Задача № 1

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная, механическая), млн. руб.:

Таблица 1 – Исходные данные

№ предприятия	Выручка от продажи продукции	Затраты на производство и реализацию продукции	№ предприятия	Выручка от продажи продукции	Затраты на производство и реализацию продукции
1	36,45	30,255	16	36,936	31,026
2	23,4	20,124	17	53,392	42,714
3	46,540	38,163	18	41,0	33,62
4	59,752	47,204	19	55,680	43,987
5	41,415	33,546	20	18,2	15,652
6	26,86	22,831	21	31,8	26,394
7	79,2	60,984	22	39,204	32,539
8	54,72	43,776	23	57,128	45,702
9	40,424	33,148	24	28,44	23,89
10	30,21	25,376	25	43,344	35,542
11	42,418	34,359	26	70,720	54,454
12	64,575	51,014	27	41,832	34,302
13	51,612	41,806	28	69,345	54,089
14	35,42	29,753	29	35,903	30,159
15	14,4	12,528	30	50,220	40,678

По исходным данным:

1. Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль от продаж, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Построим график полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы.

3. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения.

Решение:

1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, как разность от продажи продукции и затратами на производство и реализацию продукции

В результате получим новую таблицу:

Таблица 2 – Расчет прибыли от продаж

№ предприятия	Выручка от продажи продук-ции	Затраты на производство и реализацию продукции	Прибыль от продаж	№ предприятия	Выручка от продажи продукции	Затраты на производство и реализацию продукции	Прибыль от продаж
1	36,45	30,255	6,195	16	36,936	31,026	5,910
2	23,4	20,124	3,276	17	53,392	42,714	10,678
3	46,54	38,163	8,377	18	41	33,62	7,380
4	59,752	47,204	12,548	19	55,68	43,987	11,693
5	41,415	33,546	7,869	20	18,2	15,652	2,548
6	26,86	22,831	4,029	21	31,8	26,394	5,406
7	79,2	60,984	18,216	22	39,204	32,539	6,665
8	54,72	43,776	10,944	23	57,128	45,702	11,426
9	40,424	33,148	7,276	24	28,44	23,89	4,550
10	30,21	25,376	4,834	25	43,344	35,542	7,802
11	42,418	34,359	8,059	26	70,72	54,454	16,266
12	64,575	51,014	13,561	27	41,832	34,302	7,530
13	51,612	41,806	9,806	28	69,345	54,089	15,256
14	35,42	29,753	5,667	29	35,903	30,159	5,744
15	14,4	12,528	1,872	30	50,22	40,678	9,542

2. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж):

i=(х _{максимальное значение}–х _{минимальное значение}) /5 групп =

= (18,216 – 1,872)/5=3,2688 млн.руб.

Таблица 3 - Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж

№ группы	Группы предприятий по прибыли от продаж. млн.руб. x	Число предприятий f	% к итогу	Накоп-ленная частость S	Середина интервала x`	x`f
I	1,872-5,1408	6	20	6	3,5064	21,0384
II	5,1408-8,4096	13	43	19	6,7752	88,0776
III	8,4096-11,6784	5	17	24	10,044	50,22
IV	11,6784-14,9472	3	10	27	13,3128	39,9384
V	14,9472-18,216	3	10	30	16,5816	49,7448
Итого:		30	100			249,0192

Результаты группировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеет прибыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб.

2. Построим график полученного ряда распределения:

Рис.1. Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж

Мода Мо - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле:

где: минимальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

{частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним

= 5,1408+3,2688 *(13-6/ ((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб.

Рис.2. Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж

Медиана Ме - варианта, находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле:

где: - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

= 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/ 13) =7,4038 млн.руб.

Рис.3. Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли от продаж

Значит, наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., а серединное значение 7,4 млн.руб.

2. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Средняя арифметическая взвешенная

x_cр= ∑xf/∑f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыль от продаж

Среднеквадратическое отклонение

σ = == 3,9347 млн. руб.

(на данную величину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднего значения)

Таблица 4

№ группы	Группы предприятий по прибыли от продаж. млн.руб. x	Число предприятий f	% к итогу	Середина интервала x`	|xi-xcp| xcp=8,3	(xi-xcp)2*f
I	1,872-5,1408	6	20	3,5064	4,7936	137,8716
II	5,1408-8,4096	13	43	6,7752	1,5248	30,2252
III	8,4096-11,6784	5	17	10,044	1,744	15,20768
IV	11,6784-14,9472	3	10	13,3128	5,0128	75,38449
V	14,9472-18,216	3	10	16,5816	8,2816	205,7547
Итого:		30	100			464,4437

Дисперсия

Коэффициент вариации

υ = σ/x_cp *100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % - значение характеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %, то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден.

Выводы:

1. Средняя величина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб.

2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб

3. Совокупность данных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%.

Задача № 2

Связь между признаками – затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж.

1. Установим наличие и характер связи между признаками затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж, образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки,

б) корреляционной таблицы.

Решение:

1. Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат на производство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия, кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервал высчитаем по формуле:

е=(х_max – x_min)/k,

где k – число выделенных интервалов.

е=(60,984-12,528)/5=9,691 млн.руб.

Получим следующие интервалы:

12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602; 41,602-51,293; 51,293-60,984

Таблица 5

	Группировка предприятий по затратам, млн.руб.	№ предприятия	Затраты на пр-во и реализ., млн.руб Х	Прибыль млн.руб. У	У2
I	12,528-22,219	15	12,528	1,872	3,504384
		20	15,652	2,548	6,492304
		2	20,124	3,276	10,73218
		3	48,304	7,696	20,7289
В среднем на 1 предприятие			16,101	2,565
II	22,219-31,910	6	22,81	4,029	16,23284
		24	23,89	4,55	20,7025
		10	25,376	4,834	23,36756
		21	26,394	5,406	29,22484
		14	29,753	5,667	32,11489
		29	30,159	5,744	32,99354
		1	30,255	6,195	38,37803
		16	31,026	5,91	34,9281
		8	219,663	42,335	227,942
В среднем на 1 предприятие			27,458	5,292
III	31,910-41,602	22	32,539	6,665	44,42223
		9	33,148	7,276	52,94018
		5	33,546	7,869	61,92116
		18	33,62	7,38	54,4644
		27	34,302	7,53	56,7009
		11	34,359	8,059	64,94748
		25	35,542	7,802	60,8712
		3	38,163	8,377	70,17413
		30	40,678	9,542	91,04976
		9	315,897	70,5	557,491
В среднем на 1 предприятие			35,10	7,833
IV	41,602-51,293	13	41,806	9,806	96,15764
		17	42,714	10,678	114,0197
		8	43,776	10,944	119,7711
		19	43,987	11,693	136,7262
		23	45,702	11,426	130,5535
		4	47,204	12,548	157,4523
		12	51,014	13,561	183,9007
		7	316,203	80,656	938,581
В среднем на 1 предприятие			45,172	11,522
V	51,293-60,984	28	54,089	15,256	232,7455
		26	54,454	16,266	264,5828
		7	60,974	18,216	331,8227
		3	169,517	49,738	829,151
В среднем на 1 предприятие			56,506	16,579
	ИТОГО		1069,615	250,925	2573,89
	В среднем		35,65	8,364

Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6:

Таблица 6

Группы предприятий по затратам, млн.руб	Число предприятий	Затраты на производство и реализацию продукции		Прибыль, млн.руб
		Всего	В среднем на одно пр-тие	Всего	В среднем на одно пр-тие
12,528-22,219	3	48,304	16,101	7,696	2,565
22,219-31,910	8	219,663	27,458	42,335	5,292
31,910-41,602	9	315,897	35,1	70,5	7,833
41,602-51,293	7	316,203	45,172	80,656	11,522
51,293-60,984	3	169,517	56,506	49,768	16,579
∑	30	1070	35,65	250,925	8,364

По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализацию продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

2. Строим расчетную таблицу 7:

Таблица 7

Группы предприятий по затратам, млн.руб.	Число пр-тий	Прибыль, млн.руб
	f	Всего	В среднем на одно пр-тие, ‾yi
12,528-22,219	3	7,696	2,565	-5,799	33,628	100,885
22,219-31,910	8	42,335	5,292	-3,072	9,437	75,497
31,910-41,602	9	70,5	7,833	-0,531	0,282	2,538
41,602-51,293	7	80,656	11,522	3,158	9,972	69,812
51,293-60,984	3	49,768	16,579	8,215	67,486	202,459
Сумма	30	250,925	8,364			451,19

Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:

где - межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле:

- общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:

Теперь находим межгрупповую дисперсию: =451,19/30=15,04

Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:

y²=2573,89/30=85,796

=85,796-(8,364)²=15,84

Вычисляем коэффициент детерминации:

η²=ε_y²/δ_y²

η²=15,04/15,84=0,95 или 95%

Следовательно, на 95% вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство и реализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

η = √0,95=0,975

Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли.

Задача № 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле:

если Р=0,683, то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150

Δ_х=1*√(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб.

Ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Δ_х=0,7млн.руб.

Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :

8,301- 0,7≤ ≤8,301+0,7

7,601≤ ≤9.001

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах от 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб.

Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :

Выборочная доля составит:

w=3/30=0,1 или 10%

Ошибку выборки определяем по формуле:

где N-объем генеральной совокупности. Т.к. выборка 20%-ная и в выборку вошло 30 предприятий, то N=150.

Подставляя данные в формулу, получим:

D_w=1√(0,1(1-0,1)/30)*(1-30/600)

∆_w=0,0024

Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 14,948 млн. руб. будет находиться в следующих пределах:

0,1-0,0024≤∆_ω≤0,1+0,0024

0,098≤∆_ω≤0,1024

или от 9,8% до 10,24%.

Задача №4

Имеются следующие данные по организации о прибыли от продажи продукции и ее рентабельности:

Таблица 8

Вид продукции	Прибыль от продажи продукции, млн. руб.		Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), %
	Базисный период	Отчетный период
А	0,8	0,88	10
Б	0,5	0,62	12
В	1,1	1	-2

Определите:

1. Общий индекс рентабельности реализованной продукции.

2. Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности.

Сделать выводы.

Решение:

Для проведения необходимых расчетов построим дополнительную таблицу 9:

Таблица 9

Вид про-дук-ции	Прибыль от продажи продукции, млн. руб.		Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), % Rотч - Rбаз	I рент = Rотч/Rбаз	Сотч/ Сбаз
	Базисный период	Отчетный период
А	0,8	0,88	10	1,1	1,00000
Б	0,5	0,62	12	1,12	1,10714
В	1,1	1	-2	0,98	0,92764
ИТОГО	2,4	2,5

1) Индекс рентабельности – это отношение рентабельности отчетного периода к ее уровню в базисном периоде.

Для определения уровня рентабельности нам необходимо знать величину прибыли от продажи продукции и ее себестоимость. Поскольку себестоимость неизвестна, но имеются индивидуальные индексы рентабельности по трем видам продукции, мы можем определить темп роста себестоимости в отчетном году по сравнению с базисным (Сотч/Сбаз).

Для того, чтобы определить общий индекс рентабельности – нужно суммировать показатели по всем трем видам продукции:

,

Итак, общий индекс рентабельности составил 1,03, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным общий уровень рентабельности всей реализованной продукции увеличился на 3%.

2) Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности:

Из таблицы видно, что прибыль от продажи всех трех видов продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 0,1 млн. руб. (2,5-2,4), что позволяет нам сделать следующий вывод:

Рост рентабельности продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3 % (по продукции А, Б, В) позволил увеличить прибыль от продажи этой продукции на 100 тысяч рублей.