Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

Нестандартные методы решения задач по математике

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Давиденко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Метод функциональной подстановки

2. Метод тригонометрической подстановки

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

4. Методы, основанные на монотонности функций

5. Методы решения функциональных уравнений

6. Методы, основанные на применении векторов

7. Комбинированные методы

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

9. Методы решения симметрических систем уравнений

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.

В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.

1. Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную , тогда из Error: Reference source not found получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Отсюда вытекает , и , .

Рассмотрим два уравнения

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем и . Подстановкой в Error: Reference source not found убеждаемся в том, что найденные значения переменной являются корнями исходного уравнения.

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что и является корнем уравнения.

Пусть теперь , тогда обе части уравнения Error: Reference source not found разделим на и получим уравнение

Если обозначить , то уравнение Error: Reference source not found принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются и .

Рассмотрим уравнения и , откуда следует, что и . Так как , то наиденные значения являются корнями уравнения.

Ответ: , , .

Пример 62 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Положим, что и , тогда из Error: Reference source not found получим уравнение , из которого следует и , . Так как и , то и при этом .

Поскольку и , то . Отсюда получаем систему уравнений

где . Решением системы уравнений Error: Reference source not found относительно является . Так как при этом и , то и .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

Решение. Для преобразования левой части уравнения Error: Reference source not found воспользуемся очевидным равенством . Тогда из уравнения Error: Reference source not found имеем

и

Если затем положить , то получим уравнение , корни которого равны и .

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и , т.е. и , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем .

Ответ: , .

Пример 62 Решить уравнение

Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения Error: Reference source not found. Так как , то разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на . Тогда получим

100

Пусть , тогда

и из уравнения Error: Reference source not found следует или . Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что и .

Далее, рассмотрим три уравнения , и . Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 62 Решить неравенство

100

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства Error: Reference source not found на и обозначим через . Тогда неравенство Error: Reference source not found можно переписать как

и

100

Решая неравенство Error: Reference source not found с учетом того, что , получаем . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Выполним замену переменных, пусть и . Так как и , тo . Кроме того, имеем .

В таком случае из уравнения Error: Reference source not found получаем систему уравнений

100

Пусть теперь и , тогда из системы уравнений Error: Reference source not found следует и . Отсюда с учетом того, что , получаем и . Следовательно, имеет место , и .

Поскольку и , то и , где --- целое число.

Ответ: , где --- целое число.

2. Метод тригонометрической подстановки

К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной тригонометрической функцией, например или , а также в замене некоторой функцией от , или .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Поскольку не является корнем уравнения Error: Reference source not found, то разделим обе его части на . Тогда

100

Если или , то левая часть уравнения Error: Reference source not found будет больше , а правая его часть --- меньше . Следовательно, корни уравнения Error: Reference source not found находятся на отрезке .

Пусть , где . Тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид тригонометрического уравнения

Решением уравнения являются , где --- целое число. Однако , поэтому , и . Так как , то , и .

Ответ: , и .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Нетрудно видеть, что

Выполним замену , где . В таком случае левая часть уравнения Error: Reference source not found принимает вид

а из уравнения Error: Reference source not found следует тригонометрическое уравнение вида

100

Сделаем еще одну замену переменных, пусть , тогда и из Error: Reference source not found получаем квадратное уравнение относительно переменной , т.е. , решением которого являются и . Так как и , то и . С учетом того, что , получаем систему тригонометрических уравнений

100

Из уравнений системы Error: Reference source not found составим квадратное уравнение относительно вида и получаем и . Так как , то и

Ответ: , .

Пример 62 Решить систему уравнений

100

Решение. Поскольку и , то положим и , тогда и . Тогда и . В таком случае , и система уравнений Error: Reference source not found принимает вид

100

Из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем . Поскольку , то , Следовательно, получаем систему

Отсюда следует и . Так как и , то и .

Ответ: , .

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.

Неравенство Коши

Пусть , , ..., , тогда

100

где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда . В частности, если в Error: Reference source not found положить , то

100

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в Error: Reference source not found положить и , где , то

100

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .

Следует отметить, что имеется аналог неравенства Error: Reference source not found для отрицательных значений , а именно, если , то

100

Данное неравенство превращается в равенство при .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального имеет место

100

Причем равенство в Error: Reference source not found достигается при или .

Наряду с Error: Reference source not found существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если или , то

100

если , то

100

где .

Следует отметить, что равенства в Error: Reference source not found и Error: Reference source not found имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных и имеет место

100

где .

Причем равенство в Error: Reference source not found достигается в том и только в том случае, когда числа . и пропорциональны, т.е. существует константа такая, что для всех выполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского Error: Reference source not found можно доказать неравенство

100

которое справедливо для произвольных , и натурального числа .

Задачи и решения

Пример 62 Доказать неравенство

100

где .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства Error: Reference source not found с использованием неравенства Error: Reference source not found, т.е.

Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли Error: Reference source not found не будет, поэтому доказано строгое неравенство Error: Reference source not found.

Пример 62 Доказать, что если , то

100

Доказательство. Введем обозначения и . Тогда и .

Используя неравенство Коши-Буняковского Error: Reference source not found, можно записать . Так как , то и .

Имеет место равенство , из которого следует .

Следовательно, для доказательства неравенства Error: Reference source not found достаточно показать, что или , где .

Пусть . Для доказательства неравенства Error: Reference source not found требуется показать, что , где .

Так как , то корни уравнения являются точками, подозрительными на экстремум функции . Уравнение имеет два корня: , . Поскольку , , , то .

Отсюда следует, что неравенство Error: Reference source not found доказано.

Пример 62 Доказать, если , то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли Error: Reference source not found, а затем неравенством Коши Error: Reference source not found, тогда

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Используя неравенство Коши Error: Reference source not found, можно записать

т.е. имеет место неравенство

Отсюда и из уравнения Error: Reference source not found следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда и .

Следовательно, имеем и .

Ответ: , ; , ; , ; , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Применим к левой части уравнения Error: Reference source not found неравенство Бернулли Error: Reference source not found, а к правой части --- неравенство Error: Reference source not found, тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения Error: Reference source not found, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .

Ответ: .

Пример 62 Доказать неравенство

100

где , .

Доказательство. Непосредственно из неравенства Error: Reference source not found следует . Используя это неравенство и неравенство Коши Error: Reference source not found, получаем неравенство Error: Reference source not found следующим образом:

Пример 62 Доказать, что

100

где , , --- стороны треугольника, a --- его площадь.

Доказательство. Известно, что , где --- угол между сторонами и . Поскольку , то . Используя неравенство Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника вида . По аналогии с изложенным выше имеет место и .

Тогда .

Отсюда следует справедливость неравенства Error: Reference source not found.

Пример 62 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами , , и диагональю имеет место неравенство

100

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского Error: Reference source not found, тогда .

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде (теорема Пифагора), то . Отсюда следует справедливость неравенства Error: Reference source not found. Заметим, что равенство в Error: Reference source not found достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 62 Пусть --- точка, лежащая внутри прямоугольника , и --- его площадь. Доказать, что

100

Доказательство. Через точку , лежащую внутри прямоугольника , проведем и . Обозначим , , и . Тогда , , , , и требуемое неравенство Error: Reference source not found принимает вид

100

Используя неравенство Коши--Буняковского Error: Reference source not found, можно записать два неравенства

и

Следовательно, имеет место

и

Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство Error: Reference source not found.

4. Методы, основанные на монотонности функций

При решении уравнений типа в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение на отрезке может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция называется возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство (соответственно, ). Если функция является на отрезке возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция возстает, a убывает для и при этом , то корней уравнения среди нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения представляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция является монотонной на отрезке и уравнение (где --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются . Рассмотрим функции и . Известно, что функция для является убывающей, а функция --- возрастающей. В этой связи уравнение Error: Reference source not found может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Введем новую переменную . Тогда , и уравнение Error: Reference source not found принимает вид

100

Уравнение Error: Reference source not found имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на , тогда

100

Так как , а , то левая часть уравнения Error: Reference source not found является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение Error: Reference source not found если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что --- корень уравнения Error: Reference source not found. Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения Error: Reference source not found является .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на , тогда

100

Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения Error: Reference source not found. Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом .

Если , то , и .

Если , то , и .

Следовательно, среди 2 или корней уравнения Error: Reference source not found нет.

Ответ: .

5. Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

100

или

100

где , , --- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений Error: Reference source not found, Error: Reference source not found основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 62 Корни уравнения являются корнями уравнения Error: Reference source not found

Доказательство. Пусть --- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения Error: Reference source not found.

Теорема 62 Если --- возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения Error: Reference source not found, т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства

Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что .

Отсюда и из теоремы 62 следует справедливость теоремы 62.

Следствие 62 Если функция возрастает для любого , то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Следствие 62 Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Более сложным является решение уравнения Error: Reference source not found в том случае, когда на некотором отрезке функция является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы 62 и двух следствий только при условии, что в уравнении Error: Reference source not found число нечетное.

Теорема 62 Если --- убывающая функция на отрезке , --- нечетное и , то на данном отрезке уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения Error: Reference source not found, т.е.

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , , и т. д.

Так как --- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как --- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы 62, следует справедливость теоремы 62.

Следствие 62 Если функция убывает для любого и --- нечетное, то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Следствие 62 Если функция убывает на своей области определения и --- нечетное, то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение Error: Reference source not found с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение Error: Reference source not found также имеет не более одного корня.

Если в уравнении Error: Reference source not found --- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения Error: Reference source not found и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения Error: Reference source not found необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 62 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения Error: Reference source not found, то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть --- корень уравнения Error: Reference source not found, т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения Error: Reference source not found возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть --- корень уравнения , т. е. . Отсюда следует .

Следствие 62 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций и , то уравнения Error: Reference source not found и равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения Error: Reference source not found необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 62 Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение Error: Reference source not found равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и (), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

где квадратный корень берется раз ().

Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть , тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид функционального уравнения Error: Reference source not found.

Так как при функция возрастает и , то уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Перепишем исходное уравнение Error: Reference source not found в виде функционального уравнения типа Error: Reference source not found, т.е.

100

где .

Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения Error: Reference source not found можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

100

Пусть , тогда уравнение Error: Reference source not found принимает вид

100

Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию 62) уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению , т.е. уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение , которое имеет единственный действительный корень .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Поскольку при всех , то областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found является множество всех действительных чисел.

Положив , и , увидим, что заданное уравнение Error: Reference source not found принимает вид , где и . Так как из следует, что

то функция является возрастающей на области значений функций и . В этой связи уравнение Error: Reference source not found равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня .

Ответ: .

6. Методы, основанные на применении векторов

Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектор в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами , , и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле . Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор , координаты которого вычисляются как (соответственно, ).

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов и справедливо неравенство , т.е.

100

Формула Error: Reference source not found обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл Error: Reference source not found состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула Error: Reference source not found иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в Error: Reference source not found достигается тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, из равенства в Error: Reference source not found следует, что . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. .

В свою очередь, равенство свидетельствует о том, что векторы , противоположно направлены и . Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле

100

где --- угол, образованный векторами и .

Для вычисления скалярного произведения двух векторов и , заданных в координатной форме, существует еще одна формула

100

Из формул Error: Reference source not found и Error: Reference source not found легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами и , т.е

100

Из формулы Error: Reference source not found следует, что векторы , являются коллинеарными тогда и только тогда, когда .

Отметим, что формулы Error: Reference source not found--Error: Reference source not found обобщаются на случай векторов и , заданных в -мерном пространстве (где ).

Задачи и решения

Пример 62 Доказать, если , то

100

где .

Доказательство. Пусть , , ..., , тогда , ,...,. Введем в рассмотрение вектор .

Так как , то вектор имеет координаты и . Поскольку , то неравенство треугольника принимает вид

100

Если в неравенство Error: Reference source not found подставить выражения для и , то получим требуемое неравенство Error: Reference source not found.

Пример 62 Решить неравенство

100

Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты , а вектор --- координаты . Тогда имеем и . Пусть , тогда координаты вектора будут вычисляться по формулам и . Отсюда следует, что . Поскольку , то имеет место неравенство треугольника . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство . Отсюда и из Error: Reference source not found следует равенство

100

Равенство Error: Reference source not found означает, что .

Отсюда следует, что векторы и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение , откуда вытекает .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Введем в рассмотрение два вектора и . Тогда , и .

Принимая во внимание уравнение Error: Reference source not found, получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

100

Из уравнения Error: Reference source not found следует, что . Если возвести в квадрат обе части уравнения Error: Reference source not found, то получим уравнение , которое имеет следующих три корня: и . Поскольку , то решением уравнения Error: Reference source not found являются и .

Ответ: , .

Пример 62 Найти минимальное значение функции

Решение. Представим функцию в виде

100

Введем на плоскости векторы , с координатами и , соответственно. Так как и , то из выражения Error: Reference source not found следует, что .

Пусть , тогда координатами вектора являются и .

Так как , то и . Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции достижима, т.е. существуют такие значения и , при которых функция принимает значение .

Если , то , т.е. векторы и коллинеарные. Отсюда следует, что и . Положим , тогда . Если найденные значения и подставить в Error: Reference source not found, то . Следовательно, минимальное значение функции равно .

Ответ: .

7. Комбинированные методы

При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Рассмотрим уравнение с параметром вида

100

которое совпадает с уравнением Error: Reference source not found при . Перепишем уравнение Error: Reference source not found в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е.

100

Решением уравнения Error: Reference source not found относительно являются

т.е. и . Поскольку , то получаем два уравнения относительно переменной вида и . Отсюда получаем три корня исходного уравнения Error: Reference source not found, т.е. и .

Ответ: , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Обозначим , тогда . Известно, что , тогда и из уравнения Error: Reference source not found получаем уравнение относительно переменной вида . Решая последнее уравнение, получаем и . Таким образом, имеет место и . Отсюда следует и .

Ответ: , .

Пример 62 Найти все значения параметра , при которых разрешимо уравнение

100

Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством . Обозначим , тогда и из Error: Reference source not found получаем

100

где .

Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных и , вида

(данные неравенства легко доказать самостоятельно).

Следовательно, и из Error: Reference source not found получаем , откуда следует .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found согласно известного равенства , где , тогда . Отсюда следует

100

Если уравнение Error: Reference source not found сложить с уравнением Error: Reference source not found, то получаем . Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то . Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Непосредственной подстановкой в Error: Reference source not found убеждаемся, что найденные значения являются его корнями.

Ответ: , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются . Умножим обе части уравнения Error: Reference source not found на , тогда получаем

100

Решением уравнения Error: Reference source not found являются , и . Однако --- посторонний корень для уравнения Error: Reference source not found, поскольку при этом значении левая часть уравнения Error: Reference source not found равна , а правая меньше . Так как , то не может быть корнем уравнения Error: Reference source not found. В этой связи --- единственное решение исходного уравнения Error: Reference source not found.

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Обозначим и , тогда из уравнения Error: Reference source not found получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида

100

где и .

Преобразуем левую часть второго уравнения системы Error: Reference source not found следующим образом:

Так как , то . Отсюда получаем или . Рассмотрим две системы

Корнями первой системы являются , и , , а вторая система решения не имеет. Следовательно, или . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной вида и . Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует и . Ответ: , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Преобразуем уравнение Error: Reference source not found, используя свойство пропорции: если , то . Тогда уравнение Error: Reference source not found можно переписать как

100

Поскольку , то из уравнения Error: Reference source not found получаем ; т.е. и .

Так как уравнения Error: Reference source not found и Error: Reference source not found равносильны, то решением уравнения Error: Reference source not found являются и .

Ответ: , .

Пример 62 Доказать неравенство

100

где и .

Доказательство. Доказательство неравенства Error: Reference source not found будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения и , что и , при которых выполняется неравенство

100

Из неравенства Error: Reference source not found получаем

100

Так как , и , то из неравенства Error: Reference source not found следует

Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства Error: Reference source not found.

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что , , , , , , , , , , , и многие другие. Здесь --- натуральное число, , и .

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства , и неравенства с модулями вида .

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе 62.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что . Так как при этом , то из Error: Reference source not found получаем систему уравнений

100

Решением второго уравнения системы является . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы уравнений Error: Reference source not found и уравнения Error: Reference source not found.

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как , то из уравнения Error: Reference source not found следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ: , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Областью допустимых значений уравнения Error: Reference source not found являются .

Первоначально покажем, что функция при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения Error: Reference source not found неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения Error: Reference source not found.

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения Error: Reference source not found не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения Error: Reference source not found неотрицательна, поэтому равенство в Error: Reference source not found может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ: .

9. Методы решения симметрических систем уравнений

В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида

100

и

100

Метод решения системы Error: Reference source not found состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда

заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы Error: Reference source not found, в результате чего получается система уравнений

100

При решении системы уравнений Error: Reference source not found необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем

Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие . Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы Error: Reference source not found, то получаем две системы уравнений относительно , , вида

100

Полученные системы уравнений относительно , , допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений Error: Reference source not found, Error: Reference source not found. Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.

Задачи и решения

Пример 62 Решить систему уравнений

100

Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы Error: Reference source not found прибавить 1, то получаем

Из последней системы уравнений следует

Пусть , тогда

и , , .

Если , то по аналогии с предыдущим получаем , , .

Ответ: , , ; , , .

Пример 62 Решить систему уравнений

100

Решение. Из первого уравнения системы Error: Reference source not found вычем второе уравнение, тогда . Умножим на обе части последнего уравнения и получим

откуда следует . В таком случае первое уравнение системы Error: Reference source not found принимает вид . Следовательно, .Так как , то

Ответ: , , ; , , .

Пример 62 Решить систему уравнений

100

Решение. Обозначим и . Тогда из первого уравнения системы Error: Reference source not found следует, что .

Преобразуем второе и третье уравнения системы Error: Reference source not found следующим образом:

100

Из второго уравнения системы Error: Reference source not found следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1) Пусть . Тогда , а из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем . Так как и , то имеет место система уравнений

из которой следует , , и , , .

2) Пусть , тогда . Если данрое выражение для подставить в первое уравнение ситемы Error: Reference source not found, то получим квадратное уравнение относительно переменной вида , которое имеет два корня и .

Если , то и из первого уравнения системы Error: Reference source not found получаем . В таком случае

и , , , , , .

Если , то , и

Отсюда следует , , , , , .

Ответ: См. выше.

Пример 62 При каких значениях параметра система неравенств

100

имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств Error: Reference source not found переменные , входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде и , где .

Подставим в любое из неравенств системы Error: Reference source not found, тогда или . Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е. , и .

Ответ: .

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа (или Антье) называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается через . Очевидно, что . Разность называется дробной частью числа (или Мантисса) и обозначается через . Из определения следует, что . Кроме того, справедливо равенство

100

Например, имеет место , , , и , , .

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа справедливо

100

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.

Задачи и решения

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Поскольку является целым числом, то --- тоже целое число. Следовательно, число также является целым. В таком случае и уравнение Error: Reference source not found принимает вид или . Целыми корнями последнего уравнения являются и .

Ответ: и .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если , то и , т.е. решением уравнения Error: Reference source not found могут быть только .

Пусть , тогда из уравнения Error: Reference source not found следует, что . Так как и , то получаем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются .

Если , то и . Следовательно, уравнение Error: Reference source not found не имеет корней среди .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Используя свойство Error: Reference source not found, можно записать

Так как , то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим

Отсюда, принимая во внимание уравнение Error: Reference source not found, следуют неравенства

100

Поскольку в этом случае следует, что или . Так как --- целое число, то отсюда получаем, что или . Следовательно, имеем .

Из уравнения Error: Reference source not found следует, что --- целое число. Так как , то остается лишь проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями уравнения Error: Reference source not found являются , и .

Ответ: , , .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Из формулы Error: Reference source not found следует, что . В этой связи уравнение Error: Reference source not found можно переписать, как .

Отсюда следует уравнение

100

Очевидно, что является корнем уравнения Error: Reference source not found. Положим, что . Тогда разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на и получим уравнение

100

Рассмотрим последовательно несколько случаев.

Если , то и . В таком случае .

Если , то и .

Если , то и , тогда .

Если , то , и . Отсюда следует, что уравнение Error: Reference source not found корней не имеет.

Следовательно, уравнение Error: Reference source not found имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Решая тригонометрическое уравнение Error: Reference source not found, получаем

100

где --- целое число. Из уравнения Error: Reference source not found получаем совокупность двух уравнений или . Левые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случая в первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что . В этом случае получаем уравнение , откуда следует или .

Ответ: .

Пример 62 Решить уравнение

100

Решение. Левая часть уравнения Error: Reference source not found принимает только целые значения, поэтому число является целым.

Так как , то при любом целом многочлен представляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой оси целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочлен делится на без остатка, т.е. является целым числом.

В этой связи и уравнение Error: Reference source not found принимает вид или

100

Так как , то корнями уравнения Error: Reference source not found являются , и .

Ответ: , , .

Пример 62 Доказать равенство

100

для произвольного действительного числа .

Доказательство. Любое число можно представить или как , или как , где --- целое число и .

Рассмотрим два возможных случая.

1) Пусть . Так как , то

и

.

2) Пусть , тогда

и

.

Таким образом, равенство Error: Reference source not found выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаев. Следовательно, равенство Error: Reference source not found доказано.

Заключение

Применение нестандартных методов решения задач по математике требует от старшеклассников и абитуриентов нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Незнание и непонимание таких методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что имеющая место тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых оригинальных (нестандартных) подходов к решению математических задач. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач по математике способствует развитию у старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и т.д.).

Литература

1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006

2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004

3. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн., «Аверсэв»,2006

4. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006