Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр

Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью

«Шаги в науку»

Научное общество учащихся «Поиск»

Муниципального образовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»

Научное направление: «Математика»


Уравнения, содержащие параметр


Соколова Александра Михайловна

ученица 10 класса МОУ

«СОШ №86 г.Омска»

Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,

учитель математики


Омск 2011

Содержание


Введение

1. Знакомство с параметрами

1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

1.2 Решение линейных уравнений с модулем

1.3 Решение квадратных уравнений

2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С

Заключение


Введение


В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.

Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.

Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.

2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.

3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.

В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:

1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

2) решение линейных уравнений с модулем;

3) решение квадратных уравнений.


уравнение параметр неизвестное модуль

1. Знакомство с параметрами


Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым. Уравнения, содержащие параметр

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения Уравнения, содержащие параметр переходят к у равнению Уравнения, содержащие параметр; при m=Уравнения, содержащие параметрзаписывают единственное решение Уравнения, содержащие параметр. Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.

Пример 1. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр.

Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:

a=1, тогда уравнение принимает вид Уравнения, содержащие параметр и не имеет решений;

при а=-1 получаем Уравнения, содержащие параметри, очевидно, х любое;

при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Пример 2. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр

Очевидно, что Уравнения, содержащие параметр, а Уравнения, содержащие параметр, то есть х=b/2, но Уравнения, содержащие параметр, то есть 2Уравнения, содержащие параметрb/2, bУравнения, содержащие параметр4.

Ответ: при bУравнения, содержащие параметр4 х=b/2; при b=4 нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение Уравнения, содержащие параметр имеет единственное решение?

Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же аУравнения, содержащие параметр2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, а=1, а=6.

Ответ: при а=2, а=1, а=6.


1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным


Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрПри Уравнения, содержащие параметр уравнение имеет единственное решение Уравнения, содержащие параметр, которое будет: положительным, если Уравнения, содержащие параметр или Уравнения, содержащие параметр; нулевым, если Уравнения, содержащие параметр; отрицательным, если Уравнения, содержащие параметр или Уравнения, содержащие параметр.

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при bУравнения, содержащие параметр0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение Уравнения, содержащие параметр; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при хУравнения, содержащие параметр-1 и хУравнения, содержащие параметр0 сводится к таковому: Уравнения, содержащие параметр или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (хУравнения, содержащие параметр-1 и хУравнения, содержащие параметр0), выявим теперь допустимые значения параметра а:


а-1-х=0 Уравнения, содержащие параметр а=х+1


Из этого видно, что при хУравнения, содержащие параметр0 аУравнения, содержащие параметр1, а при хУравнения, содержащие параметр-1 аУравнения, содержащие параметр0.

Таким образом, при аУравнения, содержащие параметр1 и аУравнения, содержащие параметр0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а<0 х=а-1; при Уравнения, содержащие параметр решений нет, а при a>1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Приведём уравнение к простейшему виду:

9х-3k=kx-12

(9 – k)x =3k-12 (2)


Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) Уравнения, содержащие параметр, получим:


Уравнения, содержащие параметр.


Если подставим Уравнения, содержащие параметр, то получим так же Уравнения, содержащие параметр.

Таким образом, при Уравнения, содержащие параметр уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. Уравнения, содержащие параметр - это недопустимые значения параметра k для (1). При Уравнения, содержащие параметр мы можем решать только уравнение (2).

Если Уравнения, содержащие параметр, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение Уравнения, содержащие параметр, которое будет:

а) положительным, если Уравнения, содержащие параметр, при 4<k<9, с учётом Уравнения, содержащие параметр: Уравнения, содержащие параметр;

б) нулевым, если Уравнения, содержащие параметр;

в) отрицательным, если Уравнения, содержащие параметр и k>9 с учётом


Уравнения, содержащие параметр, получаем Уравнения, содержащие параметр.


Если Уравнения, содержащие параметр, то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) Уравнения, содержащие параметр при Уравнения, содержащие параметр и Уравнения, содержащие параметр, причём х>0 для Уравнения, содержащие параметр; x=0 при k=4; x<0 при Уравнения, содержащие параметр;

б) при Уравнения, содержащие параметруравнение не имеет решений.

1.2 Решение линейных уравнений с модулем


Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|Уравнения, содержащие параметр, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:


aУравнения, содержащие параметр;

4Уравнения, содержащие параметр.


1. Первый интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр;


Второй интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр, т.е. если а<4, то Уравнения, содержащие параметр.


Третий интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр а=4, т.е. если а=4, то Уравнения, содержащие параметр.


2. Первый интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр а=4, Уравнения, содержащие параметр.


Уравнения, содержащие параметрВторой интервал:


Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр a>4,т.е. если 4<а, то Уравнения, содержащие параметр


Третий интервал:


Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 Уравнения, содержащие параметр.

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) Уравнения, содержащие параметр, 2) Уравнения, содержащие параметр, 3) Уравнения, содержащие параметр и решим исходное уравнение на каждом промежутке.


1. Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр.


При а=1 уравнение не имеет решений, но при аУравнения, содержащие параметр1 уравнение имеет корень Уравнения, содержащие параметр. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр. Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень Уравнения, содержащие параметр при Уравнения, содержащие параметр, а на остальных а корней не имеет.


2. Уравнения, содержащие параметр. Уравнения, содержащие параметр.


При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке Уравнения, содержащие параметр. Если аУравнения, содержащие параметр1, то уравнение имеет один корень х=1.


3. Уравнения, содержащие параметр. Уравнения, содержащие параметр.


При а=1 решением является любое число, но мы решаем на Уравнения, содержащие параметр. Если аУравнения, содержащие параметр1, то х=1.

Ответ: при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр; при а= – 1 Уравнения, содержащие параметр и при аУравнения, содержащие параметр1 х=1; при а=1 Уравнения, содержащие параметр и при аУравнения, содержащие параметр1 х=1.


1.3 Решение квадратных уравнений с параметром


Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида Уравнения, содержащие параметр, где а, b и с – числа, причем, аУравнения, содержащие параметр0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения Уравнения, содержащие параметр:

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение Уравнения, содержащие параметр: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому аУравнения, содержащие параметр-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:


Уравнения, содержащие параметр


При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при аУравнения, содержащие параметр0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня Уравнения, содержащие параметр=-1.

При a<1, но аУравнения, содержащие параметр0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня


Уравнения, содержащие параметр ; Уравнения, содержащие параметр.


Ответ: Уравнения, содержащие параметр и Уравнения, содержащие параметр при a<1, но аУравнения, содержащие параметр0; х=-0.5 при а=0; Уравнения, содержащие параметр=-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения Уравнения, содержащие параметр таковы, что Уравнения, содержащие параметр. Найдите а.

По теореме Виета Уравнения, содержащие параметр и Уравнения, содержащие параметр. Возведём обе части первого равенства в квадрат: Уравнения, содержащие параметр. Учитывая, что Уравнения, содержащие параметр, а Уравнения, содержащие параметр, получаем: Уравнения, содержащие параметр или Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр. Проверка показывает, что все значения Уравнения, содержащие параметр удовлетворяют условию.

Ответ: Уравнения, содержащие параметр


2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С


Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.

Определить значения k, при которых корни уравнения Уравнения, содержащие параметр положительны.

Сразу можно выделить, что Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, из этого следует, что при Уравнения, содержащие параметр уравнение не имеет смысла.


Уравнения, содержащие параметр


В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:


Уравнения, содержащие параметр

Итак, мы выяснили, что Уравнения, содержащие параметр.

Выразим х: Уравнения, содержащие параметр. Х будет больше нуля, если Уравнения, содержащие параметр.


Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр


Учитывая, что Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр. Ответ: Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр.

2. При каких значениях а уравнение Уравнения, содержащие параметр имеет равные корни?

Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:


Уравнения, содержащие параметр


Ответ: при а=2 и а=2/35.

3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.


х+3=0 2) х+4=0

х= – 3 х= – 4 .

х+3 – – +

Уравнения, содержащие параметр

х+4 – -4 + -3 +


Рассмотрим 3 промежутка.


1. Уравнения, содержащие параметр

а(-(х+3)+2(-(х+4)=2

-ах – 3а –2х – 8=2

х(- а – 2)=10+3а (при аУравнения, содержащие параметр- 2)

Уравнения, содержащие параметр.


Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток Уравнения, содержащие параметр.


Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр


Следовательно, на промежутке Уравнения, содержащие параметр уравнение имеет единственный корень Уравнения, содержащие параметр при Уравнения, содержащие параметр.

2. Уравнения, содержащие параметр.

Уравнения, содержащие параметр


=> При аУравнения, содержащие параметр2 х= -3

При а=2 Уравнения, содержащие параметр.

3. Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр


=> При аУравнения, содержащие параметр -2 х= -3

При а= -2 Уравнения, содержащие параметр.

Ответ: 1. при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр

2. при аУравнения, содержащие параметр2 х= -3

при а=2 Уравнения, содержащие параметр.

3. при аУравнения, содержащие параметр -2 х= -3

при а= -2 Уравнения, содержащие параметр.


Заключение


Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.

Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.

Похожие работы:

  1. • Методы решения уравнений, содержащих параметр
  2. • Уравнения с параметрами
  3. • Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
  4. • Графическое решение уравнений, неравенств, систем с ...
  5. • Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и ...
  6. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  7. • Уравнения и неравенства с ...
  8. • Решение уравнений с параметрами
  9. •  ... класса на тему "Квадратные уравнения и неравенства с ...
  10. • Асимптотика решений дифференциальных уравнений
  11. •  ... подобия и моделирования с привлечением физических уравнений
  12. • Вывод уравнения Шредингера
  13. • Кинетическое уравнение Больцмана
  14. • Кинетическое уравнение Больцмана.
  15. • Применение тригонометрической подстановки для ...
  16. • Шпоры по эконометрике
  17. • Моделирование парожидкостного равновесия реакционной ...
  18. • Устойчивость упругих систем
  19. • Квантовая теория
Рефетека ру refoteka@gmail.com