1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Множество - совокупность некоторых объектов
Элементы множества - объекты составляющие множество
Числовые множества - множества элементами которых являются числа.
Задать множество значит указать все его элементы:
1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.
2 Способ: Конструирование из других множеств:
AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A B = {c: cОA Щ сПB}
U - универсальное множество (фиксированное)
UіA; U A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
Свойства:
1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A;
AЪU=U
2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А
A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж
Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’
" cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’
Отображение множеств: f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B) aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f
Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)
Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im
Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)
Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.
Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
Теорема: Множество Q счетно.
Докозательство: Q=[pic]
Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.
Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10®0/n 5®-2/n
2®+1/n 6®+3/n
3®-1/n 7®-3/n
4®+2/n ...
Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.
А1={а11, а12, а13,...}
А2={а21, а22, а23,...}
А3={а31, а32, а33,...}

...
Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22
- 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.
Плотность Q в R.
Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ а1,а2,а3,... О{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’к=ак-1 х=[хо],х1 х2 х3...хк... у=[уо],у1 у2 у3...ук... х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет) у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1 у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0

9 і ук+1
Определение: 1) х > у $ к: х’к > у”к

2) х = у х’к не> у”к & у”к не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
Свойства: 1)" х, у либо ху, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х
Док-во (2): х>у у>z х’к>у”к у’m>z”m n=max{k;m} х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n у”n>у’n => х’n>z”n
Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х у”к х і х’к у”к і у х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ
3.Несчетность множества действительных чисел.
Теорема: R несчетно.
Доказательство от противного:
1«х1=[х1], х11 х12 х13... |
2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде
3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*) к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |
Найдем число которого нет в таблице: с=[с], с1 с2 с3...
[с]№[х1] => с№х1 с1 П {9;х21} => с№х2 с2 П {9;х32} => с№х3

... ск П {9;хк+1к} => с№хк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть 1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а $ SupA=m => "bОB: bіm => B ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn
Докажем, что m = n:
Пусть mс (с’n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z.
Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN
Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-
Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)
4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm).
Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).
Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA aіn

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей m1=max[10*{a-[m]:aОA}] m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]

... mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]
[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:
"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аm”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит ограниченности => aЈm
Точная верхняя грань:
Пусть ll”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $ аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.
Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $
-SupB=InfA
6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|n’: |aN|n”: |bN|max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN| max{n’,n”} имеем:
|cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0
|aN|n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN
- бм
Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|=max{n’,n”}
|bN|Ј|aN|0 $ n0: n>n0 |аN|>Е)
Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.
Доказательство:
"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|1/|aN|>Е.
" "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е =>
|aN|n’ последовательность bNі|aN| => bN - бб.
Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е

7.Арифметика пределов
Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN-a является бм (обратное тоже верно)
Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a| (xN+yn)-(х+у)- бм, дальше по предложению)
2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)
3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|1/|уN| "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1,
1/у2,...1/уno}
Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0 последовательность хNЈуN, то хЈу
Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности
Еn’ |xN-x|n” |yN-y|max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем
(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: хN>уN - противоречие с условием => хЈу.

5. Определение предела последовательности и его единственность.
Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хОХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).
Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.
Способы задания:
1) Аналитический: Формула общего члена
2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие.
Пример: а1=а; аN+1=аN + а
3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый десятичный знак числа Пи
Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $ n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a| в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.
Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.
Порядковые свойства пределов:
Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN, тогда xЈy
Доказательство(от противного):
Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.
Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то
$ Lim bN=b => a=b=c.
Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cNn” => (a-E)max{n0,n’,n”} (a-E)bNО(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности
Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей
(убывающей) если " n1>n2 (n10 $xE: (х-Е) $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х] Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>
0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.
Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.
Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0, называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется f(x0)f(x)).
Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)f(x0) (f(x)0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x0 из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-dn1
. . . хNKО[аK,bK] nK>nK-1 аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)
Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности. xN - ограниченная последовательность =>"n аNЈхNЈbN хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb х - частичный предел последовательности хN
Пусть М - множество всех частичных пределов.
Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM
Верхним пределом посл-ти xN называют SupM№Sup{xN}: пишут Lim xN
Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN
Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.
Достижимость:
Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.
Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN
$ х’ОМ: х-1/к $ подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0: "s>s0 => х’-1/к по доказанному для a>0 получаем, Lim
1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1

15. Доказательство формулы e=... yN=[pic]; zN=yN +[pic]
1) yN монотонно растет
2) yNn0 00. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.
Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен
А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d)
=> f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.
Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А
"Е>0 $ d’ >0: 00: -d”1 при z>0, то aX aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX®1 (xОR)
Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому
"Е>0 $n0: "n>n0 1-E aX * aY = aX+Y
2) aX / aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y
4) x aX1) - монотонность. x xN aXn (n®Ґ) aXЈaX’- монотонна x-x`>q>0 => aX-X’ і aQ>1 => aX-X’№1 => aX0 $n0: "n>n0 1-E0 $k0: "n>n0 0k0 => nK>n0 => 0 (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем: eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+
Lim (1+xK)1/Xk при x®0-: yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0
2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX
3) x®xa aОR - непрерывна xa=(eLn x) a=ea*Ln x непр непр непр непр x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x
= 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.
Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xО[a,b]}. Если f не ограничена сверху на
[a,b], то m=Ґ, иначе mОR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nОN: cN aО[a,b].
Для mОR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKn®m.
Для m=+Ґ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл- тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xО[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”| |f(x’)-f(x”)| функция называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.
Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”:
|х’-х”| |f(x’)-f(x”)|іЕ>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|0 $ d>0: Wf(d)ЈЕ Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.
Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’- х”||f(x’)-f(x”)|іЕ. Возьмем d =1/к, кОN $хK, х’KО[a,b]: |хK-х’K| из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks| x = Lim x0)
Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке
(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)- f(x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишут f`(x0)=Ґ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)- f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)
Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сОR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)
Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 $ f’(x0)
Доказательство: f`(x0)=C
=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x- x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.
Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)
Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх:
Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх№0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх
- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.
Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.
Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0.
Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)№0) дифференцируемы в точке x0 и:
1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)
2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)
3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Доказательство:
1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)- f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0
2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))- f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)
D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx
®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0
=> "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)| g’(уO)=1/f’(xO)
Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.
Формула Лейбница: f(x)=u(x)*v(x) [pic]
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:
[pic]
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.
Сумма соотв. коэффициентов будет [pic]=> получаем fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic]

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть xЈb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0 f(x)=f(a)=Const для все хО(a;b).
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) f’(x)і0(f’(x)Ј0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x) f’(c)і0(f’(c)Ј 0) => f(x”)іf(x’)( f(x”)Јf(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).
Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство
Йенсена.
Определение: Множество М выпукло если " А,ВОМ [А,В]ММ
[А,В]ММ => [А,В]={А+t(В-А):tО[0,1]} => А(1-t)+tВОМ
[А,В]ММ => А,ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2і0 => l1А+l2ВОМ
Рассмотрим точки: А1,А2,...АNОМ l1,l2і0 S(i=1,n): lI = 1
Докажем что S(i=1,n): lI*АI ОМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n: а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно б) lN(1-l N)*B + l N*А N
ОМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
Определение: Функция f выпукла UPf - множество выпукло.
Условие Йенсена: АIОМ lIі0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0, f(xI)ЈyI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)ЈSlI*yI
Неравенство Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f(SlI*xI)ЈSlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”О(a;b) x’” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)і(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yіf(xO); AB: k=(f(x”)- y)/(x”-xO)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yЈf(xO)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)
“