Курсовая работа: Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Министерство Образования Украины
Кафедра электротехники
Курсовая работа
по курсу “Теория электрических и электронных цепей”
на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”
Вариант № 12
Содержание курсовой работы
1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R4=R3 ), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm.
2. Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса tnn.
Это время определить по следующим формулам:
tnn=
или tnn=
где λmin – наименьший из двух вещественных корней;
δ - вещественна часть комплексного корня.
3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.
4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону
e(t)=Emsin(ωt +φ).
Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.
Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.
5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U0, U1, U2, U3. Принимая значение времени: t1=τ , t2=1,5τ , t3=2τ , t4= 2,5τ .
Здесь τ – постоянная времени рассматриваемой цепи.
Таблица 1:
| Номер варианта | Номер схемы |
Параметры источника |
Параметры цепи |
Параметры источника для интеграла Дюамеля |
Номер схемы по рисунку 2 |
Исследуемая величина ƒ(t) |
||||||||||
|
Напряжение U, В |
Частота ƒ, Гц |
Нач. фаза φ,град. |
R1 Ом |
R2 Ом |
R3 Ом |
L мГн |
C мкФ |
№ графика |
Uо В |
U1 В |
U2 В |
U3 В |
||||
| 12 | 12 | 70 | 30 | 75 | 26 | 10 | 10 | 100 | 25 | 12 | 20 | 5 | 10 | 0 | 4 | UR2 |
Рисунок
1:
Рисунок 2:
График
1:
1 этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом
1 этап
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
i2(-0)=i1(-0)=
=
=
1.52 (A)
Uc(-0)= i2.R2=Uc(+0)
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0 (1)
i1.R1+
i2.
R2+L
=U
(2)
i1.R1+ Uc=U (3)
Из (2) уравнения выразим i1
i1=
(2.1)
i1 из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic=
(1.1)
i1 подставим в (3) и выразим Uc
U=
(3)
Uc=U-U-
i2.
R2-
(3)
Uc=i2.R2+
(3.1)
Uc=
(3.2)
Подставим в место Uc и ic в уревнение (3.2), получим:
(3.3)
Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:
(3.4)
В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:
2 этап
Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим i2 как сумму двух составляющих i2св – свободная составляющая и i2вын – вынужденная составляющая
i2=i2св+i2вын
i2вын найдём по схеме
i2вын=
i2св
найдём из
дифференциального
уравнения
подставив
численные
значения в
уравнение и
заменив
через
l,
а
через
l2
получим:
Ll2+R2l+
l+
=0
(3.5)
Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни l1 и l2
0.1l2+10l+
l+
15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l2=0
Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98
l1,2=
;
;
l1
l2
– вещественные
l1=
l2=
i2св=А1е-477t+А2е-1162t (3.6)
i2=1.94+ А1е-477t+А2е-1162t (3.7)
3 этап
Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2 для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.
i2(+0)=i2вын(+0)+ А1+А2
-477
А1-1162
А2
Из уравнения
(2) найдём
для
момента времени
t+0
(3.8)
Из уравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2
i1=
(3.9)
Найдём
подставив
значение i1
из уравнения
(3.9) в уравнение
(3.8)
(4.0)
Подставим
значение
,
i2(+0),
i2вын
в систему и
найдём коэффициенты
А1
и А2
1,52=1,94+
А1
+ А2 (4.1)
2=-477 А1-1162 А2 (4.2)
Из уравнения (4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)
А1=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2)-1162А2 (4.3)
Из уравнения (4.3) найдём А2
2=200,34+477А2-1162А2
2=200,34-685А2
А2=
А1=-0,42-0,29=-0,71
Подставим найденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)
i2=1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t (А)
4 этап
Определяем остальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1
UL=
(В)
Uc=
+i2R2=
=
(В)
ic=
(А)
i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+( 1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t) =
=1,94-0,666е-477t+0,304е-1162t (А)
Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn.
Это время определим по формуле:
tnn=
Найдём tпп время переходного процесса
tпп=
(с)
Таблица переменных
| Время переходного процесса tnn (c) |
Значение тока i1 (A) |
Значение тока i2 (A) |
Значение тока ic (A) |
Значение напряжения UL (B) |
Значение напряжения UC (B) |
| 0.000 | 1.578 | 1.520 | 0.058 | 0.20 | 15.22 |
| 0.001 | 1.622 | 1.590 | 0.032 | 10.49 | 16.95 |
| 0.002 | 1.713 | 1.695 | 0.018 | 9.75 | 17.92 |
| 0.003 | 1.790 | 1.779 | 0.011 | 7.07 | 18.50 |
| 0.004 | 1.844 | 1.837 | 0.006 | 4.70 | 18.84 |
| 0.005 | 1.879 | 1.875 | 0.004 | 3.02 | 19.06 |
| 0.006 | 1.902 | 1.899 | 0.0025 | 1.90 | 19.19 |
| 0.0063 | 1.907 | 1.905 | 0.0022 | 1.65 | 19.21 |
Рисунок 3 - График токов
где
i1
i2
ic
Рисунок 4 – График напряжений
где
UL
UC
2 этап курсовой работы
2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:
e(t)=Emsin(wt+j)
R1
где Em=100 (B)
w=2pf
=2 3,14 50=314 (Гц)
j=300
R1=R2=10 (Ом) L=100 (мГн)
R3=9 (Ом) С=100 (мкФ)
w=314 (Гц)
XL=wL=314. 0,1=31,4 (Ом)
XC=
(Ом)
Найдём начальные условие:
U(t)=Umsin(wt+j)=100sin(314+30);
Um=100ej30=86,603+j50 (В)
UC(-0)=0 (B)
Найдём полное сопротивление цепи
Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)
Зная сопротивление и напряжение найдём I3m
I3m=I1m=
(А)
Найдём мгновенное значение тока
i3(t)=I3msin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)
Для времени t=0 ток будет равен
i3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)
Таким образом
UC(-0)=UC(+0)=0 (B)
i3(-0)= i3(+0)=-1.314 (A)
1 этап
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-i3=0
(1/)
i1.R1+ i3.R3+L
=U(t)
(2/)
i1.R1+i2.R2+Uc=U(t) (3/)
Из (2/) уравнения выразим i1
i1=
(2/.1)
i1 из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2
i2=
(1/.1)
U(t)=U(t)-i3.R3-L+R2
-
(3.1)
Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
(3.2)
2 этап
Вид решения для i3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.
Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св=А1е-406t+А2е-234t
Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);
Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zп вын сопротивление цепи:
Zп
вын=
(Ом)
I1m=
(A)
Найдём Uab вын
Uab m=
I1m
(В)
I3 m=
(A)
Найдём i3 вын
I3 вын= I3 msin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)
Таким образом
i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
3/ этап
Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.
i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
i3(+0)=i3(-0)=-1.314 (A)
i3(+0)=2.607sin(-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2
R1i1=U(t)-R2i2-UC
=
=
Подставим
значение
,
i3(+0),
и найдём коэффициенты
А1
и А2 для
времени t+0
-1.314=-1.798+A1+A2
433.96=592/806-406A1-234A2
A1=-1.314+1.798-A2=0.484- A2
433.96=592.806-406(-0.484- A2)-234 A2
433.96-592.806+406 .0.484= A2(406-234)
37.658=172A2
A2=0.219
A1=0.265
Ток i3 будет равняться
I3=2.607sin(314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)
Таблица переменных
| Время t, c | 0.000 | 0.001 | 0.002 | 0.003 | 0.004 | 0.005 | 0.006 | 0.0063 |
| Ток i2, A | 1.115 | 1.327 | 1.528 | 1.671 | 1.7428 | 1.7430 | 1.6745 | 1.6413 |
3 этап курсовой работы
Найдём выражение для тока катушки операторным методом:
R1
R2
Запишем начальные условия в момент времени t(-0)
I3(-0)=
=
=
5.263 (A)
Uc(-0)=0 (В)
Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.
Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
I1(p)-I2(p)-IC(p)=0
(1.3)
(2.3)
(3.3)
Из уравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):
Из уравнения (3.3)
(2.3.1)
(2.3.2)
Подставим численные значения элементов
По полученному изображению найдём оригинал тока .
Операторное
решение тока
имеет вид правильной
дроби I=
.
Оригинал тока
найдём при
помощи теоремы
разложения.
Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1=0
0,000065p2+0,1065p+36=0
Д=(0б1065)2-4.0,000065.36=0,0019
I2(p)=
Найдём A1 A2 A3
Коэффициент
An
будем искать
в виде,
где
N(p) – числитель,
а M(p) – знаменатель
A1=
A2=
A3=
Таким образом,
i2(t)
будет равняться
i2(t)=A1.exp(p1t)+ A2.exp(p2t)+ A3.exp(p3t)=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t
Искомый ток катушки i2 равняется :
i2=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t (A)
Токи сходятся.
4 этап курсовой работы
Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
Определим переходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC(-0)=UC(+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.
Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0
i1.R1+ i2.R2=U
iс=
iс.R3-i2.R1+Uc=0 i1=i2+iс
i1=i2+iс
i2(R1+R2)+iсR1=U
i2=
iс.R3-i2.R1+Uc=0
iс.R3+Uc-+
ic
+
+
+
0,00043l+1=0
l=
-2322,58 (
)
UC св=Ae-2322,58t
UC вын=
(B)
UC=UC
св+UC
вын=0,278+Ae-2322,58t
A=-0,278
UC=0,278-0,278e-2322,58t (B)
iс==25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t
(A)
Uab=icR3+UC=0,278-0,12e-2322,58t (B)
Таким образом переходная характеристика h1(t) будет равна
h1(t)=UR2(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)
t=
(c)
5 этап курсовой работы
Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходную характеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа
h1(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)
tпп=
(c)
Найдём t, t1, t2, U1/(t), U2/(t):
t=
(с)
t1=t=0.00043 (c) t2=1,5t=0.00065 (c) t3=2t=0.00086 (c)
U0=20 (В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);
U1/(t)=0
(
)
U2/(t)=
()
U3/(t)=
()
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
(B)
| t (c) | 0 | 0.0001 | 0.0002 | 0.0003 | 0.0004 | 0.00043 |
| UR2 (B) | 3.2 | 3.697 | 4.092 | 4.404 | 4.652 | 4.716 |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+
-
(B)
| t (с) | 0,00043 | 0.00045 | 0.0005 | 0.00055 | 0.0006 | 0.00065 |
| UR2 (B) | 4,14 | 3,64 | 2,37 | 1,06 | -0,27 | -1,64 |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+
=
-
)+
+
(B)
| t (c) | 0.00065 | 0.0007 | 0.00075 | 0.0008 | 0.00085 | 0.00086 |
| UR2(B) | -5,145 | -4,396 | -3,653 | -2,914 | -2,179 | -2,03 |
Запишем уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+
-
+
(B)
| t (c) | 0.00086 | 0.0009 | 0.00095 | 0.001 | 0.0013 |
| UR2(B) | -1,97 | -1,79 | -1,60 | -1,42 | -0,707 |
Строим графики U(t) и UR2(t) по данным таблиц.