Алгебра и начала анализа. |
|
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График
линейной функции
y = kx + b есть прямая.
Для построения
графика, очевидно,
достаточно
двух точек,
если k
0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
Ответ
№2. Опр.
Квадратичной
функцией называется
функция, которую
можно задать
формулой вида
y = ax2
+ bx + c, где х - независимая
переменная,
а, b и с - некоторые
числа, причем
а
0.
Графиком
квадратичной
функции является
парабола.
Свойства
функции y = ax2(частный
случай)
при а > 0.
1. Если
х = 0, то y = 0. График
функции проходит
через начало
координат.
2.
Если х
0,
то y > 0. График
функции расположен
в верхней
полуплоскости.
3.
График функции
симметричен
относительно
оси Oy.
4. Функция
убывает в промежутке
(-
;
0] и возрастает
в промежутке
[0; +
).
5.
Наименьшее
значение функция
принимает при
х = 0. Область
значений функции
[0; +
).
Свойства
функции y = ax2
при а < 0.
1. Если
х = 0, то y = 0. График
функции проходит
через начало
координат.
2.
Если х
0,
то y < 0. График
функции расположен
в нижней полуплоскости.
3.
График функции
симметричен
относительно
оси Oy.
4. Функция
убывает в промежутке
[0; +
)
и возрастает
в промежутке
(-
;
0].
5. Наименьшее
значение функция
принимает при
х = 0. Область
значений функции
(-
;
0].
И, так, график
функции y = ax2
+ bx + c есть парабола,
вершиной которой
является точка
(m; n), где m =
,
n=
.
Осью симметрии
параболы служит
прямая х = m, параллельная
оси y. При а > 0 ветви
параболы направлены
вверх, при a < 0 -
вниз.
Ответ 3
Если
переменная
у обратно
пропорциональна
переменной
х, то эта зависимость
выражается
формулой
,
где
-
коэффициент
обратной
пропорциональности.
Область
определения
функции
-
есть множество
всех чисел,
отличных от
нуля, т. е.
.
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.
№
4. Опр.
Функция, заданная
формулой y = ax,
где а - некоторое
положительное
число, не равное
еденице, называется
показательной.
1.
Функция y = ax
при а>1
а) область
определения
- множество
всех действительных
чисел;
б) множество
значений - множество
всех положительных
чисел;
в) функция
возрастает;
г)
при х = 0 значение
функции равно
1;
д) если х > 0, то
ax > 1;
е) если х
< 0, то 0< ax <1;
2. Функция
y = ax при 0< а <1
а)
область определения
- множество
всех действительных
чисел;
б) множество
значений - множество
всех положительных
чисел;
в) функция
убывает;
г) при
х = 0 значение
функции равно
1;
д) если х > 0, то
0< ax <1;
е) если х
< 0, то ax > 1.
№5.Опр.
Функцию, заданную
формулой y = loga
x называют
логарифмической
функцией с
основанием
а.
Свойства
функции y = loga
x при a>1:
а) D(f) = R+;
б)
E(f) = R;
в) функция
возрастает;
г)
если x = 1, то loga x
= 0;
д) если 0<x<1, то
loga x < 0;
е) если x
> 1, то loga x > 0.
Свойства
функции y = loga
x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б)
E(f) = R;
в) функция
убывает;
г) если
x = 1, то loga x = 0;
д) если
0 < x < 1, то loga x > 0;
е)
если x > 1, то loga
x < 0.
№6. Опр.
Отношение
катета прямоугольного
треугольника,
противолежащего
острому углу,
к гипотенузе
называется
синусом этого
угла (обозначается
sin
).
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция
нечетная: sin(-x) =
-sin(x) для всех
;
функция
периодическая
с наименьшим
положительным
периодом
;
sin(x)
= 0 при x =
;
sin(x)
> 0 для всех
;
sin(x)
< 0 для всех
;
функция
возрастает
на
;
функция
убывает на
.
№
7.Опр.
Отношение
катета прямоугольного
треугольника,
прилежащего
к острому углу,
к гипотенузе
называется
косинусом этого
угла (обозначается
cos
)
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция
четная: cos(-x) = cos(x) для
всех
;
функция
периодическая
с наименьшим
положительным
периодом
;
cos(x) = 0 при
;
cos(x)
> 0 для всех
;
cos(x)
> 0 для всех
;
функция
возрастает
на
;
функция
убывает на
№8.Опр.
Отношение
катета, противолежащего
острому углу
прямоугольного
треугольника,
к катету, прилежащему
к этому углу,
называется
тангенсом
(обозначается
tg
).
область
определения
- множество
всех действительных
чисел, кроме
чисел вида;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция
периодическая
с наименьшим
положительным
периодом
;
tg(x)
= 0 при х =
;
tg(x)
> 0 для
всех
;
tg(x)
< 0 для всех
;
функция
возрастает
на
.
№9.Опр.
Отношение
катета, прилежащего
острому углу
прямоугольного
треугольника,
к катету, противолежащему
к этому углу,
называется
котангенсом
(обозначается
ctg
)
область
определения
- множество
всех действительных
чисел, кроме
чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция
периодическая
с наименьшим
положительным
периодом
;
ctg(x)
= 0 при x =
;
ctg(x)
> 0 для всех
;
ctg(x) < 0 для
всех
;
функция
убывает на
.
Ответ № 10
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое
свойство
арифметической
прогрессии.
Последовательность
(аn) является
арифметической
прогрессией
тогда и только
тогда, когда
любой ее член,
начиная со
второго, является
средним арифметическим
предшествующего
и последующего
членов, т. е.
(1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2)
Формула
суммы n первых
членов арифметической
прогрессии
имеет вид:
(3)
Если
в формулу (3)
подставить
вместо аn
его выражение
по формуле (2),
то получим
соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.
Если
q
> 0 (),
то прогрессия
является монотонной
последовательностью.
Пусть, например,
b1=
-2, q
= 3, тогда геометрическая
прогрессия
-2, -6, -18, ... есть монотонно
убывающая
последовательность.
Если q
= 1, то все члены
прогрессии
равны между
собой. В этом
случае прогрессия
является постоянной
последовательностью.
Характеристическое
свойство
геометрической
прогрессии.
Последовательность
(bn)
является
геометрической
прогрессией
тогда и только
тогда, когда
каждый ее член,
начиная со
второго, есть
среднее геометрическое
соседних с ним
членов, т. е.
(1)
Формула
n-го члена геометрической
прогрессии
имеет вид:
(2)
Формула
суммы п первых
членов геометрической
прогрессии
имеет вид:
,
(3)
Если
в формулу (3)
подставить
вместо bn
его выражение
по формуле (2),
то получится
соот-ношение.
,
(4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма
бесконечной
геометрической
прогрессии
при
Пусть
(xn)
- геометрическая
прогрессия
со знаменателем
q,
где
и
.
Суммой бесконечной
геометрической
прогрессии,
знаменатель
которой удовлетворяет
условию
,
называется
предел суммы
n первых
ее членов при
.
Обозначим
сумму бесконечной
геометрической
прогрессии
через S.
Тогда верна
формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
формула
для корней
уравнения
sin(x) = a, где
,
имеет вид:
Частные
случаи:
sin(x)
= 0, x =
sin(x)
= 1, x =
sin(x)
= -1, x =
формула
для корней
уравнения
sin2(x)
= a, где
,
имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для
решения простейших
тригонометрических
неравенств
вида sin(x) > a (sin(x) < а)
используют
единичную
окружность
или график
функции y = sin(x).
sin(x)
= 0 если х =
;
sin(x)
= -1, если x =
>;
sin(x) > 0, если
;
sin(x)
< 0, если
.
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
Формула
для корней
уравнения
cos(x) = a, где
,
имеет вид:
.
Частные
случаи:
cos(x) = 1, x =
;
cos(x)
= 0,
;
cos(x)
= -1, x =
Формула
для корней
уравнения
cos2(x)
= a, где
,
имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Важным
моментом является
знание, что:
cos(x)
= 0, если
;
cos(x)
= -1, если x =
;
cos(x)
= 1, если x =
;
cos(x)
> 0, если
;
cos(x)
> 0, если
.
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
Формула
для корней
уравнения tg(x)
= a имеет вид:
.
Частные
случаи:
tg(x) = 0, x =
;
tg(x)
= 1,
;
tg(x)
= -1,
.
Формула
для корней
уравнения
tg2(x)
= a, где
,
имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Важно
знать, что:
tg(x)
> 0, если
;
tg(x)
< 0, если
;
Тангенс
не существует,
если
.
№ 15
Формулами
приведения
называются
соотношения,
с помощью которых
значения
тригонометрических
функций аргументов
,
,
,
,
выражаются
через значения
sin
,
cos
,
tg
и
ctg
.
Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Функция
|
Аргумент
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
|
cos
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos
|
-cos
|
-sin
|
sin
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos |
-cos |
-sin
|
sin
|
cos
|
cos
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
Для
облегчения
запоминания
приведенных
формул нужно
использовать
следующие
правила:
a) при
переходе от
функций углов
,
к
функциям угла
название
функции изменяют:
синус на косинус,
тангенс на
котангенс и
наоборот;
при
переходе от
функций углов
,
к
функциям угла
название
функции сохраняют;
б)
считая
острым
углом (т. е.
),
перед функцией
угла
ставят
такой знак,
какой имеет
приводимая
функ-ция углов
,
,
.
Все
вышеприведенные
формулы можно
получить, пользуясь
следующим
правилом:
Любая
тригонометрическая
функция угла
90°n +
по
абсолютной
величине равна
той же функции
угла
,
если число n -
четное, и дополнительной
функции, если
число n - нечетное.
При этом, если
функция угла
90°n +
.
положительна,
когда
-
острый угол,
то знаки обеих
функций одинаковы,
если отрицательна,
то различны.
№ 16
Формулы
косинуса суммы
и разности двух
аргументов:
Рис.1
Рис.2
Повернем
радиус ОА, равный
R, около точки
О на угол
и
на угол
(рис.1).
Получим радиусы
ОВ и ОС. Найдем
скалярное
произведение
векторов
и
.
Пусть координаты
точки В равны
х1
и y1,
координаты
точки С равны
х2
и y2.
Эти же координаты
имеют соответственно
и векторы
и
.
По определению
скалярного
произведения
векторов:
=
х1х2
+ y1y2.
(1)
Выразим скалярное
произведение
через
тригонометрические
функции углов
и
.
Из определения
косинуса и
синуса следует,
что
х1
= R cos
,
y1
= R sin
,
х2
= R cos
,
y2
= R sin
.
Подставив
значения х1,
х2,
y1,
y2
в правую часть
равенства (1),
получим:=
R2cos
cos
+ R2sin
sin
= R2(cos
cos
+ sin
sin
).
С
другой стороны,
по теореме о
скалярном
произведении
векторовимеем:=
cos
BOC
= R2cos
BOC.
Угол
ВОС между векторами
и
может
быть равен
-
(рис.1),
-
(
-
)
(рис.2) либо может
отличаться
от этих значений
на целое число
оборотов. В
любом из этих
случаев cos
BOC
= cos (
-
).
Поэтому
=
R2
cos (
-
).
Т.к.
равно
также
R2(cos
cos
+ sin
sin
),
то
cos(
-
)
= cos
cos
+ sin
sin
.
cos(
+
)
= cos(
- (-
))
= cos
cos(-
)
+ sin
sin(-
)
= cos
cos
- sin
sin
.
Значит,
cos(
+
)
= cos
cos
- sin
sin
.
Формулы
синуса суммы
и разности двух
аргументов:
sin(
+
)
= cos(
/2
- (
+
))
= cos((
/2
-
)
-
)
= cos(
/2
-
)
cos
+ sin(
/2
-
)
sin
= sin
cos
+ cos
sin
.
Значит,
sin(
+
)
= sin
cos
+ cos
sin
.
sin(
-
)
= sin(
+ (-
))
= sin
cos(-
)
+ cos
sin(-
)
= sin
cos
- cos
sin
.
Значит,
sin(
-
)
= sin
cos
- cos
sin
.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы
сложения позволяют
выразить sin 2,
cos 2
,
tg 2
,
ctg 2
через тригонометрические
функции угла
.
Положим
в
формулах
sin(
+
)
= sin
cos
+ cos
sin
,
cos(
+
)
= cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным
.
Получим тождества:
sin
2
= 2 sin
cos
;
cos
2
= cos2
-
sin2
=
1 - sin2
=
2 cos2
-
1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
Выразив
правую часть
формулы cos 2
= cos2
-
sin2
через
одну тригонометрическую
функцию (синус
или косинус),
придем к соотношениям
cos
2
= 1 - sin2
,
cos 2
= 2 cos2
-
1.
Если в данных
соотношениях
положить
=
/2,
то получим:
cos
=
1 - 2 sin2
/2,
cos 2
= 2 cos2
/2
- 1. (1)
Из формул
(1) следует, что
(2),
(3).
Разделив
почленно равенство
(2) на равенство
(3), получим (4).
В
формулах (2), (3) и
(4) знак перед
радикалом
зависит от
того, в какой
координатной
четверти находится
угол
/2.
Полезно
знать следующую
формулу: .
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму
и разность
синусов или
косинусов можно
представить
в виде произведения
тригонометрических
функций. Формулы,
на которых
основано такое
преобразование,
могут быть
получены из
формул сложения.
Чтобы
представить
в виде произведения
сумму sin
+
sin
,
положим
=
x + y и
=
x - y и воспользуемся
формулами
синуса суммы
и синуса разности.
Получим:
sin
+
sin
=
sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx
siny = 2sinx cosy.
Решив
теперь систему
уравнений
=
x + y,
=
x - y относительно
x и y, получим х
=
,
y =
.
Следовательно,
sin
+
sin
=
2 sin
cos
.
Аналогичным
образом выводят
формулы:
sin
-sin
=
2 cos
sin
;
cos
+
cos
=
2 cos
cos
;
cos
+
cos
=
-2 sin
sin
.
№ 20
Чтобы
найти решение
приведенного
квадратного
уравнения x2
+ px
+ q
= 0, где
,
достаточно
перенести
свободный член
в правую часть
и к обеем частям
равенства
прибавить
.
Тогда левая
часть станет
полным квадратом,
и мы получаем
равносильное
уравнение
=
-
q .
Оно
отличается
от простейшего
уравнения x2
= m только внешним
видом:
стоит
вместо x
и
-
q
- вместо m.
Находим
=
.
Отсюба х = -
.
Эта формула
показывает,
что всякое
квадратное
уравнение имеет
два корня. Но
эти корни могут
быть и мнимыми,
если
<
q
. Может также
оказаться, что
оба корня квадратного
уравнения равны
между собой,
если
=
q
. Возращаемся
к обычному виду
.
1. Сумма корней
приведенного
квадратного
уравнения x2
+ px
+ q
= 0 равна второму
коэффициенту,
взятому с
противоположным
знаком, а произведение
корней равно
свободному
члену, т.е. х1
+ х2
= -р,
а х1х2
= q
.
2. Теорема, обратная
теореме Виета.
Если р,
q,
х1,
х2
таковы, что х1
+ х2
= -р
и х1х2
= q
, то х1
и х2
- корни уравнения
x2
+ px
+ q
= 0.
№ 21
Опр.
Логарифмом
числа b по основанию
а называется
показатель
степени, в которую
нужно возвести
основание а,
чтобыполучить
число b.
Формулу
(где
b > 0, a > 0 и a
1)
называют основным
логарифмическим
тождеством.
Свойства
логарифмов:
;
;
Логарифм
произведения
равен сумме
логарифмов
сомножителей:.
Для
доказательства
воспользуемся
основным
логарифмическим
тождеством:
x
=
,
y =
.
Перемножим
почленно эти
равенства,
получаем:
xy =
=
.
Следовательно,
по определению
логарифма (п.3)
доказан.
Логарифм
частного равен
логарифму
делимого без
логарифма
делителя:.
Ход
доказательства
аналогичен
доказательству
п.3
Логарифм
степени равен
произведению
показателя
степени на
логарифм ее
основания:.
При
доказательстве,
также необходимо
воспользоваться
основным
логарифмическим
тождеством.
№ 22
Производной
функции f(x) в точке
х0
называется
предел отношения
приращения
функции
в точке х0
к приращению
аргумента,
когда последнее
стремится к
нулю. Это можно
записать так:
.
Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Существование
производной
функции f в точке
х0
эквивалентно
существованию
(невертикальной)
касательной
в точке (х0
;
f(х0))
графика, при
этом угловой
коэффициент
касательной
равен
.
В этом состоит
геометрический
смысл производной.
Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
Производная
суммы равна
сумме производных,
если они существуют:.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х0
то их производные
дифференцируемы
в этой точке
и.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х0,
а С
- постоянная,
то функция Cu
дифференцируема
в этой точке
и.
Если
функция u
и v
дифференцируемы
в точке х0
и функция v
не
равна нулю в
этой точке, то
частное двух
функций тоже
дифференцируемо
в точке х0
и.