Контрольная работа: Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті Maple-8
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Інформатика”
Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8
(варіант №6)
Виконав студент групи____________________
______________________
До захисту__________________200 __року
Викладач_______________________________
Дніпропетровськ
2010
Зміст
Вихідні дані завдань варіанту №6
1. Завдання №1
1.1. Задача 1.1 (вар. №6)
1.2. Задача 1.2 (вар. №6)
2. Завдання №2
2.1. Задача 2.1 (вар. №6)
2.2. Задача 2.2 (вар. №6)
3. Завдання №3
3.1. Задача 3.1 (вар. №6)
3.2. Задача 3.2 (вар. №6)
4. Завдання №4
4.1. Задача 4.1 (вар. №6)
4.2. Задача 4.2 (вар. №6)
5. Завдання №5
5.1. Задача 5.1 (вар. №6)
5.2. Задача 5.2 (вар. №6)
6. Завдання №6
6.1. Задача 6.1 (вар. №6)
6.2. Задача 6.2 (вар. №6)
7. Завдання №7
7.1. Задача 7.1 (вар. №6)
7.2. Задача 7.2 (вар. №6)
8. Завдання №8
8.1. Задача 8.1 (вар. №6)
8.2. Задача 8.2 (вар. №6)
9. Завдання №9
9.1. Задача 9.1 (вар. №6)
9.2. Задача 9.2 (вар. №6)
10. Завдання №10
10.1. Задача 10.1 (вар. №6)
10.2. Задача 10.2 (вар. №6)
11. Завдання №11
Список використаної літератури
Вихідні дані завдань варіанту №6
1. Завдання №1
1.1 Задача 1.1 (вар. №6)
Спростити вираз
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
expand-розкрити скобки,
factor-розкласти на множники
normal-привести к спільному знаменнику
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібні члени
> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));
Спрощуємо вираз за допомогою оператора simplify – спростити (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)
> simplify(%);
Відповідь:
1.2 Задача 1.2 (вар. №6)
Спростити вираз
Розв’язання.
> (sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)))*(sqrt(1/a^2-1)-1/a);
Позначимо перший множник через q1
> q1:=(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках за допомогою оператора rationalize
> rationalize(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a)))+rationalize((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a));
Розкриваємо дужки в останньому виразі за допомогою оператора expand
> q1:=expand(%);
> q1 := 1/2*(1+a)^(1/2)/a*(1-a)^(1/2)+1/a+1/2/a*(1-a)^(1/2)*(1+a)^(1/2);
Приводимо до спільного знаменника вираз q1 за допомогою оператора normal
> q1:=normal(q1);
Розкладаємо на множники вираз q1 за допомогою оператора factor
> q1 := factor(q1);
Позначимо другий множник через q2
> q2:=(sqrt((1-a)*(1+a)/a^2)-1/a);
Спрощуємо вираз q2, припускаючи, що 0<a<1 за допомогою оператора assume(a>0,a<1)
> q2:=simplify(q2,assume(a>0,a<1));
Перемножуємо вирази q1 та q2
> q3:=q1*q2;
Розкладаємо на множники вираз q3
> q3:=factor(q3);
Розкриваємо дужки в останньому виразі
> q3:=expand(%);
Відповідь: -1.
2. Завдання №2
2.1 Задача 2.1 (вар. №6)
Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при а =2
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
expand-розкрити скобки,
factor-розкласти на множники
normal-привести к спільному знаменнику
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібні члени
> ((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1)/(1/sqrt((a+1)^(-2))));
Позначимо через r1 першу частину виразу
> r1:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1));
Позначимо через r2 другу частину виразу
> r2:=sqrt((a+1)^(-2));
Позначимо через r3 чисельник виразу r1
> r3:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2)));
Приводимо вираз r3 до спільного знаменника
> r3:=normal(r3);
Розкладаємо на множники вираз r3
> r3:=factor(r3);
Позначимо через r4 знаменник виразу r1
> r4:=(a^2-a+1);
Скорочуємо чисельник r3 та знаменник r4 першої частини виразу
> r5:=r3/r4;
Залишилося r5 помножити на r2
> r6:=r5*r2;
Спрощуємо вираз r6, припускаючи, що a>-1
> simplify(r6,assume(a>-1));
Підставляємо a=2 в останній вираз %
> subs(a=2,%);
Відповідь: 1.
2.2 Задача 2.2 (вар. №6)
Спростити вираз, а потім знайти чисельні значення при а = 4; b = 1.
Розв’язання.
> (a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3)/(a^3+3*a^2*b-2*a*b^2);
Чисельник вихідного дробу позначимо через t1
> t1:=(a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3);
Приводимо вираз, що стоїть в чисельнику t1, до спільного знаменника
> t1:=normal(t1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через t2
> t2:=a^3+3*a^2*b-2*a*b^2;
Розкладаємо знаменник t2 на множники
> t2:=factor(t2);
Скорочуємо чисельник t1 та знаменник t2
> t3:=t1/t2;
Виділяємо повний квадрат в чисельнику за допомогою оператора completesquare (попередньо підключивши пакет student)
> with(student):completesquare(t3,a);
Підставляємо в останній вираз % числа a=4, b=1
> subs(a=4,b=1,%);
Відповідь: 3/2.
3. Завдання №3
3.1 Задача 3.1 (вар. №6)
Скоротити слідуючи дроби
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
factor-розкласти на множники
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібні члени
Розв’язання.
> (x^4-10*x^2+9)/(x^4-13*x^2+36);
Чисельник вихідного дробу позначимо через u1
> u1:=x^4-10*x^2+9;
Розкладаємо чисельник u1 на множники
> u1:=factor(u1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через u2
> u2:=x^4-13*x^2+36;
Розкладаємо знаменник u2 на множники
> u2:=factor(u2);
Скорочуємо чисельник u1 та знаменник u2
> u3:=u1/u2;
Відповідь:
3.2 Задача 3.2 (вар. №6)
Скоротити слідуючи дроби
Розв’язання.
> (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)/((a^2+a+1)*(a+1));
Чисельник вихідного дробу позначимо через v1
> v1:=a^5+a^4+a^3+a^2+a+1;
Розкладаємо чисельник v1 на множники
> v1:=factor(v1);
Знаменник вихідного дробу позначимо через v2
> v2:=(a^2+a+1)*(a+1);
Скорочуємо чисельник v1 та знаменник v2
> v3:=v1/v2;
Відповідь:
4. Завдання №4
4.1 Задача 4.1 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна),
> ((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)=1/(a/b-b/a);
Задаємо рівняння eq
> eq:=((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a)=0;
Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x
> solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо тотожність
> subs(x=-(-b+a)*a/b,((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a));
Спрощуємо останній вираз (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)
> simplify(%);
Відповідь:
4.2 Задача 4.2 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 1-й степені
Розв’язання.
> (9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))=sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1);
Задаємо рівняння eq
> eq:=(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1)=0;
Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x
> solve(eq,{x});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо 0
> subs(x=1,(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1));
Відповідь: 1.
5. Завдання №5
5.1 Задача 5.1 (вар. №6)
Розв’язати системи рівнянь з двома невідомими
Розв’язання.
Використовуємо встроені функції елементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна).
> (7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2;3*(x-1)=5*(y+1);
Задаємо систему рівнянь з двома невідомими
> sistema:={(7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2, 3*(x-1)=5*(y+1)};
Розв'язуємо систему рівнянь відносно x,y
> s:=solve(sistema,{x,y});
Зробимо перевірку: підставляємо у вихідну систему розв’язок і одержуємо дві тотожності
> eval(sistema,s);
Відповідь: (1; 1).
5.2 Задача 5.2 (вар. №6)
Розв'язати системи рівнянь з двома невідомими
Розв’язання.
> (x+2*y-7)/(2*y-x+15)/(2*x+y+19)=1/2/3;(3*x+y-3)/(4*x-2*y+1)/(5*x-3*y+8)= 6/3/5;
Задаємо систему рівнянь
> sistema:={(x+2*y-7)/(3*x+y-3)=t/6, (2*y-x+15)/(4*x-2*y+1)=2*t/3, (2*x+y+19)/(5*x-3*y+8)=3*t/5};
Розв'язуємо систему рівнянь відносно змінних x,y,t
> s:=solve(sistema,{x,y,t});
Для подання результів розв'язання системи рівнянь Maple використовує спеціальну функцію RootOf( ), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданого як її параметр. Змінна _Z - системна змінна, згенерована Maple, яка набуває цілих значень. За допомогою функції eval( ) можна отримати наближені числові значення функції RootOf( ).
> evalf(s);
6. Завдання №6
6.1 Задача 6.1 (вар. №6)
Побудувати графіки наступних функцій
Розв’язання.
> f:=x^2-3*abs(x)+2;
Будуємо графік функції f, обираємо проміжок для змінної x від -3 до 3, колір - синій, товщина лінії – 3
> plot(f,x=-3..3,color=blue,thickness=3);
6.2 Задача 6.2 (вар. №6)
Побудувати графіки наступних функцій
Розв’язання.
> y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2)=0;
Будуємо графік функції, заданої неявно за допомогою пакету plots
> with(plots):implicitplot(y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2),x=-3..3,y=-1..2, color=black, thickness=2);
7. Завдання №7
7.1 Задача 7.1 (вар. №6)
Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис. 7.1 вихідних даних.
Розв’язання.
Використаємо пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Команда curve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок. Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Команда display відображає вивід графічних команд на екран.
> with(plottools): w:=curve([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]],color=black, linestyle=1, thickness=2): plots[display](w);
7.2 Задача 7.2 (вар. №6)
Зобразити наступні геометричні фігури згідно ескізу рис.7.2 вихідних даних.
Розв’язання.
> with(plottools): u:=curve([[0,0],[1,-1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,1],[0,0]],color=green, linestyle=1, thickness=2): plots[display](u);
8. Завдання №8
8.1 Задача 8.1 (вар. №6)
Розвязати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
> x-7+(x-6)^2/3=(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4;
Задаємо рівняння eq
> eq:=x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4=0;
Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x
> s:=solve(eq,{x});
Зробимо
перевірку:
підставляємо
розв'язок
у вихідне рівняння
й одержуємо
0
> evalf(subs(x=-54/5-6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
Далі
підставляємо
розв'язок
у вихідне рівняння,
одержуємо 0
> evalf(subs(x=-54/5+6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
Відповідь:
8.2 Задача 8.2 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 2-ї степені
Розв’язання.
> (20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)=(5-3*x)/(x+1)-(10-4*x)/(3*x+3);
Задаємо рівняння eq
> eq:=(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3)=0;
Розв'язуємо рівняння eq відносно змінної x
> s:=solve(eq,{x});
Зробимо
перевірку:
підставляємо
розв'язок
у
вихідне рівняння
й одержуємо
0
> subs(x=-2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));
Підставляємо
розв'язок
у вихідне рівняння
й одержуємо
0
> subs(x=-17/2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));
Відповідь: -2; -17/2.
9. Завдання №9
9.1 Задача 9.1 (вар. №6)
Привести наступні вирази к простішому виду
Розв’язання.
> a/(sqrt(a*c)+c)+c/(sqrt(a*c)-a)-(a+c)/sqrt(a*c);
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
Спрощуємо останній вираз
> simplify(%);
Відповідь:
9.2 Задача 9.2 (вар. №6)
Привести наступні вирази к простійшому виду
Розв’язання.
> (a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменниках
> rationalize((a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4)))-rationalize((a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4)));
Спрощуємо останній вираз
> simplify(%);
Відповідь:
10. Завдання №10
10.1. Задача 10.1 (вар. №6)
Привести к раціональному виду наступні вирази
.
Розв’язання.
> n/(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)+b^(2/3));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
Відповідь:
10.2 Задача 10.2 (вар. №6)
Привести к раціональному виду наступні вирази
Розв’язання.
> 1/(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5));
Позбавляємося від ірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
Розкриваємо дужки
> expand(%);
Відповідь:
11. Завдання №11
Скласти
програму, яка
видає на печать
таблицю значень
для
Розв’язання.
> for n from 1 to 50 do sqrt(10*n) end do;
Список використаної літератури
Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач с пакетом Maple V. В.:Техника, 1999. – 686 с.
Васильев А.Н. Maple 8. СПб.:Диалектика, 2003. – 352 с.
Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.
Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.
Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.
Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.