§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами.
Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть [pic]- некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic]. Тогда говорят, что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например [pic], и пишут

[pic]. (1)
Множество [pic] называется областью определения функции [pic], [pic]
- ее аргументом, а [pic] - значением функции в точке [pic].
Используются также обозначения: [pic] для области определения и [pic] для множества значений функции.

Графиком функции [pic] называется множество всех точек координатной плоскости вида [pic], где [pic]. График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например: а) отрезок [pic]; б) интервал [pic]; в) полуинтервалы [pic] или [pic]; г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic]; д) множество всех действительных чисел R =[pic].

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции [pic] область определения и множество значений

имеют вид: [pic], [pic]; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функции [pic]имеем [pic], [pic]; график функции изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции [pic] имеем: [pic],

[pic]; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.

а) Линейная функция:

[pic]R, где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициен- том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):

Рис.4.

б) Квадратичная функция:

[pic]R,

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины

[pic], называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента
[pic]:

в) Обратно пропорциональная зависимость:

[pic], где [pic] - постоянная. График – гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция:

[pic], где [pic] и [pic] - постоянные; область определения существенно зависит от [pic]. В п. в) рассмотрен случай [pic], а в примере 1 - случай [pic]. Приведем еще графики функций для [pic] и [pic]:

Рис. 7.

е) Показательная функция:

[pic]R, где [pic] - постоянная; график в зависимости от значения [pic] имеет вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями.

3. Сложная функция

Пусть заданы функции [pic] и [pic], причем множество значений функции [pic] принадлежит области определения функции [pic]: [pic].
Тогда можно определить сложную функцию

[pic], называемую также композицией функций [pic] и [pic].

Пример. Из функций [pic] и [pic] с помощью указанной операции можно составить две сложные функции: [pic]и [pic].

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций, получать новые функции, также называемые элементарными.
Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Пример. Функция [pic] (читается: “модуль [pic]”) является элементарной, так как для всех [pic]R справедливо представление [pic].
График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию [pic] с областью определения [pic] и множеством значений [pic]. Предположим, что для любого [pic] уравнение
[pic] имеет единственное решение[pic]. Тогда на множестве [pic] можно определить функцию, сопоставляющую каждому [pic] такое значение [pic], что [pic]. Эту функцию называют обратной для функции [pic] и обозначают [pic]:

[pic].

Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой.

Обозначая, как обычно, аргумент функции через [pic], а значение функции через [pic], можно записать

[pic].
Поскольку взаимная перестановка переменных [pic] и [pic] равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции
[pic] симметричен графику функции [pic] относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой
[pic]).

Примеры. 1) Для линейной функции [pic] обратная функция также линейна и имеет вид [pic]. Меняя местами [pic] и [pic], получаем
[pic]. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции [pic], [pic], множество значений имеет вид [pic].
Для каждого [pic] уравнение [pic] имеет единственное решение [pic].
Поменяв местами [pic] и [pic], получим [pic], [pic]. Графики функций приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции [pic] является логарифмическая функция [pic]. На рис. 12 представлены графики функций [pic] и [pic] .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18) [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22) [pic].

2. Построить графики функций:
1) [pic],
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic],
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic].

3. Найти функции обратные к функции [pic], указать их области определения и построить графики:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic].

Ответы
1.
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic] R;
6) [pic] R;
7) [pic];
8); [pic]
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic] R;
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18) [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22)[pic].
.

3.
1) [pic], [pic]R;
2) [pic], [pic] R;
3)[pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic], [pic];
7) [pic], [pic];
8) [pic];
9) [pic], [pic];
10) [pic], [pic] R.

-----------------------

[pic]