Дипломная работа: Операторные уравнения
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________ Крутихина М.В.
« »____________
Декан факультета__________________ Варанкина В.И.
« »____________
Киров 2005
Содержание
| Введение_______________________________________________________ | 3 | |
| Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ | 4 | |
| §1. Определение линейного оператора________________________ | 4 | |
| §2. Норма линейного оператора______________________________ | 5 | |
| §3. Обратные операторы____________________________________ | 5 | |
| §4. Абстрактные функции___________________________________ | 9 | |
| §5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ | 11 | |
| §6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ | 12 | |
| §7. Метод малого параметра в общем случае___________________ | 13 | |
| §8. Метод продолжения по параметру________________________ | 15 | |
| 8.1. Формулировка основной теоремы___________________ | 15 | |
| 8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ | 16 | |
| Глава 2. Приложение_____________________________________________ | 19 | |
| Литература_____________________________________________________ | 27 | |
Введение
Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;
проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.
Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения
§1.Определение линейного оператора
Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ1x1 + λ2x2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)
для любых x1,x2 О D и любых скаляров λ1 и λ2.
Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А называется непрерывным в точке x0 О X, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 О X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 О X; тогда А непрерывен в любой точке x0 О X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.
Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество
{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.
Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство
||Аx|| ≤ с (1)
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
||Аx|| ≤ с ||x|| (2)
для любых x О X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
§2. Норма линейного оператора
В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
. (1)
Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество
ограничено
сверху. По теореме
о верхней грани
существует
.
Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x О S1(0). Отсюда
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)
справедливое для всех x О X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).
§3.Обратные операторы
Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения
Если существует
обратный оператор
,
то решение
задачи записывается
в явном виде:
Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан
линейный оператор:
А: X → Y, где X,Y
– линейные
пространства,
причем его
область определения
D(A)
X,
а область значений
R(A)Y.
Введем множество
- множество
нулей оператора
А. заметим, что
N(A) не
пусто, так как
0 О N(A)
Теорема 4.
Оператор А
переводит D
(А) в R (А)
взаимно однозначно
тогда и только
тогда, когда
N(A)=
,
(т.е. множество
А нулей состоит
только из элемента
0)
Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x О D(A) выполняется неравенство
. (1)
Введем теперь следующее важное понятие.
Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 О L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6.
Оператор А
непрерывно
обратим тогда
и только тогда,
когда R(A)=Y
и для некоторой
постоянной
m>0 и для
всех
выполняется
неравенство
(1).
В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A О L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.
Иными словами, если А О L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.
Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения
Ax = y (2)
Если А непрерывно
обратим, то
уравнение это
имеет единственное
решение x
= A-1y
для любой правой
части у. Если
при этом
(решение
того же уравнения
с правой частью
),
то
.
Это означает,
что малое изменение
правой части
y влечет
малое изменение
решения, или,
как принято
говорить, задача
(2) корректно
разрешима.
Пусть А О L(X,Y). Оператор U О L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V О L(X,Y) будем называть левым обратным к А, если VA = Ix.
Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет решение
x = Аr–1 y
Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.
Доказательство.
А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,
т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.
Далее, пусть существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x О N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x О N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.
Пусть X
– банахово
пространство.
Рассмотрим
банахово пространство
L(X)
– пространство
линейных,
ограниченных
и заданных на
всем множестве
операторов.
Пусть I –
тождественный
оператор в
L(X).
Очевидно, что
I непрерывно
обратим. Ниже
доказывается,
что вместе с
I непрерывно
обратимы все
операторы
- единичного
шара в L(X),
т.е. все такие
А, для которых
справедливо
неравенство
.
Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8.
Пусть
и
;
тогда оператор
I – C
непрерывно
обратим. При
этом справедливы
оценки
(1)
(2)
Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд
I+C+C2+C3+… (3)
Так
как
,
то ряд (3) оценивается
сходящимся
числовым рядом
– геометрической
прогрессией
По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.
.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что
,
.
Но
при этом
(ибо
и
),
а
.
Поэтому, в пределе
имеем равенства
(I – C)S
= I и S(I
– C) = I.
По лемме 1 отсюда
заключаем, что
I – C
непрерывно
обратим и S=(I
– C)-1.
Далее,
,
.
Переходя
в этих неравенствах
к пределу при
,
получаем оценки
(1) и (2). Теорема
доказана.
Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А О L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9.
Пусть A,
B О
L(X,Y),
А непрерывно
обратим и выполнено
неравенство
.
Тогда B
непрерывно
обратим и справедливы
оценки
,
.
§4. Абстрактные функции
Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим
функцию x(
)
с областью
определения
S и с областью
значений в X.
Такие функции
принято называть
абстрактными
функциями
числовой переменной
или векторными
функциями
числовой переменной,
поскольку
элементы линейного
(иначе – векторного)
пространства
мы называем
также векторами.
На абстрактные
функции числовой
переменной
переносятся
многие понятия
и факты математического
анализа. Далее
рассмотрим
сведения о
пределах и
непрерывности
таких функций,
о разложении
в степенные
ряды, а также
понятие аналитической
абстрактной
функции.
Пусть x()
определена
в окрестности
точки
0,
за исключением,
быть может,
самой точки
0.
Элемент а О
X будем называть
пределом функции
x()
при
→0
и записывать
при
→0,
если
при
→0.
Степенные
ряды – это
специальный
случай рядов
в нормированном
пространстве,
когда члены
ряда зависят
от параметра.
Рассмотрим
в нормированном
пространстве
X ряд вида
,
где xк
О
X, а
– вещественное
или комплексное
переменное.
Поскольку можно
ввести новую
переменную
–0
=
,
то в дальнейшем
мы полагаем
0
= 0 и рассматриваем
степенные ряды
вида
(1)
Конечная
сумма
называется
частичной
суммой степенного
ряда (1).
Пусть
– множество
всех точек
,
для которых
ряд (1) сходится.
называется
областью
сходимости
ряда (1).
Сумму ряда
(1) при
О
обозначим через
S()
(это абстрактная
функция, определенная
на
со значениями
в X), при этом будем
писать
,
при
О
.
Последнее
равенство
означает, что
Sn()
→ S()
при n→∞ для
всех
О
.
Очевидно,
область сходимости
любого степенного
ряда (1) не пуста,
так как 0 О
.
Как и в случае
скалярных
функций, справедлива
следующая
теорема.
Теорема
10 (Абель). Пусть0
≠ 0 и
0
О
,
тогда круг
содержится
в
.
Во всяком круге
Sr(0),
где r <
,
ряд (1) сходиться
абсолютно и
равномерно
относительно
.
Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:
;
тогда равны
все их коэффициенты:
(k=0, 1, 2, …)
Дифференцирование абстрактных функций
Пусть функция
числового
переменного
λ со
значениями
в банаховом
пространстве
X определена
в окрестности
точки λ0.
По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел
,
если
этот предел
существует
(и конечен). Если
имеет производную
в точке λ0,
то она называется
дифференцируемой
в этой точке.
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора
Абстрактную
функцию x()
будем называть
аналитической
при
=0,
если она представима
в некоторой
окрестности
точки
=0
сходящимся
степенным
рядом:
(1)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12.
Если x()
– аналитическая
абстрактная
функция при
=0,
то x()
непрерывна
в круге SR(0),
где R – радиус
сходимости
степенного
разложения
(1).
Теорема 13.
Если x()
– аналитическая
абстрактная
функция при
=0,
то x()
дифференцируема
в круге SR(0)
сходимости
своего степенного
разложения.
Пусть x()
бесконечно
дифференцируема
в точке 0. Ряд
вида
называется
рядом Тейлора
функции x().
Если x()
аналитична
при
=0,
то ее ряд Тейлора,
в силу теоремы
10, является ее
степенным
разложением
и, значит, сходится
к ней в SR(0).
Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.
§6. Метод малого параметра в простейшем случае
Рассмотрим следующее уравнение:
Аx –Сx=y. (1)
Здесь А, С
О L(X,Y)
и y О
Y заданы,
- скалярный
параметр,
,
а неизвестное
x разыскивается
в X. Если
,
т.е.
, (2)
то, согласно
теореме 9, оператор
А–С
непрерывно
обратим, и тогда
решение уравнения
(1) существует,
единственно
и задается
явной формулой
. (3)
Отсюда видно,
что в круге (2)
решение является
аналитической
функцией параметра
и, следовательно,
может быть
найдено в виде
(4)
На этой идее
основывается
метод малого
параметра для
уравнения (1).
Подставим ряд
(4) в уравнение
(1) и, согласно
теореме единственности
разложения
в степенной
ряд, приравниваем
коэффициенты
при одинаковых
степенях
в правой и левой
частях получившегося
тождества:
.
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:
Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …
Следовательно,
. (5)
Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.
§7. Метод малого параметра в общем случае
Пусть дано уравнение
А()х
= у(). (1)
Здесь А()О
L(X,Y)
задана при
каждом
,
,
или, как
говорят, А()
– оператор-функция.
Пусть А()
аналитична
при
=0,
а оператор А(0)
непрерывно
обратим, у()
– заданная
аналитическая
функция
при
=0
со значениями
в Y.
Неизвестное
x разыскивается
в X.
Аналитичность
А()
и у()
в точке 0 означает,
что они разлагаются
в следующие
степенные ряды
с ненулевыми
радиусами
сходимости,
которые равны
и
соответственно:
,
. (2)
Из аналитичности
А()
следует непрерывность
А()
при
=0.
следовательно,
найдется число
r > 0 такое,
что в круге
.
Отсюда вытекает,
что в круге
оператор-функция
А()
непрерывно
обратима и,
следовательно,
уравнение (1)
имеет единственное
решение
,
при этом x()
аналитична
в точке
=0
и радиус сходимости
соответствующего
степенного
ряда равен
min(,
r).
Для фактического
построения
x()
удобно воспользоваться
методом малого
параметра.
Будем разыскивать
x()
в виде
. (3)
Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:
А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,
А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)
. . . . . . . . . . .
,
…
Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
,
,
… (5)
Возникающие
здесь формулы
довольно громоздки,
однако этим
путем можно
найти решение
уравнения с
любой степенью
точности. Метод
малого параметра
особенно удобен
в тех случаях,
когда обращение
оператора А(0)
– задача более
простая, чем
задача обращения
оператора А().
§8. Метод продолжения по параметру
8.1. Формулировка основной теоремы
В качестве
еще одного
приложения
теорем об обратных
операторах
рассмотрим
один из вариантов
метода продолжения
по параметру.
Пусть
и А непрерывно
обратим. Если
,
то, согласно
теореме 9 §3, В
также непрерывно
обратим. Оказывается,
при определенных
условиях можно
доказать, что
В будет непрерывно
обратим и в том
случае, когда
он очень далек
от А. Идея
заключается
в следующем.
Рассмотрим
непрерывную
на отрезке [0,
1] оператор - функцию
такую, что А(0)=А,
А(1)=В. Иначе говоря,
в L(X,
Y) рассматривается
непрерывная
кривая, соединяющая
точки А и В.
Будем предполагать,
что для оператор
– функции
выполняется
следующее
условие:
Существует
постоянная
такая, что при
всех
и при любых
справедливо
неравенство
.
(1)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14.
Пусть А(λ)
– непрерывная
на [0, 1] оператор-функция
(при каждом
),
причем оператор
А(0) непрерывно
обратим. Если
для А(λ)выполняется
условие I,
то А(I)непрерывно
обратим, причем
.
Замечание
к теореме 14.
Если выполнено
условие I
при
и оператор
непрерывно
обратим, то
.
(2)
Действительно,
пусть
,
а
,
т.е.
.
тогда условие
I дает
или
,
что означает
справедливость
неравенства
(2).
8.2. Простейший случай продолжения по параметру
Приведем
здесь доказательство
теоремы 14 для
случая, когда
.
Согласно условию
этой теоремы
.
По замечанию
14
.
Имеем следующую
оценку:
.
Пусть
,
где
.
На [0, δ]
имеем
,
и, следовательно,
по теореме 9
А(λ)
при всяком
непрерывно
обратим. Если
окажется, то
,
то теорема
доказана.
Пусть δ
< 1. Возьмем
А(δ).
Согласно замечанию
п.14.1
.
Повторяем наши
рассуждения
при λ>δ.
Имеем оценку
,
если
,
откуда А(λ)
непрерывно
обратим при
каждом
.
Если
,
то теорема
доказана. Если
же 2δ
< 1, то
и рассуждение
можно повторить.
После конечного
числа шагов
мы достигаем
точки λ=1,
и, следовательно,
А(1) непрерывно
обратим.
Доказательство теоремы в общем случае
Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].
Замечание
1. условие открытости
М на [0,1] понимается
так: для любого
существует
δ > 0
такое, что
.
Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Ж – пустое множество. Допустим противное, что N № Ж. Поскольку М № Ж и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b О M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x О M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1О М.
Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 О N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N № Ж неверно. Итак, N= Ж, т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся
к доказательству
теоремы. Пусть
М – множество
тех точек λО[0, 1],
для которых
оператор А(λ)
непрерывно
обратим. Согласно
замечанию 1
для всех λ
О М.
М не пусто,
поскольку 0
О [0, 1].
воспользуемся
непрерывностью
оператор–функции
А(λ)
в метрике L(X,Y).
Для любого e
> 0 найдется δ
= δ(e)>0
такое, что при
всех λ
О [0, 1]
таких, что
< δ
выполняется
неравенство
<e.
Возьмем e
= γ,
тогда при
< δ(γ),
λ О
[0, 1]
<1.
По теореме
9 §3 А(λ)
непрерывно
обратим для
всех таких λ.
Итак, вместе
с λ0
М содержит
,
т.е. М открыто
на [0, 1].
Докажем, что
М замкнуто
на [0, 1]. Пусть
и
при
.
Надо доказать,
что λ0
М. воспользуемся
неравенством
и получим
.
Вследствие
непрерывности
А(λ)
по λ
для любого e
> 0 находим номер
N = N(e)
такой, что при
n > N
будет
<e.
Возьмем e
= γ,
тогда для n
= N(γ)+1
<1.
По теореме
9 А(λ0)
непрерывно
обратим, т.е.
λ0
О М,
и, значит, М
замкнуто на
[0, 1]. По лемме
М = [0, 1] . в частности,
1О М
и
.
Теорема полностью
доказана.
Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(λ)х = у, λО [0, 1]. (1*)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λО [0, 1] справедлива оценка
,
(2*)
где с – некоторая
постоянная,
не зависящая
от х, у и λ.
Оценка такого
рода называется
априорной
оценкой для
решения уравнения
(1*). Очевидно,
априорная
оценка (2*) представляет
собой лишь
иначе записанное
условие (1): 
.
Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.
Глава 2. Приложение
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:
(1)
Это уравнение
вида А()х
= у()
– операторное
уравнение в
С[-π; π],
где
Покажем, что
А()
аналитична
в т. 0, т.е. разлагается
в ряд вида
.
Разложим функцию
А()
в ряд Тейлора:
.
Найдем к – ую производную:
Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:
Таким образом,
функция аналитична,
следовательно,
непрерывна
при
= 0, а значит,
уравнение имеет
единственное
решение.
Операторные коэффициенты имеют вид:
;
(2)
I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥ 1.
Заменим,
,
поэтому
,
(4)
где
,
Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:
,
подсчитаем интегралы:
,
,
Тогда, подставив
в уравнение,
получаем:
.
Отсюда:
. (5)
Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:
.
Подсчитав соответствующие интегралы:
,
,
,
подставив и
выразив В,
получаем:
. (6)
Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):
и свернем по формуле:
II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А0x1= – А1x0.
Обозначим
,
т.к. мы знаем
теперь x0(s),
следовательно
φ(t)
можно вычислить.
Имеем:
Как в предыдущем
случае заменим,
,
поэтому
. (7)
где
,
.
Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент А:
Подсчитав:
,
,
,
имеем
.
Аналогично
умножив уравнение
(7) на sin t
и проинтегрируем
по t от –π
до π
– получим коэффициент
В:
.
Составляем функцию x1(t), подставив коэффициенты А и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:
.
Таким способом мы можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.
Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.
–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)
x(0) = x(1) = 0 (2)
Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).
Покажем
методом продолжения
по параметру,
что в этих условиях
при всякой
правой части
y ОY = С [0, 1]
существует
единственное
решение задачи
x О X = С2
[0, 1] – пространству,
состоящему
из дважды непрерывно
дифференцируемых
на [0, 1] функций
x(t), удовлетворяющих
граничным
условиям (2), и
с нормой
,
где
.
Запишем задачу (1) – (2) в операторном виде: Вx = y
Здесь
определен всюду
на X со значениями
в Y. В качестве
оператора А
примем
ОL(X,
Y).
Соединим операторы А и В отрезком
,
λ
О [0, 1].
Теперь необходимо установить априорную оценку для решений краевой задачи
–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)
x(0) = x(1) = 0 (4)
Как только такая оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) – (4).
Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:
.
Заметим, с учетом граничных условий:
Подставим полученные интегралы и сгруппируем относительно λ:
(5)
Произведем оценку всех трех слагаемых в этом равенстве.
Докажем, что
.
(6)
Заметим, что
,
и значит по
неравенству
Коши – Буняковского:
.
Точно так же:
.
Перемножим эти неравенства:
.
(6*)
Отсюда, замечая,
что
,
получим
.
Далее
(7)
– это следует из предположения (*).
Последний интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:
,
где
.
Для любого
ε >
0
. (8)
Используя полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:
,
считая ε > 0 достаточно малым, имеем
.
Выберем
и получим
,
где
.
Возвращаясь снова к равенству (5), получим следующую оценку:
,
где
,
а
.
Теперь с
помощью оценки
(6*) имеем
и, значит, учитывая,
что
,
получим
(9)
Из уравнения
(3) можем получить
оценки для
и
:
.
(10)
Здесь
оценивается
через
и
.
Действительно,
x(0) = x(1) = 0. по теореме
Роля на (0, 1) найдется
точка ξ,
в которой
x'(ξ) = 0. Тогда,
запишем уравнение
(3) в виде
,
(в этом можно убедиться, взяв производную:
и сократив
)
интегрируем его от ξ до θ и получим
.
Отсюда имеем оценку
,
(11)
где
.
Теперь подставим полученные результаты в (10):
.
(12)
Теперь (9), (11) и (12) дают искомую априорную оценку:
(постоянную с4 нетрудно подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).
Таким образом, доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого параметра.
Итак, рассмотрим операторное уравнение:
А(λ)x = y(λ),
где
.
I. Начнем с уравнения А0x0 = y (где А0 – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y0 = y, yк = 0, к ≥ 1.
,
причем с1
подбирается
так, чтобы
выполнялось
краевое условие:
x0(1) = 0.
II. Найдем x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0, то мы будем решать уравнение А0x1= – А1x0.
Из того, что
следует
следующее
уравнение:
.
По аналогии c2 и c3 подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.
Таким образом, решения нашей краевой задачи выглядит так:
,
подставляя найденные решения, имеем:
или
Литература
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М., 1962
Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.
Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.
Функциональный анализ./Под. ред. С. Г. Крейна. М., 1972
Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.
31