К решению теоремы Ферма

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yⁿ + xⁿ =zⁿ (1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)ⁿ + xⁿ –(x+b)ⁿ = 0 (2)

Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45⁰ сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости (x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)ⁿ + xⁿ = 2xⁿ - nx^n-1 a + c_n² x^n-2 a² - c_n³ x^n-3 a³...... +aⁿ

(x+b)ⁿ = xⁿ +nx^n-1 b + c_n² x^n-2 b² + c_n³ x^n-3 b³ .......+bⁿ

• = xⁿ - nx^n-1 (a+b) + c_n² x^n-2 (a²-b²) - c_n³ x^n-3 (a³+b³)..+(aⁿ+bⁿ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xⁿ - 2nx^n-1 a - 2c_n³ x^n-3 a³ - 2c_n⁵ x^n-5 a⁵ - ... (aⁿ + aⁿ )=0(4)

Обозначим через P(a,n) = 2c_n³ x^n-3 a³ + 2c_n⁵ x^n-5 a⁵ +... ( aⁿ + aⁿ ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xⁿ - 2nx^n-1 a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения на x^n-1, получим выражение для искомого x

x=2na+P(a,n)/x^n-1 , где P(a,n)/x^n-1 і0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P(1,n)/x^n-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/x^n-1 .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству yⁿ + xⁿ =zⁿ

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

n	x	y=x-1	z=x+1	xn	yn	xn+ yn	zn	D%
2	4	3	5	16	9	25	25	-
3	6,055	5,055	7,055	221	129	350	350	-
4	8,125	7,125	9,125	4350	2540	6890	6890	-
5	10,200	9,200	11,200	107000	66000	173000	175000	1,25

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/x^n-1.

2. Если уравнение yⁿ + xⁿ =zⁿ с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/х^n-1; у=2n-1+ P(1,n)/х^n-1; z=2n+1+ P(1,n)/х^n-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/х^n-1 .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/х^n-1=2c_n³/ x² + 2c_n⁵ / x⁴ +2c_n⁷ / x⁶... ( 1 + 1 )/x^n-1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетания c_n^k, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x², возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x² имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя x^n-1 (для n=3 – 2/6² ; для n=15– порядка 2/30¹⁴ ; для n=25– 2/50²⁴ и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

3. Известно, что уравнение второй степени y² + x² =z² решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)³ +(x-a)³ +x³ =(x+ b)³ , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 3³ +4³ +5³ =6³ .

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.

Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a²+ b² -c²)/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, где x=2n+P(1,n)/x^n-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosC_n= 0,5-1,5/ x_n-1 (7)

По полученной формуле проведены расчеты

n	2	3	4	5	10	∞
x-1	3	5.054	7.125	9.200	19.0..	∞
cosC	0	0.202	0.289	0.337	0.421	0.5
Co	90	78	73	70	65	60

Из которых следует :

• искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90^о при n=2 до 60^о при n→∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

• В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

• Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y² + x² =z²

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z₀²= x² +y² –2xycosc. Требуется доказать, что Z₀ является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2xycosc, что в свою очередь делает нецелым Z₀² и извлеченный из него квадратный корень Z_0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z₀²= x² +y² –2xycosc всегда меньше соответствующего Z_п²= x² +y² прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z₀² находится внутри числового отрезка Z_п²=x² +y².

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z₀² будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.

Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1. 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 и т.д.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.

Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z¹ не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z¹/Dx²

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z₀² всегда меньше z_п² или соответствующего Dx² в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z₀² в числовой отрезок Dx² и убедиться, что извлеченный корень из числа z₀² является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство на примере для n=5.

Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z₀² =10² +9²-2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 10⁵ +9⁵ =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z₀² может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по трем известным сторонам треугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).

Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числа z^k =x^k+y^k является нецелым числом.

P.S. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.

Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).

Принятие a=1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zⁿ наиболее близок к 2xⁿ.

Принятие b=1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда bЈx(ⁿЦ2-1). Подставляя вместо х его близкое целое значение 2n, получим формулу bЈ 2n(ⁿЦ2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до Ґ. Отсюда вывод: в растворе 45⁰ сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.

Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….

Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо (x*a)ⁿ +(y*a)ⁿ =(z*a)ⁿ.

В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P(a,n)/x^n-1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a.

В иррациональности добавки P(1,n)/x^n-1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.

Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xⁿ и yⁿ могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:

• вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n

• квадрант I - для положительных x и y

• квадрант III- для отрицательных x и y

• в квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа xⁿ - yⁿ или yⁿ - xⁿ, рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.

ВЫВОДЫ

1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.

2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yⁿ + xⁿ =zⁿ . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.

3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.

Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС,

Москва 2001 – 2004 год

Т. 396 –90-24

e –meil:hrendy@rumbler.ru