Учебное пособие: Кручение

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов

по дисциплине: «Техническая механика»

по теме: «Кручение»

2010

Введение

Понять и усвоить содержание дисциплины «Техническая механика» можно лишь при объединении аудиторной и внеаудиторной подготовки студентов.

Важной составляющей внеаудиторной работы является самостоятельная работа студентов, которая проводится с целью систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений по дисциплине, развитие познавательных и творческих способностей.

В данном пособии представлены методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Техническая механика» по теме «Кручение»

Рекомендации состоят из четырех частей. Первая включает информационный материал, составленный на основании рабочей программы дисциплины, изучая которую студент получает возможность определить объем необходимого для усвоения материала. Вторая часть рекомендаций содержит вопросы к информационному материалу и служит для осуществления самоконтроля.

Причем на них следует отвечать по порядку, не пропуская ни одного.

Прочитав вопрос, надо дать на него полный исчерпывающий ответ, не пользуясь при этом ни конспектом, ни учебником. Если же студент почувствует затруднение при формулировке ответа, необходимо обратиться к учебнику.

Третья часть представляет собой инструкцию по решению типовых задач, в которой обращается внимание на использование рациональных способов решения, применения установленной методики задач.

В четвертой предложены задания, требующие переноса известного способа решения задач в аналогичную ситуацию и ответы к заданиям. В случае не подтверждения достоверности ответа, студент обращается за консультацией к преподавателю.

Задания выполняются в тетради для самостоятельной работы. Работа с данными рекомендациями не предполагает усвоение новых знаний, но позволяет студенту углублять ранее полученные знания (на лекциях, практических занятиях).

1. Методические указания к решению задач на прочность и жесткость по теме «Кручение»

В результате изучения темы студенты должны:

Знать:

- методику расчета на прочность и жесткость.

Уметь:

- строить эпюру крутящих моментов;

- выполнять расчеты на прочность и жесткость и подобрать сечение вала.

Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Mz. Крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих на отсеченную часть.

Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя смотрящего на проведенное сечение он представляется направленным по часовой стрелке.

Условие прочности при кручении имеет вид:

τ=τk],

где Mz max – наибольший крутящий момент

Wp – полярный момент сопротивления сечения

[τk] – допускаемое касательное напряжение на кручение.

При проверочном расчете определяют τmax и сравнивают с допускаемым значением [τk], затем делают вывод о прочности.

Для подбора поперечного сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение полярного момента сопротивления сечения.

Wp ≥

Для сечения вала с кольцеобразным поперечным сечением

Wp ≈ 0,2× → d ≈

Для сечения вала с кольцеобразным поперечным сечением

Wp ≈ 0,2××(1-), → D ≈

Где С =

d – внутренний диаметр кольца

D – наружный диаметр кольца

Полученные значения диаметра, выраженное в миллиметрах, следует округлить в сторону увеличения до ближайшего целого четного числа или числа, оканчивающего на 5

Условие жесткости при кручении имеет вид:

= ≤ [],

Где – относительный угол закручивания.

Jp – полярный момент инерции сечения

G – модуль сдвига (для стали G = 8×МПа)

[] – допускаемый относительный угол закручивания.

При проверочном расчете определяют и сравнивают с [], затем делают вывод соблюдено или нет условие жесткости.

При проектном расчете из условия жесткости определяют требуемый полярный момент инерции сечения.

Jp ≥

Исходя из формы поперечного сечения вала (круг или кольцо) по найденному значению Jp определить диаметр (вычисленное значение диаметра следует округлить до ближайшего целого четного числа или числа оканчивающегося на 5)

Для круга:

Jp ≈ 0,1×d → d ≈

Для кольца:

Jp ≈ 0,1××(1-) → D ≈

Если проектный расчет вала проводиться из условия прочности и из условия жесткости, то из двух вычисленных значений диаметра вала следует выбрать больший.

В Международной системе единиц (СИ) передаваемая валом мощность измеряется в ваттах (Вт), угловая скорость ω в ,вращающие моменты Мвр, а также крутящие моменты Mz в Н×М, допускаемые касательные напряжения [ в Па, полярные моменты инерции сечений Jp в , полярные моменты сопротивления Wp – в , допускаемый угол закручивания [] в , модуль сдвига G – в Па.

В соответствии с этим необходимо заданную частоту вращения (если она дается в условии задачи) выразить в единицах угловой скорости (), применив известную формулу

ω = ,

тогда зависимость между передаваемой мощностью P в кВт, угловой скоростью ω, и выраженным внешним моментом Мвр в Н×М, скручивающим вал, запишется в таком виде:

Мвр = .

2. Вопросы для самопроверки

Какой внутренний силовой фактор возникает в поперечном сечении вала, и какое напряжение он вызывает?

Сформулируйте правило определения крутящего момента в произвольном сечении вала и правило знаков.

Запишите условие прочности и жесткости при кручении.

Как определить полярные моменты инерции и сопротивления для круга и кольца?

Как нужно нагрузить брус, чтобы он работал только на кручение?

По какому закону распределяется напряжение в поперечном сечении круглого бруса при кручении?

Сколько различных видов расчета можно производить из условия прочности и жесткости?

В одинаковой ли степени увеличатся жесткость и прочность стального бруса круглого поперечного сечения, если увеличить его диаметр?

Во сколько раз увеличатся жесткость и прочность бруса круглого поперечного сечения при условии увеличения его диаметра в два раза?

3. Порядок решения типовых задач

Задача №1

Определить диаметр стального вала для передачи мощности Р=8кВт при частоте вращения 240 из условия прочности, принять []=60МПа. Определив требуемый диаметр вала, найти угол его закручивания на длине l=300мм.

Дано:

Р=8кВт

n=240

[]=60МПа

l=300мм

G=8МПа

d-? φ-?

Решение:

1.Определяем крутящий момент

Мвр = Мz = = ;

ω = ;

Мz = = 0,318кНМ = 318НМ

2. Определяем диаметр вала, используя условие прочности на кручение.

= ≤ []→ ≥ = = 5,3*

= → d = = = 30мм.

3. Определяем угол закручивания

φ = =

Jp =

φ = = 0,015 рад

Задача №2

Определить из условия жесткости диаметр стального вала, передающего мощность Р=80кВт при частоте вращения 300, приняв []=0,5. Каким будет при этом коэффициент запаса прочности вала по пределу текучести =140 МПа?

Дано:

Р=80кВт

n=300

[]=0,5

=140 МПа

G=8*МПа

d-? -?

Решение:

1. Определяем крутящий момент

Mвр = Mz = =

= ≈ 2,548кН*М = 2548Н*М

2. Определяем из условия жесткости диаметр вала

= * ≤ []

Jp =

= ≤ []

= ≤ [] → d ≥ = ≈ 78мм

3. Определяем максимальное касательное напряжение

= ;

Wp = ;

= = = 27МПа

4. Определяем коэффициент запаса прочности вала по пределу текучести

= = ≈ 5,2

Задача №3

Определить диаметр стального вала из условия жесткости, передающего мощность =60кВт; =120кВт и =80кВт при угловой скорости ω=60, если допускаемое касательное напряжение []=30МПа, а допускаемый относительный угол закручивания []=0,02 .

Определяем скручивающие моменты

= = = 1000Н*М

= = = 2000Н*М

= = = 1333Н*М

Σ = 0

--+= 0→= -

= 2000+1333-1000 = 2333Н*М

2. Вычисляем крутящие моменты на каждом участке вала и строим эпюру крутящих моментов участок

-+= 0

= = 1000 Н*М

участок

-++=0

= -=1000-2000 = -1000 Н*М

участок

-+++= 0

= --=1000 – 2000 – 1333 = -2333 Н*М

3. Определяем из условия прочности диаметр вала.

= ≤ [] → ≥ ;

≥ =77767;

= → d = ≈73мм.

4. Определяем из условия жесткости диаметр вала

= ≤ [] → Jp ≥ = =1458125

Jp = → d = = = 62мм

5. Окончательно принимаем диаметр вала d=75 мм.

4. Задания для самостоятельного решения

Задача №1

Для заданных брусьев, построить эпюру крутящих моментов и определить опасное сечение.

Ответ: Mz max a) 2m; б) 4m; в) 4m; д) 18кНМ; е) 45кНМ

Задача №2

Определить отношение диаметров и масс двух валов одинаковой прочности и длины, передающих одинаковую мощность, если один вал вращается n₁=800мин^-1, другой с n₂=1200мин^-1.

Ответ: d₁:d₂=1,15; m₁:m₂=1,31

Задача №3

Стальной вал вращается с частотой вращения n=980мин^-1 и передает мощность Р=40кВт. Определить требуемый диаметр вала , если допускаемое касательное напряжение [τ_к]=25МПа

Ответ: d=43мм.

Задача №4

Стальной брус кольцевого поперечного сечения (d=100мм и d₀=80мм) длиной 3М закручен на угол 3⁰. Вычислить наибольшие касательные напряжения, возникающие в брусе.

Ответ: τ_max=70МПа

Задача №5

Стальной вал d=60мм имеет частоту вращения n=900мин^-1. Определить допускаемое значение передаваемой мощности, если [φ₀]=0,5