Задана электрическая цепь, изображенная на рисунке 1:

Требуется:
1) Определить выражения для всех токов в цепи в переходном режиме, решив задачу классическим и операторным методами.
2) Определить выражения для напряжений на емкости и индуктивности, решив задачу классическим и операторным методами.
3) Построить кривые напряжения токов во всех ветвях и напряжений на емкости и индуктивности в функции времени.

Заданные параметры цепи:
(Ом); (Ом); (Гн); (мкФ)

1) Для t?0 получим систему уравнений метода переменных состояния. Используя законы Кирхгофа, составим систему уравнений:


(1) (2) (3) (4)

В качестве переменных состояния рассмотрим и , подставим уравнения (2,3,4) в систему (1), сведя ее к системе из двух уравнений:
(5) Приведем систему уравнений (5) к нормальной форме.
(6)

2)
При определим принужденные составляющие. Учтем, что в установившемся режиме
(В/с); (А/с).
Тогда система (6) примет вид:


(В)
(А);

3)
Корни характеристического уравнения можно найти из выражения входного комплексного сопротивления схемы переменному синусоидальному току, т.е для t?0
; заменяем на р и выражение приравниваем к нулю:



(1/с); (рад/с).
4)
С помощью законов коммутации находим начальные условия переходного процесса:
(А);
(В).
Подставляя эти значения в систему (6) при t=0, получаем:
(В/с)

(А/с)
5)
Определим постоянные интегрирования, для этого составим систему уравнений. Первое уравнение системы – это уравнение искомой величины. Оно записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Принужденная составляющая найдена выше. Свободная составляющая записывается в соответствии с видом корней характеристического уравнения. При двух комплексных сопряженных корнях свободная составляющая представляет собой затухающую синусоиду, которая содержит две постоянных интегрирования А и . Для их определения необходимо второе уравнение. Его получают дифференцированием первого:



При t=0 система сведется к виду:


Решение системы дает: ; А= 37,79 (В);
Искомое решение для напряжения на емкости принимает вид: (В).

Аналогичным образом находим решение для тока второй ветви:


При t=0:

0.075= 0.0857+
50=

Искомое выражение для тока второй ветви:
(А);

Определение :
Согласно уравнению (3) , (В);
Из системы (1):



II. Операторный метод расчета
1) Составляется операторная схема замещения исходной электрической цепи (Рис.1) для времени . При этом все известные и неизвестные функции заменяются изображениями. Для нахождения параметров дополнительных источников операторной схемы замещения с помощью законов коммутации определяются независимые начальные условия (НУ):

(А); (В).
2) Находится изображение искомого тока. Операторная схема замещения содержит 3 источника в разных ветвях: основной и два дополнительных. Поэтому для нахождения изображения тока второй ветви воспользуемся законами Кирхгофа в операторной форме:

(7)
Подставим выражения для начальных условий в систему (7). Первое уравнение системы подставим во второе, выразим ток и подставим его в третье уравнение системы, в результате получили одно уравнение с одним неизвестным .




3) По найденному изображению определяется оригинал. Для нахождения корней приравнивается к нулю выражение :
; ; ;
(1/с); (рад/с).

;
;
; где

;
(А).
Искомое выражение для тока :

(А).

4) Аналогично найдем ток в первой из системы уравнений (7).
Подставим выражения для начальных условий в систему (7). Найденное выражение для тока в пункте (3) подставим во второе уравнение системы (7):

;

; ; ;
(1/с); (рад/с).


;

; где ;

;
Искомое выражение для тока :



5) Найдем напряжения :


;


; ; ;
(1/с); (рад/с).



;
; где ;


Искомое выражение:
(В);

6)
Найдем ток третьей ветви :

;

; ; ;
(1/с); (рад/с).



;
; где


Искомое выражение для тока:
;
В методе переменных состояния было получено выражение для тока:

Покажем, что это одно и тоже значение:



7) В случае колебательного процесса рассчитать логарифмический декремент затухания.





(А).