Непрерывность и арифметические операции

Пусть [pic] и [pic]непрерывна в т. х0 , тогда справедливо:
1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х0 ;
[pic]- непрерывна в точке х0
2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х0
[pic]- непрерывна в точке х0
3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля, т.е. если знаменатель (0.
[pic]

Доказательство: [pic]

Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:
|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. y0 | |
|. |(тогда сложная ф-ия [pic]- непрерывна в т. |
|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. х0 |х0 . |
|. | |
|[pic] | |

Доказательство:
А). [pic]

Б).[pic]
[pic] из А) и Б) следует:
[pic]

Sl. [pic]

Непрерывность ф-ии на множестве.
Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:
Пусть [pic]- непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда справедливо:
1. *****
2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия [pic].
3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:
1. **********
2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg , следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.
3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения непрерывности обратной ф-ии.
Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических операций, взятых в конечном числе,********

Характеристика точек разрыва ф-ии.
1. Точка устранимого разрыва.
D(f) т. х0 называется точкой устранимого разрыва ф-ии [pic], если она не определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой точке равным пределом.
[pic]

2. Точка разрыва первого рода.
D(f) х0 – точка разрыва первого рода, если существует конечный левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.
[pic]
Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х0

3. Точка разрыва второго рода.
*********************************

Односторонняя непрерывность ф-ии.
1. Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.
2. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.
3. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.
Например:
[pic]- исследуем предел ф-ии справа и слева:
[pic]ф-ия непрепывна в точке х=0.
Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.
Т1: Ф-ия [pic], непрерывная на [a,b], ограничена на этом отрезке.
[pic]- непрерывная на [a,b] [pic]
D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке [a,b], если существует такое число [pic].
D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [a,b], если [pic]
Т2 : ф-ия [pic], непрерывная на [a,b],имеет на [a,b] наибольшее и наименьшее значения.
Т3 : *************

Sl1 : ((f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок
Sl2 (Т3): ф-ия, непрерывная на отрезке [a,b], имеющая различные по знаку значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной точке этого отрезка.

*******************************************

Дифференциальное счисление.
Ф-ия одной переменной.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.
Пусть точка движется вдоль прямой х.
****************************************** - l-единичный вектор, задающий направление вдоль прямой.
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
3.2 Построение касательной к кривой с уравнением [pic] в т. х0 .
******************** [pic]
Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

Определение призводной ф-ии в точке.
Обозначение: [pic]
Df1 Производной ф-ии [pic]в т. х называют предел отношения приращения ф-ии в этой т. к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.
[pic]

Пример: [pic]
[pic]
[pic]- непрерывная.
[pic]

Степень ф-ии с вещественным показателем.
Справка: [pic].
[pic]

Геометрический смысл производной.
Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии [pic] в т. х0 =тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.
Sl1 : Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит, и угловой коэффициент [pic]
[pic]где x и y – координаты т. на касательной.
Sl2 : Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент [pic]
[pic], x и y – точки на нормали.

Механический смысл производной.
************

Дифференцируемость ф-ии.
Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:
[pic], А – const.
Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
[pic]
(достаточность): [pic]

Производная суммы, произведения, частного.
Dh:Пусть ф-ия [pic] и [pic]дифференцируемы в точке х0 , тогда в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются формулы:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic], если [pic]
Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х0 , непрерывнна в этой точке.
[pic]- дифф. в т. х0 [pic] обратное утверждение неверно!!!

Производная от const ф-ии =0.
Если [pic]
Доказательство:
[pic]
Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак производной.
[pic]
Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий[pic] называется сумма призведения этих ф-ий на производную и постоянную.
[pic]

Zm: Свойство линейности производной.
Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й = линейные комбинации призводных.
[pic]

Производная от обратной ф-ии.
Dh: Пусть [pic] в точке х0 имеет:
1. [pic]
2. на промежутке, содержащем х0 , обратную ф-ию [pic]
3. [pic] тогда в точке х0 существует [pic], равная [pic]