удобнее переписать в виде

[pic]

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения: если [pic], т.е. если [pic], то система (3) имеет два решения; если [pic], то система (3) имеет три решения; если [pic], то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда [pic].

Ответ: [pic]

II. Неравенства с параметрами.

(1. Основные определения

Неравенство

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x), (1) где a, b, c, …, ( – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

((a, b, c, …, (, x) и

((a, b, c, …, (, x имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

[pic]называется допустимым значением х, если

((a, b, c, …, (, x) и

((a, b, c, …, (, x принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0) верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) и (1)

((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) (2) называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

(2. Алгоритм решения.

1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
1. найдём абсциссы точек пересечения графиков.
2. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -( до+(
7. Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

(3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

[pic]

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

[pic] данное неравенство равносильно системе неравенств

[pic]

Если [pic], то решения исходного неравенства заполняют отрезок [pic].

Ответ: [pic], [pic].

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

[pic]

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

[pic] (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

[pic] сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где [pic], а значения [pic] и [pic] находятся из системы

[pic] а значения [pic] и [pic] находятся из системы

[pic]

Решая эти системы, получаем, что

[pic]

Ответ: [pic]

III. Решить неравенство [pic] на [pic] в зависимости от значений параметра а.

Решение.
Находим область допустимых значений – [pic]
Построим график функции в системе координат хОу.
1. при [pic] неравенство решений не имеет.
2. при [pic] для [pic] решение х удовлетворяет соотношению [pic], где

[pic]

Ответ: Решения неравенства существуют при [pic]

[pic], где [pic] , причем при [pic] решения [pic]; при [pic] решения
[pic] .

IV. Решить неравенство

[pic]

Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

[pic] [pic]

[pic]
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

[pic]

Разложим числитель на множители.

[pic] т. к. [pic] то

[pic]

Разделим обе части равенства на [pic] при [pic]. Но [pic] является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при [pic].

[pic]

[pic]

[pic]

3. Строим в ПСК хОа графики функций

[pic] и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.
|( |точка |неравенство: [pic] |вывод |
|1 |[pic] |[pic] |- |
|2 |[pic] |[pic] |+ |
|3 |[pic] |[pic] |- |
|4 |[pic] |[pic] |+ |
|5 |[pic] |[pic] |- |
|6 |[pic] |[pic] |+ |
|7 |[pic] |[pic] |- |
|8 |[pic] |[pic] |+ |
|9 |[pic] |[pic] |- |

5. Найдем точки пересечения графиков

[pic]

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -( до +(.

Ответ. при [pic] [pic] при [pic] [pic] при [pic] [pic] при [pic] решений нет при [pic] [pic]

Литература

1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа -

Пресс”. Москва 1996 г.
1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск

1995 г.
1. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”.

Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
1. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство

“Айрис”. Москва 1996 г.
1. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.

Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
1. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство

“Асар”. Минск 1996 г.