Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами

3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех  для которых выполняется условие ;

 - множество всех натуральных чисел;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 - множество всех простых делителей порядка группы ;

 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 - -ый коммутант группы ;

 - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 - -холловская подгруппа группы ;

 - силовская -подгруппа группы ;

 - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

 - группа всех автоморфизмов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 - подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

;

 - централизатор подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

 - центр группы ;

 - циклическая группа порядка ;

 - ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .

Если  и  - подгруппы группы , то:

 - прямое произведение подгрупп  и ;

 - полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 -  и  изоморфны.

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы  - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы  - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

 - цоколь группы .

Экспонента группы  - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;

 - класс всех нильпотентных групп;

 - класс всех разрешимых групп;

 - класс всех -групп;

 - класс всех сверхразрешимых групп;

 - класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть  - некоторый класс групп и  - группа, тогда:

 - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  - формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  - формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .

Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых , т.е. .

Пусть  - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется -абнормальной, если .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Пусть ,  -подгруппы группы  и . Тогда  называется:

(1) -перестановочной с , если в  имеется такой элемент , что ;

(2) наследственно -перестановочной с , если в  имеется такой элемент , что .

Пусть  - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы  называют порядок главного фактора , где  и , и обозначают символом .

Подгруппа  группы  называется -максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в  найдется такая максимальная подгруппа , в которой  является максимальной подгруппой. Аналогично определяют -максимальные (третьи максимальные) подгруппы, -максимальные подгруппы и т.д.

Введение

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если . Подгруппа  группы  называется перестановочной или квазинормальной в , если  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля -квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  группы  факторгруппа  нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая -квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если  порождается своими -элементами и -подгруппа  группы  -квазинормальна в , то факторгруппа  нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в  подгруппы  факторгруппа  абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.

Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства -квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы . Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если  - квазинормальная подгруппа конечной группы , то факторгруппа  содержится в гиперцентре факторгруппы , где  - ядро подгруппы . Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.

Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа  сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из  перестановочны с силовскими подгруппами из , и группа  разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа  и такое ее дополнение , что  перестановочна со всеми максимальными подгруппами из . Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы  при условии, что , где все подгруппы из  перестановочны со всеми подгруппами из . Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .

В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы  и  называются -перестановочными, где , если в  имеется такой элемент , что . Используя понятие -перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих . Согласно, группа  является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.

 

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа  нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских -подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.

По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .

Оказалось, что группы, у которых все -максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов о -максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа  группы  обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора  группы  выполняется одно из двух условий  или . В работе доказано, что группа  разрешима тогда и только тогда, когда в  имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.

Пусть  и  - подгруппы группы . Тогда подгруппа  называется -перестановочной с , если в  найдется такой элемент , что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия  -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа  нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы  группы , имеющей непримарный индекс, в  найдется такая нильпотентная подгруппа , что  и  -перестановочна со всеми подгруппами из .

Пусть  - набор всех -максимальных подгрупп группы .

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из , существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа  разрешима, если любая подгруппа из  перестановочна со всеми подгруппами из  для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа  метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу . Пусть  - произвольная максимальная в  подгруппа и  - произвольная -максимальная  подгруппа. Тогда  максимальна в  и  -максимальна в , а значит, по условию подгруппа  -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме , подгруппа  -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но  и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).

(2)  - разрешимая группа.

Если в группе  существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе  все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы  группы , . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем . Ввиду леммы ,  и, следовательно, . Значит, . Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что  - разрешимая группа. Это означает, что  разрешима, и следовательно,  - разрешимая группа.

(3) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  и  - максимальная в  подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2),  является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что  и, следовательно, . Ясно, что  и поэтому по выбору группы ,  не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе  имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого ,  - максимальная в  подгруппа и  - максимальная подгруппа в , то  - -максимальная в  подгруппа. Если  - нормальная подгруппа в , то . Значит,  не является нормальной подгруппой в . Покажем, что  - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть  - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит,  или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то  - максимальная в  подгруппа. Тогда для любого ,  -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы (6),  перестановочна с . Из максимальности подгруппы  следует, что  или . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда  для любого  и поэтому . Следовательно, . Это означает, что  - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна с любой максимальной подгруппой в  тогда и только тогда, когда либо  нильпотентна, либо  - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа  группы  не нормальна в , а максимальная подгруппа группы  нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы  следует из теоремы . Предположим теперь, что  не является нильпотентной группой. Пусть  - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть  и  - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и  - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть  - силовская -подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы  и, следовательно, по условию  - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе  любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  и , то  - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа  разрешима и  для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1)  - разрешимая группа.

Действительно, если , то каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы  сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы,  - разрешимая группа.

Пусть теперь . Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа  разрешима и поэтому  - разрешимая группа.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

 

 и ,

где  - такая максимальная в  подгруппа, что ,  и .

Так как класс всех разрешимых групп  с  образует насыщенную формацию , то ввиду (1),  и поэтому в группе  существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где  - такая максимальная в  подгруппа, что  и . Покажем, что  делит . Если  не делит , то  - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак,  делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа  абелева, то  - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть  - -максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Тогда  и . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что  является максимальной подгруппой группы . Покажем, что  - максимальная подгруппы группы  и  - максимальная подгруппа группы . Так как , то  - собственная подгруппа группы . Предположим, что в  существует подгруппа  такая, что . Тогда из того, что  - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно,  - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что  и  - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент  такой, что . Следовательно,

и поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия , получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где  и . Пусть  - силовская -подгруппа и  - силовская -подгруппа группы . Пусть  - -максимальная подгруппа группы  такая, что . Так как , то  - неединичная подгруппа. Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа  -перестановочна с , и поэтому для некоторого  мы имеем  - подгруппа группы . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в группе . Так как , то  - нормальная подгруппа в группе . Получили противоречие с тем, что  - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

 Если все максимальные подгруппы группы  имеют простые порядки, то  сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе  все -максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа  либо нильпотентна, либо , где  - подгруппа простого порядка  и  - циклическая -подгруппа, которая не является нормальной в  подгруппой ( - различные простые числа). Предположим, что  не является нильпотентной группой. Тогда . Поскольку , то  - максимальная подгруппа группы  и поэтому . Так как группа порядка  разрешима, то группа  разрешима. Значит,  - нормальная в  подгруппа и поэтому главные факторы группы  имеют простые порядки. Следовательно,  - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе  каждая максимальная подгруппа , индекс  которой является степенью числа , нормальна в , то  - -нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы  группы  факторгруппа  -нильпотентна.

Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что  явяется степенью числа . Тогда  - максимальная в  подгруппа и  является степенью числа . По условию,  нормальна в , и поэтому  нормальна в . Так как , то  - -нильпотентная группа.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и  - -подгруппа.

Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1),  и  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что  - -подгруппа. Тогда  для некоторой -холловой подруппы  группы . Поскольку ввиду (1),  нормальна в , то  - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно,  - элементарная абелева -подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть  - максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку  абелева, то  и поэтому . Это влечет . Следовательно,  для некоторого . Значит,  - нормальная в  подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа  разрешима и  для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка.

(1)  - непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы ,  разрешима и поэтому  - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что  и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .

Предположим, что все -максимальные подгруппы группы  единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы  является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы  либо нильпотентна (порядка  или ), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы , мы получаем, что  разрешима. Это противоречие показывает, что в группе  существует неединичная -максимальная подгруппа . Пусть  - максимальная подгруппа группы , содержащая . Тогда для любого , . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда , что влечет . Следовательно,  - неединичная нормальная подгруппа в  и поэтому группа  непроста.

(2) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  разрешима (это прямо вытекает из леммы (3)).

(3) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  - такая максимальная в  подгруппа, что .

Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как ввиду леммы , класс всех разрешимых групп c -длиной  образует насыщенную формацию, то  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что . Ясно, что . Поскольку  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , то .

(4)  - разрешимая группа.

Допустим, что  - неразрешимая группа. Тогда  и по выбору группы  мы заключаем, что  - прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди -максимальных подгрупп группы .

Пусть  - произвольная -максимальная подгруппа, содержащаяся в . Используя приведенные выше рассуждения, видим, что . Следовательно, порядок любой -максимальной подгруппы группы , содержащейся в , равен простому числу. Ввиду леммы ,  - разрешимая группа. Пусть  - максимальная подгруппа группы , содержащая . Так  - простое число, то либо , либо . Пусть имеет место первый случай. Тогда , и поскольку  - простое число, то  - максимальная подгруппа группы . Из того, что индекс  равен простому числу, следует, что  - максимальная подгруппа группы  и поэтому  - -максимальная подгруппа в . Так как  - неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа . Понятно, что  - -максимальная подгруппа в  и поэтому по условию перестановочна с . В таком случае, . Но  - собственная подгруппа в  и поэтому . Это противоречие показывает, что . Следовательно, . Поскольку  - простое число, то  - максимальная подгруппа в . Из того, что группа  есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в  имеется неединичная -максимальная подгруппа . Тогда  -максимальна в  и следовательно, . Таким образом . Это влечет . Полученное противоречие показывает, что  - разрешимая группа.

(5) Заключительное противоречие.

Из (3) и (4) следует, что  - элементарная абелева -группа для некоторого простого числа  и поэтому . Покажем, что  делит . Если  не делит , то  - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак,  делит . Ввиду леммы , .

Пусть  - произвольная максимальная в  подгруппа с индексом , где  и . Тогда , где  - силовская -подгруппа группы .

Предположим, что  не является нормальной в  подгруппой. Ясно, что  - максимальная в  подгруппа. Если  - нормальная подгруппа в , то . Значит,  не является нормальной подгруппой в . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная в  подгруппа и поэтому  - -максимальная в  подгруппа для любого . Поскольку по условию  -перестановочна с подгруппой  и , то  перестановочна с подгруппой  и поэтому . Ясно, что  - -максимальная в  подгруппа. Так как  и  не является нормальной подгруппой в , то  и поэтому  - нормальная погруппа в . Следовательно,  - нормальная в  подгруппа. Это влечет, что . Ввиду произвольного выбора , получаем, что каждая максимальная подгруппа группы  нормальна в . Значит,  - нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в  нормальна в . Предположим, что . Поскольку  и  разрешима, то в группе  существует минимальная нормальная -подгруппа , где . Так как  - максимальная в  подгруппа, то . Это влечет, что . Следовательно, группа  обладает главным рядом

и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что . Пусть  - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Это влечет , что противоречие тому, что .

Следовательно,  - нормальная подгруппа в . Согласно лемме ,  - -нильпотентная группа и поэтому . Ввиду произвольного выбора , получаем, что  для любого  и . Ясно, что , что противоречит . Теорема доказана.

3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.

[3.1]. Пусть  - группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы , когда группа  имеет вид:

(1)  - группа Миллера-Морено;

(2) , где  - группа кватернионов порядка ,  - группа порядка .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что  - группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Докажем, что в этом случае, либо  - группа Миллера-Морено, либо , где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка . Предположим, что это не так и пусть  - контрпример минимального порядка.

Так как  - группа Шмидта, то ввиду леммы (I), , где  - силовская -подгруппа в ,  - циклическая -подгруппа.

Покажем, что  - группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе  имеется собственная подгруппа  простого порядка. Ввиду леммы (IV),  и, следовательно,  - нормальная подгруппа в группе  и  - группа Шмидта.

Понятно, что в группе  каждая 2-максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что либо  - группа Миллера-Морено, либо , где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка .

В первом случае  - абелева подгруппа и, следовательно,  - группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что , где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка . Тогда , где  - группа кватернионов порядка  и  - циклическая группа порядка . Пусть  - такая максимальная подгруппа группы , что . Если , то . Поскольку  - группа Шмидта, то  нильпотентна, и поэтому . Это означает, что  - нормальная подгруппа в группе . Полученное противоречие показывает, что . Следовательно,  - максимальная подгруппа группы . Понятно, что  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - подгруппа группы  с индексом . Ясно, что  - -макимальная подгруппа группы . Так как по условию  и  перестановочны, то  - подгруппа группы , индекс которой равен . Рассуждая как выше, видим, что  - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что  - группа простого порядка.

Пусть  - произвольная максимальная подгрупа в  и  - максимальная подгруппа в . Так как  неабелева, то  - неединичная подгруппа. Из того, что  - максимальная подгруппа в , следует, что  - 3-максимальная подгруппа в .

Ввиду леммы (II),  - максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в  подгруппу , такую что . Тогда

и  - 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы  и  перестановочны. Если , то используя лемму (V), имеем

Из того, что  получаем, что порядок  делит . Поскольку , то полученное противоречие показывает, что  - собственная подгруппа группы . Следовательно,  нильпотентна, и поэтому

Значит, либо  - максимальная подгруппа в , либо . В первом случае получаем, что  является единственной максимальной подгруппой в . Это означает, что  - циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы . Следовательно, первый случай невозможен. Итак, . Ввиду произвольного выбора  получаем, что  - единственная -максимальная подгруппа в группе . Из теоремы следует, что  - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Так как первый случай очевидно невозможен, то  - группа кватернионов порядка . Поскольку подгруппа  изоморфна погруппе группы автоморфизмов , то . Полученное противоречие с выбором группы  доказывает, что либо  - группа Миллера-Морена, либо , где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка .

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

. В ненильпотентной группе  каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  тогда и только тогда, когда группа  имеет вид:

(1)  - группа Миллера-Морена;

(2)  - группа Шмидта, где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка ;

(3)  и ,

где  - группа простого порядка ,  - нециклическая -группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны;

(4) ,

где  - группа порядка ,  - группа простого порядка , отличного от ;

(5) ,

где  - группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в группе ,  - циклическая -группа и ;

(6) ,

где  - примарная циклическая группа порядка ,  - группа простого порядка , где  и ;

(7) ,

где  и  - группы простых порядков  и  (),  - циклическая -подгруппа в  (), которая не является нормальной в , но максимальная подгруппа которой нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Пусть  - ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Если в группе  все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа  является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа  оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе  существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа  разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .

I. .

Пусть  - некоторая силовская -подгруппа в  и  - некоторая силовская -подгруппа в , где .

Предположим, что в группе  нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа  разрешима, то в  существует нормальная подгруппа  простого индекса, скажем индекса , и она не является нильпотентной группой. Действительно, если  нильпотентна, то в ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то  - нормальная подгруппа в . Из того, что  следует, что  - нормальная силовская -подгруппа в . Полученное противоречие показывает, что  не является нильпотентной подгруппой.

Так как  является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные подгруппы группы  перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия , группа  имеет вид , где  - группа простого порядка  и  - циклическая -подгруппа.

Так как

и факторгруппа  изоморфна подгруппе из , то  больше .

Если  - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно теореме Бернсайда , группа  -нильпотентна. Но тогда . Полученное противоречие показывает, что  является ненильпотентной группой. Так как  - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия , подгруппа  имеет вид , где  - циклическая -подгруппа, и, следовательно, . Полученное противоречие показывает, что в группе  существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовская -подгруппа  группы . Пусть . Ясно, что .

Если в группе  существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то . Ввиду следствия ,  - группа порядка .

Пусь . Допустим, что  - циклическая подгруппа. В этом случае, группа  является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что  - нециклическая подгруппа. Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Если  - нильпотентная подгруппа, то группа  нильпотентна, противоречие. Следовательно,  - группа Шмидта, и поэтому  - циклическая подгруппа. Таким образом, группа  относится к типу (3).

Пусть . Тогда . Следовательно,  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы . Если  - нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что  - группа Шмидта. Значит,  - циклическая подгруппа. Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как , то  - единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, . Факторгруппа , где  - элементарная абелева подгруппа порядка  и . Так как  - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то  - циклическая группа, и поэтому подгруппа  циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе  является степенью числа .

Так как в группе  существуют собственные подгруппы Шмидта, то . Пусть  - подгруппа Шмидта группы . Тогда  для некоторого . Понятно, что для некоторого  имеет место  и поэтому не теряя общности мы может полагать, что . Поскольку , то . Из того, что , следует, что .

Так как  - максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы группы  перестановочны со всеми максимальными подгруппами в . Используя следствие, мы видим, что  - группа простого порядка и  - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы  нормальны в . Следовательно,  является максимальной подгруппой группы .

Предположим, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что , следует, что  - нильпотентная максимальная подгруппа в . Значит,  - нормальная подгруппа в . Поскольку  нормальна в , то  - нормальная подгруппа группы . Так как , то в группе  существует 2-максимальная подгруппа  такая, что . Тогда  - -максимальная подгруппа в , и следовательно,  - -максимальная подгруппа в . Поскольку по условию  перестановочна с , то

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - произвольная -максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что  - нормальная подгруппа в группе  и поэтому  - подгруппа группы . Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Полученное противоречие с максимальностью подгруппы  показывает, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что . Так как , то  - абелева и поэтому . Следовательно, . Так как , то . Из того, что

получаем, что , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе .

Предположим, что в группе  существует подгруппа  порядка , отличная от . Из того, что порядок  следует, что  - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы . Так как по условию подгруппы  и  перестановочны, то мы имеем

Следовательно,  - подгруппа группы , и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе  существует единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы , группа  является либо группой кватернионов порядка , либо является циклической группой порядка . В первом случае, подгруппа  порядка  группы  содержится в центре  группы , и поэтому подгруппа  не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит,  - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что . Если , то подгруппа  нормальна в группе , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что . Таким образом,  - группа типа (6). Пусть теперь . Если порядок , то , и поэтому  - группа типа (4). Предположим, что порядок . Пусть  - максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что  - неединичная подгруппа. Так как подгруппа  нильпотентна, то . Но как мы уже знаем,  - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, . Пусть  - произвольная подгруппа порядка  группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы  и  перестановочны. Так как  - абелева подгруппа, то  - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то

является нормальной подгруппой в  и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что  - группа типа (5).

II. .

Пусть  - некоторая силовская -подгруппа группы ,  - некоторая силовская -подгруппа группы  и  - некоторая силовская -подгруппа группы , где  - различные простые делители порядка группы . Пусть  - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы . Так как  - разрешимая группа, то индекс подгруппы  в группе  равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс  равен . Ввиду следствия ,  - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .

1. Предположим, что  - нильпотентная подгруппа. Пусть  - силовская -подгруппа группы ,  - силовская -подгруппа группы  и  - силовская -подгруппа группы . Тогда . Так как  и , то  и  - нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс подгруппы  равен , следует, что  и  - силовские подгруппы группы  и поэтому  и . Понятно, что для некоторого  имеет место  и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что . Следовательно, . Ясно, что  не является нормальной подгруппой в группе .

Если подгруппы  и  нильпотентны, то  и , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы  и  не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а)  и  - группы Шмидта.

Так как , то ввиду следствия ,  - подгруппа простого порядка  и  - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа  группы  нормальна в . Аналогично видим, что  - подгруппа простого порядка  и  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в , и поэтому  является группой типа (7).

б) Одна из подгрупп ,  является нильпотентной, а другая - группой Шмидта.

Пусть например,  - группа Шмидта и  - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что  - группа простого порядка ,  - циклическая группа и максимальная подгруппа  из  нормальна в . Так как  - нильпотентная группа, то . Из того, что  следует, что  - нормальная подгруппа в группе . Значит, ввиду леммы ,  - нормальная максимальная подгруппа в группе  и поэтому . Следовательно,  - группа простого порядка .

Из того, что  - нильпотентная подгруппа и  - циклическая группа следует, что  - нормальная подгруппа в . Следовательно,  - нормальная подгруппа в группе , т.е.  - группа типа (7).

2. Предположим теперь, что  - ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что , где  - группа простого порядка  и  - циклическая группа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа  из  нормальна в . Так как  - характеристическая подгруппа в  и  - нормальная подгруппа в , то  - нормальная подгруппа в . Из того, что  - нормальная максимальная подгруппа в группе , следует, что  - группа простого порядка .

Покажем теперь, что  - нормальная подгруппа в группе . Так как , то  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - -максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы  для любого . По условию  - подгруппа группы . Поскольку порядок

делит , то . Таким образом  для любого , т.е. . Так как  - нормальная подгруппа в группе , то , и поэтому . Отсюда получаем, что  - нормальная подгруппа в группе . Поскольку  - -максимальная подгруппа, то согласно следствия,  - нильпотентная группа, и поэтому . Это означает, что  - нормальная подгруппа в группе . Таким образом, группа  является группой типа (7).

Итак,  - группа одного из типов (1) - (7) теоремы.

Достаточность. Покажем, что в группе  каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (1) или (2). Ввиду леммы , в группе  каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (3). Тогда  и , где  - группа простого порядка ,  - нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны. Пусть .

Так как , то , и поэтому в группе  существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен . Пусть  - произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы  с индексом . Тогда . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  - нормальная подгруппа в , и следовательно,

Значит,  - единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен .

Пусть  - произвольная максимальная подгруппа в  и  - максимальная подгруппа в . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа в ,  - максимальная подгруппа в ,  - максимальная подгруппа в .

1. Если  и  - нильпотентные подгруппы группы  индекса , то . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  - нормальная подгруппа в , и следовательно,  перестановочна с .

2. Предположим, что  является ненильпотентной подгруппой. Так как , то . Из того, что , следует, что  - циклическая подгруппа. Так как , то  - максимальная подгруппа группы , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Из того, что , следует, что . Следовательно,  - нильпотентная максимальная подгруппа группы , индекс которой равен . Если  - максимальная подгруппа группы  такая, что , то  - -подгруппа, и поэтому  - нильпотентная подгруппа. Пусть  - произвольная максимльная подгруппа группы , индекс которой  равен . Так как , то . Следовательно, для некоторого  мы имеем . Без ограничения общности можно полагать, что . Так как  - максимальная подгруппа циклической группы , то , и поэтому  - нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно,  - группа Шмидта. Значит,  и поэтому , где  - циклическая -подгруппа.

Если , то . Так как  - подгруппа циклической группы , то . Из того, что  - максимальная подгруппа группы , следует, что  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в группе  и поэтому . Это означает, что подгруппа  перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

Если , то  - подгруппа циклической группы  и поэтому  - нормальная подгруппа в . Так как группа  нильпотентна, то  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в  и поэтому  перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

3. Предположим теперь, что  - нильпотентная группа, такая что , и  не является нильпотентнай подгруппой. Тогда . Рассуждая как выше видим, что  - группа Шмидта. Так как , то  имеет вид

,

где  - циклическая -группа.

Если , то . Но  - подгруппа циклической группы  и поэтому . Из того, что  - максимальная подгруппа группы , следует, что  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в группе  и поэтому мы имеем , что влечет перестановочность подгруппы  со всеми -максимальными подгруппами группы , в частности с .

Если , то подгруппа  содержится в некоторой силовской -подгруппе  группы . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  и поэтому . Следовательно,  - максимальная подгруппа группы . Значит,  - нормальная подгруппа в . Так как  - нильпотентная группа, такая что , то . Ясно, что  - нормальная подгруппа группы . Если , то  имеет вид . Так как , то имеет место  и поэтому

.

Это означает, что подгруппы  и  перестановочны. Если , то  и поэтому . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны.

4. Если , то подгруппа  является максимальной подгруппой группы  индекса  и  - 2-максимальная подгруппа в . Но подгруппы такого вида уже изучены.

5. Если , то подгруппа  является максимальной подгруппой группы  с индексом  и  - максимальная подгруппа группы . Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы  группы  перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы .

Это означает, что в любом случае  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Легко видеть, что в группе  типа (4) каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (5). Легко видеть, что в группе  все -максимальные подгруппы группы  нормальны в группе . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (6). Пусть  - максимальная подгруппа группы . Понятно, что либо , либо , где . Отсюда следует, что  - единственная неединичная -максимальная подгруппа группы . Так как , то  - нормальная подгруппа в группе , и поэтому подгруппа  перестановочна со всеми -максимальнаыми подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (7). Тогда , где  - подгруппа группы  простого порядка ,  - подгруппа группы  простого порядка  и  - циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной подгруппой в группе , но максимальная подгруппа группы  нормальна в . Покажем, что в группе  любая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть  - контрпример минимального порядка.

Предположим, что . Пусть  - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что  - нормальная подгруппа группы . Следовательно,  перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что .

Пусть  - подгруппа группы  с индексом . Так как , то  - неединичная подгруппа группы . Ясно, что  - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа  имеет вид , где  - силовская подгруппа порядка ,  - силовская подгруппа порядка ,  - циклическая силовская -подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в , но максимальная подгруппа  группы  нормальна в группе . Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть  - произвольная -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что  и . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы , и поэтому

Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы  заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе  любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  и , то  - нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов  группы кватернионов  имеется элемент  порядка . Пусть . Тогда  принадлежит типу (2). Действительно, пусть  - единственная подгруппа порядка 2 группы . Тогда  и поэтому . Понятно, что  - главный фактор группы  и кроме того, . Таким образом,  - максимальная подгруппа группы  и все максимальные в  подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с . Следовательно,  - группа Шмидта.

Пусть

 

и  - группа порядка 7. Ввиду леммы ,  - абелева группа порядка 9. Поскольку  изоморфна некоторой подгруппе  порядка 3 из группы автоморфизмов , то  - группа операторов для  с . Пусть . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  не является нормальной подгруппой группы . Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны и не являются нормальными подгруппами группы  и поэтому  - группа типа (3).

Пусть теперь  и  - такие простые числа, что  делит . Тогда если  - группа порядка , то в группе ее автоморфизмов  имеется подгруппа  порядка . Пусть , где  - группа порядка . Тогда  - группа операторов для  с  и поэтому группа  принадлежит типу (3).

Пусть снова  и  - группы, введенные в примере,  и , где  Пусть  - канонический эпиморфизм группы  на факторгруппу . Пусть  - прямое произведение групп  и  с объединенной факторгруппой  (см. лемму ). Пусть  - силовская -подгруппа группы . Тогда , где  и поэтому

, где  

Покажем, что . Поскольку  и , то . Следовательно,  и поэтому . Значит, . Так как  и , то  и поэтому  . Пусть  - неединичная подгруппа из . Ясно, что . Пусть . Мы имеем

Значит,  и поэтому . Следовательно,  - нормальная погруппа в . Таким образом, группа  принадлежит типу (5).

Пусть  - циклическая группа порядка , где  - простое нечетное число. Согласно лемме , . Пусть теперь  - произвольный простой делитель числа  и  - группа порядка  в . Обозначим символом  полупрямое произведение . Пусть  - подгруппа порядка  группы . Тогда  и поэтому если , то согласно лемме , , что противоречит определению группы . Следовательно, , что влечет . Значит, группа  принадлежит типу(6).

Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть  и  - группы нечетных простых порядков  и  соответственно (). Тогда

 

и поэтому найдется такой простой делитель  числа , который одновременно отличен от  и . Пусть , где  - группа порядка  в . Тогда группа  принадлежит типу (7).

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.

Класс  всех таких абелевых групп ,что  не содержит кубов, является формацией.

Доказательство.

Пусть . И пусть  - произвольная нормальная подгруппа группы . Тогда  абелева. Так как по определению экспоненты  делит  и поскольку  не содержит кубов, то  не содержит кубов. Следовательно, .

Пусть  и . Покажем, что

.

Пусть . Тогда , где  и . Так как , то по определению экспоненты . Из того, что  и  не содержат кубов, следует, что  не содержит кубов. Поскольку группа  изоморфна подгруппе из , то  делит , и поэтому  не содержит кубов. Так как группа  абелева, то . Следовательно,  - формация. Лемма доказана.

[4.1]. Пусть , где  - формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы  перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы , то .

Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы  группы , факторгруппа .

Пусть  - максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Тогда  - максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Из того, что по условию подгруппы  и  перестановочны, мы имеем

Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что .

(2)  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  для некоторого простого , и  где  - максимальная подгруппа группы  с .

Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы,  - разрешимая группа, и поэтому  - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как  - насыщенная формация , то ввиду (1),  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы  и . Пусть  - максимальная подгруппа группы , не содержащая  и . По тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что  абелева, следует, что  и поэтому . Это показывает, что , .

(3) Заключительное противоречие.

Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы  группы  имеем . Так как , то . Пусть  - -максимальная подгруппа группы . Тогда по условию,  для каждого . По лемме ,  и поэтому . Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы  единичная, и следовательно,  - простое число для всех максимальных подгруппы  группы . Так как  для некоторого простого , то  - максимальная подгруппа группы . Это означает, что  - -максимальная подгруппа группы .

Предположим, что . Тогда в  имеется неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы , и поэтому  перестановочна с . Следовательно, , но . Полученное противоречие показывает, что .

Поскольку ввиду (1),

, то  - нильпотентная подгруппа.

Из того, что  - неединичная нормальная подгруппа в группе , следует, что .

Так как факторгруппа  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов  и группа автоморфизмов  группы  простого порядка  является циклической группой порядка , то  абелева. Из того, что  и  не содержит кубов, следует, что  не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому  - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы  доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе  каждая максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  тогда и только тогда, когда группа  имеет вид:

(1) ,

где  - группа порядка  и  - группа порядка , где ;

(2) ,

где  - минимальная нормальная подгруппа в  порядка  и  - группа порядка , где ;

(3) ,

где  - группа порядка  и  - группа порядка , где .

(4) ,

где  - группа порядка  и  - группа порядка , где  - различные простые делители порядка группы .

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа  разрешима, то , где  - примитиватор группы  и  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .

Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы  и  перестановочны. Следовательно, для любого ,  - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что  для любого . Значит, . Следовательно, в группе  все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .

1. Пусть . Если , то группа  принадлежит типу (1). Если , то группа  принадлежит типу (3).

2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы  и  перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае  - группа типа (2).

3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит,  - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе  каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  тогда и только тогда, когда либо  где  - различные простые числа и  либо  - группа типа (2) из теоремы , либо  - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1) ,

где  - группа простого порядка , а  - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где  и ;

(2) ,

 где  - группа простого порядка ,  - циклическая -группа с  () и ;

(3) ,

где  - группа простого порядка ,  - -группа с  (),  и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть  - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .

Поскольку  - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно,  - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .

I. Пусть , где  и  - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы ,  и .

Так как , то  содержится в некоторой максимальной подгруппе  группы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого  подгруппы  и  перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно,  - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому  - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора ,  - примарная циклическая группа.

Пусть . Тогда  для некоторого . Пусть  - силовская -подгруппа группы ,  - силовская -подгруппа группы  и  - силовская -подгруппа группы . Так как

,

 то  - группа порядка  и . Из того, что факторгруппа  сверхразрешима и подгруппа  циклическая, следует, что  - сверхразрешимая группа. Допустим, что  - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда  и поэтому . Значит,  и , противоречие. Если  - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что  и . Полученное противоречие показывает, что  - наибольший простой делитель порядка группы . Значит,  - нормальная подгруппа в группе . Если , то  и , где  - группа порядка ,  - -группа. Ясно, что  - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку  - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то  - циклическая группа и поэтому  - циклическая группа. Следовательно,  - группа типа (2).

Пусть теперь . Поскольку в группе  все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то  и поэтому .

II. Пусть . Согласно лемме , , где  - минимальная нормальная подгруппа в группе  и либо , либо .

 1. Пусть .

Пусть  - силовская -подгруппа группы .

Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что  - примарная циклическая группа. Значит, .

Предположим, что  - -группа. Тогда . Пусть  - максимальная подгруппа группы .

Допустим, что . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что . Тогда  - -максимальная подгруппа группы , и следовательно,  - подгруппа группы , что влечет

Полученное противоречие показывает, что  и поэтому . Значит, , где  - минимальная нормальная подгруппа группы  порядка  и . Следовательно, .

Пусть теперь  и . Пусть  - силовская -подгруппа в  и  - максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .

Так как  - циклическая силовская -подгруппа группы , то  - -сверхразрешимая группа.

Предположим, что . Пусть  - силовская -подгруппа группы  и пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что . Тогда ввиду леммы ,  - сверхразрешимая группа,  и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Пусть  - силовская -подгруппа группы . Так как  - нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку  сверхразрешима, то , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Из того, что  - циклическая группа, следует, что . Значит,  - нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы  и  перестановочны, то

противоречие. Следовательно, . Пусть теперь  - произвольная максимальная подгруппа группы . Поскольку  - -максимальлная подгруппа группы , то

Полученное противоречие показывает, что . Значит,  и . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  - минимальная нормальная подгруппа в группе . Из того, что  - силовская -подгруппа группы , следует, что . Ясно, что . Следовательно, , и поэтому  - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что . Рассуждая как выше видим, что

противоречие. С другой стороны, если , то как и выше получаем, что

что невозможно. Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что . Поскольку  - максимальная подгруппа группы  и , то  - -максимальная подгруппа группы . По условию  - подгруппа группы . Следовательно, , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при  этот случай также невозможен.

Полученное противоречие показывает, что . Пусть . Тогда , и поэтому  - нормальная силовская -подгруппа в группе . Значит, , где . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что  - максимальная подгруппа в . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Поскольку , то  и поэтому . Значит,  - единственная максимальная подгруппа группы . Следовательно,  - циклическая группа. Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как

,

то . С другой стороны,  и поэтому  - максимальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы , отличная от . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Поскольку подгруппы  и  перестановочны и , то  и поэтому . Следовательно,  - единственная -максимальная подгруппа группы . Значит, согласно теореме ,  - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Пусть имеет место первый случай. Тогда . Это означает, что  - нормальная подгруппа в , и поэтому  Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, , где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка .

Пусть теперь . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы , и, следовательно,  - подгруппа группы . Но поскольку , то этот случай невозможен.

2. Для любой максимальной и не нормальной в  подгруппы  имеет место , где  и  - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в  подгруппы есть простое число. Это означает, что группа  сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что  - примарная циклическая подгруппа и поэтому  для некоторых  и . Следовательно, . Пусть  - силовская -подгруппа группы , пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в  и пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если  - нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает, что  не является нормальной подгруппой группы .

Допустим, что . Тогда  - силовская -подгруппа группы  и . Из сверхразрешимости группы  следует, что  - нормальная подгруппа группы . Значит, , где  - группа простого порядка . Ясно, что  и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то  - группа типа (3).

Пусть . Тогда  и  - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как  - максимальная подгруппа группы , то  - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то  - группа типа (1).

Пусть теперь,  - различные простые числа. Тогда  и . Если  - нормальная подгруппа группы , то  и поэтому  - группа типа (1). Пусть  не является нормальной подгруппой группы . Тогда  - наибольший простой делитель порядка группы  и поэтому  - нормальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы , такая что  и . Допустим, что  - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то  и поэтому  - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого ,  - нормальная подгруппа группы . Следовательно,  - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит,  не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у  все максимальные подгруппы отличные от  примарны и цикличны и . Значит,  - группа типа (1).

Достаточность. Если  и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы  перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть  - группа Шмидта, где  - группа кватернионов порядка  и  - группа порядка . Ясно, что в группе  -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.

Предположим теперь, что  - группа типа (1)-(3). Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы  и  перестановочны.

Пусть  - группа типа (1). Пусть .

1. Пусть , где  - простое число, отличное от . Пусть  - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Тогда .

Допустим, что . Поскольку группа  сверхразрешима, то индекс  максимальной подгруппы  является простым числом.

Пусть . Тогда . Значит, . Поскольку

,

то  - максимальная в  подгруппа. Если , то  - примарная циклическая группа. Так как  делит , то ,  и поэтому для некоторого , . Полученное противоречие показывает, что . Это означает, что  - нормальная подгруппа в .

Допустим, что . Пусть . Тогда  - нормальная подгруппа в . Поскольку в  любая максимальная подгруппа индекса  совпадает с , то  - нормальная подгруппа в  и поэтому  перестановочна с .

Пусть теперь . Пусть  - силовская -подгруппа и  - силовская -подгруппа в  соответственно. Пусть . Тогда  и поэтому для некоторого , . Из того, что , следует, что  - максимальная подгруппа группы . С другой стороны,  - максимальная подгруппа циклической группы . Значит, . Отсюда следует, что  и поэтому  - нормальная подруппа в . Следовательно,  перестановочна с . Пусть . Тогда для некоторого , . Рассуждая как выше видим, что . Значит,  - нормальная подгруппа в . Поскольку

,

то . Это означает, что подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Используя приведенные выше рассуждения видим, что  - нормальная подгруппа в . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Рассуждая как выше видим, что  - нормальная подгруппа в  и . Значит, . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Пусть теперь . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в . Пусть . Тогда , где . Пусть  - силовская -подгруппа группы . Пусть . Тогда  - -группа и для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Поскольку , то . Значит, . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Тогда . Следовательно,  и поэтому подгруппа  перестановочна с . Пусть . Тогда . Ясно, что . Следовательно, . Это означает, что подгруппы  и  перестановочны. Пусть . Тогда . Поскольку , то

и поэтому подгруппы  и  перестановочны.

Если , то рассуждая подобным образом, получаем, что  перестановочна с .

Допустим, что . Так как в  все максимальные подгруппы, отличные от , примарные и циклические, то  - максимальная подгруппа в . Следовательно, . Это означает, что в группе  существует единственная -максимальная подгруппа  и она единична. Таким образом,  перестановочна с .

2. Пусть теперь .

Пусть . Тогда  - нормальная подгруппа в  и поэтому  перестановочна с . Пусть . Тогда . Поскольку для некоторого , , то без ограничения общности можно предположить, что . Значит, . Если , то  и поэтому

Допустим, что . Тогда  - -группа. Поскольку для некоторого ,  и , то  и поэтому . Пусть теперь . Пусть  - силовская -подгруппа и  - силовская -подгруппа в  соответственно. Тогда . Ясно, что  для некоторого  и . Следовательно,  и поэтому . Если , то

Если , то

В любом случае, -максимальная подгруппа  перестановочна с максимальной подгруппой .

Пусть  - группа типа (2) или (3). Если , то . Поскольку , то  - -максимальная подгруппа группы . Если , то  содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе  группы . Так как , то  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что

Значит,  перестановочна с . Пусть . Если , то  для некоторого . Поскольку  то

и поэтому  перестановочна с . Если , то . Из того, что , следует, что . Значит,  перестановочна с .

Пусть теперь . Тогда  - -группа и, следовательно, для некоторого ,  . Без ограничения общности можно предположить, что . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - максимальная подгруппа группы , содержащая . Допустим, что . Если , то . Предположим, что . Тогда  - циклическая группа. Поскольку , то  - максимальная подгруппа группы . Из того, что  - циклическая подгруппа следует, что . Значит, . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что  - нормальная подгруппа в . Значит,  перестановочна с .

Пусть . Поскольку  - циклическая группа, то  - нормальная подгруппа в . Следовательно,  перестановочна с . Теорема доказана.

 Если в группе  любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  и , то  - нильпотентная группа.

Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).

Заключение

В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами. Доказана -разрешимость и найдены оценки -длины групп, у которых каждая -максимальная подгруппа -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами, где .

Литература

1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.

2.Боровиков М.Т. О -разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.

3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными -максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.

4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.

5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все -е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.

6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.

7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.

8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.

9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.

10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.

11.Пальчик Э.М. О -квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.

12.Пальчик Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.

13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.