Дипломная работа: Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствие с основными направлениями реформы общеобразовательной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

Можно ли считать, что «знающий» и мыслящий» человек – одно и то же?

Каждый год первого сентября с первым звонком миллионы детей садятся за парты, чтобы овладеть знаниями. В течение сложных лет они усваивают сложную систему научных сведений, учатся их анализировать, сравнивать, обобщать, применять к решению учебных, практических задач.

«Век живи – век учись» – гласит народная мудрость. Но школа должна не только формировать у учащихся прочную основу знаний, умений и навыков, но и максимально развивать им умственную активность: учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решение теоретических и практических задач.

Развитие умственной активности происходит в процессе усвоения знаний, однако не всякое усвоение обеспечивает эту активность. Необходима его особая организация, при которой учащиеся развивают свое мышление, интересы, склонности.

Развитие умственной активности при усвоение знаний – важный источник формирования личности ученика.

Тема дипломной работы: Развитие логического мышления учащихся при решение задач на построение (на плоскости).

Актуальность дипломной работы заключается в том, что проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усеваемом содержании геометрического материала.

Объектом исследования является учебно-воспитательный процесс.

Предмет исследования – геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что развитию логического мышления способствует решение геометрических задач, и в частности задач на построение.

Проблема исследования заключается в особой организации процесса обучения решению геометрических задач на построение, при которой через решение этих задач учащиеся будут активно развивать логическое мышление.

Цель исследования: определение оптимальных условий и конкретных методов развития логического мышления при решение задач на построение.

Выделяя этапы достижения цели исследования, мы поставили следующие задачи:

Дать характеристику мышления как психологического процесса и рассмотреть его виды;

Выделить пути развития мышления при обучение учащихся в средней школе;

Выяснить какую роль играют учебные задачи в обучение математики, в частности, в геометрии.

Дать характеристику задач на построение и выяснить, как они влияют на развитие логического мышления;

Разработать систему уроков с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на построение.

Методами исследования являются:

Исследование психологической и методической литературы;

Опыт работы в 7-х классах (геометрия) общеобразовательной школы;

Наблюдение за учебной деятельностью учащихся в 7 – 9 классах общеобразовательной школы.

Практическая значимость работы заключается в использовании разработанных уроков с рекомендациями при изучение учащимися темы «Геометрическое построение» на уроках геометрии в средней школе.

Структура диплома определена логикой и последовательностью поставленных задач. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

В первой главе раскрывается необходимость воспитания в учащихся творческой личности, с целью развития логического мышления. В ней раскрываются понятия: мышление, математическое мышление, логическое мышление и его развитие.

Вторая глава посвящена развитию мышления учащихся на уроках геометрии через решение геометрических задач, в частности задач на построение.

В третьей главе описывается педагогический эксперимент – его замысел, программа, проведение и получение результата.

1. ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1.1. Мышление: его закономерности и условия развития.

Ребенок пришел в школу учиться – приобретать знания. Конечно, он выучит необходимые правила и законы, сумеет пересказать то, о чем узнает. Но ребенок должен научиться также, применять свои знания в новых, неожиданных ситуациях, находить свои, нестандартные ответы на возникающие вопросы, обнаруживать противоречия и самому ставить вопросы. Его успехи в школе будут зависеть от желания узнавать новое, от веры в свои силы и от умения работать – думать.

Умственная работа – это прежде всего активное осмысление материала, любой информации, будь то объяснение учителя практическое действие, книга или граф наблюдение за животными или телевизионная передача. Активное осмысление, а не пассивное восприятие и заучивание, мы связываем с процессом мышления. Мышление включает в себя такие действия, как установление отношений между новой информацией и известной, связи теоретических положений и понятий с личным опытом человека, критический анализ высказываемой идеи и оценивание полученных результатов. Эти действия опираются на умение мысленно представить себе ситуацию, проследить возможные ее изменения или изменения отдельных объектов под влиянием тех или иных воздействий, на способность предвосхищать результаты и соответственно планировать свои действия, выдвигать гипотезы и проверять их, объяснять наблюдаемые явления и факты, обосновывать свои решения. Всем этим ребенок должен овладеть во время обучения.

Когда дети приходят в школу, они уже многое умеют. Уже в дошкольном возрасте на основе манипулирования с предметами у детей вместо хаотических проб и ошибок появляется система пробующих действий, которые выступают как последовательные шаги в достижении цели. Поясним это на примере. На столе лежит игрушка, которую ребенок хочет достать, но не может дотянуться. Ее можно достать с помощью прикрепленного к столу рычага – изогнутой палки с ручкой на конце. Но когда ребенок тянет ручку рычага на себя, игрушка отодвигается. Надо совершить обратное движение – от себя, тогда игрушка придвинется. Решение этой задачи осуществляется в практическом плане и служит примером наглядно-действенного, практического мышления, которое охватывает все случаи непосредственных действий с предметами.

Формирование умений оперировать образами предметов или их частей связывают с развитием наглядно-образного мышления. Наглядно-образное мышление характеризуется тем, что решение определенных задач может быть осуществлено в плане мысленных представлений, без участия практических действий. Иными словами, ситуация преобразуется лишь в плане образа. Как показали психологические исследования, способность действовать «в уме» начинает формироваться у детей без специального обучения к шести годам. Ее становление и развитие, вплоть до мысленного моделирования сложных ситуаций и планирования последовательности действий (как, например, в случае мысленного проигрывания возможных ходов и ответов на них партнера при игре в шахматы), приходится на школьный возраст.

Следующий вид мышления, на который падает наибольшая нагрузка,– словесно понятийное мышление, использующее понятия и оперирующее языковыми средствами для обозначения действительности. С его помощью осуществляются общение людей, описание и объяснение материала, осознание достигнутого и многое другое. Его развитие начинается с овладения языком и умением говорить и понимать чужую речь, а продолжается в школьные годы, вместе с развитием системы научных понятий. Следует различать речевой и понятийный аспекты, особенно у детей. Отражение в речи – это уже не образное отражение, но оно может быть еще и не понятийным. Ребенок пользуется теми же словами, что и взрослый, но за этими словами у него стоит другое содержание. Это справедливо и по отношению к взрослому, когда речь идет о какой-либо области действительности, которую человек плохо знает и соответствующие понятия у него не сложились.

Наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-понятийное мышление развиваются во взаимосвязи друг с другом. Преобразования объектов, совершаемые в процессе внешней, практической деятельности, воспроизводятся затем в плане представлений. Наглядно-образное мышление позволяет отобразить взаимодействие нескольких предметов, воспроизводя многообразие сторон объекта в их фактических связях (примером может служить любая схема или картина). Когда результаты практической и познавательной деятельности получают свое словесное выражение, это дает возможность их осознать сделать достоянием других людей, обеспечивает преемственность знаний. (Хотя некоторые свойства предметов, а также действия бывает трудно описать словесно. Попробуйте, к примеру, описать, как вы копаете землю.) В образе реальность представлена шире, чем то, что мы непосредственно наблюдаем. А в понятии, наоборот, какая-то часть наблюдаемых признаков опущена и выделены существенные связи и отношения.

Все три вида мышления сосуществуют и у взрослого человека, обеспечивая решение различных задач. Практические действия с предметами и наглядные представления о действительности составляют основу словесно-понятийного мышления.

Разные виды мышления имеют общие черты. В каком бы плане ни протекало мышление, оно всегда связано с открытием человеком нового для него знания, с раскрытием внутренних свойств предметов и их отношений. В процессе мышления всегда происходит выделение основных, существенных свойств предметов и явлений и отвлечение от несущественных и случайных, что определяет его обобщенный характер. В зависимости от уровня обобщений различают эмпирическое и теоретическое мышление. В первом случае мышление связано с житейскими, ситуативными обобщениями, во втором с научными понятиями, имеющими определенную содержательную структуру.

Мыслит человек, с его эмоциями, установками, стремлениями и желаниями, его особенностями мышления (предпочитающий работать в практическом или образном плане, оперировать теоретическими конструкциями или конкретными фактами и т. п.).

Как же осуществляется процесс мышления!

Мышление начинается с возникновением проблемы, вопроса, задачи.

Задача, выступающая как предмет мыслительной деятельности, появляется, когда человек сталкивается с каким-либо затруднением, препятствием, непониманием, и охватывает, как правило, не отдельный предмет, а целую ситуацию. Она может касаться социальных вопросов, взаимоотношений между людьми или проблем самого человека, его поведения или любой области его деятельности, включая учебные и игровые задачи. Психологически задача имеет существенную особенность – она должна быть принята человеком, т. е. должна восприниматься им как проблема, в решении которой он заинтересован. В основе этого лежит познавательная потребность. Объективно существующее противоречие или предъявляемое человеку требование может не вызвать у него потребности в мыслительной деятельности. Он будет прикладывать все усилия, чтобы ее избежать, найдет отговорки или попросту не увидит для себя в ситуации никакой задачи. Поэтому не любая задача и не любой вопрос, заданный учителем, ведет к процессу мышления. Когда ученик сам ощутит необходимость в новых знаниях, увидит, что не может с помощью известных ему средств достичь желаемого результата (ранее применявшиеся им методы «не работают»), тогда и возникает мыслительная задача, называемая психологами проблемной ситуацией.

Условием возникновения проблемной ситуации является познавательная потребность в неизвестном человеку знании или способе действия. Если имеющихся у него знаний достаточно, чтобы выполнить задание, или он может применить уже известный ему способ, проблемная ситуация не возникает, как не возникает она и в тех случаях, когда имеющихся знаний недостаточно для обнаружения проблемы, для понимания того, что появилась проблема. Поэтому процесс мышления всегда личностно окрашен: он начинается с появления препятствия, затруднения, значимого для человека и вызывающего желание или понимание необходимости его преодолеть.

Решение мыслительной задачи, или проблемной ситуации, протекает как поиск существенного с точки зрения задачи отношения объектов, которое служит ключом к ее решению. Для этого производят анализ условий задачи, того, что дано и что известно, и ее требований, т. е. желаемого результата. Неизвестное в проблемной ситуации становится целью действия и раскрывается как искомое задачи. Психологические исследования процесса мышления показали, что определение искомого связано с неоднократным обследованием элементов проблемной ситуации для выявления их связей с искомым. При этом происходит последовательное обобщение свойств рассматриваемых объектов, позволяющее планировать пути решения задачи, предвосхищая будущий результат. Это дает возможность уточнить первоначальный замысел решения: неизвестное, которое вначале выступает как нечеткое образование, путем непрерывного его сопоставления с известным и обобщения предшествующего опыта и требований, задаваемых проблемной ситуацией, приобретает определенность.

В случае сложных проблем на пути к достижению результата выделяется система целей: кроме общей цели, т. е. искомого, определяемого всей проблемной ситуацией в целом, выделяются промежуточные цели, связанные с предварительными этапами работы, ближайшие, более легко достижимые и более отдаленные. Целевое планирование любой деятельности на основе предвосхищения будущего результата составляет центральное звено мыслительного процесса. Оно непосредственно связано с развитием образного мышления.

Завершающим этапом процесса мышления являются осмысление того, что получено, его оценка и обоснование. Осмысление позволяет соотнести решение задачи с системой понятий: подвести его под определенную категорию или конкретизировать ранее известное положение, раскрыть механизм взаимодействия объектов, явлений. Тем самым мышление продвигается на более высокий уровень обобщения. Оценка полученного результата позволяет определить, насколько он отвечает поставленной задаче, полностью или частично ее решает. В ходе обоснования решения выделяются его сильные и слабые стороны, допущенные ошибки. Проверка, критика, контроль характеризуют мышление как сознательный процесс. Критичность мышления проявляется также в чувствительности к проблемам, умении их распознавать.

Таким образом, мышление – это всегда активный процесс преобразования ситуации, имеющей личностную значимость для человека, процесс, включающий в себя элементы творчества, связанные с новизной решаемой задачи, мысленное оперирование образами, осознание и оценку итогов работы. Умение думать означает развитие всех этих компонентов мышления.

Степень сложности решаемой задачи определяет уровень активности мышления.

Мыслительные задачи различаются по своей трудности в зависимости от различных факторов. Привычность или непривычность ситуации определяет, можно ли применить уже известный способ действий или необходим поиск новых знаний. В первом случае роль мышления невелика, во втором мышление становится творческим.

Чем более стандартным и типичным для данного объекта является его качество, нужное для решения проблемной ситуации, чем больше оно соответствует его обычному применению, тем легче решается мыслительная задача. Так, мы не задумываемся, когда пользуемся гирей как мерой веса. Это ее прямое и привычное назначение. Чтобы использовать гирю как средство для забивания гвоздя, надо прежде увидеть в ней тяжелый предмет, т. е. выделить ее внутреннее свойство. Это поворачивание предмета все новыми сторонами, вычерпывание из него новой информации, при котором предмет включается в разные системы связей и отношений с другими предметами, характеризует активную, творческую сторону мышления. Наиболее творческими являются задачи, решение которых связано с открытием нового, ранее неизвестного человеку знания: способа решения задачи, обнаружения закономерности или некоторой зависимости между явлениями и пр.

Важную роль играет также и то, в каком виде сформулирована задача: дана она в наглядном практическом плане, допускающем действия с предметами, наглядном, но символическом (рисунок, чертеж и т. п.) или словесном. Сравните решение шахматной задачи с помощью доски и стоящих на ней фигур, на бумаге с условным обозначением доски и фигур, путем одного только ее словесного описания. Сложность процесса мышления значительно выше в третьем случае, когда весь процесс поиска решения протекает целиком в умственном плане.

В школьном возрасте под влиянием обучения мышление проходит сложный путь развития от эмпирического мышления, которое оперирует конкретными представлениями единичных предметов и часто опирается на случайные признаки предметов, к теоретическому мышлению, использующему научные понятия и отношения между ними. Овладевая знаниями, ребенок учится расчленять слитые в восприятии признаки предметов и явлений, выделять среди них однородные, характеризующиеся определенной общностью. Растет количество суждений, в которых наглядные моменты сводятся к минимуму. Происходит овладение обобщенным понятийным содержанием научного знания, формируется умение рассуждать гипотетически, критически рассматривав свои суждения как нуждающиеся в проверке и обосновании. Анализ задач начинается с предварительного мысленного их решения.

Какие бывают недостатки в развитии мышления!

На всех этапах развития мышления, независимо от вида мышления, т. е. от того, на каком уровне обобщения знаний протекает процесс, встречаются одни и те же недостатки, приводящие к ошибочным решениям. Первый - осуществление слишком широких обобщений, приводящее к обеднению знаний и их формальному усвоению. Второй - осознание только части ситуации, когда внимание обращается лишь на отдельные элементы ситуации, как правило, более знакомые, на основе которых строится объяснение материала и делаются выводы. Третий - направленность процесса мышления на обоснование суждения о ситуации, возникшего на основе стандартного, привычного подхода без анализа специфики рассматриваемой ситуации, сходство которой с известными может быть только кажущимся. Четвертый источник ошибок связан с необходимостью обращаться к более широкому представлению, частью которого служит рассматриваемая ситуация, включать ее в достаточно широкий контекст, чтобы выявить истинные связи между предметами, их причинную обусловленность. Все эти недостатки возникают из-за неумения управлять процессом мышления. Научиться думать – это значит овладеть теми умениями – элементами мыслительного процесса, которые обеспечивают обнаружение проблемы, поиск ее решения, осознание достигнутого. Это также означает научиться контролировать процесс мышления.

Развитие мышления как умения думать связано с вовлечением детей в активную деятельность, позволяющую приобрести необходимые навыки исследования проблемной ситуации и определения неизвестного, навыки выдвижения и проверки гипотез, анализа получаемых результатов.

Вовлечению детей в активную умственную деятельность способствует проблемно-диалогический метод обучения. При этом методе процесс усвоения знаний протекает не в форме изложения материала учителем и постановки им вопросов, на которые дети должны отвечать, а в форме обсуждения проблемы - диалога учащихся с учителем. В ходе такого диалога под руководством учителя дети самостоятельно исследуют ситуацию, определяют те знания, которые им необходимы для уяснения связей и отношений между элементами ситуации. Роль учителя состоит в поддержании активности детей, акцентировании их внимания на существенных вопросах рассматриваемого материала. При этом следует обращать особое внимание на те перечисленные выше моменты, которые служат источниками ошибок, и стремиться обеспечить полный учет той информации, которой располагают учащиеся, включая их знания, установление как можно более широких связей с известным, точность обобщения. Очень важно, чтобы дети учились доводить процесс решения до конца: не только находили какое-либо решение, но и умели его объяснить на доступном им уровне, выделить его достоинства и недостатки.

Проблемно-диалогический метод обучения, предоставляя детям, возможность в начале изучения каждой темы свободно задавать и обсуждать любые вопросы по изучаемому материалу, позволяет им выделить и четко сформулировать основные проблемы рассматриваемой темы. Сопричастность детей к постановке проблем делает их личностно значимыми, стимулирует познавательную активность, связанную с решением намеченных проблем, приобщает ребят к исследовательской деятельности.

Наряду с этим полезны и специальные задания, позволяющие детям отдельно тренировать те умения, о которых шла речь: искать неизвестное, задавать вопросы, строить догадки и предположения, предсказывать последствия, устанавливать сходство и различие предметов и явлений и т. д.

Существенным моментом в развитии мышления детей является атмосфера, поощряющая их познавательную активность, одобрение разных ее проявлений. В такой атмосфере дети начинают верить в возможности своего ума, способность решать проблемы.

1.2. Математическое мышление.

1.2.1. Общая характеристика развивающегося математического

мышления школьников.

Роль математического мышления в процессе обучения

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированостью умений выявлять, усваивать и запоминать основное из того большого объема информации, который содержит школьный курс математики.

Таким образом, у школьников должны быть сформированы определенные качества мышления, твердые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес. Поэтому естественно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в средней школе большое значение имеет проблема формирования у учащихся математического мышления.

Специфика математики такова, что изучение этого учебного предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на развитие мышления школьников. В самом деле, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т. д.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике (и в частности, при решении задач).

«Решение задач – вовсе не привилегия математики. Все человеческое познание есть не что иное, как непрекращающийся процесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем. И лишь тогда человек усвоит научные формулы и положения, когда увидит в них не просто фразы, которые надлежит запомнить, а прежде всего с трудом найденные ответы на живые вопросы, на вопросы, естественно вырастающие из жизни. Ясно, что человек, увидевший в теоретической формуле ясный ответ на заинтересовавший его вопрос, проблему, трудность, эту теоретическую формулу не забудет. Ему не нужно будет ее зазубривать, он ее запомнит легко и естественно. А и забудет – не беда, всегда выведет снова, когда ему встретится ситуация – задача с тем же составом условий. Это и есть ум».

Поэтому, в отличие от традиционного обучения, современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления – специальным предметом усвоения.

В процессе эволюции математики-науки и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие «математическое мышление», существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Несомненно, между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.

Практика школьного обучения настойчиво требует от учителя проводить конкретную работу по развитию у учащихся математического мышления.

Математическое образование представляет собой сложный процесс, основными целевыми компонентами которого являются: а) усвоение школьниками системы математических знаний; б) овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; в) развитие мышления учащихся.

Еще не так давно считалось, что успешная реализация первой и второй из этих целей математического образования автоматически повлечет за собой успешную реализацию и третьей цели, т.е. считалось, что развитие математического мышления происходит в процессе обучения математике стихийно (спонтанно). В какой-то мере это верно, но только в какой-то мере!

Математическое мышление является не только одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в овладение школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Что такое математическое мышление?

К сожалению, в настоящее время в психологии мышления не выявилось единого подхода к трактовке мышления, к объяснению тех «механизмов», которые им управляют. В педагогической психологии отсутствует общепринятая концепция, на основе которой обучение и развитие школьников (в частности, математические обучение и развитие) могло быть организовано заведомо эффективно.

В современной психологии мышление понимается как «социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы».

Известно, что всякая познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий, переходя затем в мышление (сначала на 1 уровне представлений, а затем на уровне понятий). Понятия, выступая одновременно и как формы отражения реальных объектов, и как средства мысленного, идеализированного их воспроизведения, конструирования (т. е. как особое мыслительное действие), образуют микроэлементы научного знания. Человек продолжает познавать окружающий мир опосредованно, выявляя такие свойства изучаемого реального объекта и такие его связи с другими объектами, которые им непосредственно не воспринимаются, не ощущаются и не наблюдаются. Так возникают элементы научного знания.

«Науки в их современном виде... не имеют своим предметом сами вещи и их непосредственные проявления. Их познание требует построения специальных теоретических абстракций, выделения какой-либо определенной связи вещей и превращения ее в особый предмет изучения».

Тем самым расширяется круг познания человеком различных явлений реальной действительности, что в свою очередь ведет к расширению его восприятий и представлений.

Под математическим мышлением будем понижать, во-первых, ту форму, в которой проявляется диалектическое мышление в процессе познания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математики в других науках, технике, народном хозяйстве и т. д.; во-вторых, ту специфику, которая обусловлена самой природой математической науки, применяемых ею методов познания явлений реальной действительности, а также теми общими приемами мышления, которые при этом используются.

Очевидно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем «учить специфически человеческому мышлению – значит учить диалектике...». Последнее характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, единства, взаимосвязи и взаимозависимости понятии и соотношений. Мыслить диалектически, кроме того, означает проявлять способность к нешаблонному разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проблем; для диалектического мышления характерны также понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного.

Одной из разновидностей диалектического мышления является мышление научно-теоретическое (или мышление абстрактное). Отмечая, что «все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее».

В.В. Давыдов, исследовавший вопросы формирования научно-теоретического мышления у школьников, показал, что «лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление может истинно отразить свой объект, которое выступает как логическое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики... Так, лишь задавая человеку содержательное обобщение, можно полагать, что он будет ориентироваться именно на существенные свойства вещи и вычленять их из массы несущественных свойств, т. е. будет обладать «чутьем процесса». Критерий же такого обобщения (как и всех других категорий) формулирует диалектическая логика, выступающая тем самым и главным «критерием» теоретического мышления...»

Таким образом, полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое.

Математическое мышление, являясь мышлением диалектическим, есть вместе с тем мышление естественнонаучное и потому обладает многими свойствами, присущими последнему.

Естественнонаучное мышление может быть охарактеризовано со стороны соответствующих ему умений осуществлять поэтапное решение научных проблем. Совокупность таких умений определяет так называемый естественно научный метод познания, который состоит из следующих элементов: понимание проблемы; точное определение ее и отграничение от других проблем; изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой; планирование поиска решения проблемы; выбор наиболее вероятной гипотезы; планирование и проведение эксперимента по проверке гипотезы; проведение контрольного эксперимента; выводы и их обоснование, выбор оптимального способа решения; распространение выводов на новые ситуации, в которых действуют те же факторы.

Многие конкретные методы обучения естественным наукам разрабатываются в соответствии с ее указанным методом познания; характеристика его основных этапов, специфика соответствующих этим этапам умений могут и должны учитываться и в обучении математике, в частности при постановке учебных математических задач с прикладной направленностью.

О качествах научного (математического) мышления

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения.

Прежде всего, отметим, что математическое мышление часто характеризуют проявлением так называемых математических способностей. В психолого-дидактической и методической литературе в структуру математических способностей включаются многие качества мыслительной деятельности, именуемые либо как собственно математические способности (В. А. Крутецкий), либо как особенности мышления математика (А. Н. Колмогоров), ибо как качества ума (К. К. Платонов), либо как компоненты обучаемости (3. И. Калмыкова) и т.д.

Существует общее мнение об активной работе в процессе математического мышления определенных качеств мышления (например, гибкость, пространственное воображение, умение выделять существенное и т. д.), которые в равной степени могут быть соотнесены как к математическому мышлению, так и к мышлению физическому, техническому и т. д., т. е. к научному мышлению вообще.

Эти особенности мышления мы будем называть качествами научного мышления. Они представляют особую дидактическую значимость: формирование их у школьников способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла.

Последняя мысль подтверждается результатами исследований советского педагога Ю. К. Бабанского, показавшего, что успешность учения школьников тесно связана с сформированностыо y них таких качеств мышления, как самостоятельность мышления (коэффициент корреляции 0,89), умение выделять существенное (0,87), рациональность мышления (0,85), гибкость мышления (0,85), логичность речи (0,85), критичность мышления (0,84), зависимость успешности учения от уровня развития памяти и внимания оказалась меньшей.

К числу таких качеств научного мышления относятся гибкость (нешаблонность), оригинальность, глубина, целенаправленность, рациональность, широта (обобщенность), активность, критичность, доказательность мышления, организованность памяти, четкость и лаконичность речи и записи.

Все эти качества мышления сильно коррелируют друг с другом, часто выступают в органическом единстве. Поэтому ранжирование их по значимости весьма затруднительно, да и вряд ли целесообразное дидактической точки зрения. Важнее попытаться охарактеризовать их проявления практически.

Будем считать характерным для проявления гибкости мышления умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблем при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта.

Таким образом, гибкость мышления обнаруживается в быстроте ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в известном, выделять существенное, выступающее в скрытой форме. Интересно отметить, что А. Эйнштейн указывал на гибкость мышления как на характерную черту творчества.

Антиподом гибкости мышления является косность мышления, чаще называемая шаблонностью мышления или психологической инерцией.

Знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного индивидуума «проторенным путям». Возникает предрасположение к какому-либо конкретному методу или образу мышления, желание следовать известной системе правил в процессе решения задач, – шаблонность мышления.

Шаблонность мышления является весьма серьезной помехой изобретательству и вообще творческой деятельности; нередко шаблонность мышления выступает как следствие обучения. И действительно, опыт показывает, что шаблонность мышления весьма характерна для многих школьников (как часто, например, школьники начинают решать незнакомую им задачу тем способом, который им «первым пришел в голову»). Именно на преодоление этого качества мышления направлены известные эвристики типа: «Забудь о том, что знаешь», «Помни, что методов много, а не один», «Не иди по проторенному пути» и т. п.

С шаблонностью мышления связан и эффект, называемый функциональной устойчивостью, согласно которому в большинстве случаев объекты, используемые в данной ситуации в обычных для них функциях, не используются в новом качестве.

Этим, в частности, объясняются те трудности, которые связаны с переосмысливанием школьниками условия задачи, являющимся необходимой предпосылкой ее успешного решения. Вот один из характерных примеров.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

рис. 1

Параллельные прямые АВ и CD пересечены прямой EF, величина одного из внутренних углов при точке О (рис. 1 ) равна 130°. ОМ – биссектриса этого угла. Определить величину угла, образованного ею с прямой CD.

Здесь прямая ОМ выступает одновременно и как биссектриса, и как секущая. Ее роль как биссектрисы угла создает функционального устойчивость, в силу которой учащиеся часто затрудняются в: использовании этой прямой в качестве секущей.

Следует отметить, что шаблонность мышления, присущая многим школьникам, имеет как негативный, так и позитивный характер. Она избавляет школьника от необходимости заново усваивать те или иные операции, решать задачи тех типов, которые неоднократно им встречаются, безусловно, положительно сказывается на результатах обучения.

Однако шаблонность мышления мешает школьникам мыслить оригинально, отделять главное от второстепенного, отыскивать новые пути решения задач, применять известные им знания в новой ситуации. Понятно, что все это не способствует развитию творческих потенций школьника.

Поэтому в обучении математике весьма важно помогать школьникам преодолевать этот «психологический барьер», развивать у них гибкость мышления.

Высший уровень развития нешаблонного мышления проявляется в оригинальности мышления, которая в школьном обучении математике, как правило, выступает в необычности способов решения известных учащимся задач. Оригинальность мышления, чаще всего, проявляется как следствие глубины мышления. Глубина мышления характеризуется умением проникать в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами; выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале (в условии задачи, способе ее решения, результате); умением конструировать модели конкретных ситуаций. Глубину мышления нередко называют умением выделять существенное.

Известно, что познание регулируется по двум каналам отражения реальной действительности (объекта познания): по весьма узкому каналу отражения самого объекта и весьма широкому каналу отражения его фона (совокупности связанных с этим объектом различных свойств его самого и других, связанных с ним объектов); при этом второй канал часто функционирует бессознательно. Это вызвано тем, что знания и опыт откладываются в памяти (и воспроизводятся в ней) своеобразными комплексами понятий и представлений – «готовыми фрагментами ответов» на соответствующие вопросы. В процессе воспроизведения вспоминается не только то, что требуется вспомнить, но и многие бесполезные в данной ситуации положения, так или иначе связанные в сознании с основным объектом.

Процесс отделения фона от самого объекта – сложный процесс. Величина фона в значительной степени зависит от тех условий, в которых происходит изучение объекта, равно как и от умений изучить этот объект в его существенных свойствах достаточно глубоко. Поэтому глубину мышления (умение выделять существенное) правомерно считают качеством, формирование которого у школьников является важнейшим условием успешности обучения математике.

Таким образом, глубина мышления проявляется прежде всего в умении отделить главное от второстепенного, обнаружить логическую структуру рассуждения, отделить то, что строго доказано, от того, что принято «на веру», извлекать из математического текста главное из того, что в нем сказано (и не более того), и т.д.

Антиподом глубины мышления является поверхность мышления. Именно этим можно объяснить обычное для учащихся затруднение, возникающее у них при ответе на следующий вопрос: «Является ли последовательность вида 2,2,2, … прогрессией, если является, то какой?» Усвоив поверхностно определение прогрессии, учащиеся не понимают, что ответ на этот вопрос целиком полностью зависит от того, оговорена ли в определении возможность равенства нулю разности (или единице знаменателя прогрессии).

Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную той проблемой цель, а также в стремлении отыскать наиболее кратчайшие пути ее достижения.

Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно при поиске плана решения математических задач, при изучении нового материала и т. д.

Этому способствуют специально подобранные учителем задачи, вводящие в изучение новой темы, посредством которых перед учащимися раскрывается целесообразность ее изучения и последовательность рассмотрения относящихся к ней вопросов.

Целенаправленность мышления дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решается если не сложно, то слишком долго.

Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравственным качеством личности, как любознательность, своеобразным антиподом которому является любопытство. В основе того и другого качества личности лежат условные рефлексы, в силу которых избирательная активность человека всегда имеет целенаправленный, намеренный характер.

Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт человека именно в силу своей целенаправленности; любопытство, превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно удовлетворено. Поэтому в обучении математике следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытство.

«Чтобы обучаться, нам нужно только понимать то (приспосабливаться к тому), чему нас учат. Но, чтобы с пользой применять знания, нужно уметь задавать вопросы типа: «Так ли это?», «Почему?» – и особенно самый мощный из них: «А что, если...?» Чело-пек, который постоянно задает такие вопросы, уже не просто учится».

Антиподом целенаправленности является бесцельность мышления. Как уже отмечалось, целенаправленность мышления дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Тем самым целенаправленность мышления способствует проявлению такого качества, как рациональность мышления, характеризуемого склонностью к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремлением отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения.

Рациональность мышления часто проявляется при наличии широты мышления, которая характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом, не упуская при этом имеющих значение деталей; обобщить проблему, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения. Поэтому широту мышления часто называют обобщенностью мышления.

Это качество мышления проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для них факты в процессе деятельности в известной (знакомой им) ситуации.

Широта мышления учащихся проявляется также в умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты, обобщать их, использовать обобщение и аналогию как методы решения задач.

Антиподом широты мышления является узость мышления. Именно этим, например, объясняется распространенная ошибка учащихся, считающих единицу простым числом, и т. п.

Все рассмотренные выше качества мышления могут проявиться лишь при условии проявления активности мышления, которая характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить поставленную проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.

Активность мышления у учащихся проявляется также в желание рассмотреть различные способы решения одной и той же задачи, различные определения одного и того же математического понятия, обратиться к исследованию полученного результата и т.п.

Качество мышления, которое является антиподом данному качествy, есть пассивность мышления. Отметим, что пассивность мышления является одной из основных причин слабого математического развития некоторых школьников и, в частности, формального усвоения содержания обучения математике.

В числе качеств научного мышления важное место занимает критичность мышления, которая характеризуется умением оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости.

В процессе обучения математике это качество мышления у учащихся проявляется склонностью (и умением) к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного (искомого) результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.

Критичность мышления школьников проявляется также в уме-ми найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы натолкнуться на противоречие, помогающее осознать причину ошибки.

Отметим, что антипод данного качества мышления – некритичность еще свойственна многим учащимся средней школы.

С критичностью мышления тесно связана доказательность мышления, характеризуемая умением терпеливо и скрупулезно относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремлением к обоснованию каждого шага решения задачи, умением отличать результаты достоверные от правдоподобных; вскрывать подлинную причинность связи посылки и заключения.

Наконец, к числу важных качеств научного мышления относится организованность памяти.

Память каждого школьника является необходимым звеном в его познавательной деятельности, зависит от ее характера, целей, мотивов и конкретного содержания.

Организованность памяти означает способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению основной учебной информации и упорядоченного опыта.

Понятно, что в обучении математике следует развивать у школьников как оперативную, так и долговременную память, обучать их запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательства теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт.

Антиподом этого качества мышления является неорганизованность памяти, в силу которой происходит как запоминание несущественной учебной информации, так и забывание основной. Правда, при забывании мелких и незначительных фактов становится возможным запоминать достаточно большую по объему и богатую по содержанию информацию.

Организованность памяти дает возможность соблюдать принцип экономии в мышлении. Поэтому нецелесообразно загружать память учащихся ненужной или незначительной информацией, не накапливать у них опыт учебной деятельности, бесполезной для дальнейшего. Так, например, до недавнего времени школьники «разучивали» решения типовых текстовых задач, не имеющих большого познавательного значения; это весьма отрицательно сказывалось и на развитии их памяти.

Опыт показывает, что организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на понимании этих фактов. Поэтому зубрежка школьниками многочисленных правил является не только непродуктивной деятельностью, но и попросту вредной.

В процессе обучения математике развитию и укреплению памяти школьников способствуют: а) мотивация изучения; б) составление плана учебного материала, подлежащего запоминанию; в) широкое использование в процессе запоминания сравнения, аналогии, классификации и т. п.

Такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность речи и записи, не нуждаются в особых комментариях.

1.2.2. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся.

Конкретное мышление

Специфика математического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы (разновидности проявления мышления), которые в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами: конкретное и абстрактное мышление, функциональное мышление, интуитивное мышление и т.п.

Так как в процессе обучения математике обычно используются так называемые конкретно – индуктивные или абстрактно-дедуктивные методы обучения, то, естественно, возникает необходимость (из дидактических соображений) говорить о конкретном (предметном) или абстрактном мышлении школьников.

Конкретное (предметное) мышление – это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта.

Различаются две формы конкретного мышления:

1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);

2) оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью объекта).

Неоперативное конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными образами, воспринимая мир лишь на уровне представлений. То, что школьники на этом уровне развития не владеют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим некоторые из них:

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

1. Детям демонстрируются два сосуда (рис. 2 , а) одинаковой формы и размеров, содержащие поровну темную жидкость. Дети легко устанавливают равенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда переливают в другой более высокий и узкий (рис. 2 , б) и предлагают сравнить количество жидкости в этом сосуде и оставшемся нетронутым. Дети утверждают, что в новом сосуде жидкости стало больше.

2. Детям демонстрируют цветы: васильки и маки (например, 20 маков и 3 василька) и спрашивают, чего больше: цветов или маков? И хотя дети как будто бы знают, что и васильки и маки суть цветы, они отвечают, что маков больше.

3. Через полую непрозрачную трубку (рис.3) на виду у детей пропускают проволоку с фиксированными на ней шариками (красным, белым, синим, зеленым), пока все шарики не скроются в трубке.

Дети наблюдают порядок «вхождения» шариков в трубку. Затем начинают обратное движение проволоки, предлагая детям назвать цвет шарика, который теперь выйдет первым, вторым и т. д. Дети обычно называют шарики в том порядке, в каком они «входили» в трубку.

Дело в том, что неоперативное мышление детей еще непосредственно и полностью подчинено их восприятию и потому они пока не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета. В частности, думая о первом сосуде (см. первый опыт Ж. Пиаже), дети смотрят на новый сосуд и им представляется, что жидкость в нем занимает больше мест а, чем раньше (уровень жидкости стал выше).

Их мышление, протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу (следуя за восприятием), что жидкости в сосудах стало непоровну.

В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на неоперативное конкретное мышление учащихся проявляется при использовании различных наглядных » пособий, диафильмов, кино и телевидения.

Возвращаясь к описанным выше трем опытам Ж. Пиаже, отметим, что сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутствием у них способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому и обратимость), без формирования которых невозможно овладение понятием натурального числа.

Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает (и это утверждение согласуется с мнениями многих советских психологов), что оперативное конкретное мышление является более действенным для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности, лежащей в основе развивающейся психики ребенка.

Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.

Поэтому психологи рекомендуют широко использовать различные дидактические пособия (например, геоплан Гаттеньо, линеечки Кюзинера и т. п.), с которыми школьники могут действовать непосредственно в процессе обучения. В процессе обучения математике роль конкретного мышления особенно велика в младших и средних классах. В целях развития у учащихся этого типа мышления, помимо традиционного применения наглядных средств в обучении, необходимо учить школьников общим рассуждениям на конкретных (частных) примерах.

В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает, в то время как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобщение конкретного.

Особенно полезно использовать это положение при введении в новую тему. В учебном пособии И. К. Андронова и А. К. Окунева таким путем рассматривается, например, вопрос о введении понятия о тангенсе острого угла (решается задача о целесообразном наклоне крыши здания, затем вводится понятие тангенса угла наклона и, наконец, изученные круговые функции применяются к определению расстояния Земля – Луна).

Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретного мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным представлениям может иногда оказаться вредным. Так, например, чрезмерное увлечение наглядностью преподавания начал стереометрии может затормозить формирование у учащихся пространственного воображения.

Абстрактное мышление

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Напомним, что абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Абстрактное мышление может проявляться в процессе обучения математике:

а) в явном виде. Например, рассматривая в курсе геометрии понятие геометрического тела, мы явно отвлекаемся от и всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров и положения в пространстве;

б) в неявном виде. Например, при счете предметов. конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого ; отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы (тождественны).

Абстрактное мышление можно подразделить на:

1) аналитическое мышление;

2) логическое мышление;

3) пространственное мышление.

1. Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:

а) аналитический способ доказательства теорем и решения задач (чтобы узнать, надо знать);

б) решение задач методом уравнения;

в) исследование результата решения некоторой задачи и т.п.

В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше математической деятельности, учитель может способствовать развитию у учащихся аналитического мышления.

Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа .

2. Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обучения математике логическое мышление проявляется (и развивается) у учащихся, прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задачи т.п.

3. Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.

Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления, учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся. В определенной степени развитию пространственного мышления способствует использование в обучении таких технических средств обучения, как кинофильмы, диафильмы, диапозитивы, кодоскоп.

Широкое применение наглядных пособий (в частности, анаглифов) при изучении стереометрии, конечно, в какой-то мере способствует развитию у учащихся пространственного мышления (и воображения).

С этим типом мышления тесно связана способность учащихся выразить при помощи, какой – либо схемы тот или иной математический объект, операции или отношения между объектами. Схемы, которые при этом составляются, могут иметь самый разнообразный характер.

Интуитивное мышление

«Интуиция (лат. intuito – пристальное всматривание) – особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины. . . К области интуиции принято относить такие явления, как внезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям, мгновенное нахождение единственно верного способа избежать опасности, быстрое и безотчетное отгадывание замыслов или мотивов поведения человека и т. д.»

В современной педагогике специфику интуитивного мышления в его отличии от аналитического мышления пытался рассмотреть Дж. Брунер. «Можно более конкретно охарактеризовать аналитическое и интуитивное мышление. Аналитическое мышление характеризуется тем, что его отдельные этапы отчетливо выражены и думающий может рассказать о них другому человеку. Такое мышление обычно осуществляется с относительно полным осознанием как его содержания, так и составляющих его операций...

В противоположность аналитическому, интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно имеет тенденцию основываться, прежде всего, на свернутом восприятии всей проблемы сразу. Человек достигает ответа, который может быть правильным или ошибочным, не осознавая при этом (если вообще такое осознание имеет место) тот процесс, посредством которого он получил искомый ответ... Обычно интуитивное мышление основывается на знакомстве с основными знаниями в данной области и с их структурой, и это дает ему возможность осуществляться в виде скачков, быстрых переходов, с пропуском отдельных звеньев; эти особенности требуют проверки выводов аналитическими средствами – индуктивными или дедуктивными».

В процессе традиционного школьного обучения математике иногда основное внимание уделяется точному воспроизведению школьником полученных им знаний. Поэтому нередко своеобразный ответ одаренного учащегося ценится меньше, чем хорошо заученный ответ другого. В первом случае, хотя учащийся не в состоянии четко изложить ход своих мыслей, он приходит к правильному результату, показывая хорошее умение применять свои знания, во втором – учащийся много и правильно говорит, но по существу не умеет пользоваться понятиями, выраженными в его речи.

Часто преподавание математики строится именно так. Школьник учится не столько понимать математические отношения, сколько просто применять определенные схемы или правила без понимания их значения и связи. После такого неудачного начала обучения учащийся приходит к убеждению, что самое важное – быть «точным», хотя точность относится скорее к вычислениям, чем вообще к математике. Американский педагог-психолог Д. Брунер пишет, что «...Быть может, самым поразительным примером такого подхода является первоначальное изложение евклидовой геометрии учащимися средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометрическими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде «интуитивной» геометрии, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее».

В настоящее время развитие интуитивного мышления привлекло внимание многих прогрессивных педагогов-математиков. На роль интуиции в обучении математики указывает А. Н. Колмогоров, Который пишет: «...Везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными.

...Геометрическое воображение, или, как говорят, «геометрическая интуиция», играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных. В школе обычно с особенным трудом дается наглядное представление пространственных фигур. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком (по сравнению с обычным школьным уровнем), чтобы, закрыв глаза, без чертежа ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диагоналей».

Правда, значение интуиции нельзя переоценивать. Конечно, человек с хорошо развитой способностью к интуитивному мышлению обычно обладает определенными математическими способностями, но сама по себе интуиция не может обеспечить хорошего знания предмета.

Д. Брунер высказывает мысль, что «может быть, прежде всего, нужно создать интуитивное понимание материала и только тогда знакомить учащихся с более традиционными и формальными методами дедукции и доказательства».

То же самое отмечает и Э. Кастельнуово в книге «Дидактика математики».

Говоря об обучении геометрии, она указывает, что надо сделать так, чтобы курсу «рациональной» геометрии предшествовал курс «интуитивной» геометрии. Этот курс должен быть построен таким образом, чтобы к 14 годам дети имели полное представление о мире геометрических фигур и вопросы, изученные в начале на интуитивной основе, были затем повторены с более абстрактной точки зрения, т. е. предлагается метод действия с объектом, а не метод наблюдения над ним.

Автор ставит вопрос: «Если ясно, что надо начинать с изложения курса интуитивной геометрии, исходя из конкретного развития понятий и свойств, то какой смысл следует придавать опоре на конкретное?» И приводит пример, рассказывающий о различном подходе к конкретному: представим, что с детьми 11 лет мы изучаем квадрат. Чтобы дать определение этой фигуры, впрочем, уже известной всем детям этого возраста, исходя из конкретного, можно вырезать квадраты из листа бумаги и дать детям задание наблюдать за сторонами и диагоналями вырезанных квадратов. Можно привести примеры предметов, имеющих форму квадратов, сравнить квадраты с другими видами четырехугольников. Все это делается для того, чтоб ученик смог самостоятельно дать определение. Отправляясь от небольшого числа наблюдений неподвижных фигур, учащийся 11 лет, как правило, не способен сделать это самостоятельно.

Автор предлагает другой, более естественный путь, используя не наблюдения над объектом, а действия с объектом.

Детям дают равные между собой планки и винты для их скрепления. Скрепив планки, учащиеся замечают, что фигура, которую они получили, может изменятся, преобразовываться в ромб.

Если сосредоточить внимание ребенка на элементах, которые не изменяются и которые изменяются при переходе от одной фигуры к другой, то он сможет интуитивно почувствовать постоянство суммы величин углов и изменение суммы длин диагоналей через рассмотрение предельных случаев, когда ромб «стремится» к отрезку. В этом случае наблюдение за большим числом фигур образующихся при преобразовании квадрата, приводит к характеристике и квадрата через ромб и, следовательно, к определению фигуры.

Д. Брунер задает вопрос: «Является ли более вероятным развитие интуитивного мышления учащегося в тех случаях, когда преподаватель сам мыслит интуитивно?.. Кажется невероятным, чтобы учащийся мог развить у себя или имел доверие к интуитивному методу мышления, если он никогда не видел, как его эффективно используют взрослые. Учитель, который готов по догадке давать ответ на вопрос, заданный классом, и затем подвергнуть свою догадку критическому анализу, быть может, с большим успехом сформирует у своих учащихся умение пользоваться интуицией, чем тот учитель, который анализирует все свои впечатления заранее...

...Следует ли стимулировать учащихся к догадкам? Как создавать ситуации, требующие напряжения интеллектуальных процессов? Возможно, что имеются определенные условия, в которых догадки желательны и могут в некоторой степени способствовать нормированию интуитивного мышления. Такие догадки нужно заботливо развивать. Однако в школе выдвижение догадки часто тяжело наказывается и как-то ассоциируется с леностью учащихся. Конечно, никому бы не понравилось, если бы наши учащиеся не отмели совершать иных интеллектуальных операций, кроме догадок, как за догадками всегда должны следовать проверка и подтверждение в той мере, в какой это необходимо... Не лучше ли для учащихся строить догадки, чем лишаться дара речи, когда они не могут немедленно дать правильный ответ?»

Поэтому в процессе обучения математике следует всячески поощрять у учащихся желание и способность к догадке. При этом следует каждый раз обращать внимание учащихся на то, что каждая гипотеза, выдвинутая при помощи догадки, нуждается в проверке на правдоподобность и в обосновании (если она не будет опровергнуты каким-либо примером).

Интуитивное мышление нередко проявляется в процессе умозаключений по аналогии.

Так, например, пусть нам известно, что центр тяжести однородного треугольника совпадает с центром тяжести трех его вершин (т. е. трех материальных точек одинаковой массы, помещенных в трех вершинах треугольника).

Зная это, мы можем предположить, что центр тяжести однородного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех вершин. Такая догадка представляет собой «догадку по аналогии». Зная, что треугольник и тетраэдр похожи друг на друга во многих отношениях, мы и высказываем эту догадку. Предоставляем читателю самостоятельно проверить, насколько верна высказанная только что догадка.

Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики – идеи функции.

Как известно, одним из центральных требований начальной стадии международного движения за реформу математического образования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание на развитие у школьников функционального мышления, наиболее характерными чертами, которого являются:

а) представление математических объектов в движении, изменении;

б) операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно-следственными связями;

в) склонность к содержательным интерпретациям математических фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики.

Как показывают исследования, наглядно кинематические и физические представления, лежащие в основе функционального мышления, органически сливаются с формально-логическими компонентами мышления.

Одним из средств развития функционального мышления могут служить системы задач на математическое выражение и исследование конкретных ситуаций с ярко выраженным «функциональным Содержанием».

В общем случае решение такой задачи содержит в себе три момента:

1. В изучаемом явлении выделяют основные, существенные связи, отбрасывая второстепенные, несущественные детали, вводят различного рода упрощения и допущения.

2. Связав объекты, выступающие в изучаемом явлении, с числами или геометрическими образами, переходят от зависимостей между этими объектами к математическим соотношениям – формулам, таблицам, графикам.

3. Полученные математические соотношения исследуют, пользуясь уже известными, выработанными и изученными математическими правилами действий над ними, а результаты исследования истолковывают в терминах и понятиях изучаемого явления.

К сожалению, на практике из-за недостатка времени нередко приходится ограничиваться неполными задачами, содержащими только некоторые из перечисленных выше элементов. Какими именно, зависит от возраста учащихся и преследуемых учителем целей.

Нетрудно обнаружить, что разновидности математического мышления являются не чем иным, как специфическими формами - проявления диалектического мышления в процессе изучения математики. Можно, например, указать на тот факт, что так называемое функциональное мышление является адекватным осознанию изменчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических понятий и соотношений, что характерно для диалектического мышления.

Известно также, что наряду с задачей развития логического мышления, составляющей одну из задач обучения математике, в школьном обучении должна решаться не менее важная, хотя и более общая задача – задача воспитания логической грамотности. Содержание понятия «логическая грамотность» доставляют такие логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни. Исследования Л. Никольской показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и умениями: умения определять известные понятия, классифицировать, понимать смысл основных логических связок, распознавать логическую форму математических предложений, доказывать утверждения и обнаруживать логические ошибки, организовывать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации, мыслить критически, последовательно, четко и полно, владеть основными мыслительными приемами. Нетрудно обнаружить, что в понятие логической грамотности вкладываются не только соответствующие знания и умения, но и сформированность многих качеств научного мышления. Поэтому задача воспитания логической грамотности правомерно рассматривается как важный элемент общей культуры мышления.

Развитие же логического мышления учащихся в процессе обучения математике есть, прежде всего, развитие теоретического мышления, которое представляет собой один из важнейших аспектов развития диалектического мышления. В самом деле, не только в ходе обучения и развития, но и в ходе воспитания, и в особенности в процессе формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников, предполагается целенаправленная работа учителя по развитию логического мышления, основанная на самом содержании учебного материала и его методологии. Конечным итогом обучения любому предмету (в том числе и математике) должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования материи. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сделаны самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий, в процессе изучения конкретного учебного предмета, под руководством учителя.

Таким образом, с научной точки зрения говорить о вышеуказанных типах мышления как о компонентах, присущих только математическому мышлению, было бы неверно.

Вместе с тем с дидактических позиций выделение этих компонентов математического мышления возможно и даже целесообразно, т. е. целенаправленная работа учителя по формированию у школьников функционального, логического, интуитивного и т. д. мышления реализует задачу математического развития учащихся в целом.

Использование условной терминологии дает возможность ориентировать учителя на ту или иную сторону развития математического мышления у школьников в соответствующих методических рекомендациях. Так, обратимся еще раз, к примеру, упомянутому ранее. Говоря о необходимости развития у учащихся абстрактного мышления, можно рекомендовать учителю, приступающему к преподаванию систематического курса геометрии, начать с рассмотрения реальной ситуации – задачи проведения трубопровода между двумя пунктами. Сам трубопровод представляет собой реальный объект, обладающий самыми различными, важными в практическом смысле свойствами: весом отдельных звеньев, качеством металла, размерами, формой, протяженностью, качеством покрытия, пропускной способностью и т. д.

Начиная проектировать строительство трубопровода, инженер-конструктор, прежде всего, будет интересоваться протяженностью и трассой, по которой он будет проложен. На этом уровне конструктор отвлекается от всех других свойств этого объекта, обращая внимание лишь на названные выше свойства; возникает абстрактная модель трубопровода в виде геометрической линии. Руководствуясь оптимальными условиями эффективной работы трубопровода, инженер начинает изучать вопрос о необходимой для этого форме и размерах трубопровода, не интересуясь теперь тем, по какой трассе он будет проложен. Возникает новая абстрактная модель этого же объекта, представленная в виде геометрического тела. Прораб, который руководит обкладкой трубопровода изоляционным материалом (или окраской трубопровода, защищающей его от коррозии), имеет дело уже с другой абстрактной моделью трубопровода: он рассматривает его как геометрическую поверхность. Решение этой и других аналогичных ей задач устанавливает полезность рассмотрения среди многообразных свойств объекта таких свойств, как размеры, форма и положение в пространстве. Возникает целая отрасль научного знания об объектах реальной действительности, в которой изучаются именно эти свойства реальных объектов, называемая геометрией.

Таким образом, тезис В. И. Ленина о том, что «диалектика вещей создает диалектику идей...», имеет отношение, но только к анализу природы абстракции, но и к методам обучения математике. Говоря о том, что в процессе обучения математике необходимо развивать абстрактное мышление школьников, мы, в частности, имеем в виду широкое использование методических приемов, аналогичных вышеприведенному.

В состав математического мышления включаются мыслит ильные умения, адекватные известным методам научного познания. В практике обучения математике от выступают не столько как методы математической деятельности, сколько как комплекс средств, необходимых для усвоения учащимися математики и развития у них качеств, присущих математическому мышлению. Эти мыслительные умения могут проявиться (и формироваться) в обучении на уровнях эмпирического и научно-теоретического мышления.

Наряду со спецификой математического мышления справедливо P3Дичать специфику физического, технического, гуманитарного и других видов мышления. Именно в силу этой специфики в процессе познания конкретных наук (и обучения конкретным учебным предметам) активизируется развитие того или иного компонента мышления вообще, усиливается роль того или иного приема мыслительной деятельности, того или иного метода познания.

Формирование математического мышления школьников предполагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления.

В процессе обучения математике естественно уделять особое внимание развитию у учащихся качеств мышления, специфичных для мышления математического. При условии, что проблеме развития мышления школьников при изучении других учебных предмета будет уделено должное внимание, опасность одностороннего развития мышления школьников не возникает. Развивающее обучение, осуществляемое при изучении других учебных предметов, неизбежно приведет к усилению развития тех компонентов мышления, которые с точки зрения математического образования считаются второстепенными.

Органическое сочетание и повышенная активность разнообразных компонентов мышления вообще и различных его качеств проявляются в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять деятельность творческого характера в самых разнообразных областях науки, техники и производства. Так называемые математические способности – это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных (и применяемых) в процессе математической деятельности.

Совокупность способностей, присущих творческой личности, реализуемых в процессе мышления, называют творческим мышлением.

1.3. Развитие мышления при обучении математике.

1.3.1. Средства и условия развития мышления.

Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оперировать в процессе реализации цели.

Среди теорий, рассматривающих проблемы развития мышления, интеллекта, следует выделить ассоцианистскую теорию, стоящую у истоков многих других теорий развития (Д.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн и др.). Мышление, согласно этой теории, – это процесс.

Мыслительный процесс делится на акты, этапы, каждый из которых имеет результативное выражение – «продукт». Последний включается в дальнейшее протекание процесса. Предметом психологического исследования являются не продукт, а процесс, процессуальное мышление.

Внутренние закономерности мышления – это закономерности мыслительных операций анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования и др. и их взаимосвязей.

Согласно этой теории и ученик и ученый овладевают новыми знаниями с помощью мыслительных операций, формы и уровень которых различны. По мере формирования операций формируется интеллект.

Каждый учебный предмет имеет свою специфику, и каждая умственная операция преломляется через специфику содержания предмета. Эти операции не привлекаются извне, они порождаются процессом мышления в результате анализа задачи, ее условий.

Одним из ключевых моментов поиска решения задачи, согласно рассматриваемой теории, является перенос уже имеющегося способа решения на новую задачу. Перенос решения предполагает аналитико-синтетическую деятельность относительно решаемой и решенной задачи. Использование вспомогательной задачи может быть осуществлено только при достаточном анализе основной задачи. Раскрытие общего в обеих задачах - необходимое условие переноса. Перенос не осуществляется решающим в силу следующих обстоятельств: не знает, забыл вспомогательную задачу, не умеет в задачах найти общее, недостаточная обобщенность результата решенной задачи. Если, например, учащиеся, изучившие теорему Пифагора, не могут перенести ее условия на ситуацию, связанную с ромбом, значит, ими не проведена аналитико-синтетическая деятельность по анализу задачи, выделению главного, определяющего метод решения задачи.

Содержанием процесса переноса является анализ через синтез, т. е. рассмотрение ситуации с различных точек зрения.

Говоря о теориях развивающего обучения нельзя не сказать о теории Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, получившей особенно широкое распространение в начальной школе, в том числе при обучении математике. Эта теория постепенно завоевывает свое место и в средней школе. В чем суть рассматриваемой концепции? В чем выражается эффект развития и за счет чего он получается?

Исходные установки концепции Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова касаются всех сторон обучения. Это – создание условий для развития личности ребенка, смена содержания обучения, изменение форм работы с детьми. Изменение содержания курса диктуется основным положением концепции - изучением содержания на уровне теоретического обобщения. Теоретические знания, согласно концепции, должны отражать внутренние существенные связи материала, не данные в рамках чувственного опыта. Произвести содержательное обобщение - значит открыть некоторую закономерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Теоретические обобщения возникают не путем простого сравнения предметов, а с помощью выявления генетической основы всех конкретных проявлений целостной системы.

Основная форма организации изучения материала в этой теории – постановка и решение учебных задач в рамках проблемного подхода. Понятие «учебная задача» введена авторами концепции. Она означает обобщенное знание, обобщенное умение. Примеры обобщенных знаний: как устроено определение понятия, почему необходимы неопределяемые понятия, как устроена дедуктивная теория. Примеры обобщенных умений/анализировать условие задачи, составлять прием решения типовой задачи, применять любое правило на практике, читать математическую книгу и многое другое.

Учебная задача существенно отличается от многочисленных частных задач, входящих в программу того или иного класса при традиционном обучении. При решении учебной задачи школьник первоначально овладевает общим способом решения частных задач на уровне теоретического обобщения. Задача решается для всех однородных случаев сразу. Разрешение учебной задачи всегда заканчивается построением программы, предписания, алгоритма - получением ориентировочной основы для решения сходных задач.

Эта ориентировочная основа является основанием для анализа условия, планирования, осуществляемых учеником при решении частных задач, для рефлексивных действий, для развития соответствующих особенностей мышления, которые являются показателями развитого мышления.

Итак, каждая из рассмотренных концепций предлагает свой путь развития мышления, свой путь организации обучения, свои формы и методы работы, свой подход к содержанию материала. Представляется, что, во-первых, в практике обучения нельзя исходить из одной, пусть даже очень эффективной, концепции. Процесс обучения многогранен, поэтому необходим подход к нему с точек зрения различных теорий, различных концепций. Во-вторых, теории развивающего обучения не только не противоречат друг другу, но имеют много общего. Все они предполагают обучение учащихся ориентированию в неопределенных ситуациях, анализу этих ситуаций, уточнению целей, поиску выхода из затруднительной ситуации, осознанию путей выхода из ситуации.

Рассмотренные теории могут найти свое место в процессе обучения - в организованном процессе передачи старшим поколением младшему своего опыта.

Многие педагоги и психологи в качестве важнейшего показателя развития личности выделяют наличие систематизированных знаний, накопление фонда знаний относят к одной из важнейших задач умственного воспитания, считают, что если школа не добивается от учащихся глубоких, прочных знаний, то она не может развивать мышление и творческие способности. Знания как предмет обучения являются лишь одной из целей обучения, но этот такая цель, в которой концентрируются другие цели обучения. Без знаний не может быть умений. Знания являются предпосылкой, средством и результатом творчества. Без глубоких систематизированных знаний невозможно формирование мировоззрения. Достаточно полный и систематизированный запас знаний об окружающем мире является важнейшим показателем развития личности учащегося. Знания - не только фонд для осуществления мышления. Усвоение содержания не есть акт простого присвоения знаний. Осознание содержания даже при предъявлении его в готовом виде объяснительно-иллюстративным методом предполагает понимание его внутренней логики, различных взаимосвязей элементов знаний, соотнесение новых знаний с имеющейся системой знаний, ее дополнение, изменение. Усвоение знаний при любых методах обучения предполагает осуществление мыслительных операций, заложенных в содержании, результатом выполнения которых и является осознание содержания. Логика содержания в значительной мере определяет логику познания. И развитие происходит при всех формах передачи знаний, хотя и в разной степени. При передаче знаний также предполагается и деятельность прогнозирования при восприятии материала, предвосхищение взаимосвязей в этом материале. Происходит сопоставление нового с собственным опытом, критический его анализ. Возникают различные аналогии. И если ученик впервые в каком-либо содержаний встречается, например, с отношением транзитивности и понимает его в соответствующем контексте, то это хоть и небольшое, но продвижение в развитии его мышления.

Итак, создание системы знаний, наличие этой системы является и условием, и средством, и показателем развития мышления.

Но знания важны не сами по себе. Важно функционирование знания в мышлении, выработка собственных практических решений под воздействием знаний. Необходимо заботиться не просто о системе знаний, а об интеграции знаний в такую систему, которая соответствует логике решения задач. Гибкость, подвижность, обобщенность, осознанность, систематизированность знаний приобретается и проявляется в применении знаний, в умениях применять знания.

Умение есть овладение «технологией» деятельности, т. е. процессом ее построения, контроля, коррекции и оценки. Многие педагоги и психологи под развитием личности субъекта понимают процесс становления его готовности к самостоятельной организации своей работы в соответствии с возникшими или поставленными задачами различного уровня сложности, в том числе выходящими за рамки ранее усвоенного. А готовность субъекта к самостоятельной деятельности напрямую зависит от сформированности умений.

Если исходить из классификации умений, разделяющей умения на организационные, практические и интеллектуальные, то последние можно разделить на общие и специальные.

В связи с нашим подходом к анализу процесса мышления среди общих интеллектуальных умений выделим умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности, и умения эвристического поиска.

Тогда к первой группе умений можно отнести умения обобщать, сравнивать, анализировать и т. д. Ко второй группе – умение рассуждать доказательно, предъявляя аргументы для подтверждения каждого факта, правильно формулировать определения понятий, подводить под определение, распознавать свойства и признаки, и многое другое. К умениям вести эвристический поиск можно отнести умения видоизменять цель, разбивать задачи на подзадачи, рассматривать один и тот же объект с различных сторон, выделять частные случаи для получения общей закономерности и т.д.

Ко второй группе умений – специальных можно отнести умения по использованию координатного, векторного метода решения задач, умение решать задачи с помощью составления уравнений и т.д.

1.4. Развитие логического мышления при обучении математике.

1.4.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся.

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

Во-первых, проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать проблему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомендациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты, обшей задачи развития логического мышления. Есть необходимость в целом сформулировать проблему.

Существуют различные трактовки терминов «логика мышления», «логическое мышление». В педагогике, в методике преподавания математики эти понятия отдельными авторами понимаются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое понимание охватывает и логику поиска нового знания (диалектическую логику) и логику оформления имеющегося знания и логику здравого смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.

Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мышление четко не разделяются.

В данном изложении принята точка зрения на логическое мышление как отличное от диалектического, творческого, мышления поиска нового знания.

В реальном процессе мышления творческое и логическое мышление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.

В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мышление - мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие процесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психологи, изучавшие процесс мышления (Я. А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логические рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта, интуиции.

Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении.

Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном процессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расставляя в обычном учебном материале определенные акценты.

Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдельных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.

Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в массовой школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают многочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение, не умеют строить отрицания высказываний и т. д. Приведем примеры типичных ошибок учащихся. Например, при обосновании, что треугольник со сторонами 3,4,5 является прямоугольным, называется теорема Пифагора, а не ей обратная. При определении понятий неверно указывается родовое понятие: «Диаметр – прямая, проходящая через центр окружности». Неверно или не полностью указываются видовые отличия: «Параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого боковые стороны равны». Отсутствует родовое понятие или видовое отличие: «Средняя линия трапеции – это отрезок», «Параллелограмм – это когда стороны параллельны». Формулировки определений избыточны: «Равнобедренный треугольник – это треугольников котором стороны, лежащие против равных углов, равны».

Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения – признак и т.д.

Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении связи между понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой. Пример неверной классификации: «Прямые в пространстве могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися, скрещивающимися». И т. д.

Как можно видеть, существует необходимость в процессе обучения обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся рассматривается после того, как основные вопросы курса методики изучены. Представляется, что когда предмет методики преподавания математики лишь начинается, цели развития логического мышления при обучении математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это сделано в программе по математике.

По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития логического мышления раскрывается более детально. Требования к формулировкам определений понятий, к построению доказательств и т. д. рассматриваются в соответствующих темах. Однако разрозненные сведения необходимо систематизировать, обобщить, углубить, довести до такого уровня, чтобы постанова целей развития логического мышления, постановка соответствующих учебных задач не представляла бы трудностей.

Почему проблема развития логического мышления чаще всего поднимается в школьном курсе математики? Существуют методические работы по развитию мышления, в том числе и логического, в школьных курсах русского языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных грамматических ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Логически мыслить можно учить через любую науку, любой школьный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет цепочек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного - двух шагов. Наличие многошаговых доказательств – одно из проявлений специфики математики – науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логическом, и, соответственно, на общем развитии человека.

Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гумантаризации школьного математического образования.

1.4.2. История проблемы развития логического мышления

учащихся.

История проблемы развития логического мышления при обучении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике/Известные из истории математики первые доказательства таковыми не являются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком (см. рис.4) и надписью: «Смотри».

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 4

Логика формальных рассуждений – формальная логика дошла до настоящего времени из древних времен благодаря работам древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логического вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристотелю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формальной логики.

Формальная логика возникает тогда, когда развитие специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать правильные выводы.

В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возникает потребность в совершенствовании аппарата доказательств! В IXX веке в результате применения в формальной логике математических методов возникает математическая логика.

Математическая логика существенно обогатила курс формальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению новых суждений.

Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мышления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.

Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирования умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «достаточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А. А. Столяр, который считал необходимым на определенном этапе обучения знакомить учащихся с элементами математической логики.

В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены знания и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение связок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержащих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение правильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суждений – посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную информацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критерием истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассуждений, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил вывода. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

Говоря о логической составляющей в обучении учащихся остановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в порядок, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в известные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов – значит пронумеровать их. Существуют определения строгого и нестрогого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на множестве суждений можно установить с помощью отношения «следовать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треугольника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» – отношение строгого порядка, отношение «следовать» – пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математики и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информация была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в работе А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме человека неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в качестве исходного материала для получения новых знаний. Во-вторых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразовываться им, не использоваться для получения новых знаний логическим путем, с помощью рассуждений».

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащимися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

♦ формулировать определения понятий с использованием различных связок и кванторов;

♦ приводить примеры понятий, подводить объекты под определения различных логических конструкций;

♦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определений различных логических конструкций;

♦ понимать отношения между двумя понятиями;

♦ проводить классификацию известных понятий;

♦ понимать свойства конкретных отношений – рефлективность, симметричность, транзитивность – без употребления соответствующей терминологии;

♦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

♦ выделять условия и заключения теоремы;

♦ строить отрицание утверждений различной структуры;

♦ различать свойства и признаки понятий;

♦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

♦ уметь проводить полученное доказательство;

♦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

♦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

♦ использовать отдельные методы доказательства – метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

♦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.

Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

II. Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определение, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.

II. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостности системы знаний, пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного материала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:

– Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равные, называется равнобедренным?

– Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

–Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?

–Какими могут быть неравносторонние треугольники?

– Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинающими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, напротив, понимание терминов свойство и признак понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки – когда необходимо под понятие подвести.

Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свойства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в словаре русского языка дается такая формулировка: «Свойство – это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого – чего – либо.» (С.И. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки – как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.

Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство – каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедический словарь. М., 1964.) «Признак – показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)

По сути дела свойство понятия, объекта – это все то, что можно сказать об объекте, изучая его. Признаки – это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком jc или свойством некоторого понятия является рассматриваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), – теорема выражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехугольник является параллелограммом), – теорема является его признаком.

При этом называть теорему признаком или свойством безотносительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствующие углы равны» является свойством понятия подобные треугольники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, например, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

1.5. Развитие логического мышления в геометрии.

1.5.1. Задачи преподавания геометрии в школе.

Задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области геометрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключаются в трех указанных элементах...».

Таким образом, А. Д. Александров указывает на три основные задачи преподавания геометрии в средней школе: наряду (точнее, посредством) с изучением основных геометрических фактов и развитием определенных умений и навыков, учащихся главные задачи составляют развитие их пространственного воображения, логического мышления и понимания того, что геометрия изучает, свойства реального мира. Эта точка зрения нашла яркое воплощение в пробных учебниках геометрии, написанных авторским коллективом во главе с академиком А.Д. Александровым.

Программа по геометрии дает такие же целевые установки на преподавание геометрии в средней школе. Таким образом, основными задачами курса геометрии являются:

– систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;

– развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;

– развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

При этом основой для развития пространственного воображения и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.

В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на отдельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у академика А. Д. Александрова – это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.

Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».

Стремлением к форсированному развитию логического мышления учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повышенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов (например, спи манных с отношением «лежать между»); широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффективное обучающее средство».

1.5.2. Чертеж учит думать.

В школьном курсе геометрии выделяют три вида чертежей:

чертежи, иллюстрирующие содержание вводимого понятия;

чертежи, образно представляющие условие задачи или рассматриваемого математического предложения;

чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур.

Мы будем рассматривать главным образом работу с чертежами первых двух видов, поскольку они имеют более общее назначение.

Формируя у учащихся умение, работать с чертежом, учитель должен помнить, что если ограничиваться стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро начнут связывать формируемое понятие только с фигурами определенного вида и положения. «Стандартный» чертеж вызывает у учащихся неверные ассоциации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являющиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.

Эффективность формирования у учащихся понятий, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.

Конечно, на построение различных вариантов одного и того же чертежа уходит много времени. Рекомендуем поступить следующим образом. Из куска линолеума вырезать круг и закрепить его на классной доске так, чтобы он мог вращаться вокруг своего центра. К этому кругу приделать небольшую ручку, с помощью, чертеж которой можно его поворачивать. Всякий раз уже построенный чертеж учитель захочет показать в другом положении, ему останется лишь повернуть круг, на котором чертеж изображен. Это приспособление полезно еще тем, что позволяет внедрять в сознание учащихся ту важную мысль, что при движении сохраняются основные свойства фигур.

Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у ни умения вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия задачи В. И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям».

Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умения подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений. Обращаясь к учителям математики, Д Пойа писал: «Результат творческой работы математики – доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки… Преподаватель должен показывать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьезными, ответственными… Давайте учить догадываться!».

При обучению решению геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или причастных оборотов.

Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. Приведем три задания, которые фактически нацеливают учащихся на поиск контрпримеров.

11. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?

12. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые, является прямоугольником»?

13. Изобразите на чертеже случай, для которого неверно высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь идет о двух прямых.).

В пропедевтическом курсе геометрии важно воспитывать у школьников понимание необходимости того, чтобы изучаемые факты доказывались. Целесообразно показывать школьникам что v людей нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его логическим путем. «Самые тщательные измерения - может сказать учитель,— все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно, что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию».

Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно – индуктивного преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивности основного курса геометрии.

Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи), которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в качестве ведущих) функции, направленные на формирование у школьников элементов творческого математического мышления.

В качестве таких задач могут выступать, например, задачи, при постановке которых или в процессе решения которых:

учащимся мотивируется целесообразность изучения нового материала, разумность определений геометрических понятий, полезность изучения тех или иных теорем;

учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта, к обоснованию того или иного положения, к установлению возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;

учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установлению новых связей между известными им геометрическими понятиями;

у учащихся формируются умения использовать ведущие методы научного познания (опыт, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и т. д.) как методы самостоятельного изучения геометрии, понимание роли и места индукции, аналогии дедукции в процессе познания;

учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими предметами, устанавливают содержательные и структурные связи между различными вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические знания к решению нематематических задач;

учащиеся приобщаются к самостоятельным поисковым исследованиям (посредством изучения результатов решения задач, изменения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно удовлетворяет заданным условиям, и т. п.);

у учащихся формируются качества, присущие научному мышлению (активность, гибкость, глубина, критичность, доказательность и т. п.), умение выражать свою мысль ясно и точно и т.д.

2.1. Роль задач в обучение, роль задач в развитие логического мышления.

2.1.1. Общее понятие задачи.

Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, способности и умения отыскать более или менее оптимальное в данных условиях решение. Поэтому не удивительно то большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человеческой деятельности, поискам эффективных способов управления этой деятельностью, как в сфере производства, так и в обучении.

«Почти всегда изучение любой человеческой деятельности — в труде или игре — можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, то есть таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкиваются с необходимостью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к изучению поведения человека в условиях производимого им выбора, то есть в условиях ситуаций, в которых нужно принимать решение», т. е. в процессе решения человеком различных задач.

Проблема решения задач как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия задачи. «Понятие задачи обычно используется только в ограниченном объеме: говорят о научных (математических, физических и т. п.) задачах, о задачах в образовании, о задачах политических, хозяйственных, технических. Общее понятие задачи еще не выработано».

Главной причиной такого положения дел, несомненно, являются, прежде всего, объективнее трудности, связанные с характеристикой этого понятия в общем виде. Вместе с тем немалое значение имеет и то обстоятельство, что до недавнего времени для большинства исследователей наибольшую практическую ценность представляло изучение процесса решения задач человеком как важной поведенческой проблемы, а также путей повышения эффективности процесса решения задач человеком).

2.1.2. Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют, разнообразны» функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700—800 академических часов в IV—X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащиеся.

В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, применяемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводятся «практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.

Значение учебных математических задач

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

1.2.1. Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образовавшие. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

1.2.2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием.

1.2.3. Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

1.2.4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Так, в русских дореволюционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азартной игре и т. п.

Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.

Роль задач в обучении математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как Содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

2.1. Обучающая роль математических задач.

Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся систем л знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии дательной и кропотливой работы над понятиями, их определения» и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его Определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.

2)Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая, символ и вводится еще в начальной школе и в IV—V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

Существенное значение в овладение изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи:

«p < 2 на 3», « Докажем - ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2 на 3», или «2 – p = 3», или «2 – 3 = p», или «p + 3 = 2», «2 – 3 = p», а во втором: «Докажем, что ab».

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5. х > у. Обязательно ли x2 > у2?

6. Могут ли две биссектрисы треугольника быть перпендикулярными? А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет.

2.1.3. Роль математических задач в развитии мышления.

1) Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической навыки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

2)Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева – утверждения, выкладки, вычисления, справа – аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.

Разумеется, нет необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная аргументация.

Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профессиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуации свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истинность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение верному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся математически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с языком, речью человека.

Полезно научить школьников, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при решении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказательство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении

некоторых предложений на досылки и заключения.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов.

2.1.4. Значение геометрических задач.

Задачи являются неотъемлемой составной частью курса геометрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем размещенных более или менее последовательно. Пользы от изучения такого курса очень мало.

Во-первых, учащимся пришлось бы у «вызубривать» содержание этих теорем, поскольку школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен известный дидактический принцип сознательности обучения.

Во-вторых, такой курс не был бы связан с другими дисциплинами, входящими в программу средней школы, в том числе и с другими математическими дисциплинами.

В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал бы развитию пространственных представлений учеников.

В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к решению даже простейших практических задач.

Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов, отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.

Разумеется, речь идет не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагаемые задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного класса, особенностей производственного обучения и т. д.

Однако задачи играют не только вспомогательную роль – закреплять знания изученного теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач школьники знакомятся с методами математического рассуждения, расширяют кругозор.

При подготовке к теме урока учитель особое внимание обращает на подбор упражнений. Основным источником для подбора задач является стабильный задачник. Однако он не может быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного количества упражнений и для ведения индивидуальной работы как с теми учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и для проведения контрольных работ).

Поэтому учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений, отдельные статьи из опыта преподавания, содержащие подбор упражнений к отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.

2.1.5. Классификация геометрических задач.

Как известно, упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы: задачи, на вычисление, доказательство и на построение.

В задачах на вычисление требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади, объемы) или их отношения через известные параметры. Если параметры даны в общем виде, то результат получается в буквах; если же условие содержит числовые значения параметров, ответ доводится до числа.

Иногда условие таково, что требуется сначала решить задачу в общем виде, а потом подставить в полученное выражение значения параметров. Но порой, независимо от требований условия, задачу целесообразно решить в общем виде. Таким образом, решения «в буквах» и «в числах» не противопоставляются одно другому, они являются лишь двумя формами представления неизвестных величин через известные.

В задачах на доказательство необходимо установить наличие определенных соотношений между элементами рассматриваемой фигуры: равенство или неравенство отрезков, углов, параллельность или перпендикулярность прямых, плоскостей и т. д. Иногда задачи этого типа могут быть оформлены и как задачи на вычисление; например, доказать, что некоторый угол равен 45°, что объем одной фигуры во столько-то раз больше объема другой фигуры и т. п.

Менее распространены задачи на исследование. В таких упражнениях результат заранее не сообщается. Требуется выяснить лежит ли некоторая точка на данной прямой (на данной плоскости), пересекаются ли данные окружности, * параллельны ли данные прямые и т. п., определить, какой изданных отрезков больше, к какой из сторон треугольника ближе данная точка. Установить зависимость между перечисленными в условие элементами фигуры.

Обе формы задач на доказательство важны.

В задачах на построение неизвестные величины определяются в результате выполнения ряда геометрических построений (с помощью допустимых геометрических инструментов или в обусловленной проекции). Как правило, речь идет о построении геометрической фигуры по некоторым данным о ней. В стереометрии нередко вместо отрезков и углов дается изображение (например, пирамиды), на котором требуется выполнить построение (например, найти сечение), т. е. элементы фигуры задаются их положение (на проекционном чертеже).

Мы провели среди учащихся анкетирование для того, чтобы выяснить, как они относятся к решению задач на построение.

Анкета.

1. Что вам больше нравится:

а) алгебра

б) геометрия

2. Какие геометрические задачи вы обычно решаете успешнее:

а) на построение

б) на доказательство

3. Можете ли работать методом «в воображении», т.е. создавать образы предметов, мысленно представлять их себе с разных сторон, не опираясь на наглядные изображения (картинки, чертежи, схемы)?

а) да

б) нет

4. Как вы используете чертеж в решении геометрической задачи?

а) в основном на первом этапе работы для меня разобраться в чертеже – это уже решить задачу; на втором этапе записываю ход рассуждений

б) обращаюсь к чертежу периодически: чередую работу с чертежом и оформление каждого смыслового куска решения

5. Что составляет для вас большую трудность при усвоении геометрии:

а) представить в уме («по воображению») нужный образ (предмет, чертеж, схему)

б) восстановить в уме ход рассуждений в какой-нибудь теореме или решенной ранее задачи

6. При решении геометрической задачи «средней» для вас сложности нужен ли вам чертеж?

а) большинство задач могу решить в уме, без чертежа

б) мне было бы достаточно иметь перед глазами чертеж из учебника

в) всегда удобнее иметь собственный чертеж в тетради, на котором можно сделать дополнительные построения, пометки, обозначения

г) лучше, когда есть несколько вариантов чертежей: так легче представить задачу «с разных сторон»

7. Как вы относитесь к необходимости построения чертежа к задаче?

а) это трата времени, почти всегда могу обойтись без чертежа

б) черчу с удовольствием, стараюсь выполнить чертеж как можно точнее, это помогает решить задачу

в) не очень люблю чертить, но стараюсь сделать четкий грамотный чертеж, это облегчает решение задачи

г) чертеж, наверное, нужен, но не стоит долго им заниматься, вполне достаточно если он приблизительно соответствует условиям задачи

д) чертеж не обязателен, удобнее делать наброски на черновике и с ними работать.

Обработка результатов

Количество учащихся
	Вопросы

Выводы: По результатам проведенной анкеты можно выделить следующие факты:

Большинство учащихся испытывают неприязнь к выполнению чертежа.

При решении задач «средней» сложности учащимся недостаточно пользоваться чертежом из учебника или изображенным на доске; им необходимо каждому выполнить чертеж в своей тетради.

Для учащихся составляет большую трудность не только выполнение чертежа, но и самостоятельная запись решения. Поэтому решение задачи разбивается на этапы; обсуждая решение по чертежу учащимся необходимо давать время записать его ход после каждого этапа.

Все учащиеся без исключения не могут мысленно создать образ предмета и рассмотреть его с разных сторон «в воображении».

Как итогом всех этих фактов можно отметить то, что учащиеся больше предпочитают заниматься алгеброй, чем геометрией.

2.2. Характеристика задач на построение.

В преподавании математики большое значение приобретают вопросы, связанные с обучением учащихся геометрическим построениям (выполнение наиболее распространенных геометрических построений и обучение решению задач на построение).

Решая задачи на построение, учащиеся приобретают первые теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с наиболее употребительными приемами их решения, с инструментами, используемыми в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке, при выполнении построений на местности). У них развиваются пространственное воображение, конструктивные способности, сообразительность, изобретательность, т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих профессий.

Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют лучшему усвоению учащимися теоретического материала, развитию их логического мышления.

Обучение геометрическим построениям в школе имело до последнего времени много недостатков. Так, учащиеся поздно знакомились с геометрическими построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года). Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как правило, изучались построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соответствовало программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках математики, черчения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи между приемами построений (на бумаге, при разметке, на местности) и использованием соответствующих инструментов.

2.2.1. Определение задачи на построение.

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точку, прямую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям.

Будем считать средствами построения циркуль и одностороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инструментов чертежным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.

Задача на построение может быть выражена с помощью чертежа-задания. Чертеж-задание включает в себя данные элементы и требование задачи. Рассмотрим примеры.

1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании В=β и высоте на основание hа (рис.6)

2. Построить окружность данного радиуса r, проходящую через две данные точки А и В (рис.7).

Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) данные элементы являются уже построенными (пример 2, точки А и В), и в этом случае перемещение их по плоскости невозможно (данные элементы определены по положению); 2) данные элементы лишь могут быть построены (пример 1 – отрезки а и hа, угол В, пример 2 – отрезок r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (данные элементы не определены по положению).

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки – значит свести ее к конечной совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:

1) построение прямой линии через две известные точки:

Дано: Дано:

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Построить треугольник Построить окружность

АВС радиуса r, проходящую

через точки А и В

Рис. 6 Рис. 7

2) построение точки пересечения двух известных прямых (если эта точка существует);

3) построение окружности известного радиуса с центром в известной точке;

4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);

5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если такие точки существуют).

Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.

Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен.

Характеристика чертежа-задания показывает, что задачи на построение делятся на два существенно различных вида:

Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический образ может занимать произвольное положение на плоскости (пример 1).

Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на основе данных элементов, из которых хотя бы один определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определенное положение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений.

В теории геометрических построений каждый инструмент выполняет свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те элементы чертежа, которые могут быть построены при однократном использовании того или иного инструмента.

Обычно на практике несколько «абстрактных» инструментов объединяются в один (например, чертежный треугольник является комбинацией односторонней линейки, прямого и двух острых углов). Часто также один инструмент используется для выполнения двух (или нескольких) совершенно различных операций (например, линейка используется для построения прямой, проходящей через две заданные точки, и общих касательных к двум данным окружностям). Это дает возможность значительно сократить число используемых инструментов.

Укажем характерные операции для наиболее распространенных в школьной практике чертежных приборов и на те элементы чертежа, которые могут быть получены при однократном их использовании.

Циркуль. Характерная для циркуля операция – проведение окружности данным (или произвольным) радиусом с центром в данной (или произвольной) точке.

Таким образом, циркулем могут быть построены:

а) окружность данного радиуса с центром в данной точке (радиус может быть задан двумя точками);

б) дуга окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Линейка. Характерная операция для чертежной линейки – проведение прямой через две данные точки.

На практике линейкой пользуются также для построения к данной окружности касательной (рис. 8), проходящей через заданную вне ее точку, и для построения общих внешних и внутренних касательных к двум окружностям.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 8

Теоретически эти операции так же строги, как и проведение прямой через две данные точки. Практическая точность в большинстве случаев вполне удовлетворительна. Этот прием часто используется в чертежных работах и при разметке. Итак, при помощи линейки могут быть построены:

а) прямая, проходящая через две данные точки;

б) отрезок прямой, ограниченный двумя данными точками;

в) луч, проходящий через данную точку и имеющий начало в другой данной точке;

г) касательная к данной окружности, проходящая через данную вне окружности точку;

д) внешние и внутренние касательные к двум данным окружностям.

Чертежный треугольник обладает всеми свойствами односторонней линейки. Следовательно, с помощью чертежного треугольника могут быть получены те же элементы, что и с помощью линейки, а также прямая, проходящая через данную точку и образующая с данной прямой угол, равный одному из углов чертежного треугольника.

Транспортир. Характерной операцией для транспортира является построение точки, лежащей на луче, проходящем через данную на прямой точку и образующем заданный угол с этой прямой (рис. 9).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 9

Абстрактная характеристика каждого инструмента может быть использованы для выяснения вопроса о разрешимости задач на построение теми или иными инструментами.

С этой целью в теорию геометрических построений вводится понятие класса конструктивных элементов. К этому классу относятся все заданные элементы, а также: прямая, если она определяется двумя конструктивными точками; окружность, если она определяется конструктивным центром и конструктивным радиусом (пара конструктивных точек); точка, лежащая на луче, проходящем через заданную на конструктивной прямой точку и образующем с этой прямой заданный угол, и, наконец, точки, являющиеся пересечением конструктивных линий (прямых и окружностей).

Очевидно, что каждый набор инструментов имеет свой класс К конструктивных элементов.

На основании этого может быть установлен следующий критерий разрешимости задачи на построение.

Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К, определяемому выбранным набором инструментов, то задача является разрешимой при выполнении этими инструментами конечного числа операций.

Отсюда, естественно, следует, что возможность использования большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс конструктивных элементов и тем самым увеличивает число задач, допускающих точное решение.

В теории геометрических построений вопрос о необходимости привлечения произвольных элементов для решения (точного или приближенного) задач на построение рассматривается в ряде работ; на основании теоремы, утверждающей, что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и линейки, образует счетное, всюду плотное множество, доказывается, что любая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без привлечения произвольных элементов либо точно, либо приближенно с любой степенью точности, если среди заданных элементов имеются по крайней мере две различные точки.

2.2.3. Выполнение геометрических построений.

Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение.

Естественно, что каждому из этих вопросов в различных классах должно быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.

В VI классе основное внимание обращается на обучение учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому использованию при формировании и закреплении важнейших понятий: перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике, симметрия относительно прямой и т. д.

К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктивных задач, включенных в программу VI класса, ценных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала.

К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия, производимые над углами малкой, транспортиром, циркулем и линейкой (немасштабной); построение параллельных и перпендикулярных прямых различными приемами.

Умение фактически выполнять указанные выше построения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению конструктивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание содержанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения.

Кроме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т. д.

Правильно выполненный чертеж имеет большое значение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотношения. Более того, неверный чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.

В VII классе перед учителем стоят более широкие задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее, геометрические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а также для доказательства существования некоторых геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существования определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построения.)

Новыми построениями для учащихся VII класса являются: построение центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение окружности по трем ее точкам, деление дуг окружности на равные часта, деление дуг и хорд окружности пополам, проведение касательной к окружности через данную точку.

Все эти построения, выполнение которых в большинстве случаев основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении конструктивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фактически выполнять их при любом взаимном положении заданных элементов.

В VII классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные приемы построения в зависимости от условия задачи. Так, например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут проводить через данную точку касательную к данной окружности, если:

а) точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,

б) точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,

в) точка лежит на окружности, а центр окружности находится вне чертежа.

Построение касательных для всех этих случаев учащиеся не должны заучивать. Они должны лишь представлять, как нужно поступить в зависимости от условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо использовать для построения.

В VIII классе число новых построений весьма ограничено – это деление отрезка в данном отношении, построение фигур, подобных данным, построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.

2.2.4. О некоторых вопросах методики обучения решению задач на построение.

При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.

Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотливой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение – совершенно новый для учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.

Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.

С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им некоторую самостоятельность, а тогда, когда это необходимо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность в работе, заинтересовать их решением задач.

Мера самостоятельности в работе, выполняемой учащимися, должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи.

2.2.5. Введение задач на построение.

Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям, особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.

Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач на построение целесообразно в ряде случаев вначале предлагать учащимся задачи подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на вычисление, и на доказательство. Ниже приводятся три примера использования вспомогательных задач.

Пример:

Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.

Угол АВС равен 620. Через вершину угла проведена прямая МN, перпендикулярная его биссектрисе. Вычислить углы, которые образует эта прямая со сторонами угла.

Пример:

Через точку Р, данную внутри угла АВС, провести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.

Стороны угла пересечены прямой, перпендикулярной его биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой, равны.

Пример:

Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L. На прямой L найти такую точку С, чтобы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.

Отрезок АС перпендикулярен прямой L и делится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой L. Доказать, что точка В находится на одинаковом расстоянии от точек А и С.

Такая подготовительная работа важна в начале обучения решению задач потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать насыщенной, но посильной.

Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная) будет сведена к математической.

В некоторых случаях к одной и той же задаче полезло обращаться несколько раз, с тем чтобы показать учащимся различные способы ее решения.

В ряде случаев различные по содержанию практические задачи сводятся к одной и той же математической. Так, решение следующих двух задач сводится к решению первой задачи предыдущего примера.

В каком месте следует построить переправу, чтобы расстояние от пункта А до пункта В было наименьшим (рис. 19).

Шириной реки в данном случае пренебрегаем.

Луч из источника света А отражает от экрана Е так, что отраженный луч проходит через точку В. Найти точку экрана, в которой отразился луч света.

Еще пример (первая задача – геометрическая, три последующие – практические):

Две точки А и В расположены по одну сторону прямой МN. На этой прямой найти такую точку С, чтобы АСМ = ВСN.

В какую точку нужно направить луч света из точки А, чтобы он, отразившись от непрозрачного экрана а, попал в точку В (рис 20)?

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 19 Рис. 20

В какую точку нужно направить упругий шар А, чтобы он, отразившись от упругой стенки, прошел через точку В (рис. 20)?

К двум точкам А и В подвешена гибкая нерастяжимая нить, на которую надето тяжелое кольцо. Найти положение равновесия кольца на нити.

Часто оказывается, что математическая задача весьма проста, но если вложить в нее практическое содержание, то она становится недоступной. Поэтому полезно в VI–VIII классах рассматривать с учащимися примеры того, как различные практические задачи сводятся к одной и той же математической.

Большое образовательное значение имеет ознакомление учащихся с приборами, применяемыми на практике при решении некоторых конструктивных задач. Обычно эта работа проводится после решении соответствующих задач на построение. Так, например, после рассмотрения свойства перпендикуляра, проведенного к хорде через ее середину, учащимся предлагается найти центр изображенной на чертеже окружности (возможный порядок решения задачи дан на рис. 21 и 22).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 21

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 22

2.2.6. Этапы решения задачи на построение.

Анализ.

Анализ – это важный этап решения задачи, так как здесь мы составляем план построения, по существу, находим решение. Устанавливаются такие зависимости между данными и искомыми элементами, которые дают возможность построить искомую фигуру. При обучении решению задач па построение целесообразно подчеркивать аналогию, существующую между отысканием решения задач по арифметике, алгебре и геометрии ни вычисление и доказательство и анализом задач на построение. Ученик не должен считать, что для нахождения решений задач на построение нужны совершенно новые приемы. Поэтому следует помочь ученикам увидеть аналогию в применяемых приемах для отыскания решении задач на построение и задач из других дисциплин.

При решении задач по алгебре на составление и решение уравнений мы устанавливаем такие зависимости между искомыми и данными величинами. Вначале внимательно изучается условие задачи, рассматривается смысл той или иной данной величины. Для более трудных задач используем иллюстрации в виде чертежа или схемы. Предполагая задачу решенной, мы некоторую величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной. Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии задачи, причем из многообразия различных зависимостей выбираем те, которые позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.

Сделаем подобный анализ задачи на построение: «Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон».

Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольники даны. Для этого начертим произвольный треугольник А1В1С1 (рис. 25) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона А1С1 и угол С1А1В1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 25

Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки С1 или от точки В1 либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки В1, так и от точки А1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если же В1 А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон – будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру С1А1Д1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.

Построив в произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1 и С1. Зная угол С1А1В1, мы можем найти и положение точки D1, где D1А1 = В1А1 – В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1 зная положение точки D1. Так как С1В1 = В1D1, то точка В1 равноудалена от точек С1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре Р1Q1, проведенном к отрезку С1D1 через его середину. Точка пересечения прямой Р1Q1 и луча А1D1 и будет точкой В1. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основании и получаем искомый треугольник.

Из этого примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. Название этапа анализ не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.

Анализ задачи связан с исходным чертежом, поэтому его необходимо выполнять аккуратно, а фигура должна иметь наиболее общую форму. Если речь идет о треугольнике, то нужно брать разносторонний треугольник; о трапеции, то не равнобочную трапецию; если о четырехугольнике вообще, то и чертим четырехугольник, который не был бы ни параллелограммом, ни трапецией. Если, например, решая задачу на построение треугольника, выберем для анализа равносторонний треугольник, то учащиеся вместо нужных зависимостей между данными и искомыми элементами могут использовать и другие связи, которые возникнут у них под впечатлением равносторонности треугольника.

Чертеж необходимо выполнять аккуратно чертежными инструментами, и лишь после приобретения навыков в вычерчивании отрезков без линейки можно выполнять его от руки. Навыки выполнения чертежей или рисунков от руки особенно необходимы для учащихся, которые в будущем будут иметь дело с техникой, где они должны уметь делать эскизы деталей. С этим они не смогут справиться, не имея простейших навыков технического рисования и черчения.

Чертеж должен строго соответствовать условию задачи. В ряде случаев целесообразно при анализе построение чертежа начинать не с данных, а с искомых элементов фигуры. Если, например, искомая окружность по условию касается некоторой прямой и некоторой окружности в данной на ней точке, то и на чертеже для анализа мы должны видеть их касающимися. Следовательно, вначале надо построить окружность, изображающую искомую, и пристроить касающиеся ее произвольные прямую и окружность.

Таким образом, для отыскания решения задач на построение первое время необходимо использовать навыки, приобретенные учащимися при решении арифметических задач, а затем уже и навыки, приобретенные при решении основных задач на построение и других математических задач. Используем также теоретический материал, в том числе и специальные методы геометрических построений.

Построение.

1. Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов – значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи. Например, допустимыми построениями, которые определяют понятие «с помощью циркуля и линейки», являются следующие: 1) построение прямой, проходящей через две данные точки; 2) построение точки пересечения двух данных прямых; 3) построение окружности данного радиуса при заданном центре; 4) построение точек пересечения двух данных окружностей; 5) построение точек пересечении данной прямой и данной окружности.

Уже при решении простейших задач мы встречаемся с такими случаями, когда последовательность элементарных построений, нужных для построения искомой фигуры, указана, а практически осуществить их нельзя. Например, требуется построить треугольник по трем сторонам. Всегда можно указать последовательность построений для решения этой задачи, но если одна из сторон больше суммы двух других, то треугольника не получим. И в стереометрии при решении конструктивных задач мы не всегда можем, например, выполнить построение плоскости или сферы так, как мы строим на плоскости прямые и окружности. И тогда главным является уже не фактическое построение, а указание, в какой последовательности нужно выполнять определенные построения, чтобы решить задачу. Например: «Через данную точку А провести прямую, параллельную данной прямой МN, не. проходящей через точку А». Для этого через точку А и прямую МN проводим плоскость и в ней через точку А проводим прямую, параллельную прямой МN. Задача считается решенной, хоти эти построения мы выполнить не можем.

2. Перечисление элементарных построений в разделе «Построение» не всегда является повторением анализа. При анализе мы находим лишь план решения (как и при решении арифметических задач), а потом уже осуществляем его, записывая в форме вопросов с выполненными соответствующими действиями; недостаточно лишь установить, как мы будем решать задачу, а нужно привести и само решение.

И при решении конструктивных задач, наметив план построении, нужно еще указать, как оно выполняется, так как нередко одно и то же построение, указанное в анализе, можно осуществить различными способами.

Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изобретут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.

Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.

Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.

Сам учитель должен выбирать тот способ решения, который является наилучшим и с теоретической и с методической точек зрения. Нельзя руководствоваться только простотой построения, понятием геометрографии. Следует учитывать не только трудность выполнения построения, но и трудности анализа, доказательства и исследования.

3. Из приведенных примеров видно, что решение не всегда сводится к элементарным построениям, а чаще всего к так называемым основным построениям или основным задачам на построение. Подобно тому, как при доказательстве теорем используются и результаты ранее изученных теорем, а не только аксиом, так и при решении задач на построение при анализе и описании построения используются ранее решенные задачи. Задачи, решение которых в дальнейшем часто используется, обычно относят к основным задачам на построение. Список основных задач на построение определяется учебником, но надо помнить, что задача на построение может или не может быть отнесена к основным и в зависимости от степени подготовки учащихся.

В средней школе нецелесообразно при решении каждой задачи требовать от учащихся в письменной или устной форме подробного описания построений. Такое описание, особенно в VI-VII классах, требует большой затраты времени. Интерес учащихся к решению задач на построение понижается, ибо главной трудностью становится изложение решения, сводящееся иногда к целым «сочинениям».

Если анализ задачи выполнен достаточно подробно, то и при устном пояснении к решению, и в письменных работах достаточно, если ученик указывает, например: «Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету», – и верно выполняет это построение. Учитель всегда в состоянии проверить, правильно ли выполнил ученик построение, если даже описание и отсутствует. Нередко, разобрав с учащимися условие задачи и наметив план построения, предлагаем учащимся выполнить это построение в тетрадях, не требуя каких-либо пояснений в письменной форме.

Важна и цель, для достижения которой решается та или иная задача на построение. Если на данном уроке, например, главная цель решения задач – обучение отысканию решений, то мы стремимся научить учащихся анализировать условие задачи, уметь видеть на чертеже нужные фигуры и имеющиеся отношения между фигурами и их элементами. В таком случае незачем усложнять работу требованием подробного описания построения. Все внимание учащихся должно быть сосредоточено на главном, и не нужно распылять его на второстепенные вопросы, не имеющие прямого отношения к поставленной цели.

Если на первых порах решения задач на построение мы всегда требуем непосредственного выполнения построения инструментами, то нередко, когда убеждены, что все учащиеся класса сумеют выполнить чертеж с помощью инструментов, разрешаем учащимся указывать лишь план построении, выполняя чертеж от руки, а иногда просто ограничиваемся лишь составлением плана построения, то есть анализом, или с проведением еще исследования.

4. С введением геометрического материала в курс арифметики учащиеся уже в V классе приобретают навыки в применении таких инструментов, как линейка, циркуль, чертежный треугольник, знакомятся с устройством и применением транспортира. При вычерчивании секторных диаграмм, а также на уроках географии они закрепляют свои знания об устройстве транспортира и приобретают навыки в применении его для измерения углов и для построения заданных углов. На уроках труда в школьных мастерских пятиклассники при разметке применяют линейку, циркуль, угольник. Эти навыки закрепляются в VI классе при изучении первой темы курса геометрии «Основные понятия».

При изучении свойств прямой учащиеся выполняют построения всевозможных прямых через одну, две, три, четыре точки. Выполняя необходимые построения, они убеждаются, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых, через две – только одну, через три точки можно провести три прямые или только одну, четыре точки могут определять только одну прямую, или четыре прямые, или шесть прямых. Это содействует развитию пространственных представлений.

Учащиеся должны приобрести прочные навыки в выполнении действий над отрезками и в выполнении наложения одного отрезка на другой, что существенно важно для дальнейшей работы. Здесь они закрепляют навыки в применении линейки и циркуля, так как часто нужно уметь «взять» отрезок циркулем, отложить его на произвольной прямой, сравнить отрезки путем наложения одного на другой. Применение транспортира, причем не только в качестве малки, но и для измерения углов, облегчает усвоение раздела «Сравнение углов. Действия над углами: сложение, вычитание, умножение на целое число. Биссектриса угла».

Доказательство.

1. После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое, Рассмотрим задачу: «Построить трапецию по четырем сторонам» (рис. 26).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение Рис. 26

Проведя СК||ВА, решение задачи сводим к построению треугольника КСD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АК = КС), а КD = АD – ВС. Построим треугольник КСD, и, считая сторону АD построенной, дополним его до трапеции различными способами:

1) Проведем ВС||АD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.

2) Если провести АВ||КС и ВС||АD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.

3) Если провести прямую СВ||DА и на ней найти точки В и В1, отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В1 будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.

4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В2 только точка В будет искомой.

Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.

2. При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Например: «Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними». Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи.

Но иногда не все условия отражаются в плане анализа и при построении. Например, в случае (3) точка В действительно должна лежать на ВС и отстоять от точки А на данном расстоянии. Но этого недостаточно, так как отрезок АВ должен быть параллельным СК.

Так как доказательство зависит от избранного решения, то, не ознакомившись с анализом и построением, нельзя сказать, правильно пли неправильно проведено доказательство.

3. Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.

4. Для упрощения доказательства целесообразно предлагать учащимся и такие задачи на доказательство, которые не только служат для развития математического мышления или для пополнения объема знаний, но и могут быть использованы при решении задач на построение. Например, при изучении частных видов параллелограмма решаем задачи:

1) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм есть ромб.

2) Если у параллелограмма диагональ делит один из углов пополам, то такой параллелограмм есть ромб.

3) Если у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм есть прямоугольник и т. п.

При решении задач на построение методом подобия, выбрав центр подобия и найдя коэффициент подобия, выполняем подобное преобразование многоугольника, подобного искомому, почти всегда не тем способом, который изложен в учебнике А. П. Киселева, и всякий раз вынуждены проводить отдельное доказательство, что полученный многоугольник – искомый. Целесообразно ознакомить учащихся с общепринятым способом построении, основанным на том, что у гомотетичных многоугольников сходственные стороны попарно параллельны. Благодаря этому при решении почти всех задач на построение многоугольников методом подобия доказательство, что полученный многоугольник искомый, значительно упрощается.

5. Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано и что требуется доказать. Например, при решении задачи: «Построить ромб по двум его диагоналям» предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). Однако при решении задач дома и в контрольных работах мы не требуем оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения.

Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решении очевидна. А иногда, если даже правильность решении и не усматривается непосредственно, учитель, учитывая назначение решаемых задач, может не требовать доказательства, предупредив об этом учащихся.

Исследование.

Сущность и значение исследования.

Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положенном некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения.

Допустимые значения определяются наиболее естественным образом. В задаче: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними» допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.

В задаче: «Построить окружность, касающуюся длиной окружности в данной на ней точке и данной прямой» прямая может занимать любое положение на плоскости; окружностью также может быть любая окружность на плоскости, но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0 < R < ∞. (Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным чистом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи.) Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Иногда невозможность построения искомой фигуры очевидна, если хоть один из данных элементов не принадлежит области допустимых значений. Например: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу между ними в 240°». Такая задача решения не имеет, так как любой угол треугольника всегда меньше 180°.

Но если все данные принадлежат соответствующей области существования, то в большинстве случаев многообразие возможных положений, характер изменения данных приводит, как и в алгебре при решении задач с параметрическими данными, к постановке вопросов: При каких данных задача не имеет решения? Как изменяется ответ при определенном характере изменения данных? Каковы должны быть значения исходных данных, чтобы получить намеченный ответ? и т. п.

При анализе, а значит, и при построении всегда исходим из предположения, что искомая фигура существует, не учитывая всего многообразия данных, их размеров и взаимных соотношений. Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы должны установить, при всяком ли выборе данных задача имеет решение и если имеет, то сколько. Например: «Построить окружность, проходящую через три данные различные точки». Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

Если при определенном сочетании данных общее решение не применимо, то необходимо дать новое решение, которое часто не незначительно отличается от общего или является его вырожденным случаем. Иногда план решения сохраняется, по его осуществление с помощью инструментов выполняется не так, как в общем случае.

В средней школе обычно ограничиваются лишь двумя моментами: 1) выясняют число решений в зависимости от данных и 2) изменяют или упрощают решение для отдельных случаев. Правда, для некоторых задач в исследовании дается еще и ответ па вопрос: при каких условиях искомая фигура удовлетворяет тем или иным дополнительным условиям. Например: «Около данного треугольника описать окружность. Выяснить, когда центр этой окружности находится внутри треугольника, вне треугольника или принадлежит одной из его сторон». Ответ на последний вопрос также дается при исследовании.

Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных данных, и, в частности, указано, когда не получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с закостенелыми, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

Заметим, что и при решении задач на доказательство или вычисление учащимся нередко нужно для построения правильного чертежа также проводить исследование. Часто необходимо предварительно выяснить, какой вид данного треугольника (остроугольный или тупоугольный), какие стороны принять равными данным отрезкам. Например, при решении задачи: «Определить периметр равнобедренного треугольника со сторонами в 7 см и 3 см» вначале нужно установить, что основанием является отрезок длиной 3 см, а не 7 см.

Нередко уже при анализе задач на построение мы вынуждены учитывать различные положения данных и искомых элементов. Например, решая задачу: «Дана окружность и на ней три точки М, N и Р, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, исходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник», в первую очередь нужно выяснить, что точка N (соответствует биссектрисе) расположена между М и Р, рассматривая дугу MP, меньшую полуокружности.

Приведем еще такой пример: «На окружности даны две точки А и В. Из этих точек провести две параллельные хорды, сумма которых дана». Решение задачи легко свести к построению вписанной трапеции с заданной суммой оснований, вершинами которой являются точки А и В. Но решение зависит от того, будет ли АВ боковой стороной трапеции или ее диагональю. Вновь анализ включает в себя элементы исследования.

Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, ему и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу. Анализ – основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании.

2.2.7. Методы решения задач на построение.

Метод геометрических мест.

1. Понятие «геометрическое место точек», являющееся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементарной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение решения для многих практических задач. Например, для решения задач на сопряжение окружностей и прямых, с которыми учащиеся встречаются довольно часто на уроках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготовлении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места. Без знания геометрических мест центров окружностей, касающихся данных прямых или окружностей при определенных ограничениях, семиклассники не смогут на уроках черчения понять способы решения задач на сопряжение углов дугами, сопряжение окружности с прямой при помощи дуги данного радиуса и т.п.

Следует учитывать, что понятие «геометрическое место точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графический метод.

В VI-VII классах нельзя отказываться и от решения задач на построение методом геометрических мест, одним из основных методов конструктивной геометрии.

Решая задачи на построение, учащиеся учатся применять свои знания, ибо они должны сами отвечать на поставленные вопросы. В настоящее время главной задачей учителей математики является не столько сообщение математических фактов, определений, формул, теорем, сколько необходимость учить детей мыслить, учить их самостоятельно работать.

2. Учащиеся VI класса не сразу сознательно, глубоко усвоят понятие «геометрическое место точек». Важно, чтобы они с данными словами связывали более полную группу геометрических фигур, чтобы понятие охватывало целый класс, а не один – два отдельных примера. Учащиеся должны видеть различные примеры геометрических мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометрических фигур, создать себе соответствующее представление об этом понятии.

Трудным для понимания шестиклассников является и абстрактное понятие «множество». Приводимые примеры множеств (множество учащихся, деревьев в саду и т.п.), в большинстве своем, есть конечные множества, а почти все геометрические места точек, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются бесконечными точечными множествами.

3. Понятие геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, вводим на примере геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. После изучения признаков равенства прямоугольных треугольников решаем задачу: «Найти точку, равноудаленную от двух данных точек А и В» (рис. 27).

Рис. 27

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение Учащиеся обычно указывают лишь точку О, середину отрезка АВ. А нет ли на плоскости еще точек, равноудаленных от А и В? При построении с помощью циркуля не- скольких таких точек учащиеся самостоятельно припоминают свойство точек оси симметрии и говорят, что точек, равноудаленных от А и В, будет много, все они лежат на оси симметрии данных точек А и В.

Можно непосредственно, основываясь на признаках равенства прямоугольных треугольников, доказать, что всякая точка, равноудаленная от данных точек А и В, лежит на их оси симметрии, то есть на перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину, и наоборот, всякая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек А и В.

После этого даем определение геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, как множества всех точек, обладающих этим свойством, и только таких точек, и предлагаем учащимся сформулировать результат решения задачи и записать в тетради, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек, есть ось симметрии данных точек.

Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксированной точкой, а с любой точкой прямой. До этого учащиеся почти всегда имели дело с неподвижными, определенными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она обладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с неподвижными точками А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от А и В».

Примечание. Включение в определение лишних с научной точки зрения слов «и только таких точек» вызвано педагогическими соображениями. В противном случае в определении явно не выделяется необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем для утверждения, что та или иная фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством.

4. Целесообразно в качестве домашнего задания к этому уроку предложить учащимся повторить определение окружности (§ 12 по учебнику Н. Н. Никитина). Тогда на уроке, уточнив, что все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, а всякая точка, взятая внутри (вне) окружности, находится от ее центра на расстоянии, меньшем (большем) радиуса, делаем вывод, что окружность можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О.

Предлагаем учащимся самостоятельно найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем чем R. И при разборе этого задания подчеркиваем, что геометрическим местом точек может быть прямая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, может быть луч, отрезок прямой, две прямые или две окружности и даже отдельные точки. Разбирая такие конкретные примеры, мы показываем учащимся разнообразие видов тех множеств точек, которые могут быть геометрическими местами точек.

Затем надо показать учащимся, что одно и то же геометрическое место точек может встречаться в различных формулировках, для чего сравниваем, например, известное им геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, с такими, как геометрическое место точек, равноудаленных от концов дачного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием (середина основания уже исключается).

5. Применяя эти геометрические места точек, решаем задачи методом геометрических мест, начиная с простейшей задачи. Какие же задачи считать простейшими?

Сущность метода геометрических мест состоит в следующем:

1) Решение задачи сводим к отысканию точки, удовлетворяющей определенным условиям.

2) Отбрасываем одно из этих условий, получим геометрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.

3) Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.

4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.

Какую задачу ни возьмем, одновременно второй и третий этапы отсутствовать не могут, ибо тогда это не была бы задача на метод геометрических мест. Но без одного из этих этапов можно обойтись, если в условии указать геометрическую фигуру, которой должна принадлежать искомая точка. Чтобы избежать и первого этапа, достаточно задачу сформулировать в виде: «Найти точку...».

Следовательно, простейшими задачами на метод геометрических мест будут задачи вида: «На какой-либо фигуре найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.

Метод осевой симметрии.

1. Осевая симметрия – это первый из видов движения, преобразования, с которым учащиеся встречаются в систематическом курсе геометрии.

В настоящее время в геометрии большое значение имеют конструктивные навыки, при помощи которых учащиеся овладевают методами преобразования одних геометрических фигур в другие, и постепенно знакомятся с важной идеей геометрического преобразования, которое является аналогом функциональной зависимости в геометрии.

Курсы алгебры и арифметики подчинены одной идее, идее функциональной зависимости. Мы стремимся воспитывать у учащихся функциональное мышление, умение находить законы связей между величинами. Подчинив курс геометрии идее геометрических преобразований, аналогу функциональной зависимости, подчиняем все изложение курса математики одной руководящей идее.

В новой программе по геометрии значительное внимание уделено геометрическим преобразованиям, то есть таким операциям, когда каждой точке одной фигуры по некоторому закону ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. В средней школе из геометрических преобразований рассматриваются различные виды движений, а также подобие фигур.

Изучение движения в средней школе принесет ощутимые плоды, если эти преобразования станут основой курса геометрии, а не придатком, органически не связанным с ним. Движение должно служить одним из основных методов доказательства многих теорем геометрии в VI-VII классах. Более того, идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса геометрии. Излагаемый материал приобретает кинематический характер, значительно облегчается понимание учащимися образования и построения геометрических фигур. Применяя понятие осевой симметрии, можно значительно усовершенствовать школьный курс геометрии. Например, применение свойств оси симметрии позволяет довольно просто изложить три признака равенства треугольников, специальные случаи равенства прямоугольных треугольников и ряд других тем из главы «Треугольники».

2. Различные виды движений дают возможность решать практически важные задачи на построение, доказательство и задачи вычислительного характера. Поэтому все изложение должно сопровождаться упражнениями, среди которых предпочтение следует отдавать задачам на построение и на доказательство. Нужно решать и задачи на вычисление, особенно с практическим содержанием, но в большинстве случаев при решении таких задач геометрическая сторона вопроса в значительной степени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями.

3. Известно, что осознанные знания могут быть получены только в процессе активной и творческой деятельности самостоятельно или под руководством учителя. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности привлечь учащихся к формированию самого понятия. Действительно, учащиеся неоднократно наблюдали в жизни примеры симметричных фигур, многие из таких предметов они рисовали или изготовляли на уроках в начальной школе и в V классе: вырезали симметричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла, применяя симметричные инструменты.

Анализируя эти знакомые учащимся примеры, особенно примеры предметов, которые были объектом или орудием трудa учащихся в школьных мастерских, на уроках домоводства или общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметричных фигурах.

Часть работ (изготовление мотыги, планки для граблей и т. п.), требующих построения точек, симметричных относительно определенной оси, учащиеся изготавливают до изучения соответствующего материала в курсе геометрии. поэтому при объяснении осевой симметрии, чтобы подчеркнуть значение этого понятия, в качестве симметричных фигур использовали пособия, изготовленные учащимися этого же класса в школьных мастерских, причем выбирали всегда два однотипных пособия 9молотки, стамески), одно из которых сделано аккуратно, точно по чертежу, а второе такое, у которого все размеры выдержаны, но нарушена симметричность. Совместными усилиями учащиеся выяснили, почему второе пособие получилось плохим, и как нужно было правильно сделать разметку.

4. В школьном курсе геометрии выражение «симметрия» имеет двоякий смысл: оно обозначает и вид движения (преобразование) и свойство плоской фигуры, обладающей симметрией, которая при соответствующем движении переходит сама в себя. Это различие мы должны учитывать, ибо в преподавании приходится иметь дело с каждым из этих истолкований симметрии. И одна из задач учителя – добиться того, чтобы учащиеся восприняли симметрию как один из способов преобразования одной фигуры в другую, а не как свойство неподвижной фигуры.

Поэтому после введения определения симметричных относительно оси точек, внимание учащихся переключаем на практику построения взаимно симметричных относительно оси фигур, для чего решаем задачи вида:

1) Построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой.

2) Построить отрезок (прямую), симметричный данному отрезку (прямой) относительно данной прямой.

3) Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.

4) Построить окружность, симметричную данной окружности относительно данной прямой.

5) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно а) его катета; б) его гипотенузы.

При решении этих задач одновременно устанавливаем и равенство взаимно симметричных отрезков, углов и других фигур, иллюстрируя наши утверждения перегибанием чертежа по оси симметрии, что помогает найти и сделать понятным способ решения задачи. Например, при решении задач вида: «Даны две прямые. Найти на них точки, симметричные относительно третьей прямой» очень удобно нанести все три прямые на кальку и перегнуть чертеж по третьей прямой. Тогда решение задачи становится очевидным и понятным для всех учащихся. Таким же образом решаем задачи: а) Даны прямая и треугольник. Найти на одной прямой и на контуре треугольника точки, симметричные друг другу относительно другой прямой, б) Даны окружность и треугольник. Найти на окружности и на контуре треугольника точки, симметричные друг другу относительно данной прямой.

Чтобы показать учащимся важность и необходимость умений и навыков в построении симметричных относительно оси точек, кроме разбора известных уже им примеров, полезно выполнить разметку какого-нибудь изделия, которое нужно будет изготовлять в ближайшее гремя.

5. Обучение должно вестись так, чтобы учащиеся усвоили знания не как изолированные, оторванные от других, а как подготовленные предшествующими знаниями, и которые естественно включаются в последующие. Поэтому в дальнейшем, где только возможно, следует использовать понятие и свойства осевой симметрии и правила построения симметричных фигур при изучении новых геометрических образов и при решении доступных учащимся задач на построение.

Знание свойств симметричных относительно оси фигур позволяет рассматривать решение основных задач на построение с помощью циркуля и линейки до изучения признаков равенства треугольников и понятия геометрического места точек. Сами построения являются для учащихся понятными и естественными.

Действительно, чтобы построить точку, симметричную относительно некоторой прямой данной точке А, не лежащей на этой прямой, построим две окружности, проходящие через точку А с центрами в произвольных точках О1, и О2 данной прямой. Так как для окружностей данная прямая является осью симметрии, то вторая их общая точка А1 будет искомой точкой. Но этим самым мы решили и задачу: «Через точку А, не лежащую на данной прямой, пронести перпендикуляр к этой прямой,

Аналогичным образом решается и задача о построении оси симметрии двух данных точек; одновременно получаем решение задачи о делении данного отрезка пополам.

Так как биссектриса угла есть ось симметрии его сторон, то для построения ее достаточно найти на сторонах угла две точки, симметричные относительно искомой оси, каковыми будут точки, находящиеся на равных расстояниях от вершины угла, принадлежащей оси симметрии. В результате задача свелась к предыдущей с той лишь разницей, что достаточно найти одну точку оси, так как вторая точка – вершина угла – нам известна.

Этим же построением решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в данной точке.

Применение осевой симметрии значительно упрощает и облегчает усвоение таких разделов темы «Окружность», как свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Без большой затраты времени можно тщательно рассмотреть весьма важный для приложений вопрос о взаимном расположении окружностей, если обратить внимание учащихся на симметричность общих точек двух окружностей относительно их линии центров. Учащиеся смогут самостоятельно указать необходимые и достаточные условия касания двух окружностей, что нужно при изучении соответствующих геометрических мест центров окружностей, касающихся данной.

В VII-VIII классах метод осевой симметрии часто применяется вместе с другими методами.

Метод центральной симметрии.

1. В течение двух лет мы знакомили учащихся с центральной симметрией примерно так, как в учебнике Н.Н. Никитина. Рассматривали построение и свойства точек, отрезков и треугольников, симметричных соответствующим данным фигурам относительно некоторой точки О. Затем рассматривали вопрос о центре симметрии параллелограмма, решая предварительно задачу: «Если в параллелограмме через точку О пересечения его диагоналей провести произвольную прямую, то отрезок прямой, заключенный между его сторонами, делится в точке О пополам». Получив соответствующий вывод о центре симметрии параллелограмма, вводим понятие центрально-симметричных фигур, подчеркивая, что каждой точке М фигуры, имеющей центр симметрии в точке О, соответствует другая точка М1 этой же фигуры, отстоящая от О на такое же расстояние, как и точка М, и лежащая на прямой МО.

Решали такие задачи на построение с применением центральной симметрии;

1) Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

2) Дан угол и точка Р внутри него. Провести через эту точку прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился в данной точке пополам.

У большинства учащихся не создавалось правильного представления о применении здесь центральной симметрии, они рассматривали эти решения, как решения задач дополнением искомых треугольников до параллелограммов.

Причины того, что это понятие оказалось трудным при таком изложении, следующие: во-первых, понятие центральной симметрии точек и фигур вводилось формально, без активного участия учащихся в формировании этого понятия; во-вторых, примеры задач на построение для иллюстрации применения центральной симметрии подобраны неудачно; в-третьих, в курсе геометрии по установившейся традиции центральная симметрия не находит должного применения.

2. Результаты оказались значительно лучшими, когда понятие центральной симметрии начали вводить так же, как и понятие осевой симметрии. Объяснение этого понятия сопровождалось показом соответствующих наглядных пособий, а также изделий, для которых учащиеся данного класса выполняли разметку, принимая точку пересечения базисных линий за центр симметрии и откладывая на одной и той же прямой по разные от этой точки стороны равные отрезки.

Затем решаем задачи вида: «Построить точку (отрезок, треугольник), симметричную данной точке (отрезку, треугольнику) относительно данного центра О», устанавливая одновременно равенство центрально-симметричных отрезков и треугольников. Чтобы учащиеся поняли, что любые центрально-симметричные фигуры равны, предлагаем им начертить произвольную прямолинейную фигуру и найти центрально-симметричную ей фигуру по отношению к некоторому центру. Поворачивая одну из них на 180о около центра О, учащиеся убеждаются, что эти фигуры совпадают. Затем, как и в прежнем варианте, вводим понятие центрально-симметричных фигур, рассматривая предварительно симметрию параллелограмма. Чтобы показать приложение центральной симметрии к решению задач на построение, подбираем задачи, для решения которых требуется применить действительно центральную симметрию, а не дополнение до параллелограмма.

Метод параллельного переноса.

В средней школе умножение движений не рассматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около параллельных осей, а вынуждены исходить из свойств параллелограммов.

Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».

Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, параллельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:

1) В трапеции ABCD из вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м, а длима ED равна 3дм. Определить периметр трапеции.

2) Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобедренного треугольника.

Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем перенос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с решения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку – центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в известном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окружности фактически выполнено отражение от точки А, которое можно в данном случае рассматривать как произведение параллельного переноса и поворота окружности вокруг своего центра на 180°.

Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность которого состоит в следующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некоторое расстояние в определенном направлении, в результате чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаем искомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллельный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для определения параллельного переноса нужно знать направление и величину переноса.

Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направление и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.

Метод подобия.

1. Понятие о подобии фигур в курсе геометрии VIII класса обычно иллюстрируется многочисленными примерами подобных фигур, встречающихся в быту, в науке и технике. Используется и имеющийся у учащихся опыт применения подобия при изготовлении планов и карт на уроках географии; при проведении мензульной съемки, если она была проведена до изучения этой темы; при выполнении рабочих чертежей на уроках черчения; при разметке деталей в школьных мастерских по чертежам, выполненным в некотором масштабе.

Для лучшего усвоения метода подобия при изучении теоретического материала необходимо проводить подготовительную работу, в частности, разъяснять, хотя бы в простейших случаях (треугольники, параллелограммы), условия, определяющие форму фигуры с точностью до подобия. Так как учащиеся должны уметь выполнять построения вспомогательных фигур, подобных искомым, то нужно повторить изученные ранее методы и приемы геометрических построений, в особенности, метод геометрических мест, что можно сделать при изучении пропорциональности отрезков в связи с новым материалом.

Учащиеся, повторив материал, относящийся к методу геометрических мест, легче воспринимают метод подобия. При решении задач методом подобия, как и при решении задач методом геометрических мест, отбрасываем одно из условий, в результате чего задача становится неопределенной. Ее решением при применении метода геометрических мест является бесконечное множество точек, удовлетворяющих оставшимся условиям, а в случае метода подобия получаем бесконечное множество фигур, объединенных одним свойством; все они подобны искомой фигуре. Взяв одну из них, мы с помощью подобного преобразования, учитывая ранее отброшенное условие, получаем искомую фигуру. Эта аналогия помогает лучше усвоить метод подобия.

2. При изучении понятия «центр подобия» и при построении многоугольника, подобного данному, разъясняем учащимся, что соответственные точки всегда лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия, а прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в параллельную ей прямую. После того как учащиеся ознакомятся с построением многоугольника, подобного данному, разбираем сущность метода подобия, решая несложную задачу, в которой были бы ярко выражены характерные признаки этого метода. Например: «Построить треугольник, знай два его угла А и С и высоту hb».

Эту задачу можно решить различными способами, например методом параллельного переноса или методом геометрических мест. Разобрав предлагаемые учащимися решения и повторив сущность применяемых методов, указываем на возможность решения еще одним способом: с применением подобия фигур.

Если не учитывать высоту искомого треугольника, то по двум данным углам мы можем построить бесконечное множество треугольников, но все они будут подобны искомому. Построим один из них, например треугольник А1В1С1 (рис. 50).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 50

Чтобы выяснить, будет ли он искомым, проведем высоту BlD1 и сравним ее с данной высотой. В общем случае полученная высота не будет равна данной. Если, например, BlD1 меньше данной высоты в два раза, значит, и стороны треугольника нужно увеличить в два раза, ибо сходственные высоты в подобных треугольниках относятся как сходственные стороны. Если высота BlD1 больше данной в несколько раз, тогда нужно во столько же раз уменьшить и стороны треугольника. Следовательно, треугольник А1В1С1 нужно подобно преобразовать так, чтобы высота была равна данному отрезку hb, для чего достаточно определить коэффициент подобия и выбрать центр подобия. Коэффициент подобия равен отношению данной высоты к настроенной высоте BlD1, то есть Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение . За центр подобия выберем, например, точку B1, тогда очень легко построить точку, соответствующую точке D1, для чего достаточно отложить отрезок B1D = hв. Проведя прямую СА || С1А1, получим искомый треугольник АВ1С, который действительно удовлетворяет всем условиям задачи.

Построения, выполняемые с применением транспортира и треугольника, просты, доказательство и исследование элементарны, и все внимание учащихся концентрируется на уяснении сущности нового для них способа решения задач на построение.

Повторяем решение задачи: не учитывая высоты, по данным углам построили треугольник, подобный искомому; учитывая затем заданную высоту, подобно преобразовали построенный треугольник в искомый. Такой способ решения задачи называется методом подобия. Этим методом можно решать лишь такие задачи па построение, условия которых можно разбить на две части, одна из которых определяет фигуру с точностью до подобия (два утла треугольника), а вторая часть условия определяет размеры фигуры (высота).

Таким образом, метод подобия при решении задач на построение состоит в следующем; отбросив условие, определяющее размеры фигуры, по оставшимся условиям строим фигуру, подобную искомой; учитывая затем ранее отброшенное условие, подобно преобразовываем построенную фигуру в искомую.

Алгебраический метод.

1. Одним из важных методов, применяемых в школьном курсе геометрии, является алгебраический метод решения задач на построение. Уже в VI-VII классах учащиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказательство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение В VI классе целесообразно рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в глубокой древности, но вопросы алгебры не отделялись от вопросов арифметики и геометрии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занимались преимущественно геометрией, получили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические тождества доказывались ими геометрически. На доске в качестве примера иллюстрируем доказательство тождества: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (рис. 56).

Рис. 56

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b и площадей двух прямоугольников со сторонами а и b. В IX в. н. э. узбекский

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы моментом оформления науки алгебры. В дальнейшем алгебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных задач других математических дисциплин, в том числе и геометрии.

2. Алгебраический метод решения задач на построение рассматривается как дальнейшее расширение применения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанавливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь известными геометрическими соотношениями между искомыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравнение или систему уравнений. 4) Исследуем полученные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгебраических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на построение, решаемые таким методом, можно рассматривать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического метода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на построение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

4. Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для решения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на построение более доступен учащимся, ибо достаточно получить соответствующую формулу для определения искомой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значениях и положениях данных.

5. Однако в средней школе не следует чрезмерно увлекаться этим методом за счет других важных разделов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического

мышления.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствии с Основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач.

При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определенных инструментов (линейка, чертежный треугольник, циркуль),а также изображениями, выполняемыми от руки.

Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертеж-задание», «чертеж-набросок», «чертеж-построение», «чертеж для исследования»).

Решение задач на построение развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.

Действительно, задачи вычислительного характера в планиметрии, не требующие в большинстве своем вспомогательных построений и сложных логических рассуждений, служат для закрепления фактического материала: формулировок теорем, свойств фигур и т.п. чтобы развивать логическое мышление учащихся, а этим сделать их знания более систематизированными, прочными и глубокими, решаются задачи на доказательство.

Большое значение для логического развития учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура.

Весь комплекс, состоящий из четырех стадий решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), является хорошей школой решения и исследования проблем в области точных наук. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.

Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь, прежде всего как средства анализа.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента.

Среди учащихся 10-го класса был проведен тест на выполнение логических операций над геометрическими объектами.

Тест предназначен для выявления умения выполнять основные логические операции над геометрическими фигурами (аналогии, классификации, построение закономерности) и рассчитан на работу с учащимися старших классов, студентами математических факультетов.

Материалом заданий являются плоские геометрические фигуры (углы, многоугольники, окружности, комбинированные формы).

Данные тестирования могут использоваться преподавателями математики, практическими психологами для отбора в математические классы и школы для разработки коррекционных обучающих программ в целях дифференциации учащихся.

Тест предназначен для диагностики умственного развития учащихся подросткового и юношеского возраста; позволяет выявлять индивидуально-психологи-ческие различия в овладении логическими операциями с геометрическими объектами. Он содержит три набора заданий (субтестов) на выполнение «аналогии», «классификации», «закономерности построения» геометрических объектов, в качестве которых выступают углы, треугольники, четырехугольники, неоднородные «комбинированные фигуры». Каждый субтест состоит из 12 вариантов заданий, отличающихся усложнением материала.

OCHOBHOE СОДЕРЖАНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ ТЕСТА

Как уже отмечалось, предлагаемый тест может быть использован для диагностики умственного развития учащихся. Критерием этого развитая служит успешность (правильность) выполнения логических операций: «аналогии», «классификации», «закономерности построения» геометрических объектов. Работа с тестом предполагает, что испытуемый знает основные признаки (свойства) геометрических фигур, умеет ими пользоваться. Однако тест не предусматривает проверку программных требований к усвоению учебного материала (знания теорем, аксиом, правил решения задач и т.п.). Он не ориентирован также на проверку графических знаний, умений. Все задания теста даются в готовом виде. Испытуемый выполняет требуемые логические операции, опираясь на восприятие объектов (в виде плоскостных изображений), заданных графически.

Выполнение заданий теста предполагает мысленное преобразование геометрических объектов. Однако содержание и характер этих преобразований теста не определяется построением задания. Поэтому испытуемый может придти к правильному ответу, используя различные мысленные преобразования. При групповом тестировании определяется количество правильно выполненных заданий в целом и в каждом субтесте отдельно. Учитывается также время, затраченное на выполнение, как отдельного задания, так и общего их объема. При индивидуальном тестировании можно оценить не только результативность выполнения заданий теста, но и сам процесс работы. Например, установить, как выполняет испытуемый геометрические преобразования объектов: ориентируется на изменение величины, пространственного положения объектов, осуществляет повороты, достраивание фигуры, произвольно выделяет вписанные и описанные фигуры, меняет соотношение «фигуры и фона» и т.д. Получение таких сведений о работе испытуемых важно для выявления их индивидуальных возможностей для построения коррекционного обучения. Однако это связано с использованием дополнительных методов: специально организованной беседы, контролем за каждым этапом выполняемого преобразования, их анализом, что не может (и не должно) обеспечиваться групповым тестированием.

Данный тест разработан как групповой. Он позволяет выявлять и оценивать каждого учащегося по общей результативности его работы. Однако очень высокие (низкие) результаты могут быть подвергнуты более тщательному и содержательному анализу, что требует индивидуальной работы экспериментатора с каждым учащимся.

Своим содержанием тест «ЛОГО» обеспечивает анализ успешности выполнения трех основных логически операций.

В первом субтесте («аналогия») испытуемому предлагается три однородных геометрических объекта. Между первым и вторым объектами имеется определенная связь, которую испытуемый должен выявить. Сообщается, что между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная связь. Испытуемый должен найти из четырех объектов тот, который соответствует по аналогии третьему. Этот субтест содержит четыре варианта заданий, отличающихся типом геометрических объектов, каждый из которых представлен в трех различных видах.

Во втором субтесте («классификация») предлагается пять геометрических объектов, четыре из которых объединены одним общим признаком. Пятый («лишний») объект, который не подходит к остальным, нужно найти. Субтест также имеет несколько вариантов заданий, отличающихся типом геометрических объектов, представленных различным образом.

В третьем субтесте испытуемому предлагается три геометрических объекта, расположенных в определенной закономерности. Необходимо найти и использовать эту закономерность, подобрать к трем объектам четвертый, который продолжал бы данную закономерность. Субтест содержит четыре варианта заданий, отличающихся постепенным усложнением типа геометрического объекта (один объект, их сочетание, сложность конфигурации).

Таким образом, каждый субтест включал 12 заданий. Одна форма теста состояла из 36 заданий. Всего по двум эквивалентным формам было разработано 72 задания.

Тест «ЛОГО» позволяет дифференцировать учащихся по умению выполнять основные логические операции над геометрическими объектами (фигурами), что является существенным для овладения математикой. Он может использоваться при отборе учащихся в математические школы, классы с углубленным изучением этого предмета, для оценки логического мышления учащихся. Поскольку оперирование геометрическими объектами существенно не только при усвоении математики, но составляет основу проекционного черчения, тест может использоваться на занятиях графическими дисциплинами.

На работу с тестом отводится 45 минут. Перед началом работы сообщается ее цель и порядок.

3.2. Описание проведения эксперимента и его результаты.

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются три геометрических объекта. Между первым и вторым объектом существует определенная связь. Между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная, та же самая связь. Этот геометрический объект вам следует найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Правильный ответ – г). Его нужно записать.

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 1

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 2.

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 3.

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются ПЯЧЬ геометрических объектов. четыре из них объединены общим признаком. пятый объект к ним не подходит. Его нужно найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Правильный ответ – в. Его нужно записать.

СУБТЕСТ2. ЗАДАНИЕ 1

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 2.

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 3.

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

Описание и пример работы с субтестом 3.

Вам предлагаются три геометрических объекта, расположенных на основе определенной закономерности. Вам нужно выбрать из представленных внизу вариантов ответов четвертый объект, который продолжал бы данную закономерность построения геометрического ряда, и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Правильный ответ – а. Его нужно записать.

ФОРМА А. СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 1.

1
2
3

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 2.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 3.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

КЛЮЧ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Обработка результатов тестирования

По итогам количественной обработки теста получили следующие результаты:

Фамилия учащегося	Кол-во правильно выполненных заданий	Процентное отношение
Антонова К.	10	28%
Колосова Н.	10	28%
Михайлюк К.	18	50%
Назарова А.	20	56%
Петрова К.	16	44%
Платонова Ю.	21	58%
Трофимова О.	12	33%

Далее мы провели качественную обработку тестирования, выяснив:

Вид заданий (на величину, форму и тип оперирования образами), который вызывает наибольшее количество ошибок;

Вид деятельности (создание образа, оперирование образами), вызывающий наибольшее количество ошибок.

По результатам качественного анализа мы выделили задания, которые при решении вызывают у учащихся трудности. В течение трех недель мы с учащимися разбирали и прорешивали задания, подобные заданиям из теста «ЛОГО».

В конце третьей недели тест «ЛОГО» был проведен повторно и получили следующие результаты.

Фамилия учащегося	Кол-во правильно выполненных заданий	Процентное отношение
Антонова К.	25	69%
Колосова Н.	23	64%
Михайлюк К.	32	89%
Назарова А.	28	78%
Петрова К.	25	69%
Платонова Ю.	34	94%
Трофимова О.	30	83%

Сравнив результаты первого и второго тестирования можно сделать вывод: при периодическом стимулировании логического мышления процент его развития повысился.

Таким образом, чтобы максимально повысить процент развития логического мышления, нужно непрерывно выполнять стимулирующие упражнения, увеличивая их сложность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив и проанализировав психологическую и методическую литературу мы выполнили следующие задачи:

Выделили пути развития математического мышления учащихся;

Дали характеристику задач на построение и описали их влияние на развитие логического мышления школьников;

Разработали систему уроков с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на построение.

В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися.

Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии.

Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на построение показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.

В результате проведенного педагогического эксперимента можно сделать вывод о том, что развитию логического мышления у учащихся способствует систематическое нарешивание, начиная с простейших, постепенно переходя к более сложным заданиям.

Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

БИБЛИОГРАФИЯ

Александров, А.Д. Геометрия: Учебное пособие для студ. вузов, обучающихся по спец. «Математика» / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. – М.: Наука, 1990. – 672 с.

Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец. «Математика». – М.: Наука, 1987. – 288 с.

Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие. Изд. 19-е, – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1954. – 176 с.

Антонов, Н.С. Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учебное пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. – 304 с.

Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1955. – 268 с.

Атанасян, Л.С. Курс элементарной геометрии. Ч I. Планиметрия.: Учебное пособие. / Л.С. Атанасян и др.

Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов // Математика в школе. – 1994 – №4 – с. 14-15.

Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. – 1991 – №2 – с. 23-25.

Брушлинский, А.В. Общая психология: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.В. Брушлинский, В.П. Зинченко, А.В. Петровский и др.; Под редакцией А.В. Петровского – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1986. – 464 с., ил.

Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение. – М.: Знание, 1983. – 96 с.

Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач: [О развитии мышления на уроках математики] // Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 37-38.

Варданян, С.С. Задача оп планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. – М.: Просвещение, 1989.

Векслер, С.И. Найти и преодолеть ошибку: [О развитии мышления школьников на уроках математики] // Математика в школе. – 1989 – №5 – с. 40-42.

Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005 – 252 с., ил.

Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987.

Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики – М.: просвещение, 1990. – 224 с., ил

Гусев, В.А. Методика обучения геометрии / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия» – 2004. – 368 с.

Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В.А. Гусев – М.: Просвещение, 1979. – 287 с.

Далингер, В.А. Чертеж учит думать: [К методике шк. курса геометрии] // Математика в школе. – 1990 – №4 – с. 32-36.

Дьюи, Дж. Психология и педагогика мышления – М.: Просвещение, 1999.

Зетель, С.И. Геометрия линейки и геометрия циркуля, 1957.

Клименченко, Д.В. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. / д.В. Клименченко, Т.Д. Цикунова // Математика в школе. – 1990 – №1 – с. 19-21.

Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем, 1984.

Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение. // Математика в школе. – 1984 – №2 – с. 22-25.

Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе, 1967.

Маслова, Г.Г. Методика обучения решению задач на построение в восьмилетней школе, 1961.

Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика; сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 414 с.

Никитина, Г.Н. проверим построение. // Математика в школе. – 1988 – №2 – с. 55-56.

Овезов, А. Особенности рассуждений в приложениях математики: [О развитии логического мышления на уроках математики] // Математика в школе. – 1991 – №4 – с. 45-48.

Петров, К. Метод гомотетии в решении задач // Математика в школе. – 1984 – №1 – с. 63-64.

Пичурин, Л.Ф. Воспитание школьников в процессе обучения математике: из опыта работы. Сборник / сост. Л.ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1981 – 159 с.

Погорелов, А.В. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990 – 334 с., ил.

Погорелов, А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993 – 383 с.

Погорелов, А.В. Элементарная геометрия / А.В. Погорелов. – 3-е изд., доп. – М.: «Наука», 1977 – 279 с., ил.

Сенников, Г.П. Решение задач на построение в VI-VIII классах: пособие для учителей, 1955.

Смогоржевский, А.С. Линейка в геометрических построениях, 1957.

Степанов, В.Д. Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе: Межвуз. сб. науч. тр / Владимир. гос. пед. ин-т им. П.И. Лебедева-Полянского; [ред. кол.: В.Д. Степанова (отв. ред.) и др.] – Владимир: ВГПИ, 1989 – 94 с., ил.

Столяр, А.А. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Учеб. пособие по спец. «Математика» и «Физика»; сост. А.А. Столяр, Р.С. Черкасов. – М.: просвещение, 1985 – 336 с.

Тесленко, И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе: (По учеб. пособию А.В. Погорелова «Геометрия 6-10») Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1985 – 95 с., ил.

Фетисов, А.И. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / под ред. А.И. Фетисова: пособие для учителя – М.: Просвещение, 1967 – 272 с.

Фурман, А.В. влияние особенностей проблемной ситуации на развитие мышления учащихся. // Вопросы психологии, 1985 – №2 – с. 68-72.

Четверухин, Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для учителей и студентов – М.: УЧПЕД ГИЗ, 1958.

Четверухин, Н.Ф. Методы геометрических построений, 1952.

Чистякова, Г.Д. Мышление: его закономерности и условия развития. // Биология в школе – 1989 – №5 – с. 18-21.

Чистякова, Г.Д. Учить думать: [О развитии мышления школьников] // Биология в школе – 1989 – №6 – с. 23-26.

Шерпаев, Н.В. Графическая система для геометрических построений. // Математика в школе. – 1988 – №5 – с. 44-48.

Якиманская, И.С. Знания и мышление школьника. – М.: Знание, 1985 – 80 с.

Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования: учеб. пособие для студ. вузов – М.: Академия, 2004 – 319 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ТЕМА 1. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ (1 Ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пунктов учащиеся должны:

знать алгоритм решения задачи па построение треугольника по трем сторонам;

уметь его применять при решении конкретных задач с числовыми или геометрически заданными условиями.

Методические рекомендация к изучению материала

Учащиеся уже знакомы из курса математики VI класса с решением задачи на построение треугольника по трем сторонам. Поэтому изучение нового материала можно начать с решения задачи 17 (1):

«Постройте треугольник с данными сторонами а = 2 см, b = 3 см, с =4 см».

Построенный треугольник обозначить ΔАВС, обратив внимание учащихся на традиционное соответствие обозначений, – сторона а лежит против угла А, b –против В, с – против С.

Затем можно показать учащимся, что стороны треугольника могут быть заданы геометрически – данными отрезками а, b, с (рис. 1), и разобрать с ними общий алгоритм решения задачи.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 1

Следует обратить также внимание учащихся, что последняя фраза в решении: «Треугольник АВС имеет стороны, равные а, b, с – есть не что иное, как доказательство того, что построен именно искомый треугольник. После этого можно предложить учащимся решить задачу:

«Постройте равносторонний треугольник по его стороне».

Примерное планирование изучения материала

В классе – провести краткую беседу о том, что такое задачи на построение, разобрать решение задачи 5.1. решить задачи 17 (1), 19; дома – вопрос 10, задачи 17 (2), 18.

Указания к задачам

К пункту относятся задачи 16 – 20.

19. Задачу рекомендуется решить в классе. Если она будет задана на дом, то следует дать указание: решение начать с построения окружности.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 2

Дано: а, b, R.

Решение. Проведем окружность данного радиуса (рис. 2). Выберем на окружности точку С и из этой точки как из центра сделаем две засечки радиусами а и b. Получим точки А и В. Δ АВС искомый. У него данные попоны ВС = а, АС = b. Описанная окружность имеет радиус R.

Для того чтобы задача имела решение, стороны а и b должны быть меньше диаметра окружности (a<2R, b<2R).

20. Дано: R, точки А, В.

Решение. Проведем две окружности радиуса R с центрами в точках А и В. Точки пересечения этих окружностей являются центрами искомой окружности.

Исследование. Если АВ > 2R, то задача не имеет решения.

Если АВ = 2R, то задача имеет одно решение: центр окружности – середина отрезка АВ.

Если АВ<2R, то задача имеет два решении: обе точки пересечения проведенных окружностей служат центрами искомых окружностей.

На примере этой задачи учащимся можно дать представление об этапе исследования, о различном числе решений задач на построение. Для этого целесообразно решить задачу 20 в классе, заготовив на доске три исходных рисунка: отрезок, равный R, и точки А и В, причем: 1) АВ<2R; 2) АВ = 2R; 3) АВ > 2R. Решение у доски одновременно проводится силами трех учащихся.

Примечание. Задачу можно предложить учащимся также после изучения теоремы 5.6, решив се с помощью метода геометрических мест.

ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пункта учащиеся должны:

знать алгоритм задачи на построение угла, равного данному;

уметь применять алгоритм при решении задачи на построение треугольников по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам и т. п.

Методические рекомендации к изучению материала

Начать изучение нового материала можно с решения задачи на построение треугольника типа 21 (1, а):

«Постройте треугольник АВС по двум сторонам и углу между ними: АВ = 5 см, АС = 6 см, А = 400».

Решение этой задачи знакомо учащимся из курса математики VI класса.

Затем можно предложить учащимся решить ту же задачу, однако данные задать геометрически:

«Постройте треугольник АВС по двум сторонам с, b и углу между ними » (рис. 3).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 3

Для того чтобы решить эту задачу, нам надо построить угол А, равный данному углу .

Далее учащимся излагается алгоритм решения задачи 5 (2).

После этого можно предложить учащимся решить задачу:

«Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию».

Примерное планирование изучения материала

В классе – разобрать решения задач 5 (2), 21 (1 а; 2 б), 22 (2); дома – вопрос 11. задачи 22 (1). 23.

Указания к задачам

К пункту относятся задачи 21–23.

ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пунктов учащиеся должны:

знать алгоритмы решения задач на деление угла и отрезка пополам;

уметь решать несложные задачи па построение с использованием этих алгоритмов.

Методические рекомендации к изучению материала

1°. При изложении учащимся решения задачи 5.3 (построение биссектрисы угла) можно более подробно остановиться на доказательстве того факта, что в результате построения действительно получились равные утлы.

В самом деле, Δ АВD = ΔАСD по третьему признаку равенства треугольников. Из их равенства следует, что DAB = DAC (рис. 4).

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 4 Рис. 5

2о. При решении задачи на деление отрезка пополам (задача 5.4) отрезки АС, ВС, АС1 и ВС1 строятся равными отрезку АВ (рис. 5). При доказательстве этот факт не учитывается. Действительно, равенство треугольников САС1 и СВС1 по третьему признаку можно доказать и без этого. Можно доказать, что точка О – середина отрезка АВ и с учетом конкретного построения, данного в учебном пособии. Приведем это доказательство. По построению АС = СВ = АС1 = С1В = АВ, т. е. ΔАСВ и ΔАС1В равносторонние; следовательно, САВ = С1АВ = 60°, а САС1 = 120о. ΔАСС1 равнобедренный, АСС1 = АС1С = (1800 – 1200):2 = 300, ВСО = АСВ – АСС1 = 600 – 300 = АСС1, т. е. СО – биссектриса угла С в равнобедренном треугольнике АВС: следовательно, она медиана: ВО = АО.

30. Для закрепления изученных приемов построения можно дать следующие задачи:

1. Дан треугольник. Постройте одну из его медиан (задача 28).

2. Постройте с помощью циркуля и линейки утлы 60° и 30° (задача 25).

Примерное планирование изучения материала

В классе – разобрать решения задач 5.3 и 5.4, решить задачи 25, 28; дома – вопросы 12, 13, задачи 24, 28 (еще две медианы).

Указания к задачам

К пунктам относятся задачи 24–29.

ТЕМА 4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пункта учащиеся должны:

знать алгоритм построения перпендикулярной прямой;

уметь его применять при решении несложных задач на построение.

Методические рекомендации к изучению материала

10. Можно предложить учащимся другое доказательство справедливости выполненного построениЯ.

Первый случай (рис. 6) (точка О лежит на прямой а). Отрезки АО = ОВ, АС = СВ по построению. Следовательно, ΔАВС равнобедренный, а СО – медиана этого треугольника, т. е. высота (теорема 3.5): СОАВ.

Второй случай (рис. 7) (точка О не лежит на прямой).

ΔАОО1 = ΔВОО1 по третьему признаку. Из равенства этих треугольников следует: АОС= ВОС. В равнобедренном ΔАОВ ОС – биссектриса и, следовательно, высота.

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Рис. 6 Рис. 7

2°. Сразу после разбора задачи 5.5 можно выполнить с учащимися следующие упражнения;

1) Дан треугольник. Постройте одну из его высот (часть задачи 28).

2) Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

3) Задача 30.

Решение задачи 30 является составной частью решения задач 31-34.

Примерное планирование изучения материала

В классе – провести самостоятельную работу, разобрать решение задачи 5.5, решить задачу 30; дома – вопрос 14, задача 28 (две другие высоты).

Дипломная работа: Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

Похожие работы: