Введение

 

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей.

Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер.

Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии.

В данной работе и рассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.

Впервые стали изучать это преобразование в 30-х годах прошлого века.

Способ решения задач, который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, или методом обратных радиусов, или методом обращения.

Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

Дана дипломная работа посвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач на построение. Для удобства изложения материал разбит на две главы.

В первой главе подробно изучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи.

В конце второй главы в работе представлено приложение, в котором предложено решение некоторых задач, решаемых с помощью инверсии.

Работа включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы.

1. Инверсия как преобразование плоскости

1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек.

Пусть на плоскости дана некоторая окружность щ (О, R) (рис. 1)

Рис. 1

Пусть, далее, Р – произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ, которая удовлетворяла бы двум условиям:

1)                 точка Рґ лежит на луче ОР;

2)                 ОР ОРґ = R2.

Такую точку Рґ мы называем инверсной или обратной точке Р относительно окружности щ. Окружность щ называется базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус – радиусом инверсии.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что ели точка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку Рґ называют обратной точке Р, а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.

Рассмотрим построение инверсных точек:

1 случай.

Если точка Р Є (О,Р ), то Рґ= Р (совпадают).

2 случай.

Пусть точка Р вне базисной окружности.

Построение.

1.     щ (О, R) и Р – данная точка.

2.     РК – касательная к окружности щ. К Є щ.

3.     КРґ┴ОР, Рґ Є ОР, Рґ - инверсна точке Р. (рис 2).

Рис. 2.

Доказательство.

Рассмотрим подобные треугольники ОРК и ОКРґ. Из подобия следует: =  или ОР ОРґ = R2 .

Точка Рґ Є ОР (по построению).

3 случай.

Точка Р – внутри базисной окружности. Тогда построение выполняем в обратом порядке.

Построение.

1.     щ (О, R) и Р – данная точка.

2.     РК┴ОР, К Є щ.

3.     КР – касательная к окружности.

1.2 Свойства инверсии

Прежде, чем рассмотреть свойства инверсии, установим одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.

Лемма. Пусть инверсия ц переводит точки А и В соответственно в точки Аґ и Вґ (предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны и ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.

Доказательство: У треугольников ОАВ и ОАґВґ (рис.3) имеется общий угол, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как ОАОАґ = ОВОВґ = r2, то  = . Отсюда следует, что треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны.

Рис 3.

Но так как против пропорциональных сторон в подобных тре6угольниках лежат равные углы, то из соотношения  =  следует равенство соответствующих углов: ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.

Лемма доказана.

Теорема 1. Инверсия ц переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя, т. е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии.

Теорема 2. Инверсия ц преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О.

Доказательство: Пусть l – прямая, не проходящая через центр инверсии – точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l , и пусть он пересекает l в точке М (рис 4). Пусть Мґ образ точки М относительно инверсии ц. Точка Мґ, очевидно, лежит на луче ОМ. На прямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки О ∞. Пусть Xґ - образ Х относительно инверсии ц. Тогда по лемме 1 имеем ∟ОXґМґ = ∟ОМХ = . Поэтому точка Xґ лежит на окружности К, построенной на отрезке ОМґ как на диаметре. Так как точка Х взята на прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии ц представляет собой совокупность точек l′, расположенную на окружности К.

Рис. 4

Докажем теперь, что множество точек l′ совпадает с окружностью К. прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l′. Это вытекает из того, что прямая l проходит через бесконечно удаленную точку О ∞, а эту точку инверсия ц переводит в точку О. Пусть теперь Y – произвольная точка окружности К. Луч ОY пересекает прямую l в некоторой точке Z. Так как точки Y и Z лежат на одном луче ОZ, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение ОY = . По построению треугольники ОYМґ и ОМZ (рис 4) подобны. Поэтому  = . Отсюда ОY =  = . Итак, доказано, что точка Y есть образ точки Z при инверсии ц.

Теорема доказана.

Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданной прямой относительно инверсии ц с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии – точки О – опускаем перпендикуляр ОМ (рис 4) на прямую l. Строим точку Мґ, являющуюся образом точки М (при этом приходится строить отрезок длиной, равной r2/ОМ). Образ прямой l относительно инверсии – окружность lґ - строится на отрезке ОМґ как на диаметре.

Теорема 3. Инверсия ц преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О.

Доказательство этой теоремы вытекает из доказательства теоремы 2.

Теорема 4. Инверсия ц преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Доказательство: пусть К – окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую g так, чтобы она пересекала окружность К по диаметру АВ (рис 5).

Рис 5.

Пусть Аґ и Вґ - образы точек А и В относительно инверсии ц, Х – произвольная точка окружности К и Хґ - ее образ.

По лемме 1 треугольники ОХА и ОХґАґ подобны и потому ∟ОАґХґ = ∟ОХА; аналогично треугольники ОХВ и ОХґВґ подобны и, следовательно, ∟ОВґХґ = ∟ОХВ.

Так как ∟АґХґВґ = ∟ОВґХґ - ∟ОАґХґ = ∟ОХВ - ∟ОХА = ∟АХВ = , то отсюда вытекает, что отрезок АґВґ из точки Хґ виден под углом  и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Поскольку точка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ - образ окружности К при инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S и Z – точка на луче ОY такая, что ОZ = . Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений

ОА ОАґ = r2

ОВ ОВґ = r2

ОZ OY = r2

и леммы 1 вытекает, что ∟AZB = ∟OZB - ∟OZA = ∟OB′Y - ∟OA′Y =∟A′YB′ = .

Следовательно, что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, что фигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концы диаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ не проходит через точку О.

Построения , приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

а) Окружность не проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч, который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим их образы Аґ и Вґ. окружность Кґ - образ окружности К относительно инверсии ц – есть окружность, построенная на отрезке АґВґ как на диаметре (рис. 6).

Рис. 6

б) Окружность К проходит через центр инверсии. В этом случае согласно теореме 3 образ К есть прямая Кґ. из точки О проводим луч ОА (рис 7), который пересекает К по диаметру ОА. Для точки А строим ее образ – точку Аґ. Прямая, проходящая через точку Аґ перпендикулярно лучу ОА, и есть искомая прямая Кґ

Построение прямой Кґ значительно упрощается в двух случаях:

1)                 если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, то прямая Кґ совпадает с прямой ВС (рис. 8);

2)                 если К касается окружности инверсии, то Кґ есть касательная к окружности инверсии в точке касания К с окружностью инверсии (рис. 9).

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рассмотрим теперь вопрос о характере изменения углов между кривыми под действием инверсии ц. Как известно, углом между кривыми L1 и L2 в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке. Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются. Ниже это предложение доказывается для окружностей и прямых.

Теорема 5. При инверсии ц угол между прямыми равен углу между их образами.

Доказательство. Здесь могут представиться 3 случая:

1)                 прямые l1 и l2 проходят через центр инверсии ц;

2)                 одна из прямых l1 и l2 проходит через центр инверсии;

3)                 ни l1 и l2 не проходят через центр инверсии.

В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи 2) и 3). В случае 2) (рис. 10) будем считать для определенности, что прямая l1 проходит через центр инверсии - точку О. Тогда инверсия ц переводит прямую l1 саму в себя, т.е. образ прямой l1 совпадает с этой прямой. Прямая l2 не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность lґ2, проходящую через точку О. Касательная t к окружности lґ2 в точке О параллельно прямой l2.

Рис. 10

Относительно взаимного расположения прямых l1 и l2 могут представиться 2 возможности:

а) прямые l1 и l2 параллельны;

б) l1 и l2 пересекаются в некоторой точке А.

Если l1 и l2 параллельны, то угол между ними, очевидно, равен 0. Но прямая l1 проходит через точку О и параллельна l2 . Поэтому она необходимо будет совпадать с касательной t к окружности lґ2 в точке О. Отсюда следует, что угол между lґ1 и lґ2 равен 0 и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказана.

Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А – точка их пересечения. Обозначим через б наименьший из вертикальных углов между l1 = lґ1 и прямой l2 или, что то же, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку Аґ, в которой прямая lґ1 пересекается с окружностью lґ2. Но прямая lґ1 или, что то же, прямая ОАґ составляет с касательной tґ в точке Аґ к окружности lґ2 такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l1 и l2 в точке Аґ равен б.. случай 2) полностью доказан.

Рис. 11

Третий случай (рис. 11) доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что если прямые l1 и l2 параллельны, то соответствующие окружности lґ1 и lґ2 имеют в точке О общую касательную и составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между lґ1 и lґ2 равен углу между l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, то, как видно из рис. 11, угол между окружностями lґ1 и lґ2 в точке О равен углу между прямыми l1 и l2, т. к. касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке О параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Рассмотрим еще две теоремы без доказательства.

Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии.

1.3 Лемма об антипараллельных прямых

Сначала рассмотрим вспомогательное понятие.

Пусть некоторая прямая a пересекает обе стороны некоторого угла (k, l) (рис. 12). В пересечении с какой–либо из сторон угла, например k, эта прямая образует четыре угла, из которых только один лежит внутри треугольника, отсекаемого прямой от угла (k, l).

Рис. 12

В дальнейшем, когда речь будет идти об угле между прямой и стороной угла, мы будем иметь в виду именно этот угол.

Пусть теперь две прямые (рис. 13) пересекают стороны угла, причем одна из них образует с одной из сторон угла такой же угол, какой вторая прямая образует с другой стороной угла (на рис. 13) ∟1 = ∟2.

Рис. 13

Легко понять, что когда и первая прямая образует со второй стороной угла такой же угол, какой образует вторая прямая с первой стороной угла ∟3 = ∟4.

Определение. Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такой же угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.

Антипараллельными являются прямые a и b на рисунке 13, прямые с и d на рисунке 14, где с ┴ k и d ┴ l.

Антипараллельные прямые, вообще говоря, не параллельны. Исключение составляет только случай, когда обе прямые перпендикулярны к биссектрисе данного угла (рис. 15).

Рис. 14

Рис. 15

Теорема (лемма об антипараллельных прямых). Прямая, соединяющая две точки плоскости, и прямая, соединяющая две инверсные им точки, антипараллельны относительно угла с вершиной в центре инверсии и сторонами, проходящими через данные точки.

Доказательство. Пусть щ (О, R) базисная окружность, точки Аґ и Вґ (рис. 16) инверсны соответственно точкам А и В. Тогда ОА ОАґ = ОВ ОВґ = R2, так что  = . Кроме того, в треугольниках АОВ и ВґОАґ угол О общий. Следовательно, ∆АОВ подобен ∆ ВґОАґ и, значит, ∟ОВА = ∟ОА′В′.

Таким образом, прямые АВ и А′В′ антипараллельны относительно угла АОВ, что и требовалось доказать.

Если (рис. 16) каким-либо образом построены две соответственные в инверсии точки А и А′, то доказанная лемма дает простой прием построения образа произвольной точки В (не лежащей на прямой ОА): соединить В с А и провести прямую А′В′ так, чтобы ∟ОА′В′ = ∟ОВА.

Рис. 16

1.4 Степень точки относительно окружности

Понятие степени точки относительно окружности играет существенную роль и является аналогом понятия расстояния от точки до прямой.

Степенью точки М относительно окружности К называется число

s = d2 – r2 ,

где d – расстояние точки М от центра О окружности К, а r – радиус этой окружности. Если точка М лежит внутри окружности К, то d < r, и потому степень точки М: s = d2 – r2 – отрицательна. Величины r – d и r + d суть отрезки диаметра PQ, на которые его разбивает точка М. Поэтому для любой хорды АМВ круга К (рис. 17) имеем s = - АМ МВ.

Рис. 17

Если точка М лежит на окружности К, то d = r и, следовательно, степень точки М равна нулю. Наконец, если точка М лежит вне окружности К, то d > r и s = d2 – r2 представляет собой квадрат длины касательной к окружности К, проведенной из точки М (рис. 18).

Рис. 18

Пусть теперь даны две окружности К1 и К2. Геометрическое место точек, степени которых относительно окружностей К1 и К2 равны, называют радикальной осью окружностей К1 и К2.

1.5 Инверсия окружностей, проходящих и не проходящих через центр инверсии

Путь некоторая окружность г проходит через центр инверсии – точку О. При инверсии все точки окружности г, за исключением точки О, преобразуются в какие-то другие точки. Какую фигуру образуют эти точки?

Теорема. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую. Эта прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и базисной окружности.

Доказательство. Пусть щ (О, R) – базисная окружность инверсии, г (О1, R1) – данная окружность, проходящая через О. Проведем прямую О О1. Пусть она пересечет окружность г в точке А (рис. 19).

Рис. 19

Обозначим через Аґ точку, инверсную точке А. Выберем на окружности г произвольную точку Р и построим ей инверсную точку Рґ. соединим Р с А, Рґ с Аґ. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ОАґРґ = ∟ОРА. Но ∟ОРА = 90˚, как опирающийся на диаметр окружности г. Поэтому ∟ОАґРґ тоже равен 90˚, т. е. точка Р′ лежит на прямой, проходящей через точку А′ и перпендикулярной к прямой ОА′. Обозначим прямую Р′А′ через а. Мы показали, что каждая точка окружности г преобразуется в точку прямой а. Не трудно показать, что и обратно: каждая точка прямой а инверсна некоторой точке окружности г. Следовательно, окружность г преобразуется при инверсии в прямую а, что и требовалось доказать.

Из рассмотренной теоремы вытекает способ построения прямой, инверсной данной окружности, если последняя проходит через центр инверсии: 1) строим прямую ОО1, проходящую через центр инверсии и центр данной окружности; 2) отмечаем точку А пересечения этой прямой с данной окружностью (А ≠ О); 3) строим точку А′, инверсную точке А, и 4) через точку А′ проводим прямую а, перпендикулярную прямой ОО1. Полученная прямая а искомая.

В том случае, когда базисная окружность пересекает данную окружность г, построение упрощается: прямой, инверсной окружности г, является прямая, определяемая двумя точками пересечения окружности г с базисной окружностью (рис. 20).

Если окружность г касается базисной окружности щ, то г преобразуется в общую касательную этих окружностей.

Если две окружности касаются в центре инверсии, то они преобразуются при инверсии в пару параллельных прямых.

Рис. 20

Теорема. При инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность.

Доказательство. Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 21), г (О1, r1) – данная окружность. Проведем прямую ОО1 и отметим точки А и В ее пересечения с окружностью г. Пусть Аґ и Вґ - инверсные им точки. Обозначим через Р произвольную точку окружности г, через Рґ - инверсную ей точку. Соединим Р с А и В, Рґ с Аґ и Вґ. из леммы об антипараллельных прямых вытекает, что ∟1′ = ∟1, ∟2′ = ∟2. Но ∟1 + ∟2 = 90є. Поэтому ∟1ґ + ∟2ґ = 90є. Следовательно, ∟АґРґВґ = 90є. Таким образом, из точки Рґ отрезок АґВґ виден под прямым углом. Значит, точка Рґ лежит на окружности с диаметром АґВґ. Обозначим эту окружность через гґ. Мы доказали, что каждая точка окружности г при инверсии преобразуется в точку окружности гґ.

Рис. 21

По ходу доказательства теоремы выясняется следующий способ построения окружности, инверсной данной окружности (если последняя не проходит через центр инверсии): 1) проводим прямую через центр инверсии О и центр О1 данной окружности г; 2) отмечаем точки А и В пересечения этой прямой с окружностью гґ; 3) строим инверсные точки Аґ и Вґ; 4) строим окружность гґ на отрезке АґВґ как на диаметре. Окружность гґ искомая.

1.6 Преобразование прямой при инверсии

При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется сама в себя. Как обстоит дело с прямой, не проходящей через центр инверсии?

Теорема. При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.

Доказательство. Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 22), а – данная прямая. Опустим из точки О перпендикуляр ОА на прямую а. Пусть Аґ - точка, инверсная точке А, а г – окружность, имеющая диаметром ОАґ.

Рис. 22

При инверсии окружность г преобразуется в прямую а (по теореме из пункта 1.5). в силу свойства взаимности прямая а преобразуется в окружность г.

Заметим, что по ходу доказательства мы выяснили способ построения окружности, инверсной данной прямой.

1.7 Инвариантные окружности. Сохранение углов при инверсии

При инверсии базисная окружность преобразуется в себя. Но существуют и другие окружности, обладающие таким свойством.

Вспомним некоторые определения.

Углом между двумя линиями в точке их пересечения Т называется угол между касательными к этим линиям, проведенным в точке Т.

Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом. Если две окружности ортогональны, то их радиусы, проведенные в точку пересечения, перпендикулярны между собой, и наоборот.

Рис. 23

Отсюда вытекает способ построения окружностей, ортогональных данной окружности щ в данной точке Т. для этого достаточно на касательной t к окружности щ в точке Т выбрать произвольную точку О1 и построить окружность щ1 (О1, О1Т), которая и будет искомой (рис. 23).

Теорема. Для того чтобы окружность, отличная от базисной окружности, преобразовалась при инверсии в себя, необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональна базисной окружности.

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть окружность г (О1, r1) (рис. 24) ортогональна базисной окружности щ (О, r). Докажем, что окружность г преобразуется в себя.

Рис. 24

Пусть Р – произвольная точка окружности г. Проведем прямую ОР. Она пересечет окружность г еще в некоторой точке Р1 (если прямая ОР касается окружности г, то за Р1 примем точку Р).

Так как окружность г ортогональна окружности щ, то радиус ОТ, соединяющий центр инверсии с точкой пересечения окружностей, касается окружности г. Поэтому ОР ОР1 = ОТ2 = r2, так что точка Р1 инверсна точке Р. Итак, при инверсии относительно окружности щ каждая точка Р окружности г преобразуется в точку Р1, также лежащую на окружности г.

Принимая во внимание свойство взаимности инверсных точек, можно заключить также, что и обратно: каждая точка окружности г служит образом некоторой точки этой же окружности. Таким образом, окружность г преобразуется в себя.

2) Необходимость. Пусть окружность г, отличная от базисной окружности инверсии, преобразуется в себя. Докажем, что г – окружность, ортогональная базисной. Так как окружность г отлична от окружности щ, то она содержит точку Р, не лежащую на щ. Пусть точка Р1 инверсна точке Р (рис. 24); тогда одна из двух точек Р и Р1 находится вне, а другая внутри окружности щ. Следовательно, окружность г пересекает окружность щ. Обозначим через Т одну из точек их пересечения. Покажем, что ОТ – касательная к окружности г. Это можно установить способом «от противного». Допустим, что, помимо точки Т, прямая ОТ встречает окружность г еще в точке Т1. Заметим, что точки Р и Р1 расположены по одну сторону от точки О, так что точка О расположена вне окружности г. В силу известного свойства секущих, проведенных из одной и той же точки к окружности, ОТ ОТ1 = ОР ОР1 = r2. И так как ОТ = r, то и ОТ1 = r. Следовательно, точка Т1 должна совпасть с точкой Т, вопреки допущению. Итак, ОТ – касательная к окружности г. Следовательно, окружности щ и г ортогональны.

Теорема. Если окружность проходит через две взаимно инверсные точки, то при инверсии она преобразуется в себя.

Доказательство. Пусть окружность г проходит через точки Р и Рґ, инверсные относительно окружности щ (О, r). Тогда ОР ОРґ = r2. Ясно, что точка О вне окружности г. Пусть Q – произвольная точка на окружности г (рис. 25).

Рис.25

Проведем луч ОQ, и пусть он встречает окружность г в точках Q и Qґ (в случае касания луча ОQ с окружностью г Qґ≡ Q), тогда ОQ OQґ = OP OPґ = r2, т. е. точка Qґ инверсна точке Q. Итак, если какая-либо точка лежит на окружности г, то инверсная ей точка также лежит на этой окружности. Отсюда заключаем, что при инверсии окружность г преобразуется в себя.

Следствие. Окружность, проходящая через две взаимно инверсные точки, ортогональна к базисной окружности инверсии. Все окружности, проходящие через две взаимно инверсные точки, образуют эллиптический пучок, состоящий из окружностей, ортогональных базисной окружности инверсии.

Пусть через точку М проходят две линии г1 и г2. предположим, что существует единственная касательная к каждой из этих линий в точке М. пусть при инверсии точка м преобразуется в точку М′, а линии г1 и г2 соответственно в линии г1′ и г2′. Оказывается, что угол между линиями г1′ и г2′ в точке М′ равен углу между линиями г1 и г2 в точке М.

Лемма. Если при инверсии относительно окружности щ (О, r) точка М и проходящая через нее линия г преобразуется в точку М′ и линию г′, то линии г и г′ в этих точках образуют с прямой ОМ равные углы.

Рис. 26

Доказательство. Пусть Р (рис. 26) – произвольная точка на линии г, Р′ - ей инверсная точка; тогда Р′ лежит на г′.

Соединим М с Р, М′ с Р′. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ММ′Р′ = ∟МРО или ∟ММ′Р′ = ∟М′МР - ∟МОР… (1).

Пусть при неограниченном приближении точки Р вдоль линии г к точке М секущая МР стремится к положению МА, так что МА - касательная к линии г в точке М. Пусть ∟М′МА = ц. Тогда

lim ∟М′МР = ц.

P → M

В то же время, когда Р стремится к М вдоль линии г, угол МОР стремится к нулю. Поэтому, в силу равенства (1), угол ММ′Р′ также стремится к определенному пределу, равному ц. Таким образом, когда Р стремится к М вдоль линии г (и, следовательно, Р′ стремится к М′ на линии г′), секущая М′Р′ стремится к некоторому предельному положению М′А′. А′М′ - касательная к г′ в точке М′ (по определению касательной). Мы видим, что ∟ММ′А′ = ц. Лемма доказана.

Теорема. Если две линии г1 и г2 и точка их пересечения М преобразуются в некоторой инверсии соответственно в линии г1′ и г2′ и точку М′, то угол между линиями г1 и г2 в точке М равен углу между линиями г1′ и г2′ в точке М′.

Рис. 27

Доказательство. Пусть а1 и а2 – касательные к г1 и г2 в точке М, а1′ и а2′ - касательные к г′1 и г′2 в точке М′ (рис. 27).

Будем предполагать, что ни одна из прямых а1 и а2 не совпадают с прямой ОМ, где О – центр инверсии; в противном случае доказательство только упрощается. Прямой ММ′ плоскость разбивается на две полуплоскости. Выберем в одной из них на каждой прямой а1, а2 и а′1, а′2 по одной точке: А1 и А2; А1′ и А2′. В силу леммы

∟М′МА1 = ∟ ММ′А1′ (2)

∟М′МА2 = ∟ ММ′А2′ (2′).

Пусть для определенности ∟М′МА2 < ∟М′МА1, отсюда ∟А2МА1 = ∟М′МА1 - ∟М′МА2 и ∟ А2′М′А1′ = ∟ ММ′А1′ - ∟ ММ′А2′ , так что в силу равенств (2) и (2′) ∟А1′М′А2′ = ∟А1МА2. Теорема доказана.

Следствие. Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то при инверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственной точке.

1.8 Инверсия и осевая симметрия.

Можно установить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Для этого напомним некоторые свойства инверсии.

1.     Инверсия сохраняет угол пресечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.

2.     Прямая, ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.

3.     Базисная окружность преобразуется в себя.

4.     Всякая окружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.

5.     Всякая окружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.

6.     Две точки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности, если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.

Если в этих предложениях слово «инверсия» заменить словами «осевая симметрия», выражение «базисная окружность» - через «ось симметрии» и «инверсные точки» - через «симметричные точки», то получим свойства осевой симметрии.

Покажем, что в известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случай инверсии. Пусть базисная окружность инверсии щ (О, r) проходит через точку А (рис. 28), так что ОА = r. Обозначим через а касательную к окружности щ в точке А.

Рис. 28

Пусть, деле, Р – некоторая данная точка, Рґ - инверсная ей точка относительно окружности щ. Представим себе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча Ао, так что радиус инверсии ОА неограниченно возрастает.

В известном смысле можно говорить, что при этом окружность щ (О, r) неограниченно приближается к прямой а, «вырождается» в эту прямую. Оказывается, что при этом точка Рґ будет перемещаться по плоскости, неограниченно приближаясь к точке Р1, симметричной с точкой Р относительно прямой А. Докажем это.

Для определенности положим, что точка Р и точка О лежат по разные стороны от прямой а (рис. 28). Опустим из точки Р перпендикуляр РN на прямую а и перпендикуляр РL на прямую ОА. Пусть РN = р, РL = m. Из точки Рґ, инверсной точке Р относительно окружности щ (О, r), также опустим перпендикуляры РґF и РґК на прямые а и ОА. Нам нужно показать, что РґF→ р и РґК→ m, если r → ∞. Действительно,

РґF = КА = r - ОРґ Cosб = r –   Cosб = r –  =

= r -  = . Но

tgб = , и поэтому

Sin2б =  =  =  = .

Следовательно, PґF =  = .

Отсюда видно, что РґF → р, когда r → ∞. С другой стороны, РґК = = ОРґ Sinб = =  = .

Отсюда ясно, что РґК→ m, когда r→ ∞.

Изложенные здесь изображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсии так, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случай инверсии. Для этого условимся называть «окружностью в широком смысле слова» любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования – инверсию и симметрию относительно прямой – объединить в одно понятие с помощью следующего определения. Точка Рґ называется обратной точке Р (или сопряженной точке Р) относительно окружности (в широком смысле) щ, если точки Р и Рґ являются вершинами пучка окружностей ортогональных к щ. Такое преобразование, при котором каждой точке Р сопоставляется сопряженная ей точка Рґ относительно окружности (в широком смысле) щ, назовем отражением от окружности щ. В том случае, когда щ является окружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсию относительно щ. Если же щ – прямая, то рассматриваемое преобразование является симметрией относительно этой прямой.

1.9 Инверсор

Существуют приборы с помощью которых можно без всяких вычислений и без привлечения обычных инструментов геометрических построений вычертить линию, инверсную любой данной линии.

Впервые инверсор был предложен французским капитаном Поселье в 1864 году. Этот прибор получил известность только через семь лет, когда он был зависимо от Поселье изобретен петербургским студентом Липкиным, видимо, под влиянием идей П. Л. Чебышева.

«Клетка Поселье», как принято называть этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами (рис. 29). Четыре из них составляют ромб PAQB. Остальные два стержня равны между собой, но каждый из них длиннее стороны ромба PAQB.

Обозначим РА через а, ОА через l, а разность l2 – a2 через R2. Предположим, что точка О закреплена на плоскости. Тогда при любом положении точки Р на плоскости точка Q будет ей инверсна относительно окружности щ (О, R). В самом деле: 1) Р и Q лежат на одном луче, исходящем из точки О, и 2) ОР ОQ = (ОС - РС) (ОС + РС) = ОС2 – РС2 = (l2 – АС2) – (а2 – АС2) = l2 – а2 = R2.

Рис. 29

Когда точка описывает какую-нибудь линию г, точка Q описывает инверсную ей линию гґ. В частности, когда Р описывает окружность, проходящую через точку О, точка Q опишет прямую. Таким образом, инверсор Поселье позволяет преобразовать вращательное движение в прямолинейное. Если нужно преобразовать в инверсии окружность радиуса r, то к инверсору в точке Р шарнирно присоединяется стержень МР длины r. Если точки О и М закреплены неподвижно так, что стержни ОА и ОВ могут вращаться около точки О, а стержень МР - около точки М (рис. 30), то точка Р опишет дугу некоторой окружности, а точка Q – дугу инверсной ей окружности или прямолинейный отрезок (в случае, если ОМ = МР).

Рис. 30

Инверсор Гарта. Пусть четыре стержня связаны шарнирно так, как указано на рисунке 31. узлы А, В, С и D являются здесь вершинами равнобочной трапеции, причем АВ = СD = d, АD = СВ = l. Пусть О, Р, и Q три точки на этих стержнях, причем  =  = . В таком случае точки О, Р и Q лежат на одной прямой, параллельной основанию трапеции АСDВ. Предположим, что точка О закреплена на плоскости, а четыре стержня как-то расположены на этой плоскости. Оказывается, что при любом расположении механизма произведение ОР ОQ постоянно.

Рис. 31

Покажем это. Обозначим через с1,  через с2; отсюда  = с1,  = с2. Поэтому ОР  ОQ = с1 с2 ВD АС.

Опустим из В и D перпендикулярны ВВ1 и DD1 на АС.

Тогда АС ВD = АС В1D1 = (AD1 + D1C)  (AD1 - AB1) = (AD1 +D1C) (AD1 – D1C) = AD12 – D1C2 = (AD2 – D1D2) – (CD2 – DD12) = AD2 – CD2 = l2 – d2.

Поэтому ОР ОQ = с1 с2 ( l2 – d2). Обозначим с1 с2 ( l2 – d2) через r2. тогда ОР ОQ = r2, так чтобы точки Р и Q инверсны относительно окружности щ (О,r). Когда точка Р опишет какую-либо линию, точка Q опишет инверсную ей линию. В частности, если точка Р будет перемещаться по окружности, проходящей через точку О, инверсная ей точка Q будет перемещаться по прямой.

Для удобства инверсного преобразования окружности, проходящей через центр инверсии, присоединяют к четырем рассмотренным стержням еще один стержень МР, который шарнирно связан со стержнем АD в точке Р и может вращаться около неподвижной точки М, причем МР = МО. Расположение стержней в механизме видно из рисунка 32.

Рис. 32

2. Инверсия и ее применение

 

2.1 Решение задач на построение методом инверсии

Сущность метода инверсии заключается в следующем.

Наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногда этого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми и данными, которые нужны для решения задачи. В большинстве случаев решение задачи сводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру, инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии дает возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.

Недостатком этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнить большое число построений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Через две данные точки А и В провести окружность, ортогональную данной окружности щ (О,r) (рис. 33).

Анализ. Если примем окружность щ за базисную окружность, то при инверсии искомая окружность г преобразуется в себя, а точки А и В перейдут в точки Аґ и Вґ на этой окружности. Но окружность г вполне определяется, если известны три точки на ней, например А, В и Аґ. Отсюда вытекает построение.

Построение.

1)    Строим точку Аґ, инверсную точке А относительно окружности щ.

2)    Строим окружность г, проходящую через точки А, В и Аґ. Г – искомая окружность.

Доказательство. Доказательство вытекает из анализа и построения.

Рис. 33

Исследование. Если точка А лежит на окружности щ, то точка Аґ совпадает с точкой А и указанный путь решения непригоден. В этом случае нужно провести аналогичное построение относительно точки В. если обе точки А и В лежат на окружности щ, то построение можно выполнить так: через А и В проводим касательные к окружности щ и отмечаем точку их пересечения О1. О1 – центр искомой окружности.

Эти построения непригодны, если точки А, В и О расположены на одной прямой. Если при этом точки А и В не инверсны, то задача не имеет решения. Если же точки А и В инверсны относительно окружности щ, то задача имеет бесконечное множество решений: любая окружность, проходящая через точки А и В, ортогональна окружности щ.

Пример 2. Даны: точка О и две не проходящие через нее прямые a и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.

Анализ. Пусть О – данная точка, а и b – данные прямые, ОАВ – искомый луч, так что ОА ОВ = r2, где r – данный отрезок (рис. 34).

Рис. 34

Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность аґ, проходящую через точку В. таким образом, В ≡ аґ*b.

Построение. Строим последовательно:

1)    Окружность щ (О, r);

2)    Образ аґ прямой а в инверсии относительно щ;

3)    Точку В ≡ аґ*b;

4)    Луч ОВ, который и удовлетворяет условию задачи.

Доказательство. Пусть А ≡ ОВ а. Тогда А – прообраз точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности аґ. Следовательно, по определению инверсии, ОА ОВ = r2.

Исследование. Возможны следующие случаи:

1)    окружность аґ пересекает прямую b; два решения;

2)    окружность аґ касается прямой b; одно решение;

3)    окружность аґ не имеет общих точек с прямой b; решений нет.

Так как искомая точка В обязательно соответственна точке А в инверсии относительно щ (О, r), то точка В должна быть общей точкой прямой b и окружности аґ. Отсюда следует, что других решений, кроме найденных, задача не может иметь.

Пример 3. Построить окружность, касательную к данной окружности г и проходящую через две данные точки А и В вне данной окружности.

Анализ. Пусть б (рис. 35) – искомая окружность. Желательно преобразовать фигуру так, чтобы окружность б (или окружность г) преобразовалась в прямую.

Рис. 35

С этой целью примем точку В за центр инверсии, а отрезок ВА – за радиус инверсии. Тогда окружность г преобразуется в некоторую окружность гґ, точка А преобразуется в себя, искомая окружность б – в прямую бґ. Прямая бґ должна пройти через точку А, а также касаться окружности гґ, так как окружность б касается окружности г (рис. 36). Таким образом, задача сводится к построению касательной из построенной точки (Аґ) к построенной окружности (гґ).

Построение. Строим последовательно:

1)    Окружность щ с центром в точке В радиуса ВА;

2)    Окружность гґ, инверсную окружности г относительно окружности щ;

3)    Прямую бґ, проходящую через точку А и касающуюся окружности гґ;

4)    Окружность б, инверсную прямой бґ относительно окружности щ. Окружность б искомая.

Рис. 36

Доказательство. Прямая бґ касается окружности гґ, поэтому соответствующая ей окружность б касается соответственной окружности г. Прямая бґ проходит через точку А, и поэтому окружность б проходит через ту же точку; во всех случаях, когда прямая бґ не проходит через центр инверсии, то есть через точку В.

Исследование. Из четырех шагов построения шаги 1) и 2) всегда выполнимы, притом однозначно. Рассмотрим построение 3).

Проведение касательной к окружности гґ через точку А зависит от расположения точки А относительно окружности гґ. Можно допустить три предположения: а) точка А на окружности гґ; б) точка А внутри окружности гґ; в) точка А вне окружности гґ.

Случай а) невозможен, так как из Аґ Є гґ следовало бы А Є г, что противоречит условию задачи.

Докажем, что случай б) также невозможен. Применим для этого доказательство «от противного». Допустим, что точка А располагается внутри окружности гґ (рис. 37). Так как точка В, по условию, вне г, то В также вне гґ (это следует из способа построения окружности гґ). Поэтому луч ВАґ встретит окружность гґ в двух точках, причем одна из них внутри окружности щ, а другая вне ее. Обозначим внутреннюю точку пересечения через Рґ, а внешнюю – через Qґ. При инверсии точки Рґ, Qґ и Аґ преобразуются в точки Р, Q и А, причем Q внутри щ, Р вне щ, А на щ, так что А лежит между Р и Q. Окружность гґ, проходящая через Рґ и Qґ, перейдет в окружность г, проходящую через Р и Q. И так как точка А принадлежит хорде РQ окружности г, то А внутри г, вопреки условию задачи.

Таким образом, возможен лишь случай в), то есть А вне гґ. Поэтому из точки А всегда можно провести две касательные к окружности гґ.

Перейдем к четвертому шагу. При инверсии прямая бґ преобразуется в окружность лишь в том случае, когда эта прямая не проходит через центр инверсии. Если же прямая бґ проходит через точку В, то прямая ВА касательная к окружности бґ. Но при инверсии прямая ВА преобразуется в себя, а окружность гґ - в окружность г. Следовательно, если прямая бґ проходит через точку В, то окружность г касается прямой ВА (и наоборот). В этом последнем случае прямая бґ инвертируется в прямую. Таким образом, приходим к следующему выводу: при данном способе построения мы получаем единственное решение, если прямая АВ касается окружности г, и два решения во всяком другом случае.

Рис.37

Решая задачу каким-либо иным способом, мы не получим новых решений. В самом деле, если бы задача имела более одного решения в случае, когда АВ касается г, или более двух решений в любом ином случае, то после инверсии относительно окружности щ оказалось бы, что через точку Аґ (Аґ ≡ А) проходило бы не менее трех касательных к окружности гґ, что невозможно.

Заметим, что данную задачу можно решить, принимая за центр инверсии точку на данной окружности г. При этом задача сводится к следующей: построить окружность, касающуюся данной прямой и проходящую через две данные точки. Эта задача может быть решена без привлечения метода инверсии.

2.2 Задача Аполлония

Методом инверсии может быть решена в общем случае задача Аполлония о касании окружностей:

Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

Эта задача впервые была решена известным греческим геометром Аполлонием Пергским в III в. до н. э. в сочинении, которое до нас не дошло, но о котором упоминают некоторые древние математики (например, Папп). Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен. Многие задачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частные или предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи возникают при специальном расположении данных окружностей, предельные – когда все или некоторые из данных окружностей вырождаются в точки (радиус окружностей неограниченно уменьшается) или прямые (радиус неограниченно возрастает).

Прежде, чем решить задачу Аполлония в общем случае, рассмотрим некоторые частные и предельные случаи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через три данные точки.

Решение общеизвестно.

Задача 2. Построить окружность, касающуюся трех данных прямых. Решение этой задачи также общеизвестно. Она может иметь до четырех решений.

Задача 3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.

Анализ. Пусть дана точка Р и и две параллельные прямые а и b. Обозначим расстояние между данными прямыми через d. Тогда радиус искомой окружности должен быть равен d/2. задача сводится к построению центра окружности, который должен удовлетворять двум условиям: 1) он должен быть одинаково удален от прямых а и b; 2) он должен отстоять от точки Р на расстоянии d/2. отсюда вытекает построение.

Построение.

1.     АВ ┴ b, А Є а;

2.     С Є АВ, АС = СВ;

3.     с – прямая, С Є с, с ║а, с ║b;

4.     щ (Р, d/2);

5.     О1 = щ ∩ с;

6.     щ1 (О1, О1Р) – искомая.

Рис. 38

Доказательство. Окружность щ1 касается прямых а и b, так как расстояния ее центра О1 от этих прямых одинаковы и равны d/2. эта окружность проходит через точку Р по построению.

Исследование. Возможны три случая.

1. Точка р расположена между данными прямыми а и b. Указанный способ построения дает два решения: щ1 (О1, О1Р) и щ2 (О2, О2Р). Других решения нет, ибо если бы существовали три окружности, удовлетворяющие условиям задачи, то их центры О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной прямой с. С другой стороння, мы должны были бы иметь О1Р = О2Р = О3Р = АС, то есть точки О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной окружности (Р, АС), так что возникает противоречие.

2. Точка Р - на одной из прямых а или b. Задача имеет одно решение.

3. Точка Р – вне полосы, ограниченной прямыми а и b. Задача не имеет решений.

Задача 4. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Эта задача может быть решена методом инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, а ее расстояние до данной прямой принять за радиус инверсии. Она может быть решена и без инверсии.

Задача 5. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки. Эта задача решена в предыдущем пункте в предположении, что данные точки расположены вне данной окружности. В других случаях решение аналогично или еще проще.

Задача 6. построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общую точку Р.

Если принять общую точку трех данных окружностей г1, г2 и г3 за центр инверсии, то эти окружности преобразуются в три прямые. Таким образом, задача сводится к построению окружности, касающейся трех построенных прямых. Искомая окружность – образ этой окружности в данной инверсии.

Переходим к решению задачи Аполлония в общем случае, причем остановимся лишь на основных моментах этого решения, не вникая в отдельные его детали.

Решение, которое мы дадим, основано на предварительном решении двух вспомогательных задач (представляющих предельный и частный случаи общей задачи).

1-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся двух параллельных прямых и данной окружности.

Задача обычно решается методом геометрических мест. Пусть а и b – данные прямые, г (О, r) – данная окружность (рис. 39).

Рис. 39

Из произвольной точки А на прямой а опускаем перпендикуляр АВ на прямую b. Через середину С отрезка АВ проводим прямую с параллельно а. строим окружность д (О, r + АС) (или радиуса │r - АС│). Отмечаем точку пересечения этой окружности с прямой с; это и будет центр искомой окружности.

Эта задача может иметь до четырех различных решений.

2-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, если две из них взаимно касаются.

Эта задача решается методом инверсии. Пусть г1, г2 и г3 – данные окружности, причем г1 и г2 касаются в точке Т (рис. 40).

Рис. 40

Примем точку Т за центр инверсии, а за радиус инверсии – произвольный отрезок (удобно избрать его так, чтобы базисная окружность щ пересекла окружности г1 и г2). При инверсии окружности г1 и г2 преобразуются в пару параллельных прямых гґ1 и гґ2, а окружность г3 – в некоторую окружность (или прямую) гґ3. построить окружность гґ, касающуюся прямых гґ1 и гґ2 и линии гґ3, мы умеем (см. 1-ю вспомогательную задачу). При инверсии этой окружности она преобразуется в окружность (или прямую) г, которая будет касаться трех данных окружностей г1, г2 и г3.

Решение задачи Аполлония в общем случае сводится к этой 2-й вспомогательной задаче. Мы воспользуемся для этого приемом, иногда называемым «методом расширения».

Для определенности рассмотрим тот случай, когда каждая из трех данных окружностей расположена вне двух других (рис. 41).

Рис. 41

В других случаях решение проводится аналогично.

Пусть г1 (О1, r1), г2 (О2, r2) и г3 (О3, r3) –данные окружности. Пусть, далее, прямая О1О2 пересекает окружность г1 в точках А1 и Аґ1, а окружность г2 – в точках А2 и Аґ2. из четырех отрезков А1А2, Аґ1Аґ2, Аґ1А2 и А1Аґ2 выберем кратчайший. Пусть это будет отрезок А1А2. обозначим через Т его середину. Увеличим радиусы всех данных окружностей на отрезок А1Т, то есть построим окружности гґ1 (О1, r1 + А1Т), гґ2 (О2, r2 + А1Т), гґ3 (О3, r3 + А1Т). из них окружности г1 и гґ2 касаются в точке Т. мы можем теперь построить окружность гґ, касающуюся трех окружностей гґ1, гґ2 и гґ3 (см. 2-ю вспомогательную задачу). Обозначим центр окружности гґ через О, а радиус - через rґ. Если затем построить концентрическую ей окружность г (О, rґ + А1Т), то эта последняя будет касаться трех данных окружностей.

Число всех возможных решений задачи Аполлония зависит от взаимного расположения данных окружностей. Приведем без доказательства несколько примеров.

1. Если окружность г2 расположена внутри окружности г1, а окружность г3 вне окружности г1 (рис. 42), то задача Аполлония вовсе не имеет решения. Это относится в частности, и к случаю, когда все три данные окружности концентрические.

2. Если две окружности г1 и г2 касаются, а третья окружность г3 пересекает их в точке их касания, то задача Аполлония имеет два решения Г1 и Г2 (рис. 43).

3. Если каждая из данных окружностей расположена вне двух других, причем касательная к каждым двум из данных окружностей не имеет обшей точки с третей окружностью, то задача имеет восемь решений (рис. 44).

4. Если три данные окружности попарно касаются в одной точке, то можно провести бесконечно много окружностей, касающихся каждой из данных (рис. 45).

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Полное исследование показывает, что если задача Аполлония имеет лишь конечное число решений, то их не более восьми.

Приложение.

Рассмотрим некоторые задачи, для решения которых используется понятие и метод инверсии.

Задача 1. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности инверсии, а третья – в центре инверсии. Построить фигуру, ему инверсную.

Анализ. Пусть щ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат. Точка А Є щ, точка С Є щ. При инверсии точка А переходит в точку Аґ, точка С – в Сґ, точка В – в Вґ, а ОС переходит в прямую ОL∞, ОА – в ОК∞, АВ переходит в дугу m, СВ переходит в дугу n. Таким образом, фигура определяется как СґnВґmАґВ, которая является инверсией квадрата ОАВС.

Рис. 1

Построение. (рис. 1).

1.                 щ (О, R) базисная окружность;

2.                 В → Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ;

3.                 СВ → СnВґ;

4.                 АВ → АґmВґ;

5.                 СґnВґmАґВ – искомая фигура.

Доказательство. Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Задача 2. Дан квадрат, однв вершина которого совпадает с центром инверсии, а противоположная вершина лежит на окружности инверсии. Построить фигуру, ему инверсную.

Анализ. Пусть щ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат, В Є щ. При инверсии точка В переходит в точку Вґ, В ≡ Вґ, точка А переходит в точку Аґ, Аґ  l, В  l, точка С переходит в точку Сґ, Сґ  l. АВ переходит в дугу АґmB окружности щ1 (А, ОА), ВС переходит при инверсии в дугу СґnВ окружности щ2 (С, ОС). ОА – часть луча, поэтому при инверсии ОА преобразуется во внешнюю его часть АґК∞, а ОС – в СґL∞. Таким образом, инверсная фигура определяется как К∞АґmВґnСґL∞.

Построение. (рис. 2)

1.                 щ (О, R) – базисная окружность;

2.                 В ≡ Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ, В  l, Аґ  l, Сґ  l;

3.                 АВ → АґmBґ;

4.                 ОС → ВґnCґ;

5.                 ОА → АґК∞;

6.                 ОС → СґL∞;

7.                 К∞АґmВґnСґL∞ - искомая фигура.

Доказательство. Доказательство следует из анализа.

Рис. 2

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Задача 3. Построить фигуру, инверсную окружности, концентрической базисной.

Анализ. Пусть щ (О, Р) – базисная окружность инверсии, щ1 (О1, R1) – данная окружность. Так как окружность щ (О, R1) не проходит через центр инверсии, то преобразуется в окружность. Для построения искомой окружности надо найти точки Аґ и Вґ - инверсные точкам А и В, где А и В – диаметрально противоположные точки, а отрезок АґВґ - являются диаметром искомой окружности.

Построение.

1.     щ (О, Р) базисная окружность, щ1 (О1, R1) – данная окружность, причем R1 ≠ R2;

2.     О  m – произвольная прямая;

3.     А = m щ1, В = m щ2;

4.     Точка Аґ - инверсна точке А, Вґ - Инверсна точке В;

5.     щ1ґ (О, ) – искомая окружность (рис 3).

Доказательство следует из анализа.

Рис 3

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 4. Точка описывает хорду базисной окружности, отличную от диаметра. Построить линию, которую описывает инверсная точка.

Анализ. Пусть щ (О, Р) – базисная окружность инверсии, АВ – хорда, причем О АВ. Точка М описывает хорду АВ.

Заметим, что А = Аґ, В = Вґ. Прямая АВ не проходит через центр О, значит преобразуется в окружность щ1, которая проходит через центр.

Но так как дана не вся прямая, а только хорда АВ, то она преобразуется в дугу относительно окружности щ1 (концы дуг А и В), причем, во внешнюю дугу относительно окружности щ (О, Р), так как данная точка М расположена внутри окружности щ (О, Р).

Построение.

1.                 щ (О, Р), АВ – данная хорда;

2.                 щ1 – окружность, которая проходит через точки О, А, В;

3.                 АmВ – внешняя относительно щ, которая является искомой фигурой (рис. 4).

Рис 4

Доказательство следует из анализа.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 5. Найти такую точку, чтобы касательные, проведенные из нее к двум данным окружностям были равны ее расстоянию от данной точки.

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности. Пусть точка А – искомая, тогда АК = АМ = АN. АК – касательная к щ1, АМ – касательная к щ2, то есть точка А а12 – радикальная ось окружности щ1 и щ2 и А а20 – радикальная ось щ2 и точки N, отсюда следует, что А = а12  а20.

Построение.

1.                 щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, N – данная точка;

2.                 а12 – радикальная ось щ1 и щ2;

3.                 а20 – радикальная ось щ2 и N;

4.                 А = а12  а20, А – искомая точка (рис. 5).

Рис. 5

Доказательство. Точка А – радикальный центр щ1, щ2 и N.

Исследование.

1.                 Если щ1 и щ2 - концентрические, то задача не имеет решения.

2.                 Если N внутри щ1 (О1, R1) или щ2 (О2, R2), то решений нет.

3.                 Если радкальные оси параллельны, то решений нет.

4.                 Если радикальные оси совпадают, то задача имеет бесконечное множество решений.

Задача 6. Построить фигуру, инверсную сектору базисной окружности.

Анализ. Пусть щ (О, R) – данная базисная окружность, АmВО – данный сектор.

При инверсии точка А переходит в точку Аґ, часть луча ОА переходит во внешнюю его часть АґК∞. дуга АmВ при инверсии преобразуется в себя.

Точка В преобразуется в точку Вґ. ОВ преоюразуется в ВґL∞. Таким образом сектор базисной окружности АmВО преобразуется в фигуру, определяемую внешней частью луча, АґК∞, ВґL∞ и дугой АґmВґ.

Построение.

1.                 щ (О, R) – базисная окружность;

2.                 А ≡ Аґ, В ≡ Вґ;

3.                 ОА → АґК∞;

4.                 ОВ → ВL∞;

5.                 АmВ → АґmВґ;

6.                 К∞АґmВґL∞ - искомая фигура (рис. 6).

Доказательство. Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет всегда решение и притом единственное.

Рис. 6

Задача 7. Даны две окружности, касающиеся друг друга в точке А. приняв точку А за полюс инверсии построить фигуру, инверсную двум окружностям.

Анализ. Пусть щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, щ (А, R) - базисная окружность. В = щ щ2, С = щ щ2, D = щ щ1, К = щ щ1. при инверсии точки В, С, D и К преобразуются в себя, так как они принадлежат щ (А, R). Так как окружности щ1 и щ2 проходят через центр базисной окружности, то они преобразуются в прямые : l1 B, l1  C, l2 D, l2  К.

Построение.

1.   щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, щ1  щ2 = А, щ (А, R) - базисная окружность;

2.   В = В = щ щ2, В → Вґ;

С = С = щ щ2, С → Сґ;

3. D = щ щ1, D → Dґ;

К = К = щ щ1, К → Кґ;

4. l1  Вґ, l1 Сґ, l2  Dґ, l2  Кґ, l1 и l2 – искомые прямые (рис 7).

Рис. 7

Доказательство.Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 8. через данную точку А провести окружность, ортоганальную двум данным окружностям.

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, точка А - данная точка.

Примем щ1 и щ2 за базисные, тогда точка А при инверсии преобразуется в точку Аґ, Аґ О1А, и А преобразуется Аґґ, АґґО2А.

А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА), щ – искомая окружность.

Построение.

1.     щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, А – данная точка;

2.     А → Аґ, АґО1А;

3.     А → Аґґ, АґґО2А;

4.     А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА);

щ (О, ОА) – искомая окружность (рис. 8).

Рис. 8

Доказательство. Окружность, проходящая через три взаимноинверсные точки, ортоганальна двум данным окружностям. А, Аґ, Аґґ - взаимноинверсные точки.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 9. Зная радиус инверсии, расстояние двух точек А иВ от центра инверсии и расстояние АВ, вычислить расстояние между точками Аґ и Вґ, соответственно инверсными точкам А и В.

Анализ. щ (О,R) – базисная окружность, А и В – данные точки. ОА = а, ОВ = b, АС = с. При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, В преобразуется в Вґ.

Из подобия треуголиников ОАВ и ОАґВґ следует, что , АґВґ = ; ОАґОА = R2; ОАґ = , АґВґ =  (рис. 9).

Рис. 9

Доказательство. Доказательство следует из свойств взаимноинверсных точек А и Аґ, В и Вґ и подобия ОАВ и ОАґВґ.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 10. Даны окружность щ1 (О1, R1) и прямая l. Построить окружность инверсии щ (О, R), относительно которой щ1 (О1, R1) и прямая l были бы взаимноинверсны.

Анализ. щ1 (О1, R1) – данная окружность, l – данная прямая. m – произвольная прямая, m l. А m, А l.

При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, Аґщ1, Аґ = щ1  m. l ║lґ, lґ  m, lґА. О = m  щ1, В = щ2 (О2, )  lґ.

ОВ – радиус искомой окружности инверсии.

Построение.

1.     щ1 (О1, R1) – данная окружность, l – данная прямая;

2.     m l, m – произвольная прямая, m  l = А, m щ1 = О;

3.     l ║lґ, lґ  m, Аґ lґ;

4.     щ2 (О2, );

5.     В = щ2 lґ;

6.     щ (О, ОВ) – искомая окружность (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. Так как по условию щ1 (О1, R1) и прямая l взаимноинверсны, то щ1 (О1, R1) проходит через центр окружности инверсии, значит взяв произвольную точку А l, мы должны построить касательную к искомой окружности в точке В. АґВ О1Аґ, О1А, Аґ принадлежит одной прямой m.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 11. Дана окружность щ (О, R) и АВС, где А, В, С щ. Построить фигуру, инверсную вписанному треугольнику АВС.

Анализ. АВС – данный треугольник, А, В, С щ (О, R). При инверсии точки, принадлежащие базисной окружности преобразуется в себя, то есть А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ. Прямая, не проходящая через центр инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, то есть АВ преобразуется в дугу АmВ окружности г1, ВС преобразуется в дугу ВnС окружности г2, АС преобразуется в дугу АkС окружности г3. таким образом АВС преобразуется при инверсии в три дуги.

Построение.

1.     щ (О, R) – базисная окружность,  АВС, А,В,С щ;

2.     А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ;

3.     АВ → АmВ, АmВ г1 (О, R1),

ВС → ВnС, ВnС  г2 (О, R2),

АС → АkС, АkС  г3 (О, R3);

4.     АґmВґnCґkAґ - искомая фигура (рис 11).

Доказательство.

Доказательство следует из анализа.

Исследование.

Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Рис 11

Задача 12. Даны точка О и две не проходящие через нее прямые а и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.

Анализ. Пусть точка О – данная точка, а и b – данные прямые, ОВ - искомый луч, такой что ОАОВ = r2, где r – данный отрезок.

Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность г, проходящую через точку В. Таким образом, В ≡ г b.

Построение.

1.        щ (О,r) – базисная окружность;

2.        а → г;

3.        В ≡ г  b;

4.        ОВ – искомый луч (рис 12).

Доказательство.

Пусть А = ОВ  а, тогда А – прообраз точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности г, то по определению инверсии ОАОВ = r2.

Исследование.

1.        Если г  b, то задача имеет два решения;

2.        Если окружность г касается b, то задача имеет одно решение;

3.        Если г не пересекается с b, то решений нет.

Заключение

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.

В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также в дипломной работе рассмотрена задача Аполлония, решение которой и является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии. В приложении дипломной работы представлены решения некоторых более сложных задач.

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классе были изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени.

Геометрические построения в настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса. Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.

Список используемой литературы

1.      А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;

2.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;

3.      Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;

4.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;

5.      А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;

6.      И. Я. Бакельман, Инверсия;

7.      С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;

8.      И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;

9.      Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;

10. Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских и педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;

11. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;

12. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, М., Учпедгиз, 1957;

13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин, задачи по стереометрии, М., Наука, 1989;

14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М., Учпедгиз, 1958;

15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.