Задание на курсовую работу

Построить вариационный ряд

Рассчитать числовые характеристики статистического ряда:

а) Размах варьирования.

б) Среднее арифметическое значение.

в) Оценки дисперсии.

г) Оценки среднеквадратического отклонения.

д) Мода.

е) Медиана.

ж) Коэффициент вариации.

Построить полигон и гистограмму относительных частот.

Построить эмпирическую функцию распределения.

Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова.

Вычислить асимметрию и эксцесс.

Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%.

Выводы.

Данные по выборке вариант 34

-678	-752	-624	-727	-612	-632	-704	-697	-627	-727
-561	-748	-686	-676	-676	-696	-717	-694	-700	-707
-680	-681	-687	-656	-692	-644	-805	-758	-695	-722
-706	-704	-681	-608	-647	-699	-658	-686	-689	-643
-701	-716	-731	-623	-693	-703	-731	-700	-765	-697
-662	-705	-667	-677	-701	-678	-667	-673	-697	-701
-597	-716	-689	-694	-695	-729	-700	-717	-647	-673
-690	-578	-703	-688	-666	-670	-671	-693	-688	-646
-667	-689	-711	-731	-604	-691	-675	-686	-670	-703
-696	-702	-660	-662	-681	-666	-677	-645	-746	-685

1. Построение вариационного ранжированного ряда

Сортируем экспериментальные данные по возрастанию. Получаем вариационный ряд.

Таблица 1

-805	-727	-705	-700	-695	-689	-681	-673	-662	-632
-765	-727	-704	-700	-694	-688	-680	-671	-660	-627
-758	-722	-704	-700	-694	-688	-678	-670	-658	-624
-752	-717	-703	-699	-693	-687	-678	-670	-656	-623
-748	-717	-703	-697	-693	-686	-677	-667	-647	-612
-746	-716	-703	-697	-692	-686	-677	-667	-647	-608
-731	-716	-702	-697	-691	-686	-676	-667	-646	-604
-731	-711	-701	-696	-690	-685	-676	-666	-645	-597
-731	-707	-701	-696	-689	-681	-675	-666	-644	-578
-729	-706	-701	-695	-689	-681	-673	-662	-643	-561

Вывод: Вариационный ряд послужит нам для облегчения дальнейших расчетов, и для определения относительных частот и разделения на интервалы и расчета ряда числовых характеристик.

2. Расчет числовых характеристик статистического ряда

2.1 Размах варьирования

Размах варьирования вычисляется по формуле:

(2.1)

где R – размах варьирования;

xmax – максимальный элемент вариационного ряда;

xmin – минимальный элемент вариационного ряда;

xmax= – 561

xmin = -805

R = -561+805=244

2.2 Среднеарифметическое значение статистического ряда

(2.2)

где ni – частота варианты xi;

xi – варианта выборки;

n = ∑ ni – объем выборки;

Распределение выборки представлено в таблице 2.

Таблица 2

Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n	Xi	n
-805	1	-717	2	-700	3	-689	3	-675	1	-647	2	-608	1
-765	1	-716	2	-699	1	-688	2	-673	2	-646	1	-604	1
-758	1	-711	1	-697	3	-687	1	-671	1	-645	1	-597	1
-752	1	-707	1	-696	2	-686	3	-670	2	-644	1	-578	1
-748	1	-706	1	-695	2	-685	1	-667	3	-643	1	-561	1
-746	1	-705	1	-694	2	-681	3	-666	2	-632	1
-731	3	-704	2	-693	2	-680	1	-662	2	-627	1
-729	1	-703	3	-692	1	-678	2	-660	1	-624	1
-727	2	-702	1	-691	1	-677	2	-658	1	-623	1
-722	1	-701	3	-690	1	-676	2	-656	1	-612	1

2.3 Оценка дисперсии

(2.3)

где s2 – несмещенная оценка генеральной дисперсии;

2.4 Оценка среднего квадратического отклонения

(2.4)

2.5 Определение моды

Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.

Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n=3 имеют варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667.

2.6 Определение медианы

Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:

МВ=(xk+xk+1)/2 (2.5.)

где xk – пятидесятый член вариационного ряда;

xk+1 – пятьдесят первый член вариационного ряда;

n – Количество вариант и n=2*k

МВ=(xk+xk+1)/2=(-689–689)/2= -689

2.7 Расчет коэффициента вариации

Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:

(2.6)

Вывод:

Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.

3. Построение полигона и гистограммы относительных частот

Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер интервала I	Частичный интервал xi–xx+1		Сумма относительных частот wi	Плотность частот
	xi	xx+1
1	-805	-780,6	0,01	0,00041
2	-780,6	-756,2	0,02	0,00082
3	-756,2	-731,8	0,03	0,00123
4	-731,8	-707,4	0,12	0,00492
5	-707,4	-683	0,4	0,01639
6	-683	-658,6	0,24	0,00984
7	-658,6	-634,2	0,08	0,00328
8	-634,2	-609,8	0,05	0,00205
9	-609,8	-585,4	0,03	0,00123
10	-585,4	-561	0,02	0,00082

По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).

Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.

Рис 1.

Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.

4. Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:

(4.1)

где nx – число вариант меньших х;

n – объем выборки.

По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.

Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:

F(x)	Интервал
0		X<	-792,8
0,01	-792,8	<x<	-768,4
0,02	-768,4	<x<	-744
0,03	-744	<x<	-719,6
0,05	-719,6	<x<	-695,2
0,08	-695,2	<x<	-670,8
0,12	-670,8	<x<	-646,4
0,19	-646,4	<x<	-622
0,27	-622	<x<	-597,6
0,41	-597,6	<x<	-573,2
0,67	-573,2	<x<	-548,8
1		x>	-548,8

Вывод:

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности

5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова

Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.

В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

– Среднее арифметическое значение

– Количество вариантов

– Шаг интервалов

– Оценка среднеквадратического отклонения.

Вычислим данные по таблице:

I	ni	Xi	X (i+1)	Zi	Z (I+1)
1	1	-805	-780,6		-2,7340	-0,5	-0,469	3,1	1,4226	0,3226
2	1	-780,6	-756,2	-2,7340	-2,1140	-0,469	-0,408	6,1	4,2639	0,1639
3	4	-756,2	-731,8	-2,1140	-1,4941	-0,408	-0,285	12,3	5,6008	1,3008
4	7	-731,8	-707,4	-1,4941	-0,8741	-0,285	-0,099	18,6	7,2344	2,6344
5	26	-707,4	-683	-0,8741	-0,2542	-0,099	0,1141	21,31	1,0322	31,7222
6	33	-683	-658,6	-0,2542	0,3658	0,1141	0,2939	17,98	12,5473	60,5673
7	14	-658,6	-634,2	0,3658	0,9857	0,2939	0,4131	11,92	0,3630	16,4430
8	8	-634,2	-609,8	0,9857	1,6057	0,4131	0,4713	5,82	0,8166	10,9966
9	3	-609,8	-585,4	1,6057	2,2256	0,4713	0,4927	2,14	0,3456	4,2056
10	3	-585,4	-561	2,2256		0,4927	0,5	0,73	7,0588	12,3288
СУММА	100							100	40,6851	140,6851

X2набл=40,685

Контроль: 140,685–100=40,685

Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством.

Уровень значимости = 0,05;

По таблице критических точек распределения χІ (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χІкр (0,05; 7) = 14,1.

Вывод: Так как X2набл> X2кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.

6. Расчет асимметрии и эксцесса

Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

, где

Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.

, где

Значение ХВ, s вычисляем по формулам:

,

где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).

,

где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);

(условный момент второго порядка);

(условный момент первого порядка);

(условная варианта).

Расчеты занесем в таблицу 7:

Xi	Ni	Ui	XB	M1	M2	s	m3	m4	AS	EK
-805	1	-2,73	-684,67	0,30	1,06	23,97	3433,28	4193007,72	0,25	12,71
-780,6	1	-2,11
-756,2	4	-1,49
-731,8	7	-0,87
-707,4	26	-0,25
-683	33	0,37
-658,6	14	0,99
-634,2	8	1,61
-609,8	3	2,23
-585,4	3	2,85

Вывод:

Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.

Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.

7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как:

(7.1)

где n – объем выборки;

tg – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.

s – исправленное среднее квадратическое отклонение;

– выборочное среднее;

Найдем интервал:

по приложению 1 находим tg = 1.984 при g = 0.95 и n = 100;

=-684,67; s = 38,19;

Получаем

-692,25<a<-677.09

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

(с надежностью g) находят как:

при q<1 (7.2)

при q>1 (7.3)

где q находят по приложению 2, по заданным n и g;

Исходя из приложения 2, n = 100 и g = 0.95 находим q=0.143;

Поэтому интервал находим по формуле (7.2):

32.73 < < 43.65

Вывод:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25<a<-677.09, а неизвестное среднее квадратическое отклонение ‘’ находиться в доверительном интервале 32.73 < < 43.65.

Вывод

Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.

Я нашла:

размах варьирования R=244;

среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67;

несмещенную оценку генеральной дисперсии s2=1458,99;

среднее квадратическое отклонение s=38,19;

медиану МВ=-689 и коэффициент вариации V= 5,58%.

С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале

-692,25< а < -677,09

и среднее квадратическое отклонение в интервале

32,73 < < 43,65

Выборка имеет варианты x = -731, x = -703, x = -701, x = -700, x = -697, x = -689, x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.

На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.

Асимметрия as=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.

Эксцесс ek=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.

Список литературы

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2001.