Отчет по лабораторной работе №1 по предмету: «Исследование операций» выполнили студенты CON-954 f/f группы Инюточкин Сергей, Стоянов Сергей
Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова
Академия Экономических Знаний Молдовы
Факультет Бухгалтерского учета и аудита
Кафедра Экономической Кибернетики и Информатики
Кишинев 1998
Глава I. Задание.
ЦЕЛЬ - научиться:
- самостоятельно разрабатывать математические модели задач по определению оптимальных планов производства продукции для предприятий и фирм;
- решать полученные математические задачи на ЭВМ с использованием пакетов прикладных программ решения задач линейного программирования;
- проводить содержательный послеоптимизационный анализ полученного решения, включая и вопросы чувствительности оптимального плана к изменению коэффициентов целевой функции и правых частей ограничений.
1) сформулировать свой вариант задачи и написать ее экономико-математическую модель;
2) составить двойственную задачу;
3) решить задачу на ПЭВМ по составленной экономико-математической модели, используя пакет решения задач линейного программирования. Привести результаты решения задачи на ЭВМ;
4) проанализировать полученные результаты решения задачи, а именно:
- какой смысл имеет полученный план и значение целевой функции;
- как используются данные в условии задачи ресурсы;
5) выписать оптимальное решение двойственной задачи и объяснить, какой экономический смысл имеет каждая оптимальная оценка;
6) проанализировать каждое ограничение задачи, используя решение двойственной задачи;
7) оформить письменный отчет по лабораторной работе, включающей все вышеуказанные пункты задания и список использованной литературы.
В состав рациона кормления на стойловый период дойных коров входит 9 видов кормов. В таблице 1.3.1 приводятся необходимые данные о кормах. Для обеспечения намечаемой продуктивности стада необходимо, чтобы в рационе кормления содержалось не менее (14,5+0,1N) кг кормовых единиц, (1750+N) г перевариваемого протеина, (110+N) г кальция, (45+0,1N) г фосфора, (660+0,1N) мг каротина и (18+0,1N) кг сухого вещества. В качестве дополнительных условий даны следующие соотношения для отдельных групп кормов в рационе: концентратов (кукуруза, жмых и комбикорм) – 5-20%, грубых кормов (стебли кукурузы, сено люцерновое, сено суданки) – 15-35%, силоса – 35-60%, корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) –10-20%. Определить рацион кормления животных по критерию минимальной себестоимости. N – порядковый номер фамилии студента по журналу =8.
Таблица 1.3.1 Содержание питательных веществ в 1 кг корма и его себестоимость.
|
Питательные вещества |
Кукуруза |
Жмых |
Стебли кукурузы |
Сено люцерны |
Сено суданки |
Силос кукурузы |
Свекла сахарная |
Свекла кормовая |
Комби-корм |
|
Кормовые единицы, кг |
1,34 |
1,9 |
0,37 |
0,49 |
0,52 |
0,2 |
0,26 |
0,12 |
0,9 |
|
Перевариваемый протеин, г |
78 |
356 |
14 |
116 |
65 |
19 |
12 |
9 |
112 |
|
Кальций, г |
0,7 |
5,9 |
6,2 |
17,7 |
5,7 |
1,5 |
0,5 |
0,4 |
15 |
|
Фосфор, г |
3,1 |
9,1 |
1 |
2,2 |
2,3 |
0,5 |
0,4 |
13 |
--- |
|
Каротин, мг |
4 |
2 |
5 |
45 |
15 |
15 |
--- |
--- |
--- |
|
Сухое вещество |
0,87 |
0,87 |
0,8 |
0,85 |
0,85 |
0,26 |
0,24 |
0,12 |
0,87 |
|
Себестоимость, лей/кг |
0,43+ 0,01N |
0,65- 0,01N |
0,05+ 0,01N |
0,25+ 0,01N |
0,3+ 0,01N |
0,8- 0,01N |
0,15+ 0,01N |
0,14+ 0,01N |
0,75- 0,01N |
Глава 2. Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием пакета LINDO
2.1 Краткое описание пакета LINDO
Пакет LINDO представляет собой прикладную программу, предназначенную для решения различных задач линейного программирования и анализа полученных результатов.
Данная программа позволяет пользователям работать с исходными данными, практически не изменяя их, что очень удобно для неопытных пользователей, на которых рассчитана данная программа. Программа позволяет получить хороший анализ результатов в удобнойформе. Однако при всех достоинствах, пакет имеет и недостатки: отсутствие на экране информации на румынском или русском языках и очень неудобный интерфейс, не позволяющий следить за ходом ввода данных и выполнения работы. Хотя возможность просмотра и исправления введенных данных предусмотрена, но она неудобна пользователю.
Необходимые для работы с пакетом команды описаны в пункте 2.2
2.2 Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием пакета LINDO
1. Напишем экономико-математическую модель данной производственной задачи. Обозначим через xj(j=1,8) количество производимой продукции. Кроме того, т.к. объем ресурсов для оборудования дается в часах, а производительность оборудования в м¤/час, то необходимо перейти к соизмеримости.
Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального плана производства продукции каждого вида с целью получения максимальной прибыли.
ЗЛП будет выглядеть так:
Целевая функция:
min Z = 0.51x1+0.57x2+0.13x3+0.33x4+0.38x5+0.72x6+0.23x7+0.22x8+0.67x9
при ограничениях:
1.34x1+ 1.9x2+0.37x3+0.49x4+0.52x5+ 0.2x6+0.26x7+0.12x8+ 0.9x9 >=15.3
78x1+ 356x2+ 14x3+ 116x4+ 65x5+ 19x6+ 12x7+ 9x8+ 112x9 >=1758
0.7x1+ 5.9x2+ 6.2x3+17.7x4+ 5.7x5+ 1.5x6+ 0.5x7+ 0.4x8+ 15x9 >=118
3.1x1+ 9.1x2+ x3+ 2.2x4+ 2.3x5+ 0.5x6+ 0.4x7+ 13x8 >=45.8
4x1+ 2x2+ 5x3+ 45x4+ 15x5+ 15x6 >=660.8
0.87x1+0.87x2+ 0.8x3+0.85x4+0.85x5+0.26x6+0.24x7+0.12x8+0.87x9 >=18.8
x1+ x2+ x9 >=5
x1+ x2+ x9 <=20
x3+ x4+ x5 >=15
x3+ x4+ x5 <=35
x6 >=35
x6 <=60
x7+ x8 >=10
x7+ x8 <=20
Xj >= 0
Экономико-математическая модель состоит из целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных xj.
2. Двойственной к данной задаче является следующая:
Целевая функция:
max F = 15.3y1+1758y2+118y3+45.8y4+660.8y5+18.8y6+5y7-20y8+15y9-35y10+
35y11-60y12+10y13-20y14
при ограничениях:
1.34y1+ 78y2+ 0.7y3+3.1y4+ 4y5+0.87y6+y7-y8 <=0.51
1.9y1+ 356y2+ 5.9y3+9.1y4+ 2y5+0.87y6+y7-y8 <=0.57
0.37y1+ 14y2 +6.2y3+ y4+ 5y5+ 0.8y6+ y9-y10 <=0.13
0.49y1+ 116y2+17.7y3+2.2y4+45y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.33
0.52y1+ 65y2+ 5.7y3+2.3y4+15y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.38
0.2y1+ 19y2+ 1.5y3+0.5y4+15y5+0.26y6+ y11-y12 <=0.72
0.26y1+ 12y2+ 0.5y3+0.4y4+ 0.24y6+ y13-y14 <=0.23
0.12y1+ 9y2+ 0.4y3+ 13y4+ 0.12y6+ y13-y14 <=0.22
0.9y1+112y2+ 15y3+ 0.87y6+y7-y8 <=0.67
Данные задачи составляют пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план минимизации расходов на рацион кормления, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок питательной ценности используемых кормов.
3. Для решения прямой задачи воспользуемся пакетом LINDO.
Пакет установлен на диске Е: в каталоге LINDO. Для его загрузки активизируем данный каталог и находим файл с именем lindo.exe.
Вначале необходимо ввести целевую функцию F. Для этого после двоеточия (:) набираем слово max и после пробела вводим целевую функцию. После знака вопроса набираем ST и вводим ограничения. В конце набираем END.
Для просмотра всей задачи используют команду LOOK ALL, а для просмотра строки - LOOK < N строки >.
При необходимости можно произвести редактирование той или иной строки путем набора команды ALT < N строки > и изменять либо значения переменных (VAR), либо правых частей (RHS), либо направление оптимизации с max на min и наоборот.
Решение производится вводом команды GO, а для проведения послеоптимизационного анализа после (?) нажимают Y.
После введения задачи и набора команды GO получаем следующие результаты:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
32, 1779200
|
VARIABLE |
VALUE |
REDUCED COST |
|
x1 |
3.943977 |
0 |
|
x2 |
1.056023 |
0 |
|
x3 |
13.927200 |
0 |
|
x4 |
1.072801 |
0 |
|
x5 |
0 |
0.193695 |
|
x6 |
35 |
0 |
|
x7 |
0 |
0.009258 |
|
x8 |
10 |
0 |
|
x9 |
0 |
0.169071 |
|
ROW |
SLACK OF SURPLUS |
DUAL PRICES |
|
2 |
5.870109 |
0 |
|
3 |
0 |
0.000247 |
|
4 |
52.828530 |
0 |
|
5 |
139.823500 |
0 |
|
6 |
0 |
0.004369 |
|
7 |
7.903641 |
0 |
|
8 |
0 |
0.473236 |
|
9 |
15 |
0 |
|
10 |
0 |
0.104691 |
|
11 |
20 |
0 |
|
12 |
0 |
0.649760 |
|
13 |
25 |
0 |
|
14 |
0 |
0.217775 |
|
15 |
10 |
0 |
Nо. ITERATIONS = 12
4. Из полученного решения исходит, что минимальные затраты на составление рациона питания, содержащего все необходимые элементы составляют 32, 18 денежных единиц. То есть целевая функция:
min Z = 0.51*3,943977+0.57*1,056023+0.13*13,9272+0.33*1,072801+
+0.72*35+0.22*10=32,17792
Оптимальный рацион питания:
Х = (3,943977; 1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0)
то есть в рацион войдет:
Кукурузы –3,943977 кг
Жмыха – 1,056023 кг
Стеблей кукурузы – 13,9272 кг
Сена люцерны – 1,072801 кг
Силоса кукурузы – 35 кг
Свеклы кормовой – 10 кг
Остальные корма (сено суданки, свекла сахарная и комбикорм) в рацион не вошли.
5. Оптимальным планом двойственной задачи является следующий:
Y=(0; 0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0)
При этом целевая функция достигает своего максимального значения:
max F = 1758*0,000247+660.8*0,004369+5*0,473236+15*0,104691+
35*0,64976+10*0,217775=32,17792
Таким образом мы получили решение прямой двойственной задач, значения целевых функций которых равны:
Z(X)=F(Y)=32,17792
6. Проанализируем каждое ограничение двойственной задачи, подставляя вместо Y значения двойственных оценок
78*0.000247 +4*0.004369+1*0.473236 =0.5099 <=0.51
356*0.000247+2*0.004369+1*0.473236 =0.5699 <=0.57
14*0.000247 +5*0.004369+1*0.104691 =0.12999<=0.13
116*0.000247+45*0.004369+1*0.104691 =0.3299 <=0.33
65*0.000247 +15*0.004369+1*0.104691 =0.18628<=0.38
19*0.000247 +15*0.004369+1*0.64976 =0.71998<=0.72
12*0.000247 +1*0.217775 =0.2207 <=0.23
9*0.000247 +1*0.217775 =0.21999<=0.22
112*0.000247+1*0.473236 =0.5009 <=0.67
Из полученных данных видно, что все ресурсы используются оптимально, кроме сена суданки и комбикорма, которые вообще не вошли в рацион.
7. Для проведения анализа устойчивости оптимального плана прямой задачи при изменении коэффициентов целевой функции воспользуемся следующими данными, полученными с помощью ПЭВМ. Для этого в ответ на запрос RANGE вводим YES. Результы получим в следующем виде:
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
|
VARIABLE |
CURRENT |
ALLOWABLE |
ALLOWABLE |
|
COEF |
INCREASE |
DECREASE |
|
|
x1 |
0.51 |
0.07 |
0.381798 |
|
x2 |
0.57 |
0.485098 |
0.07 |
|
x3 |
0.13 |
0.177986 |
0.093040 |
|
x4 |
0.33 |
0.761069 |
0.177986 |
|
x5 |
0.38 |
INFINITY |
0.193695 |
|
x6 |
0.72 |
INFINITY |
0.649760 |
|
x7 |
0.23 |
INFINITY |
0.009258 |
|
x8 |
0.22 |
0.009258 |
0.217775 |
|
x9 |
0.67 |
INFINITY |
0.169071 |
Как видно коэффициенты Cj при Xj в целевой функции могут изменяться таким образом:
0,128202 < C1 < 0,58
0,5 < C2 < 1,055098
0,03696 < C3 < 0,307986
0,152014 < C4 < 1,091069
0,186305 < C5 < INFINITY
0,07024 < C6 < INFINITY
0,220742 < C7 < INFINITY
0,002225 < C8 < 0,229258
0,500929 < C9 < INFINITY
Если коэффициенты целевой функции лежат соответственно в заданных диапазонах, то оптимальный план прямой задачи остается без изменений.
Соответственно оптимальный план двойственной задачи будет устойчив при изменении правых частей ограничений, заложенных в следующей таблице.
|
ROW |
CURRENT |
ALLOWABLE |
ALLOWABLE |
|
RHS |
INCREASE |
DECREASE |
|
|
2 |
15.3 |
5.870109 |
INFINITY |
|
3 |
1758 |
1116.54 |
298.960100 |
|
4 |
118 |
52.828530 |
INFINITY |
|
5 |
45.8 |
139.823500 |
INFINITY |
|
6 |
660.8 |
117.2392 |
43.69926 |
|
7 |
18.8 |
7.903641 |
INFINITY |
|
8 |
5 |
4.409440 |
3.181932 |
|
9 |
20 |
INFINITY |
15 |
|
10 |
15 |
8.567274 |
9.957481 |
|
11 |
35 |
INFINITY |
20 |
|
12 |
35 |
2.886976 |
15.53039 |
|
13 |
60 |
INFINITY |
25 |
|
14 |
10 |
10 |
10 |
|
15 |
20 |
INFINITY |
10 |
На основе проведенной лабораторной работы можно сделать следующий вывод: полученное решение прямой задачи является оптимальным, то есть ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона находится в пределах норм.
1. А.Ф. Гамецкий, Д.И. Соломон Лабораторный практикум по курсу "Исследование операций" (для экономических специальностей), Кишинев, 1995.
2. Конспект лекций по предмету «Исследование операций» доктора экономики В. П. Зубрицкого