Министерство образования и науки Украины

Пояснительная записка

к курсовой работе

по дисциплине Статистика

Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Реферат

Объектом исследования данной работы является комплексный анализ сгенерированных выборок случайных величин и подбор их закона распределения.

Целью работы является изучение методов и приемов анализа статистической информации, получение навыков и опыта работы в пакете STATISTICA.

В данной работе применялись широко используемые статистические методы обработки и анализа данных.

Результатом работы является освоение методов обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве наглядного пособия по обработке статистических данных для различных учебных целей и задач.

Задание на курсовой проект

По специально сгенерированному имитатору получить последовательности случайных чисел двух типов:

а) ,

где – номер варианта,

- номер измерения случайной величины,

– случайное число, возвращаемое при обращении к стандартной функции выбранного языка программирования – датчику случайных чисел.

б) .

Для исследований предусмотреть следующие объёмы измерений для каждой из случайных величин: 100, 200, …, 1000 (объёмы выборок).

Произвести статистический анализ каждой из полученных выборок для двух случайных величин в следующей последовательности:

а) найти размах варьирования;

б) определить целесообразное количество групп по формуле Стерджесса, построить группировку и интервальный ряд;

в) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, кумуляты и эмпирической функции распределения;

г) вычислить и проанализировать точечные оценки и для простого и интервального рядов; построить и проанализировать зависимость величины точечной оценки от объема выборки и от номера эксперимента (10 выборок для объема выборки 1000);

д) построить доверительные интервалы для и , используя различные значения доверительной вероятности (0,9; 0,95; 0,975; 0,995; 0,999) и проанализировать зависимость длины доверительного интервала от объёма выборки и от величины доверительной вероятности;

е) вычислить и проанализировать медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс, моду; проанализировать зависимости числовых характеристик от объема выборки;

ж) оценить однородность каждой из выборок, используя:

1) коэффициент вариации;

2) метод -статистик Ирвина.

з) определить, близки ли к нормальному распределению полученные эмпирические распределения на основе:

1) анализа числовых характеристик положения и вариации;

2) на основе критерия согласия Пирсона;

и) по виду гистограмм выдвинуть гипотезу о предполагаемых законах распределений исследуемых случайных величин, определить оценки параметров предполагаемых распределений (метод моментов и максимального правдоподобия) и проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона.

Введение

С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне – при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.

Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике.

Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.

С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.

1. Генерация исходных данных

В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам:

1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;

(1.1)

2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.

(1.2)

где , - значения случайной величины X и У в различных опытах;

- случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел; Для генерации исходных данных были использованы следующие методы:

1) Для случайной величины в окне Variable в поле Long Name была введена формула 1.3:

(1.3)

2) Для случайной величины был создан программный имитатор в модуле STATISTICA BASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICA BASIC приведена в приложении А.

В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.

2. Первичная обработка результатов наблюдения

2.1 Построение вариационного ряда

Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.

Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Frequency tables → кнопка Variables для выбора переменной → отметили All distinct values → ОК.

Размах варьирования – абсолютная величина разности между максимальным и минимальным значениями (вариантами) изучаемого признака:

(2.1)

Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Descriptive statistics → Variables (выбрать переменную) → нажали Box & whisker plot for all variables → выбрали Median / Quart. / Range → ОК.

Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Размах варьирования для заданных выборок

Выборка
100	25,201	6,993	18,209	28,805	2,429	26,376
500	25,110	6,984	18,126	33,695	0,196	33,499
1000	25,237	6,711	18,466	33,962	-1,574	35,536

Случайная величина имеет меньший размах, чем случайная величина .

2.2 Группировка статистических данных

Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2):

, (2.2)

где – количество групп;

– объем выборки.

После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3):

,

где – число групп интервалов,

– размах выборки .

Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок:

При : .

При : .

При :.

При :.

При : .

При :.

При :.

При :.

При : .

При : .

Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

а) Analysis→Frequency tables→Variables(выбрали переменную);

б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;

в) установили флажки в Display options:

Cumulative frequencies – накопленные частоты;

Percentages - частости;

Cumulative percentages – накопленные частости.

Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.

Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул. частота	Процент	Кумул. процент
5,475289<x<=8,510050	8	8	8,00000	8,0000
8,510050<x<=11,54481	15	23	15,00000	23,0000
11,54481<x<=14,57957	16	39	16,00000	39,0000
14,57957<x<=17,61433	18	57	18,00000	57,0000
17,61433<x<=20,64909	20	77	20,00000	77,0000
20,64909<x<=23,68385	13	90	13,00000	90,0000
23,68385<x<=26,71862	10	100	10,00000	100,0000

Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул. частота	Процент	Кумул. процент
5,850935<x<=8,116734	25	25	5,00000	5,0000
8,116734<x<=10,38253	62	87	12,40000	17,4000
10,38253<x<=12,64833	64	151	12,80000	30,2000
12,64833<x<=14,91413	55	206	11,00000	41,2000
14,91413<x<=17,17993	70	276	14,00000	55,2000
17,17993<x<=19,44573	64	340	12,80000	68,0000
19,44573<x<=21,71153	74	414	14,80000	82,8000
21,71153<x<=23,97733	59	473	11,80000	94,6000
23,97733<x<=26,24313	27	500	5,40000	100,0000

Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул. частота	Процент	Кумул. процент
5,745344<x<=7,797069	50	50	5,00000	5,0000
7,797069<x<=9,848795	106	156	10,60000	15,6000
9,848795<x<=11,90052	134	290	13,40000	29,0000
11,90052<x<=13,95225	88	378	8,80000	37,8000
13,95225<x<=16,00397	117	495	11,70000	49,5000
16,00397<x<=18,05570	121	616	12,10000	61,6000
18,05570<x<=20,10742	107	723	10,70000	72,3000
20,10742<x<=22,15915	117	840	11,70000	84,0000
22,15915<x<=24,21087	111	951	11,10000	95,1000
24,21087<x<=26,26260	49	1000	4,90000	100,0000

Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
0,231076<x<=4,627075	1	1	1,00000	1,0000
4,627075<x<=9,023072	6	7	6,00000	7,0000
9,023072<x<=13,41907	20	27	20,00000	27,0000
13,41907<x<=17,81507	31	58	31,00000	58,0000
17,81507<x<=22,21107	22	80	22,00000	80,0000
22,21107<x<=26,60706	17	97	17,00000	97,0000
26,60706<x<=31,00306	3	100	3,00000	100,0000

Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-1,89766<x<=2,289667	2	2	0,40000	0,4000
2,289667<x<=6,476997	21	23	4,20000	4,6000
6,476997<x<=10,66433	59	82	11,80000	16,4000
10,66433<x<=14,85166	125	207	25,00000	41,4000
14,85166<x<=19,03899	147	354	29,40000	70,8000
19,03899<x<=23,22632	99	453	19,80000	90,6000
23,22632<x<=27,41365	39	492	7,80000	98,4000
27,41365<x<=31,60098	7	499	1,40000	99,8000

Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ при

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-3,54794<x<=0,400491	5	5	0,50000	0,5000
0,400491<x<=4,348925	9	14	0,90000	1,4000
4,348925<x<=8,297359	61	75	6,10000	7,5000
8,297359<x<=12,24579	177	252	17,70000	25,2000
12,24579<x<=16,19423	279	531	27,90000	53,1000
16,19423<x<=20,14266	267	798	26,70000	79,8000
20,14266<x<=24,09110	154	952	15,40000	95,2000
24,09110<x<=28,03953	38	990	3,80000	99,0000
28,03953<x<=31,98797	8	998	0,80000	99,8000
31,98797<x<=35,93640	2	1000	0,20000	100,0000

2.3 Графическое изображение рядов распределения

Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar ).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar

2.4 Точечные оценки средних показателей

Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):

где – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).

Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):

где – середина -го интервала;

– статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка	Математическое ожидание		Дисперсия
	Простой ряд	Интервальный ряд	Простой ряд	Интервальный ряд
()	16,254	16,279	27,849	28,517
()	16,189	16,174	26,259	26,598
()	15,950	16,006	27,608	28,330
()	16,668	16,936	31,125	31,113
()	15,989	16,007	30,406	31,242
()	15,792	15,740	27,059	28,636

Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.

Рисунок 2.25 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.26 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.27 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.28 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.29 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.30 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.31 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.32 - Зависимость от номера эксперимента по

В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины и случайной величины .

Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для и

Выборка
1	15,792	27,832	15,754	27,421
2	16,193	29,501	16,283	29,650
3	16,076	29,006	15,900	28,716
4	16,052	28,884	16,096	26,124
5	15,968	28,508	15,947	30,983
6	16,212	28,710	16,163	29,956
7	16,215	28,747	16,030	30,011
8	15,945	27,243	16,428	29,069
9	16,080	28,103	16,054	28,265
10	15,853	28,369	15,980	28,913

2.5 Доверительные интервалы

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):

где – математическое ожидание генеральной совокупности;

- доверительная вероятность;

- оценка математического ожидания;

- величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):

где - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).

- оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).

Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).

,

где – дисперсия генеральной совокупности;

– оценка дисперсии.

– квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:

Для равномерного:

Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,378	17,130
	15,207	17,301
	15,053	17,455
	14,739	17,769
	14,481	18,027

-грубый метод

Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,376	17,132
	15,207	17,301
	15,058	17,450
	14,753	17,755
	14,508	18,000

-точный метод

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,811	16,566
	15,738	16,639
	15,673	16,704
	15,542	16,835
	15,408	16,940

-грубый метод

Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,795	16,553
	15,722	16,626
	15,657	16,691
	15,526	16,822
	15,420	16,928

-точный метод

Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,677	16,224
	15,624	16,276
	15,577	16,323
	15,483	16,418
	15,447	16,565

-грубый метод

Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,729	16,283
	15,676	16,336
	15,629	16,383
	15,533	16,479
	15,456	16,556

-точный метод

Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,742	17,595
	15,561	17,775
	15,399	17,938
	15,066	18,270
	15,084	18,788

-грубый метод

Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ ,

	16,018	17,854
	15,843	18,029
	15,687	18,185
	15,369	18,503
	15,112	18,760

-точный метод

Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,583	16,396
	15,505	16,474
	15,435	16,544
	15,294	16,685
	15,177	16,837

-грубый метод

Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,596	16,418
	15,517	16,497
	15,447	16,567
	15,305	16,709
	15,190	16,824

-точный метод

Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,521	16,063
	15,469	16,115
	15,423	16,161
	15,329	16,255
	15,178	16,302

-грубый метод

Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,462	16,018
	15,408	16,072
	15,361	16,119
	15,264	16,216
	15,187	16,293

Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов

	Длина интервала
()	1,752	2,094	2,402	3,03	3,546
()	0,755	0,901	1,031	1,293	1,532
()	0,547	0,652	0,746	0,935	1,118
()	1,853	2,214	2,539	3,204	3,704
()	0,813	0,969	1,109	1,391	1,66
()	0,542	0,646	0,738	0,926	1,124

В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ ,

	25,059	32,793
	24,452	33,693
	23,926	34,524
	22,914	36,280
	22,095	37,873

-грубый метод

Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,084	30,950
	25,619	31,415
	25,205	31,829
	24,362	32,672
	23,681	33,353

-точный метод

Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ ,

	23,373	30,586
	22,807	31,426
	22,316	32,201
	21,372	33,838
	20,608	35,324

-грубый метод

Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ ,

	24,329	28,867
	23,895	29,301
	23,508	29,688
	22,722	30,474
	22,088	31,108

-точный метод

Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ ,

	22,258	29,128
	21,719	29,928
	21,252	30,666
	20,354	32,225
	19,626	33,640

-грубый метод

Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ ,

	23,169	27,491
	22,756	27,904
	22,388	28,272
	21,639	29,021
	21,035	29,625

-точный метод

Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ ,

	27,340	35,779
	26,678	36,761
	26,104	37,667
	25,000	39,582
	24,106	41,321

-грубый метод

Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ ,

	28,459	33,767
	27,951	34,275
	27,499	34,727
	26,579	35,647
	25,837	36,389

-точный метод

Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,575	34,777
	25,931	35,732
	25,374	36,613
	24,301	38,474
	23,431	40,164

-грубый метод

Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ ,

	27,662	32,822
	27,168	33,316
	26,729	33,755
	25,835	34,649
	25,114	35,370

-точный метод

Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ ,

	25,163	32,930
	24,554	33,834
	24,026	34,668
	23,010	36,431
	22,187	38,031

-грубый метод

Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,193	31,079
	25,726	31,546
	25,310	31,962
	24,463	32,809
	23,780	33,492

В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.

Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов

	Величина интервала
()	7,734	9,241	10,598	13,366	15,778
()	7,213	8,619	9,885	12,466	14,716
()	4,322	5,148	5,884	7,382	8,590
()	8,439	10,083	11,563	14,582	17,215
()	8,202	9,801	11,239	14,173	16,733
()	7,767	9,280	10,642	13,421	15,844

Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]

2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)

Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):

(2.13)

где – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

– величина интервала группировки;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.

При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером .

При четном n медиана есть полусумма значений с номерами и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):

где – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина интервала группировки;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):

На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):

С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов);

б) нажать кнопку More statistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

Mean – выборочное среднее;

Median – медиана;

Standard Deviation – стандартное отклонение среднего значения;

Variance – выборочная дисперсия;

Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.

Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка	Медиана	Коэф. ассиметрии	Эксцесс	Коэф. вариации
()	16,587	-0,009	-1,017	0,326
()	16,501	-0,058	-1,160	0,317
()	16,119	0,007	-1,192	0,329
()	16,531	-0,086	-0,449	0,335
()	16,013	-0,022	-0,138	0,345
()	15,795	-0,080	0,170	0,329

Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

Случайная величина имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.

2.7 Оценка однородности выборки

Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины при равном 100, 500, 1000 и при n равном 1000.

Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).

где – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

– значение ряда;

– предыдущее значение ряда;

– среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

Произведя соответствующие расчёты в Microsoft Excel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин и – однородны.

2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения

2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.

Таблица 2.37 – Анализ числовых характеристик положения и вариации

равномерный закон (СВ )					нормальный закон (СВ )
выборка					выборка
100	16,254	16,587	-0,009	-1,017	100	16,668	16,531	-0,449
200	16,369	15,840	0,034	-1,264	200	15,688	15,703	0,712
300	16,355	16,335	-0,092	-1,270	300	15,696	15,655	0,472
400	15,658	15,581	0,056	-1,254	400	16,770	16,954	-0,196
500	16,189	16,501	-0,058	-1,160	500	15,989	16,013	-0,138
600	16,048	15,897	-0,022	-1,158	600	16,049	16,008	-0,077
700	15,964	15,956	-0,017	-1,159	700	16,319	16,576	-0,128
800	15,867	15,649	0,072	-1,218	800	15,990	16,082	0,172
900	16,132	16,028	-0,022	-1,243	900	15,885	15,749	-0,092
1000	15,950	16,119	0,007	-1,192	1000	15,792	15,795	0,170

Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины и имеют практически равное значение. Для выборки значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины нормальному распределению, а случайной величины равномерному.

2.9 Определение закона распределения случайных величин

2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы

По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.

2.9.2 Определение оценок параметров распределений

Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).

где – теоретический начальный момент -того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24):

.

– статистическая оценка соответствующего теоретического момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.25):

.

– теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):

.

– статистическая оценка теоретического центрального момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.27):

.

Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального – одно.

Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):

Из системы 2.28 нужно найти параметры и .

В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.

Таблица 2.38 – Значения параметров и

	(метод моментов)	(метод максимального правдоподобия)	∆	(метод моментов)	(метод максимального правдоподобия)	∆
	6,993	6,996	0,003	25,201	25,542	0,341
	6,984	7,313	0,329	25,110	25,065	0,045
	6,711	6,849	0,138	25,237	25,051	0,186

Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина распределена по равномерному закону.

Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):

где – выборка,

– вектор параметров.

Необходимо найти такие значения вектора , чтобы функция достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции , равной логарифму натуральному от :

.

Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.

Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)

где и – параметры распределения.

Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):

Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина действительно распределена равномерно.

2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.

: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

В качестве меры расхождения для критерия выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения вычисляется по формуле (2.20)

где – частота попадания в i-тый интервал;

– объем выборки;

– теоретическая вероятность попадания i-тый интервал:

.

Общая схема применения критерия :

Определение меры расхождения по формуле 2.20;

Задание уровня значимости ;

Определение числа степеней свободы по формуле 2.22.

, (2.22)

где – количество интервалов в интервальном ряду;

– число налагаемых связей, равное числу параметров

предполагаемого закона распределения

4. Область принятия основной гипотезы:

.

Выполнение в пакете STATISTICA.

В модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting. В поле Continuous Distributions представлены непрерывные распределения, а в поле Discrete Distributions - дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью) ® Variable (выбрать переменную) ® в поле Plot distribution выбираем Frequency distribution (частоты распределения) ® в поле Kolmogorov-Smirnov test ставим No → установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии → Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46

Таблица 2.39 – Значения и χ2крит для случайных величин и

Выборка				Гипотеза
()	4	9,49	7,53	Принимается
()	4	9,49	11,815	Отвергается
()	5	11,1	11,95	Отвергается
()	5	11,1	25,54	Отвергается
()	6	12,59	45,51	Отвергается
()	6	12,59	39,83	Отвергается
()	6	12,59	48,77	Отвергается
()	7	14,1	40,81	Отвергается
()	7	14,1	49,97	Отвергается
()	7	14,1	76,75	Отвергается
()	4	9,49	2,04	Принимается
()	4	9,49	2,12	Принимается
()	5	11,1	2,78	Принимается
()	5	11,1	2,99	Принимается.
()	6	12,59	3,15	Принимается
()	6	12,59	4,61	Принимается
()	6	12,59	5,07	Принимается
()	7	14,1	5,86	Принимается
()	7	14,1	6,32	Принимается
()	7	14,1	7,16	Принимается

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина распределена по нормальному закону, а случайная величина не распределена по нормальному закону.

Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина распределена по равномерному закону, а случайная величина – по нормальному.

Заключение

В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICА.

В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, её однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона.

Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.

Перечень ссылок

случайный величина интервальный выборка

Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 365 с.: ил.

Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 509 с.

Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 397 с.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Unity, 2000. – 544 с.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. - СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

Приложение А

Генерация исходных данных СВ в пакете STATISTICA

Dim ADS As Spreadsheet

Dim STBReport As Report

Dim SUM As Double

Dim LOOP_CASE As Double

Dim I As Double

Sub Main

Set ADS = ActiveDataSet

Set STBReport = Reports.New

For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)

For I = 1 To n

SUM = 0

For L = 1 To 300

SUM = SUM + Uniform(1)

Next L

ADS.Value (LOOP_CASE, 1) = N * ((1 / 15) * SUM - 9)

Next I

NEXT_CASE:

Next LOOP_CASE

End Sub

Приложение Б

Интервальные ряды для СВ и

Таблица Д.1 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,289175<x<=8,355050	14,000	14,000	7,000	7,000
8,355050<x<=11,42093	34,000	48,000	17,000	24,000
11,42093<x<=14,48680	33,000	81,000	16,500	40,500
14,48680<x<=17,55268	33,000	114,000	16,500	57,000
17,55268<x<=20,61855	29,000	143,000	14,500	71,500
20,61855<x<=23,68443	23,000	166,000	11,500	83,000
23,68443<x<=26,75030	34,000	200,000	17,000	100,000

Таблица Д.2 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,502861<x<=8,114160	25,000	25,000	8,333	8,333
8,114160<x<=10,72546	37,000	62,000	12,333	20,667
10,72546<x<=13,33676	40,000	102,000	13,333	34,000
13,33676<x<=15,94806	39,000	141,000	13,000	47,000
15,94806<x<=18,55936	39,000	180,000	13,000	60,000
18,55936<x<=21,17066	41,000	221,000	13,667	73,667
21,17066<x<=23,78195	51,000	272,000	17,000	90,667
23,78195<x<=26,39325	28,000	300,000	9,333	100,000

Таблица Д.3 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,555859<x<=8,176674	33,000	33,000	8,250	8,250
8,176674<x<=10,79749	69,000	102,000	17,250	25,500
10,79749<x<=13,41830	54,000	156,000	13,500	39,000
13,41830<x<=16,03912	54,000	210,000	13,500	52,500
16,03912<x<=18,65993	51,000	261,000	12,750	65,250
18,65993<x<=21,28075	58,000	319,000	14,500	79,750
21,28075<x<=23,90156	54,000	373,000	13,500	93,250
23,90156<x<=26,52238	27,000	400,000	6,750	100,000

Таблица Д.4 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,616825<x<=7,918099	42,000	42,000	7,000	7,000
7,918099<x<=10,21937	60,000	102,000	10,000	17,000
10,21937<x<=12,52065	79,000	181,000	13,167	30,167
12,52065<x<=14,82192	78,000	259,000	13,000	43,167
14,82192<x<=17,12319	75,000	334,000	12,500	55,667
17,12319<x<=19,42447	69,000	403,000	11,500	67,167
19,42447<x<=21,72574	92,000	495,000	15,333	82,500
21,72574<x<=24,02701	70,000	565,000	11,667	94,167
24,02701<x<=26,32829	35,000	600,000	5,833	100,000

Таблица Д.5 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,638499<x<=7,943963	48,000	48,000	6,857	6,857
7,943963<x<=10,24943	80,000	128,000	11,429	18,286
10,24943<x<=12,55489	80,000	208,000	11,429	29,714
12,55489<x<=14,86035	100,000	308,000	14,286	44,000
14,86035<x<=17,16582	91,000	399,000	13,000	57,000
17,16582<x<=19,47128	83,000	482,000	11,857	68,857
19,47128<x<=21,77675	94,000	576,000	13,429	82,286
21,77675<x<=24,08221	89,000	665,000	12,714	95,000
24,08221<x<=26,38767	35,000	700,000	5,000	100,000

Таблица Д.6 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,746050<x<=7,794074	50,000	50,000	6,250	6,250
7,794074<x<=9,842099	87,000	137,000	10,875	17,125
9,842099<x<=11,89012	88,000	225,000	11,000	28,125
11,89012<x<=13,93815	110,000	335,000	13,750	41,875
13,93815<x<=15,98617	77,000	412,000	9,625	51,500
15,98617<x<=18,03420	84,000	496,000	10,500	62,000
18,03420<x<=20,08222	83,000	579,000	10,375	72,375
20,08222<x<=22,13025	77,000	656,000	9,625	82,000
22,13025<x<=24,17827	96,000	752,000	12,000	94,000
24,17827<x<=26,22630	48,000	800,000	6,000	100,000

Таблица Д.7 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
5,747041<x<=7,795948	46,000	46,000	5,111	5,111
7,795948<x<=9,844855	118,000	164,000	13,111	18,222
9,844855<x<=11,89376	93,000	257,000	10,333	28,556
11,89376<x<=13,94267	84,000	341,000	9,333	37,889
13,94267<x<=15,99158	107,000	448,000	11,889	49,778
15,99158<x<=18,04048	85,000	533,000	9,444	59,222
18,04048<x<=20,08939	108,000	641,000	12,000	71,222
20,08939<x<=22,13830	88,000	729,000	9,778	81,000
22,13830<x<=24,18720	108,000	837,000	12,000	93,000
24,18720<x<=26,23611	63,000	900,000	7,000	100,000

Таблица Д.8 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-3,85839<x<=1,661475	2,000	2,000	1,000	1,000
1,661475<x<=7,181336	7,000	9,000	3,500	4,500
7,181336<x<=12,70120	47,000	56,000	23,500	28,000
12,70120<x<=18,22106	79,000	135,000	39,500	67,500
18,22106<x<=23,74092	54,000	189,000	27,000	94,500
23,74092<x<=29,26078	8,000	197,000	4,000	98,500
29,26078<x<=34,78064	3,000	200,000	1,500	100,000

Таблица Д.9 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-3,50252<x<=1,766314	2,000	2,000	0,667	0,667
1,766314<x<=7,035144	13,000	15,000	4,333	5,000
7,035144<x<=12,30397	63,000	78,000	21,000	26,000
12,30397<x<=17,57280	106,000	184,000	35,333	61,333
17,57280<x<=22,84163	91,000	275,000	30,333	91,667
22,84163<x<=28,11046	21,000	296,000	7,000	98,667
28,11046<x<=33,37929	3,000	299,000	1,000	99,667
33,37929<x<=38,64812	1,000	300,000	0,333	100,000

Таблица Д.10 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
1,299935<x<=5,325310	5,000	5,000	1,250	1,250
5,325310<x<=9,350685	31,000	36,000	7,750	9,000
9,350685<x<=13,37606	63,000	99,000	15,750	24,750
13,37606<x<=17,40143	117,000	216,000	29,250	54,000
17,40143<x<=21,42681	109,000	325,000	27,250	81,250
21,42681<x<=25,45218	55,000	380,000	13,750	95,000
25,45218<x<=29,47756	16,000	396,000	4,000	99,000
29,47756<x<=33,50293	4,000	400,000	1,000	100,000

Таблица Д.11 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-1,98797<x<=1,772650	1,000	1,000	0,167	0,167
1,772650<x<=5,533271	12,000	13,000	2,000	2,167
5,533271<x<=9,293892	54,000	67,000	9,000	11,167
9,293892<x<=13,05451	100,000	167,000	16,667	27,833
13,05451<x<=16,81513	166,000	333,000	27,667	55,500
16,81513<x<=20,57576	154,000	487,000	25,667	81,167
20,57576<x<=24,33638	88,000	575,000	14,667	95,833
24,33638<x<=28,09700	17,000	592,000	2,833	98,667
28,09700<x<=31,85762	8,000	600,000	1,333	100,000

Таблица Д.12 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-2,68355<x<=1,245110	2,000	2,000	0,286	0,286
1,245110<x<=5,173768	10,000	12,000	1,429	1,714
5,173768<x<=9,102425	41,000	53,000	5,857	7,571
9,102425<x<=13,03108	149,000	202,000	21,286	28,857
13,03108<x<=16,95974	180,000	382,000	25,714	54,571
16,95974<x<=20,88840	178,000	560,000	25,429	80,000
20,88840<x<=24,81705	102,000	662,000	14,571	94,571
24,81705<x<=28,74571	31,000	693,000	4,429	99,000
28,74571<x<=32,67437	7,000	700,000	1,000	100,000

Таблица Д.13 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-1,52038<x<=2,421483	4,000	4,000	0,500	0,500
2,421483<x<=6,363342	37,000	41,000	4,625	5,125
6,363342<x<=10,30520	69,000	110,000	8,625	13,750
10,30520<x<=14,24706	185,000	295,000	23,125	36,875
14,24706<x<=18,18892	231,000	526,000	28,875	65,750
18,18892<x<=22,13078	175,000	701,000	21,875	87,625
22,13078<x<=26,07264	75,000	776,000	9,375	97,000
26,07264<x<=30,01449	20,000	796,000	2,500	99,500
30,01449<x<=33,95635	3,000	799,000	0,375	99,875
33,95635<x<=37,89821	1,000	800,000	0,125	100,000

Таблица Д.14 - Интервальный ряд СВ ,

	Частота	Кумул.	Процент	Кумул.
-1,06170<x<=2,578305	3,000	3,000	0,333	0,333
2,578305<x<=6,218309	36,000	39,000	4,000	4,333
6,218309<x<=9,858313	71,000	110,000	7,889	12,222
9,858313<x<=13,49832	171,000	281,000	19,000	31,222
13,49832<x<=17,13832	277,000	558,000	30,778	62,000
17,13832<x<=20,77832	176,000	734,000	19,556	81,556
20,77832<x<=24,41833	110,000	844,000	12,222	93,778
24,41833<x<=28,05833	47,000	891,000	5,222	99,000
28,05833<x<=31,69833	7,000	898,000	0,778	99,778
31,69833<x<=35,33834	2,000	900,000	0,222	100,000