Курсовая работа

"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"

 

 

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Необходимые определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

 – знак строгого включения множеств;

 – знак включения множеств;

 – принадлежность элемента множеству;

 – объединение множеств;

 – пересечение множеств;

 –  является подгруппой группы ;

 –  является собственной подгруппой группы ;

 –  является максимальной подгруппой группы ;

 –  является нормальной подгруппой группы ;

 –  является субнормальной подгруппой группы ;

 –  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 – подгруппа, сопряжённая подгрупп  посредством элемента ;

 – циклическая группа порядка ;

 – симметрическая группа степени ;

 – ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в ;

 – подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой  из  элементами  из , то есть ;

 – централизатор множества T в группе G;

 – центр группы G;

 – нормализатор подгруппы  в группе ;

 – наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

 – наибольшая нормальная –подгруппа группы ;

 – –холловская подгруппа группы ;

 – силовская –подгруппа группы ;

 – дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;

 – группа G изоморфна группе ;

Пусть  – группа,  и , тогда:

 – правый смежный класс,

 – левый смежный класс;

 – правая трансверсаль подгруппы

в группе ;

 – левая трансверсаль подгруппы

в группе ;

 – индекс подгруппы  в группе ;

 – порядок группы G;

Пусть и  – подгруппы группы  и , тогда:

 – двойной смежный класс группы  по подгруппам

 и ;

 – факторгруппа группы  по подгруппе ;

 – прямое произведение подгрупп A и B;

 – цоколь группы ;

 – коммутатор элементов  и ;

 – коммутант группы G;

 – множество всех простых чисел;

 – дополнение к  во множестве , где  – некоторое множество простых чисел;

–-длина группы .

Введение

Напомним, что подгруппа  группы  перестановочна с подгруппой , если . Если  перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в  [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп  и  произведение  также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то  субнормальна в  [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  конечной группы ,  – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,  [18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы  и  группы  неперестановочны, но существует подгруппа  такая, что  для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть ,  – подгруппы группы  и . Тогда мы говорим, что:

(1)  является -перестановочной с , если для некоторого  имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если  для некоторого .

Заметим, что  – перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа  группы  называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.

1. Необходимые определения и обозначения

Бинарной алгебраической операцией на множестве  называют отображение декартова квадрата  во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из  соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на  обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо  условимся писать , то вместо  пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если  для всех .

Если  для всех , то операция называется ассоциативной.

Если  для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент  называется единичным, если  для всех .

Обратным к элементу  называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

(3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число  элементов в  – порядком группы .

Также группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения ,  имеют решения для любых элементов .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись  читается так:  – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество  конечной группы  называется подгруппой, если  для всех  и

Каждая группа  обладает единичной подгруппой . Сама группа  также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы  это такая подгруппа  из , которая отлична от  и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть  – подмножество группы  и . Через

обозначим подмножество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы множества . Подмножество  называется подмножеством, сопряженным подмножеству  посредством элемента .

Подгруппа  называется подгруппой, сопряженной подгруппе  посредством элемента .

Пусть  – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через . Таким образом,

Центром группы  называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы  обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы  совпадает с централизатором подмножества  в группе . Кроме того,

Зафиксируем элемент  в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,

Для элемента  имеются следующие две возможности.

Все степени элемента  различны, т.е.  для целых . В этом случае говорят, что элемент  имеет бесконечный порядок.

Имеются совпадения  при . Если, например, , то  и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором  называют порядком элемента  и пишут

Если группа  совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу  называют циклической группой. В этом случае в группе  имеется элемент  такой, что , все элементы в группе  являются целыми степенями элемента :

Если элемент  имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе  попарно различны и  – бесконечная циклическая группа.

Если элемент  имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом  порядка , состоит из  элементов. В этом случае  – конечная циклическая группа порядка .

Две группы  и  называются изоморфными, если существует биекция  такая, что  для всех . Факт изоморфизма записывают так: .

Пусть  – группа,  и . Правым смежным классом группы  по подгруппе  называется множество

всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Пусть  – подгруппа группы . Подмножество  элементов группы  называется правой трансверсалью подгруппы  в группе , если  содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы  по подгруппе . Итак, если

– правая трансверсаль подгруппы  в группе , то

 – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе  также будет конечно, оно называется индексом подгруппы  в группе  и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы  в конечной группе  совпадает с числом элементов в правой трансверсали  подгруппы , т.е.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы  в группе . Если

– левая трансверсаль подгруппы  в группе , то

Ясно, что индекс подгруппы  в конечной группе  совпадает с числом элементов в левой трансверсали  подгруппы , т.е. .

Пусть  и  – подгруппы группы  и . Множество

называется двойным смежным классом группы  по подгруппам  и .

При  двойной смежный класс

превращается в произведение подгрупп  и . В общем случае  не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы  и  перестановочны, если . Равенство  означает, что для любых  существуют  такие, что .

Если , то говорят, что группа  есть произведение своих подгрупп  и , либо группа  факторизуема подгруппами  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех .

Запись  читается так:  – нормальная подгруппа группы  Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

В каждой группе  тривиальные подгруппы (единичная подгруппа  и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе  нет других нормальных подгрупп, то группа  называется простой. Единичную группу  считают непростой группой.

Пусть  – нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы  по подгруппе , т.е.

Группа  называется факторгруппой группы  по подгруппе  и обозначается через .

Пусть  – простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы  называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа  группы  определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы  называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа  субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть  – группа,  и  – ее подгруппы. Напомним, что произведение  определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа  является произведением своих подгрупп  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где , .

Произведение  называется прямым, если подгруппы  и  нормальны в  и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа  является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа  является прямым произведением своих подгрупп  и , если:

– каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы  называют такую нормальную подгруппу  группы , что  и в  нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись  означает, что  – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то  и из условий  следует, что  или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .

Собственная подгруппа  неединичной группы  называется максимальной подгруппой, если  не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или . Для максимальной подгруппы  неединичной группы  используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы  и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов  и  называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы  и обозначается через . Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы  можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер  такой, что , то группа  называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа  группы  дополняема в , если существует такая подгруппа , что  и . В этом случае подгруппу  называют дополнением к подгруппе  в группе .

Пусть  – множество всех простых чисел, а  – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к  во множестве  обозначим через , т.е. .

Зафиксируем множество простых чисел . Если , то число  называется -числом.

Подгруппа  группы  называется -подгруппой, если  есть -число. Подгруппа  называется -холловой подгруппой, если  есть -число, а индекс  есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа – это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .

Подгруппа  группы  называется холловой подгруппой, если  – -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами,  – холлова подгруппа тогда и только тогда, когда

-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.

Подгруппа  разрешимой группы  называется картеровой подгруппой группы , если  нильпотентна и .

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называют подгруппой Фиттинга группы  и обозначают через .

Силовская система группы  полностью задаётся  силовскими -подгруппами группы  для любого , удовлетворяющего  для всех , .

Две силовские системы  и  из  называются сопряженными, если там существует элемент  такой, что  для всех .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной если  и  сопряжены в в  для любого .

 

2. Используемые результаты

 

Теорема 2.1 Конечная группа  тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы  и , , что  перестановочна с каждой сопряжённой с  в  подгруппой , и, кроме того, .  или  тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .

Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа  порядка  разрешима для любых .

Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.

Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть  – нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  – подгруппа группы  и , то  – подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  – подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S на множество S;

(4) если  S, то  – нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  – нормальная подгруппа факторгруппы .

Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) в группе  существует подгруппа порядка  для каждого ;

(2) если  – -подгруппа группы  и  – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

(3) любые две подгруппы порядка  сопряжены в группе ;

(4) число подгрупп порядка  в группе  сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Лемма 2.6 Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда:

(1) существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;

(2) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(3) любые две силовские -подгруппы сопряжены;

(4) число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Теорема 2.7 Для конечной группы  и её силовской -подгруппы  справедливы следующие утверждения:

(1) если , то  – силовская -подгруппа в , а  – силовская -подгруппа в ;

(2) ;

(3) если  и , то

и

(4) пусть  – все простые делители порядка группы   при , и пусть  – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Теорема 2.8 Пусть группа  является прямым произведением своих подгрупп  и . Тогда:

(1) каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

(2) каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то , подгруппы  и  нормальны в , и .

Теорема 2.9

(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппа характеристически простая.

(2) Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.

Теорема 2.10 Для группы  следующие требования эквивалентны:

(1)  – нильпотентная группа;

(2)  – прямое произведение своих силовских подгрупп;

(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;

(4) все максимальные подгруппы нормальны;

(5) все подгруппы группы  субнормальны.

Теорема 2.11

(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой -подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.12

(1) Если группа  содержит нормальную циклическую подгруппу  и факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(2) Если факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Лемма 2.13 Пусть  – разрешимая группа. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1)  имеет силовские системы и всякие две силовские системы группы  сопряжены в .

(2) Если  и  будет силовской системой в , тогда существует силовская система , такая что  для всех .

(3) Если  – силовская система в  и . Тогда  покрывает каждый центральный главный ряд группы .

Лемма 2.14 Пусть  разрешимая группа, тогда:

(1)  имеет картерову подгруппу и любые две картеровы подгруппы из  сопряжены;

(2) ;

(3) если  и цоколь  – минимальная нормальная подгруппа группы , тогда

где .

Лемма 2.15 Пусть  – группа, . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если  сверхразрешима, то  и  является -замкнутой, где  – наибольший общий делитель ;

(2) Если ,  сверхразрешимы, то  является сверхразрешимой;

(3)  сверхразрешима, тогда и только тогда, когда  является простым для каждой максимальной подгруппы  группы .

Лемма 2.16 Если  и  – абнормальная подгруппа группы . То справедливы следующие утверждения:

(1)  абнормальна в .

(2) Если , то  абнормальна в .

Лемма 2.17. Если  и  – простое число, то существует такие силовские -подгруппы ,  и  в ,  и  соответственно, для которых .

Лемма 2.18. Пусть ,  подгруппы группы  и . Тогда  для всех .

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

Напомним, что подгруппа  группы  перестановочна с подгруппой , если . Если  перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [] или квазинормальной в  [].

Так как для двух перестановочных подгрупп  и  произведение  также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то  субнормальна в  [].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  конечной группы ,  – нильпотентна [].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

 [].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы  и  группы  неперестановочны, но существует подгруппа  такая, что  для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 3.1 Пусть ,  – подгруппы группы  и . Тогда мы говорим, что:

(1)  является -перестановочной с , если для некоторого  имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если  для некоторого .

Заметим, что -перестановочные подгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Рассмотрим следующих три основных примера:

Пример 3.2 Пусть  – конечная группа,  – силовская -подгруппа ,  – силовская -подгруппа . Тогда в общем случае , но существует  такой, что  – силовская -подгруппа группы .

Подгруппа  конечной группы  называется нормально погружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовской подгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы .

Пример 3.3 Пусть  – конечная разрешимая группа,  и  – нормально погружённые подгруппы группы . Тогда  является -перестановочной с .

Определение 3.4 Подгруппа  группы  называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) -перестановочна со всеми подгруппами группы .

Пример 3.5. Пусть , где  и  – симметричная группа из 3 символов. Ясно, что  не является перестановочной ( для всех не тождественных элементов ). В тоже время  – наследственно -перестановочна.

Рассмотрим теперь общие свойства -перестановочных подгрупп, изложенные в следующей теореме.

Теорема 3.6 Пусть , ,  подгруппы группы  и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если  (наследственно) -перестановочна с , то  (наследственно) -перестановочна с ;

(2) Если  (наследственно) -перестановочна с , то  (наследственно) -перестановочна с  для всех ;

(3) Если  и  (наследственно)

-перестановочна с , тогда  (наследственно) -перестановочна с  в ;

(4) Если  и  (наследственно)

-перестановочна с  в , тогда  (наследственно) -перестановочна с ;

(5) Если ,  наследственно

-перестановочна с , то  наследственно -перестановочна;

(6) Если  (наследственно) -перестановочна с  и , то  (наследственно) -перестановочна с ;

(7) Если  -перестановочна с  и , то  -перестановочна с .

Доказательство:

Утверждения (1), (2), (5), (6) и (7) очевидны.

(3) Пусть  – элемент из  (элемент ) такой что . Тогда

в  и если , тогда

Таким образом подгруппа  – (наследственно) -перестановочна с  в .

Аналогично можно доказать утверждение (4).

Ч.т.д.

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Используя понятие  – перестановочности мы рассмотрим новые характеристики классов сверхразрешимых, нильпотентных и разрешимых групп.

Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которых собственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппы перестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост с р.

Используем следующие обозначения:

 – силовская р-подгруппа группы  и .

 – подгруппа из  и , где  – натуральное число.

 – максимальная подгруппа силовской р-подгруппы .

Остальные обозначения и определения смотри в .

Теорема 4.1. , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию по порядку группы .

Пусть  – силовская -подгруппа группы ,

-перестановочная со всеми силовскими подгруппами  группы , порядки которых взаимно просты с .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что  – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь  тогда, по теореме 2.1 группа  непроста.

Докажем, что любая инвариантная в  подгруппа

-разрешима.

Возьмём подгруппу , инвариантную в , и будем рассматривать подгруппу . Имеем два случая:

1) .

В этом случае . Тогда все -подгруппы для  содержатся в . Подгруппа  -силовская в . Следовательно, имеем

и, согласно индукции,  -разрешима.

2) Пусть .

В этом случае подгруппы  являются

-силовскими в , а  – -силовскими в .

Из  по индукции имеем, что  -разрешима и, следовательно,  -разрешима.

Так как для  условия теоремы выполняются, то по индукции имеем -разрешимость  и .

Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть  – силовская -подгруппа ,  и каждая максимальная подгруппа  из  перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы .

Если р-силовская подгруппа  группы  не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы  и . Тогда, используя условия теоремы, имеем

Отсюда, согласно теореме 4.1,  p-разрешима.

Пусть  – циклическая подгруппа и  – максимальная подгруппа из .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что  – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь , тогда по теореме 2.1 группа  непроста.

Пусть  – инвариантная подгруппа , тогда  для  и

Подгруппа  перестановочна с подгруппой .

Действительно,

Если  является силовской р-подгруппой в , то по теореме 4.1  p-разрешима, а следовательно, и  p-разрешима.

Если  не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе . В том случае, когда , по индукции  и  p-разрешимы.

Когда . По подсчёту порядков имеем

и  – максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из .

Если , то выполняются для подгруппы  условия теоремы в виду

следовательно, по индукции  p-разрешима.

В случае  имеем

и из факторизации  следует , что для циклической  невозможно.

Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы . Тогда минимальная инвариантная подгруппа  группы  – либо р-подгруппа, либо -подгруппа.

Пусть  – -подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.

Если  – -подгруппа, то  будет порядка  ввиду цикличности . Централизатор  содержит . Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы  p-разрешима, поэтому из р-разрешимости  и  следует р-разрешимость группы .

Если , т.е.  единственная значит  является p-разрешимой.

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,  . Если для некоторого фиксированного натурального числа  подгруппа   с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Доказательство:

Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше  теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.

Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных -подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для  условия теоремы выполняются,  и G будут р-разрешимы.

По теореме 2.1 группа G непроста.

Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда  для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы , и рассмотрим подгруппу .

Если , то для подгруппы  условия теоремы выполняются.

Действительно, возьмём подгруппу , имеем

и

Следовательно, подгруппа , а также подгруппа  р-разрешимы.

Если , то по Теореме 4.2 сама группа

p-разрешима.

Пусть индекс подгруппы  в группе  не равен степени р, тогда

Рассмотрим подгруппу . Для  условия теоремы выполняются. Пусть  – подгруппа порядка  из Р, тогда имеем

и

Итак, подгруппа  р-разрешима и, следовательно,

 p-разрешима.

Так как в группе G отсутствуют инвариантные -подгруппы, то G содержит инвариантную р-подгруппу.

Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу  с . Если , то пусть  – инвариантная в  подгруппа порядка  и . Тогда  инвариантна в  для любой силовской подгруппы  группы  порядка, взаимно простого с р, и  инвариантна в , что противоречит минимальности подгруппы . Таким образом, . В том случае, когда  для , условия теоремы выполняются и , а следовательно, и  p-разрешимы. Следовательно, .

В том случае, когда , по Теореме 4.2 имеем р-разрешимость . Следовательно, можно предположить, что .

Предположим, что . В этом случае всякая подгруппа  группы , содержащая , не является циклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы  и  порядка . В связи с тем, что  перестановочна со всякой силовской подгруппой , для , т.е.

подгруппы  группы  перестановочны с .

Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для  выполняются и по индукции получаем р-разрешимость  и .

Итак, имеем  и, следовательно . Отсюда следует, что  циклическая.

Если , то, так как  инвариантна в группе , она р-разрешима и также  p-разрешима. Таким образом, , т.е.

.

Группа  не содержит инвариантных -подгрупп, следовательно,  является р-группой. Если все подгруппы порядка р содержатся в , то  p-разрешима. Тогда можно предположить, что в  содержится подгруппа , не принадлежащая .

Пусть имеются  такие, что . Тогда, так как  перестановочна с любой  порядка, взаимно простого с p, по Теореме 4.1  p-разрешима.

Следовательно ,  и  перестановочна со всеми сопряжёнными подгруппами с . Рассмотрим фактор-группу . Согласно Теореме 2.1 группа  содержит собственную инвариантную подгруппу.

Если  минимальная инвариантная подгруппа группы , то, так как  p-разрешима,  либо -группа, либо р-группа.

Пусть  – -группа, тогда  и  является характеристической подгруппой в  и поэтому инвариантна в группе . Получили противоречие, так как в группе  нет инвариантных -подгрупп. Следовательно,  – элементарная абилева р-группа.

Из  следует, что . Группы

циклические. Отсюда следует, что в группе  все силовские q-подгруппы для  циклические.

Так как , то  имеет циклическую силовскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда  имеет инвариантное 2-дополнение, а по теореме Томпсона-Фейта  будет разрешимой.

Из р-разрешимости  следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в  p-дополнения .

Из условия теоремы следует, что подгруппы  из силовской р-подгруппы  перестановочны с . По Теореме 2.1 .

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа  сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .

Теорема 4.5 Группа  является нильпотентной тогда и только тогда  имеет нильпотентную абнормальную подгруппа  такую, что каждые две силовские подгруппы группы  – -перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа  имеет минимальный порядок. Тогда

(1)  – нильпотентна для нормальной подгруппы  группы .

Пусть  И  силовская -подгруппы в  и силовская -подгруппа в  соответственно. Пусть  силовская -подгруппа в  и  силовская -подгруппа в . Тогда  и  – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что  и  – -перестановочные, а также по Теореме 3.6  – -перестановочна с .  является нильпотентной подгруппой в  и по Лемме 2.16  абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку ,  – нильпотентная по выбору группы .

(2)  для каждой силовской подгруппы  группы .

Для любого  существует элемент  такой, что , а также . Следовательно, .

(3)  является разрешимой.

Пусть  – простой делитель  и  силовская -подгруппа в . Пусть  силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как  – нильпотентная, то , а также . Таким образом,  имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1)  – сверхразрешима, отсюда получаем (3).

(4) , где  – нильпотентная максимальная подгруппа группы  и  является максимальной нормальной подгруппой в , где .

В виду (1) и Леммы 2.15  имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу  и . Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).

(5) Конечное противоречие.

По предположению  абнормальна в , таким образом  по Лемме 2.16  – картерова подгруппа в . Ясно, что  также является картеровой подгруппой в . Следовательно, по Лемме 2.14 получаем , для некоторого . Теперь предположим, что  – силовская -подгруппа в , где  – простой делитель , отличный от . Тогда , и по (2), , что противоречит Лемме 2.18.

Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы изучили конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами, в частности доказали следующие три новых признака p-разрешимости конечных групп

Теорема , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть  – силовская -подгруппа ,  и каждая максимальная подгруппа  из  перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,  и . Если для некоторого фиксированного натурального числа  каждая подгруппа  порядка  перестановочна с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Список использованных источников

Скиба А.Н. «Решётки и универсальные алгебры». Гомель 2003 год.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. «Основы теории групп». М.:наука: 1972 год.

Холл Ф. «Теория групп». М.: ИЛ, 1962 год.

Селькин М.В. «Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп». Мн.: Беларуская навука. 1997 год.

Монахов В.С. «Введение в теорию групп и их классов». Гомель 2003 год.

K. Doerk and T. Hawkes, «Finite soluble grousp», Walter de gruyter, Berlin/New York, 1992.

O. Ore, Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J. 1939.

S.E. Stonehewer, Permutable subgroups in Infinite Groups, Math. Z., 1972.

N. Ito and J. Szйp, Uber die Quasinormalteiler von endlichen Gruppen. Act. Sci. Math. 1962.

J. Buckley, Finite groups whose minimal subgroups are normal, Math. Z. 116, 1970, 15–17.

P. Hanck, A. Martinez-Pastor and M.D. Perez-Ramos, Fitting classes and products of totally permutable groups. J. Algebra 252, 2002, 114–126.

O.H. Kegel, Producte nilpotenter Gruppen, Arch. Math. (Basel), 12, 1961, 90–93.

O.H. Kegel. Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 1962, 205–221.

Rudolf Maier, A completeness property of certain formations, Bull. London Math. Soc., 24, 1992, 540–544.

Gou Wenbin, Shum K.P., Skiba A.N. On Primitive Subgroups. – 2003. – (Препринт/ ГГУ им. Ф. Скорины; №51)

Боровиков М.Т. О р-разрешимости конечной группы. Мн.:Наука и техника, 1986.