Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Федеральное агентство по образованию РФ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

Кафедра: «Высшая математика»


РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»


Выполнила: студентка 23ЭУТ

Хасянова А.Ф.

Проверил: Матвеева С.В

Дата_______________

Оценка_____________


Омск-2010

Содержание


1. Введение. Исходные данные

2. Вариационный ряд

3. Интервальный вариационный ряд

4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х

5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона

6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме»

7. Проверка критерия Пирсона

Вывод


1. Исходные данные варианта №20


Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1.


Таблица 1

79,02 79,70 74,68 20,47 11,70 44,64 40,75 8,59 96,42 6,17
91,75 93,29 77,57 81,25 76,59 51,84 6,17 42,79 80,87 92,81
48,04 14,70 100,64 69,83 94,56 70,42 47,93 47,48 66,79 42,12
20,27 51,36 62,51 66,86 87,99 99,29 5,96 60,38 62,53 75,50
46,55 83,53 55,65 59,26 77,05 101,10 29,93 102,21 86,11 45,92
90,93 24,30 9,76 90,25 36,72 84,96 20,50 81,99 56,29 31,75
43,61 68,70 80,47 100,66 29,98 48,88 40,37 67,46 91,46 59,11
90,75 4,64 36,53 32,39 6,99 8,41 30,85 37,30 64,44 25,60
18,00 84,27 98,88 36,39 34,64 49,49 10,53 50,97 39,40 3,59
100,39 18,57 9,27 10,89 65,91 35,62 75,45 37,86 89,74 4,57

Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100.


2. Построение вариационного ряда


Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2).


Таблица 2

3,59 9,76 24,30 36,53 44,64 51,84 66,68 77,05 84,96 93,29
4,57 10,53 25,60 36,72 45,92 55,65 66,79 77,75 86,11 94,56
4,64 10,89 29,93 37,30 46,55 56,29 67,46 79,02 87,99 96,42
5,96 11,70 29,98 37,86 47,48 59,11 68,78 79,70 89,74 98,88
6,17 14,70 30,85 39,40 47,93 59,26 69,83 80,47 90,25 99,29
6,17 18,00 31,75 40,37 48,04 60,38 70,42 80,87 90,75 100,39
6,99 18,57 32,39 40,75 48,88 62,51 74,68 81,25 90,93 100,46
8,41 20,27 34,64 42,12 49,49 62,53 75,45 81,99 91,46 100,66
8,59 20,47 35,62 42,79 50,97 64,44 75,50 83,53 91,75 101,10
9,27 20,50 36,39 43,61 51,36 65,71 76,59 84,27 92,81 102,21

3. Построение интервального вариационного ряда


Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*,

т.е. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона– число (частота) попаданий значений X в i-й разряд, Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона n – объем выборки.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия:Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия.

Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 .

Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона где n – объем выборки, К– число частичных интервалов . Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона,

∆=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию ПирсонаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона10

Определяем начало первого частичного интервала Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3).


Таблица 3


Разряды

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

mi

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

1 [3.5-13.5) 14 0.14 0.014 8.5
2 [13.5-23.5) 6 0.06 0.006 18.5
3 [23.5-33.5) 7 0.07 0.007 28.5
4 [33.5-43.5) 12 0.12 0.012 38.5
5 [43.5-53.5) 12 0.12 0.012 48.5
6 [53.5-63.5) 7 0.07 0.007 58.5
7 [63.5-73.5) 8 0.08 0.008 68.5
8 [73.5-83.5) 12 0.12 0.012 78.5
9 [83.5-93.5) 13 0.13 0.013 88.5
10 [93.5-103.5) 9 0.09 0.009 98.5
Контроль

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=100

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=1



Где Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона-плотность относительной частоты

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона-середина частичных интервалов


Построение гистограммы


Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, а высоты равны отношению Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона – плотность частоты (или Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона – плотность частности).

По данным таблицы 4 строим гистограмму (рис. 1).


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона случайной величины Х. Площадь гистограммы равна единице.

Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности

По данным наблюдений статистическое среднее Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона и выборочное среднее квадратическое отклонение у* по значению почти совпадают. Учитывая данный факт, а также вид гистограммы можно предположить, что случайная величина имеет равномерное распределение.

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о равномерном законе распределения генеральной совокупности Х.


Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения


Оценками математической статистики называют приближенные значения числовых характеристик или параметров законов распределения генеральной совокупности Х вычисленные на основе выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется числом или точкой на числовой оси.

Оценка (как точечная, так и интервальная) является случайной величиной, так как она вычисляется на основе экспериментальных данных и является функцией выборки.

При вычислении точечных оценок для удобства берут не сами элементы выборки, а середины частичных интервалов из интервального вариационного ряда (табл. 1) и применяют формулы:


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


где n - объем выборки, Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона– i-й элемент выборки Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Составим таблицу для нахождения Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона и Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Таблица 4

i

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

1

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

8.5*14=119
2

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

18.5*6=111
3

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

28.5*7=199.5
4

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

38.5*12=462
5

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

48.5*12=582
6

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

58.5*7=409.5
7

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

68.5*8=548
8

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

78.5*12=942
9

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

88.5*13=1150.5
10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

98.5*9=886.5

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


6. Равномерный закон

интервальный вариационный генеральный совокупность

Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по равномерному закону

найдем функцию плотности равномерного законаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона вычислив оценки параметров Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона и Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона , Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Т.к М(x)= Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, D(x)=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию ПирсонаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию ПирсонаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Таблица 5

i

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

1

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

2

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

3

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

4

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

5

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

6

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

7

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

8

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

9

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона186


После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона


В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2.

Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле:


К =Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона или К =Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, проведем в таблице 5.


Таблица 6

i

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона/Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию ПирсонаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

1 0.14 14 0.1029 10.29

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

13.76/10.37=1.33
2 0.06 6 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
3 0.07 7 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
4 0.12 12 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
5 0.12 12 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
6 0.07 7 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
7 0.08 8 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
8 0.12 12 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
9 0.13 13 0.1 10

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

16/10=1.6
10 0.09 9 0.1149 11.49

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

6.3/11.49=0.548

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона



Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона01.86

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Чтобы найти значение Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсонанадо воспользоваться табличными распределениями Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона и вычисленному числу степеней свободы Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсонато надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона тогда число

R-это число из необъединенных интервалов

i- число неизвестных параметров

В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


1) К =Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


уровень значимости б =1–Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=0,05

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


найдем по таблице значений Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона критическое значение для б = 0,05 и Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона =9

Имеем Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=16.9. Так как Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию ПирсонаПроверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б.


2)Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона, Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

3) M(x)= Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона,

M(x)= Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

4) D(x)=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

D(x.1)= Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона


5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона; P(Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона)=Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается

Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.

Похожие работы:

  1. • Экономическое планирование методами математической статистики
  2. • Статистический анализ выборочных совокупностей
  3. • Исследование статистических характеристик ...
  4. • Критерии согласия
  5. • Методика обработки экспериментальных данных
  6. • Статистическое исследование свойств псевдослучайных ...
  7. • Прогнозирование функций по методу наименьших ...
  8. • О теории вероятностей
  9. • Проверка гипотезы о законе распределения ...
  10. • Статистическая обработка данных. Статистика денежного ...
  11. • Нормальный закон распределения
  12. • Нормальный закон распределения
  13. • Математическая статистика
  14. • Статистическая проверка гипотез
  15. • Теория статистики (Станкин)
  16. •  ... Basic для проверки гипотезы о нормальности остатков ...
  17. • Обработка информации и принятие решения в системах ...
  18. • Основные матмодели в теории надежности. Выбор числа ...
  19. • Комплексная статистическая обработка ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com