Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы

Дипломная работа


"Полунормальные подгруппы конечной группы"


Содержание


Введение

1 Силовские подгруппы конечных групп

2 Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам

2.3 Супердобавления к силовским подгруппам

3 Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых

групп

Заключение

Список использованных источников


Введение


В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы понимается такая подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы, но Полунормальные подгруппы конечной группы для любой собственной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.

Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались Полунормальные подгруппы конечной группы–дополняемость, Полунормальные подгруппы конечной группы–плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.

Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.

Квазинормальной называют подгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы, которая перестановочна со всеми подгруппами группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.

Минимальное добавление Полунормальные подгруппы конечной группы к квазинормальной подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы обладает следующим свойством: если Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление Полунормальные подгруппы конечной группы к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы назовём супердобавлением, если Полунормальные подгруппы конечной группы является подгруппой для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.

Всякую факторизуемую группу Полунормальные подгруппы конечной группы можно рассматривать как группу с подгруппой Полунормальные подгруппы конечной группы и её добавлением Полунормальные подгруппы конечной группы, и как группу с подгруппой Полунормальные подгруппы конечной группы и её добавлением Полунормальные подгруппы конечной группы. Известно, что группа Полунормальные подгруппы конечной группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы Полунормальные подгруппы конечной группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы:

– подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы имеют взаимно простые индексы;

– группа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет нильпотентный коммутант;

– подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочны со всеми подгруппами из Полунормальные подгруппы конечной группы, а подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочны со всеми подгруппами из Полунормальные подгруппы конечной группы. Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.

В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.


1. Силовские подгруппы конечных групп


По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число Полунормальные подгруппы конечной группы делит порядок конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то в группе Полунормальные подгруппы конечной группы может и не быть подгруппы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пример 1.1 Знакопеременная группа Полунормальные подгруппы конечной группы порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.

Допустим противное, пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа порядка 6 в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Группа Полунормальные подгруппы конечной группы содержит подгруппы


Полунормальные подгруппы конечной группы


Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, противоречие. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы, а т. к. Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа Полунормальные подгруппы конечной группы не содержит подгруппу порядка 6.

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей Полунормальные подгруппы конечной группы порядка конечной группы имеется подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы.

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда Полунормальные подгруппы конечной группы – степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы Полунормальные подгруппы конечной группы делится на простое число Полунормальные подгруппы конечной группы, то в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует элемент порядка Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа Полунормальные подгруппы конечной группы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, простое число Полунормальные подгруппы конечной группы делит Полунормальные подгруппы конечной группы, то в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует элемент порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы делит Полунормальные подгруппы конечной группы для некоторого Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – элемент порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, противоречие. Поэтому все элементы группы Полунормальные подгруппы конечной группы имеют порядки, не делящиеся на Полунормальные подгруппы конечной группы.

Полунормальные подгруппы конечной группы

не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы.

Так как группа Полунормальные подгруппы конечной группы абелева, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа, и к произведению Полунормальные подгруппы конечной группы можно применить следующее


Полунормальные подгруппы конечной группы


не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы.

Затем Полунормальные подгруппы конечной группы обозначаем через Полунормальные подгруппы конечной группы и опять получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы. Через конечное число шагов приходим к выводу, что Полунормальные подгруппы конечной группы не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы. Но


Полунормальные подгруппы конечной группы


и Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е. получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число. Полунормальные подгруппы конечной группы- Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа Полунормальные подгруппы конечной группы. Конечная группа называется примарной, если она является Полунормальные подгруппы конечной группы-группой для некоторого простого Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема 1.3 Error: Reference source not found. Пусть конечная группа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число и Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы;

если Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, то существует такой элемент Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы;

любые две подгруппы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы сопряжены в группе Полунормальные подгруппы конечной группы;

число подгрупп порядка Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы сравнимо с единицей по модулю Полунормальные подгруппы конечной группы и делит Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по Полунормальные подгруппы конечной группы. По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка Полунормальные подгруппы конечной группы утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Порядок центра Полунормальные подгруппы конечной группы делится на Полунормальные подгруппы конечной группы.

Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – абелева группа, то к Полунормальные подгруппы конечной группы применима лемма 1.2. По этой лемме в Полунормальные подгруппы конечной группы есть элемент Полунормальные подгруппы конечной группы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, то факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы и по индукции в группе Полунормальные подгруппы конечной группы имеется подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы. По теореме о соответствии в группе Полунормальные подгруппы конечной группы имеется подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Итак, в группе Полунормальные подгруппы конечной группы порядков Полунормальные подгруппы конечной группы соответственно.

Случай 2. Порядок центра Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы.

Рассмотрим разложение группы Полунормальные подгруппы конечной группы в объдинение различных классов сопряжённых элементов


Полунормальные подгруппы конечной группы


где


Полунормальные подгруппы конечной группы


– класс сопряжённых с Полунормальные подгруппы конечной группы элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе Полунормальные подгруппы конечной группы равно индексу централизатора Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть


Полунормальные подгруппы конечной группы

Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой Полунормальные подгруппы конечной группы. И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому из <1> получаем


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы. Если все числа Полунормальные подгруппы конечной группы делятся на Полунормальные подгруппы конечной группы, то из <2> следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы делится на Полунормальные подгруппы конечной группы, что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы такое, что Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы то


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы – целое число и Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь к группе Полунормальные подгруппы конечной группы применима индукция. По индукции в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы Эта подгруппа будет искомой для группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Рассмотрим разложение группы Полунормальные подгруппы конечной группы на двойные смежные классы по подгруппам Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы:


Полунормальные подгруппы конечной группы


Зададим отображение


Полунормальные подгруппы конечной группы


переводящее элементы двойного смежного класса Полунормальные подгруппы конечной группы в элементы произведения подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Легко проверить, что отоюражение Полунормальные подгруппы конечной группы взаимно однозначно, поэтому, получаем


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы Так как Полунормальные подгруппы конечной группы есть подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, то по теореме Лагранжа Полунормальные подгруппы конечной группы делит Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – целое число. Из <3> теперь получаем:


Полунормальные подгруппы конечной группы


Сокращая обе части на Полунормальные подгруппы конечной группы получим:


Полунормальные подгруппы конечной группы


Так как Полунормальные подгруппы конечной группы взаимно просто с Полунормальные подгруппы конечной группы, а Полунормальные подгруппы конечной группы – целое число, являющееся степенью Полунормальные подгруппы конечной группы, то в правой части <4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. По существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такой, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормализатор подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим разложение группы Полунормальные подгруппы конечной группы на двойные смежные классы по Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы:

Полунормальные подгруппы конечной группы


Отображение


Полунормальные подгруппы конечной группы


будет взаимно однозначным отображением Полунормальные подгруппы конечной группы на Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь из <5> получаем:


Полунормальные подгруппы конечной группы


Положим Полунормальные подгруппы конечной группы. Элемент Полунормальные подгруппы конечной группы можно выбрать единичным, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь


Полунормальные подгруппы конечной группы


Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого Полунормальные подгруппы конечной группы имеем равенство Полунормальные подгруппы конечной группы. Это означает, что Полунормальные подгруппы конечной группы и подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы содержит две подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. По существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такой, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Но тогда Полунормальные подгруппы конечной группы, а так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то и Полунормальные подгруппы конечной группы. Но это возможно только при Полунормальные подгруппы конечной группы, противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого Полунормальные подгруппы конечной группы, то из равенства <6> получаем сравнение Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы. По все подгруппы порядка Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с Полунормальные подгруппы конечной группы равно Полунормальные подгруппы конечной группы. Поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы делит Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема доказана.

Силовской Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппой конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы называют такую Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппу, индекс которой не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы. Непосредственно из теоремы получаем

Следствие 1.4 Пусть конечная группа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число и Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда:

существует силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа и её порядок равен Полунормальные подгруппы конечной группы;

каждая Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа содержится в некоторой силовской Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппе;

любые две силовские Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы сопряжены;

число силовских Полунормальные подгруппы конечной группы–подгрупп сравнимо с единицей по модулю Полунормальные подгруппы конечной группы и делит Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема 1.5 Для конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы и её силовской Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы справедливы следующие утверждения:

если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, а Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгрупппа в Полунормальные подгруппы конечной группы;

Полунормальные подгруппы конечной группы;

если Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то

Полунормальные подгруппы конечной группы

и

Полунормальные подгруппы конечной группы

пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – все простые делители порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы при Полунормальные подгруппы конечной группы, и пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

Полунормальные подгруппы конечной группы

а если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–группа, а из того, что


Полунормальные подгруппы конечной группы

следует


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


и Полунормальные подгруппы конечной группы не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–группа, а так как


Полунормальные подгруппы конечной группы


не делится на Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Для Полунормальные подгруппы конечной группы получаем


Полунормальные подгруппы конечной группы


т.е. Полунормальные подгруппы конечной группы. Обратно, если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовские подгруппы в Полунормальные подгруппы конечной группы, которые по следствию 1.4 сопряжены в Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е. существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы, такой, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е.


Полунормальные подгруппы конечной группы


Если


Полунормальные подгруппы конечной группы

то Полунормальные подгруппы конечной группы и


Полунормальные подгруппы конечной группы


Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то пусть Полунормальные подгруппы конечной группы означает наивысшую степень Полунормальные подгруппы конечной группы, делящую порядок Полунормальные подгруппы конечной группы. По следствию 1.4 Полунормальные подгруппы конечной группы – порядок силовской Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Из следует, что


Полунормальные подгруппы конечной группы


и


Полунормальные подгруппы конечной группы


Если


Полунормальные подгруппы конечной группы

то

Полунормальные подгруппы конечной группы


и


Полунормальные подгруппы конечной группы


Обратно, пусть


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда

Полунормальные подгруппы конечной группы


Поскольку уже доказано, что


Полунормальные подгруппы конечной группы


то Полунормальные подгруппы конечной группы, где


Полунормальные подгруппы конечной группы


Теперь


Полунормальные подгруппы конечной группы


и


Полунормальные подгруппы конечной группы


Следовательно,


Полунормальные подгруппы конечной группы


Пусть


Полунормальные подгруппы конечной группы


Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы делит Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы и поэтому


Полунормальные подгруппы конечной группы

делит Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е. Полунормальные подгруппы конечной группы. Для Полунормальные подгруппы конечной группы имеем Полунормальные подгруппы конечной группы, откуда Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема доказана.

Лемма 1.6 Error: Reference source not found. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольный элемент из Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы и по следствию 1.4 подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы сопряжены в Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому, существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такой, что Полунормальные подгруппы конечной группы, откуда


Полунормальные подгруппы конечной группы


и


Полунормальные подгруппы конечной группы


Таким образом, Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, содержащая Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то по лемме Фраттини


Полунормальные подгруппы конечной группы


Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы не делит Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда

Полунормальные подгруппы конечной группы


Доказательство. Ясно, что


Полунормальные подгруппы конечной группы


По условию подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы является силовской подгруппой в Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть


Полунормальные подгруппы конечной группы


Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы и по лемме Фраттини Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа Полунормальные подгруппы конечной группы степени 6 имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы. По теореме Силова Полунормальные подгруппы конечной группы содержит подгруппы порядков Полунормальные подгруппы конечной группы. Силовская 2 подгруппа имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы, силовская 3 подгруппа имеет порядок Полунормальные подгруппы конечной группы и силовская 5 подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа порядка 15. В группе Полунормальные подгруппы конечной группы имеется подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы порядка 3 и подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3 подгрупп имеет вид Полунормальные подгруппы конечной группы для некоторого неотрицательного целого Полунормальные подгруппы конечной группы и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3 подгруппы сопряжены, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Аналогично, число силовских 5 подгрупп равно Полунормальные подгруппы конечной группы и делит 3. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – циклические подгруппы простых порядков, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь для любых Полунормальные подгруппы конечной группы имеем:


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы

поэтому


Полунормальные подгруппы конечной группы


и Полунормальные подгруппы конечной группы. Следовательно, группа Полунормальные подгруппы конечной группы абелева. Теперь ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы – циклическая группа.


2. Полунормальные подгруппы


2.1 Свойства супердобавлений


Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для каждой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличной от Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы и в группе Полунормальные подгруппы конечной группы нет собственных добавлений к Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы совпадают с самой группой Полунормальные подгруппы конечной группы, то и супердобавлением к Полунормальные подгруппы конечной группы будет Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочна со всеми собственными подгруппами группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – множество всех супердобавлений к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы в точности тогда, когда Полунормальные подгруппы конечной группы не является полунормальной подгруппой.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы и подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Введём следующие обозначения:


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы – обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа Полунормальные подгруппы конечной группы содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Запись


Полунормальные подгруппы конечной группы


означает, что для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы существует подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы.


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


Лемма 2.1.5 Если Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и

Полунормальные подгруппы конечной группы

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличной от Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы для любого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, а так как Полунормальные подгруппы конечной группы можно считать произвольной в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппой, отличной от Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – супердобавление к Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы. Отсюда следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Группа Полунормальные подгруппы конечной группы для любого Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличная от Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличная от Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит, Полунормальные подгруппы конечной группы для всех Полунормальные подгруппы конечной группы. Отсюда следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа, содержащая Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы пересечение Полунормальные подгруппы конечной группы содержит супердобавление к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то по тождеству Дедекинда имеем Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наименьшая подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, для которой Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – супердобавление в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и любая группа из Полунормальные подгруппы конечной группы содержит супердобавление к Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наименьшая подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Выберем произвольную подгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличную от Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы, то по тождеству Дедекинда Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы, а из полунормальности Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Это означает, что Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. По условию Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Кроме того, Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочны с Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит, Полунормальные подгруппы конечной группы является супердобавлением к Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы, что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы;

для каждого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы и каждого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы существуют целое число Полунормальные подгруппы конечной группы и элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – ее супердобавление. Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы пробегает все элементы группы Полунормальные подгруппы конечной группы, причем Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, что следует из полунормальности Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь выбираем произвольные элемент Полунормальные подгруппы конечной группы и элемент Полунормальные подгруппы конечной группы. В силу того, что Полунормальные подгруппы конечной группы получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы для некоторого целого числа Полунормальные подгруппы конечной группы и некоторого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы.

Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть для каждого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы и каждого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы существуют целое число Полунормальные подгруппы конечной группы и элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как из равенства Полунормальные подгруппы конечной группы вытекает включение Полунормальные подгруппы конечной группы, а из равенства Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы, значит Полунормальные подгруппы конечной группы. Ввиду того, что для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы имеем Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, то получаем равенство Полунормальные подгруппы конечной группы. Это означает, что Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 2.1.10 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы, подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы тогда и только тогда, когда подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы.

Обратно, если Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы, то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы из факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Откуда следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наименьшая подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим произвольную собственную подгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы не содержит Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Это означает, что Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда для любого Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочна со всеми сопряженными подгруппами Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Если элемент Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы. Из полунормальности подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы вытекает, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Имеем Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – квазинормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная подгруппа с супердобавлением Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для всех собственных подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наименьшая в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа, для которой Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы, а так как Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальная, то Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы есть подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам


Теорема 2.2.1 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – максимальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в группе Полунормальные подгруппы конечной группы тогда и только тогда, когда индекс Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы есть простое число.

Доказательство. Необходимоcть. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – максимальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы имеет супердобавление в группе Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е. существует такая подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы есть собственная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы для каждой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличной от Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – две различные максимальные подгруппы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Из максимальности Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы являются подгруппами Полунормальные подгруппы конечной группы. Но тогда Полунормальные подгруппы конечной группы, противоречие с тем, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – максимальная в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа. Следовательно, в Полунормальные подгруппы конечной группы имеется единственная максимальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то циклическая подгруппа, порожденная элементом Полунормальные подгруппы конечной группы, не содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Кроме того, Полунормальные подгруппы конечной группы – примарная группа, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – максимальная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, то индекс Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы есть простое число Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому, Полунормальные подгруппы конечной группы.

Достаточность. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы не содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы и существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому


Полунормальные подгруппы конечной группы


и Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы принадлежит Полунормальные подгруппы конечной группы, следовательно, если Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа циклической группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема доказана.

Следствие 2.2.2 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют супердобавления.

Доказательство. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимая группа, то все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы. По теореме 2.2.1 все максимальные подгруппы обладают супердобавлениями.

Обратно, пусть все максимальные подгруппы имеют супердобавления. По теореме 2.2.1 все они имеют простые индексы. Следовательно группа Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.3 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторое множество простых чисел. Если в Полунормальные подгруппы конечной группы-разрешимой группе Полунормальные подгруппы конечной группы каждая максимальная подгруппа, индекс которой делится на простое число из Полунормальные подгруппы конечной группы, имеет супердобавление, то Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы-сверхразрешима.

Доказательство. По теореме 2.2.1 индекс каждой максимальной подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы либо Полунормальные подгруппы конечной группы-число, либо равен некоторому простому числу из Полунормальные подгруппы конечной группы. Группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы-сверхразрешима для всех Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы-сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.4 Если подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет супердобавление в группе Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы, в которой Полунормальные подгруппы конечной группы является максимальной подгруппой, то Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число.

Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в Полунормальные подгруппы конечной группы, а по теореме 2.2.1 индекс Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число, что и требовалось доказать.

Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.

Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.

Следствие доказано.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – формация всех сверхразрешимых групп. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы – проектор разрешимой группы Полунормальные подгруппы конечной группы называется сверхразрешимым проектором группы Полунормальные подгруппы конечной группы или подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимый проектор разрешимой несверхразрешимой группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – не простое число. Из теоремы 2.2.1 получаем

Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – разрешимая группа и Полунормальные подгруппы конечной группы – ее сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, в которой Полунормальные подгруппы конечной группы является максимальной подгруппой. По лемме 2.1.6 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы, а по следствию 2.2.4 индекс Полунормальные подгруппы конечной группы – простое число. Но это противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Обратное утверждение очевидно.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.

Доказательство. Пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – ее сверхразрешимый проектор. Если подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, то по следствию 2.2.6 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы – противоречие с выбором группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит, подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы не полунормальна, тем более не квазинормальна.

Следствие доказано.


2.3 Супердобавления к силовским подгруппам


Теорема 2.3.1 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольший простой делитель порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – ее силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа. Если Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – простые числа, Полунормальные подгруппы конечной группы, и Полунормальные подгруппы конечной группы – бипримарная группа, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа, а Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа. По условию Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому, можно считать, что Полунормальные подгруппы конечной группы является этим супердобавлением. Если Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – различные максимальные подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то из полунормальности Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственные в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппы. По лемме 2.1.2 и по индукции получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть теперь в Полунормальные подгруппы конечной группы есть единственная максимальная подгруппа. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы – циклическая примарная группа, а так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теперь рассмотрим произвольную группу Полунормальные подгруппы конечной группы. По условию теоремы существует супердобавление Полунормальные подгруппы конечной группы к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа для наибольшего делителя Полунормальные подгруппы конечной группы порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы. То есть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы для любой собственной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы для Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы силовская в Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – бипримарная подгруппа, в которой Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, по доказанному выше Полунормальные подгруппы конечной группы. Из того, что Полунормальные подгруппы конечной группы – любое простое число, отличное от Полунормальные подгруппы конечной группы, получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема доказана.

Следствие 2.3.2 Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы все силовские подгруппы обладают супердобавлениями, то Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре.

Доказательство сразу вытекает из предыдущей леммы и определения дисперсивной по Оре группы.

Следствие 2.3.3 Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы все силовские подгруппы имеют супердобавления, то Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Доказательство. Из теоремы 2.3.1 вытекает, что группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа для наибольшего простого делителя Полунормальные подгруппы конечной группы порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы и пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. По условию Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы– ее супердобавление. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы. По лемме 2.1.6 Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – супердобавление к Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы. По лемме 2.1.8 произведение Полунормальные подгруппы конечной группы является полунормальной в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппой и Полунормальные подгруппы конечной группы, причем Полунормальные подгруппы конечной группы есть супердобавление к Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы. Через Полунормальные подгруппы конечной группы шагов получим, что Полунормальные подгруппы конечной группы – полунормальная в Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа для Полунормальные подгруппы конечной группы. Ясно, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа простого порядка из Полунормальные подгруппы конечной группы, нормальная в Полунормальные подгруппы конечной группы. Из того, что Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Итак, в группе Полунормальные подгруппы конечной группы имеется нормальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы простого порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. По лемме 2.1.6 условие доказываемого утверждения распространяется и на факторгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы. По индукции Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.3.4 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа и Полунормальные подгруппы конечной группы – такое множество простых чисел, что Полунормальные подгруппы конечной группы для любых Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа обладает супердобавлением для всех Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–замкнута и ее Полунормальные подгруппы конечной группы–холловская подгруппа сверхразрешима.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа для наибольшего простого Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольший простой делитель порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы и по теореме 2.3.1 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы. По индукции Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–замкнута, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–замкнута и в Полунормальные подгруппы конечной группы есть Полунормальные подгруппы конечной группы–холловская подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, которая сверхразрешима по следствию 2.2.2.

Следствие доказано.

Определение 2.3.5 Конечную группу Полунормальные подгруппы конечной группы будем называть Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешимой, если каждый из ее композиционных факторов является либо Полунормальные подгруппы конечной группы–группой порядка Полунормальные подгруппы конечной группы либо Полунормальные подгруппы конечной группы–группой.

Группа Полунормальные подгруппы конечной группы разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешима для всех простых Полунормальные подгруппы конечной группы Ясно, что группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом


Полунормальные подгруппы конечной группы


в котором каждая факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы является либо Полунормальные подгруппы конечной группы–группой, либо Полунормальные подгруппы конечной группы–группой. Поэтому для такой группы можно индуктивно определить верхний Полунормальные подгруппы конечной группы–ряд.


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы Здесь Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольшая нормальная Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольшая нормальная Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Наименьшее натуральное число Полунормальные подгруппы конечной группы для которого Полунормальные подгруппы конечной группы называют Полунормальные подгруппы конечной группы–длиной Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы

В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова: если для любого простого делителя Полунормальные подгруппы конечной группы порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы существуют бипримарные Полунормальные подгруппы конечной группы–холловские подгруппы, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы разрешима. В доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых групп.

Теорема 2.3.6 Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа обладает супердобавлением, то Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешима и Полунормальные подгруппы конечной группы для любого Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа и Полунормальные подгруппы конечной группы – её полунормальная подгруппа. Тoгда:

– если Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–нильпотентна, то нормальное замыкание Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы разрешимо.

– если порядок Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы нечетен, то и Полунормальные подгруппы конечной группы нечетен.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы. Получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы нечетен, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Следовательно, подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы разрешима. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы-группа. И группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешима. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольный элемент из Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы из теоремы 2.3.1 и Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Следовательно, теорема верна в этом случае.

2) Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы. Имеем Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы для любой собственной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Из полунормальности силовской Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существуют Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–холловы подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы. Таким образом, в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существуют бипримарные Полунормальные подгруппы конечной группы–холловские подгруппы для любого нечётного простого делителя Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому группа Полунормальные подгруппы конечной группы разрешима.

Теорема доказана.

Лемма 2.3.7. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–разрешимая группа.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы то Полунормальные подгруппы конечной группы

Если Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы то Полунормальные подгруппы конечной группы

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальные подгруппы в Полунормальные подгруппы конечной группы тогда Полунормальные подгруппы конечной группы

Кроме того, Полунормальные подгруппы конечной группы

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальные подгруппы в Полунормальные подгруппы конечной группы тогда Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы

Лемма 2.3.8. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–разрешимая группа такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы, но Полунормальные подгруппы конечной группы для всех нормальных неединичных подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда справедливы следующие условия:


Полунормальные подгруппы конечной группы


в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует максимальная Полунормальные подгруппы конечной группы-нильпотентная нормальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы которая является элементарной абелевой Полунормальные подгруппы конечной группы-группой;

Полунормальные подгруппы конечной группы – единственная минимальная подгруппа в группе Полунормальные подгруппы конечной группы имеющая добавление;

Полунормальные подгруппы конечной группы

Лемма 2.3.9. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – наименьшее из чисел, принадлежащих Полунормальные подгруппы конечной группы и силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы циклическая, то в группе существует нормальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы.


Непосредственно из определения Полунормальные подгруппы конечной группы–длины получаем следующую лемму.

Лемма 2.3.10 В Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешимой группе Полунормальные подгруппы конечной группы тогда и только тогда Полунормальные подгруппы конечной группы, когда факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–замкнута.

Лемма 2.3.11 Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы все Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы имеют супердобавления, то Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–разрешима. Применим индукцию по порядку группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда по лемме 2.3.8 можно считать, что Полунормальные подгруппы конечной группы, в группе Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа Фиттинга Полунормальные подгруппы конечной группы – минимальная нормальная Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. По условию Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Для любой собственной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы верно, что Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. По лемме 2.1.6 все Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы имеют супердобавления в Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы, то по индукции Полунормальные подгруппы конечной группы. Заметим также, что Полунормальные подгруппы конечной группы, поскольку Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь по лемме 2.3.10 подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если в подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы существуют две максимальные подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Следовательно, Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому в Полунормальные подгруппы конечной группы существует единственная максимальная подгруппа и подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы примарная циклическая, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы по теореме 2.3.1. Значит Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы, так как Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит, Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – циклическая группа порядка, делящего Полунормальные подгруппы конечной группы. То есть Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Из определения Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешимой группы вытекают следующие две леммы.

Лемма 2.3.12 Всякая Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешимая группа имеет единичную Полунормальные подгруппы конечной группы–длину.

Лемма 2.3.13 Если подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы или Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–группа и факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима, то и группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима. В частности, если группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима, то и группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима.

Теорема 2.3.14 Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы все Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы имеют супердобавления, то Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима.

Доказательство проведём индукцией по порядку группы Полунормальные подгруппы конечной группы. В силу леммы 2.3.13 можно считать, что Полунормальные подгруппы конечной группы.

Из леммы 2.3.9 Полунормальные подгруппы конечной группы следует, что подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим подгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы такую, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет супердобавления как Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы есть подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Следовательно, подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна и в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима по индукции. Значит и группа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–сверхразрешима.

Теорема доказана.

Пример 2.3.15 Если силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа обладает супердобавлением, то не всегда Полунормальные подгруппы конечной группы. В симметрической группе Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа полунормальна, но Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пример 2.3.16 В Полунормальные подгруппы конечной группы существует подгруппа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, не имеющая супердобавления.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы, где


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


Предположим, что подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы, имеющая порядок Полунормальные подгруппы конечной группы, имеет супердобавление в Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда существует подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы такая, что Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – собственная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для каждой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы, отличной от Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы делится на Полунормальные подгруппы конечной группы, то можно считать, что силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы. Но теперь


Полунормальные подгруппы конечной группы

и Полунормальные подгруппы конечной группы, т.е. Полунормальные подгруппы конечной группы не является подгруппой группы Полунормальные подгруппы конечной группы, получили противоречие. Утверждение доказано.

Теперь пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – класс групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7 класс Полунормальные подгруппы конечной группы – наследственный гомоморф. Из предыдущего примера вытекает, что Полунормальные подгруппы конечной группы не является радикальным классом и не является формацией. Кроме того, Полунормальные подгруппы конечной группы не содержит класс вполне факторизуемых групп.

Пример 2.3.17 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в Полунормальные подгруппы конечной группы все подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:

1) Полунормальные подгруппы конечной группы;

2) Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна в группе как подгруппа простого индекса;

3) если выбрать произвольную подгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, тем более полунормальна;

4) если Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольная непримарная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Таким образом, в Полунормальные подгруппы конечной группы все подгруппы, кроме Полунормальные подгруппы конечной группы и ей сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.

Пример 2.3.18 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа диэдра порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


Проверим, что в Полунормальные подгруппы конечной группы все подгруппы обладают супердобавлениями.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, она даже нормальна.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы. Так Полунормальные подгруппы конечной группы и для единственной собственной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы имеем Полунормальные подгруппы конечной группы.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, так как Полунормальные подгруппы конечной группы и для любой подгруппы всегда существует минимальное добавление в группе.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы. Так Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы. Так Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы. Так Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.


3. Факторизации групп дисперсивными исверхразрешимыми подгруппами


3.1 Силовские множества и их свойства


Определение 3.1.1 Множество Полунормальные подгруппы конечной группы, состоящее из попарно перестановочных силовских Полунормальные подгруппы конечной группы–подгрупп из Полунормальные подгруппы конечной группы, в точности по одной подгруппе для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы, вместе с самой группой Полунормальные подгруппы конечной группы, называется силовской системой группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис» вместо силовской системы Полунормальные подгруппы конечной группы. Введем следующее определение.

Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.

Таким образом, если Полунормальные подгруппы конечной группы – группа порядка Полунормальные подгруппы конечной группы, то множество Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовским множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и все числа Полунормальные подгруппы конечной группы различны.

Из теоремы Силова следует, что каждая группа Полунормальные подгруппы конечной группы обладает силовским множеством Полунормальные подгруппы конечной группы. Если дополнительно Полунормальные подгруппы конечной группы для всех подгрупп из Полунормальные подгруппы конечной группы, то силовское множество превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская система, то группа разрешима. Кроме того, если Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовские системы разрешимой группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы для некоторого Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторое множество подгрупп группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Воспользуемся следующими обозначениями:

Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторый гомоморфизм группы Полунормальные подгруппы конечной группы в некоторую группу Полунормальные подгруппы конечной группы.

В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее

Определение 3.1.3 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторое множество подгрупп группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы называется Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальной, если Полунормальные подгруппы конечной группы для всех Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – множество всех подгрупп группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальную подгруппу называют квазинормальной.

Лемма 3.1.4. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, а Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма 3.1.5 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы является силовским множеством факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы является силовским множеством подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы имеет силовское множество Полунормальные подгруппы конечной группы, то найдется в группе Полунормальные подгруппы конечной группы такое силовское множество Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если нормальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы имеет силовское множество Полунормальные подгруппы конечной группы, то найдется в группе Полунормальные подгруппы конечной группы такое силовское множество Полунормальные подгруппы конечной группы, что Полунормальные подгруппы конечной группы.

Если Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторый гомоморфизм группы Полунормальные подгруппы конечной группы в группу Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы является силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим множество Полунормальные подгруппы конечной группы, в котором может оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить только одну единичную подгруппу. Кроме Полунормальные подгруппы конечной группы множество Полунормальные подгруппы конечной группы включает силовские подгруппы факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы по лемме 3.1.4. Следовательно, Полунормальные подгруппы конечной группы есть силовское множество факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Из равенства Полунормальные подгруппы конечной группы и из того, что по предыдущей лемме Полунормальные подгруппы конечной группы является силовской подгруппой в группе Полунормальные подгруппы конечной группы получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы есть силовское множество в Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теперь пусть в факторгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы известно силовское множество Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда существуют силовские подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы для Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим простые числа Полунормальные подгруппы конечной группы. Для всех таких простых чисел существуют силовские Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы. И выполняется равенство


Полунормальные подгруппы конечной группы


Если Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество нормальной группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то по предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы, для Полунормальные подгруппы конечной группы, такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь рассмотрим все простые числа Полунормальные подгруппы конечной группы и для каждого такого простого числа Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы возьмем по одной силовской Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Рассмотрим Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы и гомоморфизм Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы в группу Полунормальные подгруппы конечной группы. По принятому обозначению Полунормальные подгруппы конечной группы. По свойствам гомоморфизма подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовской подгруппой группы Полунормальные подгруппы конечной группы. То есть Полунормальные подгруппы конечной группы есть силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.6 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда верны следующие утверждения:

если Полунормальные подгруппы конечной группы – гомоморфизм группы Полунормальные подгруппы конечной группы, тогда подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы;

если Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы;

если Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольная нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то в факторгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы будет Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальной.

Доказательство. По лемме 3.1.5 множество Полунормальные подгруппы конечной группы является силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы для Полунормальные подгруппы конечной группы, то имеем Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы есть Полунормальные подгруппы конечной группы-квазинормальная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы.

По лемме 3.1.5 множество Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы.

По лемме 3.1.5 множество Полунормальные подгруппы конечной группы будет силовским множеством факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. И на основании равенства Полунормальные подгруппы конечной группы получаем перестановочность подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы с подгруппами силовского множества Полунормальные подгруппы конечной группы факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.7 Пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы с силовским множеством Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Если подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальна, то сама подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы будет Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальной для любого элемента Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. По условию Полунормальные подгруппы конечной группы, для любой подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы, произвольного элемента Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим произведение


Полунормальные подгруппы конечной группы


Так как Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы, то есть Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовское множество группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Выше пересечение Полунормальные подгруппы конечной группы определялось для нормальной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы. В этом случае по лемме 3.1.5 пересечение является силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольная, не обязательно нормальная, подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то положим Полунормальные подгруппы конечной группы. Отметим, что в этом случае Полунормальные подгруппы конечной группы может не быть силовским множеством группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма 3.1.8 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – группа, Полунормальные подгруппы конечной группы – ее силовское множество. Если Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, причем Полунормальные подгруппы конечной группы и индекс Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы примарный, то Полунормальные подгруппы конечной группы – примарная группа.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и пусть Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальная подгруппа, то Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы. По теореме об индексах


Полунормальные подгруппы конечной группы


где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы. Для каждого Полунормальные подгруппы конечной группы имеем Полунормальные подгруппы конечной группы, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Но по условию Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–группа.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.9 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – циклическая Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы, то существует элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такой, что Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Доказательство. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – минимальное добавление к подгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы по лемме 2.3.23, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы является Полунормальные подгруппы конечной группы-группой. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы циклическая, тогда Полунормальные подгруппы конечной группы – циклическая подгруппа, то есть Полунормальные подгруппы конечной группы подгруппа из Полунормальные подгруппы конечной группы для некоторого Полунормальные подгруппы конечной группы.

Лемма доказана.


3.2 Дисперсивность и сверхразрешимостьфакторизуемых групп


Будем использовать запись Полунормальные подгруппы конечной группы для обозначения некоторого силовского множества группы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теорема 3.2.1 Пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы, где подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивны по Оре. И пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовские множества подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – не дисперсивная по Оре группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда для любой неединичной нормальной подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы является произведением своих подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивны по Оре. Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы соответственно равны множествам Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – произвольная циклическая примарная подгруппа факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим произведение циклической подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и произвольной силовской подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Ввиду леммы 3.1.9 существует примарный элемент Полунормальные подгруппы конечной группы такой, что Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому


Полунормальные подгруппы конечной группы

Полунормальные подгруппы конечной группы


Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных подгрупп из Полунормальные подгруппы конечной группы с элементами силовского множества Полунормальные подгруппы конечной группы. Таким образом, для факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы все условия леммы выполняются, а так как порядок факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы меньше порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то по индукции факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы будет дисперсивна по Оре.

Пусть теперь Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольший простой делитель порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре, то подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если Полунормальные подгруппы конечной группы – некоторый примарный Полунормальные подгруппы конечной группы-элемент из Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы по условию леммы. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы нормальная подгруппа в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы-холловская подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы содержится в Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы. Аналогично, Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в группе Полунормальные подгруппы конечной группы. По индукции факторгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре, а так как Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольший простой делитель порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре.

Теорема доказана.

Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Будем говорить, что Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы, если Полунормальные подгруппы конечной группы перестановочна с каждой подгруппой из Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда можно сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.

Следствие 3.2.2. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – дисперсивные по Оре подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы. И пусть Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре.

Теорема 3.2.3 Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимые подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы. И пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовские системы подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны и циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует несверхразрешимая группа Полунормальные подгруппы конечной группы наименьшего порядка, для которой все условия теоремы верны.

Проверим, что если Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская система группы Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская система факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – силовская система группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Отметим, что по определению силовской системы Полунормальные подгруппы конечной группы для всех подгрупп из Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда в факторгруппе Полунормальные подгруппы конечной группы рассмотрим множество подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы. По лемме 3.1.4 Полунормальные подгруппы конечной группы является силовской подгруппой факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Возьмём две произвольные подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы из множества Полунормальные подгруппы конечной группы. Рассмотрим их произведение


Полунормальные подгруппы конечной группы


Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что Полунормальные подгруппы конечной группы является силовской системой факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы.

Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами группы Полунормальные подгруппы конечной группы. По индукции все нетривиальные факторгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешимы. Если подгруппа Фраттини Полунормальные подгруппы конечной группы, то все условия теоремы переносятся на факторгруппу Полунормальные подгруппы конечной группы. И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Откуда вытекает сверхразрешимость и самой группы Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому подгруппа Фраттини группы Полунормальные подгруппы конечной группы единична. Если в группе Полунормальные подгруппы конечной группы найдутся две минимальные нормальные подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы, то в силу индуктивных рассуждений факторгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы будут сверхразрешимы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы будет также сверхразрешима, то есть сверхразрешима группа Полунормальные подгруппы конечной группы. Значит в группе Полунормальные подгруппы конечной группы существует не более одной минимальной нормальной подгруппы, а подгруппа Фиттинга является единственной минимальной нормальной подгруппой. Ввиду предыдущей теоремы группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре, значит для наибольшего простого делителя Полунормальные подгруппы конечной группы порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы силовская Полунормальные подгруппы конечной группы–подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы из Полунормальные подгруппы конечной группы является минимальной нормальной подгруппой. Допустим, что Полунормальные подгруппы конечной группы делит порядок подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы. Так как Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима, то в Полунормальные подгруппы конечной группы имеется нормальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы простого порядка Полунормальные подгруппы конечной группы. По условию теоремы произведение Полунормальные подгруппы конечной группы есть подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группыПолунормальные подгруппы конечной группы–холлова подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, являющаяся произведением всех силовских Полунормальные подгруппы конечной группы–подгрупп из силовской системы Полунормальные подгруппы конечной группы. Поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы, поскольку все подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы-замкнутой группы Полунормальные подгруппы конечной группы являются Полунормальные подгруппы конечной группы–замкнутыми. Теперь Полунормальные подгруппы конечной группы, поэтому Полунормальные подгруппы конечной группы нормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и по индукции Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима. Значит и Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Теорема доказана.

Данная теорема является обобщением следующих результатов.

Следствие 3.2.4. Пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимые подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы такие, что Полунормальные подгруппы конечной группы. И пусть Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы квазинормальна в Полунормальные подгруппы конечной группы. Тогда Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Следствие 3.2.5. Пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимые подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы взаимно простых порядков с силовскими системами Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы соответственно. Если Полунормальные подгруппы конечной группы и циклические подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, Полунормальные подгруппы конечной группы и циклические подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.

Следствие 3.2.6. Пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы, где Полунормальные подгруппы конечной группы, Полунормальные подгруппы конечной группы – сверхразрешимые подгруппы группы Полунормальные подгруппы конечной группы с силовскими системами Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы соответственно. Если элементы силовских систем Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы попарно перестановочны, циклические подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, циклические подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы сверхразрешима.


Заключение


В дипломной работе рассмотрены группы с ограничениями на минимальные добавления к выделенным подгруппам. Изучены следующие вопросы:

– критерий существования супердобавления к максимальной подгруппе, на основе которого устанавливаются новые признаки сверхразрешимости как самой группы, так и отдельных её подгрупп; в частности доказано, что максимальная подгруппа Полунормальные подгруппы конечной группы группы Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в группе Полунормальные подгруппы конечной группы тогда и только тогда, когда индекс Полунормальные подгруппы конечной группы в Полунормальные подгруппы конечной группы есть простое число;

– изучено строение группы, у которой силовские подгруппы обладают супердобавлениями; а именно пусть Полунормальные подгруппы конечной группы – наибольший простой делитель порядка группы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – ее силовская Полунормальные подгруппы конечной группы-подгруппа. Если Полунормальные подгруппы конечной группы обладает супердобавлением в Полунормальные подгруппы конечной группы, то Полунормальные подгруппы конечной группы – нормальная подгруппа группы Полунормальные подгруппы конечной группы;

– с помощью введенного понятия силовского множества изучены новые признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами из факторов:

пусть группа Полунормальные подгруппы конечной группы, где подгруппы Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивны по Оре. И пусть Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы – силовские множества подгрупп Полунормальные подгруппы конечной группы и Полунормальные подгруппы конечной группы. Если циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из Полунормальные подгруппы конечной группы Полунормальные подгруппы конечной группы–квазинормальны, то группа Полунормальные подгруппы конечной группы дисперсивна по Оре.


Список использованных источников


1 Васильев А.Ф. и Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами // Известия ВУЗов. Серия «Математика». – 1997. – N11. – 10–14 с.

2 Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины. Вып. 12. – 1998. – 113–122 с.

3 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 320 с.

4 Подгоргная В.В. Минимальные добавления к подгруппам конечных групп. Курс лекций // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 65 с.

5 Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхроазрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. – Витебск: ВГУ, 1999. – №4. – С. 80–82.

6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. – Мiнск, 2000. – №4. – 22–25 с.

7 Тютянов В.Н. К гипотезе Холла // Гомель, 2001. – №6. – 5 с. –

8 Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. – 384 c.

9 Шеметков Л.А. Факторизации конечных групп // ДАН СССР. – 1968. – 178, №3. – С. 559–562.

10 Шеметков Л.А. Формации конечных групп // М.: Наука, 1978. – 272 c.

11 Assad M., Shaalan, On the supersolvability of finite groups // Arch. Math. – 1989. – 53. – 318–326 p.

12 Baer R. Classes of finite groups and their properties // Illinois J. Math. – 1957. – V.I. – 115–187 p.

13 Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups // Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992. – 889 p.

14 Friesen D.K. Products of normal supersolvable subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – 30, №1. – 46–48 p.

15 Hall P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 198–200.

16 Huppert В. Endliche gruppen, I // Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. – 793 p.

17 Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Mathematical Joyrnal. – 1997. – Vol.26. – 157–161 p.

Рефетека ру refoteka@gmail.com