Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Показательно-степенные уравнения и неравенства

белгородский государственный университет


КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии


Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.


Дипломная работа студента физико-математического факультета


Научный руководитель:


______________________________

Рецензент : _______________________________

________________________


Белгород. 2006 г.

Содержание.


Введение 3

Тема I.

Анализ литературы по теме исследования.

Тема II.

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

I.1.

Степенная функция и ее свойства.

I.2.

Показательная функция и ее свойства.

Тема III.

Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Тема IV.

Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Тема V.

Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

V.1.

Обучающий материал.

V.2.

Задачи для самостоятельного решения.

Заключение.

Выводы и предложения.

Список используемой литературы.


Приложения


Введение.


«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.


В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со­стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попы­таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ­ляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи­терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходи­мостью — и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

Проанализировать литературу по данной теме.

Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Введение.

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

Обучающий материал.

Задачи для самостоятельного решения.

Заключение. Выводы и предложения.

Список использованной литературы.

В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».

В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.

В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.

В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.

В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.


Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.


II.1. Степенная функция и ее свойства.


Показательно-степенные уравнения и неравенстваСтепенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хn, где n натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

y = kx — нечетная функция (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).

Показательно-степенные уравнения и неравенства3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.


Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:

Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.

Область определения функции — вся числовая прямая.

у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).

На промежутке [0; + οο) функция возрастает.

В самом деле, если Показательно-степенные уравнения и неравенства, то Показательно-степенные уравнения и неравенства, а это и означает возрастание функции.

4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В самом доле, если Показательно-степенные уравнения и неравенства,то — х1 > — х2 > 0, а потому

(—х1)2> ( — х2)2, т. е. Показательно-степенные уравнения и неравенства , а это и означает убывание функции.

Показательно-степенные уравнения и неравенстваГрафиком функции y2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.


Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х3, ее свойства:

Область определения функции — вся числовая прямая.

y = х3 — нечетная функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).

Показательно-степенные уравнения и неравенства3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.


Рис. II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функ­ции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при Показательно-степенные уравнения и неравенстватем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х-n или у =Показательно-степенные уравнения и неравенства Свойства этой функции:

Показательно-степенные уравнения и неравенстваГрафик (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у =Показательно-степенные уравнения и неравенства График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает

Рис. II.4.

график функции у =Показательно-степенные уравнения и неравенства. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Функция определена при всех хПоказательно-степенные уравнения и неравенства0.

y = Показательно-степенные уравнения и неравенствачетная функция.

y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.

График функции у = Показательно-степенные уравнения и неравенства изображен на рисунке. Ана­логичный вид имеет график функции Показательно-степенные уравнения и неравенства, если n = 4, 6, ... .

Функции вида Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства обладают теми же свойствами, как и функция Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

Область определения — луч [0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Функция у = хr возрастает на [0; +оо).

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Рис. II.5.

На рисунке II.5. изображен график функции Показательно-степенные уравнения и неравенстваОн заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где Показательно-степенные уравнения и неравенства.

На том же рисунке изображен график функции Показательно-степенные уравнения и неравенства. Подоб­ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Степенная функция с отрицательным дробным пока­зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

Область определения — промежуток (0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Функция у = х-r убывает на (0; +оо).

Построим для примера график функции у — хПоказательно-степенные уравнения и неравенства таблицу значений функции:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваНанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).

Подобный вид имеет график любой функции

у = хr, где r — отрицательная дробь.


Рис. II.6.


II. 2. Показательная функция и ее свойства.


Показательно-степенные уравнения и неравенстваФункция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель­ной.

Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.7.):

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;


Рис. II.7.

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если x > 0, то аx > 1;

е) если х < 0, то 0 < ах < 1.

3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.8.):

Показательно-степенные уравнения и неравенстваа) область определения D(f)=R;

б) множество значений E(f)=R+;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0 < ах < 1;

е) если х < 0, то ах > 1.

Рис. II.8.


Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.


Так называются уравнения вида Показательно-степенные уравнения и неравенства, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида Показательно-степенные уравнения и неравенства. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения Показательно-степенные уравнения и неравенства будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от Показательно-степенные уравнения и неравенствак f(x) = g(x) (при Показательно-степенные уравнения и неравенстваи Показательно-степенные уравнения и неравенства могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения Показательно-степенные уравнения и неравенства рассматриваем случаи:

а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

При Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.


Пример №1.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.

x – 3 = 1, x2 = 4.

x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.

x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.


Пример №2.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

x – 1 = 0 или x = 1, Показательно-степенные уравнения и неравенства = 0, 00 это не решение.

x – 1 = 1 x 1 = 2.

x – 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

Показательно-степенные уравнения и неравенства = Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.

Ответ: 2.


Пример №3.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства ≠ 0 т.е. Показательно-степенные уравнения и неравенства. Тогда можем записать:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства = 1. Показательно-степенные уравнения и неравенства = 0

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

4) Показательно-степенные уравнения и неравенства = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 Показательно-степенные уравнения и неравенства = -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.

5) Показательно-степенные уравнения и неравенства ≠ 0 и Показательно-степенные уравнения и неравенства ≠ ±1 имеем Показательно-степенные уравнения и неравенства = 0, Показательно-степенные уравнения и неравенства = -1 или

Показательно-степенные уравнения и неравенства = 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.


Пример №4.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

При Показательно-степенные уравнения и неравенстварешений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

при Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, (-1)0 = (-1)0 это решение.

Показательно-степенные уравнения и неравенства.

4) Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

При Показательно-степенные уравнения и неравенства (-4)0 = 1 – верно. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: -1, 2, 4.


Пример №5.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства это не решение.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) отрицательных значений основание не имеет. При Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства,

х = 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.


Пример №6

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) отрицательных значений Показательно-степенные уравнения и неравенства не имеет.

4) При Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, т.к. Показательно-степенные уравнения и неравенства, то Показательно-степенные уравнения и неравенства. Проверка 20 = 1 – верно. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: -1, 1, 2.


Пример №7

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства. Это решение Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.

4) Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, 4-3 = 4-3 – верно. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: -4, -3, -2, 1


Пример №8

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Все решения принадлежат уравнению Показательно-степенные уравнения и неравенства=2.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства. Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.


Пример №9

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенстваОДЗ, Показательно-степенные уравнения и неравенстваОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении Показательно-степенные уравнения и неравенства= 0, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Проверка: Показательно-степенные уравнения и неравенства, 20 = 1 – верно.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

Ответ: 0, 3/2.


Пример №10

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства. Все решения принадлежат уравнению Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Второе решение не подходит, т.к Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства. А Показательно-степенные уравнения и неравенства является решением Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, 2, 4.


Пример №11

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства это решение Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - четное, Показательно-степенные уравнения и неравенства - нечетное. Это является решением.

4) Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Проверка: Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

Но Показательно-степенные уравнения и неравенства не является корнем!

Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство Показательно-степенные уравнения и неравенства= Показательно-степенные уравнения и неравенства только для Показательно-степенные уравнения и неравенства. Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.

Ответ: -4, -2, -1.


Пример №12

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства. Значит 0,1 и -1 отпадают.

Показательно-степенные уравнения и неравенства и все решения содержатся в уравнении.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 5.


Пример №13

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства. Это решение Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) отрицательных значений Показательно-степенные уравнения и неравенства не имеет.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства все решения в уравнении Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: -1, 2, 3, 4.


Пример №14

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

При Показательно-степенные уравнения и неравенства решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенстваи Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства- решение, а Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства для всех Показательно-степенные уравнения и неравенства. При Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства все решения содержатся в уравнении Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства. При Показательно-степенные уравнения и неравенства , Показательно-степенные уравнения и неравенства.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: 4, 5.


Пример №15.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

используя свойства логарифма Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенстваполучили:

Показательно-степенные уравнения и неравенства= Показательно-степенные уравнения и неравенства

В первой части уравнения выполнили преобразования

Показательно-степенные уравнения и неравенства. Получили уравнение Показательно-степенные уравнения и неравенства. Все решения содержатся в уравнении.

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 2.


Пример №16

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, где Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пасть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства.

Следовательно; Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.


Пример №17

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

Выполним преобразования.

Показательно-степенные уравнения и неравенства+Показательно-степенные уравнения и неравенства= 2+2

Показательно-степенные уравнения и неравенства+Показательно-степенные уравнения и неравенства= 4

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, а Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Следовательно, Показательно-степенные уравнения и неравенства или

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

2*2t = 4 Показательно-степенные уравнения и неравенства

2t = 4/2 Показательно-степенные уравнения и неравенства

2t = 2

t = 1


Ответ: 2.


Пример №18

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства

Прологарифмируем обе части равенства:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, где Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Умножим обе части уравнения на 2.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 0.1, 10.


Пример №19

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Обратите внимание Показательно-степенные уравнения и неравенства ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что Показательно-степенные уравнения и неравенстваможет быть отрицательным!

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

Ответ: -3, 3.


Пример №20

Показательно-степенные уравнения и неравенства

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Прологарифмируем по основанию 10.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 0.01, 100.


Пример №21

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Прологарифмируем по основанию 10.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, где Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда:

Показательно-степенные уравнения и неравенства умножим на 4

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 0,0001, 10.


Пример №22

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Заменим: Показательно-степенные уравнения и неравенства, получим:

Показательно-степенные уравнения и неравенства, где Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Решаем уравнение: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: 0,1, 1, 10.


Пример №23

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства \ : Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Подставим во второе уравнение вместо Показательно-степенные уравнения и неравенства число 5, получим:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

составляем систему уравнений:

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства


Ответ: (13;8)


Пример №24

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: 5.


Пример №25

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим:

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Обозначив Показательно-степенные уравнения и неравенства, перепишем записанное уравнение в виде:

Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Решая его относительно Показательно-степенные уравнения и неравенства, находим Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Используя обозначения Показательно-степенные уравнения и неравенства, из первого решения квадратного уравнения имеем Показательно-степенные уравнения и неравенства. Отсюда Показательно-степенные уравнения и неравенства. Используя решение Показательно-степенные уравнения и неравенства, получаем Показательно-степенные уравнения и неравенства. Преобразуем правую часть этого уравнения:

Показательно-степенные уравнения и неравенства. Значит, Показательно-степенные уравнения и неравенства, т.е. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: 30, 100.


Пример №26

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Так как Показательно-степенные уравнения и неравенства, то при Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства имеем равносильное уравнение:

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 5.


Пример № 27

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства 2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: 0.1, 100.


Пример №28

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства, поэтому

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, 3.

Пример №29

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства= 1, Показательно-степенные уравнения и неравенства=1, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или

Показательно-степенные уравнения и неравенства=-1, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства (т.к. Показательно-степенные уравнения и неравенства)

При Показательно-степенные уравнения и неравенства все решения принадлежат уравнению Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства= 0, что не удовлетворяет уравнению Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.


Пример №30

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

ОДЗ: Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства= Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Так как Показательно-степенные уравнения и неравенства, то остальные решения получаем из уравнения Показательно-степенные уравнения и неравенства: Отсюда Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства. Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства, -Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства.


Пример №31

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства. Это решение. Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

3) Так как Показательно-степенные уравнения и неравенства, то Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства. Это решение.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства; 5; 3; 4.


Пример №32

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Показательно-степенные уравнения и неравенства при всех Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - решений нет.

2)Показательно-степенные уравнения и неравенства. Потому при Показательно-степенные уравнения и неравенства левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства ;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

Показательно-степенные уравнения и неравенства - решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

У функции Показательно-степенные уравнения и неравенства Д(y): x > 0 и log2 x > 0, т.е.,

x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь: Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда Показательно-степенные уравнения и неравенства (определение логарифма: Показательно-степенные уравнения и неравенства).

Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

Показательно-степенные уравнения и неравенства

у


Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства


Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства 2

1

Показательно-степенные уравнения и неравенства

0 1 4 х

Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).


Пример №34

Решить систему уравнений:

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

По определению логарифма имеем:

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства .

Из второго уравнения системы выразим у через х:

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства

Тогда: Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства 2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Д = (-3)2 – 4*1*(-4) = 25 пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства Д = (-1)2 – 4*3*4 = -47<0

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства корней нет

(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).


Пример №35

Решите систему уравнений:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

По определению логарифма имеем:

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Основание логарифма может быть:

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства (дробное)

Показательно-степенные уравнения и неравенства

(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Выполним преобразования:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Пусть Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда Показательно-степенные уравнения и неравенства

Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства: (х+1)

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства, где Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства;

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решаем биквадратное уравнение

Примем Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда получим Показательно-степенные уравнения и неравенства

D = 32 – 4*1*(-4) = 25

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

а) Показательно-степенные уравнения и неравенства

б) Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства (не удовлетворяет ОДЗ)

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства - решение системы уравнений.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства - (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)2 -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства. [ ]


Пример № 36

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

Для любого х Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию Показательно-степенные уравнения и неравенства, т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка Показательно-степенные уравнения и неравенствана этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

Показательно-степенные уравнения и неравенства и Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решаем ее.

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства принадлежат Показательно-степенные уравнения и неравенства. Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства .


Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.


Неравенства вида Показательно-степенные уравнения и неравенства (или меньше) при а(х)>0 и Показательно-степенные уравнения и неравенства решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.


Пример 1.

Решить неравенство:

23x:+7 < 22x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.

Ответ: -8.


Пример 2.

Решить неравенство:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение.

Так как 625 = 252= Показательно-степенные уравнения и неравенства, то за­данное неравенство можно записать в виде Показательно-степенные уравнения и неравенства

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х2 - 8 = -2. Имеем последовательно

Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства,

Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Решив последнее неравенство, полу­чим 2 Показательно-степенные уравнения и неравенства х Показательно-степенные уравнения и неравенства3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 3.

Решим неравенство

0,57-Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 -2 = 4, перепишем заданное нера­венство в виде

0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не­равенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ: ( — оо ; 3).


Пример 4.

Решим неравенство

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательная функция y = 6x возрастает. Поэтому дан­ное неравенство равносильно неравенству х2 + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)

и (1; оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).


Пример 5.

Решим неравенство:

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Сделаем замену Показательно-степенные уравнения и неравенства, тогда Показательно-степенные уравнения и неравенстваи неравенство перепишется в виде Показательно-степенные уравнения и неравенства, откуда Показательно-степенные уравнения и неравенства. Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам Показательно-степенные уравнения и неравенства, и только такие числа. Но Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства, а функция Показательно-степенные уравнения и неравенства убывает,

поскольку Показательно-степенные уравнения и неравенства < 1. Поэтому решением неравенств Показательно-степенные уравнения и неравенства будут числа х, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.

Ответ: ( - 2; 1).


Пример 6.

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

1) Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства 2 3 Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства 10

Изобразим на числовом луче

Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при Показательно-степенные уравнения и неравенства взятое не выполняется. Решений нет.

2) Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваИзобразим на числовом луче

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства 10

Если Показательно-степенные уравнения и неравенства, то Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства -решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к. Показательно-степенные уравнения и неравенства или 1 не удовлетворяют условию, а при Показательно-степенные уравнения и неравенства т.е. Показательно-степенные уравнения и неравенства получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства


Пример 7

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Решение

При Показательно-степенные уравнения и неравенства, х = 2,5 или х = -1

При Показательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства можно записать Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

При Показательно-степенные уравнения и неравенства второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства -1 2,5 Показательно-степенные уравнения и неравенства 3

Система не имеет решений.

2)Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства Показательно-степенные уравнения и неравенства

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств


Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства решение системы неравенств.

3) Показательно-степенные уравнения и неравенства, Показательно-степенные уравнения и неравенства - выражение Показательно-степенные уравнения и неравенства имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При Показательно-степенные уравнения и неравенства- верно.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

4) Показательно-степенные уравнения и неравенства, х2 = 2,5 и х1 = -1

При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4.

При х = 2,5, 02,5 – не имеет смысла.

5) Показательно-степенные уравнения и неравенства

Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства

При Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

При Показательно-степенные уравнения и неравенства; Показательно-степенные уравнения и неравенства - верно.

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенстваПоказательно-степенные уравнения и неравенства или Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками

по данной теме.


Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.

Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой


Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

1. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 2.

3. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 7; 14.

4. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

5. Найдите произведение корней уравнения

Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

6. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

7. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

8. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

9. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства

10. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

11. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 2; 3; 4; 11.

12. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

13. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

14. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -2; 0; 2.

15. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 1; 4; 5.

16. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: нет решений.

17. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 1; 10; 10-3.

18. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 1; 8.

19. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -1; 1; 2.

20. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

21. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 2; 10-1; 10-3.

22. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 0; 3.

23. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 0.

24. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

25. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

26. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

27. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

28. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

29. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

30. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

31. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

32. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

33. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

34.Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 0; 1.

35. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 1; 3.

36. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 0; 1; 5.

37. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 0; 5; 4.

38. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

39. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

40. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

41. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

42. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

43. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: 1; 0,1; 0,01.

44. Показательно-степенные уравнения и неравенства

45. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -2; -1; 3.

46. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -2; 0,6.

47. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

48. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -4; -3,5; -2; -1.

49. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -0,2; 0,5; 1; 3.

50. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: -2; 0,6.


Решить системы уравнений


1. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: (5;-1).

3. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

4. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

5. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

6. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

7. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

8. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

9. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

10. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

11. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

12. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

13. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

14. Показательно-степенные уравнения и неравенства

15. Показательно-степенные уравнения и неравенства

16. Показательно-степенные уравнения и неравенства

17. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

18. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

19. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

20. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

21. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

22. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

23. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.


Решить неравенства.


1. Показательно-степенные уравнения и неравенства

Ответ: если Показательно-степенные уравнения и неравенства, то Показательно-степенные уравнения и неравенстваесли Показательно-степенные уравнения и неравенства то Показательно-степенные уравнения и неравенства.

2. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

3. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

4. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

5. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

6. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.


7. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

8. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

9. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

10. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

11. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

12. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

13. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

14. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

15. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

16. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

17. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

18. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

19. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

20. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

21. Показательно-степенные уравнения и неравенства Ответ: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Заключение.


Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:

Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.

Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.

Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.

Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.

Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.

Список используемой литературы.


Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.

Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.

Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.

Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.

Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.

Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.

Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.

Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.

Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.

Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.

Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.

Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.

Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.

Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.

Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.

Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.

Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.

Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.

Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.

Похожие работы:

  1. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  2. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  3. • Тождественные преобразования показательных и логарифмических ...
  4. • Решение уравнений и неравенств с использованием ...
  5. •  ... уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал ...
  6. • Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему ...
  7. • Методика изучения неравенств
  8. • Уравнения и неравенства с модулем на ...
  9. • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
  10. • Иррациональные уравнения и неравенства
  11. • Методические особенности введения показательной ...
  12. • Иррациональные уравнения и неравенства
  13. • Решение уравнений, неравенств и их систем
  14. • Тригонометрические уравнения и неравенства
  15. • Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
  16. • Современный урок математики, требования к нему
  17. • Логарифмические уравнения
  18. • Нестандартный анализ
  19. • Нестандартный анализ
Рефетека ру refoteka@gmail.com