Рефетека.ру / Математика

Сочинение: Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда


Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание


Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число, и - целые числа, , , - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

  1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

  2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

  3. Судить о возможности существования частного решения уравнения при (или b = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).


**********


Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».


ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма


1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .


***********


Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая

для показателя q:

1) при - натуральном;

2) при - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .


Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя


Часть 1

Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .


**********


Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.


*********


Часть первая (Утверждения 1)


Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Доказательство


Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),


где - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных, - простом.


********


Примечание


То, что - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных

(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******


Пусть (4),


где - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:


(5),


где - четное число, которое можно представить в виде


(6),


где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),


(4) – нечетное число.


Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число (), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.


(8),


где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>


Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .


********


Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13) - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.


*******


Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:



Таким образом, получили следующее уравнение:


(15),

где - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:


(16) - нечетное число при - нечетном;

(17) - нечетное число при - нечетном;

(18) - нечетное число при - нечетном;

(19) - четное число.


Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).


*******


Примечание.


Общий вид уравнения (15) следующий:


(20) ,


целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:


(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.


*******


Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.


= С

= В

= N

= К,


и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.


Условие1 (начало).


с = С

b = B

n = N


Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при - нечетном;

(19+) = К - четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (очетности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):


,


т.е. пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !


Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******


Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениямиуравнения (15) являются следующие выражения n, :


Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .


Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)


******


Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .


Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если - четное, то (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******


Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******


Примечание.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.


********


Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)


с = B

b = С

n = N


«Новые» случаи«+» и «-».


(16ґ±) c В

(17ґ±) b С

(18±) N

(19±) =±К


И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в ((16ґ±) и ((17ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******


Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.


********


Уравнение (15)симметрично и для n и для (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и меняются своими выражениями (N и К )).


Условие 3


c = C

b = B

n = К

N

« Похожие» случаи «+» и «-».


(16±) с = ± С = ± ()

(17±) b = ± В =± ()

(18ґ±) n = ± К = ± ()

(19ґ±) = ± N= ± ()


Согласно одному из Выводов (формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19ґ±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******


В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


********


Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).


Запишем Условия (1, …, 3).


Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3


с = С с = B c = C c = B

b = B b = С b = B => b = C

n = N n = N n = К n = К


Если теперь поменять обозначения между собой в Условии 2+3 с на b, а b на c

в верхних двух строчках и n на , а на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:


Условие 2+3 Условие 1


c = B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К n = N

n = N

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,

Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.


*********


Часть вторая (Утверждения1)


Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)


Доказательство


Условие 1 (продолжение).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.


Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):



********


Случай 1.


(16)

(17′)

(18)

(19)


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность :


=> .


Выразим из (25) и (26) :


=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


, , а их сумма .


Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :


, т.е. .


Т.о., , , т.е.


,


выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :


т.к. , т.е. .


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b:


, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .


Учитывая (35), получим => .

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):


, т.е. .


Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:


, ,

, ,


где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Случай 2


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.


, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Случай 3


(16)

(17′)

(18)

(19′).


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :


- => (26′).


Выразим из (25) и (26′) :


=>

=> .


По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(30′), (31′), а их сумма .


Т.к. из (8) , то => .


Из (19ґ) с учетом (29) выразим :


, т.е. (33ґ).

Т.о., , ,


где ,

т.е. (34ґ), (35ґ), выражения которых, с учетом (33ґ), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :


т.к. , т.е. .


(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).


Теперь, учитывая (32), получим значение для b:

, т.к. из (29) вытекает .


Итак, .

Учитывая (35ґ), получим => ().

Теперь, с учетом (), можно получить окончательное выражение для с (из (34ґ)):

, т.е. (39ґґ).


Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19ґ), в конечном счете имеет следующие решения:

(39ґґ), (38ґґ), где - взаимно простые нечетные

, (33ґ), целые числа.


********


Случай 4


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39ґґ), (37), (38ґґ) и (33ґ), т.е.


(39ґґґ), (38ґґґ), (37ґ), (33),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е


= С

= В

= N

= К


Тогда эти первые 4 случая следующие:


1. (16) 2. (16ґ) (39ґ)

(17ґ) (37) (17) (37ґ)

(18) (18ґ) (38ґ)

(19) (33) (19ґ) (33ґ)


3. (16) (39ґґ) 4. (16ґ) (39ґґґ)

(17ґ) (37) (17) (37ґ)

(18) (38ґґ) (18ґ) (38ґґґ)

(19ґ) (33ґ) (19) (33)


*********


Рассмотрим еще 10 случаев.


5. с = С6. с = - С7. c = C8. c = - C

b = - B b = B b = - B b = B

n= - N n = N n = - N n = N


9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С

b = B b = -B b = B b = -B

n =- N n = N n = N n =- N

13. с = С 14. с = -С

b = B b =- B

n =- N n = N


*******


Итак, рассмотрим случай 5.


Случай 5


(16)

(17ґ)

(18ґ)

(19).


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность :


=> .


Выразим из (25) и (26) :


=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .


Из (19) с учетом (29) выразим :


, т.е. .


Т.о., , , т.е.

,


выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18ґ), найдем разность :


т.к. , т.е. (36ґ).


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:


где .

Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).

Учитывая (34), получим => (38ґ).

Теперь, с учетом (38ґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):


, т.е. (41).


Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18ґ) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:


(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа


*******


Случай 6


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18ґ) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38ґґ) и (33), т.е.


(40ґ), (38),

(41ґ), (33ґ), где - взаимно простые целые нечетные числа.


*******

Случай7


(16)

(17ґ)

(18ґ)

(19ґ)


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность :


=> (26ґ).


Выразим из (25) и (26ґ) :


=>

=> .


По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


(30ґ), (31ґ), а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19ґ), с учетом (29), выразим :


, т.е. (33ґ).

Т.о., , , т.е.

(34ґ),

(35ґ),


выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18ґ), найдем разность :


т.к. , т.е. (36ґ).


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:


где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).


Учитывая (34ґ), получим => (38ґґґ).


Теперь, с учетом (38ґґґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35ґ)):


, т.е. (41ґґ).

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18ґ) и (19ґ), в конечном счете, имеет следующие решения:


(40), (38ґґґ),

(41ґґ), (33ґ), где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Случай 8


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18ґ) и (19ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41ґ), (38ґґґ) и (33ґ), т.е.


(40ґ), (38ґґ),

, (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.


*******


Вывод


Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .


А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .


Случай 9


(16)

(17)

(18ґ)

(19)


Из (16) и (17) имеем:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:


=> .


Следовательно,


==> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = 2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*********


Случай 10


(16ґ)

(17ґ)

(18)

(19ґ),


т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:



Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:


- => .


Следовательно, -=-=> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = 2r (32ґ) => в (16ґ) и (17ґ) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


Случай 11


(16)

(17)

(18)

(19ґ)


Из (16) и (17) имеем:



Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:


- => .


Следовательно, =-=> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

Случай 12


(16ґ)

(17ґ)

(18ґ)

(19),


т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:


=> .


Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******

Случай 13


(16)

(17)

(18ґ)

(19ґ)


Из (16) и (17) имеем:



Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:


- => .


Следовательно, =-=> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


Случай 14


(16ґ)

(17ґ)

(18)

(19),


т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:


=> .


Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.


Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


***********


Вывод.


1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.

**********


Условие 2 (продолжение).


Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая«+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).


********


«Новый» случай 15


(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K)


с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),


K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательныерешения уравнения (15) в случае 8, т.е.


(40ґ), (38ґґ),

, (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.


Доказательство


Сумма имеет вид:



Учитывая (14) и (19), можно получить разность :


=> .


Выразим из (25) и (26) :


=>

=> .


По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


, , а их сумма .


Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :


, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с:


т.к. , т.е. .


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:


,


т.к. из (29) вытекает .

Итак, .


Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38ґґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):


, т.е. .


Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.


*********


Примечание


То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и изследующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).


Случай 15. Случай 8


с = - В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).


У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.


Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.


«Общие свойства для с и b»:


сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:


с(-b)= СВ, с+(b)= -С -В = .


Отсюда получаем квадратное уравнение


- + С В = 0 => X1,2 = К ,


где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть


Х1 = -b = К +=+= += + = -В => b = В,


где на основании и Х1 = - b= -


Х2= с = К-= -= -= - = -С => с = - С,


где на основании (40ґ) и Х2 = Таким образом, мы получили случай 8:


Случай 8


с = - С (16ґ),

b= В (17),

n= N (18),

K (19),


где

, а - взаимно простые нечетные целые числа.


Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b. Тогда получим:


Х1 = с = К+=+= += + = -В => с = -В,


где на основании (40ґ) и Х1 = с = -1.


Х2 = - b = К-= -= -= - = -С => - b= -С => b = С,


где на основании и Х2 = -


Таким образом, мы получили случай 15:


Случай 15


с = -В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),

K (19),


где

, а - взаимно простые нечетные целые числа.


Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - + С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =- Х2(1) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:


, а - взаимно простые нечетные целые числа.


В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для с и b» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяютСлучаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.


*********


Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( сb = constґ, с – b = constґґ, с – b = constґґґ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.


*********


«Новый» случай 16


(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)

Случай 16. Случай 7.


с = В с = С

b= -С b= -В

n = -N n = -N

-K -K


Окончательные решения в случае 7:


(40), (38ґґґ),

(41ґ), (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С+В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.


(40), (38ґґґ),

(41ґ), (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.


********


«Новый» случай 17


(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)

Случай 17. Случай 6.


с = - В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательные решения в случае 6:


(40ґ), (38),

(41ґ), (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= -С –В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40ґ), (38),

(41ґ), (33ґ),


где - взаимно простые целые нечетные числа.


*********


«Новый» случай 18


(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)


Случай 18. Случай 5.


с = В (16+B), с = С (16),

b=- С (17-C), b= -В (17ґ),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

K (19), K (19).


Окончательные решения в случае 5:


(40), (38ґ),

(41), ,


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С +В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(41), ,


где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.


********


«Новый» случай 19


(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)

Случай 19. Случай 4.


с = - В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

K (19), K (19)


Окончательные решения в случае 4:


(39ґґґ), (38ґґґ),

(37ґ), (33),


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= -С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39ґґґ), (38ґґґ),

(37ґ), (33),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


********


«Новый» случай 20


(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)

Случай 20. Случай 3.


с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b= -В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательные решения в случае 3:


(39ґґ), (38ґґ),

, (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39ґґ), (38ґґ), где - взаимно простые нечетные

, (33ґ), целые числа.


********


«Новый» случай 21


(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)

Случай 21. Случай 2.


с = -В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательные решения в случае 2:


,

,


где - взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= - С - В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.


, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.


*********


«Новый» случай 22


(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)

Случай 22. Случай 1.


с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b=- В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19)


Окончательные решения в случае 1:


, ,

,


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С + В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.


, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.


**********


Вывод


Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.


*********


«Новый» случай 23


(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)

Случай 23. Случай 12.


с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

K (19), K (19)


Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= -С + В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


«Новый» случай 24


(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)


Случай 24. Случай 11.


с = -В (16-B), с = С (16),

b=-С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******


«Новый» случай 25


(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)

Случай 25. Случай 10.


с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с – b= -С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*********

«Новый» случай 26


(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N,K)

Случай 26. Случай 9.


с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

K (19), K (19).


Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


«Новый» случай 27


(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N,-K)

Случай 27. Случай «-».

с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

-K (19ґ), -K (19ґ).


Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = constґ, с – b= - С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


«Новый» случай 28


(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N,K)

Случай 28. Случай «+».


с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).

Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


Вывод


1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.


*********


Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:


а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .


************


Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.


В результате исследования уравнения (1) мы имеем:


Вывод 1. Уравнение (1) (, - натуральные числа, при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Возможны случаи: либо , либо .


*******


В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.


Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).

При «Исключением» являются , или .

(При «Исключением» являются, например, или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:


a = α2 – δ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2δ + δ3 - четное число при α и δ – нечетных или четных.


(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения


(42), где - натуральное.)


Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.

«Исключением» являются следующие его решения:


1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),


при которых получаем соответственно тождества:


1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2

**********


Примечание.

  1. Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

  2. Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

  3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , где простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).


Вывод: Великая теорема Фермадля степени простом доказана.


********


Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.


**********


Часть первая (Утверждения 2)


Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Доказательство


Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует: => (2).

Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β нечетное число при c и b- нечетных.

*********


Примечание


То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:


b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1,


где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда


b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],


где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать.


*******


Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):


= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c 0, b 0, т.е.

(5),


где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простыецелые числа (при – целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k – четное число при).

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

=> =>


Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число(из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном.


*********


Вывод:


  1. Из соотношения (4) имеем:


(9) - нечетное число.


  1. Из соотношения (5) имеем:


(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.


Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.


*******


Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

,


т.е. (11),


где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла следующим образом:


(12) - нечетное число при - нечетном;

(13) - нечетное число при - нечетном;

(14) - нечетное число при - нечетном;

(15) - четное число.


Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .


*******


Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.


= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.


********


Условие1 (начало)


с2 = С

b2 = B

= N


Случай «+».

(12+) - нечетное число при - нечетном;

(13+) - нечетное число при - нечетном;

(14+) - нечетное число при - нечетном;

(15+) - четное число.


Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):


,


т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),


!


Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.

Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.


********


Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)


********


Примечание


Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.


********


Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.


Условие 2 (начало)


с2 = В

b2 = С

= N


«Новые» случаи«+» и «-».


(12ґ±) c2 В

(13ґ±) b2С

(14±) N

(15±) =±К.


И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в ((12ґ±) и ((13ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******

Примечание


Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.


********


Уравнение (11)симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).


Условие 3.


с2 = С

b2 = B

= К


« Похожие» случаи «+» и «-».


(12±) c2 = ± () = ± С

(13±) b2 = ± () = ± В

(14ґ±) = = ±К

(15ґ±) = ± N

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15ґ±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******


В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******

Вывод


1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2.1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.


*********


Часть вторая (Утверждения 2)


Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.


Доказательство


Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоятразные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Условие 1 (продолжение).


Случай 1.


(12)

(13′)

(14)

(15) ,


которые также являются решениями уравнения (11)


.


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (10) и (15), можно получить разность :


=> .


Выразим из (17) и (16) :


=>

=> .


По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


, , а их сумма .

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :


, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,


выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями



Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :


т.к. , т.е. .


(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:


, т.к. из (20) получается


(20′).

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********


Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим


=> .


Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):


, т.е. .


Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:


, ,

(28), ,


где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Случай 2


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.


(30ґ), => c = (30ґ), (29ґ)

(28ґ), => b = 1 (28ґ), (24ґ), где


- взаимно простые нечетные целые числа.


Случай 3


(12)

(13′)

(14)

(15′) ,


которые также являются решениями уравнения


(11).


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (10) и (15), можно получить разность :


- => .

Выразим из (31) и (16) :


=> (32)

=> (33).


По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


(34), (35), а их сумма .


Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .

Из (15ґ) с учетом (20) выразим :


, т.е. (24ґ).


Т.о., , ,


где, т.е.

,

,


выражения которых, с учетом (24ґ), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями



Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .


(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:


,т.к. из (20) получается

.


Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.


*******


Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26ґ), получим => (29ґґ).

Теперь, с учетом (29ґґ), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25ґ)):


, т.е. (30ґґ).


Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15ґ), в конечном счете имеет следующие решения:


(30ґґ), ,

(28), (24ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


***********


Случай 4


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30ґґ), (28), (29ґґ) и (24ґ), т.е.


(30ґґґ), => (30ґґґ), (29ґґґ), (28ґ), => b = (28ґ), (24),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:


= С

= В

= N

= К.


Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29) (14ґ) (29ґ)

(15) (24) (15ґ) (24ґ)


3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)

(15ґ) (24ґ) (15) (24).


Рассмотрим еще 4 случая.


5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B

= - N = N = - N = N


*******


Итак, рассмотрим случай 5.


Случай 5.


(12),

(13ґ),

(14ґ),

(15) , которые также являются решениями уравнения


(11)

Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):


(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.


Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:


(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29ґ) ,


где взаимно простые целые нечетные числа.


*******


Случай 6


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29ґ) и (24), т.е.


(31ґ), (29),

(32ґ), (24ґ), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.


*******

Случай 7


(12),

(13ґ),

(14ґ),

(15ґ), которые также являются решениями уравнения

(11).


Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):


(40), (38ґґґ),

(41ґґ), (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:


(31) => с = (31), (29ґґґ) ,

(32ґ) => b (32ґґ), (24ґ),


где - взаимно простые целые нечетные числа.


*******

Случай 8


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32ґґ), (31), (29ґґґ) и (24ґ), т.е.


(31ґ), (29ґґ),

, (24), где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.


********


Вывод


Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:


а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .


********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):


1. (16) 2. (16ґ) (39ґ)

(17ґ) (37) (17) (37ґ)

(18) (18ґ) (38ґ)

(19) (33) (19ґ) (33ґ)


3. (16) (39ґґ) 4. (16ґ) (39ґґґ)

(17ґ) (37) (17) (37ґ)

(18) (38ґґ) (18ґ) (38ґґґ)

(19ґ) (33ґ) (19) (33).


А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):


1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29) (14ґ) (29ґ)

(15) (24) (15ґ) (24ґ)


3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)

(15ґ) (24ґ) (15) (24).


Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.


********


Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и bчетные числа, чего не должно быть.


********


Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .


*******


Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения (где , q=2 q) - показатели четные при ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:


|| > 2, | | > 2, | c| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,

т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b и c => в уравнении (1) при - четном числе b и c,

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.


********


Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.


*******


В результате исследования уравнения (1) мы имеем:


Вывод:

1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


2. «Утверждение 2»нами полностью доказано.


*******


Примечание


  1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2m при m>2 натуральном.

  2. Если уравнение al+ b4 = c4, где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простыхцелых числах a, b, и c, то и уравнение a4+ b4 = c4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).


Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4 доказана.


3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении al+ b4 = c4 (≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не толькоупоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.


********


Утверждение 3


Часть 1

Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.


*********

Часть первая (Утверждения 3)


Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.


Доказательство


Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение (1), где 3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:


=> (2).


Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β нечетное число при с и b – нечетных.


******


Примечание


То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда


b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],


где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать


*******


Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):


= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c 0, b 0, т.е.

(5),


где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простыецелые числа.


Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:


=> =>


Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число(из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ≥ 3 – нечетное натуральное число.


Вывод:


1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.


2. Из соотношения (5) имеем:


(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.


Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.


*******


Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:


,

т.е. (11),


где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла следующим образом:


(12) - нечетное число при - нечетном;

(13) - нечетное число при - нечетном;

(14) - нечетное число при - нечетном;

(15) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.


= С

= В

= N

= К ,


и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.


Условие1 (начало).


с2 = С

b2 = B

= N


Случай «+».


(12+) - нечетное число при - нечетном;

(13+) - нечетное число при - нечетном;

(14+) - нечетное число при - нечетном;

(15+) - четное число.


Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):


,


т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),


!


Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.


********


Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)


*********


Примечание


Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.


********


Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало).


с2 = В

b2 = С

= N

«Новые» случаи«+» и «-».


(12ґ±) c2 В

(13ґ±) b2С

(14±) N

(15±) К.


И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в ((12ґ±) и ((13ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******


Примечание


Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.


********


Уравнение (11)симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).


Условие 3.


с2 = С

b2 = B

= К


«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c2 = ± () = ± С

(13±) b2 = ± () = ± В

(14ґ±) = = ±К

(15ґ±) = ± N.


Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15ґ±) = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******


В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.


*******


Вывод


1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где 3нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.


*********


Часть вторая (Утверждения3)


Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)


Доказательство


Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоятразные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.


Случай 1.


(12)

(13′)

(14)

(15) , которые также являются решениями уравнения


(11) .


Тогда сумма имеет вид:



Учитывая (10) и (15), можно получить разность :


=> .


Выразим из (17) и (16) :


=>

=> .


По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


, , а их сумма .


Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :


, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,


выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями



Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :


т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:


, т.к. из (20) получается

(20′).


Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.


********


Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):


, т.е. .


Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:


, ,

(28), ,


где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******


Случай 2


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.


(30ґ), => c = (30ґ), (29ґ)

(28ґ), => b = 1 (28ґ), (24ґ), где


- взаимно простые нечетные целые числа.


**********


Случай 3.


(12)

(13′)

(14)

(15′) , которые также являются решениями уравнения


(11).


Тогда сумма имеет вид:


Учитывая (10) и (15), можно получить разность :


- => .


Выразим из (31) и (16) :


=> (32)

=> (33)


По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:


(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .


Из (15ґ) с учетом (20) выразим :


, т.е. (24ґ).

Т.о. , , где, т.е.

,

,


выражения которых, с учетом (24ґ), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями


Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :


т.к. , т.е. .


(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)


Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:


,т.к. из (20) получается

.


Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.


*******


Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26ґ), получим => (29ґґ).

Теперь, с учетом (29ґґ), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25ґ)):


, т.е. (30ґґ).

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15ґ), в конечном счете имеет следующие решения:


(30ґґ), ,

(28), (24ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.


***********


Случай 4


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30ґґ), (28), (29ґґ) и (24ґ), т.е.


(30ґґґ), => (30ґґґ), (29ґґґ), (28ґ), => b = (28ґ), (24), где


- взаимно простые нечетные целые числа.


*******


Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К


Тогда эти первые 4 случая следующие:


1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29) (14ґ) (29ґ)

(15) (24) (15ґ) (24ґ)


3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)

(15ґ) (24ґ) (15) (24).


Рассмотрим еще 4 случая.


5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B

= - N = N = - N = N


*******


Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.


(12),

(13ґ),

(14ґ),

(15) , которые также являются решениями уравнения


(11).


Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):


(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:


(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29ґ) ,


где - взаимно простые целые нечетные числа.


*******


Случай 6


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29ґ) и (24), т.е.


(31ґ), (29),

(32ґ), (24ґ),


где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.


*******


Случай 7.


(12),

(13ґ),

(14ґ),

(15ґ), которые также являются решениями уравнения


(11).


Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):


(40), (38ґґґ),

(41ґґ), (33ґ),


где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с = (31), (29ґґґ) ,

(32ґґ) => b (32ґґ), (24ґ), где -


взаимно простые целые нечетные числа.


*********


Случай 8


Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32ґґ), (31), (29ґґґ) и (24ґ), т.е.


(31ґ), (29ґґ),

, (24),


где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:


а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .


**********

Вывод


Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:


а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .


********


Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):


1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29) (14ґ) (29ґ)

(15) (24) (15ґ) (24ґ)


3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)

(15ґ) (24ґ) (15) (24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):


1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29) (14ґ) (29ґ)

(15) (24) (15ґ) (24ґ)


3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)

(13ґ) (28) (13) (28ґ)

(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)

(15ґ) (24ґ) (15) (24).


Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.


*********


Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:


либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и bчетные числа , чего не должно быть.


********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.


*******


Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.


В результате исследования уравнения (1), мы имеем:


Вывод:


1. Уравнение (1) ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

2. «Утверждение 3»нами полностью доказано.


*******


Примечание


Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4 при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m , где m > 2 – натуральном.

**********


На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».


ОБЩИЙ ВЫВОД


1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .


Таким образом, «Общее утверждение» доказано.

ЛИТЕРАТУРА:


1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.


Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты!


Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике:

  1. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двухдругих отрезков.

  2. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двухдругих отрезков.

  3. Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения в целых числах при - натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числахуравнения р1+ р2 = р3, где произведение р1 р2 р3 = R3, R – рациональное число (или рациональная функция), р1, р2 и р3 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы


р1234

р1 р2 р3 р4 = ,


где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р1, р2 , р3 и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru


Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

м/р-н Геолог, д.18, кв.11

тел.: 8 (38 254) 5 79 59.


С уважением, А.П. Скворцов.

Рефетека ру refoteka@gmail.com