Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

(Приведенный ниже вариант доказательства Великой теоремы Ферма получен в октябре 2010 года)

С.А. ЛАБУТИН (д.т.н.)

1. Введение [1]. Великая (большая или последняя) теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x, y, z, для которых имеет место равенство

xn + yn = zn, (1)

где n > 2. Общеизвестно, что при n = 2 такие числа существуют (например, 3, 4 и 5).

В бумагах Ферма (который жил в 1601-1665 гг.) было найдено доказательство этой теоремы при n = 4 (это единственное полное доказательство теоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же общего случая любого n > 2 Ферма лишь написал (на полях "Арифметики" Диофанта), что он нашел "поистине замечательное доказательство" этого факта, но "поля слишком малы, чтобы его уместить".

Несмотря на усилия многих математиков (в "Истории теории чисел" Диксона прореферировано более трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство найдено не было, что даже вызвало сомнение в том, что в доказательстве Ферма не содержалось какой-либо ошибки. Тем более, что кроме показателя n = 4, нет ни одного показателя, для которого теорему Ферма удалось бы доказать элементарными средствами.

Известно [1], что для доказательства теоремы Ферма достаточно рассмотреть только случаи показателей n = 4 (для этого случая доказательство теоремы получено Пьером Ферма) и n = q ≥ 3, где q - простое число, делящееся без остатка только на единицу и на само себя, и примитивных решений x, y, z. Решение называется примитивным, если состоит из попарно взаимно простых чисел, т.е. каждая из пар чисел (x, y), (y, z) и (x, z) не имеет общих множителей кроме единицы.

Только создание в середине 19 века нового достаточно сложного раздела математики "теории алгебраических чисел" (первооткрывателем этого направления математики является немецкий математик Куммер) позволило доказать теорему Ферма для простых показателей q < 253747889 [1] в случае, когда ни одно из взаимно попарно простых чисел x, y, z не делится на q (опираясь на результаты, полученные рядом ученых к 1941 г., и на возможности ЭВМ для проверки сформулированных ими условий), и для q < 100000 для произвольных взаимно попарно простых решений x, y, z (опираясь на результаты Вандивера, полученные в 1929 г., и на возможности ЭВМ, для проверки сформулированных им условий). Но теория алгебраических чисел так и не позволила доказать теорему Ферма для всех простых чисел q > 2.

В докладе рассматривается доказательство теоремы Ферма для всех n = q і 3, где q является нечетным (не обязательно простым!) числом, на основе тех методов, которыми мог пользоваться Ферма в 17 веке. Хотя это доказательство и не открывает каких-либо новых путей в математике, но все-таки позволяет ликвидировать неприятную ситуацию, возникшую после появления теоремы Ферма, когда в течение 340 лет (!) математики всего человечества не смогли доказать эту теорему элементарными методами (и вообще не смогли пока доказать эту теорему!), и даже заявляли, что в доказательстве Ферма, вероятно, содержалась какая-то ошибка, не замеченная Ферма (хотя известно, что во всех случаях, когда Ферма писал, что получил доказательство какого-либо математического утверждения, то все эти доказательства в дальнейшем были найдены другими учеными кроме доказательства … Великой теоремы Ферма!).

Пьер Ферма в свободное от основной работы время (он работал в отделе прошений кассационной палаты суда французского города Тулуза) без каких-либо особых усилий (вполне возможно, что в течение всего одного вечера) доказывает рассматриваемую теорему, затем восхищается, вероятно, тем, что доказательство получено сразу для всех n > 2, но вовсе не считает необходимым сохранить это доказательство для других ученых или сообщить его в письмах к этим ученым (другими словами, вовсе не считает это доказательство каким-то особым достижением).

2. Какие известные результаты использованы в рассматриваемом доказательстве? Заметим, что в "Арифметике" Диофанта рассматриваются, в частности, целочисленные решение уравнения Пифагора

x2 + y2 = z2. (2)

Общие формулы для целочисленных решений этого уравнения были известны еще древним индусам и используются Ферма при доказательстве теоремы (1) для случая n = 4.

Запишем эти формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел x, y, z.

Леммы 1. Для любых взаимно простых положительных чисел m и n < m разной четности формулы

x = 2mn, y = m2 - n2, z = m2 + n2 (3)

доставляют состоящее из положительных целых чисел примитивное решение уравнения (2) с четным значением х. Обратно, любое состоящее из положительных чисел примитивное решение (x, y, z) уравнения (2), для которого х четно, выражается формулами (3), где m и n < m - взаимно простые числа разной четности.

Заметим, что в уравнении (2) не может быть четным число z и нечетными числа x и y, так как сумма квадратов любых двух нечетных чисел имеет вид (x2 + y2) = (4k + 2), где k - некоторое целое число, а каждый квадрат числа z2 имеет вид (4k) при четном z или (4k + 1) при нечетном z [1].

Кроме того, для доказательства теоремы Ферма потребуется лемма 2.

Лемма 2. Пусть a, b и с - такие натуральные (целые положительные) числа, что

1) имеет место равенство ab = cn;

2) числа a и b взаимно просты.

Тогда существуют такие натуральные числа x и y, что а = хn, b = yn.

Короче говоря, если произведение двух взаимно простых натуральных чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью. Доказательство этой леммы приведено в книге [1] и является настолько простым, что для математика такого уровня как Ферма является самоочевидным.

Кроме того, нетрудно показать, что для полного доказательства теоремы Ферма достаточно доказать ее только для случая простых чисел n = q і 3 и для n = 4 и примитивных решений x, y, z. Доказательство этого утверждения содержится в [1], является очень простым и, вне всякого сомнения, было известно Ферма.

Поскольку для случая n = 4 теорема (1) была доказана еще Ферма (это доказательство в книге [1] занимает две страницы!), то ниже рассматривается только случай теоремы Ферма для n = q і 3, где q - нечетное число (для рассматриваемого ниже доказательства не потребовалось вводить более жесткое условие, чтобы q являлось простым числом) с примитивными решениями x, y, z.

3. Преобразование уравнения Ферма. Прежде чем переходить непосредственно к доказательству теоремы Ферма, выполним следующие преобразования уравнения (1) при n = q і 3, где q - нечетное число. В этом уравнении одно из чисел x, y или z является четным, а два других - нечетными.

А). Рассмотрим сначала случай, когда четным числом является число x или y. Без ограничения общности доказательства можно считать четным, например, число х. Запишем уравнение (1) в виде

хq = [ (z) q/2] 2 - [ (y) q/2] 2. (4)

Обозначим

хq = 2a, (z) q/2 + (y) q/2 = 2b и (z) q/2 - (y) q/2 = 2с.

Тогда правая часть уравнения (4) равняется (4bc), а левая часть (2а), т.е.

а = 2bc. (5)

Заметим далее, что имеют место также следующие соотношения:

b + c = (z) q/2, b - c = (y) q/2, (6)

(b + c) 2 = (z) q, (b - c) 2 = (y) q. (7)

Из уравнений (7) следует, что

(z) q + (y) q = (b + c) 2 + (b - c) 2 = (b2 + c2 + 2bc) + (b2 + c2 - 2bc) = 2 (b2 + c2) (8)

Предположим, что b2 и c2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b2 = B + s и с2 = С + g, где B и C - целые части чисел b и c, а |s| < 1 и |g| < 1 - их дробные части. Тогда из уравнения (8) получаем

(z) q + (y) q = 2 (B + C + s + g). (9)

Так как левая часть уравнения (9) является целым четным числом, то (B + C + s + g) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s).

Из уравнения (z) q/2 + (y) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1 + 1 - 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 - это целая часть числа b, а s = (s1 - 1) - дробная часть числа b. Поскольку s1 < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1 = 0 и В1 = В.

Сначала будем полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) со значением s < 0. При этом, как отмечено выше, значение ρ = - 1.

Рассмотрим далее произведение

(zy) q = (b + c) 2 (b - c) 2 = b2 + c2 + 2bc) (b2 + c2 - 2bc) = (b2 + c2) 2-4b2c2. (10)

Учитывая, что b2 = B + s и с2 = С + ρ - s, преобразуем правую часть уравнения (10):

(zy) q = (B + С + ρ) 2 - 4 (В + s) (С + ρ - s) = (B + С + ρ) 2 - 4 В (С + ρ) + 4s (В - С - ρ) + 4s2

или

Е = (zy) q + 4В (С + ρ) - (B + С + ρ) 2 = 4sN + 4s2, (11)

где N = (В - С - ρ) > 0, так как В > С + ρ (это следует из второго уравнения (6) с учетом того, что любые целочисленные корни уравнения (1) должны быть больше q ≥ 3 [1]). Таким образом, для величины s получаем квадратичное уравнение

s2 + s (В - С - ρ) - 0,25Е = 0, (12)

где величина Е ≤ 0, так как правая часть уравнения (11) отрицательна при s < 0 (поскольку целое положительное число N > |s| и ρ = - 1) или равна нулю при s = 0.

Для положительного значения s1 = (1 + s) получаем также уравнение (12), но со значением ρ = 1 и (В - 1) вместо В, т.е.

(1 + s) 2 + (1 + s) (В - 1 - С - 1) - 0,25 [ (zy) q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B - 1 + С + 1) 2]

или

s2 + 2s + 1 + s (В - С - 2) - 0,25 [ (zy) q + 4 (В - 1) (С + 1) - (B + С) 2] = 0. (13)

Вычтем из уравнения (13) уравнение (12) при ρ = - 1. В результате получим

s - [ (В - 1) (С + 1) - 0,25 (B + С) 2] + [В (С - 1) - 0,25 (B + С - 1) 2] + 1= 0

или s = - 0,5 (В - С) - 0,75 < 0.

Но модуль s оказывается больше единицы, поскольку В > C. Уравнения (12) и (13) дают одинаковые значения s только в случае s1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В1 = В.

Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с, равная g = - ρ + s, также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (6) следует, что y = (y1) 2 и z = (z1) 2, так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q і 3 и взаимно простых числах x, y и z будет целым числом.

Аналогичным образом можно показать, что х также является квадратом некоторого целого числа х1. Из уравнения (4) можно получить уравнение x2q = [ (z) q/2xq/2] 2 - [ (x) q/2yq/2] 2. Обозначим xq/2zq/2- xq/2 yq/2 = 2с2 и xq/2zq/2 + xq/2 yq/2 = 2b2, где аналогично случаю, рассмотренному выше, можно показать, что с2 и b2 могут быть только целыми числа. Из двух последних уравнений получаем xq/2zq/2 = (b2 + с2) и xq/2 yq/2 = (b2 - с2). При целых числах с2, b2, zq/2 и yq/2 левая часть этих уравнений будет целым числом только в случае x = (x1) 2.

Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q і 3 и четном значении x или y достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора

[ (х1) q] 2 + [ (y1) q] 2 = [ (z1) q] 2. (14)

В). Рассмотрим теперь случай четного значения числа z и нечетных значений х и y. Умножим уравнение (1) при n = q і 3 на z q и запишем его в виде (xz) q = z2q - (yz) q. Обозначим (zх) q = 2a, (z) q + (zy) q/2 = 2b и (z) q - (zy) q/2 = 2с. Тогда правая часть уравнения (xz) q = z2q - (yz) q равняется (4bc), а левая часть (2а), т.е.

а = 2bc. (15)

Заметим далее, что имеют место также следующие соотношения:

b + c = (z) q, b - c = (zy) q/2, (16)

(b + c) 2 = (z) 2q, (b - c) 2 = (zy) q. (17)

Из уравнений (17) следует, что

(z) 2q + (zy) q = (b + c) 2 + (b - c) 2 = (b2 + c2 + 2bc) + (b2 + c2 - 2bc) = 2 (b2 + c2) (18)

Предположим, что b2 и c2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b2 = B + s и с2 = С + g, где B и C - целые части чисел b и c, а |s| < 1 и |g| < 1 - их дробные части. Тогда из уравнения (18) получаем

(z) 2q + (zy) q = 2 (B + C + s + g) (19)

Так как левая часть уравнения (19) является целым четным числом, то (B + C + s + g) также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s).

Из уравнения (z) q + (zy) q/2 = 2b следует, что значение b > 1, так как z > y > 1. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1 + 1 - 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 - это целая часть числа b, а s = (s1 - 1) - дробная часть числа b. Поскольку s1< 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1 = 0 и В1 = В.

Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Рассмотрим произведение

(z2q) (zy) q = (b + c) 2 (b - c) 2 = b2 + c2 + 2bc) (b2 + c2 - 2bc) = (b2 + c2) 2 - 4b2c2,

и повторим полностью описанную после уравнения (10) процедуру доказательства, приведенного выше. В результате из второго уравнений (16) можно получить, что z = (z1) 2 и y = (y1) 2, где z1 и y1 - некоторые целые числа. Только в этом случае правая часть этого уравнения при взаимно простых числах z и y будет целым числом. Может показаться, что числа z и y могут также иметь иной вид: z = (z1) 2R и y = (y1) 2E при условии, что целые числа R и E являются взаимно простыми, а их произведение RE является квадратом некоторого целого числа F. Но согласно лемме 2 из уравнения RE = F 2 следует, что взаимно простые числа R и E должны быть квадратами некоторых целых чисел Q и D, а это означает, что z и y и в этом случае представимы в виде квадратов целых чисел z = (Qz1) 2 и y = (Dy1) 2.

Покажем далее, что число x также представимо в виде x = (x1) 2, где x1 является некоторым целым числом. Для этого рассмотрим уравнение (1) при n = q і 3 и четном значении z. Обозначим

zq/2 = 2a, xq/2 + y q/2 = 2b, xq/2 - y q/2 = 2c. (20)

Из уравнений (20) можно получить следующие равенства:

а = 2bc. (21)

b + c = (x) q/2, b - c = (y) q/2, (22)

(b + c) 2 = (x) q, (b - c) 2 = (y) q. (23)

Из уравнения (1) при n = q і 3 получаем xq + y q = b2 + c2 = zq. Предположим, что b2 и c2 не являются целыми числами. Запишем их в виде b2 = B + s и с2 = С + g, где B и C - целые части чисел b и c, а |s| < 1 и |g| < 1 - их дробные части. Поскольку zq является целым числом, то и b2 + c2 = B + s + С + g также должно быть целым числом и, следовательно, (s + g) должно равняться 0 или ±1, т.е. g = - s + ρ, где ρ может принимать значения 0 (при s = 0), +1 или - 1 (соответственно, при положительных или отрицательных значениях s).

Из второго уравнения (20) следует, что значение b > 1, так как x и y больше q і 3 [1]. Но любое нецелое число b > 1 может быть двояким образом представлено в виде суммы целой и дробной части. Во-первых, такое число всегда можно записать в виде (В1 + s1) с положительным значением дробной части s1 > 1. Во-вторых, прибавляя и вычитая из этого выражения единицу получаем (В1 + 1 - 1 + s1) = (В + s), где В = В1 + 1 - это целая часть числа b, а s = (s1 - 1) - дробная часть числа b. Поскольку s1 < 1, то значение s < 0 при таком представлении числа b. При s = 0 можно считать, что s1 = 0 и В1 = В.

Будем далее полагать, что число b представлено в виде b = (В + s) со значением s < 0. При этом значение ρ = - 1. Для этого представления числа b запишем (y) q в виде

(y) q = (b - c) 2 = b2 + с2 - 2bc = (В + s - С - 1 + s) 2 - 2bc. (24)

Далее представим b в виде b = (В1 + s1), где s1 > 0, а ρ = 1. Тогда значение (y) q можно записать в виде

(y) q = = (В1 + s1 - С + 1 + s1) 2 - 2bc = (В - 1 + s + 1 - С + 1 + s + 1) 2 - 2bc = (В - С + 2 + 2s) 2 - 2bc. (25)

Вычтем из (25) уравнение (24). В результате получаем 6 (В - С - 1) + 9 + 12s = 0 или < 0, т.к из уравнений (20) следует, что целое число В > С + 1. Но при этом модуль s оказывается больше единицы. Уравнения (24) и (25) дают одинаковые значения s только в случае s1 = s = 0. При этом ρ = 0 и В1 = В.

Таким образом, значение s дробной части числа b равно нулю и ρ = 0. При этом дробная часть числа с, равная g = - ρ + s, также равна нулю, т.е. b и c являются целыми числами. Но при целых числах b и c из уравнений (22) следует, что x = (x1) 2 и y = (y1) 2, так как только в этом случае правая часть этих уравнений при нечетных значениях q і 3 будет целым числом.

Это означает, что для нахождения целочисленных решений уравнения (1) при нечетных значениях q і 3 и четном значении z и z1 достаточно найти целочисленные решения уравнения Пифагора

[ (х1) q] 2 + [ (y1) q] 2 = [ (z1) q] 2. (26)

Но как показано в замечании к лемме 1 уравнение (26) при четном значении z и (z1) q не может иметь целочисленных решений. Следовательно, уравнение (1) при нечетном значении n = q і 3 и четном значении z также не имеет целочисленных решений. Поэтому далее достаточно доказать, что целочисленных решений не имеет также и уравнение (14).

Доказательство великой теоремы ферма. Уравнения (1) и (14) полностью эквивалентны, т.е. либо не существует целочисленных решений у обоих уравнений, либо целочисленные решения одновременно имеют уравнения (1) и (14). Покажем, что уравнения (14) не имеет целочисленных решений, а, следовательно, не имеет целочисленных решений также уравнение (1).

Доказательство проведем от противного. Предположим, что уравнения (14) и (1) имеют целочисленные решения. Без ограничения общности доказательства можно считать четным число х. Выберем среди всех примитивных решений уравнения (14) некоторую тройку чисел (x1, y1, z1) с минимальным значением z1. Соответствующее решение уравнения (1) будет иметь вид x = (x1) 2, y = (y1) 2 и z = (z1) 2, где значение z = (z1) 2 является минимальным для всех решений уравнения (1). Согласно лемме 1 любое решение уравнения (14) при четном значении x1 описывается формулами (3), т.е.

(х1) q = 2mn, (27)

(z1) q = m2 + n2, (28)

(y1) q = m2 - n2, (29)

где m и n - взаимно простые числа разной четности.

A. Рассмотрим сначала случай, когда четным является число n = 2р. Тогда (х1) q = 4mр. Поскольку числа m и 4р взаимно просты, то отсюда согласно лемме 2 вытекает, что m = (z2) q, 4р = t q, где z2 и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. В частности из уравнения (29) получаем (y1) q = (z2) q - [ (t/21/q) 2] q или с учетом того, что целочисленные решения этого уравнения имеют вид y1 = [ (y3)] 2 и z2 = (z3) 2, получаем уравнение

[ (y3) q] 2 + (t q /2) 2 = [ (z3) q] 2.

В силу выбора решения (x1, y1, z1) с минимальным значением z1 должно иметь место неравенство z2 і z1, а потому и неравенство (z2) q і (z1) q. В результате получаем абсурдное неравенство m і m2 + n2.

B. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях (27) - (29) четным является число m = 2k, а нечетным число n. Поскольку числа 4k и n взаимно просты, из уравнения (27) согласно лемме 2 вытекает, что 4k = (z2) q и n = t q. где z2 и t - некоторые целые (очевидно, взаимно простые) положительные числа. Тогда из уравнения (29) получаем (y1) q = [ (z2) 2/22/q] q - [ (t) 2] q или

(y1) q + [ (t) 2] q= [ (z2) 2/22/q] q. (30)

Поскольку целочисленными решениями этого уравнения являются только квадраты некоторых целых чисел, то y1 = (y2) 2. Тогда уравнение (30) может быть записано в виде [ (y2) q] 2 + [ (t) q] 2= [ (z2) q/2] 2. Согласно лемме 2 существуют такие положительные взаимно простые числа а и b различной четности, что (t) q = 2ab, (y2) q = a2 - b2, (z2) q/2 = a2 + b2. Поскольку z2 является нечетным числом, то (z2) q /2 не может быть целым числом, так как (z2) q также будет нечетным числом, т.е. последнее целочисленное равенство не может иметь место. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) при четном числе m = 2k также не существует.

Заметим, что в этом случае из неравенства z2 > z1 или (z2) q > (z1) q также получается абсурдное неравенство 2m > m2 + n2 (случай равенства правой и левой частей при m = 1 и n = 1 не должен рассматриваться, так как при этом не будет выполняться уравнение (27)).

Оба случая А и В привели к абсурдным неравенствам. Это означает, что целочисленных решений уравнений (1) и (14) не существует. Тем самым теорема Ферма доказана элементарными методами с использованием только той математической информации, которой мог и должен был обладать Пьер Ферма 350 лет назад.

Литература

1. Постников М.М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978, 128 с.