Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Логарифмические уравнения

Введение


Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.


Логарифмические уравнения и неравенства


1. Логарифмические уравнения


Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида


loga x = b. (1)


Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:


a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c) Логарифмические уравнения


Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) Логарифмические уравненияили x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:


Логарифмические уравнения


где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:


loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).


Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид


loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).


Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя


Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).


Замечание. Если Логарифмические уравнения, (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид


Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).


P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:


loga N k = k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).


Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то


loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).


P5. Формула перехода к другому основанию:


Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),


в частности, если N = b, получим


Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)


Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства


Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

Логарифмические уравнения (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)


и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место


Логарифмические уравнения (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)


Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:

Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).

loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)


Логарифмические уравнения

f(x) = g(x),

Логарифмические уравнения

f(x) = g(x),

f(x) > 0,

g(x) > 0.


Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем


Логарифмические уравнения

f(x) = g(x),

Логарифмические уравнения

f(x) = g(x),

h(x) > 0,

h(x) > 0,

h(x) ≠ 1,

h(x) ≠ 1,

f(x) > 0,

g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения


f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)


или


loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b


вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.


2. Использование определения логарифма


Пример 1. Решить уравнения


a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3, c) log(x - 2)9 = 2,

b) Логарифмические уравнения

d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.


Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,


5 + 3log2(x - 3) = 23


или


3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.


Опять используя определение, получим


x - 3 = 21, x = 5.


Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:


log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.


Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение


Логарифмические уравнения


откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение


(x - 2)2 = 9.


Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение


(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2


или, после элементарных преобразований,


x2 + 6x-7 = 0,

откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.


3. Использование свойств логарифма


Пример 3. Решить уравнения


a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2
c) log2x + log3x = 1



Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)


Логарифмические уравнения

x > 0,

x+3 > 0,

x+24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим


log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24) 


Логарифмические уравнения

log3x(x + 3) = log3(x + 24),


x > 0,


Логарифмические уравнения

x(x + 3) = x + 24,


x > 0,


Логарифмические уравнения

x2 + 2x - 24 = 0,


x > 0,


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

x1 = -6,


x2 = 4,


x > 0,


 x = 4.


b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения


Логарифмические уравнения


откуда, используя определение логарифма, получим


Логарифмические уравнения


или


x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),


откуда получаем уравнение


x2 - 2x - 3 = 0


с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

log2x(1 + log32) = 1,


откуда Логарифмические уравненияили Логарифмические уравнения или log2x = log63. Следовательно, Логарифмические уравнения


Логарифмические неравенства


Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств


Логарифмические уравнения

f(x) > g(x),

g(x) > 0.


Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств


Логарифмические уравнения

f(x) < g(x),

f(x) > 0.


Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

h(x) > 1,


f(x) > g(x) > 0,

Логарифмические уравнения

0 < h(x) < 1,


0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства


a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);

b) Логарифмические уравнения


c) Логарифмические уравнения



Решение. a) Используя утверждение 1 , получим


log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) Логарифмические уравнения

x2 - x ≥ x + 8,

Логарифмические уравнения

x2 - 2x - 8 ≥ 0,

x+8 > 0,
x > -8,

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

x ≤ -2,


x ≥ 4,

x Логарифмические уравнения (-8;-2]Логарифмические уравнения[4;+∞).



x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения


c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим


Логарифмические уравнения


Запишем Логарифмические уравненияи, используя утверждение 2, получим


Логарифмические уравнения


Показательные уравнения и неравенства


Показательные уравнения


Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида


Логарифмические уравнения


Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению


Логарифмические уравнения


Пример 1. Решить уравнение


Логарифмические уравнения.


Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:


Логарифмические уравнения.


Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:


Логарифмические уравнения


Если после введения новой переменной Логарифмические уравнения показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.


Показательные неравенства


Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство


a f(x) > a g(x)


равносильно неравенству


f(x) > g(x).

Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) < g(x).


A.2. Если 0 < a < 1, неравенство


a f(x) > a g(x)


равносильно неравенству


f(x) < g(x).

Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).


A.3. Неравенство


[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) (1)

равносильно совокупности систем неравенств


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

h(x) > 1,


f(x) > g(x),

Логарифмические уравнения

0 < h(x) < 1,


f(x) < g(x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай


Логарифмические уравнения

h(x) = 1,

x  D(f); D(g),

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство


af(x) < b


не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x Логарифмические уравненияD(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство


af(x) > b


равносильно неравенству


f(x) > logab.

Аналогично, a f(x) < b ; f(x) < logab.


A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство


a f(x) > b


равносильно неравенству


f(x) < logab.

Аналогично, a f(x) < b ; f(x) > logab.


Упражнение 1. Решить неравенства:


a) Логарифмические уравнения


b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,

c) Логарифмические уравнения





Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство


Логарифмические уравнения


которое решается методом интервалов,


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения


b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство


|2x-3| > |3x+4|,


которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|  (a-b)(a+b) > 0):


|2x-3| > |3x+4| Логарифмические уравнения ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 Логарифмические уравнения(-x-7)(5x+1) > 0


Решив последнее неравенство методом интервалов, получим xЛогарифмические уравнения (-7;-1/5).

c) Используя утверждение A.3, получим


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

4x2+2x+1 > 1,


x2-x > 0,


Логарифмические уравнения

4x2+2x+1 < 1,


4x2+2x+1 > 0,


x2-x < 0


Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

x > 0,


x < -12,


Логарифмические уравнения

x > 1,


x < 0,


Логарифмические уравнения


xЛогарифмические уравнения (-12;0),


x Логарифмические уравненияR,


xЛогарифмические уравнения(0;1).



Логарифмические уравнения


x Логарифмические уравнения (-Логарифмические уравнения; -12) (1;+Логарифмические уравнения),


x Логарифмические уравнения


Логарифмические уравненияx (-Логарифмические уравнения;- 12) Логарифмические уравнения(1;+Логарифмические уравнения).



Заключение


Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.


Список литературы


Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970

Похожие работы:

  1. •  ... анализа по теме "Логарифмические уравнения"
  2. • Тождественные преобразования показательных и логарифмических ...
  3. • Подготовка к Единому государственному экзамену по ...
  4. • Уравнения с параметрами
  5. • Кинетика окисления сплавов в атмосфере воздуха ...
  6. • Иррациональные уравнения и неравенства
  7. • Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический ...
  8. • О полноте систем упражнений по математическому анализу
  9. • Генерация дидактических материалов по математике
  10. • Методы решения уравнений, содержащих параметр
  11. • Влияние вибрации на человека
  12. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  13. • Генерация дидактических материалов по математике
  14. • Природа рокового цикла Сепкоски - Мюллера - Роде
  15. • Иррациональные уравнения
  16. • Последствия техногенного воздействия на биосферу
  17. • Использование информационно-коммуникационных технологий на ...
  18. • Уравнения и способы их решения
  19. • Современный урок математики, требования к нему
Рефетека ру refoteka@gmail.com