Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра ТВ и матстатистики


Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП


Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.


Гомель 2007

Содержание


ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА


Перечень условных обозначений


В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.

Будем различать знак включения множеств Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и знак строгого включения Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - пустое множество;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для которых выполняется условие Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех натуральных чисел;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех простых чисел;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - некоторое множество простых чисел, т.е. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - дополнение к Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп во множестве всех простых чисел; в частности, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

примарное число - любое число вида Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа. Тогда:

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - порядок группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - порядок элемента Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - единичный элемент и единичная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех простых делителей порядка группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех различных простых делителей натурального числа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа - группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, для которой Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа - группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, для которой Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа Фраттини группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа Фиттинга группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наибольшая нормальная Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нильпотентная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - коммутант группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-ый коммутант группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наибольшая нормальная Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-холловская подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - дополнение к силовской Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппе в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-холловская подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа всех автоморфизмов группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является подгруппой группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является собственной подгруппой группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является максимальной подгруппой группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является нормальной подгруппой группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп характеристична в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для любого автоморфизма Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - индекс подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - централизатор подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормализатор подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - центр группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - циклическая группа порядка Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - ядро подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то:

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - прямое произведение подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - полупрямое произведение нормальной подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп изоморфны.

Группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется:

примарной, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

бипримарной, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Скобки Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа, порожденная всеми Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, для которых выполняется Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Группу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называют:

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-замкнутой, если силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нильпотентной, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-холловская подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группы, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группы;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп такая, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна.

разрешимой, если существует номер Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп такой, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется такая подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - неединичная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Цоколь группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - цоколь группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех групп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех абелевых групп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех нильпотентных групп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех разрешимых групп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-групп;

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - класс всех сверхразрешимых групп;

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - некоторый класс групп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа, тогда:

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-корадикал группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, для которых Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - формация, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является наименьшей нормальной подгруппой группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, факторгруппа по которой принадлежит Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - формация всех сверхразрешимых групп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется сверхразрешимым корадикалом группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Формация Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется насыщенной, если всегда из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп следует, что и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Класс групп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп следует, что и каждая подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп также принадлежит Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Произведение формаций Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп состоит из всех групп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, для которых Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, т.е. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-абнормальной, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называются перестановочными, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Нормальным индексом подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называют порядок главного фактора Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, и обозначают символом Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - различные простые делители порядка группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такие что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для всех Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.


Введение


В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп перестановочна с любой подгруппой из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (т.е. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для всех подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет место Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Понятно, что если подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп всегда найдется такая подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что выполнено следующее условие:


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Таким образом, условие Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп были названы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальными. В этой же работе была построена красивая теория Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется слабо квазинормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппой, если существует такая подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - квазинормальные в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальной.

Пример. Пусть


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп,


где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. И пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа простого порядка 3 и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - база регулярного сплетения Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Поскольку Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - модулярная группа, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп является слабо квазинормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, но не квазинормальной и не Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.


1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп


Определение. Подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп называется слабо нормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальная подгруппа в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп тогда и только тогда, когда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная подгруппа в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

(2) Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа.

(3) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп таких, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная подгруппа в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Доказательство. (1) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - такая квазинормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа, что


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - квазинормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Ясно, что


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Поскольку


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


то


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - квазинормальные в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппы. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная подгруппа в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - квазинормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа такая, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и ввиду (1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - слабо нормальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа.


2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами


В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима тогда и только тогда, когда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп такие, что каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальны в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - разрешима;

(2) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп такие, что каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо квазинормальны в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

(3) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп такие, что каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и каждая максимальная подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальны в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна тогда и только тогда, когда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Доказательство. Допустим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Покажем, что группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп не является нильпотентной группой.

Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Так как ввиду леммы Error: Reference source not found(3), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп по лемме Error: Reference source not found(2). Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


нильпотентна и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп доказывает (1).


(2) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.


Допустим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду леммы Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - абелева минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому по лемме Error: Reference source not found каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Поскольку по лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп,


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


то условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то ввиду выбора группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (это проямо следует из леммы Error: Reference source not found).

(5) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима.

Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна по (4)и выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть теперь Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что для некоторой силовской подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду (3), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима. Пусть теперь Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для каждой силовской подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда по условию каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет квазинормальной дополнение в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп доказывает (5).

(6) В группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. Error: Reference source not found), то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - единственная минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

(7) Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа, то каждая силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, имеет квазинормальное дополнение в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду (6), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. По условию, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет квазинормальную подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такую что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Заключительное противоречие.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


По условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет квазинормальную подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такую что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - дополнение для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, которое является квазинормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппой. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то ввиду (7), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет дополнение в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы Error: Reference source not found). Тогда по лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Обратно, предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что это не верно и пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - контрпример минимального порядка. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет силовскую подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, которая не является слабо нормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - произвольная минимальная нормальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа Фиттинга группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому по лемме Error: Reference source not found(1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, противоречие. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Так как по условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп метанильпотентна и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет нормальное дополнение Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но поскольку Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группы, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальное дополнение для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - метанильпотентна;

(2) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - абелева холлова подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп;

(3) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащая Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, сверхразрешима.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как по лемме Error: Reference source not found(2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то по выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем (1).

(2) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - неединичная нормальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа. Допустим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержит силовскую Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, или Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп циклична, или Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима.

Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


нильпотентна. Пусть теперь Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - произвольная максимальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такая что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для некоторой силовской Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп не является циклической подгруппой. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп не циклична. Покажем, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то это прямо следует из леммы Error: Reference source not found. Допустим, что либо силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп циклическая, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Покажем, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Предположим, что для некоторой подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа, то либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


что противоречит выбору подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому мы имеем

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


противоречие. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа и по условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит,


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Следовательно, условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

(3) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима.

По выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима согласно (1).

(4) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - разрешимая группа.

По условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому по лемме Error: Reference source not found(3), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима.

(5) Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - простое число и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех простых делителей порядка группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то по лемме Error: Reference source not found(1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальная Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


сверхразрешима. Но тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп доказывает (5).

(6) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.


Допустим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда по лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как ввиду леммы Error: Reference source not found(3) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, согласно лемме Error: Reference source not found(1). Но тогда ввиду (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразершима и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, по выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


нильпотентно, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - холлова Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. По лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Допустим, что для некоторого простого делителя порядка Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, отличного от Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, мы имеем Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, поскольку Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что противоречит (5). Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Согласно теореме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - абелева группа, экспонента которой делит Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, согласно леммы Error: Reference source not found. Но тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - абелева группа экспоненты, делящей Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима, согласно леммы Error: Reference source not found. Полученное противоречие с выбором группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - минимальная нормальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. В силу (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп сверхразрешима и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - единственная минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, по лемме Error: Reference source not found для некоторой максимальной подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому по условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет дополнение Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, которое является квазинормальной в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппой. Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


и поэтому, ввиду минимальности Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ввиду (5), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет холлову Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппу. Так как в силу леммы Error: Reference source not found(3), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то каждая холлова Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержится в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа. Отсюда следует, что


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Доказательство. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Покажем, что группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащая Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, дисперсивна по Оре.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как по лемме Error: Reference source not found(2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то по выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем (1).

(2) Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - неединичная нормальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, являющаяся Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа для некоторого простого числа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Допустим, что либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержит силовскую Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп циклична, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре.

Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


дисперсивна по Оре. Пусть теперь Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - произвольная максимальная подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такая что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ясно, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп для некоторой силовской Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп не является циклической подгруппой. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп не циклична. Покажем, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то это прямо следует из леммы Error: Reference source not found. Допустим, что либо силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп циклическая, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Покажем, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Предположим, что для некоторой подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп из Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп мы имеем


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


где


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа, то либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, либо Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, что противоречит выбору подгруппы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому мы имеем


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


противоречие. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - максимальная в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп подгруппа и по условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит,


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


слабо нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Следовательно, условия теоремы справедливы для Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

(3) Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - простое число и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.

Пусть

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


Тогда ввиду (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. С другой стороны, если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - множество всех простых делителей Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то ввиду леммы Error: Reference source not found(3) и леммы Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, где Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - нормальная Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


дисперсивна по Оре. Но тогда


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима.

По условию Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп квазинормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому ввиду леммы Error: Reference source not found(3) и леммы Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как


Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп


дисперсивна по Оре, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп разрешима.


(5) Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп.


Предположим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда согласно лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нильпотентна. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Поскольку Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп субнормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Значит, по лемме Error: Reference source not found, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но ввиду (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наименьший простой делитель Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет нормальную максимальную подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такую что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наибольший простой делитель Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду (1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Если Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Поскольку Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и ввиду (1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Так как Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре, то Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Следовательно, группа Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - минимальная нормальная подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, содержащаяся в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Ввиду (2), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наименьший простой делитель Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп имеет нормальную максимальную подгруппу Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, такую что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Пусть Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - наибольший простой делитель Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп - силовская Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-подгруппа группы Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Тогда ввиду (1), Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп нормальна в Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Рассуждая как выше видим, что Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Но тогда Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-группа. Значит, Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп и поэтому Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение


В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальны или квазинормальны в группе Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.

Основные результаты данной работы:

- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;

- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;

- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;

- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.


Литература


1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.

2.Боровиков, М.Т. О Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.

3.Го Веньбинь. Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-накрывающие системы подгрупп для классов Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-сверхразрешимых и Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.

4.Пальчик, Э.М. О группах, все Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.

5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.

6.Пальчик, Э.М. О группах, все Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.

7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.

8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82.

9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.

10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.

Похожие работы:

  1. • Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых ...
  2. • Классы конечных групп F, замкнутые относительно ...
  3. • Нильпотентная длина конечных групп с известными ...
  4. • Конечные группы с заданными перестановочными ...
  5. • Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами ...
  6. • Фактор-группы. Cмежные классы
  7. • Классы конечных групп F, замкнутые относительно ...
  8. • Элементарное изложение отдельных фрагментов теории ...
  9. • Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
  10. • Локальные формации с метаабелевыми группами
  11. • Полунормальные подгруппы конечной группы
  12. • Произведение двух групп
  13. • Произведения конечных групп, близких к нильпотентным
  14. • Классификация групп с перестановочными обобщенно ...
  15. • Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп ...
  16. • О минимальных замкнутых тотально насыщенных не ...
  17. • Инвариантные подгруппы бипримарных групп
  18. • Биекторы в конечных группах
  19. • Бипримарные группы
Рефетека ру refoteka@gmail.com