С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
|
(1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
|
(Sn ) n > a1 a2 ... an . |
(2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
|
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. |
(3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
|
(4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
|
b – a b |
= ln |
b a |
= |
b – a a |
. |
Из (3) и (4)
|
(5) |
или
|
(6) |
Опять-таки из (3) и (4)
|
(7) |
или
|
(8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
|
(9) |
Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
|
ln |
ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k |
< ln |
(Sn)k a1 a2 ... ak |
, |
или
|
ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k |
< |
(Sn)k a1 a2 ... ak |
, |
откуда вытекает (2).
Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,
|
a1 + a2 + ... + an n |
= |
n |
Ö |
a1 a2 ... an |
. |
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/