РЕФЕРАТ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

НА ТЕМУ:

«РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ В СЕРЕДИНЕ XVIII ВЕКА»

Оглавление

Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием

3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века

4. Дифференциальное исчисление

5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

Во второй четверти XVIII века в России темпы развития торговли, промышленности, науки и культуры были гораздо меньшими, чем в первой четверти. Сказывалась продолжительная Северная война, а также частые дворцовые перевороты, приводившие к власти лиц, которым чужды были национальные интересы страны.

В хозяйстве России постепенно развивались новые явления. Укреплялся и расширялся всероссийский рынок. Углублялась хозяйственная специализация отдельных районов страны (определились хлебные, скотоводческие районы и районы технических культур). В центральных районах страны укрепилась трехпольная система. Развивались крестьянские промыслы, особенно в оборочных районах. И все же основным путем дальнейшего развития сельского хозяйства было освоение новых земель.

В середине XVIII века помещики с целью повышения своих доходов начали заниматься предпринимательством – открывали промышленные предприятия по переработке сельскохозяйственного сырья. Однако основная масса дворян вела хозяйство по старинке, повышая доходы от своих имений, главным образом, путем жестокой эксплуатации крестьян.

В промышленность все более и более вовлекался купеческий капитал. На основе дальнейшего развития товарного производства происходил рост капиталистической мануфактуры. К 40-м годам в России были уже довольно крупные текстильные и другие предприятия купцов и кулаков-капиталистов, где преобладал наемный труд.

Промышленность развивалась быстрее, чем сельское хозяйство. Продолжалось интенсивное строительство металлургических заводов, в котором большую роль играл частный капитал. Расширялась территория освоения горнорудных богатств на Урале. В отличие от Северного Урала, где в 30-х годах казна построила крупные доменные заводы, Южный Урал развивался как район преимущественно медеплавильный и исключительно частновладельческий. Новые заводы, правда, более мелкие, строились и в центральном металлургическом районе. Начинали осваивать Алтай. К 1750 году в России насчитывалось около 100 металлургических заводов.

Культура России во второй четверти XVIII века развивалась по пути, наметившемуся в первой четверти века. Из школ, основанных в начале XVIII века, дальнейшее развитие получили только профессиональные школы, готовившие, прежде всего военных специалистов.

Центром научной жизни страны с конца 20-х годов стала Петербургская академия наук, завоевавшая уже в эти годы всемирное признание. В 40-х годах в академии выделился ряд русских ученых, среди которых особенно отличался своей научной энциклопедичностью и многогранностью М.В. Ломоносов. Первым организационным принципом Петербургской академии наук, стимулировавшим развитие русской науки, была обязательная связь научных исследований с практическими потребностями страны.

2. Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием

Мануфактурный период капитализма сопровождался созданием технической основы машинного производства. Дальнейший технический прогресс в XVIII веке был невозможен без развития естествознания, а значит, и без математических методов. О содержании новых задач и новых трудностей, возникших перед математикой на рубеже XVII-XVIII веках и в первой половине XVIII века, можно судить по состоянию важнейших отраслей естествознания этого периода.

Основы общей механики был заложены Ньютоном в его знаменитых «Началах натуральной философии». Однако основные достижения Ньютона относятся лишь к механике точки. В механике твердого тела он рассмотрел лишь вращение около неподвижной оси. При исследовании движения тела в неподвижных средах Ньютон ограничился рассмотрением только простейших частных случаев.

Несмотря на то, что в исследованиях Лейбница и Ньютона был завершен первый период развития исчисления бесконечно малых, это исчисление еще только завоевывало признание. Новые алгоритмы позволили получить с поразительной легкостью результаты, недоступные прежним методам, однако споры по вопросам обоснования исчисления бесконечно малых заставили, в частности весьма осторожного в своих публикациях Ньютона, отказаться от применения нового исчисления в ряже публикаций по механике. В работах Ньютона по механике нет «ньютоновских дифференциальных уравнений динамики», хотя в его математических работах и приведен целый ряд результатов исследования методов интегрирования дифференциальных уравнений. Поэтому не удивительно, что в общей механике не было аналитических методов. Создание их являлось одной из важнейших задач математики и механики XVIII века. Основная роль в решении этой задачи принадлежит Леонарду Эйлеру.

В связи с разработкой аналитической механики перед математиками возникли новые задачи в области математического анализа. Создание аналитических методов настоятельно требовали новые задачи самой механики – исследование движения материальной точки в среде с заданной инертностью (движение физического маятника, баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу и т.п. Особенно необходимым было развитие теории малых колебаний материальной точки, а позднее – системы конечного числа материальных точек при определенных предположениях о сопротивлении среды. Необходимость разработки теории физического маятника выдвигалась развитием гравиметрии и теории фигуры Земли, которое, в свою очередь, стимулировалось, в частности, вопросами изучения движения планет, нуждами мореплавания и высшей геодезии.

В решении проблемы о вращении Земли начальные результаты принадлежат Даламберу и Эйлеру. Эйлер дал новую форму уравнения вращательного движения твердого тела, употребляемую и в наше время. Динамические уравнения Эйлера, определяющие движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляют собой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно эйлеровых углов ψ, θ, φ, как функций времени.

К середине XVIII века относится зарождение новой области анализа – дифференциальных уравнений в частных производных. Расширение исследований в области математического анализа стимулировалось, главным образом, развитием физики твердой среды и гидродинамики. Принципиальную недостаточность теории обыкновенных дифференциальных уравнений впервые обнаружил Даламбер и Эйлер при изучении малых колебаний струны, закрепленной на концах. Уже в первых исследованиях, связанных с уравнениями нового вида, выяснилось, что при

Решении таких уравнений возможна значительно большая произвольность, чем при решении любых обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому возник вопрос об удовлетворении решений более сложным дополнительным условиям. Дальнейшие исследования колебаний неоднородных струн, мембран, упругих стержней как Эйлером, так и его современниками требовали нахождения специальных методов для решения простейших смешанных задач для уравнений гиперболического типа второго и даже четвертого порядка.

Проблема звучащей струны имела, как известно, весьма существенное значение для развития всего математического анализа не только в XVIII веке, но и в XIX. В длительном споре о характере допустимых «произвольных функций», входящих в решении уравнений колебания струны, приняли участие почти все самые выдающиеся ученые эпохи: Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. В этом споре получило существенное развитие одно из самых основных понятий анализа – понятие функции. Наряду с проблемой колебаний струн и мембран стимулирующее влияние на развитие учения об уравнениях в частных производных оказали задачи гидродинамики. В отличие от гидростатики, история которой ведет свое начало от работ Архимеда, гидродинамика как наука сложилась только в середине XVIII века. Необходимость изучения законов движения жидкости диктовалась настоятельными потребностями практики расчетов мощных водяных двигателей, гидротехнических сооружений и возросшими потребностями кораблестроения. Стимулом значительного прогресса гидродинамики, достигнутого в 50-х годах XVIII века, было также развитие аналитических методов динамики материальной точки и системы точек.

Для решения основной задачи о взаимодействии среды с движущимися в ней телами необходимо было сформулировать основные законы движения жидкости. Ученые XVIII века в этом отношении не имели фактически никакого наследия. Первые попытки Галилея проанализировать сопротивление воздуха с количественной стороны и результаты Ньютона по изучению сопротивления, оказываемого жидкостью движущемуся в ней твердому телу, были совершено недостаточны. Необходимо было создать аналитические методы теоретической гидродинамики. Решением этой задачи математическое естествознание обязано Д. Бернулли, Даламберу, Эйлеру и Лагранжу. Первый выдающийся результат в этой области принадлежит Д. Бернулли, опубликовавшему в 1738 году свою знаменитую «Гидродинамику»1. Вслед за «Гидродинамикой» Д. Бернулли появился известный трактат Даламбера «О равновесии и движении жидкостей»2. Даламбер пришел, в частности, к парадоксальному заключению об отсутствии сопротивления при движении тела в жидкости, явившемуся следствием того, что он не учел значения всего обтекания тела при движении. В обсуждении этого явления вскоре принял участие Эйлер. Дальнейшее изучение «парадокса Даламбера – Эйлера» способствовало привлечению внимания исследователей к важнейшей проблеме гидродинамики – проблеме обтекания тел, движущихся в жидкости.

Основополагающим исследованием, от которого, собственно, и ведет свое начало теоретическая гидродинамика, является сочинения Эйлера «Общие принципы движения жидкостей»3. В нем Эйлеру впервые вывел основные уравнения гидродинамики для жидкости, лишенной вязкости.

Исследования колебаний струн, мембран, стержней и важнейшей задачи гидродинамики уже в 50-х годах XVIII века послужили источником возникновения теории уравнений в частных производных. В области обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлер и его современники могли использовать результаты, полученные их предшественниками, в новой же области надо было начинать с самого начала. Эйлер был прав, говоря, что в этой новой области анализа нет не только каких-либо приемов решения, но и необходимых обозначений.

В постановке аналитических задач теории уравнений в частных производных решающая роль принадлежала физике. Сведения указанных физических задач к чистому анализу сразу же потребовало разыскания первых подступов к этой новой ветви математики. Отправным пунктом здесь могла служить лишь теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в первых работах о струне Эйлер использовал метод интегрирующего множителя и теорию уравнений в полных дифференциалах, а в более поздних широко применял метод степенных рядов.

Гораздо сложнее оказалась проблема создания новых методов, отвечающих самой природе уравнений нового вида. Ее решение является одним из важнейших вопросов современной математики. На долю исследователей XVIII века выпало создание основ метода характеристик и метода тригонометрических рядов. Первое выполнил Эйлер, второе начал в свои исследованиях Д. Бернулли. Оба эти метода получили дальнейшее развитие в XIX веке и являются одним из самых сильных в современной теории уравнений в частных производных. Лагранж заложил основы теории сопряженных уравнений, что являлось позже исходным пунктом в разработке известного «метода Римана», в котором существенное значение имеет применение характеристических координат.

Интерес к математическому анализу усилился постановкой ряда новых геометрических задач в ходе развития дифференциальной геометрии. Решение этих задач приводило к уравнениям в частных производных первого порядка.

Таким образом, к концу рассматриваемого периода в теории дифференциальных уравнений накопилось сравнительно много частных результатов, которые необходимо было систематизировать.

3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века

В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.

Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, так как они рассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «функция», Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины – флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.

Между тем совокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существенно значение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствование таблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениями геодезии и навигации.

Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»4.

Эйлерово определение функции – это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий «аналитическое выражение».

Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ, ln n, sin n, cos n приводит его к трансцендентным функциям5.

Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями6.

Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.

В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение в анализ» (1748г.).

Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны – привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовала изучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечением руки».

Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.

4. Дифференциальное исчисление

В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.

В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от механической и геометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного от аппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть только аналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия7.

В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. В этом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя (1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.

Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однако попытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались. Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всего Эйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. При первом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.

Определяя бесконечно малые количества как чистые нули, Эйлер вынужден полемизировать с Лейбницем, считавшим, что существуют некие последние частицы, называемые «атомами», «монадами» иди «простыми сущностями»8.

В работе о дифференциальных уравнениях (1728г.) Эйлер рассматривает классы однородных уравнений второго порядка. К этому же времени относятся его исследования о геодезических линиях. Соответствующее дифференциальное уравнение оказалось также второго порядка. В работе о началах вариационного исчисления (1744г.) он использует дифференциалы любого порядка, а также понятие функции многих переменных.

5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений

В 1768 году Петербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера. Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральное исчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этот труд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.

В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.

В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными.

В 1794 г. уже после смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том «Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первым двум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределен по соответствующим томам первой серии этого издания.

В своем издании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функций двух или большего числа переменных, когда задано какое-нибудь соотношение между дифференциалами»9. Он отмечает, что нахождение функции двух и большего числа переменных по заданному соотношению между их дифференциалами еще нигде не излагалось. Решение этой задачи принесло бы «очень большую пользу механике и особенно в учении о жидкостях». Таким образом, задача ставится в плане решения любых дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных. Далее Эйлер определяет полный и частный интегралы. Понятиями полного и частного интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений он владел еще в 1738 году, а в своих печатных работах ввел их впервые в 1743 году.

Рассматривая основные направления развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII века, появляются первые задачи динамики точки при их аналитической трактовке, которые потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем.

Назревала также потребность в развитии теории линейных уравнений. Это объясняется тем, что в начале XVIII века приобретала все более серьезное значение теории малых колебаний материальных систем с конечным числом степенной свободы. В связи с конструированием достаточного точных маятниковых часов, необходимых для астрономических наблюдений, а также с первыми гравиметрическими проблемами возникла необходимость в построении аналитической теории математического и физического маятников, являющейся развитием результатов Гюйгенса (конец XVIII в.).

Другое направление теории обыкновенных дифференциальных уравнений – численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений – было обусловлено в значительной степени требованиями небесной механики.

Одним из направлений в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений было также изучение особых решений. Оно определялось задачами геометрического содержания, в частности задачами быстро развивавшейся дифференциальной геометрии. Главнейшими задачами из них были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых (позже – семейств поверхностей). В XVIII веке направление, связанное с изучением семейств плоских кривых, в частности семейств интегральных линий, было наименее значительным. Однако уже в начале второй четверти XIX века тесно связанная с теорией особых решений проблема единственности решения задач с начальными условиями, а вместе с ней и общая проблема существования решений приобрели в теории обыкновенных дифференциальных уравнений первостепенное значение.

Уровень накопленных к началу XVIII веку знаний о свойствах и способах решений обыкновенных дифференциальных уравнений был совершенно недостаточен для изучения новых сложных задач. Поэтому не удивительно, что уже с начала второй четверти XVIII века наблюдалось значительное повышение интереса к этой области анализа. В первом же томе «Комментариев» Петербургской академии за 1726 год были помещены исследования по дифференциальным уравнениям Я. Германа. Х. Гольдбаха, И. Бернулли и его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII веке теория дифференциальных уравнений получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.

Естественно, что достижения Эйлера, первые в огромной новой области анализа, не могли быть достаточно общими и завершенными. Теорию уравнений в частных производных развил дальше Ж. Лагранж. Анализ его исследований показывает преемственность эйлеровых результатов. Начало нового периода в развитии теории уравнений в частных производных не только первого, но и высшего порядков связано с работами Г. Монжа. Этот период характеризуется существенным проникновением в теорию дифференциальных уравнений в частных производных новых геометрических идей. Дальнейшее развитие геометрическая теория уравнений в частных производных получила в трудах геометров XIX века. История теории дифференциальных уравнений в частных производных второго и высших порядков представляет собой в значительной степени историю теории дифференциальных уравнений математической физики.

Список используемой литературы

1. История отечественной математики в четырех томах. Том 1.

Академия наук СССР

1 Д. Бернулли. Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкостей. Пер. с лат. Изд-во АН СССР, М., 1959.

2 J.P. D’Alembert. Traite de l’equilibre et du movement des fluids. Paris, 1744

3 L. Euler. Principes generaux du movement des fluids. – Mem. De l’Acad. d. sci. et bell.-lettr. de Berlin. T. 11, 1755 (1757).

4 Л. Эйлер. Введение анализ бесконечных. Т. 1, стр. 24

5 Разделение функций на алгебраические и трансцендентные было, хотя и в менее отчетливой флрме, у Даламбера и Лейбница.

6 В первом томе «Введение в анализ» рассматриваются лишь непрерывные функции.

7 Л.Эйлер. Дифференциальное исчисление, стр. 44

8 Там же стр. 89

9 Л. Эйлер. Интегральное исчисление Т.1, стр. 12