Выдающийся французский математик и философ Рене Декарт высказал плодотворную идею о том, что математику отличает не столько предмет ее исследования, сколько метод. Современные математики воспринимают математику как метод, созданный для логической систематизации истин, взятых из опыта и других наук. С таким пониманием вынуждены согласиться и современные методологи образования. Следует отметить, что хотя математику отличает метод исследования, а не материальный предмет, источником многих математических проблем являются задачи, связанные с изучением конкретных явлений, возникающих в практической деятельности. Возможно, поэтому математики так близки к осуществлению пророчества Декарта, предсказавшего проникновение математических методов во все науки и видевшего в них высшее достижение человеческого разума.

Заблудиться можно не только в пространстве, но и в мыслях. Чтобы жизнь стала более уравновешенной, т.е. чтобы гуманитарное незнание уравновешивалось математическим знанием, мы должны следить за обоими мирами — реальным и виртуальным, хотя понятие "виртуальное" не всегда совпадает с понятиями "возможное" и "потенциальное". Многие математики давно уже не странствуют в чужих краях в поисках "математического пропитания" из различных областей естественнонаучного знания. Они настолько самозабвенно обживают свой математический мир, что не очень-то беспокоятся по поводу того, что он может когда-нибудь стать виртуальным. Несмотря на это, математика по-прежнему воспитывает в человеке такие необходимые качества, как выносливость, усидчивость, сообразительность, умение справляться со своими эмоциями и способность к самостоятельным действиям и поступкам.

Чем математика может быть методологически полезной для гуманитарных наук? Великий немецкий философ Иммануил Кант считал, что возможности математики довольно широки даже в философии. Например, в работе "Opus postumum", отражавшей философские идеи позднего периода его творчества, он утверждал, что "математику можно применить и в философии, хотя и лишь косвенно, а именно как инструмент". Однако, если математика должна прямо устанавливать "философские начала математики", то она все же действует косвенно посредством постановки задач, которые обращаются к естествознанию, а тем самым и к философии. Подобно Сократу и Платону, уже в Новое время Декарт убеждал в наличии связи между мыслью и существованием. Известное декартовское "мыслю, следовательно, существую" стало опорой человеческого бытия и играло роль гаранта устойчивости в сложных научно-гуманитарных изысканиях.

По существу, "принцип cogito" утверждает, что сама возможность познания способна реализоваться только самим человеком при условии его собственных усилий к мыслительному труду и духовному развитию. Он использовал математический метод применительно к философии. Декарт хотел доказывать философские истины примерно так же, как математические, прибегая к тому же инструменту, которым мы пользуемся при работе с числами, а именно — к разуму. Свою статью "О методе правильно направлять свой ум для изыскания истины в науках" Декарт начинает так: "Здравый рассудок из всех вещей в этом мире наилучшим образом распределен, ибо даже те, которые в остальном ничем не довольны, находят, что уделенная им доля достаточна" [1, с. 1335]. Упомянем также представления немецкого математика и мыслителя Готфрида Лейбница о всеобщей согласованности и "предустановленной гармонии мира", в которой элементы математического знания служат наглядными схемами для метафизических построений.

К серьезным последствиям в практической жизни приводит широко распространенное среди специалистов по социально-гуманитарным наукам мнение, что область их профессиональных интересов не может иметь ничего общего с математикой, поэтому "гуманитарию" изучать эту науку не только ни к чему, но даже может быть вредно. Некоторые гуманитарии даже считают более высокой ценностью ненаучный художественный опыт, представляющий гуманитарную культуру и придающий осмысленность жизни людей. Другая крайность состоит в том, что неправомерное перенесение в гуманитарную сферу способов рассуждений, используемых в математике, приводит к тому, что за "объективное знание" в ней выдается нечто такое, что знанием не является, а является лишь тенью в "платоновской пещере". Разграничение математики и гуманитарных наук в предшествующие эпохи основывалось на том, что математики всегда пренебрегали индуктивными и чисто описательными рассуждениями. Однако синтез естественных и гуманитарных наук стимулируется математизацией последних с использованием в них именно дедуктивных методов исследования и элементов математического моделирования.

Целью университетского образования гуманитария в области математики является воспитание определенной математической культуры и формирование простейших навыков использования современных математических методов в его профессиональной деятельности. Поскольку вряд ли возможна дедуктивно-умозрительно построенная "общая теория воспитания", то в "науке о воспитании" ведущая роль отводится профессиональному мастерству и интуиции преподавателя. Поэтому вполне уместна разумная требовательность преподавателя математики, который заставляет студентов-гуманитариев систематически заниматься своим предметом и испытывать если не любовь, то хотя бы уважение к нему. Это добавит гуманитарному знанию уверенности в своей научности и избавит гуманитарные науки от заигрывания с математикой и философией, а также от необоснованных претензий на всеобщность.

Математика — наилучший тренажер и наиболее демократичный предмет, поскольку в ней нет "царского пути" в добывании истины. В современном мире образованному человеку совершенно необходимо знание основ математики, и именно знакомство с математикой учит отличать правильное рассуждение от неправильного. Кроме того, логически правильные рассуждения укрепляют критерий истины в гуманитарном познании. Наука, по мнению Аристотеля, является теоретической, если ее цель — поиск истины. Среди "умозрительных учений" на первое место он ставил математику. Математика как наиабстрактнейшая дисциплина, в конечном счете, связана с практикой, но эта связь сложна и тонка. Своеобразие преподавания математики состоит в том, чтобы сделать эту связь ясной и для социально-гуманитарного знания. Современному обществу остро необходимы специалисты с полноценным образованием, в отношении которого учебные предметы по основам математики успешно выполняют свою общеобразовательную и воспитательную функцию.

Знаменитый советский математик профессор А.Я.Хинчин один из первых обратил внимание на то, что, поднимая общий культурный уровень учащихся и студентов, мы совершенно не затрагиваем важные задачи морального воспитания. Занятия по математике дают весьма ощутимые возможности в том смысле, что "теоретическая честность, ставшая для математика непреложным законом его научного мышления и профессиональной (в частности, педагогической) деятельности, довлеет над ним во всех его жизненных функциях — от абстрактных рассуждений до практического поведения" [2, с. 90]. Он считал, что значение воспитательной функции математического образования заключается в приучении учащихся к полноценной аргументации. Это качество в равной мере необходимо не только в математическом, но и в гуманитарном знании.

Сторонникам раздельного сосуществования математических и гуманитарных дисциплин в университетском образовании нетрудно привести аргументы в поддержку своей позиции. Безусловно, природа математического и гуманитарного знания, вообще говоря, разная. Гуманитарное знание принципиально субъективно и может оправдать что угодно, поскольку по-разному отвечает на одни и те же вопросы. Вспомним хотя бы такое тенденциозное понимание жизни и знания, когда "тьмы низких истин" провозглашались в пику "возвышающему обману". Эта реминисценция пушкинской строки грешит против реальности, поскольку излишне поспешно были приняты на веру поэтические слова о "возвышающем обмане".

Математика — это единственный предмет, где студент может убедить преподавателя в своей правоте, не прибегая ни к какому авторитету. От будущих профессионалов-гуманитариев не требуется глубокого интереса и добровольной преданности математике, но они должны быть внутренне убеждены в ее полезности, рассматривая изучение математики как "осознанную необходимость". Даже границы размежевания гуманитарного и естественнонаучного знания в ходе конкретизации этих наук становятся все более и более размытыми. Отличительной чертой математических рассуждений и доказательств является свойственная им "принудительность", выражающаяся в том, что их правильность вынужден признать каждый человек, чей интеллект достаточно развит, чтобы он был в состоянии их понимать. Для убедительного обоснования гипотетической возможности существования и развития гуманитарных наук без точных количественных и качественных методов исследования необходима точка зрения, позволяющая критически взглянуть на те области гуманитарного знания, которые определяют мировоззрение общества.

Напомним, что под "мировоззрением" обычно понимается совокупность взглядов, норм, оценок и установок, определяющих отношение человека к миру и выступающих в качестве ориентиров его поведения. Мировоззрение человека формируется, опираясь на его мироощущения или, точнее, на эмоционально-психологический уровень мировосприятия. Элементы гуманитарного знания находятся во всей эпистемологической области познания, поэтому в таком контексте гуманитарную математику с полным основанием можно рассматривать как одну из гуманитарных наук со своей особой спецификой. На пути к гуманитарной математике естественно возникают метафорические представления или "мыслеобразы". Поэтому не удивительно, что общекультурные и мифологические смыслы вновь и вновь оказываются в области интересов мировоззренческих проблем, которые не могут игнорировать иррациональные элементы в человеческой природе.

Но метафорическое мышление не может быть доказывающим. Поэтому наличие в системе общего высшего образования наряду с гуманитарной и математической составляющей — вполне естественное и закономерное явление. Положение математики в общей классификации наук наиболее точно выражено в афористичном высказывании лауреата Нобелевской премии, советского физика академика Л.Д.Ландау, согласно которому науки бывают сверхъестественные, как математика, естественные и неестественные, последними являются гуманитарные и социальные. Сегодня можно наблюдать, как использование математического моделирования, дедуктивных методов рассуждения и специального математического аппарата сближает гуманитарные и естественные науки. Заметим, что основным стимулом этого процесса является математизация гуманитарных наук, хотя еще сравнительно недавно в некоторых из них довольно редко использовались современные математические методы.

Возникновению теории познания способствовало совершенствование человеческого разума на основе наглядно-образного миросозерцания. Русский математик и философ профессор Н.В.Бугаев считал, что научно-философское миросозерцание тесно примыкает к математике, поскольку математическое толкование различных явлений отличается общностью и универсальностью: "В математическом миросозерцании изменяется и пополняется самый взгляд на прогресс и роль человека в ходе мировых событий" [3, с. 91]. Прогресс не бывает "прогрессом вообще", он всегда касается чего-то конкретного, например, когда по принятым в обществе критериям людям становится жить лучше. Но в области математики прогресс иногда осуществляется благодаря совершенно неожиданным сближениям различных областей науки. Истинность знания — это не только мировоззренческая ценность, но и необходимая характеристика любых познавательных процессов.

Согласно Фридриху Ницше, способность познания лежит не в степени его истинности, а в "его свойстве быть условием жизни". Наука в целом так и не смогла выработать единый, применимый во всех сложных ситуациях и не знающий исключений критерий истинности своих собственных утверждений. В современной математике истина не единственна, что ничуть не умаляет достоинств математики и не ставит под сомнение ее репутацию как наиболее безупречного метода достижения достоверного знания. Средства установления истины в математике отличны от других областей человеческой деятельности. Отрыв от истории математики в образовании гуманитариев приводит к тому, что она кажется "спустившейся прямо с небес" платоновского мира чистых идей. В хорошем гуманитарном образовании нужны не просто биографии, а пути открытия истины.

Математика — это творение человеческого разума, которому свойственно ошибаться. Лучше всех на эту тему высказался Блез Паскаль: "Истина — слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуться к истине, не повредив ее" [4, с. 374]. С изменением представлений об осмысленности или бессмысленности понятий менялось представление об очевидности и о самой сущности научной истины. Основная особенность математики, отличающая ее от других наук, состоит в том, что она достигает абсолюта в смысле окончательного установления своих истин. Это "не любовь к истине", а "стремление к истине" без всяких компромиссов в рамках высоких стандартов логических требований, что отчасти объясняет успехи современного математического познания. Декарт до философских размышлений зрелого возраста предпочел заниматься упражнениями в единственной науке, обладающей очевидными обоснованиями и доказательствами, — в математике.

Где в гуманитарных науках найти более истинное, чем математическая истина? К последней ведет только логическое рассуждение, выраженное в математических символах, понятиях и словах. У математика нет другого способа добыть истину. Вот почему математики так "чутки к слову" и внимательны к малейшим оттенкам формулировок. Почти все признают, что наука дает нам истину в форме научных законов и теорий. Но дает ли нам истину любое знание? Например, онтологическая истинность математических суждений, даже при всей важности методологии математики для математики, сама по себе недостаточна для понимания статуса системы аксиом математической теории, направленного на объяснение ее содержания. Если исходить из общепринятого понимания истины, то философское знание критерию истинности не удовлетворяет. Это не следует рассматривать как недостаток, поскольку существующую ныне трактовку истины можно поставить под сомнение. Неудивительно, что в научной сфере проблема истинности подменяется "проблемой общезначимости".

Наряду с истиной и истинами появилось много "правд" как вненаучных представлений об истинном знании. Расхожее мнение спешит подсказать в наш просвещенный век, что всякая истина относительна. Например, нравственные истины относительны, но то же можно сказать и о научных истинах. Математики всегда разделяли убеждение греческой философии, согласно которому достичь мудрости можно только посредством усвоения знания, которое является наукой или, по меньшей мере, стремится к ней. В отличие от миросозерцания мировоззрение не может базироваться только на индуктивном постижении мира. Высший уровень мировоззрения — это теоретическое мировоззрение, к которому принадлежат математика и философия, подвергающие все критическому осмыслению. Говоря о математическом знании для гуманитариев, следует постоянно помнить о том, что для них важен не внутренний процесс или уровень математизации, а то, как они употребляют математические утверждения.

Заметим, что применительно к гуманитарным областям знания само слово "анализ" появилось по аналогии с такими словосочетаниями, как "математический анализ" или "функциональный анализ", лишь в XX в. Но, несмотря на кажущуюся аналогию, анализ в гуманитарных науках принципиально отличается от методов анализа в математике и естественных науках, поскольку, в сущности, в гуманитарном знании слово анализ пока еще выступает в роли метафоры, указывающей на сциентистскую установку. Результаты "гуманитарного анализа" не могут и не должны быть верифицируемы, ведь нельзя всерьез говорить, например, о контрольном анализе поэтического или педагогического текста. Для обоснования самой возможности существования какой-либо альтернативы в вопросе взаимодействия математического и гуманитарного образования необходимо проанализировать каждую из указанных областей человеческого знания.

С точки зрения непреложности взглядов современной науки на собственные основания, все социально-гуманитарные науки традиционно содержат в себе потенциально мощный пласт гуманистики. Поэтому довольно прискорбно наблюдать, как современное школьное и университетское образование отторгает, как говорят философы, "гуманитарный дискурс". Эта сложная и многогранная проблема, как утверждает известный социолог профессор Н.Е.Покровский, порождена тем, что «общество все в большей степени фокусируется на бизнесценностях, коммерции, "полезном знании", что почти автоматически приводит к снижению или аннигиляции и гуманитарного, и гуманистического дискурса» [5, с. 95]. Превращение некультурности в норму жизни и невостребованность интеллектуальных усилий на практике приводят к депрофессионализации гуманитарного знания. Знание может быть достоверным только тогда, когда оно проверено, т.е. осмыслено, какими именно путями и средствами оно осуществлялось и каковы шансы достижения истины на основании этих путей и средств.

Понятие достоверности математического доказательства приобретает смысл при приложении математической теории к внешней для нее другой математической теории или системе представлений опытной науки. Опираясь на это положение, можно сказать, что полная достоверность достигается на содержательном уровне без апелляции к формальному построению математической теории. С древних времен математика рассматривалась как наиболее безупречный метод достижения достоверного знания о мире. Философско-математическое взаимодействие даже в классических концепциях базировалось на убеждении, что истинное знание может быть достигнуто только дедуктивным выведением его из уже полученных истин. Но наша психическая жизнь устроена так, что "жизнь разумная" в своем диалектическом движении "пульсирует ритмом тезиса, антитезиса и синтеза", который, несмотря на все старания, не поддается "дедуцированию".

Одна из важнейших функций математики в университетском образовании гуманитариев состоит в методологической необходимости дать четкое понимание того, что не все можно измерить, не все можно решить рассудочными методами. То, что в гуманитарных науках рассматривается как доказательство, в формальнологическом смысле вовсе таковым не является. В современных гуманитарных науках используются разнообразные внелогические суждения. Не случайно австрийский философ Людвиг Витгенштейн вполне серьезно говорил, что "юмор — не настроение, а мировоззрение", усматривая даже в таком внелогическом творчестве что-то глубокое и важное. Гуманитарии не любят точных дефиниций и формальнологических рассуждений не в силу слабости их мышления по сравнению с математиками, а из-за более глубокого сопереживания сложностям бытия в отличие от вполне определенной детерминированности математических конструкций. Поэтому естественно, что в приложениях математики к неточным наукам привлекают недоказуемые интуитивные суждения.

Но если мы говорим о воспитании логического мышления и точности выражения мысли как одной из важных задач обучения математике, то эти качества должны вырабатываться как следствие освоения содержательно богатого материала, а не с помощью дидактической игры в определения. В математике, используемой для нужд гуманитарных наук, имеющих, образно говоря, "континуум смыслов", заметен отход от классического идеала — непрерывного описания событий. Как говорил австрийский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии Эрвин Шредингер, "сколь бы болезненной ни была утрата, мы, видимо, потеряем то, что стоит потерять". Даже в квантовой механике наблюдения рассматриваются как дискретные, несвязные события. Между ними могут существовать пробелы, которые мы не можем заполнить. Не случайно философско-математическое понятие о бесконечности стало предельным пунктом логики, где она соприкасается с неподвластной ее законам областью.

Расставание с "естественной простотой" окружающего мира, например с евклидовой геометрией, происходит не только в математике, но и в мышлении, миропонимании и в рациональном видении мира. "Цель и суть математики заключены в свободе, которую она дает нам. Математика сочетает абсолютную доступность, демократичность и открытость с непререкаемым запретом на любую субъективность, предвзятость и бездоказательность" [6, с. 63]. Основываясь только на интуиции, верить математическим утверждениям, относящимся к фундаментальным понятиям, очень опасно. В то же время, хотя математическая логика позволяет следить за доказательством и проверять его, она, к сожалению, не дает способа открывать и изобретать его. Хорошая интуиция удачно направляет воображение математика, хотя "интуитивное осмысление" неизбежно проходит через формальное и поверхностное понимание, постепенно погружаясь в более глубокое знание.

Различие между логическим и интуитивным способами познания сравнивают даже с различием между алфавитной и иероглифической системами письменности — первая "атомизирует" процесс письма, а вторая передает мысль "синтетически". Нельзя не упомянуть и о том, что логический парадокс Рассела подорвал доверие математиков к их коллективной интуиции, хотя она по-прежнему сохраняет свою значимую роль на эвристической стадии исследования. Банально говорить, что интуиция математического объекта постепенно развивается и зависит от степени знакомства с этим объектом и хорошего знания темы исследования. Развитие интуиции связано с творческой сущностью процесса поиска математической истины, тогда как логика лишь обеспечивает уверенность, что результат, использующий не слишком строгие логические соображения, в действительности с помощью доказательства, опирающегося на соответствующую систему аксиом, а также проводимого средствами математической логики, представляет собой математическую истину.

Безусловно, математическая интуиция — один из наиболее важных источников развития математического знания. Даже профессор математики может оказаться не понятым студентами, если он захочет поделиться своими подводящими к теме "интуитивными" соображениями. Чаще всего "интуитивное" осмысление математической теории проходит через период формального понимания, которое постепенно заменяется более глубоким. Но так как логика, по существу, это особый вид искусственного языка, она не может конкурировать с математической интуицией, т.е. не может быть исключительно надежным инструментом для открытия математических истин. Речь идет о том, что нельзя говорить, что строгая дедукция теоретической математики вытекает исключительно из логики. Нельзя не признать, что интуиция тоже отчасти управляет логикой, точнее, математическая интуиция натуральных чисел помогает увидеть скрытые аналогии и воспользоваться аксиомой математической индукции.

Поэтому не случайно известный французский математик Жан Дьедонне в статье «Надо ли учить "современной" математике?» специально указал, что «главная цель обучения математике на любом уровне состоит в том, чтобы выработать у студента надежную "интуицию" относительно встречаемых им математических объектов» [7, с. 19]. Главным критерием научного вкуса для создателей современной математики неизменно являлось чувство важности проблемы и элегантность ее решения. Мы не пытаемся внушить школьникам и студентам робость перед грандиозностью системы абстрактных понятий математики, а стараемся показать их естественную и внутреннюю простоту. Как написала одна выпускница мехмата, "прошло время, и твоих познаний стало гораздо больше, а на месте пустыни образовался цветущий сад с созревшими плодами".

Математика полезна гуманитарной практике не только своими моделями явлений, но и строгой логикой рассуждений и умением замечать в них "прорехи". Она полезна не только для тех, кто не боится абстракции и любит математику, но даже и для тех, кто все еще боится математики и считает, что не любит абстракций. Математика — это не пугающее непосвященных жонглирование числами, а, как сказал Давид Гильберт, "это сад, в котором каждый может собрать букет по вкусу". Именно он лучше других предвидел будущее развитие математики XX в., точнее, чем любой политик, смог предсказать катаклизмы этого века.

Воспитательная роль математики состоит в том, что ее изучение вырабатывает исследовательский и творческий подход к любой работе, основанный на логичности и строгости суждений, а также умении выделять главное и ставить новые нерешенные задачи. Разумеется, речь не может идти о массовом и полноценном для всех математическом образовании, но людей, например, с университетским гуманитарным образованием, сознательно стремящихся к, возможно, "актуально бесполезному пониманию", никогда много не будет, но именно они способны достойно ответить на "интеллектуальный научный вызов цивилизации", прокладывая пути к идее общего блага.

Сколько-нибудь заметный воспитательный эффект от изучения курса математики, по мнению профессора АЛ.Хинчина, возможен при условиях, что преподаватель математики достаточно хорошо знает свой предмет и методологию своей науки и обладает необходимым педагогическим тактом. И наконец, что, и по нашему мнению, является необходимым и самым важным в воспитательном процессе, — сам преподаватель должен в достаточной мере обладать всеми теми качествами, которые он собирается воспитывать в своих учениках.

Список литературы

1. Якоби К.Г. 0 жизни Декарта и его методе направлять ум правильно и изыскивать в науках истину // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 12.

2. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Математика в образовании и воспитании. М., 2000.

3. Бугаев Н.В. Математика и научно-философское мировоззрение // Философская и социологическая мысль. 1989. № 5.

4. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.

5. Покровский Н.Е. Что происходит с гуманитарным образованием? // Социологические исследования. 2006. № 12.

6. Кутателадзе С.С. Апология Евклида // Владикавказский математический журнал. 2006. Т. 8. Вып. 2.

7. Дъедонне Ж.А. Надо ли учить "современной" математике? // Математика в школе. 2003. № 3.