Содержание

Двойные интегралы

Определение определенного интеграла

Правило вычисления двойного интеграла.

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла.

Тройные интегралы

Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Несобственные интегралы.

Дифференциальные уравнения.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

3. Линейные дифференциальные уравнения

4. Уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Три случая понижения порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа

Геометрическое изображение комплексных чисел

Действия над комплексными числами.

Произведение.

Частное.

Возведение в степень.

Извлечение корня

Ряды.

Числовые ряды.

Свойства числовых рядов.

Знакоположительные ряды

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение определенного интеграла

- интегральная сумма.

Геометрический смысл ОИ: равен площади криволинейной трапеции.

Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл.

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y), которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ.

Интегральной суммой для этой функции называется сумма

Она распространяется на те значения i и к, для которых точки (xi,yk) принадлежат области S.

Двойной интеграл от функции z=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется предел соответствующей интегральной суммы.

Правило вычисления двойного интеграла

Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.

1. (Рис.1) Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми

.

Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:

Сначала вычисляется внутренний интеграл:

При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считается переменной, а ‘х’-постоянной.

2. (Рис.2) Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=d и кривыми

.

Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:

Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний.

При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной.

3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов.

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу- плоскостью z=0 (плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область S, вычисляется по формуле:

Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла

Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y), то площадь поверхности (Sпов.), имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле:

- площадь поверхности.

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определяется аналогично двойному интегралу.

Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов.

Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла

Объем тела вычисляется по формуле:

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Это интегралы: - с бесконечными пределами; - от неограниченной функции.

Первый вид

Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют вид:

; ;

Несобственные интегралы от функции в пределах от (а) до () определяются равенством.

1.; 2. ; 3.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся (ряд сходится или расходится?). Это и есть ответ.

Второй вид

Несобственные интегралы от неограниченной функции имеют вид: , где существует точка “с” (точка разрыва) такая, что ; , т.е. (в частности c=a; c=b).

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке “с” отрезка [a;b] и непрерывна при или , то полагаем:

Если пределы в правой части последнего равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл сходится, если пределы не существуют или равны бесконечности - то расходятся.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение выглядит:

F(x,y,y’,y’’…,y(n))=0 или .

2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:

Пример.

F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка.

F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.

Пример.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Общее и частное решения.

F(x,y,y’)=0

Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).

Интегрируем уравнение.

После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.

Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.

Частное решение.

Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а). у=у0 при х=х0; б). ; в). у(х0)=у0.

Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.

Подставляя в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения.

Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.

Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).

Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.

Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы

.

Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

- - через производную.

- - через дифференциал.

В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.

Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.

Решение.

-

; -интегрируем и получаем решение.

-

;

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом выполняется условие: .

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

P(x,y)dx=-Q(x,y)dy;

Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (; y=xt; y’=t+xt’).

Линейные дифференциальные уравнения

ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.

Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’

U’V+UV’+P(x)UV=Q(x)

V(U’+P(x)U)+UV’=Q(x)

Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:

1). U’+P(x)U=0 находим U. 2). UV’=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения.

Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.

Уравнения Бернулли

УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*yn, где

- т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.

УБ решаются так же, как и линейные.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0

Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: - общее решение.

Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Начальные условия так же могут задаваться в виде:

у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.

Три случая понижения порядка

1. Случай непосредственного интегрирования

F(x,y”)=0

y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.

; ; ;

2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F(x,y’,y”)=0

С помощью замены у’=р; это уравнение приводим к уравнению первого порядка .

3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит х, т.е. F(y,y’,y”)=0.

С помощью замены y’=p, это уравнение приводим к уравнению первого порядка .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:

y’’+py’+qy=0,

где p и q – некоторые числа.

Составим характеристическое уравнение:

,

которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей.

Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:

1). , если к1 и к2 – действительные и различные, т.е. D>0.

2). , если к1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.

3). , если к1 и к2 – комплексные, т.е. ; D<0.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеют вид:

,

где p и q– некоторые числа.

Общее решение имеет вид:, где

y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения; - частное решение соответствующего однородного уравнения.

Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение , и складывают их.

Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов.

Для нахождения частных решений рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:

, где Pn(x) – многочлен n–ой степени.

Тогда возможны следующие 3 случая:

А). Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то частное решение имеет вид: , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), только с неопределенными коэффициентами.

Например.

Pn(x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Qn(x)=A;

Pn(x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Qn(x)=Ax+B;

Pn(x)=x2 - многочлен 2-ой степени (n=2). Qn(x)=Ax2+Bx+C;

Pn(x)=3x3-3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Qn(x)=Ax3+Bx2+Cx+D.

Замечание. Многочлен Qn(x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения.

Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .

В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .

Итог.

Если , то , где r– кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если ‘а’ не есть корень; r=1, если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2, если ‘а’ совпадает с двумя корнями.

2. Если правая часть f(x) имеет вид:, где Pn(x)–многочлен n–ой степени; Qm(x)-многочлен m–ой степени.

Тогда возможны следующие два случая:

А). Если не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: , где SN(x), TN(x)–многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов SN(x) и TN(x) равна наибольшей из степеней многочленов Pn(x) и Qm(x).

Б). Если является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (), то частное решение имеет вид:

Замечание.

- Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. Pn(x)=0 или Qm(x)=0, то частное решение все равно записывается в полоном виде.

- Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f1(x)+ f2(x)+… fn(x)), то .

- Так же рассматриваем все комбинации при расчете : cosx, sinx, xcosx, xsinx,x2cosx, x2sinx.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом (z) называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица.

i определяется: i2=-1 , отсюда .

х- действительная часть (x=Rez);

у- мнимая часть (y=Imz).

Геометрическое изображение комплексных чисел

Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cos+isin)), показательная (rei).

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).

Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.

x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.

;

Подставляем полученные значения в начальную форму:

, т.е.

r(cos+isin) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера:

, тогда

z=rei - показательная форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами

1. сложение. z1+z2=(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2. вычитание. z1-z2=(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z1z2=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2 )+i(x1y2+x2y1);

4. деление. z1/z2=(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.

Произведение

- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.

z1=r(cos+isin); z2=r(cos+isin).

То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

- Если комплексные числа заданы в показательной форме.

; ;

Частное

- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.

- Если комплексные числа заданы в показательной форме.

Возведение в степень

1. Комплексное число задано в алгебраической форме.

z=x+iy, то zn находим по формуле бинома Ньютона:

zn=(x+iy)n.

- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1; .

Применяем для комплексного числа.

В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:

i0=1 Отсюда, в общем случае получаем: i4k=1

i1=i i4k+1=i

i2=-1 i4k+2=-1

i3=-i i4k+3=-i

i4=1

i5=i

i6=-1

Пример.

i31= i28 i3=-i

i1063= i1062 i=i

2. Если комплексное число задано в тригонометрической форме.

z=r(cos+isin), то

- формула Муавра.

Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).

3. Если комплексное число задано в показательной форме:

Извлечение корня

Рассмотрим уравнение: .

Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z: .

Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме:

z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле:

, где к=0,1…n-1.

РЯДЫ

Числовые ряды

Пусть переменная а принимает последовательно значения а1,а2,а3,…,аn. Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а1+а2+а3+…+аn+…= . Числа а1,а2,а3,…,аn – члены ряда.

Например.

а1 – первый член ряда.

аn – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле

аn=а1+d(n-1); d=аn-аn-1.

Знаменатель – геометрическая прогрессия.

bn=b1qn-1; .

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+аn.

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если , и расходящимся, если .

Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся.

Свойства числовых рядов

1. Если сходится а1+а2+а3+…+аn+…=, то сходится и ряд аm+1+аm+2+аm+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2. Если ряд а1+а2+а3+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са1+Са2+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а1+а2+… и b1+b2+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1+b1)+(а2+b2)+(а3+b3)+… и (а1-b1)+(а2-b2)+(а3-b3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).

- необходимый признак (условие) сходимости ряда.

б). Если то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда.

-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.

Знакоположительные ряды

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=(2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера

Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

4. Признак Коши радикальный

Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=- знакоположительный ряд.

Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.

Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…= (1) (члены как + так и -).

Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.

Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).

Если ряд (3) расходится, а:

- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;

- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.

При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.

Схема

Если (3) – сходится (1) - сходится абсолютно.

Если (3) – расходится

При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.

Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).

Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости:

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn0) выполняются условия:

1. b1b2b3b4…;

2. , - то данный ряд сходится условно.

33