Рефетека.ру / Информатика и програм-ие

Контрольная работа: Чисельне розв’язання задач оптимального керування

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ оптимального керування


1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності


Розглянемо неперервну задачу оптимального керування


Чисельне розв’язання задач оптимального керування,(1)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,(2)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (3)


Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок Чисельне розв’язання задач оптимального керування точками Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (4)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування , (5)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування (6)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (7)


Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,(8)


де Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки Чисельне розв’язання задач оптимального керування і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.

Якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування – локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, що матимуть місце наступні умови:


1. Чисельне розв’язання задач оптимального керування або

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (10)

2. Чисельне розв’язання задач оптимального керування або

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (11)


Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних Чисельне розв’язання задач оптимального керування, а з (10) – співвідношення для Чисельне розв’язання задач оптимального керування:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (12)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування . (13)


Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,


Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


Якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування, то з останнього співвідношення одержимо

Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


Зі співвідношення (13) випливає, що Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування неперервно-диференційовані за змінними Чисельне розв’язання задач оптимального керування і опуклі за Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Тоді для локально-оптимального процесу Чисельне розв’язання задач оптимального керування існують такі множники Лагранжа Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умови стаціонарності в точці Чисельне розв’язання задач оптимального керування:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

2) Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (14)


Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування


Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного Чисельне розв’язання задач оптимального керування:

Чисельне розв’язання задач оптимального керування

Або


Чисельне розв’язання задач оптимального керування


Якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування, то з останнього співвідношення одержимо


Чисельне розв’язання задач оптимального керування


2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням


Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Перший із них містить Чисельне розв’язання задач оптимального керування-е наближення для керувань у моменти часу Чисельне розв’язання задач оптимального керування для системи (14), при Чисельне розв’язання задач оптимального керування, а другий – Чисельне розв’язання задач оптимального керування-е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес Чисельне розв’язання задач оптимального керування, що є Чисельне розв’язання задач оптимального керування-м наближенням до шуканого оптимального процесу.

Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритм методу.

1. Задаємо крок розбиття Чисельне розв’язання задач оптимального керування та точність обчислень Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


де Чисельне розв’язання задач оптимального керування – наближення керування в момент Чисельне розв’язання задач оптимального керування на ітерації Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


3. За визначеною в п. 2 стратегією керування Чисельне розв’язання задач оптимального керування будуємо фазову траєкторію процесу


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування


на початкової ітерації Чисельне розв’язання задач оптимального керування, використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


4. Визначаємо початкове наближення Чисельне розв’язання задач оптимального керування відповідно до (5).

5. Знаходимо спряжені змінні за формулами (12) – (13).

Визначаємо наступні наближення до оптимального керування Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


Чисельне розв’язання задач оптимального керування


в момент Чисельне розв’язання задач оптимального керування як розв’язки задачі (15) або (16):


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


7. Обчислюємо відповідну стратегії Чисельне розв’язання задач оптимального керування траєкторію


Чисельне розв’язання задач оптимального керування


за формулами (4), (6):


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


8. Знаходимо наступне наближення цільового функціонала


Чисельне розв’язання задач оптимального керування за формулою (5).

9. Якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування, то переходимо до п. 10, інакше вважаємо, що


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і переходимо до п. 13.


10. Перевіряємо, чи виконується задана точність обчислень. Якщо

Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


то переходимо до п. 13, інакше – до п. 11.

11. Позначаємо


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


12. Виконуємо наступний крок ітераційного методу – п. 5.

13. Позначаємо


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування – розв’язок, отриманий із кроком розбиття Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


1 Якщо крок Чисельне розв’язання задач оптимального керування не ділився, то переходимо до п. 15, інакше – до п. 1

15. Ділимо крок


Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Тоді Чисельне розв’язання задач оптимального керування і переходимо до п. 2 при Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


1 Перевіряємо задану точність. Якщо


Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


то переходимо до п. 18, інакше переходимо до п. 17.

17. Позначаємо

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, і переходимо до п. 15 – наступного кроку подвійного перерахування.

18. Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування – розв’язок задачі.

Кінець алгоритму.


3. Оптимальне стохастичне керування: формулювання із зовнішнім інтегралом


Розглянемо відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування, що задане формулою


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (17)


за таких припущень:

 параметр Чисельне розв’язання задач оптимального керування приймає значення з вимірного простору Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Для будь-якої фіксованої пари Чисельне розв’язання задач оптимального керування задана ймовірнісна міра Чисельне розв’язання задач оптимального керування на просторі Чисельне розв’язання задач оптимального керування, а символ Чисельне розв’язання задач оптимального керування у формулі (12) означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,


Чисельне розв’язання задач оптимального керування;


 функції Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування відображують множину Чисельне розв’язання задач оптимального керування відповідно в множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування, тобто Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

 скаляр Чисельне розв’язання задач оптимального керування додатний.

Формули (1), (6) є окремими випадками відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування з (12). Очевидно, що відображення (1) для детермінованої задачі випливає з (12), якщо множина Чисельне розв’язання задач оптимального керування складається з єдиного елемента, а відображення (6) (для стохастичної задачі зі зліченним простором збурень) відповідає випадку, коли множина Чисельне розв’язання задач оптимального керування зліченна, а Чисельне розв’язання задач оптимального керування є Чисельне розв’язання задач оптимального керування-алгеброю, складеною із всіх підмножин Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Очевидно, що відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування з (12) задовольняє припущенню монотонності. Якщо на множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і функції Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування накласти вимоги вимірності, то витрати за Чисельне розв’язання задач оптимального керування кроків Чисельне розв’язання задач оптимального керування можна визначити в термінах звичайного інтегрування для будь-якої стратегії Чисельне розв’язання задач оптимального керування, для якої функції Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування вимірні.

Для початкового стану Чисельне розв’язання задач оптимального керування і стратегії Чисельне розв’язання задач оптимального керування ймовірнісні міри


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, ..., Чисельне розв’язання задач оптимального керування


у сукупності із системою рівнянь


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування (18)


визначають єдину міру Чисельне розв’язання задач оптимального керування на Чисельне розв’язання задач оптимального керування-кратному прямому добутку Чисельне розв’язання задач оптимального керування копій простору Чисельне розв’язання задач оптимального керування. У випадку, якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, і виконується одна з умов


Чисельне розв’язання задач оптимального керування або

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


то функція витрат за Чисельне розв’язання задач оптимального керування кроків, що відповідає вимірній стратегії Чисельне розв’язання задач оптимального керування, приводиться до звичайного вигляду

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


де стани Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування виражено як функції змінних Чисельне розв’язання задач оптимального керування, ..., Чисельне розв’язання задач оптимального керування за допомогою рівнянь (13) та початкового стану Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Рекурентне співвідношення методу динамічного програмування для розв’язання багатоетапних задач оптимального стохастичного керування зі скінченним горизонтом можна записати так:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування


де Чисельне розв’язання задач оптимального керування – щільність розподілу величини Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


4 Оптимальне стохастичне керування: мультиплікативний функціонал витрат


Розглянемо відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування, що задане формулою


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (19)


за припущення, що параметр Чисельне розв’язання задач оптимального керування приймає значення зі зліченної множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування відповідно до заданого розподілу ймовірностей, що залежать від стану Чисельне розв’язання задач оптимального керування і керування Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Вважатимемо також, що Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Тоді відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування з формули (14) задовольняє припущенню монотонності.

Якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, то задача оптимального керування з мультиплікативним функціоналом витрат і скінченним горизонтом Чисельне розв’язання задач оптимального керування матиме такий вигляд:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (20)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (21)


а відповідна задача з нескінченним горизонтом:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (22)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (23)


Границя в (23) існує, якщо Чисельне розв’язання задач оптимального керування: Чисельне розв’язання задач оптимального керування або Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Самостійний інтерес становить задача з експоненціальною функцією витрат


Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


де Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Для розв’язання багатоетапних задач оптимального стохастичного керування з мультиплікативним функціоналом витрат використовується таке рекурентне співвідношення алгоритму динамічного програмування:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування

де Чисельне розв’язання задач оптимального керування – щільність розподілу величини Чисельне розв’язання задач оптимального керування.


5. Мінімаксне керування


Розглянемо задачу керування системою, у якій некерованими впливами є стратегії супротивника (або явища природи) Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, що обираються залежно від поточного стану Чисельне розв’язання задач оптимального керування і керування Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Вважатимемо, що припустимі стратегії супротивника приймають значення із множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування. Будемо обчислювати стратегію керування Чисельне розв’язання задач оптимального керування, орієнтуючись на найгіршу поведінку супротивника. Розглянемо відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування, задане формулою


Чисельне розв’язання задач оптимального керування,


за таких припущень:

 параметр Чисельне розв’язання задач оптимального керування приймає значення з деякої множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування, а Чисельне розв’язання задач оптимального керування – непуста підмножина Чисельне розв’язання задач оптимального керування при будь-яких Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

 функції Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування відображують множину Чисельне розв’язання задач оптимального керування в множини Чисельне розв’язання задач оптимального керування та Чисельне розв’язання задач оптимального керування відповідно, тобто Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

 скаляр Чисельне розв’язання задач оптимального керування додатний.

За таких умов припущення про монотонність для відображення Чисельне розв’язання задач оптимального керування має місце. Якщо при цьому Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і Чисельне розв’язання задач оптимального керування для всіх Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, то відповідну Чисельне розв’язання задач оптимального керування-крокову задачу мінімаксного керування можна сформулювати так:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (17)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (18)


Задача з нескінченним горизонтом формулюється аналогічно:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, (24)

Чисельне розв’язання задач оптимального керування. (25)


Границя у співвідношенні (25) існує при виконанні будь-якої з умов:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування;

Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування і деякого Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Для розв’язання багатокрокових мінімаксних задач оптимального стохастичного керування рекурентне співвідношення алгоритму динамічного програмування використовується у такому вигляді:


Чисельне розв’язання задач оптимального керування, Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування,

Чисельне розв’язання задач оптимального керування.

Похожие работы:

  1. Постановка задачі оптимального стохастичного керування
  2. • Постановка задачі оптимального керування
  3. • Особливості емоційної регуляції процесу розв"язування ...
  4. • Метод динамічного програмування
  5. •  ... ТЕС і АЕС шляхом розв"язання спряжених задач теплообміну
  6. • Чисельні методи розв"язування крайових задач для ...
  7. • Розвиток умінь розв"язувати задач на пропорційне ...
  8. • Формування в учнів умінь розв"язувати задачі на рух
  9. • Розв"язання задачі Коші для звичайного ...
  10. • Формування у молодших школярів уміння розв'язувати ...
  11. • Розв"язання задач з елементарної математики в ...
  12. • Методика роботи над простими задачами, що ...
  13. • Програма розв"язання звичайних диференціальних ...
  14. • Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
  15. • Автоматизована система обліку кадрів на підприємстві
  16. • Оптимальність у системах керування
  17. • Безпека праці у виробничих приміщеннях
  18. • Метод "Стрілянини"
  19. • Диференційований підхід у процесі навчання молодших ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com