Работа Скворцова Александра Петровича,
учителя, ветерана педагогического труда
Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Содержание
Общее утверждение
Утверждение 1
Доказательство Части первой «Утверждения 1»
Доказательство Части второй «Утверждения 1»
Пример
Примечание
«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)
Утверждение 2
Доказательство Части первой «Утверждения 2»
Доказательство Части второй «Утверждения 2»
Примечание
Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма
Утверждение 3
Доказательство Части первой «Утверждения 3»
Доказательство Части второй «Утверждения 3»
Примечание
Общий вывод
Литература
Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число, и - целые числа, , , - =натуральные числа.
Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.
Этот метод позволяет:
Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).
Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).
Судить о возможности существования частного решения уравнения при (или b = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:
а) b = ±1; c = ±3; a = 2.
б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).
4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).
5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).
6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).
**********
Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.
И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».
≥
ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма
1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .
***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая
для показателя q:
1) при - натуральном;
2) при - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .
Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя
Часть 1
Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо , либо .
**********
Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.
*********
Часть первая (Утверждения 1)
Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.
Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.
Из уравнения (1) следует:
(2),
где - четное целое число, т.к. и - нечетные;
≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;
- нечетное целое число при и - нечетных, - простом.
********
Примечание
То, что - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.
Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома
Ньютона , , , … и тогда получим для :
- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для :
- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных
(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).
*******
Пусть (4),
где - нечетное число (на основании (3)).
Тогда уравнение (2) примет вид:
(5),
где - четное число, которое можно представить в виде
(6),
где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),
(4) – нечетное число.
Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:
, т.е. (7), где - целое число (), - натуральное число.
Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.
(8),
где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).
Из (7) и (8) определим и :
=> =>
Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .
********
Вывод:
На основании (8) и (11) имеем: (13) - нечетное число;
из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:
Таким образом, получили следующее уравнение:
(15),
где - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(16) - нечетное число при - нечетном;
(17) - нечетное число при - нечетном;
(18) - нечетное число при - нечетном;
(19) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать
t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15) следующий:
(20) ,
целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:
(21) ;
(22) ;
(23) ;
(24) , где - целые числа.
То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.
Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
Случай «+».
(16+) = С - нечетное число при - нечетном;
(17+) = В - нечетное число при - нечетном;
(18+) = N - нечетное число при - нечетном;
(19+) = К - четное число.
Казалось бы, все в порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (очетности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):
,
т.е. пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !
Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениямиуравнения (15) являются следующие выражения n, :
Случаи «+» и «-».
(16±) ;
(17±) ;
(18±) ;
(19±) .
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) ;
(17-) ;
(18-) ;
(19-) .
Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с = B
b = С
n = N
«Новые» случаи«+» и «-».
(16ґ±) c =± В
(17ґ±) b =±С
(18±) =± N
(19±) =±К
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((16ґ±) и ((17ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15)симметрично и для n и для (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и меняются своими выражениями (N и К )).
Условие 3
c = C
b = B
n = К
N
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с = ± С = ± ()
(17±) b = ± В =± ()
(18ґ±) n = ± К = ± ()
(19ґ±) = ± N= ± ()
Согласно одному из Выводов (формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19ґ±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
********
Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).
Запишем Условия (1, …, 3).
Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3
с = С с = B c = C c = B
b = B b = С b = B => b = C
n = N n = N n = К n = К
Если теперь поменять обозначения между собой в Условии 2+3 с на b, а b на c
в верхних двух строчках и n на , а на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c = B b = B с = С
b = C => с = С => b = B
n = К n = N
n = N
Вывод.
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения1)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1 (продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):
********
Случай 1.
(16)
(17′)
(18)
(19)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> .
Выразим из (25) и (26) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35), получим => .
Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 3
(16)
(17′)
(18)
(19′).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :
- => (26′).
Выразим из (25) и (26′) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30′), (31′), а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19ґ) с учетом (29) выразим :
, т.е. (33ґ).
Т.о., , ,
где ,
т.е. (34ґ), (35ґ), выражения которых, с учетом (33ґ), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35ґ), получим => ().
Теперь, с учетом (), можно получить окончательное выражение для с (из (34ґ)):
, т.е. (39ґґ).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19ґ), в конечном счете имеет следующие решения:
(39ґґ), (38ґґ), где - взаимно простые нечетные
, (33ґ), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39ґґ), (37), (38ґґ) и (33ґ), т.е.
(39ґґґ), (38ґґґ), (37ґ), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (16) 2. (16ґ) (39ґ)
(17ґ) (37) (17) (37ґ)
(18) (18ґ) (38ґ)
(19) (33) (19ґ) (33ґ)
3. (16) (39ґґ) 4. (16ґ) (39ґґґ)
(17ґ) (37) (17) (37ґ)
(18) (38ґґ) (18ґ) (38ґґґ)
(19ґ) (33ґ) (19) (33)
*********
Рассмотрим еще 10 случаев.
5. с = С6. с = - С7. c = C8. c = - C
b = - B b = B b = - B b = B
n= - N n = N n = - N n = N
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С
b = B b = -B b = B b = -B
n =- N n = N n = N n =- N
13. с = С 14. с = -С
b = B b =- B
n =- N n = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
(16)
(17ґ)
(18ґ)
(19).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> .
Выразим из (25) и (26) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18ґ), найдем разность :
т.к. , т.е. (36ґ).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где .
Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34), получим => (38ґ).
Теперь, с учетом (38ґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. (41).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18ґ) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:
(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18ґ) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38ґґ) и (33), т.е.
(40ґ), (38),
(41ґ), (33ґ), где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай7
(16)
(17ґ)
(18ґ)
(19ґ)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность :
=> (26ґ).
Выразим из (25) и (26ґ) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30ґ), (31ґ), а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19ґ), с учетом (29), выразим :
, т.е. (33ґ).
Т.о., , , т.е.
(34ґ),
(35ґ),
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18ґ), найдем разность :
т.к. , т.е. (36ґ).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где .
Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34ґ), получим => (38ґґґ).
Теперь, с учетом (38ґґґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35ґ)):
, т.е. (41ґґ).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18ґ) и (19ґ), в конечном счете, имеет следующие решения:
(40), (38ґґґ),
(41ґґ), (33ґ), где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18ґ) и (19ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41ґ), (38ґґґ) и (33ґ), т.е.
(40ґ), (38ґґ),
, (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .
Случай 9
(16)
(17)
(18ґ)
(19)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:
=> .
Следовательно,
==> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = 2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*********
Случай 10
(16ґ)
(17ґ)
(18)
(19ґ),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.
Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:
Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:
- => .
Следовательно, -=-=> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = 2r (32ґ) => в (16ґ) и (17ґ) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Случай 11
(16)
(17)
(18)
(19ґ)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:
- => .
Следовательно, =-=> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
Случай 12
(16ґ)
(17ґ)
(18ґ)
(19),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.
Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:
=> .
Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Случай 13
(16)
(17)
(18ґ)
(19ґ)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19ґ), можно получить разность другим способом:
- => .
Следовательно, =-=> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Случай 14
(16ґ)
(17ґ)
(18)
(19),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.
Действительно, из (16ґ) и (17ґ) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:
=> .
Следовательно, -==> 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в (26ґґ) с ≠ b) => t = -2r (32ґ) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
***********
Вывод.
1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2 (продолжение).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».
В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая«+» и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K)
с = - В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательныерешения уравнения (15) в случае 8, т.е.
(40ґ), (38ґґ),
, (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Доказательство
Сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> .
Выразим из (25) и (26) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с:
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с:
,
т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (34), получим => .
Теперь, с учетом (38ґґ), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и изследующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В (16-B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.
«Общие свойства для с и b»:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К
Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратное уравнение
- 2К+ С В = 0 => X1,2 = К ,
где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1 = -b = К +=+= += + = -В => b = В,
где на основании и Х1 = - b= -
Х2= с = К-= -= -= - = -С => с = - С,
где на основании (40ґ) и Х2 = Таким образом, мы получили случай 8:
Случай 8
с = - С (16ґ),
b= В (17),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b. Тогда получим:
Х1 = с = К+=+= += + = -В => с = -В,
где на основании (40ґ) и Х1 = с = -1.
Х2 = - b = К-= -= -= - = -С => - b= -С => b = С,
где на основании и Х2 = -
Таким образом, мы получили случай 15:
Случай 15
с = -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К+ С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =- Х2(1) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для с и b» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяютСлучаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( сb = constґ, с – b = constґґ, с – b = constґґґ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7.
с = В с = С
b= -С b= -В
n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае 7:
(40), (38ґґґ),
(41ґ), (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С+В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38ґґґ),
(41ґ), (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6.
с = - В (16-B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательные решения в случае 6:
(40ґ), (38),
(41ґ), (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= -С –В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40ґ), (38),
(41ґ), (33ґ),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5.
с = В (16+B), с = С (16),
b=- С (17-C), b= -В (17ґ),
n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),
K (19), K (19).
Окончательные решения в случае 5:
(40), (38ґ),
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С +В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4.
с = - В (16-B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 4:
(39ґґґ), (38ґґґ),
(37ґ), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= -С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39ґґґ), (38ґґґ),
(37ґ), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3.
с = В (16+B), с = С (16),
b= -С (17-C), b= -В (17ґ),
n= N (18), n= N (18),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательные решения в случае 3:
(39ґґ), (38ґґ),
, (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39ґґ), (38ґґ), где - взаимно простые нечетные
, (33ґ), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2.
с = -В (16-B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательные решения в случае 2:
,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= - С - В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*********
«Новый» случай 22
(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)
Случай 22. Случай 1.
с = В (16+B), с = С (16),
b= -С (17-C), b=- В (17ґ),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 1:
, ,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с – b= С + В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Вывод
Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)
Случай 23. Случай 12.
с = В (16+B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= - В (17ґ),
n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),
K (19), K (19)
Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= -С + В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)
Случай 24. Случай 11.
с = -В (16-B), с = С (16),
b=-С (17-C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)
Случай 25. Случай 10.
с = В (16+B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= - В (17ґ),
n= N (18), n= N (18),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с – b= -С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N,K)
Случай 26. Случай 9.
с = - В (16-B), с = С (16),
b= - С (17-C), b= В (17),
n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N,-K)
Случай 27. Случай «-».
с = В (16+B), с = - С (16ґ),
b= С (17+C), b= - В (17ґ),
n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),
-K (19ґ), -K (19ґ).
Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = constґ, с – b= - С + В = constґґ, с – b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N,K)
Случай 28. Случай «+».
с = - В (16-B), с = С (16),
b= - С (17-C), b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с – b= С - В = constґґ, с – b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод
1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.
*********
Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .
************
Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод 1. Уравнение (1) (, - натуральные числа, при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
*******
В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.
Пример
Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).
При «Исключением» являются , или .
(При «Исключением» являются, например, или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).
Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:
a = α2 – δ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.
c = α3 + 3αδ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.
b = 3α2δ + δ3 - четное число при α и δ – нечетных или четных.
(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения
(42), где - натуральное.)
Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.
«Исключением» являются следующие его решения:
1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);
2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),
при которых получаем соответственно тождества:
1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2
2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2
**********
Примечание.
Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».
Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.
Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , где простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.
«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).
Вывод: Великая теорема Фермадля степени простом доказана.
********
Утверждение 2,
частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4
Часть 1
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая (Утверждения 2)
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует: => (2).
Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b- нечетных.
*********
Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1,
где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):
= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.
(5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простыецелые числа (при – целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k – четное число при).
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> =>
Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число(из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном.
*********
Вывод:
Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число.
Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .
*******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
********
Условие1 (начало)
с2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В
b2 = С
= N
«Новые» случаи«+» и «-».
(12ґ±) c2 =± В
(13ґ±) b2=±С
(14±) =± N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12ґ±) и ((13ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Уравнение (11)симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
= К
« Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c2 = ± () = ± С
(13±) b2 = ± () = ± В
(14ґ±) = = ±К
(15ґ±) = ± N
Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15ґ±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2.1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоятразные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15) ,
которые также являются решениями уравнения (11)
.
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=> .
Выразим из (17) и (16) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .
Из (15) с учетом (20) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=> .
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
(28), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30ґ), => c = (30ґ), (29ґ)
(28ґ), => b = 1 (28ґ), (24ґ), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
(12)
(13′)
(14)
(15′) ,
которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
- => .
Выразим из (31) и (16) :
=> (32)
=> (33).
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(34), (35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .
Из (15ґ) с учетом (20) выразим :
, т.е. (24ґ).
Т.о., , ,
где, т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24ґ), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26ґ), получим => (29ґґ).
Теперь, с учетом (29ґґ), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25ґ)):
, т.е. (30ґґ).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15ґ), в конечном счете имеет следующие решения:
(30ґґ), ,
(28), (24ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30ґґ), (28), (29ґґ) и (24ґ), т.е.
(30ґґґ), => (30ґґґ), (29ґґґ), (28ґ), => b = (28ґ), (24),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К.
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29) (14ґ) (29ґ)
(15) (24) (15ґ) (24ґ)
3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)
(15ґ) (24ґ) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C
b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12),
(13ґ),
(14ґ),
(15) , которые также являются решениями уравнения
(11)
Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b (32), (24)
(31) => с = (31), (29ґ) ,
где взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29ґ) и (24), т.е.
(31ґ), (29),
(32ґ), (24ґ), где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
(12),
(13ґ),
(14ґ),
(15ґ), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(40), (38ґґґ),
(41ґґ), (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с = (31), (29ґґґ) ,
(32ґ) => b (32ґґ), (24ґ),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32ґґ), (31), (29ґґґ) и (24ґ), т.е.
(31ґ), (29ґґ),
, (24), где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):
1. (16) 2. (16ґ) (39ґ)
(17ґ) (37) (17) (37ґ)
(18) (18ґ) (38ґ)
(19) (33) (19ґ) (33ґ)
3. (16) (39ґґ) 4. (16ґ) (39ґґґ)
(17ґ) (37) (17) (37ґ)
(18) (38ґґ) (18ґ) (38ґґґ)
(19ґ) (33ґ) (19) (33).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):
1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29) (14ґ) (29ґ)
(15) (24) (15ґ) (24ґ)
3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)
(15ґ) (24ґ) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения (где , q=2 q) - показатели четные при ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
|| > 2, | | > 2, | c| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b и c => в уравнении (1) при - четном числе b и c,
т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. «Утверждение 2»нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2m при m>2 – натуральном.
Если уравнение al+ b4 = c4, где ≥2 - четное, неразрешимо в попарно простыхцелых числах a, b, и c, то и уравнение a4+ b4 = c4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4 доказана.
3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении al+ b4 = c4 (≥2 - четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не толькоупоминалось самим Ферма, но и им использовалось.
На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.
*********
Часть первая (Утверждения 3)
Уравнение ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, онисуществуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
=> (2).
Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.
******
Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):
= , где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.
(5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простыецелые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> =>
Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число(из (4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ≥ 3 – нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целыечисла следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).
Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К ,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало).
с2 = В
b2 = С
= N
«Новые» случаи«+» и «-».
(12ґ±) c2 =± В
(13ґ±) b2=±С
(14±) =± N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях«+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12ґ±) и ((13ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целымичислами.
Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Уравнение (11)симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
= К
«Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c2 = ± () = ± С
(13±) b2 = ± () = ± В
(14ґ±) = = ±К
(15ґ±) = ± N.
Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15ґ±) = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения3)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоятразные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15) , которые также являются решениями уравнения
(11) .
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=> .
Выразим из (17) и (16) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .
Из (15) с учетом (20) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим => .
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
(28), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30ґ), => c = (30ґ), (29ґ)
(28ґ), => b = 1 (28ґ), (24ґ), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Случай 3.
(12)
(13′)
(14)
(15′) , которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
- => .
Выразим из (31) и (16) :
=> (32)
=> (33)
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(34), (35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .
Из (15ґ) с учетом (20) выразим :
, т.е. (24ґ).
Т.о. , , где, т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24ґ), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26ґ), получим => (29ґґ).
Теперь, с учетом (29ґґ), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25ґ)):
, т.е. (30ґґ).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15ґ), в конечном счете имеет следующие решения:
(30ґґ), ,
(28), (24ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30ґґ), (28), (29ґґ) и (24ґ), т.е.
(30ґґґ), => (30ґґґ), (29ґґґ), (28ґ), => b = (28ґ), (24), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29) (14ґ) (29ґ)
(15) (24) (15ґ) (24ґ)
3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)
(15ґ) (24ґ) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C
b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12),
(13ґ),
(14ґ),
(15) , которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогиченслучаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b (32), (24)
(31) => с = (31), (29ґ) ,
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29ґ) и (24), т.е.
(31ґ), (29),
(32ґ), (24ґ),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
(12),
(13ґ),
(14ґ),
(15ґ), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогиченслучаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(40), (38ґґґ),
(41ґґ), (33ґ),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с = (31), (29ґґґ) ,
(32ґґ) => b (32ґґ), (24ґ), где -
взаимно простые целые нечетные числа.
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14ґ) и (15ґ), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32ґґ), (31), (29ґґґ) и (24ґ), т.е.
(31ґ), (29ґґ),
, (24),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
**********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29) (14ґ) (29ґ)
(15) (24) (15ґ) (24ґ)
3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)
(15ґ) (24ґ) (15) (24).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):
1. (12) 2. (12ґ) (30ґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29) (14ґ) (29ґ)
(15) (24) (15ґ) (24ґ)
3. (12) (30ґґ) 4. (12ґ) (30ґґґ)
(13ґ) (28) (13) (28ґ)
(14) (29ґґ) (14ґ) (29ґґґ)
(15ґ) (24ґ) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа , чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.
*******
Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследования уравнения (1), мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) ( ≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
2. «Утверждение 3»нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4 при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m , где m > 2 – натуральном.
**********
На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».
ОБЩИЙ ВЫВОД
1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .
Таким образом, «Общее утверждение» доказано.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.
2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.
Май 2009 г., Скворцов А.П.
Уважаемые любители математики и специалисты!
Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.
Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.
Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.
Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.
Работы по математике:
Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двухдругих отрезков.
Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двухдругих отрезков.
Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
4. Решение уравнения в целых числах при - натуральном.
5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числахуравнения р1+ р2 = р3, где произведение р1 р2 р3 = R3, R – рациональное число (или рациональная функция), р1, р2 и р3 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы
р1+р2+р3 =р4
р1 р2 р3 р4 = ,
где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р1, р2 , р3 и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru
Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,
м/р-н Геолог, д.18, кв.11
тел.: 8 (38 254) 5 79 59.
С уважением, А.П. Скворцов.